精品文档-信号与系统(第四版)(陈生潭)-第3章
信号与线性系统分析-(第四版)第三章
(2) 特解 yp(k) p(2)k，k 0
p(2)k 4 p(2)k1 4 p(2)k2 2k
p 4 p(2)1 4 p(2)2 1
p
1 4
特解
yp
(k)
1 4
(2)k
(3) 全解
y(k
)
(C1k
C2
)(2)k
1 4
(2)k，k
0
根据初始条件
1 y(0) C2 4 0
1 y(1) 2C1 2C2 4 2 1
y(k) 4 y(k 1) 4 y(k 2) f (k) 已知初始条件y(0)=0，有y(1)= - 1，激励 f (k) 2k , k 0。
求方程的全解。
解： (1) 齐次解 特征方程
齐次解
2 4 4 0 特征根 1 2 2
yh(k) (C1k C2 )(2)k 代入差分方程
10cos(0.5 k)
P Q 1
yp (k) cos(0.5 k) sin(0.5 k)
2 cos(0.5 k )
4
y(k) yh (k) yp (k)
C1
1 2
k
C2
1 3
k
2 cos(0.5 k )
4
y(0) C1 C2
2 cos( ) 0
4
y(1) C1 C2 2 cos(0.5 ) 1
y(2) 3 y(1) 2 y(0) f (2) 2
y(3) 3y(2) 2y(1) f (3) 10
y(4) 3 y(3) 2 y(2) f (4) 10
便于计算机求解
二、差分方程的经典解
LTI系统的数学模型：n阶常系数线性差分方程
y(k) an1 y(k 1) a0 y(k n) bm f (k) bm1 f (k 1) b0 f (k m)
信号与系统第三章
a0 ∞ fT ( t ) = + ∑ 2 n=1
Fne jnΩt + F− ne − jnΩt ) (
jnΩt
=
n =−∞
∑
∞
Fn e
F0
a0 2
an + jbn = 2 ∗ = Fn
第
指数形式的傅立叶级数(2) 指数形式的傅立叶级数(2)
1. 傅里叶系数
a − jbn 1 Fn = n = 2 T T
ε =0
2
∫
t2 t1
f (t ) d t = ∑ C 2 K j j
2 j =1
∞
(Parseval 公式 公式)
第
§3.2
周期信号的频谱分析
-----傅里叶级数 傅里叶级数
5 页
一、三角形式的傅立叶级数 二、周期信号的频谱 三、指数形式的傅立叶级数 周期信号的功率——Parseval等式 Parseval等式 四、周期信号的功率 Parseval 五、函数对称性与频谱特性
bn ϕn = −arctg an an = An cos (ϕn ) , bn = − An sin (ϕn )
A0 a0 = 2 2
An = an 2 + bn 2
第
二、周期信号的频谱
概念：周期信号中各次谐波分量的幅度、初相位随频率的变化关系。 概念：周期信号中各次谐波分量的幅度、初相位随频率的变化关系。 An~ω：幅度谱； ：幅度谱； 例1： ：
在正交函数集 满足： 满足：
1
之外， {ϕ ( t ) ,ϕ ( t ) ,L,ϕ ( t )} 之外，不存在 ϕ ( t ) ≠ 0
2 n
∫
t2 t1
信号与系统 第三章(第5-7讲)
第三章连续信号的正交分解§3-1 引言线性系统分析方法，是将复杂信号分解为简单信号之和（或积分），通过系统对简单信号的响应求解系统对复杂信号的响应。
在上一章所述的时域中，近代时域法将信号分解为冲激信号的积分，根据系统的冲激响应通过卷积计算出系统对信号的响应。
然而，很多信号的特性与频率有着很重要的关系，因此研究信号在频域中的特性可以得到许多极具实用价值的结论，它在工程中也具有很重要的意义。
故此，从本章开始，我们就是研究这方面的问题。
在本章中，我们研究任何将信号分解成与频率有关的函数的叠加。
即在频域中，将信号分解为一系列与频率有关的正弦函数的和（或积分）。
然后，再研究如何通过系统对正弦信号的响应求解系统对原信号的响应。
类似上章所述，通过信号分解的方法求解响应要研究下面几个问题：1）如何将任意信号分解为一系列正弦信号之和（或积分）。
