黑龙江省大庆实验中学2020届高三数学考前得分训练试题(一)文(含解析)
2020年黑龙江省大庆实验中学高考数学综合训练试卷(文科)(一)(5月份)
2020年黑龙江省大庆实验中学高考数学综合训练试卷（文科）（一）（5月份）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈Z|x2≤4}，B={x|−4<x<2}，则A∩B=()A. B={x|−2≤x<2}B. B={x|−4<x≤2}C. {−2,−1,0，1，2}D. {−2,−1,0，1}2.已知复数z满足(1+i)2⋅z=1−i，则z的共轭复数z−在复平面内对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知向量a⃗，b⃗ 满足a⃗=(2,1)，b⃗ =(1,y)，且a⃗⊥b⃗ ，则|a⃗+2b⃗ |=()A. √5B. 5√2C. 5D. 44.为了从甲乙两人中选一人参加校篮球队，教练将二人最近6次篮球比赛的得分数进行统计，甲乙两人的平均得分分别是x甲、x乙，则下列说法正确的是()A. x甲>x乙，乙比甲稳定，应选乙参加比赛B. x甲>x乙，甲比乙稳定，应选甲参加比赛C. x甲<x乙，甲比乙稳定，应选甲参加比赛D. x甲<x乙，乙比甲稳定，应选乙参加比赛5.已知正方体ABCD−A1B1C1D1，O为底面ABCD的中心，M，N分别为棱A1D1，CC1的中点，则异面直线B1M与ON所成角的余弦值为()A. √55B. √105C. √1515D. 2√5156.大学生积极响应“大学生志愿服务西部计划”.某高校学生小刘、小李、小孟、分别去西部某地一中、二中、三中3所学校中的一所学校支教，每校分配一名大学生，他们三人支教的学科分别是数学，语文，英语，且每学科一名大学生．现知道：(1)教语文的没有分配到一中，(2)教语文的不是小孟，(3)教英语的没有分配到三中， (4)小刘分配到一中． (5)小盂没有分配到二中，据此判断．数学学科支教的是谁？分到哪所学校？( )A. 小刘三中B. 小李一中C. 小盂三中D. 小刘二中7. 设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，则a ⊥b 的一个充分条件是( )A. a ⊥α，b//β，α⊥βB. a ⊥α，b ⊥β，α//βC. a ⊂α，b ⊥β，α//βD. a ⊂α，b//β，α⊥β8. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，在(0,+∞)上是增函数，且f(−4)=0，则使得xf(x)>0成立的x 的取值范围是( )A. (−4,4)B. (−4,0)∪(0,4)C. (0,4)∪(4,+∞)D. (−∞,−4)∪(4,+∞)9. 棱长为2的正方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则该截面面积为( )A. 92B. 9√22C. 3√2D. 310. 已知直线y =−2与函数f(x)=2sin(ωx −π3)，(其中w >0)的相邻两交点间的距离为π，则函数f(x)的单调递增区间为( )A. [kπ−π6,kπ+5π6],k ∈Z B. [kπ−π12,kπ+5π12],k ∈Z C. [kπ−5π6,kπ+11π6],k ∈Z D. [kπ−5π6,kπ+11π12],k ∈Z11. 若函数f(x)={log 2x,x >0−2x −a,x ≤0有且只有一个零点，则a 的取值范围是( )A. (−∞,−1)∪(0,+∞)B. (−∞,−1)∪[0，+∞)C. [−1,0)D. [0,+∞)12. 设椭圆的左右焦点为F 1，F 2，焦距为2c ，过点F 1的直线与椭圆C 交于点P ，Q ，若|PF 2|=2c ，且|PF 1|=43|QF 1|，则椭圆C 的离心率为( )A. 12B. 34C. 57D. 23二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若x ，y 满足约束条件{x +1≥0y −2≤02x −y −2≤0，则z =x +3y 的最大值是______．14. 设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x)={log 3(x +1),x ≥0g(x),x <0，则g[f(−8)]=______．15. 已知长方形ABCD 中，AB =1，∠ABD =60°，现将长方形ABCD 沿着对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，则折后几何图形的外接球表面积为______．16. 已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和S n 满足4S n =a n 2+2a n ，n ∈N ∗.设b n =(−1)n ⋅a n a n+1，T n为数列{b n }的前n 项和，则T 2n =______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a =2bcosC +csinB ．(Ⅰ)求tan B ；(Ⅱ)若C =π4，△ABC 的面积为6，求BC ．18. 随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品．现以x(单位：吨，100≤x ≤150)表示下一个销售季度的市场需求量，T(单位：万元)表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润． (1)将T 表示为x 的函数，求出该函数表达式； (2)根据直方图估计利润T 不少于57万元的概率；(3)根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量x 的平均数与中位数的大小(保留到小数点后一位)．19.如图，四棱锥P−ABCD中，AB//CD，AB=3CD=3，PA=PD=BC=2，∠ABC=90°，且PB=PC．(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD；(2)求点D到平面PBC的距离．20. 椭圆W ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离心率为√32，左、右顶点分别为A ，B.过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆W 截得的线段长为1． (1)求椭圆W 的标准方程；(2)经过点P(1,0)的直线与椭圆W 相交于不同的两点C 、D(不与点A 、B 重合)，直线CB 与直线x =4相交于点M ，求证：A 、D 、M 三点共线．21. 已知函数f(x)=axe x ，g(x)=x 2+2x +b ，若曲线y =f(x)与曲线y =g(x)都过点P(1,c).且在点P 处有相同的切线l ． (Ⅰ)求切线l 的方程；(Ⅱ)若关于x 的不等式k[ef(x)]≥g(x)对任意x ∈[−1,+∞)恒成立，求实数k 的取值范围．22. 已知曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα(α为参数)，曲线C 2的参数方程为{x =8−√22t y =√22t(t 为参数)．(1)求C 1和C 2的普通方程；(2)过坐标原点O 作直线交曲线C 1于点M(M 异于O)，交曲线C 2于点N ，求|ON||OM|的最小值．23.已知函数f(x)=|ax+1|+|x−1|．(Ⅰ)若a=2，解关于x的不等式f(x)<9；(Ⅱ)若当x>0时，f(x)>1恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合A ={x ∈Z|x 2≤4}={−2,−1,0，1，2}， ∴A ∩B ={−2,−1,0，1}， 故选：D ．先求出集合A ，再利用集合交集的运算即可算出结果．本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：由(1+i)2⋅z =1−i ，得z =1−i(1+i)2=1−i 2i=(1−i)(−i)−2i 2=−12−12i ，则z −=−12+12i ，∴复数z −在复平面内对应的点的坐标为(−12,12)，位于第二象限． 故选：B ．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z −的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算化简，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】C【解析】解：根据题意，a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(1,y)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ， 则有a ⃗ ⋅b ⃗ =2+y =0，解可得y =−2，即b ⃗ =(1,−2)， 则a ⃗ +2b ⃗ =(4,−3)，故|a ⃗ +2b ⃗ |=√16+9=5； 故选：C ．根据题意，由向量垂直与数量积的关系可得a ⃗ ⋅b ⃗ =2+y =0，解可得y 的值，即可得b ⃗ 的坐标，进而计算可得向量(a ⃗ +2b ⃗ )的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量模的计算和向量垂直与数量积的关系，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：根据茎叶图中数据知，甲得分为： 18，26，28，28，31，33，且集中在18～33内；乙得分为：12，18，19，25，26，32，且分布在12～32内； 所以甲的平均数大于乙的平均数，且甲比乙稳定； 应选甲参加比赛． 故选：B ．根据茎叶图中数据的分布情况知，甲的平均数大于乙的平均数，且甲比乙稳定． 本题考查了利用茎叶图分析平均数与稳定性的问题，是基础题．5.【答案】C【解析】解：据题意，以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则：D(0,0，0)，O(1,1，0)，B 1(2,2，2)，M(1,0，2)，N(0,2，1)， ∴B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2,0),ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,1)， 设异面直线B 1M 与ON 所成角为θ，则cosθ=|B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=√5×√3=√1515． 故选：C ．建立空间直角坐标系，分别求出两条异面直线对应的向量坐标，套用向量夹角公式计算即可．本题考查空间角的求法，一般的，如果给的条件便于建系，求角的问题利用坐标法比较简单．同时考查了学生的运算能力和逻辑推理能，.属于中档题．6.【答案】C【解析】解：由于小刘分配到一中，小盂没有分配到二中，教英语的没有分配到三中，则可知小盂分配到三中，且教数学， 故选：C ．由于小刘分配到一中，小盂没有分配到二中，教英语的没有分配到三中，则可知小盂分配到三中，问题得以解决．本题考查了合情推理的问题，属于基础题．7.【答案】C【解析】 【分析】本题考查线面间的位置关系，同时考查充分条件的含义及空间想象能力，属于基础题． 根据题意分别画出错误选项的反例图形即可． 【解答】解：A 、B 、D 的反例如图．故选：C ．8.【答案】D【解析】解：∵函数f(x)是定义在R 上的奇函数，在(0,+∞)上是增函数， ∴函数f(x)是在(−∞,0)上是增函数， 又f(−4)=0，∴f(4)=0，由xf(x)>0，得{x >0f(x)>0或{x <0f(x)<0，∴x >4或x <−4．∴x 的取值范围是(−∞,−4)∪(4,+∞)． 故选：D ．由奇函数的图象关于原点对称及f(x)在(0,+∞)为增函数，可得函数f(x)是在(−∞,0)上是增函数，结合f(−4)=f(4)=0，转化为不等式组求解．本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．9.【答案】A【解析】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱台，所得的组合体， 其截面是一个梯形，上底长为√12+12=√2，下底边长为√22+22=2√2， 高为：(√22)=3√22，故截面的面积S =12(√2+2√2)×3√22=92，故选：A ．由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱台，其截面是一个梯形，分别求出上下底边的长和高，代入梯形面积公式可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．10.【答案】B【解析】解：∵y =−2与函数f(x)=2sin(ωx −π3)，(其中w >0)的相邻两交点间的距离为π， ∴函数的周期T =2，即2πω=2，得ω=2， 则f(x)=2sin(2x −π3)，由2kπ−π2≤2x −π3≤2kπ+π2，k ∈Z ， 得kπ−π12≤x ≤kπ+5π12，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为[kπ−π12,kπ+5π12]，k ∈Z ， 故选：B ．根据最值点之间的关系求出周期和ω，结合三角函数的单调性进行求解即可．本题主要考查三角函数单调性的应用，根据最值性求出函数的周期和ω，以及利用三角函数的单调性是解决本题的关键．难度不大．11.【答案】B【解析】解：当x >0时，因为log 21=0，所以有一个零点，所以要使函数f(x)={log 2x,x >0−2x −a,x ≤0有且只有一个零点，则当x ≤0时，函数f(x)没有零点即可，当x ≤0时，0<2x ≤1，∴−1≤−2x <0，∴−1−a ≤−2x −a <−a ， 所以−a ≤0或−1−a >0， 即a ≥0或a <−1， 故选：B ．当x >0时，因为log 21=0，所以有一个零点，所以要使函数f(x)有且只有一个零点，则当x ≤0时，函数f(x)没有零点即可，即恒为负或恒为正，进而求出a 的取值范围即可． 本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，是中档题．12.【答案】C【解析】解：不妨设椭圆的焦点在x 轴上，如图所示， ∵|PF 2|=2c ，则|PF 1|=2a −2c ． ∵|PF 1|=43|QF 1|，∴|QF 1|=34(2a −2c)=32(a −c)， 则|QF 2|=2a −32(a −c)⋅a 2+32， 在等腰△PF 1F 2中，可得cos∠PF 1F 2=12|PF 1||F 1F 2|a−c2c．在△QF 1F 2中，由余弦定理可得cos∠QF 1F 2=94(a−c)2+4c 2−14(a+3c)22×2c×32(a−c)，由cos∠PF 1F 2+cos∠QF 1F 2=0，得a−c2c +94(a−c)2+4c 2−14(a+3c)22×2c×32(a−c)=0，整理得：5a−7c 6c =0，∴5a =7c ，∴e =ca =57． 故选：C ．由题意画出图形，由|PF 2|=2c ，|PF 1|=43|QF 1|，利用椭圆的定义可得：|PF 1|=2a −2c ，进一步求出|QF 1|，|QF 2|，在等腰△PF 1F 2中，求得得cos∠PF 1F 2.在△QF 1F 2中，由余弦定理可得cos∠QF 1F 2，利用cos∠PF 1F 2+cos∠QF 1F 2=0，化简求得5a =7c ，则答案可求．本题考查椭圆的简单性质，考查三角形中余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】8【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示： 由{y =22x −y −2=0，解得A(2,2)， 由z =x +3y 得：y =−12x +，显然直线过A 时，z 最大，z 的最大值是z =2+3×2=8， 故答案为：8．画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数图象求出z 的最大值即可．本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．14.【答案】−1【解析】解：根据题意，设x <0，则−x >0， 则f(−x)=log 3(−x +1)， 又由函数为R 上的奇函数，则f(x)=−f(−x)=−log 3(−x +1)， 即g(x)=−log 3(−x +1)，有由函数为奇函数，则f(−8)=−f(8)=−2， g[f(−8)]=g(−2)=−log 3[−(−2)+1]=−1； 故答案为：−1．