含参变量积分法求定积分
含参变量的积分例题详解
含参变量的积分例题详解一、引言在数学中，含参变量的积分是一个重要的概念，它涉及到函数的整体性质。
理解并掌握含参变量的积分对于解决各种实际问题具有深远的意义。
下面，我们将通过一个具体的例题来详解含参变量的积分。
二、例题详解假设我们要求解这样一个积分：∫(上限a，下限0)e^(-x)*x^2dx。
这是一个典型的含参变量的积分问题，其中参数为x，被积函数含有x^2。
我们需要根据这个问题的特点，灵活运用积分的各种方法，包括换元法、分部积分法等，来解决它。
首先，我们考虑换元法。
将x换元为t，令t=a-x，则原积分可以改写为：∫(上限a，下限0)e^(a-x)*x^2dx。
注意到e^(a-x)是一个常数，因此我们可以将积分区间变为[0,a]，这样原积分就变成了一个简单的定积分。
接下来，我们使用分部积分法对被积函数进行化简。
被积函数中的x^2可以分解为x的导数乘以x，即x*(x-1)。
因此，原积分的被积函数可以表示为e^(a-x)*(x-1)*x。
对这部分进行积分，我们可以得到∫(上限a，下限0)e^(a-x)*(x-1)*xdx=e^(a-x)*(x^2-x)|(上限a，下限0)=a^3/3-a^2/2。
最后，我们将两部分相加得到最终结果：∫(上限a，下限0)e^(-x)*x^2dx=a^3/3-a^2/2+C，其中C为常数。
三、总结通过这个例题，我们可以看到含参变量的积分需要我们灵活运用各种积分方法，包括换元法和分部积分法等。
同时，我们需要对被积函数进行适当的化简，以便更好地理解和求解含参变量的积分。
需要注意的是，当参数或者被积函数含有复杂的形式时，我们需要更深入地理解和分析问题，才能找到合适的解决方法。
总的来说，含参变量的积分是数学中的一个重要概念，它涉及到函数的整体性质和变化规律。
通过理解和掌握含参变量的积分，我们可以更好地解决各种实际问题，为我们的学习和工作提供有力的支持。
参变量积分
由复合函数的连续性
f (a( y ) t (b( y ) a( y )), y )(b( y ) a( y ))
在[0,1][c,d]上连续,由定理1,
F ( y)
在[c,d]上连续.
b( y )
a( y )
f ( x, y)dx
数学分析选讲
多媒体教学课件
定理4设f(x,y), fy(x,y)在矩形[a,b,c,d]上连续, a(y), b (y) 存在,且当y[c,d]时,
0
sin t dt 收敛,故对任意>0,存在M>0,使对任意 t
数学分析选讲
A >M>0,有
多媒体教学课件
sin t | dt | . A t 因此当Aa>M时,对任意x[a,+),有
Ax aA M ,
从而
|
Ax sin xy sin t dt || dy | . A t y
b( y )
a( y )
f ( x, y)dx
数学分析选讲
多媒体教学课件
证明：作积分变换 x a( y ) t (b( y ) a( y )), 则
F ( y)
b( y )
a( y )
1
f ( x, y)dx
f (a( y ) t (b( y ) a( y )), y )(b( y ) a( y ))dt ,
多媒体教学课件
定理5设函数f(x,y)在矩形[a,b,c,d]上连续,,是
d
c
dy f ( x, y )dx dx f ( x, y )dy
b b d a a c
含参变量积分(课件+例题+论文)
含参量反常积分
0
cos 1
xy x2
dx
在 (,) 上一致收敛.
例2 : 证明含参量反常积分 e xy sin x dx
0
x
在 [0,d] 上一致收敛.
证 : 由于反常积分 sin xdx 收敛
0x
(当然，对于参量y,它在[0, d ]上一致收敛)
函数g(x, y) exy对每个x [0, d ]单调且对任何
u 一致收敛的柯西准则:
含参量反常积分 f (x, y)dy 在 [a,b]上一致收敛的充要 c
条件是 0, M c,A1, A2 M ,x [a,b],都有
A2 f (x, y)dy . A1
u 一致收敛的充要条件;
含参量反常积分 f (x, y)dy 在 [a,b]上一致收敛的充要 c
解 :
记I ( )
1
1
dx x2
2
.
由于
,1
,
1
1 x2
2
都是和x的连续函数，
所以I( )在 0处连续，从而
lim
0
1
dx
1 x2 2
I(0)
1 dx 0 1 x2
. 4
例2 : 解:
求 I 1 xb x a dx (b a 0).
c
f
( x,
y)g( x,
y)dy
在[a , b]上一致收敛 .
