含参变量积分的连续性.ppt

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§2 含参量反常积分一、含参量反常积分及其一致收敛的定义

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A1 , A2 M 时 , 对一切 x [a, b] 都有

c
A2
A1
f ( x, y ) dy < .

(5)
证明：(充分性) 对每个 x, (3)式成立,这说明
f ( x, y ) dy 收敛, 从而
A1
f ( x, y ) dy 收敛,
A1

M
c
f ( x, y )dy
对参量 x 在[a, b] 上一致有界, 即存在正数 G ,
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对一切 M c 及一切 x [a, b] 都有 |
M c
f ( x, y )dy | M ;
(ii ) 对每一个 x [a, b], 函数 g g ( x, y ) 关于 y 是单调递减且当 y 时, 对参量 x , g ( x, y ) 一致地收敛于 0. 则含参量反常积分一致收敛.
在(3)式中令 A2 得, | 故结论得证.
f ( x, y ) dy |
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例2
证明：若 z f ( x, y ) 在[a, b] [c, ) 上连续, 又

c
f ( x, y )dy
在[a, b) 上收敛 , 但在 x b 处发散, 则

A
sin xy dy y

Ax
sin u dy 0 . u
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sin xy 由于 dy 收敛, 对任意固定的 M 0, 0 y sin xy sin xy M 1 sin xy du M 1 y dy 0 y dy 0 y ( M 1) x sin u du : I ( x ), 0 u 则 I 在包含原点为左端点的某闭区间上连续, 于是

含参变量积分连续性

求F(x)．
四、计 I 2 算 ln 1a 积 co x分 sdx： (a1 ).
0 1aco xsy co xs
练习题答案
一1．、 ; 4
2． 8. 3
二 1 ． 2 l 、 1 n x 2 ) (;2 ． 2 x x 5 e e x 3 x 2 y 2 e x 2 d y . y
上式在 [0,1]上对积分,得到
(1)(0) 01ln11(2 )d
1ln2
2
1 d 0 12
4
011d2,
即 I I l2 n l2 n I l2 n . 2442 42
从而
I ln2.
8
四、小结
1、含参变量的积分所确定的函数的定义； 2、含参变量的积分所确定的函数的连续性； 3、含参变量的积分所确定的函数的微分； 4、莱布尼茨公式及其应用.
x (xx)
(8)
当 x 0时，上式右端的第一个积分的积分限
不变，则
(x )f( x x ,y ) f( x ,y ) (x ) f( x ,y )
(x )
x
d y (x ) xd . y
对于(8)右端的第二项，应用积分中值定理得
1
(xx)
f(xx,y)dy
x (x)
1[(xx)(x)]f(xx,),
把被积函数分解为部分分式,得到
x 1[x ]. ( 1 x )1 (x 2 )1 21 x1 x 2 1 x 2
于是
()1[1 d x 1xd 1x d]x 1 20 1 x0 1 x 2 0 1 x 2
1 1 2[ ln 1 () 1 2 l2 n 4 ],
当 x 0时，（4）式右端的前两个积分都趋于零. 于是，当 x 0时，

参变量积分

0
由复合函数的连续性
f (a( y ) t (b( y ) a( y )), y )(b( y ) a( y ))
在[0,1][c,d]上连续,由定理1,
F ( y)
在[c,d]上连续.
b( y )
a( y )
f ( x, y)dx
数学分析选讲
多媒体教学课件
定理4设f(x,y), fy(x,y)在矩形[a,b,c,d]上连续, a(y), b (y) 存在,且当y[c,d]时,

0
sin t dt 收敛,故对任意>0,存在M>0,使对任意 t
数学分析选讲
A >M>0,有
多媒体教学课件
sin t | dt | . A t 因此当Aa>M时,对任意x[a,+),有

