信号与系统(陈生潭)习题答案1-4章部分1

信号与系统(陈生潭)习题答案1-4章部分1

第一章，

第二章，

第三章，

第四章，

第一章：

1．找两个表示信号的例子,并指出信号表示的信息(消息)。

1.1(1),

1.1(5),

1.1(9);

1.2(4),

1.2(6) ;

1.3(a);

1()(1)0.5*() 2.5*(1)(3)

f t t t t t εεεε=++--+-

1.4(6), (1)

6

()j t f t e

π-=， 周期信号，周期为

22T ππ==

1.5(10);

1.6(4);

1.11(3),

[]00

000()()()()1j t j t j t j t j t e t t t dt

e t dt e t t dt e e e ωωωωωδδδδ∞--∞

∞

∞

---∞

-∞

----=--=-=-?

??

1.11(7) 22

21(1)()(1)()21/22(1)()2()2

t t t dt t t t dt t t t dt t dt

δδδδ∞

∞-∞-∞∞∞

-∞

-∞

++=++=++==????

1.11(8)

()()2

2

1()2

12()2()2()

t

t

t

x

x x dx x x x dx

x dx t δδδε-∞

-∞

-∞

++=++==??? 1.17(a) 解：设左边加法器的输出为'

()x t ，则积分

器的输出为()x t 。根据两个加法器的输入输出关系，可以得到

''

()()3()()()2()

x t f t x t y t x t x t =-=+

因此

"'''"''''''''()()3()()()2()

()3()2(()3())()2()3(()2())()2()3()()3()()2()

x t f x x t y t x t x t f x x t f t x t f x f t x t x t f x f t y t y t y t f t f t =-=+=-+-=+-+=+-∴+=+

1．17(b)

"'"

'

()()3()2()()3()2()()

y t f t y t y t y t y t y t f t =--?++=

1.17(c) 解：设左边加法器的输出为()x k ，则

()()(1)

x k f k ax k =--

（1）

()()(1)

y k x k bx k =+-

（2）

由 式（1）和（2）

(1)(1)(2)

(1)(1)(2)x k f k ax k y k x k bx k -=----=-+- 因此

[][]()()(1)(1)(2)()(1)(1)(2)()(1)(1)

y k f k ax k b f k ax k f k bf k a x k bx k f k bf k ay k =--+---=+---+-=+---

即

()(1)()(1)

y k ay k f k bf k +-=+-

1．17(d)

()4[()2(1)3(2)]5[(1)2(2)3(3)]

6[(1)2(3)3(4)]

4()5(1)6(1)

2[4(1)5(2)6(3)]

3[4(2)5(3)6(4)]

4()5(1)6(2)2(1)3(2)

y k f k x k x k f k x k x k f k x k x k f k f k f k x k x k x k x k x k x k f k f k f k y k y k =+-----+---+-+---=--+-+---+-----+-=--+-+---

所以，输入输出方程是

()2(1)3(2)4()5(1)6(2)

y k y k y k f k f k f k --+-=--+-

1.18 是否为线性系统

(1)否; 零输入响应2

()x t 为非线性响应，零输入响

应和零状态响应也不是和的关系。 (2)否;零状态响应2

()

f t 为非线性响应。 (3)否;

(4)是；

1.19 解：

(1) 线性、时不变、因果、稳定;

(2) 非线性（零输入响应1

2

(0)(0)x x 为非线性响应）、

时不变、因果、不稳定（响应中0

()t f d ττ?，例如

信号()()f t t ε=时，随时间增长变为无穷大。）; (3) 非线性（输出响应sin[()]f t 为非线性响应）、时

不变、因果、稳定;

(4) 线性、时变（响应(2)f t 和初始时间有关系）、

非因果（响应(1)f t +，0t =时刻的响应和之后的时刻1t =有关系）、稳定;

(5) 非线性（响应()(2)f k f k -为非线性响应）、时不

变、因果、稳定; (6) 线性、时变（响应

11(0)2k

x ??

???