例1 :
证明反常积分
0
cos 1
xy x2
dx
在 (,)上一致收敛.
证:
由于y R有
含参定积分
含参定积分含参定积分在高等数学中是一个非常重要的概念，它经常出现在微积分、常微分方程等数学分支中。
在含参定积分中，我们需要将一种特定的函数作为参数插入到另一种函数当中，以求得包含参数的积分。
这种方法虽然相对较为复杂，但其应用非常广泛，是现代科学研究中的一个基础性工具。
首先，我们需要明确含参定积分的概念。
含参定积分，顾名思义，就是在对函数进行积分时，将一个特定的函数作为参数插入到被积函数中。
其基本公式如下：∫ f(x,k)dx其中，f(x,k)表示含有参数k的被积函数，x为积分变量，dx为微元。
需要注意的是，含参定积分的结果并不是一个确定的值，而是一个与参数k有关的函数。
对于含参定积分的求解，最常用的是变量代换法和分部积分法。
变量代换法是指我们将被积函数中的变量x用参数k的函数表示出来，然后将其代换到积分式中。
例如，对于下面的例子：∫ x²sin(kx)dx我们可以先令t=kx，然后将x表示为x=t/k，代入被积函数中得：∫[t/k]²sin(t)dt/k这个式子更容易求解，因为其中不再含有参数k。
我们可以对其进行积分求得：(1/k³)∫t²sin(t)dt这就是含参定积分的结果，是一个仅与参数k有关的函数。
另一个常用的方法是分部积分法。
我们将含参积分式写成如下形式：∫ u(x,k)v'(x)dx然后对其进行分部积分，得到如下形式：∫u(x,k)v'(x)dx = u(x,k)v(x) - ∫u'(x,k)v(x)dx这个式子中，u(x,k)和v(x)是被积函数的两个部分，可以根据具体情况进行选择。
这个方法的优点在于，可以将比较复杂的积分式化简为简单的计算式子，更易于求解。
在应用上，含参定积分可以用于求解各种不同的问题。
其中一个比较常见的应用是求解区域体积。
我们可以将一个区域表示为由一条曲线旋转而成的旋转体，然后采用含参定积分的方法进行求解。
定积分的计算方法与技巧解析
出定积分的值。
2.5 利用被积函数的性质及积分区间的特点求解定积分
在求解定积分时，有时候被积函数具有奇偶性和周期性，
而积分区间也比较特殊，这时可利用性质求解[1-2]：
（1）若函数 在区间
上连续且为奇函数，
则
；
（2）若函数 则：
在区间
上连续且为偶函数，
①
；②
（3）若 在上 可积，且是周期为 的周期函数， 为 任意实数，则有[3]：
定积分的换元法主要针对当被积函数中含有
等因子时，可
令
消去根号，或通过作三角代换消去根号，再进行求解，值得注意的是换元必
相应改变定积分的上下限。
例3 求
。
解令
，则
。当
时， ；当
时， 。
例4 解令
。 ，则
。当
时，
；当 时， 。
2.4 利用分部积分法 分部积分法主要用于求解当被积函数是两类函数的乘积的形式的定积分，分部积分法 的关键是要正确选择 和 。分部积分法在解题过程中可以多次使用，但应注意在多次 使用分部积分法时要“从一而终”，即若第一次选取指数函数作为 ，那么后面再次使用③
， 为自然数；④正弦函
数在周期区间上的积分值为0，余弦函数在半周期区间上的积分 值为0。
5 含参变量的积分
ϕ ( x + ∆x ) − ϕ ( x )
= ∫α [ f ( x + ∆x , y ) − f ( x , y )]dy .
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系
β
(1)
3
上连续，从而一致连续. 由于 f ( x , y )在闭区域 R上连续，从而一致连续 因此对于任意取定的 ε > 0 ,存在δ > 0 ,使得对于 R内 存在 使得对于 的任意两点( x1 , y1 ) 及( x2 , y2 ) ,只要它们之间的距离 只要它们之间的距离 小于 δ ,即 即
( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2 < δ ,
f ( x2 , y2 ) − f ( x1 , y1 ) < ε .
就有
因为点( x + ∆x , y )与 ( x , y ) 的距离等于 ∆x ,所以当 所以当 ∆x < δ 时,就有 就有
f ( x + ∆x , y ) − f ( x , y ) < ε .
