数字信号处理_模拟滤波器设计+_无限脉冲响应数字滤波器的设计

表5-1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数
例 5-1 已知通带截止频率 fp=5kHz ，通带最大衰减
αp=2dB ， 阻 带 截 止 频 率 fs=12kHz ， 阻 带 最 小 衰 减 αs=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。
解 (1) 确定阶数N。
10 p 1 k sp 0.0242 0.1as 10 1 2 f s sp 2.4 2 f p lg 0.0242 N 4.25, lg 2.4 N 5
a 10
p
a
,则N由下式表示：
N
lg ksp lg sp
(5-17)
用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N
的最小整数。关于3dB截止频率Ωc，如果技术指标中没 有给出，可以按照(5-15)式或(5-16)式求出，由(5-15)式
得到：
c p (10
由(5-16)式得到：
N c
则滤波器的系统函数Ha(s)为
(s s
k 0
N 1
k
)
以N＝3为例，Ha(s)Ha(-s)极 点分布如图，分别为
sk c e
s0 c
s2 c
1 2 k 1 j ( ) 2 2N
; k 0,1,,2 N 1
，
2 j e 3
s1 c
H ( z ) h(n ) z n
(2)从功能上分为低通、高通、带通、带阻滤波器。
低通
H (e j )
2π
π
高通
0
π H (e j )
2π

2π
π
带通
0
π H (e j )

2π
2π
π
带阻
0
π
H (e j )
2π

2π
π
0
π
2π

图6-1 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性
2
数字滤波器的技术要求
我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。 假设数字滤波器的传输函数H(e jω)用下式表示：
2
(5-3) (5-4)
2
以上技术指标用图 5-2 表示。图中 Ωc 称为 3dB 截止频率， 因
H a ( jc ) 1/ 2, 20lg H a ( jc ) 3dB
图5-2 低通滤波器的幅度特性
滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函
数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标αp和αs， 一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此
s3 c e
j 1 3
2 j e 3

，
s4 c
s5 c
1 j e 3
Ha(s)取左半平面极点，即
图 ，5-5 三阶巴特沃斯滤波器极点分布
sk c e
1 2 k 1 j ( ) 2 2N
; k 0,1,, N 1
3 c ( s )(s c
所以Ha(s) 极点为s0,s1,s2
2 j π e 3 )
H a ( s)
2 j π e 3 )(s
c
(3)频率归一化问题 由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，
将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率Ωc归一
化，归一化后的Ha(s)表示为 1 H a ( s ) N 1 s sk ( ) c k 0 c 式中，s/Ωc=jΩ/Ωc。
也就是说，模拟滤波器设计中，通常只考虑幅频特性。 1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法 模拟低通滤波器的设计指标有αp, Ωp,αs和Ωs。其中 Ωp 和 Ωs 分别称为通带截止频率和阻带截止频率， αp 是
通带 Ω(=0~Ωp) 中的最大衰减系数， αs 是阻带 Ω≥Ωs 的最
小衰减系数， αp 和 αs 一般用 dB 数表示。对于单调下降 的幅度特性，可表示成：
0.1a p
1)

1 2N
(5-18)
c s (100.1as 1)

1 2N
(5-19)
总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：
(1)根据技术指标Ωp,αp,Ωs和αs，用(5-17)式求出滤波 器的阶数N。 (2) 按照 (5-13) 式，求出归一化极点 pk ，将 pk 代入(512)式，得到归一化传输函数Ha(p)。 (3) 将 Ha(p) 去归一化。将 p=s/Ωc 代入 Ha(p) ，得到实 际的滤波器传输函数Ha(s)。
所以取左半平面的极点( ) 2 2 2N 2
1 1 kN 2 2
而k为整数，所以k=0,1,…,N-1。所以巴特沃斯滤波器的N个极点为
sk c e
1 2 k 1 j ( ) 2 2N
; k 0,1,, N 1
H a (s)
1 ( p c ) 2 N 10
p / 10
s 2N 1 ( ) 10 s / 10 c
由(5-15)和(5-16)式得到：
10 p /10 1 N ( ) s 10as /10 1
10 p 1 令 sp s / p , ksp 10as 10 1
H a (jΩ)
H a (jΩ)
低通 0 Ω H a (jΩ) 0
高通 Ω H a (jΩ)
带通 c Ω 0
带阻 Ω
图5.1 各种理想滤波器的幅频特性
模拟滤波器的设计方法
模拟滤波器的设计就是要将一组规定的设计要求，转换 为相应的模拟系统函数Ha(s)，使其逼近某个理想滤波
器的特性，这种逼近是根据幅度平方函数来确定的，
H a j
2
1 1 ( j / j c )
1 s 2N 1 ( ) j c
2N