根据题意，由函数的奇偶性计算可得g(x)的解析式以及f(−8)的值，进而有g[f(−8)]=g(−2)，代入g(x)的解析式，计算即可得答案．本题考查函数值的计算，涉及分段函数的应用，注意求出函数g(x)的解析式．15.【答案】4π【解析】解：长方形ABCD 中，AB =1，∠ABD =60°，可得BD =2，AD =√3，作AE ⊥BD 于E ，可得AE ⋅BD =AB ⋅AD ，所以AE =√32，BE=√AB2−AE2=√1−34=12，因为平面ABD⊥平面BCD，AE⊆面ABD，平面ABD∩平面BCD=BD，所以AE⊥面BCD，由直角三角形BCD可得其外接圆的圆心为斜边BD的中点O1，且外接圆的半径r=12BD=1，过O1作OO1垂直于底面BCD，所以EO1=O1B−BE=1−12=12，所以OO1//AE，取三棱锥外接球的球心O，设外接球的半径为R，作OF⊥AE于F，则四边形EFOO1为矩形，O1E=OF，EF=OO1，则OA=OC=OB=OD=R，在△AFO中，OA2=AF2+OF2=(AE−EF)2+EO12即R2=(√32−OO1)2+14；①在△BOO1中：OB2=OO12+EO12，即R2=OO12+14；②由①②可得R2=1，OO1=0，即外接球的球心为O1，所以外接球的表面积S=4πR2=4π，故答案为：4π．由长方形中AB=1，∠ABD=60°，可得BD，BC，及A到BD的距离AE，由面ABD⊥平面BCD可得AE⊥面BCD，求出底面外接圆的圆心及外接圆的半径，再由椭圆求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积．本题考查三棱锥的棱长与外接球的半径之间的关系，及球的表面积公式，属于中档题．16.【答案】8n(n+1)【解析】解：数列{a n}的各项均为正数，其前n项和S n满足4S n=a n2+2a n，n∈N∗．可得n=1时，4a1=4S1=a12+2a1，解得a1=2，n≥2时，4S n−1=a n−12+2a n−1，又4S n=a n2+2a n，相减可得4a n=a n2+2a n−a n−12−2a n−1，化为(a n+a n−1)(a n−a n−1−2)=0，由a n>0，可得a n−a n−1=2，则a n=2+2(n−1)=2n，b n=(−1)n⋅a n a n+1=(−1)n⋅4n(n+1)，可得T2n=4[−1×2+2×3−3×4+4×5−5×6+6×7−⋯−(2n−1)(2n)+(2n)(2n+1)]=4(2×2+2×4+2×6+⋯+2×2n)=8×12n(2+2n)=8n(n+1)．故答案为：8n(n +1)．由数列的递推式：n =1时，a 1=S 1；n ≥2时，a n =S n −S n−1，结合等差数列的通项公式和求和公式，化简整理可得所求和．本题考查数列的递推式的运用，等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)∵2a =2bcosC +csinB ，利用正弦定理可得：2sinA =2sinBcosC +sinCsinB ， 又sinA =sin(B +C)=sinBcosC +cosBsinC ， 化为：2cosBsinC =sinCsinB ，∵sinB ≠0，∴2cosB =sinB ，∴tanB =2．(Ⅱ)∵tanB =2，B ∈(0,π)，可得sinB =5，cosB =5．∴sinA =sin(B +C)=sinBcosC +cosBsinC=√5√22+√5×√22=3√1010． ∴a sinA =bsinB，可得：a =b2√5×3√1010=3√2b4．又12absin π4=6，可得b =12√2a．∴a =3√24×12√2a，解得a =3√2．【解析】本题考查了正弦定理、和差公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(Ⅰ)由2a =2bcosC +csinB ，利用正弦定理可得：2sinA =2sinBcosC +sinCsinB ，又sinA =sin(B +C)=sinBcosC +cosBsinC ，化简即可得出．(Ⅱ)由tanB =2，B ∈(0,π)，可得sinB =√5，cosB =√5sinA =sin(B +C)，由正弦定理：asinA =bsinB ，可得：a =3√2b4.又12absin π4=6，可得b =12√2a.即可得出a ．18.【答案】解：(1)当x ∈[100,130)时，T =0.8x −39；…(1分)当x ∈[130,150]时，T =0.5×130=65，…(2分) 所以，T ={0.8x −39,100≤x <13065,130≤x ≤150…(3分)(2)根据频率分布直方图及(Ⅰ)知，当x ∈[100,130)时，由T =0.8x −39≥57，得120≤x <130，…(4分)当x∈[130,150]时，由T=65≥57，…(5分)所以，利润T不少于57万元当且仅当120≤x≤150，于是由频率分布直方图可知市场需求量x∈[120,150]的频率为(0.030+0.025+0.015)×10=0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57万元的概率的估计值为0.7；…(7分) (3)估计一个销售季度内市场需求量x的平均数为x−=105×0.1+115×0.2+125×0.3+135×0.25+145×0.15=126.5(吨)；…(9分)由频率分布直方图易知，由于x∈[100,120)时，对应的频率为(0.01+0.02)×10=0.3<0.5，而x∈[100,130)时，对应的频率为(0.01+0.02+0.03)×10=0.6>0.5，…(10分)因此一个销售季度内市场需求量x的中位数应属于区间[120,130)，于是估计中位数应为120+(0.5−0.1−0.2)÷0.03≈126.7(吨).…(12分)【解析】(1)计算x∈[100,130)和x∈[130,150]时T的值，用分段函数表示T的解析式；(2)计算利润T不少于57万元时x的取值范围，求出对应的频率值即可；(3)利用每一小组底边的中点乘以对应的频率求和得出平均数，根据中位数两边频率相等求出中位数的大小．本题考查了分段函数以及频率、平均数和中位数的计算问题，是基础题目．19.【答案】解：(1)取AD、BC的中点分别为M、E，连结PM，PE，ME，∵AB//CD，AB=3CD=3，∴四边形ABCD为梯形，又∵M、E为AD、BC的中点，∴ME为梯形的中位线，∴ME//AB，又∵∠ABC=90°，∴ME⊥BC，∵PB =PC ，E 为BC 的中点 ∴PE ⊥BC ，又∵PE ∩ME =E ，PE ⊂平面PME ，ME ⊂平面PME ， ∴BC ⊥平面PME ，又∵PM ⊂平面PME ，故PM ⊥BC ， 由PA =PD ，M 为AD 中点，∴PM ⊥AD ，又∵AD ，BC 不平行，必相交于某一点，且AD ，BC 都在平面ABCD 上， ∴PM ⊥平面ABCD ，由PM ⊂平面PAD ，则平面PAD ⊥平面ABCD ．(2)由(1)及题意知，PM 为三棱锥P −BCD 的高，AD =2√2，ME =2，PM =√2，故PE =√6， ∵S △PBC =12BC ×PE =12×2×√6=√6，且S △BCD =12BC ×CD =12×2×1=1，设点D 到平面PBC 的距离为h ，∴由等体积法知：V P−BCD =V D−BCP =13S △BCD ×PM =13S △PBC ×ℎ=13×1×√2=13×√6×ℎ， 解得ℎ=√33，所以点D 到平面PBC 的距离为√33．【解析】(1)取AD 、BC 的中点分别为M 、E ，连结PM ，PE ，ME ，由已知可证ME ⊥BC ，PE ⊥BC ，利用线面垂直的判定定理可证BC ⊥平面PME ，利用线面垂直的性质可证PM ⊥BC ，又PM ⊥AD ，可证PM ⊥平面ABCD ，利用面面垂直的判定定理可证平面PAD ⊥平面ABCD ．(2)由(1)及题意知PM 为三棱锥P −BCD 的高，设点D 到平面PBC 的距离为h ，利用等体积法，三角形的面积公式可求h 的值，即可得解．本题考查线面垂直、面面垂直，掌握线面垂直、面面垂直的判定方法和性质，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)根据条件e =ca =√32，所以c 2=34a 2，b 2=14a 2，且2b 2a=1，解得a 2=4，b 2=1，故椭圆W 的标准方程为：x 24+y 2=1；(2)当直线CD 的斜率k 不存在时，由题意，得CD 的方程为x =1， 代入椭圆W 的方程，得C(1,√32)，D(1,−√32)，易得CB 的方程为y =−√32(x −2)，则M(4,−√3)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,−√3)，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−√32) 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即A ，D ，M 三点共线； 当直线CD 的斜率k 存在时，设CD 的方程为y =k(x −1)(k ≠0)，C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)， 联立方程{y =k(x −1)x 24+y 2=1，消去y ，得(4k 2+1)x 2−8k 2x +4k 2−4=0， 由题意，得△>0恒成立，故x 1+x 2=8k 24k 2+1，x 1x 2=4k 2−44k 2+1，直线CB 的方程为y =y 1x 1−2(x −2)，令x =4，得M(4,2y 1x 1−2)，又因为A(−2,0)，D(x 2,y 2)，则直线AD ，AM 的斜率分别为k AD =y 2x 2+2，k AM =y13(x 1−2)，所以k AD −k AM =y 2x2+2−y13(x 1−2)=3y 2(x 1−2)−y 1(x 2+2)3(x 1−2)(x 2+2)上式中的分子 3y 2(x 1−2)−y 1(x 2+2)=3k(x 2−1)(x 1−2)−k(x 1−1)(x 2+2) =2kx 1x 2−5k(x 1+x 2)+8k =2k ×4k 2−44k 2+1−5k ×8k 24k 2+1+8k =0，所以k AD −k AM =0． 所以A ，D ，M 三点共线．【解析】(1)由条件得ca=√32，2b 2a=1，求出a 2，b 2即可；(2)分斜率是否存在讨论，①当直线CD 的斜率k 不存在时，求出A ，M ，C ，D 坐标，用向量法易证A ，D ，M 三点共线．②当直线CD 的斜率k 存在时，设CD 的方程为y =k(x −1)(k ≠0)，C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，联立方程{y =k(x −1)x 24+y 2=1，消去y ，得(4k 2+1)x 2−8k 2x +4k 2−4=0.将k AM ，k AD 表示为含有k 的算式，可以证k AM ，k AD 相等．故A ，D ，M 三点共线．本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，注意联立直线方程，运用韦达定理，同时考查向量的共线的坐标运算，证明时需对直线CD 斜率是否存在讨论，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)∵f′(x)=ae x (x +1)，g′(x)=2x +2，由已知可得{f′(1)=g′(1)f(1)=g(1)=c，即{2ae =4ae =3+b =2，解得a =2e ，b =−1，c =2， ∴切线的斜率g′(1)=4，∴切线l的方程为y−2=4(x−1)，即4x−y−2=0，(Ⅱ)由(Ⅰ)可得f(x)=2xe x−1，g(x)=x2+2x−1，设ℎ(x)=k[ef(x)]−g(x)=2kxe x−(x2+2x−1)，即ℎ(x)≥0，对任意x∈[−1,+∞)恒成立，从而ℎ(x)min≥0，∴ℎ′(x)=2k(x+1)e x−2(x+1)=2(x+1)(ke x−1)，①当k≤0时，ℎ′(x)≤0，ℎ(x)在[−1,+∞)上单调递减，又ℎ(1)=2ke−2<0，显然ℎ(x)≥0不恒成立，②当k>0时，ℎ′(x)=0，解得x1=−1，x2=−lnk，(i)当−lnk<−1时，即k>e时，ℎ′(x)≥0，ℎ(x)单调递增，又ℎ(x)min=ℎ(−1)=−2ke +2=2(e−k)e<0，显然ℎ(x)≥0不恒成立，(ii)当−lnk=−1时，即k=e时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，∴ℎ(x)min=ℎ(−1)=−2ke +2=2(e−k)e=0，即ℎ(x)≥0恒成立，(iii)当−lnk>−1时，即0<k<0时，当x∈[−1,−lnk)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，当x∈(−lnk,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，∴ℎ(x)min=ℎ(−lnk)=2−lnk−(ln2k−2lnk−1)=1−ln2k≥0，解得1e≤k≤e，∴1e≤k<e，综上所述得1e≤k≤e．【解析】(Ⅰ)根据导数的几何意义即可求出切线方程；(Ⅱ)构造函数ℎ(x)=2kxe x−(x2+2x−1)，利用导数求出函数的最小值，使得最小值大于等于0，需要分类讨论．此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．22.【答案】解(1)曲线C1的普通方程为：(x−2)2+y2=4；曲线C2的普通方程为：x+y−8=0．(2)设过原点的直线的极坐标方程为θ=β(0≤β<π,β≠3π4,ρ∈R)；由(x−2)2+y2=4得x2+y2−4x=0，所以曲线C 1的极坐标方程为ρ=4cosθ 在曲线C 1中，|OM|=4cosβ．由x +y −8=0得曲线C 2的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ−8=0， 所以而O 到直线与曲线C 2的交点N 的距离为|ON|=8sinβ+cosβ， 因此|ON||OM|=8sinβ+cosβ4cosβ=2sinβcosβ+cos 2β=√2sin(2β+π4)+1，即|ON||OM|的最小值√2+1=4(√2−1)．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用转换关系，把三角函数关系式的变换和函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 23.【答案】解：(Ⅰ)当a =2时，f(x)=|2x +1|+|x −1|={3x,x >1x +2,−12≤x ≤1−3x,x <−12， 则f(x)<9等价为{x >13x <9或{−12≤x ≤1x +2<9或{x <−12−3x <9， 解得1<x <3或−12≤x ≤1或−3<x <−12， 综上可得原不等式的解集为(−3,3)； (Ⅱ)当x >0时，f(x)>1恒成立， 即为1<f(x)min ，当a =0时，f(x)=|x −1|，其最小值为f(1)=0，不符题意；当a <0，即−a >0时，f(x)=|ax +1|+|x −1|=−a|x +1a |+|x −1|=(−a −1)|x +1a|+(|x −1|+|x +1a|)，当−a −1≥0，f(x)有最小值，且为|1+1a |，又|1+1a |>1不恒成立；当a >0，x >0时，f(x)=ax +1+|x −1的最小值为f(1)=a +1|>1恒成立， 综上可得，a 的范围是(0,+∞)．【解析】(Ⅰ)当a=2时，f(x)=|2x+1|+|x−1|，由绝对值的意义，去绝对值符号，解不等式，求并集，可得所求解集；(Ⅱ)由题意可得1<f(x)min，(x>0)，讨论a=0，a<0，a>0，结合绝对值不等式的性质，可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想，以及化简运算能力、推理能力，属于中档题．。
2020届黑龙江省大庆实验中学高三毕业班下学期5月第一次模拟考试数学(文)答案
此时, ,四边形 的面积为 ,
同理,当直线 的方程为 时,可求得四边形 的面积也为 ；
当直线 的斜率存在时,设直线 方程是 ,
代人到 ,得 ,
, , , ,
,
点 到直线 的距离 ,
由 ,得 , ,
点 在椭圆 上,所以有 ,整理得 ,
由题意知,四边形 为平行四边形,
所有基本事件有：
, , , , , , , , , ,共10种
至少1人每周线上学习时间不足5小时包括： , , , , , , 共7种
设至少1人每周线上学习时间不足5小时为事件 ,则 （或0.7）
20、解（1）设椭圆 的焦距为 ,由题意；
（2）当直线 的斜率不存在时,直线 的方程为 或 .