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
14
证
由(4)式有 式有
不变， 不变，则
β ( x ) f ( x + ∆x , y ) − f ( x , y ) Φ ( x + ∆x ) − Φ ( x ) dy = ∫α ( x ) ∆x ∆x 1 β ( x + ∆x ) + ∫β ( x ) f ( x + ∆x , y )dy ∆x 1 α ( x) ( 8) − ∫α ( x + ∆x ) f ( x + ∆x , y )dy . ∆x 当 ∆x → 0 时，上式右端的第一个积分的积分限
第十五章含参变量的积分数学分析课件
第十五章含参变量的积分教学目的与要求1 掌握含参变量的常义积分的定义及分析性质；2 能应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题.3 理解含参变量的反常积分的一致收敛的定义；4 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质；5 能利用参变量的反常积分的分析性质求函数的导数、积分等；6 掌握Beta函数和Gamma函数的定义及其相互关系；7 掌握Beta函数和Gamma函数的性质。
教学重点1 应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题；2 求含参变量的常义积分的极限、导数、积分；3 含参变量的反常积分的一致收敛的定义；4 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质；5 利用参变量的反常积分的分析性质求函数的导数、积分等6 Beta函数和Gamma函数的性质。
教学难点1 应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题；2 含参变量的反常积分的一致收敛的定义；3 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质；§1 含参变量的常义积分教学目的1 掌握含参变量的常义积分的定义及分析性质；2 能应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题.教学过程1 含参变量的常义积分的定义 （P373）2 含参变量的常义积分的分析性质 2.1 连续性定理P374Theorem 1 若函数),(y x f 在矩形域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续 , 则函数⎰=dcdy y x f x I ),()(在] , [b a 上连续 .Theorem 2 若函数),(y x f 在矩形域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 函数)(1x y 和)(2x y 在] , [b a 上连续 , 则函数⎰=)()(21),()(x y x y dy y x f x G 在] , [b a 上连续.例 1 求下列极限 (1)dx y x y ⎰-→+11220lim(2) dx nxnn ⎰++∞→1)1(11lim2.2 积分次序交换定理P375 例2 见教材P375.2.3 积分号下求导定理P375—376Theorem 3 若函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 则函数⎰=dcdy y x f x I ),()(在] , [b a 上可导 , 且⎰⎰=dcd c x dy y x f dy y x f dx d ),(),(.( 即积分和求导次序可换 ) .Theorem 4设函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 函数)(1x y 和)(2x y 定义在] , [b a , 值域在] , [d c 上, 且可微 , 则含参积分⎰=)()(21),()(x y x y dy y x f x G 在] , [b a 上可微 , 且()())()(,)()(,),()(1122)()(21x y x y x f x y x y x f dy y x f x G x y x y x '-'+='⎰. 例2 求下列函数的导数 (1) ⎰>+=122)0()ln()(y dx y x y F (2) ⎰-=22)(x xxy dx e y F例3 计算积分 dx x x I ⎰++=1021)1ln(.例 4 设函数)(x f 在点0=x 的某邻域内连续 . 验证当||x 充分小时 , 函数 ⎰---=x n dt t f t x n x 01)()()!1(1)(φ 的1-n 阶导数存在 , 且 )()()(x f x n =φ.2.4(P376定理15.1.4) 例4 求⎰++=yb y a dx x yxy F sin )(的导数例5 研究函数 ⎰+=10 22)()(dx y x x yf y F 的连续性，其中)(x f 是]1,0[上连续且为正的函数。
第9章 含参变量积分
∫N
f (x, y)dy ≤ M ;
c
(2)对每个 x ∈[a, b] ，函数 g(x, y) 关于 y 是单调递减的且当 y → ∞ 时，对参量 x ，
+∞
∫ g(x, y) 一致收敛于 0，则含参量反常积分 f (x, y)g(x, y)dy 在[a,b] 一致收敛。 c
定理 5（阿贝尔判别法）设
敛。
判别法则
定 理 1 （ 柯西 准 则 ）含参 量 无 穷积分 （1 ） 在 [a,b] 上 一 致收 敛的 充 要条 件是 ：
∀ε > 0, ∃M > c,当A1, A2 > M时,∀x ∈[a,b] ，有
∫| A2 f (x, y)dy |< ε A1
定理 2（魏尔斯特拉斯 M-判别法）设有函数 g( y) ，使得
∫ I '(x) =
+∞
c fx (x, y)dy
+∞
∫ 定理 3（可积性）设 f (x, y) 在[a,b]×[c, +∞) 上连续，若 I (x) = f (x, y)dy 在[a,b] 上 c
一致收敛，则 I (x) 在[a, b] 上可积，且
b
+∞
+∞
b
∫a dx∫c
∫ f (x, y)dy = c
∫ y(x) = 1
x
n−1
(x − t) f (t)dt, x ∈[a,b]
(n −1)! a