为和初始时刻有关

系的响应）、非因果（响应(1)(2)k f k -+，0k =时刻的响应和之后的时刻2k =有关系）、不稳定（响应中(1)(2)k f k -+，例如信号()()f k k ε=时，随k 增长变为无穷大。）;

1.21 解：零输入线性，包括零输入齐次性和零

输入可加性。因为激励()0f t =，故系统零状态响应()0

f

y

t =。对于零输入响应，已知

312

1

(0)1,

(0)0()23,0t

t

x x x y t e e t --

--==→=+≥

3122(0)0,(0)1()42,0

t t x x x y t e e t ----==→=-≥ 根据零输入线性，可得

12123(0)5,(0)3()5()3()

229,0

x x x t t

x x y t y t y t e e t ----==→=+=+≥

响应；3()()229,0

t

t x

y t y t e

e t --==+≥

1.23 解： 设初始状态1

2

(0)1,(0)2x x -

-

==时，系统的零

输入响应为1

()x y t ；输入()()f t t ε=时，系统的零状

态响应为 1

()f y t ，则有

11231231()()65()3()87t t

x f t t x f y t y t e e y t y t e e

----?+=-??+=-??

联立，解方程组得

12312354t t x t t f y e e y e e

----?=-??=-??

根据系统的线性特性，求得 （1）

23154,0

t t x x y y e e t --==-≥

（2）输入为()2()f t t ε=时的零状态响应

1

2322(),0t

t

f

f y y e e t --==-≥

# 离散信号()f n ： # (3)()()(3)t t t t εεεε-=-- # )

()()()(0

2t d d e d e t

t

t

εττδττδττδτ

===?

??∞

-∞

-∞

--

1.4(6), (1)

6

()j t f t e

π-=， 周期信号，周期为2

2T ππ==

# 系统结构框图如图所示，该系统的单位冲激响应h(t) 满足的方程式为dh t dt h t t ()()()+=δ

)()()

()()()()()();()()

()()()()()()()()()

()()()()('''''t t h dt

t dh t t h t h t t x t h t y t x t y t y t y t x t s t x t s t y t s t y t s t x t s δδδ=+=+===+-=-===-=代入

第二章：

2.3（3）()4

3

4

()()()(1)()(1)f t f t f t t t t δδδ*=*+++-

444(1)()(1)(2)(1)(1)(2)

f t f t f t t t t t εεεε=+++-=+++----

2.3(4) 4

5

()()((1)(1))((1)(4))f t f t t t t t εεεε*=+--*---

235

()|()|()|()|t t t t t t t t t t t t t t t t εεεε→→-→-→-=--+

()(2)(2)(3)(3)(5)(5)t t t t t t t t εεεε=------+--

2.4(4)

122200()()()()()()11

()22

t

t

f t f t t t t t d d t t εετετεττ

τττε∞

-∞*=*=-===??

2.4(8)

122

()()(1)(2)(2)(1)(1)t f t f t t e t e t d e t d ττ

εεετεττ

εττ

∞

-∞-∞

*=-*-=---=--??

当 12t -< 即 3t <时 1

1

12

()()t t f t f t e d e ττ---∞

*==?

当 12t -≥ 即 3t ≥时 2

2

12

()()f t f t e d e ττ-∞

*==?

故 21(3)

(1)(2)(3)t

t e t t e t e t εε-?≥-*-=?

2.4(9) 231

2

()()(1)(3)t

t f t f t e

t e t εε--*=-*+

22(1)93(3)(1)(3)

t t e e t e e t εε----+=-*+

72(1)3(3)723137232724362331((1)(3))(()())|()()|()(2)()(2)

t t t t t t t t t t t t t t e e t e t e e t e t e e e t e e e t e e t εεεεεεε---+--→-+--→+-----+-+=-*+=*=-=-+=-+

2.6

12013111()()5

3()1233

23t or t t t f t f t t t t t <->?

?+-≤

*=?--≤

-≤≤??

2.7（1）

1

122

2

2[(2)(1)]2[(2)(1)]23

t t t d d εετετεττ

τττ

∞

-∞--*+--=+--===-??