2） 求解系统对各个正弦子信号的响应(这个内容在电路分析课程中已经有详细介绍)。
3） 将各子信号的响应相叠加，从而合成系统对激励信号的响应。
本章将要研究的就是如何对信号进行分解和合成。
§3-2 信号在正交函数集中的分解信号的分解，在某种意义上与矢量的分解有相似之处。
为了形象地说明信号的分解，首先我们讨论矢量的分解。
一、矢量的分解1、矢量的定义：具有大小和方向的量叫做矢量。
2、矢量运算：加，矢量点乘（结果是标量），矢量叉乘。
3、矢量的分解：1） 矢量的单矢量基的分解：A 在1A 上的分量为A 在1A 上的投影：E +=11A A c其中，E 为误差矢量。
而A 在1A 上的垂直投影11c A 的模11A c ：11111A A Acos θA Acos θA AA ∙===1c ，从几何或者解析角度，都可以得到使误差E 最小的系数为：1112111A A A AA A A ∙∙=∙=c其中的1c 称为矢量A 和1A 的相似系数。
其它投影情况下误差E 不为最小，见上图。
信号与系统课件 第三章9
1 [F ( 2
jω
−
jω0 ) +
F(
jω
+
jω0 )]
FT [ f (at )] = 1 F ( jω )
aa
FT
⎡ ⎢ ⎣
d
nf dt
(t
n
)
⎤ ⎥ ⎦
=
(
jω
)n
F
(
jω
)
六、时域积分特性
FT [ε (t −τ )] = [πδ (ω) + 1 ]e− jωτ
jω
若 FT [ f (t )] = F ( jω )
temp1
三角函数形式 An
A0 A1 A2
∑ f
(t)
=
1 2
A0
+
+∞ n=1
An
cos
(nΩt
+
ϕn
)
ϕn
… nΩ
… nΩ
0 Ω 2Ω 3Ω 4Ω
0 Ω 2Ω 3Ω 4Ω
指数形式
•
An = Ane jϕn
∑ f
(t )
=
1 2
∞ n = −∞
•
A ne jnΩt
∫ •
An
=
2
t2 f (t)e− jnΩt dt
[ ] 则
FT
∫t
−∞
f
(τ
)dτ
=
F( jω jω
)
+
πδ
(ω
)F
(0)
∞
∫ F(0) = f (t)dt −∞
∫ ∫ ∫ FT
⎡ ⎢⎣
t −∞
f
(τ
)dτ
第三章信号与系统连续时间信号与系统的傅里叶分析
n = 2, 4, 6, n = 1, 3, 5,
信号与系统
一、周期信号的傅立叶级数
所以有
an 0
0
bn
4
n
n = 2, 4, 6, n = 1, 3, 5,
f
(t)
4
[sin 0t
1 sin 3
3
0t
1 5
sin
5
0
t
1 n
sin n
0t
]
信号与系统
一、周期信号的傅立叶级数
2 . 复指数形式的傅立叶级数
a
b
0
信号与系统
一、周期信号的傅立叶级数
三角函数集:
{1, cos0t, cos 20t, , cos n0t, , sin 0t, sin 20t, , sin n0t, }
在区间 (t0 ,
t0
T)
内是一完备正交函数集。
T
2 0
正交性:（m 和 n 都是整数）
0
t0 T cos
t0
m0t
cos
信号与系统
§ 3.2 周期信号的 傅立叶级数展开
信号与系统
周期信号
周期信号: 定义在区间 (, ) ，每隔一定时间 T ，按 相同规律重复变化的信号，如图所示 。它可表示为
f (t)=f ( t+mT )
其中 m 为正整数， T 称为信号的周期，周期的倒数称为频率。
f t
1
0 T/2 T
t
1
信号与系统
f (t) a0 a1 cos0t a2 cos 20t b1 sin 0t b2 sin 20t
a0 an cos n0t bn sin n0t
信号与系统PPT电子书陈生谭版课后习题答案
1．22 在题 1.21 的基础上，若还已知 f(t)＝ε(t)，x1(0-)＝0，x2(0-)＝0 时，有 y(t)＝2+e-t+2e-3t，t≥0 试求当 f(t)＝3ε(t)，x1(0-)＝2，x2(0-)＝5 时的系统响应 y(t)。 解： 记，f(t)＝ε(t)，x1(0-)＝0，x2(0-)＝0 时，系统响应 yf(t)＝y(t)＝2+e-t+2e-3t，t≥0 则当 f(t)＝3ε(t)，x1(0-)＝2，x2(0-)＝5 时的系统全响应 y(t)为： y(t)＝3yf(t)＋2y1(t)＋5y2(t)