绝密★启用前
黑龙江省大庆实验中学
2020届高三毕业班下学期5月第一次模拟考试
数学(文)试题参考答案
2020年5月
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
D
C
A
C
B
C
C
D
A
B
B
17、解（1）存在点 为 中点，使得平面 平面 ，证明如下：
取 中点为 ，连接 ,
为等边三角形, 为 中点,
；
又 平面 平面 ,平面 平面 ,
19.解：
（1）
分数不少于120分
分数不足120分
合计
线上学习时间不少于5小时
15
4
19
线上学习时间不足5小时
10
16
26
合计
25
20
黑龙江省大庆实验中学2020届高三毕业班下学期5月第一次高考模拟考试数学(文)试题(解析版)
因此
选D.
点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如 . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数 的实部为 、虚部为 、模为 、对应点为 、共轭为
3.设等差数列 前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A. 4B. 6C. 10D. 12
【答案】C
【解析】
由题意 ，Leabharlann ， ，所以 ，故选C．点睛：解决等差数列的通项与前 项和问题，基本方法是基本量法，即用首项 和公差 表示出已知并求出，然后写出通项公式与前 项和公式，另一种方法就是应用等差数列的性质解题，可以减少计算量，增加正确率，节约时间，这是高考中尤其重要有用，象本题应用了以下性质：数列 是等差数列，（1）正整数 ， ， 时也成立；（2） ；（3）等差数列 中抽取一些项，如 仍是等差数列．
考点：异面直线所成的角．
9.若双曲线 （ ， ）的一条渐近线被圆 截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求得双曲线的一条渐近线方程，求得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得 ， 的关系，即可得到所求的离心率．
【详解】双曲线 的一条渐近线方程设为 ，
绝密★启用前
黑龙江省大庆实验中学
2020届高三毕业班下学期5月第一次高考模拟考试
数学(文)试题
(解析版)
2020年5月
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求.
1.已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科数学试卷-学生用卷
2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科数学试卷-学生用卷一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科第1题5分若复数z满足iz=2−2i (i为虚数单位)，则z的共轭复数z在复平面内对应的点所在的象限是（）．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2、【来源】 2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科第2题5分设全集U=R，A={x∈N|y=ln(2−x)}，B={x|2x(x−2)⩽1}，A∩B=（）．A. {x|x⩾1}B. {x|1⩽x<2}C. {1}D. {0,1}3、【来源】 2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科第3题5分已知焦点在x轴上的椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是（）．A. x 216+y27=1B. x 27+y216=1C. x 264+y228=1D. x 228+y264=14、【来源】 2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科第4题5分2019~2020学年9月湖北襄阳市襄城区襄阳市第四中学高三上学期月考理科第8题5分如图所示的2个质地均匀的游戏盘中（图①是半径为2和4的两个同心圆组成的圆盘，O为同心，阴影部分所对的圆心角为90°；图②是正六边形，点P为其中心）各有一个玻璃小球，依次摇动2个游戏盘后（小球滚到各自盘中任意位置都是等可能的）待小球静止，就完成了一局游戏，则一局游戏后，这2个盘中的小球至少有一个停在阴影部分的概率是（）．A. 116B. 1124C. 1324D. 5165、【来源】 2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科第5题5分2017~2018学年四川德阳旌阳区德阳市香港马会第五中学高二上学期期中长方体ABCD−A1B1C1D1中AB=AA1=2，AD=1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()A. √1010B. √3010C. 2√1510D. 3√10106、【来源】 2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科第6题5分设a =√22(sin56∘−cos56∘)，b =cos50°cos128°+cos40°cos38°，c =cos80∘，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）．A. a >b >cB. b >a >cC. c >a >bD. a >c >b7、【来源】 2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科第7题5分已知A ，B 是圆O:x 2+y 2=4上的两个动点，|AB →|=2，OC →=13OA →+23OB →，若M 是线段AB 的中点，则OC →⋅OM →的值为（ ）．A. √3B. 2√3C. 2D. 38、【来源】 2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科第8题5分已知可导函数f (x )的定义域为(−∞,0)，其导函数f ′(x )满足xf ′(x )−2f (x )>1，则不等式f (x +2020)−(x +2020)2f (−1)<0的解集为（ ）．A. (−∞,−2021)B. (−2021,0)C. (−2021,−2020)D. (−2020,0)9、【来源】 2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科第9题5分已知函数f(x)=acos(x −π3)+√3sin(x −π3)是偶函数．若将曲线y =f(2x)向左平移π12个单位长度后，得到曲线y =g(x)，则不等式g(x)⩽1的解集是（ ）．A. {x|kπ−5π12⩽x ⩽kπ+π4,k ∈Z} B. {x|kπ+π12⩽x ⩽kπ+3π4,k ∈Z} C. {x|kπ−3π8⩽x ⩽kπ+7π24,k ∈Z}D. {x|2kπ−3π4⩽x ⩽2kπ+7π12,k ∈Z}10、【来源】 2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科第10题5分已知函数f(x)=axlnx+b在(1,1)处的切线方程过(3,5)，则函数f(x)的最小值为（）．A. 1−2eB. 1C. −2eD. 1−1e11、【来源】 2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科第11题5分2018~2019学年甘肃兰州城关区甘肃省兰州第一中学高二下学期期末文科第9题5分2019~2020学年上海浦东新区华东师范大学第二附属中学高三上学期期中第13题5分2019年高考真题浙江卷第3题4分若实数x，y满足约束条件{x−3y+4⩾03x−y−4⩽0x+y⩾0，则z=3x+2y的最大值是（）．A. −1B. 1C. 10D. 1212、【来源】 2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科第12题5分设双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A，右焦点为F(c,0)，弦PQ过F且垂直于x轴，过点P、Q分别作直线AP、AQ的垂线，两垂线交于点B，若B到直线PQ的距离小于2(a+c)，则该双曲线离心率的取值范围是（）．A. (0,√3)B. (1,√3)C. (√3,2)D. (√3,+∞)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科第13题5分甲、乙两支足球队进行一场比赛，A，B，C三位球迷赛前在一起聊天．A说：“甲队一定获胜．”B说：“甲队不可能输．”C说：“乙队一定获胜．”比赛结束后，发现三人中只有一人的判断是正确的．则比赛的结果不可能是．（填“甲胜”“乙胜”“平局”中的一个）14、【来源】 2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科第14题5分2020年天津和平区高三二模第12题5分已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(−∞,0]上单调递增，若实数a满足f(2log3a)>f(−√2)，则a的取值范围是．15、【来源】 2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科第15题5分2019~2020学年吉林通化梅河口市梅河口市第五中学高三上学期期末文科第16题5分2019~2020学年5月山东济宁兖州区高一下学期月考第16题5分设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知2a−√3bcos B =√3ccos C，则C=，a2+c2−b2ac的取值范围为．16、【来源】 2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科第16题5分如图，在三棱锥P−ABC中PA、PB、PC两两垂直，且PA=3，PB=2，PC=1，设M是底面三角形ABC内一动点，定义：f(M)=(m,n,P)，其中m、n、P分别是三棱锥M−PAB、三棱锥M−PBC、三棱锥M−PAC的体积．若f(M)=(12,2x,y)，且1x+ay⩾8恒成立，则正实数a的最小值是．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科第17题12分已知四棱锥P −ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PB ⊥AD ，△PAD 是边长为2的正三角形，底面ABCD 是菱形，点M 为PC 的中点．(1) 求证：PA//平面MDB ．(2) 求点P 到平面BDM 的距离．18、【来源】 2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科第18题12分已知数列{a n }满足a 1=12，a n+1=an 2a n +1(n ∈N ∗)． (1) 求数列{a n }的通项公式．(2) 证明：a 12+a 22+a 32+⋯+a n 2<12．19、【来源】 2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科第19题12分为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽数之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：(1) 从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为m ，n ，求事件“m ，n 均不小于25”的概率．(2) 从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出y 关于x 的线性回归方程．参考公式：对于一组数据(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，⋯，(x m ,y n )，其线性回归方程y ^=b ^x +a ^的系数的最小二乘法估计值为 b ^=∑x i n i=1y i −nxy∑x i 2n i=1−nx 2=−x)n i=1−y)∑(x −x)2n i=1， a ^=y −b ^x ．20、【来源】 2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科第20题12分已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，离心率为1，右焦点到右顶点2的距离为1．(1) 求椭圆C的方程．(2) 过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，则△F1AB的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．21、【来源】 2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科第21题12分已知a为常数，函数f(x)=x2+ax−lnx．(1) 过坐标原点作曲线y=f(x)的切线，设切点为P(x0,y0)，求x0．(2) 令F(x)=f(x)，若函数F(x)在区间(0,1]上是单调减函数，求a的取值范围．e x四、选考题（本大题共2小题，每小题10分，选做1小题）【选修4-4：坐标系与参数方程】22、【来源】 2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科第22题10分2016年山西高三三模文科第23题10分2016年山西高三三模理科第23题10分以坐标原点O为极点，O轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=)．2(sinθ+cosθ+1ρ(1) 写出曲线C的参数方程．(2) 在曲线C上任取一点P，过点P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，求矩形OAPB的面积的最大值．【选修4-5：不等式选讲】23、【来源】 2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科第23题10分2019~2020学年5月重庆沙坪坝区重庆市第一中学高三下学期月考文科第23题10分2019~2020学年吉林通化梅河口市梅河口市第五中学高三上学期期末理科第23题10分已知函数f(x)=|x+1|−|x+a|．(1) 若a=−1，求不等式f(x)⩾−1的解集．(2) 若“∀x∈R，f(x)<|2a+1|”为假命题，求a的取值范围．1 、【答案】 B;2 、【答案】 D;3 、【答案】 A;4 、【答案】 B;5 、【答案】 B;6 、【答案】 B;7 、【答案】 D;8 、【答案】 C;9 、【答案】 A;10 、【答案】 A;11 、【答案】 C;12 、【答案】 B;13 、【答案】甲胜;14 、【答案】(0,√3);15 、【答案】π或30°;(−√3,0)∪(0,2);616 、【答案】6−4√2;17 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 2√155;18 、【答案】 (1) a n =12n ．;(2) 证明见解析．;19 、【答案】 (1) 310．;(2) y ^=52x −3．;20 、【答案】 (1) x 24+y 23=1．;(2) 存在，最大值3，方程为x =1． ;21 、【答案】 (1) x 0=1． ;(2) a ⩽2．;22 、【答案】 (1) {x =1+2cosθy =1+sinθ(θ为参数)． ;(2) 3+2√2．;23 、【答案】 (1) [−12,+∞)．;(2) [−2,0]．;。
黑龙江省大庆实验中学2020届高三数学5月综合训练试题一文含解析
某某省某某实验中学2020届高三数学5月综合训练试题（一）文（含解析）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求． 1.设集合2{|4}A x Z x=∈，{|42}B x x =-<< ，则A B =（ ）A. {|22}x x -<≤B. {|42}x x -<≤C. {2,1,0,1,2}--D. {2,1,0,1}-- 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的交运算，即可容易求得结果.【详解】{|22}{2,1,0,1,2}A x Z x =∈-=--≤≤ 故可得{}2,1,0,1A B ⋂=-- 故选：D.【点睛】本题考查集合的交运算，属基础题. 2.已知复数z 满足（1+i ）2•z ＝1﹣i ，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】利用复数除法运算求得z ，由此求得z ，进而求得z 对应点的坐标及其所在象限.【详解】由（1+i ）2•z ＝1﹣i ，得z ()()2211111(1)2222i i i i i i i i ----====--+-，则1122z i =-+，∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为（12-，12），位于第二象限． 故选：B【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查共轭复数，考查复数对应点所在象限，属于基础题.3.已知向量,a b 满足a =（2，1），b =（1，y ），且a b ⊥，则2a b +＝（ ） A.5B. 52C. 5D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程，由此求得y ，根据向量模的坐标表示求得正确答案. 【详解】根据题意，a =（2，1），b =（1，y ），且a b ⊥，则有a b ⋅=2+y ＝0，解可得y ＝﹣2，即b =（1，﹣2），则2a b +=（4，﹣3），故2a b +=169+=5； 故选：C【点睛】本小题主要考查向量垂直和模的坐标表示，属于基础题.4.为了从甲乙两人中选一人参加校篮球队，教练将二人最近6次篮球比赛的得分数进行统计，甲乙两人的平均得分分别是x 甲、x 乙，则下列说法正确的是（ ）A. x x >甲乙，乙比甲稳定，应选乙参加比赛B. x x >甲乙，甲比乙稳定，应选甲参加比赛C. x x <甲乙，甲比乙稳定，应选甲参加比赛D. x x <甲乙，乙比甲稳定，应选乙参加比赛【答案】B 【解析】 【分析】先计算出甲乙两个学生的平均得分，再分析得解. 【详解】由题得18+26+28+28+31+3382==63x 甲，12+18+19+25+26+32==226x 乙，所以x x >甲乙.从茎叶图可以看出甲的成绩较稳定， 所以要派甲参加. 故选B【点睛】本题主要考查平均数的计算和茎叶图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.已知正方体1111ABCD A BC D -，O 为底面ABCD 的中心，M ，N 分别为棱11A D ，1CC 的中点.