Ax aA M ,
从而
|
Ax sin xy sin t dt || dy | . A t y
b( y )
a( y )
f ( x, y)dx
数学分析选讲
多媒体教学课件
证明：作积分变换 x a( y ) t (b( y ) a( y )), 则
F ( y)
b( y )
a( y )
1
f ( x, y)dx
f (a( y ) t (b( y ) a( y )), y )(b( y ) a( y ))dt ,
多媒体教学课件
定理5设函数f(x,y)在矩形[a,b,c,d]上连续,,是

d
c
dy f ( x, y )dx dx f ( x, y )dy
b b d a a c

《数学分析》第十九章含参变量积分

由于f (x, y)在R上连续从而一致连续知
0, 0,(x1, y1), (x2, y2 ) R,当 x1 x2 , y1 y2 ,
有 f (x1, y1) f (x2, y2) .
故当x 时有
d
I(x x) - I(x) c f (x x, y) f (x, y)dy. d c dx (d c).
d
I(x) c f (x, y)dy, x [a,b]
称为含参量 x 的正常积分,或简称含参量积分.
类似地称
b
J ( y) a f (x, y) dx
为含参变量 y 的积分。
I ( y) 是一个由含参变量的积分所确定的函数，下面我
们研究这种函数的连续性，可微性与可积性。
2、含参量正常积分的性质:
F2( y0 )

lim
y y0
b( y) y

b( y0 ) y0

f
(x,
y)

b( y0 )
f
(b( y0 ),
y0 )
同样可以证明
定理证毕。
F3( y0 ) a( y0 ) f (a( y0 ), y0 )
例1:
求
1 dx
lim
0
1 x2 2.
I
' 2
(u)

d du
d
H (u, y)dy
c
d
c Hu (u, y)dy
d c
f (u, y)dy I (u).
从而I1'
(u
)

I
' 2
(u),

高等数学含参变量的积分

4
因此得
I ln 2
8
2020/8/2
重积分
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二、积分限含参变量的积分
在实际问题中, 常遇到积分限含参变量的情形, 例如,
设 f (x, y) 为定义在区域
(x) y (x)
D: axb
上的连续函数, 则
(x)
(x) f (x, y) d y ( x)
y y (x)
D
y (x)
oa
bx
也是参变量 x 的函数 , 其定义域为 [ a , b ] .
利用前面的定理可推出这种含参积分的性质.
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重积分
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定理4.(连续性) 若 f (x, y) 在区域
D :{(x, y) (x) y (x), a x b}
时, 求导与求积运算是可以交换顺序的 .
2020/8/2
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例1. 求 I 1 xb xa d x (0 a b). 0 ln x
解: 由被积函数的特点想到积分:
b a
xy d
y
xy ln x
b a
xb xa ln x
I
1
dx
b xy d y
a
D f (x, y) d x d y
推论: 在定理2 的条件下, 累次积分可交换求积顺序,
即
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定理3. (可微性) 若 f (x, y) 及其偏导数 fx (x, y) 都在
矩形域
R
[a,b][, ]上连续, 则(x)

11-3_含参变量广义积分讲解

d
d
d
g( y)dy dy f (x, y)dx dx f (x, y)dy 。
c
c
a
a
c
定理5：设函数 f (x, y) , f y (x, y) 在区域
{(x, y) | a x , c y d} 上连续且积分

g( y) f (x, y) dx
0
2 1t2
及 ue 1t2 u2 dt eu2 I 0
分别对于t 及u是连续的, 积分互换后的逐次积分显然存在.
于是,(1)式中的积分顺序可以互换, 且有
I 2

dt
0
ue 1t2 u2 du
0
1 2
dt 0 1t2
.
4
I 0, I ex2 dx .
则含参变量无穷积分

f (x, y)g(x, y)dx
a
在 Y 上一致收敛。
对任意项级数（阿贝尔判别法）
若序列an 单调有界，而级数

则级数 anbn 收敛。 n1

bn
n1
收敛，
对函数项级数（Abel 判别法）

若函数项级数 an (x)bn (x) 满足： n1
（1）函数序列an (x) 对于固定的 x X 关于n单调，
都有
f x, y dx A
,
则称含参变量的无穷积分

a
f

x,
y dx
在
Y上一致收敛.
命题: 设含参变量的无穷积分
f x, ydx
a
在 Y上
点点收敛, 若存在常数 l 0 , 不论 N 多么大,

含参变量的反常积分(精选)共54页PPT

26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
54
含参变量的反常积分（精选）
11、不为五斗米折腰。 12、芳菊开林耀，青松冠岩列。怀此贞秀姿，卓为霜下杰。
13、归去来兮，田蜀将芜胡不归。 14、酒能祛百虑，菊为制颓龄。 15、春蚕收长丝，秋熟靡王税。
▪