2.7（2）1

1()()()()1

t t

n n n n t t t d d t t n εετεττττε+-∞

*===

+?? [()0]ε-∞= 2.7（3）''()()()()[()()]t

t e

t t t e t t t εδεεδε--**=** [()0]ε-∞=

'()[()()]()[()()]()()()

t t t

t

e t t t e t t t e t t e t εδεεδδεδε----=**=**=*=

2.7（4）由于 ()

0t t t ε=-∞

=

2"2'2'

22()()()()()[()()]()()()()()()()

t t t

t

t

e t t t t e t t t t t e t t t e t t t e t εδεεδεδεδεεδδε-----**=**+=**=**=

2.8

123()()[(2)2(1)](1)

(2)(1)2(1)(1)

()2()(3)(3)2()

t t t t f t f t t t t t t t t t t t t t t t t εεεεεεεεεεε→+→*=-++-*+=-+*++-*+=-+=-+++

(1)(13)2f -=--+=-；

(0)(03)03

f =-++=-

(1)(13)2112f =-++??=-

2.9 由图可知 1

()(2)(3)f t t t εε=---，(1)

2

()(1)

t f t e

t ε-+=+

因此

(1)(1)1221

31

1

2

(1)(2)(1)(1)()()()(2)(1)(3)(1)[()()]

[()()]

(1)()

(1)()

(1)(1)(1)(2)01112(t t t t t t t t t t t t t t t t t t f t f t f t t e t t e t t e t t e t e t e t e t e t t e t e e εεεεεεεεεεεε-+-+----→-+→-+→-→---------=*=-*+--*+=*-*=---=-----<=-≤<1)2t ??

??-≥?

# ()()()()t f t t f t δδ**= # ())

()(212

1

t t t f t

t t t f --=

-*-δ

# 已知函数()f t ，则函数0

()

f t

at -可以把函数()

f at -右移0

t a 得到。

2.10（1）'

'

()2()()y t y t f t +=

2.10（2）'

'

()()()()y t y t f t f t +=+

2.10（3）'

'

2()3()()()y t y t f t f t +=+

2.10（4）"

'

"

'()3()2()()3()

y t y t y t f

t f t ++=+

2.14 画出算子电路模型如图

回路电流 0

0()1

()()221

2u t p

i t u t p p

==++

（1）

由KVL 回路方程得 0

1()()()112u t i t f t p

+=+

（2）

把式(1)代到(2)得 0021()()()221

p p

u t u t f t p p +

??=++

220(232)()(32)()

p p u t p p f t ++=++

2022

232

()()

3232()232

p p u t f t p p p p H p p p ++=++++=

++

或者有

202

2(2)

32()()()22232(2)2

p p p

u t f t f t p p p p p +

++==+++++ 2.17（1）系统的算子方程为 2

2(56)()(1)()

p

p y t p p f t ++=++

特征方程：2

()(56)(2)(3)

A p p

p p p =++=++

21

1(2)()t

x p y t c e -+→= 32

2(3)()t

x p y

t c e -+→=

因此 231

2

()t

t x

y t c e c e --=+ '2312

()23t t

x

y t c e c e --=--

由条件得 1

2

1

212

1

4, 3.

21

c c c c c c +=??==-?

-+=?

故 23()43,(0).

t

t x

y t e

e t --=-≥

2.17（2）由于 2

2

()44(2)A p p p p =++=+ 2201

(2)()()t

x p y t c c t e -+→=+

'221

01()2()t

t

x

y t c e

c c t e --=-+

代入初始条件 (0)(0)1x

x

y y -+

==，''(0)(0)1x

x

y y -

+

==得

0011

021

1,321()(13)(0)

t x c c c c c y t t e t -=??==?

-=?∴=+≥

2.18（3）2

()(2)A p p p =+

110

2

222021()(2)

()()x t

x p

y t c p y t c c t e

-→=+→=+

因此 210

2021()()t x y t c

c c t e -=++

'22212021"22212021()2()()44()t t

x t

t

x

y t c e c c t e y t c e

c c t e

----=-+=-++

代入初始条件得

∴

102021202120020444

c c c c c c +=??

-=??-+=?

?

102021

1

12c c c =??

=-??=-?

