2019人教版七年级数学上册第四章几何图形初步教案语文

第四章几何图形初步

4．1几何图形

4．1.1立体图形与平面图形

第1课时认识几何图形

01教学目标

1．通过观察生活中的大量图片或实物，体验、感受、认识以生活中的事物为原型的几何图形，认识一些简单几何体(长方体、正方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等)的基本特性，能识别这些几何体．

2．知道什么是立体图形和平面图形，能够认识立体图形和平面图形．

02预习反馈

阅读教材P114～116，完成下列内容．

1．几何图形包括平面图形和立体图形．

2．有些几何图形(如线段、角、三角形、长方形、圆等)的各部分都在同一平面内，这样的几何图形叫做平面图形．

3．有些几何图形(如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等)的各部分不都在同一平面内，这样的几何图形叫做立体图形．

03名校讲坛

知识点1认识平面图形

例1(教材P115“思考”)图中实物的形状对应哪些立体图形？把相应的实物与图形用线连起来．

解：答案见图中连线．

【跟踪训练1】(《名校课堂》4.1.1第1课时习题)请写出图中的立体图形的名称．

(1)(2)(3)(4)

(1)圆柱；(2)三棱柱；(3)三棱锥；(4)圆锥．

知识点2认识平面图形

例2(教材P116“思考”) 如图，下列各图中包含哪些简单平面图形？请再举出一些平面图形的

例子．

解：第①个图形包含长方形、五角星；

第②个图形包含圆；

第③个图形包含正方形、长方形、三角形、圆；

页 1 第

第④个图形包含正方形、三角形；

第⑤个图形包含长方形、正方形、三角形；第⑥个图形包含圆、长方形、正方形、梯形.

举例：)下图中包含哪些简单的平面图形？第1课时习题【跟踪训练2】(《名校课堂》4.1.1 解：

图中包含圆、正方形、长方形、三角形、平行四边形．巩固训练04

(A)

．下面几种几何图形中，属于平面图形的是1①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤四棱锥；⑥圆柱．．④⑤⑥D．①②⑥ B ．①②③CA ．①②④

(C) 2．下面的几何体中，属于棱柱的有4个D．个C．3 A ．1个B．2个]学§科§网[来源．如图是一座房子的平面图，组成这幅图的几何图形有(C) 3 A．三角形、长方形B．三角形、正方形、长方形C．三角形、正方形、长方形、梯形D．正方形、长方形、梯

形

4 题图题图第第3杆呈现出了两个几何体的组合，则这两个4.如图所示，电镀螺几何体分别是圆柱体，六棱柱．．观察图中的立体图形，分别写

出它们的名称．5

)

)圆柱体长方体,),球,)圆锥正方体,),05课堂小结．知道常见的立体图形，平面图形．1 2．生活中很多图案都由简单的几何图形构成，我们也

有能力设计美观、有意义的图案．展开、折叠与从不同方向观察立体图形第2课时01教学

目标．能够识别常见立体图形从不同方向看到的图形并能够正确的画出它们．1页 2 第2．能够识别常见立体图形的平面展开图．

02预习反馈

阅读教材P117～118，思完成列内容．

1．从三个方向看立体图形包括哪三种？

解：从三个方向看立体图形：从正面看，从左面看，从上面看．

2．什么是立体图形的展开图？

解：将立体图形的表面适当剪开，展开成平面图形，这样的平面图形为立体图形的展开图．

03名校讲坛

知识点1从不同方向观察立体图形

例1(教材P117“探究”)如图是一个由9个正方体组成的立体图形，分别从正面、左面、上面观察这个图形，各能得到什么平面图形？

解：

从正面看从左面看从上面看

【跟踪训练1】(《名校课堂》4.1.1第2课时习题)下列基本几何体中，从正面、上面、左面观

察都是相同图形的是(C)

A．圆柱B．三棱柱C．球D．长方体

知识点2立体图形的展开与折叠

例2(教材P118“探究”)你还记得长方体和圆柱的展开图吗？下图是一些立体图形的展开图，

用它们能围成什么样的立体图形？把它们画在一张硬纸片上，剪下来，折叠、粘贴，看看得到的图形和你想象的是否相同．

解：第一个图形能围成正方体；第二个图形能围成圆柱(含上、下底面)；第三个图形能围成三棱柱(含上、下底面)；第四个图形能围成圆锥(含底面)；第五个图形能围成四棱柱(或长方体)．

