算法导论第二十三章答案
算法导论课程作业答案
算法导论课程作业答案Introduction to AlgorithmsMassachusetts Institute of Technology 6.046J/18.410J Singapore-MIT Alliance SMA5503 Professors Erik Demaine,Lee Wee Sun,and Charles E.Leiserson Handout10Diagnostic Test SolutionsProblem1Consider the following pseudocode:R OUTINE(n)1if n=12then return13else return n+R OUTINE(n?1)(a)Give a one-sentence description of what R OUTINE(n)does.(Remember,don’t guess.) Solution:The routine gives the sum from1to n.(b)Give a precondition for the routine to work correctly.Solution:The value n must be greater than0;otherwise,the routine loops forever.(c)Give a one-sentence description of a faster implementation of the same routine. Solution:Return the value n(n+1)/2.Problem2Give a short(1–2-sentence)description of each of the following data structures:(a)FIFO queueSolution:A dynamic set where the element removed is always the one that has been in the set for the longest time.(b)Priority queueSolution:A dynamic set where each element has anassociated priority value.The element removed is the element with the highest(or lowest)priority.(c)Hash tableSolution:A dynamic set where the location of an element is computed using a function of the ele ment’s key.Problem3UsingΘ-notation,describe the worst-case running time of the best algorithm that you know for each of the following:(a)Finding an element in a sorted array.Solution:Θ(log n)(b)Finding an element in a sorted linked-list.Solution:Θ(n)(c)Inserting an element in a sorted array,once the position is found.Solution:Θ(n)(d)Inserting an element in a sorted linked-list,once the position is found.Solution:Θ(1)Problem4Describe an algorithm that locates the?rst occurrence of the largest element in a?nite list of integers,where the integers are not necessarily distinct.What is the worst-case running time of your algorithm?Solution:Idea is as follows:go through list,keeping track of the largest element found so far and its index.Update whenever necessary.Running time isΘ(n).Problem5How does the height h of a balanced binary search tree relate to the number of nodes n in the tree? Solution:h=O(lg n) Problem 6Does an undirected graph with 5vertices,each of degree 3,exist?If so,draw such a graph.If not,explain why no such graph exists.Solution:No such graph exists by the Handshaking Lemma.Every edge adds 2to the sum of the degrees.Consequently,the sum of the degrees must be even.Problem 7It is known that if a solution to Problem A exists,then a solution to Problem B exists also.(a)Professor Goldbach has just produced a 1,000-page proof that Problem A is unsolvable.If his proof turns out to be valid,can we conclude that Problem B is also unsolvable?Answer yes or no (or don’t know).Solution:No(b)Professor Wiles has just produced a 10,000-page proof that Problem B is unsolvable.If the proof turns out to be valid,can we conclude that problem A is unsolvable as well?Answer yes or no (or don’t know).Solution:YesProblem 8Consider the following statement:If 5points are placed anywhere on or inside a unit square,then there must exist two that are no more than √2/2units apart.Here are two attempts to prove this statement.Proof (a):Place 4of the points on the vertices of the square;that