1含参变量的常义积分

同理可定义含参变量 x 的积分：
J ( x)
f ( x, y)dy ,
c
d
x [a , b]
一般就称为含参变量积分。它们统称为含参变量常义积分，
x2 y2 例如：计算椭圆 1 (b a 0)的周长。 2 2 a b
椭圆的参数方程： x a cos t , y b sin t ,
dI ( y ) dy

b
a
f y ( x , y )dx 。
定理3 的结论也可写成
d dy

b
a
f ( x , y )dx f ( x , y )dx 。 a y

b
说明求导运算和积分运算可以交换。
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定理4 设f ( x, y ), f y ( x, y )都在闭矩形 [a, b] [c, d ]上连续 ,
例3 解
设F ( y )

y
0
ln(1 xy) dx, y 0, 求F ( y )。 x
y
F ( y )

0
1 ln(1 y 2 ) dx 1 xy y
ln(1 xy) y ln(1 y 2 ) 0 y y 2 ln(1 y 2 ) y
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1 I ( )

0
1 dx 1 cos x
x 对最后一个积分作万代能换 t tan ， 2

0
1 dx 1 cos x

2dt 1 t 2 (1 t 2 )

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1 0
d 1 2
,
即 I I ln 2 ln 2 I ln 2 .
2 44 2
42
从而
I ln 2.
8
小结
1、含参变量的积分所确定的函数的定义； 2、含参变量的积分所确定的函数的连续性； 3、含参变量的积分所确定的函数的微分； 4、莱布尼茨公式及其应用.
练习题
一、求下列含参变量的积分所确定的函数的极限：
当 x 0 时，（4）式右端的前两个积分都趋于零. 于是，当 x 0 时，
( x x) ( x) 0 (a x b),
所以函数 ( x) 在 [a,b]上连续.
定理得证
9.6.2 含参变量的函数的微分
下面考虑由积分(*)确定的函数 ( x) 的微分问题.
定理4 如果函数 f ( x, y)及其偏导数 f ( x, y) 都在 x
0
求 F ( x)．
四、计算积分：I
2 ln
1 a cos x
dx
( a 1).
0 1 a cos xy cos x
练习题答案
一、 1． ; 4
2． 8 . 3
二、 1． 2 ln(1 x2 ); x
2． 2 xe x5 e x3 x2 y2e xy2 dy. x
三、 3 f ( x) 2xf ( x)．
矩形 R(a x b, y )上连续,那么由积分(1) 确定的函数 ( x) 在[a,b]上可微分,并且
( x)
d
dx
f
( x,
y)dy
f
( x, x
y) dy.
(5)
证因为 ( x) lim ( x x) ( x) ,
x0
x
为了求 ( x)，先利用公式(1)作出增量之比
( x)
x2
sin x2
sin x2
cos xydy
2x
1
x
x2
x
sin xy x2 x x
2sin x
x3
sin x2 x
3sin x3 2sin x2 . x
例2
求I
1 xb xa dx
0 ln x
(0 a b).
解
b
x ydy
a
[
x ln
y
y
]b a
xb xa ln x
公式（2）也可写成
b
b
a dx f ( x, y)dy dya f ( x, y)dx.
(2)
我们在实际中还会遇到对于参变量 x的不同的值，
积分限也不同的情形，这时积分限也是参变量 x的函
数.这样,积分
x
x
x
f
x,
y dy
3
也是参变量 x 的函数.下面我们考虑这种更为广泛地
依赖于参变量的积分的某些性质.
这个积分的值依赖于取
定的 x 值. 当 x 的值改变时,一般来说这个积分的值也
跟着改变. 这个积分确定一个定义在[a, b]上的 x的函
数, 我们把它记作 ( x), 即
x
f
x,
ydy
(a x b).
()
这里变量 x 在积分过程中是一个常量，通常称它为
参变量.
定理1 如果函数 f ( x, y)在矩形
四、 arcsin a.
b
a
(
x
)dx
b
a [
f (x,
y)dy]dx
b
a dx f ( x, y)dy.
右端积分式函数 f ( x, y) 先对 y 后对 x 的二次积分.
定理2 如果函数 f ( x, y)在矩形
R(a x b, y )
上连续,则
b
b
a [ f ( x, y)dy]dx [a f ( x, y)dx]dy. (2)
( x x) ( x)
x
f ( x x, y) x
