安大计一班第六次周练含答案

安大互院计一班第六次周练（最后一卷）
一、填空题（每空10分，共60分）
1.求下列极限：（1）数列{a n }满足：a n+1=a n 2
-a n +1,（a 1<1）求{a n }极限为1.解析：an+1-an=(an-1)2≧0,所以数列单调递增,如果ak<1,则ak+1=1+ak(ak-1)<1,又a1<1，所以，{an}收敛，取极限得A=A2-A+1,A=1(2)x dt xt x x ⎰→020lim =0.解析：这是
0型不定式，应用洛必达法则得原式=1lim 0
220⎰⋅+→x x x x dt t =031lim 330=+→x x x （3）n n n 2124321lim -⋯⋯⋅⋅+∞→=0.解析：数列a n >0,a n =n n 212......43432121-<122......433221+n n =1
21+n 2.求下列积分：（1）=⎰dx x e x )2sin(c x e x e x x ++-)2sin(5
1)2cos(52.解析：原积分式=
dx x e x e x e dx x e x e x d e x x x x x x )2sin(1)2sin(1)2cos(1)2cos(1)2cos(1)2cos(1⎰⎰⎰-+-=+-=-所以，原积分=c x e x e c x e x e x x x x ++-=++-)2sin(5
1)2cos(52))2sin(41)2cos(21(54（2）=⎰dx x tgx 6sec ln ππ
3ln 2ln 22ln ln -.解析：原积分式=3ln 2ln 22ln ln 3
2ln ln 2ln ln |sec ln ln sec ln )sec (ln 464
6-=-==⎰ππππx x x d .3.求解微分方程：y’=x 3y+xy 5,则y -2=)4(4
x C e x --.解析：原方程为伯努利方程，a(x)=x 3,f(x)=e-x4,α=5,1-α=-4,
根据公式：))()1(()()1()()1(1⎰⎰-+⎰=----dx e x f C e y
dx x a dx x a αααα得到)4(44x C e y x -=--所以)
4(42x C e y x -=--
二、计算与证明题（每题20分，40分）
5.已知函数f(x)在[a,b]上连续可导，求证：存在一点θ，使得
)(cos )
()()(sin )(sin θf b f a f b f a f =--.解析：g(x)=sinf(x)，所以g(x)在[a,b]上连续可导，所以利用柯西中值定理：存在θ属于[a,b])(cos )(')(cos )(')(')(')()()()()()()(sin )(sin θθθθθθf f f f f g b f a f b g a g b f a f b f a f ===--=--，
证毕.6.函数满足y’(x)=1+⎰-+x
dt t y t t 02))(sin 6(,y(0)=1，求y(x).解析：求导得y’’(x)=6sin 2x-y(x)+x,故y’’(x)+y(x)=6sin 2x+x=3(1-cos(2x))+x
对于y’’(x)+y(x)=0,通解Y 为Asinx+Bcosx,利用叠加原理将右侧拆分成两个部分求解。

对于y’’(x)+y(x)=3，特解y 1=3
对于y’’(x)+y(x)=-3cos(2x)，特解形式为y 2=acos(2x)+bsin(2x)
y 2’’=-4bsin(2x)-4acos(2x),带入原方程得-3bsin(2x)-3acos(2x)=-3cos(2x),a=1,b=0.对于y’’(x)+y(x)=x,特解形式为y 3=cx+d,y 3’’=0,解得c=1,d=0,所以y 3=x y=Asinx+Bcosx+cos(2x)+3+x.
y(0)=1,故B+1+3=1,B=-3.y’=Acosx-Bsinx-2sin(2x)+1,y’(0)=1=A+1,A=0所以通解为y=-3cosx+cos(2x)+3+x.。