含参变量的常义积分

I ( y ) = ∫ f ( x , y )dx
a
b
上连续. 在[ c , d ]上连续 上连续 证 设 y ∈ [ c , d ], 对充分小的 ∆y , 有y + ∆y ∈ [c , d ](若 y 为区间的端点, 则仅考虑 ∆ y > 0 或 ∆ y < 0 ), 于是 为区间的端点,
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
( x1 , y1 ) 与 ( x2 , y2 ) ， 只要
| x1 − x2 | < δ , | y1 − y2 | < δ ,
就有
| f ( x1 , y1 ) − f ( x2 , y2 ) | < ε .
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
数在闭区间 [ c ( x ), d ( x ) ]上可积 则其积分值 上可积,
F ( x) = ∫
d ( x)
c( x )
f ( x , y )dy , x ∈ [ a , b]
(2)
是定义在 [ a , b ] 上的函数 上的函数. 用积分形式 (1) 和 (2) 所定义的这函数 I ( y ) 与 F ( x ) 分别称为定义在[c, 与 分别称为定义在 d]与[a, b] 上的含参变量 y 与 x 的 简称为含参变量的积分 含参变量的积分. (正常)积分, 或简称为含参变量的积分. 正常)积分,
[a , b ] × [ c , d ] 上 连 续 可 改 为 在 [a , b ] × ∆ 上 连 续 , 其 中
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
其值含于[ 内的可微函数, 其值含于 a, b]内的可微函数 则函数 内的可微函数
F ( y) = ∫
在 [ a , b]上可微 且 上可微,
b( y )
a( y)
f ( x , y )dx
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
d
J ( x ) = ∫ f ( x , y )dy
c
上连续. 在[a ,b ]上连续. 上连续 注1 对于定理 的结论也可以写成如下的形式 对于定理1 的结论也可以写成如下的形式:
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
由微分学的Lagrange中值定理，得 中值定理， 由微分学的 中值定理
b I ( y + ∆y ) − I ( y ) = ∫ f y ( x , y + θ ∆y )dx (0 < θ < 1) a ∆y 的连续性及定理1， 再由 f y ( x , y ) 的连续性及定理 ，令 ∆y → 0, 得
微性
定理 3 ( I ( y ) 的可微性 ) 若函数 f ( x , y )与其偏导 数 f y ( x , y ) 都在矩形区域 R = [a , b] × [c , d ] 上连续, 上连续, 则函数
I ( y ) = ∫ f ( x , y )dx
一、含参量正常积分的定义
设 f ( x , y )是定义在矩形区域 R = [ a , b] × [ c , d ] 上的 二元函数. 二元函数.当 y 取[c , d ] 上的定值时,函数 f ( x , y ) 是 上的定值时, 定义在 [ a , b] 上以 x 为自变量的一元函数 倘若这时 为自变量的一元函数.
f ( x , y ) 在 [a , b] 上可积 则其积分值 上可积,
I ( y ) = ∫ f ( x , y )dx , y ∈ [c , d ]
a
b
(1)
上的函数. 是定义在 [ c , d ]上的函数
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
为任意区间(开的 闭的、半开半闭的、 开的、 ∆ 为任意区间 开的、闭的、半开半闭的、有限或 无限的). 无限的 .
定理2 定理2 ( F ( x )的 连 续 性 ) 若二元函数 f ( x , y ) 在区 域 G = {( x , y ) | c ( x ) ≤ y ≤ d ( x ) , a ≤ x ≤ b}上连续, 其 上连续 中c(x), d(x)为[ a , b] 上的连续函数 则函数 为 上的连续函数,
I ( y + ∆y ) − I ( y ) = ∫ [ f ( x , y + ∆y ) − f ( x , y )] dx ,
a
b
由于 f ( x , y ) 在有界闭区域 R上连续 从而一致连续 上连续, 上连续 从而一致连续, 即对任意 ε > 0 , 总存在 δ > 0 , 对R内任意两点 内任意两点
a
b
在[ c , d ]上可微 且 上可微,
b b ∂ d b ∫a f ( x , y )dx = ∫a f y ( x , y )dx = ∫a ∂y f ( x , y )dx . dy
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
0
由于被积函数
f ( x , c ( x ) + t ( d ( x ) − c ( x )))( d ( x ) − c ( x ))
在矩形区域 [ a , b] × [0 ,1]上连续, 由定理 得函数 上连续, 由定理1
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
F ( x) = ∫
d( x)
c( x)
f ( x , y )dy
在[ a , b]上连续(教材上的定理3). 上连续(教材上的定理3). 证 (与教材证明方法不同) 令 教材证明方法不同)
y = c( x ) + t ( d ( x ) − c ( x )) .
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
证 对于 [c , d ] 内任意一点 y, 设 y + ∆y ∈ [c , d ] (若 y 为 若 区间的端点, 则讨论单侧函数), 则 区间的端点 则讨论单侧函数
b f ( x , y + ∆y ) − f ( x , y ) I ( y + ∆y ) − I ( y ) =∫ dx . a ∆y ∆y
若 f ( x , y )在矩形区域 R 上连续,则对任何 上连续,
x0 ∈ [a , b] , 都有
lim ∫ f ( x , y )dx = ∫ lim f ( x , y )dx .
y → y0 a a y → y0
b
b
这个结论表明,定义在矩形区域上的连续函数, 这个结论表明,定义在矩形区域上的连续函数,其极 限运算与积分运算的顺序是可以交换的 顺序是可以交换的. 限运算与积分运算的顺序是可以交换的. 注2 由于连续性是局部性质 定理 中条件 f 在 由于连续性是局部性质, 定理1
对多元函数其中的一个自变量进行积分 形成的函数称为含参量积分, 它可用来构造 新的非初等函数. 含参量积分包含正常积分 和非正常积分两种形式.
一、含参变量正常积分的定义 二、含参变量正常积分的连续性 三、含参变量正常积分的可微性 四、含参变量正常积分的可积性
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
所以, 所以 当 | ∆y | < δ 时,
| I ( y + ∆ y ) − I ( y ) | ≤ ∫ | f ( x , y + ∆ y ) − f ( x , y ) | dx
a
b
< ∫ ε dy = ε ( b − a ).
a
b
上连续. 即 I (y) 在[c , d ] 上连续 上连续, 上连续 同理可证: 同理可证: 若 f ( x , y )在矩形区域 R上连续,则含参 量 x 的积分
G
y = c(x)
O
a x
b x
图1 含参变量的积分示意图
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