解：
（1）
is
(t)
=
i(t
)
+
ic
(t )
+
iR
(t )
=
i (t )
+
Cuc′
(t )
+
1 2
u (t )
----⑴
而 uC (t) = u(t)
对回路①，有：
⎧− ⎩⎨iL
3i(t) (t) =
+ is
LiL′ (t) + u(t) (t) − i(t)
=
0
⇒
u(t)
=
3i(t
)
−
Lis′
(t)
− p 1+ p
−1
3p 0
−p
− p 0 1+ p +1/ p
− p f (t) i2 (t) = 3 p − p
信号与系统第四版习题解答精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版《信号与系统》（第四版）习题解析高等教育2007年8月目录第1章习题解析1第2章习题解析5第3章习题解析14第4章习题解析21第5章习题解析29第6章习题解析39第7章习题解析47第8章习题解析52第1章习题解析1-1题1-1图示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？(c) (d)题1-1图解(a)、(c)、(d)为连续信号；(b)为离散信号；(d)为周期信号；其余为非周期信号；(a)、(b)、(c)为有始（因果）信号。
1-2给定题1-2图示信号f( t )，试画出下列信号的波形。
[提示：f( 2t )表示将f( t )波形压缩，f (2t)表示将f ( t )波形展宽。
](a) 2 f (t - 2 ) (b) f ( 2t )(c)f (2t )(d)f (-t +1 )题1-2图解以上各函数的波形如图p1-2所示。
图p1-21-3 如图1-3图示，R 、L 、C 元件可以看成以电流为输入，电压为响应的简单线性系统S R 、S L 、S C ，试写出各系统响应电压与激励电流函数关系的表达式。
S RS LS C题1-3图解各系统响应与输入的关系可分别表示为)()(t i R t u R R ⋅= tt i Lt u L L d )(d )(= ⎰∞-=tC C i C t u ττd )(1)(1-4 如题1-4图示系统由加法器、积分器和放大量为-a 的放大器三个子系统组成，系统属于何种联接形式？试写出该系统的微分方程。
题1-4图解系统为反馈联接形式。
设加法器的输出为x ( t )，由于)()()()(t y a t f t x -+=且)()(,d )()(t y t x t t x t y '==⎰故有)()()(t ay t f t y -='即)()()(t f t ay t y =+'1-5已知某系统的输入f ( t )与输出y ( t )的关系为y ( t ) = | f ( t )|，试判定该系统是否为线性时不变系统？解设T 为系统的运算子，则可以表示为)()]([)(t f t f T t y ==不失一般性，设f ( t ) = f 1( t ) +f 2( t )，则)()()]([111t y t f t f T ==)()()]([222t y t f t f T ==故有)()()()]([21t y t f t f t f T =+=显然)()()()(2121t f t f t f t f +≠+即不满足可加性，故为非线性时不变系统。
信号与系统课后答案3&4
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An cos(nt n )
Fne jnt
n 1
n
F0 2 Fn cos(nt n )
其中：
n 1
an
2 T
t0 T t0
fT (t )cosntdt
bn
2 T
t0 T t0
fT (t )sin ntdt
n0,1,2...