way they are maximally sepa-rated from one another.The 5th point must then lie within √2/2units of one of the other points,since the furthest from the corners it can be is the center,which is exactly √2/2units fromeach of the four corners.Proof (b):Partition the square into 4squares,each with a side of 1/2unit.If any two points areon or inside one of these smaller squares,the distance between these two points will be at most √2/2units.Since there are 5points and only 4squares,at least two points must fall on or inside one of the smaller squares,giving a set of points that are no more than √2/2apart.Which of the proofs are correct:(a),(b),both,or neither (or don’t know)?Solution:(b)onlyProblem9Give an inductive proof of the following statement:For every natural number n>3,we have n!>2n.Solution:Base case:True for n=4.Inductive step:Assume n!>2n.Then,multiplying both sides by(n+1),we get(n+1)n!> (n+1)2n>2?2n=2n+1.Problem10We want to line up6out of10children.Which of the following expresses the number of possible line-ups?(Circle the right answer.)(a)10!/6!(b)10!/4!(c) 106(d) 104 ·6!(e)None of the above(f)Don’t knowSolution:(b),(d)are both correctProblem11A deck of52cards is shuf?ed thoroughly.What is the probability that the4aces are all next to each other?(Circle theright answer.)(a)4!49!/52!(b)1/52!(c)4!/52!(d)4!48!/52!(e)None of the above(f)Don’t knowSolution:(a)Problem12The weather forecaster says that the probability of rain on Saturday is25%and that the probability of rain on Sunday is25%.Consider the following statement:The probability of rain during the weekend is50%.Which of the following best describes the validity of this statement?(a)If the two events(rain on Sat/rain on Sun)are independent,then we can add up the twoprobabilities,and the statement is true.Without independence,we can’t tell.(b)True,whether the two events are independent or not.(c)If the events are independent,the statement is false,because the the probability of no rainduring the weekend is9/16.If they are not independent,we can’t tell.(d)False,no matter what.(e)None of the above.(f)Don’t know.Solution:(c)Problem13A player throws darts at a target.On each trial,independentlyof the other trials,he hits the bull’s-eye with probability1/4.How many times should he throw so that his probability is75%of hitting the bull’s-eye at least once?(a)3(b)4(c)5(d)75%can’t be achieved.(e)Don’t know.Solution:(c),assuming that we want the probability to be≥0.75,not necessarily exactly0.75.Problem14Let X be an indicator random variable.Which of the following statements are true?(Circle all that apply.)(a)Pr{X=0}=Pr{X=1}=1/2(b)Pr{X=1}=E[X](c)E[X]=E[X2](d)E[X]=(E[X])2Solution:(b)and(c)only。
算法设计与分析习题解答
算法设计与分析习题解答第一章作业1.证明下列Ο、Ω和Θ的性质1）f=Ο(g)当且仅当g=Ω(f)证明：充分性。
若f=Ο(g)，则必然存在常数c1>0和n0，使得?n≥n0，有f≤c1*g(n)。
由于c1≠0，故g(n) ≥ 1/ c1 *f(n)，故g=Ω(f)。
必要性。
同理，若g=Ω(f)，则必然存在c2>0和n0，使得?n≥n0，有g(n) ≥ c2 *f(n).由于c2≠0，故f(n) ≤ 1/ c2*f(n)，故f=Ο(g)。
2）若f=Θ(g)则g=Θ(f)证明：若f=Θ(g)，则必然存在常数c1>0，c2>0和n0，使得?n≥n0，有c1*g(n) ≤f(n) ≤ c2*g(n)。
由于c1≠0，c2≠0，f(n) ≥c1*g(n)可得g(n) ≤ 1/c1*f(n)，同时，f(n) ≤c2*g(n)，有g(n) ≥ 1/c2*f(n)，即1/c2*f(n) ≤g(n) ≤ 1/c1*f(n)，故g=Θ(f)。
3）Ο(f+g)= Ο(max(f,g))，对于Ω和Θ同样成立。