则异面直线1B M 与ON 所成角的余弦值为( )A.5C.【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出向量1B M 和ON 的坐标，然后利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】以D 为原点建立如下图所示的空间直角坐标系：设正方体的棱长为2，所以有1(0,0,0),(1,1,0),(2,2,2),(1,0,2),(0,2,1)D O B M N ， 因此1(1,2,0)B M =--，(1,1,1)ON =-， 设异面直线1B M 与ON 所成角为α， 所以12222221(1)(1)(2)10115cos (1)(2)0(1)11B M ON B M ONα⋅-⨯-+-⨯+⨯===⋅-+-+⋅-++故选：C【点睛】本题考查了利用空间向量夹角公式求异面直线所成的角，考查了数学运算能力. 6.大学生积极响应“大学生志愿服务西部计划”.某高校学生小X 、小李、小孟、分别去西部某地一中、二中、三中3所学校中的一所学校支教，每校分配一名大学生，他们三人支教的学科分别是数学，语文，英语，且每学科一名大学生.现知道： （1）教语文的没有分配到一中， （2）教语文的不是小孟， （3）教英语的没有分配到三中， （4）小X 分配到一中. （5）小盂没有分配到二中，据此判断.数学学科支教的是谁？分到哪所学校？（ ） A. 小X 三中B. 小李一中C. 小盂三中D. 小X 二中【解析】 【分析】由于小X 分配到一中，小盂没有分配到二中，教英语的没有分配到三中，则可知小盂分配到三中，问题得以解决.【详解】由于小X 分配到一中，小盂没有分配到二中，教英语的没有分配到三中， 则可知小盂分配到三中，且教数学， 故选：C.【点睛】本题考查了合情推理的实际应用问题，其中解答中数练应用合理推理，结合题意求解是解答额关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．7.设,a b 是两条直线，,αβ是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ ） A. ,//,a b αβαβ⊥⊥ B. ,,//a b αβαβ⊥⊥ C. ,,//a b αβαβ⊂⊥ D. ,//,a b αβαβ⊂⊥ 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件的判断，即从选项中找出能推出a b ⊥成立的即可，由空间线线、线面、面面的位置关系对选项进行逐一判断，即可得出答案.【详解】A. 由,//,a b αβαβ⊥⊥，还可能得到 //b a ，如图（1），所以不正确. B. 由,,//a b αβαβ⊥⊥，还可能得到 //b a ，如图（2），所以不正确. C. 由,//b βαβ⊥，可得b α⊥，又,a α⊂所以有a b ⊥，所以正确. D. 由,//,a b αβαβ⊂⊥，如图（3），所以不正确.【点睛】本题考查线面垂直、平行的性质及面面垂直、平行的性质，考查充分条件的判断和空间想象能力，属于基础题.8.已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，在（0，+∞）上是增函数，且f （﹣4）＝0，则使得xf （x ）＞0成立的x 的取值X 围是（ ） A. （﹣4，4）B. （﹣4，0）∪（0，4）C. （0，4）∪（4，+∞）D. （﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的单调性和奇偶性，求得不等式()x f x ⋅的解集.【详解】∵函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，在（0，+∞）上是增函数，∴函数f （x ）是在（﹣∞，0）上是增函数，又f （﹣4）＝0，∴f （4）＝0，由xf （x ）＞0，得()00x f x ⎧⎨⎩＞＞或()00x f x ⎧⎨⎩＜＜，∴x ＞4或x ＜﹣4．∴x 的取值X 围是（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）． 故选：D【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.9.棱长为2的正方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为( )A. 92B. 922C. 32D. 3【答案】A【解析】【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱台，其截面是一个梯形，分别求出上下底边的长和高，代入梯形面积公式可得答案．【详解】由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱台ABC DEF-，所得的组合体，其截面是一个梯形BCFE，22112+=222222+=故截面的面积19222S =⨯=， 故选：A ．【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．10.已知直线y ＝﹣2与函数()23f x sin x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，（其中w ＞0）的相邻两交点间的距离为π，则函数f （x ）的单调递增区间为（ ） A. 566k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，， B. 51212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，， C. 51166k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，， D. 511612k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据周期求得ω，再根据单调区间的求法，求得()f x 的单调区间. 【详解】∵y ＝﹣2与函数()23f x sin x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，（其中w ＞0）的相邻两交点间的距离为π， ∴函数的周期T ＝π，即2πω=π，得ω＝2，则f （x ）＝2sin （2x 3π-），由2k π2π-≤2x 3π-≤2kπ2π+，k ∈Z ，得k π12π-≤x ≤k π512π+，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为[k π12π-，k π512π+]，k ∈Z ，故选：B【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性，考查三角函数的周期性，属于基础题.11.若函数()2020x log x x f x a x ⎧=⎨--≤⎩，＞，有且只有一个零点，则a 的取值X 围是（ ）A. （﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）B. （﹣∞，﹣1）∪[0，+∞）C. [﹣1，0）D. [0，+∞） 【答案】B 【解析】 【分析】根据()f x 在(],0-∞没有零点列不等式，解不等式求得a 的取值X 围.【详解】当x ＞0时，因为log 21＝0，所以有一个零点，所以要使函数()2020xlog x x f x a x ⎧=⎨--≤⎩，＞，有且只有一个零点，则当x ≤0时，函数f （x ）没有零点即可，当x ≤0时，0＜2x ≤1，∴﹣1≤﹣2x ＜0，∴﹣1﹣a ≤﹣2x ﹣a ＜﹣a ，所以﹣a ≤0或﹣1﹣a ＞0，即a ≥0或a ＜﹣1. 故选：B【点睛】本小题主要考查分段函数零点，属于基础题.12.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，焦距为2c ，过点1F 的直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，若22PF c =，且1143PF QF =，则椭圆C 的离心率为（ ） A. 12B. 34C. 57D. 23【答案】C 【解析】 【分析】根据题意以及椭圆的定义，可得|PF 1|、|QF 1|、|QF 2|，并计算cos ∠PF 1F 2，cos ∠QF 1F 2，然后利用cos ∠PF 1F 2+cos ∠QF 1F 2＝0化简，简单计算可得结果. 【详解】∵|PF 2|＝|F 1F 2|，∴|PF 2|＝2c ，则|PF 1|＝2a ﹣2c ．∵3|PF 1|＝4|QF 1|，∴|QF 1|3224a c =（﹣）32a c =-（），则|QF 2|＝2a 32a c --（）=322+a c ． 在等腰△PF 1F 2中，可得cos ∠PF 1F 2112122PF a c F F c-==． 在△QF 1F 2中，由余弦定理可得：cos ∠QF 1F 2=()22291()4(3)443222a c c a c c a c -+-+⨯⨯-，由cos ∠PF 1F 2+cos ∠QF 1F 2＝0，得()22291()4(3)4432222a c c a c a c c c a c -+-+-+=⨯⨯-0， 整理得：5706a c c -=，∴557,7c a c e a ∴==＝. 故选：C ．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查三角形中余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13.若x，y满足约束条件1020220xyx y+≥⎧⎪-≤⎨⎪--≤⎩，则3z x y=+的最大值是______.【答案】8 【解析】【分析】在平面直角坐标系内，画出约束条件所表示的可行解域，在可行解域内平移直线13y x =-，找到一点使得直线13y x z=-+在纵轴上的截距最大，把点的坐标代入目标函数中即可.【详解】约束条件所示的可行解域如下图所示：在可行解域内平移直线13y x=-，当直线13y x z=-+经过A点时，直线在纵轴上的截距最大，A 点的坐标是方程组222y y x =⎧⎨=-⎩的解，解得22y x =⎧⎨=⎩，所以3z x y =+的最大值是2328+⨯=.故答案为：8【点睛】本题考查了线性规划的应用，考查了数形结合思想和数学运算能力. 14.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()3log (1)00x x f x g x x +≥⎧=⎨<⎩，，，则()8g f ⎡⎤-=⎣⎦____．【答案】-1 【解析】当0x <时，0x ->， ∴()()3log 1f x x -=-+，∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数， ∴()()3log 1f x x -=-+，∴()()3log 1,(0)f x x x =--+<，即()()3log 1,(0)g x x x =--+< 由题意得3(8)(8)log 92f f -=-=-=-， ∴()38(2)log [(2)1]1g f g ⎡⎤-=-=---+=-⎣⎦． 答案：1-15.已知长方形ABCD 中，AB ＝1，∠ABD ＝60°，现将长方形ABCD 沿着对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，则折后几何图形的外接球表面积为_____． 【答案】4π 【解析】 【分析】设出球心的位置，利用勾股定理列方程组，解方程组求得球的半径，进而求得球的表面积. 【详解】长方形ABCD 中，AB ＝1，∠ABD ＝60°，可得BD ＝2，AD 3=， 作AE ⊥BD 于E ，可得AE •BD ＝AB •AD ，所以AE 3=，BE 2231142AB AE =-=-=，因为平面ABD ⊥平面BCD ，AE ⊂面ABD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，所以AE ⊥面BCD ， 由直角三角形BCD 可得其外接圆的圆心为斜边BD 的中点O 1，且外接圆的半径r 12BD ==1，过O 1作OO 1垂直于底面BCD ，所以EO 1＝O 1B ﹣BE ＝11122-=， 所以OO 1∥AE ，取三棱锥外接球的球心O ，设外接球的半径为R ，作OF ⊥AE 于F ，则四边形EFOO 1为矩形，O 1E ＝OF ，EF ＝OO 1，则OA ＝OC ＝OB ＝OD ＝R ，在△AFO 中，OA 2＝AF 2+OF 2＝（AE ﹣EF ）2+EO 12即R 2＝（3-OO 1）214+；①在△BOO 1中：OB 2＝OO 12+EO 12，即R 2＝OO 1214+；② 由①②可得R 2＝1，OO 1＝0，即外接球的球心为O 1，所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π， 故答案为：4π【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的有关计算，属于中档题.16.已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S 满足242n n n S a a =+，*n N ∈，设1(1)n n n n b a a +=-⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和，则2n T =______.【答案】()81n n +【解析】 【分析】首先由11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求出数列{}n a 的通项公式，即可得到{}n b 的通项，从而求出2n T ；【详解】解：当1n =时，211142a a a =+，得12a =，10a =（舍），由242n n n S a a =+，①当2n ≥时，211142n n n S a a ---=+，②①一②得2211422n n n n n a a a a a --=+--，化简得()()22111122n n n n n n n n a a a a a a a a -----=+-=+()12n n a a -=+.又因为数列{}n a 的各项均为正数， 所以12n n a a --=，所以数列{}n a 是首项12a =，公差2d =的等差数列，即2n a n =， 所以()()()()1221411nnn b n n n n =-⋅⋅+=-⋅⋅+，所以()()()241223344521211221n T n n n n =-⨯+⨯-⨯+⨯-⋅⋅⋅---++⋅+⎡⎤⎣⎦()4222422n =⨯+⨯++⋅()()116812n n n n +=⨯=+.故答案为：()81n n +【点睛】本题考查作差法求数列的通项公式，等差数列求和，属于中档题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a ＝2b cos C +c sin B ．（Ⅰ）求tan B ； （Ⅱ）若C 4π=，△ABC 的面积为6，求BC ．【答案】（Ⅰ）tanB ＝2；（Ⅱ）【解析】 【分析】（I ）利用正弦定理化简已知条件，求得tan B 的值.（II ）由tan B 的值求得,cos sinB B 的值，从而求得sin A 的值，利用正弦定理以及三角形的面积公式列方程，由此求得a 也即BC 的值.【详解】（Ⅰ）∵2a ＝2b cos C +c sin B ，利用正弦定理可得：2sin A ＝2sin B cos C +sin C sin B ，又sin A ＝sin （B +C ）＝sin B cos C +cos B sin C ， 化为：2cos B ＝sin B ≠0，∴tanB ＝2． （Ⅱ）∵tan B ＝2，B ∈（0，π），可得sinB =，cosB =．∴sin A ＝sin （B +C ）＝sin B cos C +cos B sinC =+= ∴a b sinA sinB =，可得：a 24b ==．又12ab sin 4π=6，可得b a=． ∴a =，即218a =，解得BC a =＝ 【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题. 18.随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台.已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元.根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示.已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品.现以x （单位：吨，100150x ≤≤）表示下一个销售季度的市场需求量，T （单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润.（1）将T 表示为x 的函数，求出该函数表达式； （2）根据直方图估计利润T 不少于57万元的概率；（3）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量x 的平均数与中位数的大小（保留到小数点后一位）.【答案】（1）0.839,10013065,130150x x T x -≤<⎧=⎨≤≤⎩；（2）0.7；（3）平均数为126.5（吨），估计中位数应为126.7（吨） 【解析】 【分析】（1）分别计算[)100,130x ∈和[]130,150x ∈时T 值，用分段函数表示T 的解析式；（2）计算利润T 不少于57万元时x 的取值X 围，求出对应的频率值即可；（3）利用每一小组底边的中点乘以对应的矩形的面积（即频率）求和得出平均数，根据中位数两边频率相等（即矩形面积和相等）求出中位数的大小.【详解】解：（1）当[)100,130x ∈时，()0.50.31300.839T x x x =--=-； 当[]130,150x ∈时，0.513065T =⨯=，所以，0.839,10013065,130150x x T x -≤<⎧=⎨≤≤⎩； （2）根据频率分布直方图及（1）知，当[)100,130x ∈时，由0.83957T x =-≥，得120130x ≤<， 当[]130,150x ∈时，由6557T =≥所以，利润T 不少于57万元当且仅当120150x ≤≤， 于是由频率分布直方图可知市场需求量[]120,150x ∈的频率为()0.0300.0250.015100.7++⨯=，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57万元的概率的估计值为0.7； （3）估计一个销售季度内市场需求量x 的平均数为1050.11150.21250.3x =⨯+⨯+⨯1350.251450.15126.5+⨯+⨯=（吨）由频率分布直方图易知，由于[)100,120x ∈时，对应的频率为()0.010.02100.30.5+⨯=<， 而[)100,130x ∈时，对应的频率为()0.010.020.03100.60.5++⨯=>，因此一个销售季度内市场需求量x 的中位数应属于区间[)120130,，于是估计中位数应为()1200.50.10.20.03126.7+--÷≈（吨）.