2()1(12)t

x

y t t e -=-+ (0)t ≥

2.19（1）解：因为

3223512

()(2)5623

p p p H p p p p p p +-+==-++

++++

1

2()'()2()p h t t t δδ-→=- 221()()

2

t

h t e t p ε-→=+ 33

2()2()

3

t

h t e

t p ε-→=+

所以 231

2

3

()()()()'()2()(2)()

t

t h t h t h t h t t t e

e t δδε--=++=-++

2.21 解：系统零状态响应为

12()[()()()]()

()[(1)()]()()[(1)()]

f y t f t h t f t h t f t t t t f t t t δδεεε=*+*=*-+*=*-+

根据单位冲激响应定义 ()(1)()h t t t εε=-+

2.23 （1）系统传输算子 3

()(1)(2)

p H p p p +=++ 求零输入响应。因为特征方程为()(1)(2)0A p p p =++= 特征根为 121,

2

p p =-=-

所以 210

20()t

t

x

y t c e

c e --=+， 210

20'()t

t

x

y t c e

c e --=-- 代入初始条件(0)x

y -

和'(0)x

y -

，得 1

24,

3

c c ==-

故有 2()43,0

t

t x

y t e

e t --=-≥

（2）求冲激响应。因为 321()(1)(2)12

p H p p p p p +==-

++++， 所以 2()(2)()

t

t h t e

e t ε--=-

当 ()()f t t ε=时，

212()()()()(2)()

1.520.5,0

t t f t

t

y t t h t t e e t e e t εεε----=*=*-=-+≥

完全响应

22112()()()(43) 1.520.51.52 2.5,0

t t t t

x f t t

y t y t y t e e e e e e t ------=+=-+-+=+-≥

（3） 当3()()

t

f t e t ε-=时，

33222()()()()(2)()

,0

t t t t f t

t

y t e t h t e t e e t e e t εεε------=*=*-=-≥

完全响应

22222()()()(43)()

54,0

t t t t x f t

t

y t y t y t e e e e e e t ------=+=-+-=-≥

2.24 解（解法1）：应用 ()()()f

y t f t h t =*计算系统零

状态响应。因为已知()f t 和()h t 波形，故宜用图解法求解。

画出()f τ、()h t τ-波形如题解图所示。随t 的

增大，右移()h t τ-波形，分段计算零状态响应。

当0t <和4t >时，()()()0f

y t f h t τ=*=

当02t ≤<时，2

11

()()()24

t

f

y t f h t d t τττ=*==? 当24t ≤≤时，2

2211

()()()24

f

t y t f h t d t t τττ-=*==-?

即

2

21,

0241

()24

4

0,4f t t y t t t t t t ?≤???

()

f y t 波形如上图所示。

（解法2）从波形可知

1

()[()(2)]

2

f t t t t εε=--，

()[()(2)]

h t t t εε=--。

因此零状态响应 1()()()[()(2)][()(2)]2

f

y t f t h t t t t t t εεεε=*=--*--

1

[()(2)(2)2(2)][()(2)]2

t t t t t t t εεεεε=-----*--

由于2

1()()(),

()()()

2

t t t t t t t t t εεεεεε*=*=，利用卷积时移性质可

得

222111

()()(2)(2)(2)(2)(4)(4)(4)(4)

424

f y t t t t t t t t t t t εεεεε=------+--+--

2.25(a)

''()()2()()

21()()

1

y t y t f t f t p y t f t p +=--=+

211

()2311

p H p p p -=

=-++ 122

()2()

1

3()3()1

t h t t h t e t p δε-→=→=-+

冲激响应为 1

()2()3()

t

h t t e

t δε-=-

零状态响应：

()()()()(2()3())

2()()3()()2()3()(23)()

t t x t t t t t t y t f t h t e t t e t e t t e t e t e t te t t e t εδεεδεεεεε--------=*=*-=*-*=-=-

2.28（1）系统的算子方程为(1)()()p y t f t += 0

(1)()t

x

p y t c e -+→=

由条件 (0)(0)2x

y y -

-

== 得 0

2

c

=

所以零输入响应 ()2()

t

x

y t e

t ε-=。

1()()()

1t

H t h t e

t p ε-=→=+冲击响应：。

因此输入 3()(1)()t

f t e t ε-=+的零状态响应 3()()()(1)()()t

t

f

y t f t h t e t e t εε--=*=+*

333()()()()

1

(1)()()()

2

1

(2)()2

t t t t t t t t t e t e t e t e t e e t e e t εεεεεεε--------=*+*=---=--

全响应 31()()()2()(2)()

2

t

t t x

f

y t y t y t e

t e e t εε---=+=+--

31

(23)()2

t t e e t ε--=+-

由表得输入 3()(1)()t

f t e t ε-=+时的特解

30

1

()t

p

y t Q Q e -=+，

代入到微分方程，并比较系数 3331

1

31t

t

t

Q e Q Q e e ----++=+

0111,2

Q Q ==-

。

因此 31()1,(0)2

t

p

y

t e t -=-≥。

强迫响应（特解） 31(1)()