证明：设F(n)= Ο(f+g)，则存在c1>0，和n1，使得?n≥n1，有F(n) ≤ c1 (f(n)+g(n))= c1 f(n) + c1g(n)≤ c1*max{f,g}+ c1*max{f,g}=2 c1*max{f,g}所以，F(n)=Ο(max(f,g))，即Ο(f+g)= Ο(max(f,g))对于Ω和Θ同理证明可以成立。
4）log(n!)= Θ(nlogn)证明：由于log(n!)=∑=ni i 1log ≤∑=ni n 1log =nlogn ，所以可得log(n!)= Ο(nlogn)。
由于对所有的偶数n 有，log(n!)= ∑=ni i 1log ≥∑=nn i i 2/log ≥∑=nn i n 2/2/log ≥(n/2)log(n/2)=(nlogn)/2-n/2。
藏书阁-《算法导论》常见算法总结
常见算法总结分治法分治策略的思想：顾名思义，分治是将一个原始问题分解成多个子问题，而子问题的形式和原问题一样，只是规模更小而已，通过子问题的求解，原问题也就自然出来了。
总结一下，大致可以分为这样的三步：分解：将原问题划分成形式相同的子问题，规模可以不等，对半或2/3对1/3的划分。
解决：对于子问题的解决，很明显，采用的是递归求解的方式，如果子问题足够小了，就停止递归，直接求解。
合并：将子问题的解合并成原问题的解。
这里引出了一个如何求解子问题的问题，显然是采用递归调用栈的方式。
因此，递归式与分治法是紧密相连的，使用递归式可以很自然地刻画分治法的运行时间。
所以，如果你要问我分治与递归的关系，我会这样回答：分治依托于递归，分治是一种思想，而递归是一种手段，递归式可以刻画分治算法的时间复杂度。
所以就引入本章的重点：如何解递归式？分治法适用的情况分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：1. 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决2. 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。
3. 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；4. 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。
第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；、第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。
第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。
——————————————————————————————最大堆最小堆1、堆堆给人的感觉是一个二叉树，但是其本质是一种数组对象，因为对堆进行操作的时候将堆视为一颗完全二叉树，树种每个节点与数组中的存放该节点值的那个元素对应。
算法导论参考问题详解
第二章算法入门由于时间问题有些问题没有写的很仔细，而且估计这里会存在不少不恰当之处。
另，思考题2-3 关于霍纳规则，有些部分没有完成，故没把解答写上去，我对其 c 问题有疑问，请有解答方法者提供个意见。
给出的代码目前也仅仅为解决问题，没有做优化，请见谅，等有时间了我再好好修改。
插入排序算法伪代码INSERTION-SORT(A)1 for j ←2 to length[A]2 do key ←A[j]3 Insert A[j] into the sorted sequence A[1..j-1]4 i ←j-15 while i > 0 and A[i] >6 do A[i+1]←A[i]7 i ←i − 18 A[i+1]←keyC#对揑入排序算法的实现:public static void InsertionSort<T>(T[] Input) where T:IComparable<T>{T key;int i;for (int j = 1; j < Input.Length; j++){key = Input[j];i = j - 1;for (; i >= 0 && Input[i].CompareTo(key)>0;i-- )Input[i + 1] = Input[i];Input[i+1]=key;}}揑入算法的设计使用的是增量（incremental）方法：在排好子数组A[1..j-1]后，将元素A[ j]揑入，形成排好序的子数组A[1..j]这里需要注意的是由于大部分编程语言的数组都是从0开始算起，这个不伪代码认为的数组的数是第1个有所丌同，一般要注意有几个关键值要比伪代码的小1.如果按照大部分计算机编程语言的思路，修改为：INSERTION-SORT(A)1 for j ← 1 to length[A]2 do key ←A[j]3 i ←j-14 while i ≥ 0 and A[i] >5 do A[i+1]←A[i]6 i ←i − 17 A[i+1]←key循环丌变式(Loop Invariant)是证明算法正确性的一个重要工具。
中科大算法导论第一,二次和第四次作业答案
2.2-3 再次考虑线性查找问题 （见练习2.1-3）。在平均情况 下，需要检查输入序列中的多 少个元素？假定待查找的元素 是数组中任何一个元素的可能 性是相等的。在最坏情况下有 怎样呢？用Θ形式表示的话，线 性查找的平均情况和最坏情况 运行时间怎样？对你的答案加 以说明。 • 线性查找问题 • 输入：一列数A=<a1,a2,…,an>和一 个值v。 • 输出：下标i，使得v=A[i]，或者当 v不在A中出现时为NIL。 • 平均情况下需要查找 (1+2+…+n)/n=(n+1)/2 • 最坏情况下即最后一个元素为待 查找元素，需要查找n个。 • 故平均情况和最坏情况的运行时 间都为Θ(n)。
• 2.3-2改写MERGE过程，使之不使 用哨兵元素，而是在一旦数组L或R 中的所有元素都被复制回数组A后， 就立即停止，再将另一个数组中 余下的元素复制回数组A中。 • MERGE(A,p,q,r) 1. n1←q-p+1 2. n2 ←r-q 3. create arrays L[1..n1] and R[1..n2] 4. for i ←1 to n1 5. do L*i+ ←A*p+i-1] 6. for j ←1 to n2 7. do R*j+ ←A*q+j+ 8. i ←1 9. j ←1
10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.
k ←p while((i<=n1) and (j<=n2)) do if L[i]<=R[j] do A[k]=L[i] i++ else do A[k]=R[j] j++ k++ while(i<=n1) do A[k++]=L[i++] while(j<=n2) do A[k++]=R[j++]
《算法导论(第二版)》(中文版)课后答案
17.3-1
11
《算法导论（第二版） 》参考答案
17.3-4
17.4-3 假设第 i 个操作是 TABLE_DELETE, 考虑装载因子 : i =(第 i 次循环之后的表 中的 entry 数)/(第 i 次循环后的表的大小)= numi / sizei
19.1-1. If x is not a root node, then Degree[x]=Degree[sibling[x]]+1 If x is a root node, then Degree[x]<Degree[sibling[x]] 19.1-2