【点睛】本题考查了分段函数以及频率、平均数和中位数的计算问题，是中档题. 19.如图，四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，33AB CD ==，2PA PD BC ===，90ABC ∠=︒，且PB PC =.（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）求点D 到平面PBC 的距离. 【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明BC ⊥平面PME ，由线面垂直的性质定理可得PM BC ⊥，由线面垂直的判定定理得PM ⊥平面ABCD ，再由面面垂直的判定定理证明平面PAD ⊥平面ABCD 即可.（2）由P BCD D BCP V V --=，利用等体积法，即可求出点D 到平面PBC 的距离. 【详解】（1）解：取AD 、BC 的中点分别为M 、E ，连结PM ，PE ，ME ，因为//AB CD ，33AB CD ==， 所以四边形ABCD 为梯形， 又M 、E 为AD 、BC 的中点， 所以ME 为梯形的中位线， 所以//ME AB ， 又90ABC ∠=︒， 所以ME BC ⊥，因为PB PC =，E 为BC 的中点 所以PE BC ⊥， 又PEME E =，PE ⊂平面PME ，M E ⊂平面PME ，所以BC ⊥平面PME ， 又PM ⊂平面PME ， 故PM BC ⊥，因为PA PD =，M 为AD 中点， 所以PM AD ⊥，又AD ，BC 不平行，必相交于某一点，且AD ，BC 都在平面ABCD 上， 所以PM ⊥平面ABCD ， 又PM ⊂平面PAD ， 则平面PAD ⊥平面ABCD .（2）由（1）及题意知，PM 为三棱锥P BCD -的高，AD =，2ME =，PM =故PE =11222PBC S BC PE =⨯=⨯=△ 而1121122BCD S BC CD =⨯=⨯⨯=△， 设点D 到平面PBC 的距离为h ，由等体积法知：111113333P BCD D BCP BCD PBC V V S PM S h h --==⨯=⨯=⨯=△△，解得h ，所以点D 到平面PBC 【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、性质定理和面面垂直的判定定理，考查了三棱锥的体积公式以及利用等体积法求点到面的距离，考查了转化能力与推理能力，属于中档题.20.椭圆W ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，离心率为2，左、右顶点分别为A ，B .过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆W 截得的线段长为1. （1）求椭圆W 的标准方程；（2）经过点()1,0P 的直线与椭圆W 相交于不同的两点C 、D （不与点A 、B 重合），直线CB 与直线4x =相交于点M ，求证：A 、D 、M 三点共线.【答案】（1）2214x y +=；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知可得221b a=，结合离心率和,,a b c 关系，即可求出椭圆W 的标准方程；（2）CD 斜率不为零，设CD 的方程为1x my =+，与椭圆方程联立，消去x ，得到,C D 纵坐标关系，求出BC 方程，令4x =求出M 坐标，要证A 、D 、M 三点共线，只需证0AD AM k k -=，将AD AM k k -分子用,C D 纵坐标表示，即可证明结论.【详解】（1）由于222c a b =-，将x c =-代入椭圆方程22221x ya b+=，得2b y a =±，由题意知221b a=，即22a b =.又c e a ==2a =，1b =. 所以椭圆W 的方程为2214x y +=.（2）解法一：依题意直线CD 斜率不为0，设CD 的方程为1x my =+，联立方程22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得22(4)230m y my ++-=， 由题意，得>0∆恒成立，设11(,)C x y ，22(,)D x y ， 所以12224m y y m +=-+，12234y y m =-+ 直线CB 的方程为11(2)2y y x x =--.令4x =，得112(4,)2y M x -. 又因为(2,0)A -，22(,)D x y ，则直线AD ，AM 的斜率分别为222AD y k x =+，113(2)AM y k x =-， 所以21211221123(2)(2)23(2)3(2)(2)AD AM y y y x y x k k x x x x --+-=-=+--+. 上式中的分子211221123(2)(2)3(1)()3y x y x y my y my +=--+--121226623()04m m my y y y m -+=-+==+， 0AD AM k k ∴-=.所以A ，D ，M 三点共线.解法二：当直线CD 的斜率k 不存在时，由题意，得CD 的方程为1x =，代入椭圆W的方程，得C，(1,D ， 直线CB的方程为2)y x =-.则(4,M，(6,AM =，(3,AD =， 所以2AM AD =，即A ，D ，M 三点共线.当直线CD 的斜率k 存在时，设CD 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，11(,)C x y ，22(,)D x y ， 联立方程22 (1), 1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得2222(41)8440k x k x k +-+-=. 由题意，得>0∆恒成立，故2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+. 直线CB 的方程为11(2)2y y x x =--.令4x =，得112(4,)2y M x -. 又因为(2,0)A -，22(,)D x y ，则直线AD ，AM 的斜率分别为222AD y k x =+，113(2)AM y k x =-， 所以21211221123(2)(2)23(2)3(2)(2)AD AM y y y x y x k k x x x x --+-=-=+--+. 上式中的分子211221123(2)(2)3(1)(2)(1)(2)y x y x k x x k x x --+=----+121225()8kx x k x x k =-++22224482584141k k k k k k k -=⨯-⨯+++0= 所以0AD AM k k -=.所以A ，D ，M 三点共线.【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，要熟练掌握根与系数关系，设而不求方法解决相交弦问题，考查计算求解能力，属于中档题.21.已知函数f （x ）＝axe x ，g （x ）＝x 2+2x +b ，若曲线y ＝f （x ）与曲线y ＝g （x ）都过点P （1，c ）．且在点P 处有相同切线l ．（Ⅰ）求切线l 的方程；（Ⅱ）若关于x 的不等式k [ef （x ）]≥g （x ）对任意x ∈[﹣1，+∞）恒成立，某某数k 的取值X 围．【答案】（Ⅰ）4x ﹣y ﹣2＝0；（Ⅱ）1e≤k ≤e 【解析】【分析】 （I ）根据切点和斜率列方程，解方程组求得,,a b c 的值，进而求得切线方程.（II ）构造函数()()()h x k ef x g x =-⎡⎤⎣⎦，利用导数研究()h x 的单调性，对k 进行分类讨论，结合()0h x ≥恒成立，由此求得k 的取值X 围.【详解】（Ⅰ）∵f ′（x ）＝ae x （x +1），g ′（x ）＝2x +2，由已知可得()()()()'1'111f g f g c ⎧=⎪⎨==⎪⎩， 即243ae ae b c =⎧⎨=+=⎩，解得a 2e =，b ＝﹣1，c ＝2，∴切线的斜率g ′（1）＝4， ∴切线l 的方程为y ﹣2＝4（x ﹣1），即4x ﹣y ﹣2＝0，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f （x ）＝2xe x ﹣1，g （x ）＝x 2+2x ﹣1，设h （x ）＝k [ef （x ）]﹣g （x ）＝2kxe x ﹣（x 2+2x ﹣1），即h （x ）≥0，对任意x ∈[﹣1，+∞）恒成立，从而h （x ）min ≥0，∴h ′（x ）＝2k （x +1）e x ﹣2（x +1）＝2（x +1）（ke x ﹣1），①当k ≤0时，h ′（x ）≤0，h （x ）在[﹣1，+∞）上单调递减，又h （1）＝2ke ﹣2＜0，显然h （x ）≥0不恒成立，②当k ＞0时，h ′（x ）＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝﹣lnk ，（i ）当﹣lnk ＜﹣1时，即k ＞e 时，h ′（x ）≥0，h （x ）单调递增，又h （x ）min ＝h （﹣1）2k e =-+2()2e k e-=＜0，显然h （x ）≥0不恒成立， （ii ）当﹣lnk ＝﹣1时，即k ＝e 时，h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增，∴h （x ）min ＝h （﹣1）2k e =-+2()2e k e-==0，即h （x ）≥0恒成立，（iii ）当﹣lnk ＞﹣1时，即0＜k ＜e 时，当x ∈[﹣1，﹣lnk ）时，h ′（x ）＜0，h （x ）单调递减，当x ∈（﹣lnk ，+∞）时，h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增，∴h （x ）min ＝h （﹣lnk ）＝-2lnk ﹣（ln 2k ﹣2lnk ﹣1）＝1﹣ln 2k ≥0，解得1e ≤k ≤e ，∴1e ≤k ＜e ， 综上所述得：1e≤k ≤e ． 【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.已知曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），曲线2C的参数方程为82x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）． （1）求1C 和2C 的普通方程；（2）过坐标原点O 作直线交曲线1C 于点M （M 异于O ），交曲线2C 于点N ，求||||ON OM 的最小值．【答案】（1）曲线1C 的普通方程为：22(2)4x y -+=；曲线2C 的普通方程为：80x y +-=；（2）1)．【解析】【分析】（1）利用22sin cos 1αα+=，可得1C 的普通方程，根据加减消元可得2C 的普通方程.（2）设出过原点O 的直线的极坐标方程，代入曲线12,C C 的极坐标方程，求得,ON OM 的表达式，结合三角函数值域的求法，求得||||ON OM 的最小值. 【详解】（1）22cos 22cos 2sin 2sin x x y y αααα=+-=⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩，得22(2)4x y -+= 曲线1C 的普通方程为：22(2)4x y -+=；880x x y y ⎧=⎪⎪⇒+-=⎨⎪=⎪⎩曲线2C 的普通方程为：80x y +-=．（2）设过原点的直线的极坐标方程为30,,4R πθββπβρ⎛⎫=≤<≠∈ ⎪⎝⎭； 由22(2)4x y -+=得2240x y x +-=，所以曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=在曲线1C 中，4|o |c s OM β=． 由80x y +-=得曲线2C 的极坐标方程为cos sin 80ρθρθ+-=，所以O 到直线与曲线2C 的交点N 的距离为8||sin cos ON ββ=+， 因此28||2sin cos ||4cos sin cos cos ββββββ+==+ON OM ， ||4||214πβ=⎛⎫++ ⎪⎝⎭ON OM ， 当sin 214πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，则||||ON OM 1)=． 【点睛】本题主要考查参数方程化为普通方程，考查直角坐标方程化为极坐标方程，考查极坐标系下距离的有关计算，属于中档题.23.已知函数()|1||1|f x ax x =++-.（1）若2a =，解关于x 的不等式()9f x <；（2）若当0x >时，()1f x >恒成立，某某数a 的取值X 围.【答案】（1）{}|33x x -<<（2）()0,a ∈+∞【解析】【分析】（1）利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.（2）对a 分成0,0,0a a a >=<三种情况，求得()f x 的最小值，由此求得a 的取值X 围.【详解】（1）当2a =时，3,11()2112,1213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪>⎪⎪=++-=+-≤≤⎨⎪⎪-<-⎪⎩， 由此可知，()9f x <的解集为{}|33x x -<<（2）当0a >时，()()()1,11()1112,111,a x x f x ax x a x x a a x x a ⎧⎪+>⎪⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪⎪-+<-⎪⎩()f x 的最小值为1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1f 中的最小值，其中1111f a a ⎛⎫-=+> ⎪⎝⎭，(1)11f a =+>.所以()1f x >恒成立.当0a =时，()111f x x =-+≥，且(1)1f =，()1f x >不恒成立，不符合题意.当0a <时，()1111,1f a f a a ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭， 若20a -≤<，则()11f ≤，故()1f x >不恒成立，不符合题意；若2a <-，则11f a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，故()1f x >不恒成立，不符合题意. 综上，()0,a ∈+∞.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据绝对值不等式恒成立求参数的取值X 围，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.。
2020年黑龙江省大庆实验中学高考(文科)数学一模试卷 (解析版)
2020年高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题） 1．已知集合A ={x|x−1x−3≥0}，集合B ＝{x ∈N|﹣1≤x ≤5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，1，3，4，5} B ．{0，1，4，5} C ．{1，4，5} D ．{1，3，4，5}2．设复数z 满足（1+i ）z ＝3+i ，则|z |＝（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．√53．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3+a 5＝4，S 15＝60，则a 20＝（ ） A ．4B ．6C ．10D ．124．已知向量a →=(−1，2)，b →=(x ，x −1)，若(b →−2a →)∥a →，则x ＝（ ）A ．13B ．23C ．1D ．35．《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．如图是赵爽弦图及注文．弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱色及黄色，其面积称为朱实、黄实，由2×勾×股+（股﹣勾）2＝4×朱实+黄实＝弦实，化简得勾2+股2＝弦2．若图中勾股形的勾股比为1：√2，向弦图内随机抛掷100颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉颗数大约为（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）（ ）A ．2B ．4C ．6D ．86．将函数f （x ）＝sin （2x +φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移π6个单位，得到函数g （x ）的图象关于y 轴对称，下述四个结论： ①g （x ）在区间[0，π3]上单调递减； ②g （x ）的图象关于(π2，0)对称； ③f （x ）的图象关于x =π6对称；④f （x ）在[−π6，π4]上的值域为[−12，√32]．其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．①③C ．③④D ．①③④7．若命题“∃x 0∈R ，x 02+2mx 0+m +2＜0”为假命题，则m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） B ．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） C ．[﹣1，2]D ．（﹣1，2）8．已知正四棱锥S ﹣ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE ，SD 所成角的余弦值为（ ） A ．√23B ．√23C ．√33D ．239．若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆x 2+y 2﹣4y ＝0截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．2√23D ．2√3310．(2√3sin70°−tan70°)sin80°=（ ） A ．12B ．√32C ．√3D ．111．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n+1=n+2n S n(n ∈N ∗)，则S n ＝（ ） A ．2n ﹣1+1B ．n •2nC ．3n ﹣1D ．2n •3n ﹣112．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，且AF 1→⋅AF 2→=0，AF 2→=2F 2B →，则椭圆E 的离心率为（ ） A ．23B ．34C ．√53D ．√74二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13．已知实数x ，y 满足约束条件{x −y +3≥0x +2y ≥0x ≤2，则z ＝3x +y 最小值为 ．14．