是微分方程 y(n) (x) = f (x) 的解，并且满足条件 y(a) = y' (a) = = y(n−1) (a) = 0 。
证明：设 F (x, t) = (x − t)n−1 f (t) ，则 f (x, t), fx (x,t) 在[a, b]×[a, b] 上连续，因此有
含参变量的积分
ξ12.3 含参变量的积分一、含参变量的有限积分设二元函数f （x,u)在矩形域R （βα≤≤≤≤u b x a ,）有定义，],,[βα∈∀u 一元函数f(x,u)在[a,b]可积，即积分dxu x f a b),(⎰存在 ],[βα∈∀u 都对应唯一一个确定的积分（值)),(u x f a b⎰dx .于是，积分dx u x f a b),(⎰是定义在区间],[βα的函数，记为],[,),()(βαϕ∈=⎰u dx u x f ab u ,称为含参变量的有限积分，u 称为参变量。
下面讨论函数)(u ϕ在区间 ],[βα的分析性质，即连续性、可微性与可积性定理 1 若函数),(u x f 在矩形域R ),(βα≤≤≤≤u b x a 连续，则函数dx u x f abu ),()(⎰=ϕ在区间也连续。
证明有，使取],,[u ],,[βαβα∈∆+∆∈∀u u u.),(),()()(.)],(),([)()dx u x f u u x f abu u u dx u x f u u x f abu u u -∆+≤-∆+-∆+=-∆+⎰⎰ϕϕϕϕ（根据ξ10.2定理8，函数),(u x f 在闭矩形域R 一致连续，即,,:),(),(,0,02121221,1δδδε<-<-∈∀>∃>∀y y x x R y x y x 有ε<-),(),(2211y x f y x f .特别地，.:),(),,(δ<∆∈∆+∀u R u u x u x 有 .),(),(ε<-∆+u x f u u x f 于是，,δ<∆u 有)(),(),()()(a b dx u x f u u x f ab u u u -<-∆+≤-∆+⎰εϕϕ 即函数在区间连续.设[]βα,0∈u ，由连续定义，有)()(lim ),(limu u dx u x f a bu u u u ϕϕ==→→⎰=dx u x f a b dx u x f a b u u ),(lim ),(00→⎰⎰=. 由此可见，当函数),(u x f 满足定理1的条件时，积分与极限可以交换次序. 定理2 若函数),(u x f 与uf∂∂在矩形域R(βα≤≤≤≤u b x a ,)连续，则函数在区间[βα,]可导，且[]βα,∈∀u ，有dxu u x f a b u du d∂∂=⎰),()(ϕ 或dx u u x f a b dx u x f abdu d ∂∂=⎰⎰),(),(. 简称积分号下可微分.证明 [][],,u,,,βαβα∈∆+∆∈∀u u u 使取有[].),(),()()(dx u x f u u x f abu u u -∆+=-∆+⎰ϕϕ （1） 已知uf∂∂在R 存在，根据微分中值定理，有 .10,),(),(),('<<∆∆+=-∆+θθu u u x f u x f u u x f u 将它代入（1）式，等号两端除以u ∆，有.10,),()()('<<∆+=∆-∆+⎰θθϕϕdx u u x f ab u u u u u 在上面等式等号两端减去dx u x f abu ),('⎰，有d x u x f abu u u u u ),()()('⎰-∆-∆+ϕϕ dx u x f u u x f ab u u ),(),(''-∆+≤⎰θ. 根据 ξ10.2定理8，函数),('u x f u 在闭矩形域R 一致连续，即,0,0>∃>∀δε,:),(),,(δ<∆∈∆+∀u R u u x u x 有.),(),(''εθ<-∆+u x f u u x f u u 从而，有),(),()()('a b dx u x f abu u u u u -≤-∆-∆+⎰εϕϕ即 dx u x f abuu u u u u ),()()(lim '0⎰=∆-∆+→∆ϕϕ 或.),()(dx u u x f a b u dud∂∂=⎰ϕ 定理2指出，当函数),(u x f 满足定理2的条件时，导数与积分可以交换次序. 定理 3 若函数),(u x f 在矩形域R （βα≤≤≤≤u b x a ,）连续，则函数dx u x f abu ),()(⎰=ϕ在区间[]βα,可积，且.).(),(dx du u x f a b du dx u x f a b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰⎰αβαβ （2） 简称积分号下可积分.证明 根据定理1，函数)(u ϕ在[]βα,连续，则函数)(u ϕ在区间[]βα,可积.下面证明等式（2）成立.[]βα,∈∀t ，设.),()(,),()(21dx du u x f t a b t L du dx u x f a b t t L ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰⎰⎰αα根据4.8ξ定理1，有.),()('1dx t x f abt L ⎰=已知du u x f t ),(⎰α与du u x f tt ),(⎰∂∂α都在R 连续，根据定理2，有dx du u x f ta b dt d t L ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰),()('2α =dx du u x f t t a b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⎰⎰),(α =dx t x f ab),(⎰.于是，[]βα,∈∀t ，有()().'2'1t L t L =.由1.6ξ例1，()(),21C t L t L =-其中C 是常数.特别地,当α=t 时，()(),021==ααL L 则C=0,即()()β==t t L t L 当.21时，有()(),21ββL L =即.),(),(dx du u x f a b du dx u x f a b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰⎰αβαβ定理3指出，当函数),(u x f 满足定理3的条件时，关于不同变量的积分可以交换次序。
含参变量的积分
f ( x, u)dx, u [ , ],
称为含参变量的无穷积分, u 是参变量.