f ( x, y)dy.
由拉格朗日中值定理，以及 f 的一致连续性，我们有
x
f ( x x, y) f ( x, y) f ( x x, y)
x
x
f ( x, y) ( x, y, x), (6)
x
其中 0 1，可小于任意给定的正数，只要
,
1
b
I dx x ydy.
0
a
这里函数 f ( x, y) x y 在矩形
R(0 x 1,0 a y b)
上连续，根据定理2，可交换积分次序，由此有
I
b
1
dy x ydy
a
0
b a
x y1 y 1
1
dy
0
b1
b1
dy ln .
a y1
a1
例3
计算定积分 I
x ( x)
类似地可证,当 x 0 时,
1 ( xx) f ( x x, y)dy f [ x, ( x)] ( x).
x ( x) 因此，令 x 0 ，取(8)式的极限便得公式(7).
公式(7)称为莱布尼茨公式.
例1
设( x)
x2
x
sin xy dy, y
求
( x).
解应用莱布尼茨公式，得
dy
dx ( x )
( x) x
f [ x, ( x)] ( x) f [ x, ( x)] ( x). (7)
证由(4)式有
( x
x) ( x) x
( x)
( x )
f
(x
x, y) x
f (x,
y) dy
1
( xx )
f ( x x, y)dy
x ( x)1 ( x) f ( x 源自, y)dy.x ( xx )
(8)
当 x 0 时，上式右端的第一个积分的积分限
不变，则
( x) f ( x x, y) f ( x, y)dy
( x) f ( x, y) dy.
(x)
x
( x ) x
对于(8)右端的第二项，应用积分中值定理得
1
( xx )
f ( x x, y)dy
x ( x)
定理3 如果函数 f ( x, y)在矩形
R(a x b, y ) 上连续，又函数 ( x)与 ( x)在区间 [a,b]上连续，
并且 ( x) , ( x) (a x b),
则由积分（3）确定的函数 ( x)在 [a,b]上也连续.
证设 x 和 x x是[a,b]上的两点，则
R(a x b, b )
上连续，那么由积分
(
x
)
f
(
x,
y)dy
(a
x b)
确定的函数 ( x)在 [a, b]上也连续.
证设 x 和 x x 是[a,b]上的两点，则
( x x) ( x)
[ f ( x x, y) f ( x, y)]dy. (1)
由于 f ( x, y)在闭区域 R上连续，从而一致连续.
1 ln(1 x)
0 1 x2 dx.
解考虑含参变量的积分所确定的函数
(
)
1
0
ln(1 x
1 x2
)
dx.
显然， (0) 0, (1) I . 根据公式(5)得
(
)
1
0 (1
x
x)(1
x2
)
dx.
把被积函数分解为部分分式,得到
x
1 [ x ].
(1 x)(1 x2 ) 1 2 1 x 1 x2 1 x2
( x) f ( x x, y)dy M ( x x) ( x) ,
( xx )
( x) f ( x x, y)dy M ( x x) ( x) . ( xx )
其中 M是 f ( x, y) 在矩形 R上的最大值. 根据 ( x)
与 ( x) 在 [a,b]上连续的假定，由以上两式可见，
于是
( )
1 1 dx 1 xdx 1 dx
[
]
1 2 0 1 x 0 1 x2 0 1 x2
1 [ ln(1 ) 1 ln 2 ],
12
2
4
上式在 [0,1]上对积分,得到
(1) (0)
1 0
ln(1 1
) 2
d
1 ln 2
2
1
01
d 2
4
x 时,就有
f ( x x, y) f ( x, y) .
于是由（1）式有
( x x) ( x)
f ( x x, y)
f ( x, y)dy ( ).
所以 ( x) 在 [a,b]上连续.
定理得证
注既然函数 ( x) 在[a,b]上连续,那么它在 [a,b]上
的积分存在,这个积分可以写为
因此对于任意取定的 0 ,存在 0,使得对于 R内
的任意两点( x1, y1 ) 及( x2 , y2 ) ,只要它们之间的距离小于 ,即
就有
( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ,
f ( x2 , y2 ) f ( x1, y1 ) .
因为点( x x, y)与 ( x, y) 的距离等于 x ,所以当
9.6 含参变量积分的连续性
9.6.1含参变量积分的连续性
设函数 f ( x, y) 是在矩形R(a x b, b )
上的连续函数. 在[a, b]上任意确定x 的一个值, 于是
f ( x, y) 是变量 y 在[ , ]上的一个一元连续函数,
从而积分
f ( x, y)dy 存在,
x 小于某个正数 . 因此
(
x,
y, x )dy