已知函数f(x)=2ef′(e)lnx −xe ，则函数f （x ）的极大值为 ．15．在半径为2的圆上有A ，B 两点，且AB ＝2，在该圆上任取一点P ，则使得△PAB 为锐角三角形的概率为 ．16．△ABC 是边长为2√3的等边三角形，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，EF ∥BC ，沿EF把AEF折起，使点A翻折到点P的位置，连接PB、PC，则四棱锥P﹣BCFE的外接球的表面积的最小值为，此时四棱锥P﹣BCFE的体积为．二、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，AD＝2AB ＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°．（1）AD上是否存在一点M，使得平面PCM⊥平面ABCD；若存在，请证明，若不存在，请说明理由；（2）若△PCD的面积为8√7，求四棱锥P﹣ABCD的体积．18．如图，在△ABC中，点D在BC上，∠CAD=π4，AC=72，cos∠ADB=−√210．（1）求sin C的值；（2）若BD＝5，求AB的长．19．在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习．某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占813，统计成绩后得到如下2×2列联表：分数不少于120分分数不足120分合计线上学习时间不少于5小时419线上学习时间不足5小时合计 45（1）请完成上面2×2列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）在上述样本中从分数不少于120分的学生中，按照分层抽样的方法，抽到线上学习时间不少于5小时和线上学习时间不足5小时的学生共5名，若在这5名学生中随机抽取2人，求至少1人每周线上学习时间不足5小时的概率． （下面的临界值表供参考） P （K 2≥k 0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ） 20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率e =√22，且椭圆过点（√2，1）（1）求椭圆C 的标准方程（2）设直线l 与C 交于M ，N 两点，点D 在C 上，O 是坐标原点，若OM →+ON →=OD →，判定四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由． 21．已知函数f(x)=axsinx −12a(a ∈R ，a ≠0)， （1）讨论f （x ）在[0，π2]上的单调性．（2）当a ＞0时，若f （x ）在[0，π2]上的最大值为π﹣1，讨论：函数f （x ）在（0，π）内的零点个数．选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =√3cosαy =sinα（α为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π6)=2． （1）求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；（2）设A ，B 为曲线C 1上位于第一，二象限的两个动点，且∠AOB =π2，射线OA ，OB 交曲线C 2分别于D ，C ，求△AOB 面积的最小值，并求此时四边形ABCD 的面积． [选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c均为正实数，函数f(x)=|x+12|+|x−1b2|+12的最小值为1．证明：（1）a2+b2+4c2≥9；（2）1ab +12bc+12ac≤1．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求. 1．已知集合A ={x|x−1x−3≥0}，集合B ＝{x ∈N|﹣1≤x ≤5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，1，3，4，5} B ．{0，1，4，5} C ．{1，4，5} D ．{1，3，4，5}【分析】分别求出A 、B 中的元素，取交集即可． 解：∵A ={x|x−1x−3≥0}={x |x ＞3或x ≤1}， B ＝{x ∈N|﹣1≤x ≤5}＝{0，1，2，3，4，5}， ∴A ∩B ＝{0，1，4，5}， 故选：B ．【点评】本题考查了集合的运算，考查解不等式问题，是一道基础题． 2．设复数z 满足（1+i ）z ＝3+i ，则|z |＝（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．√5【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．解：由（1+i ）z ＝3+i ，得z =3+i1+i =(3+i)(1−i)(1+i)(1−i)=2−i ， ∴|z |=√22+(−1)2=√5． 故选：D ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题． 3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3+a 5＝4，S 15＝60，则a 20＝（ ） A ．4B ．6C ．10D ．12【分析】利用等差数列{a n }的通项公式和前n 项和公式列出方程组，求出a 1=12，d =12，由此能求出a 20．解：等差数列{a n }的前n 项和为S n ， ∵a 3+a 5＝4，S 15＝60， ∴{a 1+2d +a 1+4d =415a 1+15×142d =60，解得a1=12，d=12，∴a20＝a1+19d=12+19×12=10．故选：C．【点评】本题考查等差数列前20项和的求法，考查等差数列的通项公式、前n项和公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．4．已知向量a→=(−1，2)，b→=(x，x−1)，若(b→−2a→)∥a→，则x＝（）A．13B．23C．1D．3【分析】可求出b→−2a→=(x+2，x−5)，然后根据(b→−2a→)∥a→，即可得出2（x+2）+x﹣5＝0，解出x的值即可．解：∵b→−2a→=(x+2，x−5)，(b→−2a→)∥a→，∴2（x+2）+x﹣5＝0，解得x=1 3．故选：A．【点评】本题考查了向量坐标的减法和数乘运算，平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．5．《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．如图是赵爽弦图及注文．弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱色及黄色，其面积称为朱实、黄实，由2×勾×股+（股﹣勾）2＝4×朱实+黄实＝弦实，化简得勾2+股2＝弦2．若图中勾股形的勾股比为1：√2，向弦图内随机抛掷100颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉颗数大约为（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）（）A．2B．4C．6D．8【分析】设勾为a ，则股为√2a ，弦为√3a ，求出大的正方形的面积及小的正方形面积，再求出图钉落在黄色图形内的概率，乘以100得答案．解：设勾为a ，则股为√2a ，∴弦为√3a ，则图中大四边形的面积为3a 2，小四边形的面积为＝（√2−1）2a 2＝（3﹣2√2）a 2， 则由测度比为面积比3−2√23，可得图钉落在黄色图形内的概率为3−2√23=1−2√23≈0.06． ∴落在黄色图形内的图钉数大约为100×0.06＝6． 故选：C ．【点评】本题考查几何概型，考查几何概型概率公式的应用，是基础的计算题． 6．将函数f （x ）＝sin （2x +φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移π6个单位，得到函数g （x ）的图象关于y 轴对称，下述四个结论： ①g （x ）在区间[0，π3]上单调递减； ②g （x ）的图象关于(π2，0)对称； ③f （x ）的图象关于x =π6对称；④f （x ）在[−π6，π4]上的值域为[−12，√32]．其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．①③C ．③④D ．①③④【分析】由平移公式求出函数g （x ），根据偶函数的定义求出φ，代入f （x ）和g （x ）的解析式中，再分别根据正余弦函数的图象，判断函数的单调性，对称性以及函数的值域．解：函数f （x ）＝sin （2x +φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移π6个单位，得到g （x ）＝sin[2（x +π6）+φ]＝sin （2x +π3+φ），g （x ）图象关于y 轴对称，则π3+φ＝k π+π2，解得φ＝k π+π6（k ∈Z ），又0＜φ＜π，则φ=π6，f （x ）＝sin （2x +π6），g （x ）＝cos2x ． 对于①，x ∈[0，π3]时，2x ∈[0，2π3]，则g （x ）在[0，π3]单调递减，正确；对于②，g （π2）＝﹣1，故错误；对于③，f（π6）＝1，故图象关于x=π6对称，正确；对于④，x∈[−π6，π4]时，2x+π6∈[−π6，2π3]，则f（x）∈[−12，1]，错误；故选：B．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，属于中档题．7．若命题“∃x0∈R，x02+2mx0+m+2＜0”为假命题，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）C．[﹣1，2]D．（﹣1，2）【分析】由于命题：“∃x0∈R，使得x02+2mx0+m+2＜0”为假命题，可得命题的否定是：“∀x∈R，x2+2mx+m+2≥0”为真命题，因此△≤0，解出即可．解：∵命题：“∃x0∈R，使得x02+2mx0+m+2＜0”为假命题，∴命题的否定是：“∀x∈R，x2+2mx+m+2≥0”为真命题，∴△≤0，即4m2﹣4（m+2）≤0，解得﹣1≤m≤2．∴实数m的取值范围是[﹣1，2]．故选：C．【点评】本题考查了非命题、一元二次不等式恒成立与判别式的关系，属于基础题．8．已知正四棱锥S﹣ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成角的余弦值为（）A．√23B．√23C．√33D．23【分析】根据异面直线所成角的定义可得分别取SC，DC，AD边的中点F，G，H易得EF∥HA，EF＝HA，故四边形AEFH为平行四边形，所以AE∥DF，又根据中点的性质可得FG∥SD从而将异面直线转化为了相交直线，即∠HFG或其补角即为异面直线AE、SD所成的角，然后再利用余弦定理，求∠HFG的余弦值即可．解：由于正四棱锥S﹣ABCD的侧棱长与底面边长都相等，故不妨设棱长为a．取SC的中点F，连接EF，则EF∥BC，EF=12BC，取AD的中点H连接HF则可得EF∥HA，EF＝HA，故四边形AEFH为平行四边形，所以AE∥HF．再取DC中点G，连接HG，则FG∥SD，所以∠HFG或其补角即为异面直线AE、SD所成的角．∵HF ＝AE =√32a ，FG =12a ，HG =√DH 2+DG 2=√22A ，∴cos ∠HFGHF 2+FG 2−HG 22HF⋅FG=√33＞0． 即AE 、SD 所成的角的余弦值为√33． 故选：C ．【点评】本题主要考查了异面直线所成的角．解题的关键是要紧紧抓住利用平行的传递性（通常利用平行四边形的性质或中位线定理）将异面直线转化为相交直线然后在三角形中利用余弦定理求解（要注意的是利用于余弦值的正负判断是这个角还是这个角的补角）． 9．若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆x 2+y 2﹣4y ＝0截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．2√23D ．2√33【分析】先把圆的方程化为坐标方程，得到圆心坐标和半径，由渐近线被圆x 2+y 2﹣4y ＝0截得的弦长为2，可得圆心到渐近线距离d =√r 2−12=√3，再利用点到直线距离公式即可求出离心率的值．解：圆x 2+y 2﹣4y ＝0化为标准方程为：x 2+（y ﹣2）2＝4， ∴圆心为（0，2），半径r ＝2，∵渐近线被圆x 2+y 2﹣4y ＝0截得的弦长为2，∴圆心到渐近线距离d =√r 2−12=√3，又渐近线方程为bx ±ay ＝0， ∴√a 2+b 2=√3，即2a c=√3∴离心率e =c a =2√33，故选：D ．【点评】本题主要考查了双曲线的性质，以及直线与圆的位置关系，是中档题．10．(2√3sin70°−tan70°)sin80°=（ ） A ．12B ．√32C ．√3D ．1【分析】化切为弦，通分后利用两角和与差的三角函数化简求值． 解：(2√3sin70°−tan70°)sin80° =(2√3sin70°−sin70°cos70°)sin80° =2√3sin70°cos70°−sin70°cos70°⋅sin80° =√3sin40°−sin(40°+30°)cos70°sin80°=√32sin40°−12cos40°cos70°⋅cos10°=sin10°cos70°⋅cos10°=sin20°2cos70° =12． 故选：A ．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查两角和与差的三角函数，是中档题． 11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n+1=n+2n S n(n ∈N ∗)，则S n ＝（ ） A ．2n ﹣1+1B ．n •2nC ．3n ﹣1D ．2n •3n ﹣1【分析】根据a n +1＝S n +1﹣S n ，化简式子，根据等比数列的通项公式运算，最终求出S n ． 解：法一：排除法：a 2＝6，a 3＝16，验证知B 对． 法二：∵a n+1=n+2nS n (n ∈N ∗)， ∴S n+1−S n =n+2n S n ，化简得：S n+1n+1=2Sn n， ∴数列{S n n}是以2为首项，2为公比的等比数列，S n n=2n ，S n =n ⋅2n ．故选：B ．【点评】本题主要考查等比数列的定义与通项公式的求解，a n 与S n 的关系是解决本题的关键．12．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，且AF 1→⋅AF 2→=0，AF 2→=2F 2B →，则椭圆E 的离心率为（ ） A ．23B ．34C ．√53D ．√74【分析】设|AB |＝3m ，|AF 2|＝2|F 2B |，可得|AF 2|＝2m ，|F 2B |＝m ，|AF 1|＝2a ﹣2m ，|BF 1|＝2a ﹣m ．由AF 1→⋅AF 2→=0，可得AB ⊥AF 1，利用勾股定理即可得出． 解：设|AB |＝3m ，|AF 2|＝2|F 2B |， ∴|AF 2|＝2m ，|F 2B |＝m ， ∴|AF 1|＝2a ﹣2m ，|BF 1|＝2a ﹣m ． ∵AF 1→⋅AF 2→=0，∴AB ⊥AF 1， ∴4c 2＝（2m ）2+（2a ﹣2m ）2，（2a ﹣m ）2＝（3m ）2+（2a ﹣2m ）2，即m =13a ， ∴4c 2=49a 2+169a 2， ∴9c 2＝5a 2， ∴ca =√53． 故选：C ．【点评】本题考查了椭圆与圆的定义标准方程及其性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13．已知实数x ，y 满足约束条件{x −y +3≥0x +2y ≥0x ≤2，则z ＝3x +y 最小值为 ﹣5 ．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：由实数x ，y 满足约束条件{x −y +3≥0x +2y ≥0x ≤2作出可行域如图，联立{x −y +3=0x +2y =0，解得A （﹣2，1），化目标函数z ＝3x +y 为y ＝﹣3x +z ，由图可知，当直线y ＝﹣3x +z 过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为3×（﹣2）+1＝﹣5． 故答案为：﹣5．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 14．已知函数f(x)=2ef′(e)lnx −xe ，则函数f （x ）的极大值为 2ln 2 ．【分析】先求出导函数f '（x ）=2ef′(e)x−1e，令x ＝e 得f '（e ）=1e，所以f （x ）＝2lnx −xe ，x ∈（0，+∞），再利用导数即可求出函数f （x ）的极大值． 解：∵函数f(x)=2ef′(e)lnx −xe ，x ∈（0，+∞），∴f '（x ）=2ef′(e)x−1e，令x ＝e 得，f '（e ）＝2f '（e ）−1e，∴f '（e ）=1e，∴f （x ）＝2lnx −xe ，x ∈（0，+∞）， ∴f '（x ）=2x −1e=2e−xex ，令f '（x ）＝0得，x ＝2e ， 当x ∈（0，2e ）时，f '（x ）＞0，函数f （x ）单调递增；当x ∈（2e ，+∞）时，f '（x ）＜0，函数f （x ）单调递减，∴当x ＝2e 时，函数f （x ）取极大值，极大值为f （2e ）＝2ln 2， 故答案为：2ln 2．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，是中档题．15．在半径为2的圆上有A ，B 两点，且AB ＝2，在该圆上任取一点P ，则使得△PAB 为锐角三角形的概率为16．【分析】先找到等于90°的分界点，进而求得结论． 解：由∠ABQ ＝90°，∠BAP ＝90°， 延长BO 到P ，AO 到Q ；当点P 位于劣弧PQ 之间时，△ABP 为锐角三角形， 因为AO ＝OB ＝AB ；所以：∠AOB ＝∠POQ ＝60°； 所以其概率为：P =60°360°=16．故答案为：16．【点评】本题主要考查几何概型，此题涉及到弧长问题，属于基础题目．16．△ABC 是边长为2√3的等边三角形，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，EF ∥BC ，沿EF 把AEF 折起，使点A 翻折到点P 的位置，连接PB 、PC ，则四棱锥P ﹣BCFE 的外接球的表面积的最小值为 12π ，此时四棱锥P ﹣BCFE 的体积为√64． 【分析】由题意画出图形，BC 的中点O 为等腰梯形BCFE 的外接圆的圆心，可知要使四棱锥P ﹣BCFE 的外接球的表面积最小，则半径最小，即需要O 为四棱锥P ﹣BCFE 的外接球的球心，由此可得OP ，由球的表面积公式求表面积，再求解三角形得到P 到平面BCFE 的距离，求出等腰梯形BCFE 的面积，代入棱锥体积公式求解． 