【跟踪训练2】(《名校课堂》4.1.1第2课时习题)下列图形中，不可以作为一个正方体的展开

图的是(C)

A B C D

04巩固训练

1．如图是书桌上放的一本书，则从上面看得到的平面图形是(A)

页 3 第

A B C D

2．在下面的四个几何体中，从左面和正面看得到的图形不相同的几何体是(B)

A B C D

3．下面形状的四张纸板，按图中线经过折叠可以围成一个三棱柱的是(C)

A B C D

4．一个正方体的每个面都有一个汉字，其展开图如图所示，那么在该正方体中，和“值”字相对的字是(A)

A．记

B．观

C．心

D．间

5．请分别指出与图中表面展开图相应的立体图形的名称．

(1)(2)(3)(4)

解：(1)三棱柱．(2)圆柱．(3)四棱锥．(4)圆锥．

05课堂小结

1．知道常见立体图形从三个方向看得到的图形．

2．学会简单几何体(如棱柱、正方体等)的平面展开图，知道按不同的方式展开会得到不同的展开图．

3．学会动手实践，与同学合作．

4．不是所有立体图形都有平面展开图．

4．1.2点、线、面、体

01教学目标

1.了解几何体、平面和曲面的意义，能正确判定围成几何体的面是平面还是曲面．

2．了解几何图形构成的基本元素是点、线、面、体及其关系，能正确判定由点、线、面、体经过运动变化形成的简单的几何图形．

3．激发学生对数学的好奇心和求知欲，体验数学活动中小组合作的重要性．

02预习反馈

阅读教材P119～120，完成下列问题．

1．几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素．

2．体是由面组成，面与面相交成线，线与线相交成点．

3．点没有大小之分，线没有粗细之分．

页 4 第

03名校讲坛

知识点1点、线、面、体

例1(《名校课堂》4.1.2习题)如图所示的是一个棱柱，请问：

(1)这个棱柱由几个面围成？各面的交线有几条？它们是直的还是曲的？

(2)这个棱柱的底面和侧面各是什么形状？

(3)该棱柱有几个顶点？

解：(1)这个棱柱由5个面围成，各面的交线有9条，它们是直的．

(2)棱柱的底面是三角形，侧面是长方形．

(3)有6个顶点．

【跟踪训练1】给出下列结论：

①圆柱由3个面围成，这3个面都是平的；

②圆锥由2个面围成，这2个面中，1个面是平的，1个面是曲的；

③球仅由1个面围成，这个面是曲的；

④长方体由6个面围成，这6个面都是平的．

其中正确的是(B)

A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④

知识点2由平面图形旋转而成的立体图形

例2(教材P120练习T2)如图，上面的平面图形绕轴旋转一周，可以得出下面的立体图形，把有

对应关系的平面图形与立体图形连接起来．

解：答案见图中连线．

【跟踪训练2】下列图形绕着它的一边所在的直线旋转一周，能得到圆柱的是(B)

A．三角形B．长方形C．五边形D．半圆

04巩固训练．笔尖在纸上写字说明点动成线；车轮旋转时看起来像个圆面，这说明线动成面；一枚硬币在光滑1的桌面上快速旋转形成一个球，这说明面动成体．4．如图的几何体有2个面，个顶点．4条棱，6．围成下面这些立体图形的各个面中，哪些面是平的，哪些面是曲的？3 解：球的表面、圆柱和圆锥的侧面都是曲面．其余的面都是平面．4．用第一行的平面图形绕轴旋转一周，便得到第二行中的某个几何体，