13.1-5 prove:
3
《算法导论（第二版） 》参考答案 13.1-6 2k-1 22k-1 13.2-3 13.3-5
13.4-3
4
《算法导论（第二版） 》参考答案
14.1-4
14.2-2
14.2-3 不可以，性能改变 时间复杂度由 O( lgn ) -> O( nlgn )
14.3-2 Note: 注意 Overlap 的定义稍有不同，需要重新定义。 算法：只要将 P314 页第三行的 改成>就行。 14.3-3 INTERVAL-SEARCH-SUBTREE(x, i) 1 while x ≠ nil[T] and i does not overlap int[x] 2 do if left[x] ≠ nil[T] and max[left[x]] ≥ low[i] 3 then x ← left[x] 4 else x ← right[x] 5 return x INTERVAL-SEARCH-MIN(T, i) 2 y←INTERVAL-SEARCH-SUBTREE(root[T], i) 先找第一个重叠区间 3 z←y 4 while y≠ nil[T] and left[y] ≠ nil[T] 在它的左子树上查找
(完整版)算法导论复习要点
一、基础知识部分1. 算法的复杂性有时间复杂性和空间复杂性之分。
2. 算法是由若干条指令组成的有穷序列，且要满足输入、输出、确定性和有限性四条性质。
3. 快速排序算法是基于分治策略的一种排序算法。
4. 矩阵连乘问题的算法可由动态规划设计实现。
5、算法是指解决问题的一种方法或一个过程。
6、从分治法的一般设计模式可以看出，用它设计出的程序一般是递归算法。
7、问题的最优子结构性质是该问题可用动态规划算法或贪心算法求解的关键特征。
8、贪心选择性质是贪心算法可行的第一个基本要素，也是贪心算法与动态规划算法的主要区别。
9. 贪心算法的基本要素是贪心选择质和最优子结构性质。
10. 动态规划算法的两个基本要素是最优子结构性质和重叠子问题性质。
11、合并排序算法是利用（A ）实现的算法A、分治策略B、动态规划法C、贪心法D、回溯法12、下列不是动态规划算法基本步骤的是（ A ）。
A、找出最优解的性质B、构造最优解C、算出最优解D、定义最优解13．下列算法中通常以自底向上的方式求解最优解的是（ B ）。
A、备忘录法B动态规划法C、贪心法D回溯法14. 备忘录方法是那种算法的变形。
（B ）A、分治法B动态规划法C、贪心法D回溯法15．最长公共子序列算法利用的算法是（ B ）。
A、分支界限法B动态规划法C贪心法D回溯法16．贪心算法与动态规划算法的主要区别是（ B ）。
A、最优子结构B、贪心选择性质C、构造最优解D、定义最优解17. （D ）是贪心算法与动态规划算法的共同点。
A、重叠子问题B、构造最优解C、贪心选择性质D最优子结构性质18. 矩阵连乘问题的算法可由（B ）设计实现。
A、分支界限算法 B 、动态规划算法C、贪心算法D、回溯算法19、使用分治法求解不需要满足的条件是（ A ）。
A 子问题必须是一样的B 子问题不能够重复C 子问题的解可以合并D 原问题和子问题使用相同的方法解20．下列是动态规划算法基本要素的是（ D ）。
算法导论32章答案
算法导论32章答案32 String Matching32.1-2Suppose that all characters in the pattern P are different. Show how to accelerate NAIVE-STRING-MATCHER to run in timeO.n/ on an n-character text T.Naive-Search(T,P)for s = 1 to n – m + 1j = 0while T[s+j] == P[j] doj = j + 1if j = m return ss = j + s;该算法实际只是会扫描整个字符串的每个字符⼀次，所以其时间复杂度为O(n).31.1-3Suppose that pattern P and text T are randomly chosen strings of length m and n, respectively, from the d-ary alphabet ∑d ={0,1,2,..,d-1},where d ≧ 2.Show that the expected number of character-to-character comparisons made by the implicit loop inline 4 of the naive algorithm isover all executions of this loop. (Assume that the naive algorithm stops comparing characters for a given shift once it finds amismatch or matches the entire pattern.) Thus, for randomly chosen strings, the naive algorithm is quite efficient.当第4⾏隐含的循环执⾏i次时，其概率P为：P = 1/K i-1 * (1-1/k), if i < mP = 1/K m-1 * (1-1/k) + 1/K m , if i = m可以计算每次for循环迭代时，第4⾏的循环的平均迭代次数为：[1*(1-1/k)+2*(1/K)*(1-1/k)+3*(1/k2)(1-1/k)+…+(m-1)*(1-k m-2)(1-1/k) +m*(1/k m-1)(1-1/k) + m*(1/k m)]= 1 - 1/k + 2/k - 2/k2 + 3/k2 - 3/k3 +...+ m/k m-1 - m/k m + m/k m= 1 + 1/k + 1/k2 +...+ 1/k m-1= (1 - 1/K m) / (1 - 1/k)≤ 2所以，可知，第4⾏循环的总迭代次数为：(n-m+1) * [(1-1/K m) / (1-1/k)] ≤ 2 (n-m+1)31.1-4Suppose we allow the pattern P to contain occurrences of a gap character } that can match an arbitrary string of characters(even one of zero length). For example, the pattern ab}ba}c occurs in the text cabccbacbacab asand asNote that the gap character may occur an arbitrary number of times in the pattern but not at all in the text. Give a polynomial-time algorithm to determine whether such a pattern P occurs in a given text T, and analyze the running time of your algorithm.该算法只是要求判断是否模式P出现在该字符串中，那么问题被简化了许多。