2

t

e t ε--

自由响应（齐次解） 3()2

t

e t ε-；

完全响应中暂态响应分量为 331

()()2

2

t

t e

e t ε---

完全响应中稳态响应分量为 ()t ε 2.28（2）同理，由系统特征方程2

()(1)0

A p p =+=,求

得特征根1p =-（二阶重根），故有

01'101()()()()t x t

t

x

y t c c t e y t c e c c t e

---=+=-+

结合初始条件，确定0

11,3

c c ==，代入上式得零输入

响应 ()(13),0

t

x

y t t e

t -=+≥。

传输算子 2

1

1()(1)

1

p H p p p +==

++

求得 ()()t

h t e

t ε-=，

零状态响应 22()()()()()()()

t

t t t f

y t h t f t e t e t e e t εεε----=*=*=-，

完全响应 2()()()[(23)]()t t x f y t y t y t t e e t ε--=+=+-

由表得输入为2()()t

f t e

t ε-=时的特解一般式为

20

()t

p

y t Q e -=，

代入到微分方程，并比较系数

222220

4422t

t

t

t

t

Q e Q e Q e e e ------+=-+

得 0

1Q =-。

因此 2(),(0)

t

p

y t e

t -=-≥。

强迫响应（特解） 2(),(0)

t

p

y t e

t -=-≥

自由响应分量

22()()()[(23)]()()(23)()t t t t h p y t y t y t t e e t e t t e t εεε----=-=+-+=+ 暂态响应 2[(23)]()t

t t e e t ε--+-

稳态响应 0

第三章：

3.10解 因为3

3

203

3

()(2)

jn t

jn t

n

n

n n f t F e

F e

πωπΩ=-=-==

Ω==∑∑

3

3

2||cos()n

n

n F F n t ?=-=+Ω+∑

而 ||n

j n

n F

F e ?=，0

||1F =， 11||4

F

±=

，21||2

F

±=

，31||3

F

±=

1

230

???===

所以

111

()12cos 22cos 42cos 642312

1cos 2cos 4cos 623

f t t t t

t t t

ππππππ==+?+?+?=+++

3.11

1

2

1

222()()221(1)()1(2)(2)j t j t j t j j j j j j j F j f t e dt e dt e dt

e e e j j e e j j

e e ωωωωωωωωωωωωωωω

∞

----∞

-------==+=

-+-=--=+-???

3.12(a)

2()220

A T T

t t f t T

?-

≤≤?=???其余

T T 22

T T 22

221()()j t j t A A F j te dt td e T T j ωωωω----=

=?-?

?

T T 22T T 2

2

T T T

2

22T 2T

T

22

22T 1()2-2T 1Tcos ()22T T cos Sa()(0)

22j t j t j j j t

j j j A te e dt T j A e e e T j j A e e T j j A ωωωωωωωωωω

ωωωωωωω--------??

=-??

?

?

????=+-?????

?

??=+-????

??

=

-≠?????

当 0ω=时，

T

2T 2

2()0A

F j dt T

ω-==?

3.13(1) （解法一）： 因为 1(2)();22

f t F j ω

?

1()(2)()22

d jt f t F j d ωω-?

所以 ()()22

j d tf t F j d ωω?

（解法二）：由于

1()(2);

22

j t F j f t e dt ωω

∞--∞=?

1()(2);221()(2)();

22(2)j t

j t j t d d F j f t e dt d d d F j f t jt e dt d j tf t e dt

ωωωωωωω

ω∞--∞∞--∞∞

--∞??=????

=-=-???

即

1()(2)22

j t d F j j tf t e dt

d ωω

ω∞--∞=-?

所以根据傅立叶变换的定义有

(2)()22

j d tf t F j d ω

ω

?

3.13(2)

(2)()()2()()2()d

t f t tf t f t j

F j F j d ωωω

-=-?-

3.13(3)

(2)(2)(2)2(2)1(2)()

22

t f t tf t f t f t F j ω

--=----?-

(2)()22

j d tf t F j d ω

ω-?

-

所以 (2)(2)()()222

j d t f t F j F j d ωω

ω--?

---

3.13(4)