解：如图，由题意，BC 的中点O 为等腰梯形BCFE 的外接圆的圆心，则四棱锥P﹣BCFE的外接球的球心在过O且垂直于平面BCFE的直线上，要使四棱锥P﹣BCFE的外接球的表面积最小，则半径最小，即需要O为四棱锥P﹣BCFE 的外接球的球心，此时OP＝OB=√3，四棱锥外接球的表面积S=4π×(√3)2=12π；PG＝OG=12OA=32，则cos∠POG=3+94−942×3×32=√33，∴P到平面BCFE的距离为d＝OP•sin∠POG=√2．又S四边形BCEF =12（√3+2√3）×32=9√34．∴四棱锥P﹣BCFE的体积为V=13×9√34×√2=3√64．故答案为：12π；3√6 4．【点评】本题考查多面体的外接球，考查数学转化思想方法，训练了多面体体积的求法，是中档题．二、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，AD＝2AB ＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°．（1）AD上是否存在一点M，使得平面PCM⊥平面ABCD；若存在，请证明，若不存在，请说明理由；（2）若△PCD的面积为8√7，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【分析】（1）当M为AD的中点时，使得平面PCM⊥平面ABCD．运用面面垂直的性质定理和判定定理，即可得证；（2）设AB ＝a ，运用三角形的勾股定理和线面垂直的性质，可得a ＝4，求得PM 和四边形ABCD 的面积，由棱锥的体积公式可得所求．解：（1）当M 为AD 的中点时，使得平面PCM ⊥平面ABCD ． 证明：由△PAD 是等边三角形，可得PM ⊥AD ，而平面PAD ⊥平面ABCD ，AD 为平面PAD 和平面ABCD 的交线，可得PM ⊥平面ABCD ， 又PM ⊂平面PMC ，可得平面PCM ⊥平面ABCD ； （2）设AB ＝a ，可得BC ＝a ，AD ＝2a ，连接MC ，可得MC ＝AB ＝MD ＝a ，则CD =√2a ，PD ＝2a ， 由PM ⊥MC ，可得PC =√PM 2+MC 2=√3a 2+a 2=2a ，而△PCD 的面积为12•√2a •√4a 2−12a 2=√72a 2＝8√7，可得a ＝4，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为V =13S 四边形ABCD •PM =13•12•（4+8）•4•4√3=32√3．【点评】本题考查空间面面垂直的判定和性质的运用，考查棱锥的体积的求法，考查运算求解能力和推理能力，属于中档题．18．如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，∠CAD =π4，AC =72，cos∠ADB =−√210．（1）求sin C 的值；（2）若BD ＝5，求AB 的长．【分析】（1）由已知结合同角平方关系及两角差的三角公式即可求解； （2）由已知结合正弦定理及余弦定理即可求解．解：（1）∵cos∠ADB=−√210，∴sin∠ADB=1−(210)2=7√210．由∠CAD=π4，所以∠C=∠ADB−π4．∴sinC=sin(∠ADB−π4)=sin∠ADB⋅cosπ4−cos∠ADB⋅sinπ4=7√210×√22+√210×√22=45．（2）在△ACD中，由ADsinC=ACsin∠ADC，得AD=AC⋅sinCsin∠ADC=72×457210=2√2，△ABD中，由余弦定理可得AB2＝BD2+AD2﹣2BD•AD cos∠ADB=52+(2√2)2−2×5×2√2×(−√210)=37，∴AB=√37．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及和差角公式，同角平方关系的综合应用，属于中档试题．19．在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习．某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占813，统计成绩后得到如下2×2列联表：分数不少于120分分数不足120分合计线上学习时间不少于5小时419线上学习时间不足5小时合计45（1）请完成上面2×2列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）在上述样本中从分数不少于120分的学生中，按照分层抽样的方法，抽到线上学习时间不少于5小时和线上学习时间不足5小时的学生共5名，若在这5名学生中随机抽取2人，求至少1人每周线上学习时间不足5小时的概率．（下面的临界值表供参考）P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d）【分析】（1）根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论；（2）先求出抽到线上学习时间不少于5小时的学生人数和线上学习时间不足5小时的学生人数，再利用古典概型的概率公式即可求出结果．解：（1）根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：分数不少于1（20分）分数不足1（20分）合计线上学习时间不少于5小时15419线上学习时间不足5小时101626合计252045∵k=45(15×16−10×4)225×20×19×26≈7.287＞6.635，∴有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）依题意，抽到线上学习时间不少于5小时的学生5×1525=3人，设为A1，A2，A3，线上学习时间不足5小时的学生2人，设为B1，B2，所有基本事件有：（B1，A1），（B1，A2），（B1，A3），（B2，A1），（B2，A2），（B2，A3），（B1，B2），（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），共10种至少1人每周线上学习时间不足5小时包括：（B1，A1），（B1，A2），（B1，A3），（B2，A1），（B2，A2），（B2，A3），（B1，B2）共7种，设至少1人每周线上学习时间不足5小时为事件H，则P(H)=7 10．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，考查了古典概型的概率公式，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．20．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率e=√22，且椭圆过点（√2，1）（1）求椭圆C的标准方程（2）设直线l与C交于M，N两点，点D在C上，O是坐标原点，若OM→+ON→=OD→，判定四边形OMDN的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由．【分析】（1）由题意可得{ c a=√222a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，解得即可得到所求椭圆方程；（2）当直线l 的斜率不存在时，直线MN 的方程为x ＝﹣1或x ＝1，此时可求得四边形OMDN 的面积为．当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程是y ＝kx +m ，根据弦长公式，即可求出四边形OMDN 的面积．解：（1）由题意可得{ ca=√222a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，解得a 2＝4，b 2＝2则椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1，（2）当直线l 的斜率不存在时，直线MN 的方程为x ＝﹣1或x ＝1， 此时可求得四边形OMDN 的面积为√6．当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程是y ＝kx +m ， 代入到x 24+y 22=1，得（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣4＝0，∴x 1+x 2=−4km 1+2k2，x 1x 2=2m 2−41+2k2，△＝8（4k2+2﹣m 2）＞0，∴y 1+y 2＝k （x 1+x 2）+2m =2m 1+2k2，|MN |=√1+k 2×2√2⋅√4k 2+2−m 21+2k2点O 到直线MN 的距离d =√1+k ，由OM →+ON →=OD →，得x D =−4km 1+2k 2，y D =2m 1+2k2∵点D 在曲线C 上，所以有(−4km 1+2k 2)24+(2m 1+2k 2)22=1，整理得1+2k 2＝2m 2，由题意四边形OMDN 为平行四边形，∴OMDN 的面积为S OMDN ＝|MN |•d =√1+k 2•2√2⋅√4k 2+2−m 21+2k 2•√1+k 2=2√2|m|⋅√4k 2+2−m 21+2k2由1+2k 2＝2m 2得S OMDN =√6，故四边形OMDN 的面积是定值，其定值为√6．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量的平行四边形法则、考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．已知函数f(x)=axsinx −12a(a ∈R ，a ≠0)，（1）讨论f （x ）在[0，π2]上的单调性．（2）当a ＞0时，若f （x ）在[0，π2]上的最大值为π﹣1，讨论：函数f （x ）在（0，π）内的零点个数．【分析】（1）对a 分大于零和小于零两种情况讨论，利用导数即可求出函数f （x ）在[0，π2]上的单调性；（2）由（1）知a ＞0时f （x ）的最大值为f(π2)=π2a −12a ，从而求出a ＝2，又因为f （x ）在[0，π2]上单调递增，且f （0）＝﹣1＜0，f(π2)=π−1＞0，所以f （x ）在(0，π2)内有且仅有1个零点．再讨论当x ∈(π2，π)时，函数f （x ）存在一个极值点x 0，利用导数得到f （x ）在(π2，x 0)上无零点，f （x ）在（x 0，π）内有且仅有1个零点，所以函数f （x ）在（0，π）内有2个零点． 解：（1）f '（x ）＝a （sin x +x cos x ）， 当a ＜0，x ∈(0，π2)时，sin x ＞0，cos x ＞0， ∴f '（x ）＜0，f （x ）单调递减，当a ＞0，x ∈(0，π2)时，sin x ＞0，cos x ＞0， ∴f '（x ）＞0，f （x ）单调递增，综上得：当a ＜0，f （x ）在[0，π2]单调递减；a ＞0时，f （x ）在[0，π2]单调递增； （2）由（1）知a ＞0时f （x ）的最大值为f(π2)=π2a −12a 由π2a −12a =π−1得a ＝2，∴f （x ）＝2x sin x ﹣1，又∵f （x ）在[0，π2]上单调递增； 且f （0）＝﹣1＜0，f(π2)=π−1＞0， ∴f （x ）在(0，π2)内有且仅有1个零点．当x ∈[π2，π)时，令g （x ）＝f '（x ）＝2（sin x +x cos x ），g '（x ）＝2（2cos x ﹣x sin x ）＜0，∴g （x ）在(π2，π)内单调递减，且g(π2)=2＞0，g （π）＝﹣2π＜0，∴存在x 0∈(π2，π)，使得g （x 0）＝0， ∴①当x ∈(π2，x 0)时，f '（x ）＞0，f （x ）在(π2，x 0)单调递增， ∴x ∈[π2，x 0)时，f(x)≥f(π2)=π−1＞0， ∴f （x ）在(π2，x 0)上无零点，②当x ∈（x 0，π）时，f '（x ）＜0，f （x ）在（x 0，π）内单调递减， 又∵f （x 0）＞0，f （π）＝﹣1＜0， ∴f （x ）在（x 0，π）内有且仅有1个零点， 综上所求：函数f （x ）在（0，π）内有2个零点．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和零点，是中档题． 一、选择题22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =√3cosαy =sinα（α为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π6)=2． （1）求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；（2）设A ，B 为曲线C 1上位于第一，二象限的两个动点，且∠AOB =π2，射线OA ，OB 交曲线C 2分别于D ，C ，求△AOB 面积的最小值，并求此时四边形ABCD 的面积． 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用极径的应用和三角形的面积公式的应用求出结果． 解：（1）由曲线C 1的参数方程为{x =√3cosαy =sinα（α为参数）消去参数得x 23+y 2=1曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π6)=2， 即ρsinθcos π6+ρcosθsin π6=2， 转换为直角坐标方程得：x +√3y −4=0（2）依题意得C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ3+ρ2sin 2θ=1设A （ρ1，θ），B(ρ2，θ+π2)，D （ρ3，θ），C(ρ4，θ+π2) 则ρ12cos 2θ3+ρ12sin 2θ=1，ρ22sin 2θ3+ρ22cos 2θ=1， 故1ρ12+1ρ22=43∴2ρ1ρ2≤1ρ12+1ρ22=43，当且仅当ρ1＝ρ2（即θ=π4时取“＝”）故S △AOB =12ρ1ρ2≥34，即△AOB 面积的最小值为34此时S △COD =12ρ3ρ4=122sin(π4+π6)⋅2cos(π4+π6)=4cos π3=8故所求四边形的面积为8−34=294． 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲]23．已知a ，b ，c 均为正实数，函数f(x)=|x +1a 2|+|x −1b2|+14c 2的最小值为1．证明： （1）a 2+b 2+4c 2≥9； （2）1ab+12bc+12ac≤1．【分析】（1）由绝对值不等式的性质可得f （x ）的最小值为1a +1b +14c ，再由乘1法和三元均值不等式，即可得证；（2）由二元均值不等式，结合累加法和不等式的性质，即可得证． 【解答】证明：（1）f(x)=|x +1a 2|+|x −1b 2|+14c 2≥|x +1a 2−x +1b2|+14c 2=1a 2+1b 2+14c 2， 当−1a 2≤x ≤1b 2时，上式取得等号，则f （x ）的最小值为1a 2+1b 2+14c 2， 即有1a 2+1b 2+14c 2=1，所以a 2+b 2+4c 2＝（a 2+b 2+4c 2）（1a 2+1b 2+14c2）≥3√a 2b 2⋅4c 23•3√14a 2b 2c 23=9，当且仅当a ＝b ＝2c 时，等号成立；（2）由a，b，c＞0，可得1a2+1b2≥2ab，1 b2+14c2≥22bc，1 a +14c≥22ac，三式相加可得2（1a+1b+14c）≥2（1ab+12bc+12ac），可得1ab +12bc+12ac≤1（当且仅当a＝b＝2c取得等号）．【点评】本题考查绝对值不等式的性质和均值不等式的运用：证明不等式，考查化简变形能力和推理能力，属于中档题．。
黑龙江省大庆实验中学2020届高三5月第一次模拟数学(文)试题答案
大庆实验中学2020届高三五月第一次模拟考试 数学（文）参考答案13、5- 14、2ln 2 15、1616、12,4π 17、解（1）存在点M 为AD 中点，使得平面PCM ⊥平面ABCD ，证明如下：取AD 中点为M ，连接,PM MC ，PAD ∆Q 为等边三角形，M 为AD 中点，PM AD∴⊥；又Q 平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD =AD ，PM ⊂平面PAD ，PM AD ⊥， ∴PM ⊥平面ABCD ，又PM ⊂Q 平面PCM ，∴平面PCM ⊥平面ABCD .（2）不妨设2AD x =，故可得AB BCMC MD x ====， 由（1）可知PMC ∆为直角三角形，且PM AD ==，MC x=，故可得2PC x =；在PCD ∆中，因为2,2,PC x PD AD x CD ====，则222324PC PD CD cos CPD PC PD +-∠==⨯，则sin CPD ∠=故可得其面积212S sin CPD PC PD x =⨯∠⨯⨯==4x =； 故可得()12242ABCD PM S x x x ===+⨯= 又由（1）可知，PM ⊥平面ABCD ，故112433P ABCD ABCD V S PM -=⨯=⨯⨯=.故四棱锥P ABCD -的体积为BCD18.解析：（1）cos 10ADB ∠=-Q ∴1027)102(1sin 2=-=∠ADB . 由4π=∠CAD ，所以4π-∠=∠ADB C . sin sin()sin cos cos sin 444C ADB ADB ADB πππ∴=∠-=∠⋅-∠⋅41021025=⨯+⨯=. （2）在ACD ∆中，由ADC AC C AD ∠=sin sin ，得2210275427sin sin =⨯=∠⋅=ADC C AC AD ， ABD ∆中，由余弦定理可得2222cos AB BD AD BD AD ADB=+-⋅∠22525(37=+-⨯⨯=AB ∴=19.解：245(1516104)7.287 6.63525201926k ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯Q∴有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”（2）依题意，抽到线上学习时间不少于5小时的学生155325⨯=人，设为1A ,2A ,3A ，线上学习时间不足5小时的学生2人，设为1B ,2B所有基本事件有：11(,)B A ,12(,)B A ,13(,)B A ,21(,)B A ,22(,)B A ,23(,)B A ,12(,)B B ,12(,)A A ,13(,)A A ,23(,)A A ,共10种至少1人每周线上学习时间不足5小时包括：11(,)B A ,12(,)B A ,13(,)B A ,21(,)B A ,22(,)B A ,23(,)B A ,12(,)B B 共7种20、解（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，由题意可得22222211c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得24a =，22b =，因此，椭圆C 的标准方程为22142x y +=；（2）当直线l 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =-或1x =.