1
n1,2...
Fn
T
t0 T t0
fT (t)e jnt dt
fT (t)sin ntdt
A0 a0 An an2 bn2
n 1,2...
n
arctg
bn an
说明：1.周期信号可分解表示为三角函数的线性组合。
2.物理意义：周期信号可分解为众多频率成整数倍
和正（余）弦函数或分量的线性组合。具体有：
a0 A0 直流分量cost, sin t 基波分量 22
fT (t)
Fne jnt
F e j (nt n ) n
F0
2 Fn cos(nt n )
n
n
n1
各谐波分量的角频率nΩ 是基波角频率Ω的n倍且有不同的
振幅和相位，均有傅立叶系数 Fn Fn e jn 反映出来。
为揭示各谐波振幅、初相随角频率变化情况，特画出振幅
及相位随w变化的曲线称其为频谱图。
的模
最小，（此时的C12称为最佳），当C12＝0时，Ve的
模最小，此时V1和V2正交。
2.矢量分解
在平面空间里，相互正交的矢量
V1和V2构成一个正交矢量集，而且为
完备的正交矢量集。平面空间中的任
一矢量V都可表示为V1和V2的线性组合 （如上图）。即：
V=C1V1+C2 V2。式中V1、V2为单位矢量，且V1·V2＝0。其中：
(第 一 零 点 ）
2
谱线数
2
2 T
T
4
4
Ω
双边振幅谱： Fn ~ n
单边振幅谱： 频谱特点：
An
2
Fn
n 0,1,2.... n 0,1,2......
1.离散性、谐波性：仅在0、正负Ω、正负2Ω。。处出现，
与相应谐波分量对应。谱线间隔Ω＝2π/T ，当T增加，Ω减小
当T趋近于无穷大时，周期函数变为非周期函数，离散谱变为连 续谱。
例：周期性矩形脉冲信号，求其三角型、指数型傅立叶级数。
fT (t)
周期：T T＝2π/Ω
E
幅度：E
宽度：τ
T
0
T
t
2
2
解：因为fT(t)为偶函数，所以bn=0展开式仅含直流与余弦分量
a0
2 an
12 2T
2 T
2
E
2
2
E
2
cosntdt c os ntdt
2 T
2 Edt
2 E
i 1
这种近似所产生的平方误差为：
Ee
t2 t1
N
2
f (t) ci gi (t) dt
i 1
同样可以求出，欲使Ee达到最小，其第r个函数的加权系数Cr为
cr
t2 t1
f (t) gr* (t)dt
t2 t1
gr (t) 2 dt
此时的平方误差为下式所示：
Ee
t2 t1
2
N
f (t) dt
n0
n1
该函数系数
an
t0 T t0
fT (t) cos* ntdt
t0 T cosnt 2 dt
1 t0T
T t0 2 t0T T t0
fT (t )dt fT (t )cosntdt
n0 n 1,2..
t0
bn
f t0 T
t0
T
t0 T
(t) sin* ntdt sin nt 2 dt
mn mn
完备性：无穷函数集。
(2)指数函数集：
e jnt n0,1,2....