2.一致收敛的定义
设 u I (区间) ,无穷积分 f ( x, u)dx 收 敛. 0, A 0, A A , u I , 有 若
0 0
a
a
f ( x , u)dx f ( x , u)dx
A a
A
f ( x , u)dx ,
则称无穷积分
a
f ( x, u)dx ,在区间 I 一致
收敛． 非一致收敛的定义 若 0 0, A 0, A0 A, u0 I , 有
A0
f ( x , u) 0 .
一 函数 (u)的分析性质 ( u) f ( x , u)dx
b a
定理１
若函数 f ( x, u) 在矩形域
R (a x b, u ) 连续，则函数 (u)
在区间 [ , ] 也连续．
lim f ( x , u)dx lim ( u) ( u0 ) u u u u
1 0
计算积分 I
arctan x
2
练: 1.设 (1)F ( ) 0
x 1 x ln(1 x )
dx .
dx;
x (2)F ( ) 0 f ( x , x )dx;
求 F '( ).
1 xb xa 2计算定积分 1cos(ln ) dx ,0 a b. 0 x ln x
0
b a
0
b lim a u u
f ( x , u)dx.
0
f 定理２ 若函数 f ( x, u)与 u 在矩形域
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
含参变量积分法求定积分
一、引言
在数学中，定积分是求解曲线下面的面积的一种方法。
含参变量积分法是一种特殊的积分方法，它能够解决一类带有参数的定积分问题。
本文将详细介绍含参变量积分法的原理和应用。
二、含参变量积分法的原理
含参变量积分法是通过引入一个参数，将原本的定积分问题转化为一个关于参数的函数的积分问题。
通过对这个参数的求导和积分操作，可以得到原问题的解。
三、含参变量积分法的步骤
使用含参变量积分法求解定积分问题的一般步骤如下：
1. 引入参数
将原问题中的变量替换为参数，并引入一个新的变量。
2. 求导
对引入的参数进行求导操作，得到关于参数的导函数。
3. 积分
对导函数进行积分操作，得到关于参数的积分函数。
4. 求解参数
解关于参数的积分函数，得到参数的值。
5. 求解原问题
将参数的值代入原问题中，得到原问题的解。
四、含参变量积分法的实例应用
现在我们通过一个实例来说明含参变量积分法的应用。
实例：求解定积分 ∫x n 1+x 10dx
1. 引入参数
我们将指数 n 替换为参数 t ，得到 ∫x t 1+x 10dx 。
2. 求导
对参数 t 求导，得到导函数 d dt (∫x t 1+x 10dx)。
3. 积分
对导函数进行积分操作，得到积分函数 F (t )=∫d dt (∫x t 1+x 10dx)dt 。
4. 求解参数
解关于参数的积分函数 F (t )，得到参数的值。
5. 求解原问题
将参数的值代入原问题中，得到原问题的解。
五、含参变量积分法的优点和局限性
含参变量积分法具有以下优点： - 可以解决一类带有参数的定积分问题。
- 可以通过引入参数，简化定积分的计算过程。
然而，含参变量积分法也存在一些局限性： - 只适用于特定类型的定积分问题。
- 对于复杂的问题，可能需要进行多次求导和积分操作，增加了计算的复杂性。
六、总结
含参变量积分法是一种求解带有参数的定积分问题的方法。
通过引入参数、求导、积分、求解参数和求解原问题的步骤，可以得到定积分的解。
虽然含参变量积分法具有一定的局限性，但在适用的情况下，它能够简化定积分的计算过程，提高求解的效率。