1 1 ( / c ) 2 N
(5-7)
H a ( s) H a ( s)
此式表明幅度平方函数有 2N个极点，极点sk用下式表示：
sk ( 1)
1 2N
( jc ) ce
0.1a
(2) 按照(5-13)式，其极点为
pk sk / c
1 2k 1 j π( ) 2 2 N e
k 0,1, N 1
jπ
p0
3 j π e 5
p1
4 j π e 5
p2 e
，
p3
6 j π e 5
p4
7 j π e 5
，
按照(5-12)式，H a p
(1)由 H a ( j) H a ( s) H a ( s) s j 得到象限对称的s平面函数
(2) 寻找Ha(s) Ha(-s)的零点和极点。将左半平面的极点归于 Ha(s)，如无特殊要求，可取 Ha(s) Ha(-s)以虚轴为对称轴 的对称零点的任一半(应是共轭对)作为Ha(s)的零点。jΩ轴 上的零点或极点都是偶次的，其中一半(应为共轭对)属于 Ha(s)
H a ( j )
2 * H a ( j ) H a ( j ) H a ( j ) H a ( j ) H a ( s ) H a ( s ) s j
2 H a ( j ) 如果能由αp、αs、Ωp、Ωc求出 ，那么滤波器的设计就 2 转化为如何由 H a ( 求得 j) Ha(s)，分析如下： 因为脉冲响应 ha(t)是实的，因而Ha(s)的极点(或零点)必成共 轭对存在。 Ha(s) Ha(-s)的极点、零点分布如图5.1.3所示，是 成象限对称的。
6.1 数字滤波器基础
1. 数字滤波器的分类 (1) 数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲 响应分类，可以分成无限脉冲响应 (IIR) 滤波器和有限
脉冲响应(FIR)滤波器。它们的系统函数分别为：
H ( z)

N 1 n 0
M
1 ak z k
k 1
r 0 N
br z r
1
N 1 k 0
， ，k
(p p
1，
4
归一化传输函数为
)
H a ( p)
(p p )
k 0 k
上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭
极点放在一起，形成因式分解形式。这里不如直接查 表5-1简单，由N=5，直接查表得到：
极点：-0.3090±j0.9511,-0.8090±j0.5878;
(5-11)
令 λ=Ω/Ωc ， λ 称为归一化频率；令 p=jλ ， p 称为归 一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为 1 H a ( p ) N 1 (5-12) ( p pk )
k 0
sk c e
1 2 k 1 j ( ) 2 2N
; k 0,1,, N 1
c p (10
0.1a p
1)

1 2N
2 5.2755krad / s
将Ωc代入(5-19)式，得到：
s c (100.1as 1)
1 2N
2 10.525krad / s
将p=s/Ωc代入Ha(p)中得到：
5 c H a ( s) 5 s b4c s 4 b32 c s 3 b23c s 2 b14 c s b05c
1 H a ( p) 5 p b4 p 4 b3 p 3 b2 p 2 b1 p b0
式中 b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361
-1.0000
(3) 为将Ha(p)去归一化，先求3dB截止频率Ωc。
按照(5-18)式，得到：
1 2 k 1 j ( ) 2 2N
k=0,1,…,2N-1
(5-8)