基本周期：T=2л/Ω, 正交区间（t0 ，t0+T）。 是完备的正交函数集。
正交性 e t0T jnt e jmt *dt t0
t0 T e jnmt dt
t0
0 T
mn mn
完备性：无穷函数集
3.2 周期信号的傅立叶级数分解
T 2
fT 2 (t)dt
fT(t)为实函数
T
T
PT1
2 T2
fT 2 ( t ) dtT1
2 T2
2 fT (t ) dt
T
2
1 T
2 T2
Fne jnt n
dt
1 T
n
Fn 2
T 2
T2
e j ( ntn ) 2 dt
1 T
Fn 2
n
所以,周期信号时域功率=频域
信号功率之和-------帕塞瓦尔恒等式
其中，Ci =
n
V c1V 1 c2V 2 cnVn ciVi
3.V1·.2Vi/信Vi号·的V正i 交分解
i 1
1.正交信号（函数）
*定义:设 f 1(t)和 f 2(t)为定义在（t1 ,t2 )区间上的两 个函
数f ，表1(现t)在，要其用误与差信f 号2(为t)成fe比(t例)的一个f1函(t数)C12cf122(ft)2近(t似) 地代
第三章 连续信号与系统的频域分析
3.1 信号的正交分解 3.2 周期信号的连续时间的傅立叶级数 3.3 周期信号的频谱 3.4 非周期信号的连续时间傅立叶变换 3.5 傅立叶变换的性质 3.6 连续信号的抽样定理 3.7 连续系统的频域分析
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3.1 信号的正交分解
3.1.1 矢量的正交分析 1.正交矢量 数学定义 两矢量正交，在几何意义
2.收敛性：振幅包络线按Sa(ωτ/ 2)规律变化，总趋势为0。 * 能量集中于低频分量：当nΩτ/ 2=kπ(k=正负1,正负2…..), 即nΩ=2kπ/τ时,包络线振幅为零.定义信号频带宽度(带宽):
0 ~ 第一零点 B
2
Bf
1
(rad / s) ( Hz)
* 带宽与脉冲成反比:τ愈小,Bw愈大.
3.2.1 三角形式傅立叶级数分解
1.三角函数集
fT t
cosnt,sin nt
n0,1,2...
,T
2
该函数在（t0，t0）上为完备的正交函数集。
2.正交展开 将任一周期函数信号展开为：
fT (t) ci gi (t) (an cos nt bn sin nt) a0 (an cos nt bn sin nt)
E
0
T2 T
4E
2 cosntdt
T0
4E 1
4 E n
T
n
s in
nt
2
0
T
n
sin(
2
)
4 T sin( n ) 2E sin( n )
T n 2
2 n
2
1
Fn T
2
E e jnt dt
2
E T
1 jnt
e jnt
2
2
2E e j
n 2
(
Tn
e
j
n 2
2j
)
2E
s
in(
3.2.3 傅立叶系数关系
比较两种展开式，得：A0 a0 2F0
An 2 Fn
n n
令An＝Ane jn 考虑到Fn Fn e jn
统一表示为A 2Fn
例题：周期性矩形脉冲的傅立叶系数计算。P94
结论：
fT (t)
a0 2
(an cos nt bn sin nt)
n 1
A0 2
* 脉冲幅度一定时,振幅谱幅值(τ/T)与τ成正比,与T成反比.
当T趋近于无穷大时,各谐波分量振幅均趋近于无穷小,但它们之
间仍有一定比例关系.在非周期信号频谱中将用频谱密度这一概
念来描述这种相对比例关系.
3.3.2 fT(t)的功率
设fT(t)为实信号在1欧姆电阻上消耗的平均功率为:
T
P
1 T
2
会含 sin nt分量
3.2.2 指数形式傅立叶级数分解
1.复指数函数集 fT
t
e jnt n 0, 1, 2...
该函数在（t0，t0）上为完备的正交函数集。
T 2
2.正交展开：
将任一周期信号展开为
fT (t) ci gi (t) Fne jnt
Fn
t0 T t0
2 T
t0 T t0
fT (t)sin ntdt
t0
n 1,2...
将a0包含在an中则有：
fT (t)
a0 2
(an
n1
cos nt
bn
sin nt)
A0 2
n1
An
cos(nt
n )
其中an
2 T
t0 T t0
fT (t) cosntdt
n 0,1,2...
2
bn T
t0 T t0
改平变方c误12差的定大义小为，：如果E使eEe为最t1t2小时fe相(t应)的2dc1t2＝0，称 f 1(t)
和 f 2(t)在区间（t1 ,t2)上正交。
判定两信号正交的条件：
t2 t1
f1(t)
f
* 2
(t
)dt
0
2 信号的正交分解
*正交函数集：设一函数集 g(t) g1(t), g2 (t),..., gN (t),
n 2
)
E