若直线l 的方程为1x =，联立221142x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得12x y =⎧⎪⎨=±⎪⎩，此时，MN=OMDN的面积为122= 同理，当直线l 的方程为1x=-时，可求得四边形OMDN ； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程是y kx m =+，代人到22142x y +=，得()222124240k x kmx m +++-=，122412km x x k -∴+=+，21222412m x x k-=+，()228420k m ∆=+->，()12122221m y y k x x m k ∴+=++=+，12212MN x x k=-==+，点O到直线MN 的距离d =由OM OC OD +=u u u u r u u u r u u u r，得122421D km x x x k =+=-+，122212D my y y k =+=+， Q 点D 在椭圆C 上，所以有222421212142km m k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，整理得22122k m +=，由题意知，四边形OMDN 为平行四边形，∴平行四边形OMDN的面积为2122212OMDN OMNS S MN d k ∆==⨯⨯=+()222121kk+====+.故四边形OMDN.21、解（1）()()sin cos sin cosf x a x ax x a x x x'=+=+当0,2xπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin cos0x x x+>∴当0a>，0,2xπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x'>；当0a<，0,2xπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x'<∴当0a>时，()f x在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；当0a<时，()f x在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减（2）由（1）知，当0a>时，()f x在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增()max11sin122222f x f a a aπππππ-⎛⎫∴==-==-⎪⎝⎭，解得：2a=()2sin1f x x x∴=-()()2sin cosf x x x x'∴=+()f xQ在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()00110f=-=-<，102fππ⎛⎫=->⎪⎝⎭()110,,02x f xπ⎛⎫∴∃∈=⎪⎝⎭使得()f x∴在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有1个零点令()sin cosg x x x x=+，,2xππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，()cos cos sin2cos sing x x x x x x x x'=+-=-当,2xππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，cos0x≤，sin0x>，0x>()0g x'∴<()g x∴在,2pp轹÷ê÷÷êøë内单调递减又sin cos102222gππππ⎛⎫=+=>⎪⎝⎭，()sin cos0gπππππ=+=-<,2xππ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x=∴当,2x xπ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g x>，即()0f x'>；当(),x xπ∈时，()0g x<，即()0f x'<()f x ∴在0,2x π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在()0,x π上单调递减102f ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭Q ()f x ∴在0,2x π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上无零点且()00f x >又()2sin 110fπππ=-=-< ()f x ∴在()0,x π上有且仅有1个零点综上所述：()f x 在()0,π上共有2个零点22. 解：（1）由曲线1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）消去参数得2213x y += 曲线2C 的极坐标方程为sin()26πρθ+=即sin coscos sin266ππρθρθ+=40x +-=（2）依题意得1C 的极坐标方程为2222cos sin 13ρθρθ+=设1(,)A ρθ,2(,)2B πρθ+,3(,)D ρθ,4(,)2C πρθ+则222211cos sin 13ρθρθ+=，222222sin cos 13ρθρθ+=，故22121143ρρ+=22121221143ρρρρ∴≤+=，当且仅当12ρρ=（即4πθ=时取“=”） 故121324AOB S ρρ∆=≥，即AOB ∆面积的最小值为34 此时34112222sin()cos()4646COD S ρρππππ∆==++g 48cos 3π== 故所求四边形的面积为329844-=23. 证明（1）,,0a b c >Q ，∴222111()4f x x x a b c =++-+222111()4x x a b c ≥+--+2221114a b c =++ ∴2221114a b c ++1= 由柯西不等式得222(4)a b c ++222111()4a b c++2(111)9≥++=当且仅当2a b c ===“=”。
2020届黑龙江省大庆实验中学高三下学期综合模拟考试数学(文)试卷及解析
2020届黑龙江省大庆实验中学高三下学期综合模拟考试数学（文）试卷★祝考试顺利★(解析版)第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单选题：本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足22iz i =-（i 为虚数单位),则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数,然后求z 的共轭复数,即可得到z 在复平面内对应的点所在的象限．详解：由题意,()()()222222,i i i z i i i i -⋅--===--⋅- 22,z i ∴=-+ 则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限.故选B.2.设全集U =R ,(2){|ln(2)},{|21}x x A x N y x B x -=∈=-=≤,A B =（ ）A. {|1}x x ≥B. {|12}x x ≤<C. {}1D. {}0,1【答案】D【解析】由题分别算出集合,A B 包含的范围,再取交集即可.【详解】由{|ln(2)}A x N y x =∈=-得20,2x x -><,又x ∈N 所以0,1x =.又(2){|21}x x B x -=≤,其中(2)0212(2)0x x x x -≤=⇒-≤所以02x ≤≤,故{}{0,1},|02A B x x ==≤≤ ,所以{}0,1A B =. 故选 D. 3.已知焦点在x 轴上的椭圆的长轴长是8,离心率是34,则此椭圆的标准方程是（ ） A. 221167x y += B. 221716x y += C. 2216428x y += D. 2212864x y += 【答案】A【解析】由椭圆的长轴长及离心率的值,可求出,,a b c ,进而结合椭圆的焦点在x 轴上,可得出椭圆的标准方程.【详解】由题意知,28a =,∴4a =,又34e =,∴3c =,则2227b a c =-=. 因为椭圆的焦点在x 轴上时,所以椭圆方程为221167x y +=. 故选：A .4.如图所示的2个质地均匀的游戏盘中(图①是半径为2和4的两个同心圆组成的圆盘,O 为圆心,阴影部分所对的圆心角为90︒；图②是正六边形,点Р为其中心)各有一个玻璃小球,依次摇动2个游戏盘后（小球滚到各自盘中任意位置都是等可能的）待小球静止,就完成了一局游戏,则一局游戏后,这2个盘中的小球至少有一个停在阴影部分的概率是（ ）A. 116B. 1124C. 1324D. 516【答案】B【解析】根据几何概型面积型可分别计算出两个图中小球落在阴影部分的概率,由独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式可求得结果.。
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（Ⅰ）证明 EF∥平面 A1CD； （Ⅱ）若三棱柱 ABC﹣A1B1C1 为直棱柱， 求三棱锥
的体积．
【答案】（1）见解析；（2）
.
【解析】试题分析：（Ⅰ）欲证线面平行，即证线线平行；（Ⅱ）三棱锥根据需要可以换底. 试题解析： 证明：（I）连接 DE， ∵D，E 分别是 AB，BC 的中点， ∴DE AC，
…… 按照以上排列的规律，第 n 行（n ≥4）从左向右的第 4 个数为________．
【答案】
【解析】“三角形数阵”的第一行为 1;第二行为 2 22;第三行为 23 24 25；…； 观察每一行的首数,可以猜想：第 n 行的首数为 2 ； 1+2+…+(n−1)
从而第 n 行(n⩾ 3)从左向右的第 4 个数为
【解析】
取 CD 的中点 E，连结 AE，BE，∵在四面体 ABCD 中，AB⊥平面 BCD， △BCD 是边长为 3 的等边三角形。 ∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD 是等腰三角形， △BCD 的中心为 G,作 OG∥AB 交 AB 的中垂线 HO 于 O，O 为外接球的中心， BE= ,BG= ，
圆的圆心为（1，0）到直线 x-y=0 的距离为
，∴弦长为
根据勾股定
理可知弦与两半径构成的三角形为直角三角形，较短弧长为
较长的弧长为
，∴较短弧长与较长弧长之比为 1：3;故选 B
考点：直线与圆相交的性质．
6. 已知等差数列{ }的前 项和是 ，若
，
，则公差是（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】A
黑龙江省大庆实验中学 2020 届高三数学考前得分训练试题（一）文
（含解析）
一．选择题:本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求.
1. 复数 的虚部是（ ）
A. i B. ﹣i 【答案】C
C. 1
D. ﹣1
【解析】试题分析：
,所以复数 的虚部是 ，故选 C.
11. 设函数
，若方程
恰好有三个根，分别为
A.
B.
【答案】C
，则 C.
的值为（ ） D.
【解析】
画出该函数的图象如图，当
时方程
恰好有三个根，且点 和 关于
直线 对称，点 和 关于直线 对称，所以
，
，从而
.故选 C.
点睛：探究三角函数方程解的个数问题一般都是采用数形结合的思想，利用三角函数的周期 性和对称性可以很好的解决根之间的等量关系，有时为了画图方便，常常利用整体换元的方 法将括号中的整体看作一个变量，可以简化作图.
受到污染，请据此解答下列问题： （1）求频率分布直方图中 a，b 的值； （2）规定大赛成绩在[80，90）的学生为厨霸，在[90，100]的学生为厨神，现从被称为厨 霸、厨神的学生中随机抽取 2 人取参加校际之间举办的厨艺大赛，求所取 2 人总至少有 1 人是厨神的概率．
【答案】（1）a=0.0075,b=0.020；（2） .
，
故答案为
.
三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17. △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知
．
（1）求角 C；（2）若 c=2 ，求△ABC 的面积 S 的最大值．
【答案】（1）
；（2） .
【解析】试题分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后根据 sinA 不为 0 求出 cosC 的值，进而确定出 sinC 的值； （2）由 cosC，c 的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出 ab 的最大值，即 可确定出 S 的最大值． 试题解析: （1）∵2a= csinA﹣acosC， ∴由正弦定理可得：2sinA= sinCsinA﹣sinAcosC， ∵sinA≠0，
12. 设 F1，F2 分别是双曲线
的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点 ，
使
率为( )
A.
B.
【答案】A
【解析】由
，O 为坐标原点，且
，则该双曲线的离心
C.
D.
，得(
)·( － )＝0，即| |2－| |2＝0，
所以| |＝| |＝c，所以△PF1F2 中，边 F1F2 上的中线等于|F1F2|的一半，则 PF1⊥PF2.即
∴可得：2= sinC﹣cosC，解得：sin（C﹣ ）=1，
∵C∈（0，π），可得：C﹣ ∈（﹣ ， ），
∴C﹣ = ，可得：C= ．
（2）∵由（1）可得：cosC=﹣ ， ∴由余弦定理，基本不等式可得：12=b2+a2+ab≥3ab，即：ab≤4，（当且仅当 b=a 时取等号） ∴S△ABC= absinC= ab≤ ，可得△ABC 面积的最大值为 ． 18. 某烹饪学院为了弘扬中国传统的饮食文化，举办了一场由在校学生参加的厨艺大赛，组 委会为了了解本次大赛参赛学生的成绩情况，从参赛学生中抽取了 n 名学生的成绩（满分 100 分）作为样本，将所得数经过分析整理后画出了评论分布直方图和茎叶图，其中茎叶图
|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，又| |＝ | |，解得|PF1|＝ c，|PF2|＝c，又|PF1|－|PF2|＝ c －c＝2a.所以 e＝ ＋1. 故选 A. 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a，b，c 的方 程或不等式，再根据 a，b，c 的关系消掉 b 得到 a，c 的关系式，建立关于 a，b，c 的方程 或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
【解析】由
，
易得：
，又
=20，所以
，
，所以 d=1. 故选 A. 7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C.
D.
【答案】B
【解析】由三视图易知：该几何体为四棱锥，
故选 B. 点睛：三视图问题的常见类型及解题策略 (1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部 分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示． (2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直 观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐 项代入，再看看给出的部分三视图是否符合． (3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的 形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．
【答案】[0，2]
【解析】试题分析：
,在直角坐标系内作出可行域如下图所示，由图可知，
当目标函数
经过点可行域内点
时有最大值，即
，当目标函数
经过点可行域内点
时有最小
值，即
，，所以
的取值范围为 .
考点：1.线性规划；2.向量的坐标运算.
【名师点睛】本题考查线性规划与向量的坐标运算，中档题.线性规划与向量是高考的必考
内容，将两者融为一体，是本题的亮点；在解题时得用向量运算相关知识得到线性目标函数
表达式，再利用线性规划知识求解，是解题的关键，体现了数学中的化归与转化思想，考查
了数形结合思想与运算求解能力.
15. 四面体
的四个顶点都在球 的表面上， ⊥平面
，△
是边长为 3 的
等边三角形．若 【答案】
=2，则球 的表面积为______．
考点：复数相关概念及运算.
2. 集合
，
，则集合 B 的子集个数为（ ）
A. 5 B. 8 C. 3 D. 2
【答案】B
【解析】解答：
A={−1,0,1,2},B={1,2,5},子集个数为 23=8 个，
故选 B.
点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明
确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．
2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．
3．在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元
素离散时用 Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值们的夹角为 60°，那么
【解析】试题分析：（Ⅰ ）求出样本容量，从而求出 a，b 的值，和平均数； （Ⅱ）厨霸有 0.0150×10×40=6 人，分别记为 a1，a2，a3，a4，a5，a6，厨神有 0.0075×10×40=3 人，分别记为 b1，b2，b3，共 9 人列出事件 A 包含的基本事件，从而求出满足条件的概率即 可． 试题解析：
二．填空题：本题共 4 小题，每题 5 分.
13. 与直线
垂直的直线的倾斜角为____________
【答案】
【解析】直线
斜率为 ，所求直线与直线
线斜率为 ，故倾斜角为 .
故答案为 .
垂直，故所求直
14. 已知 O 是坐标原点，点 A（﹣1，1）．若点 M（x，y）为平面区域
上的一个动
点，则
的取值范围是__．
=（ ）
A.
B.
C.
D. 4
【答案】C
【解析】
，所以
.
4. 设命题 p: A. C. 【答案】C
；则 为（ ） B. D.
【解析】命题 p:
，则 为
.
故选 C.
5. 圆
被直线
分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为（ ）
A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 1：5 【答案】B 【解析】试题分析：根据圆的方程求得圆心坐标和半径，进而根据点到直线的距离求得圆心 到直线的距离，利用勾股定理求得直线被圆截的弦长，进而可利用勾股定理推断出弦所对的 角为直角，进而分别求得较短的弧长和较长的弧长，答案可得．
8. 已知函数
，其中
，从 中随机抽取 个，则它在