用线连一连．页 5 第

解：如图．

05课堂小结

1．多姿多彩的图形是由点、线、面、体组成．点是构成图形的基本元素．

2．点无大小，线有直线和曲线，面有平面和曲面．

3．体由面围成，面与面相交成线，线与线相交成点．

4．点动成线，线动成面，面动成体．

4．2直线、射线、线段

第1课时直线、射线、线段

01教学目标

1.能在现实情境中，经历画图的数学活动过程，理解并掌握直线的性质，能用几何语言描述直线性质．

2．会用字母表示直线、射线、线段，会根据语言描述画出图形．掌握三者的联系和区别．3．培养学生的基本画图能力．

02预习反馈

阅读教材P125～126，回忆直线、射线、线段的一些基本概念和基本知识，并认真总结下列问题，体会直线的公理．

&

不向任何一方延伸线段两个a 线段AB或线段

向一方无限延伸射线a 射线AB或射线一个

向两方无限延伸直线a

直线AB或直线

2.直线公理：两点确定一条直线．

【点拨】(1)表示线段、射线、直线的时候，都要在字母前注明“线段”“射线”“直线”．(2)用两个大写字母表示直线或线段时，两个字母可以交换位置，表示射线的两个大写字母不能交换位置，必须把端点字母放在前面．

03名校讲坛

例1(教材P126练习T2)按下列语句画出图形：

页 6 第

(1)直线EF经过点C;

(2)点A在直线l外；

(3)经过点O的三条线段a，b，c;

(4)线段AB，CD相交于点B.

如图所示：(1) 解：如图所示：(2)

如图所示：(3)

如图所示：(4)

【跟踪训练】(《名校课堂》4.2第1课时习题)下列表示方法正确的是(B)

:Z*xx*https://www.360docs.net/doc/6b7313667.html,]来源[A．①②B．②④C．③④D．①④

巩固训练04 1．下列语句：①点a在直线l上；②直线的一半就是射线；③延长直线AB到C；

④射线OA与射线AO是同一条射线.

其中正确的语句有(A)

A．0句B．1句C．2句 D.3句2．如图给出的直线、射线、线段，根据各自的性质，能相交的是(D)

A B C D

3．下列事实可以用“经过两点有且只有一条直线”来说明的是(B)

A．从王庄到李庄走直线最近

B．在正常情况下，射击时要保证瞄准的一只眼睛在准星和缺口确定的直线上，才能射中目标C．向远方延伸的铁路给我们一条直线的印象

D．数轴是一条特殊的直线

页 7 第

4．线段有2个端点，射线有1个端点，直线没有端点．

5．如图，图中共有6条线段，8条射线．]学§科§网[来源 6.平面上有三点A、B、C，①连接其中任意两点，共可得线段3条；②经过任意两点画直线，共可得到直线1条或3条．

7．如图，已知平面上四点A、B、C、D.

(1)画直线AB；

(2)画射线AD；

(3)直线AB、CD相交于点E；

(4)连接AC、BD相交于点F.

解：略

05课堂小结

1．掌握直线、射线、线段的表示方法．

2．理解直线、射线、线段的联系和区别．

3．知道直线的性质．

4．经过两点有一条直线，并且只有一条直线．

第2课时比较线段的长短及线段的性质

01教学目标

1.掌握线段比较的两种方法，会表示线段的和差．

2．理解线段中点的意义及表示方法，理解两点的距离的意义．

3．会运用“两点之间，线段最短”的性质解决生活中的实际问题．

02预习反馈

阅读教材P126～129，完成下列内容．

1．在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图．

2．点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点．

3．两点的所有连线中，线段最短，简单说成：两点之间，线段最短．

4．连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．

03名校讲坛

知识点1线段的中点及等分点

例1(《名校课堂》4.2第2课时习题)如图，点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点．页 8 第

(1)若AB＝10，AC＝6，求CD的长；

(2)若AC＝30，BD＝10，求AB的长．

解：(1)因为点D是线段BC的中点，

1所以CD＝BC.

2因为AB＝10，AC＝6，

所以BC＝AB－AC＝10－6＝4.

1所以CD＝BC＝2.

2(2)因为点D是线段BC的中点，

所以BC＝2BD.

因为BD＝10，

所以BC＝2×10＝20.

因为AB＝AC＋BC，

所以AB＝30＋20＝50.

【跟踪训练1】如图，在直线上顺次取A，B，C三点，使AB＝4 cm，BC＝3 cm，如果O 是线段AC的中点，求线段OB的长度．

解：因为AB＝4 cm，BC＝3 cm，

所以AC＝AB＋BC＝7 cm.

因为点O是线段AC的中点，

1所以OC＝AC＝3.5 cm.

2所以OB＝OC－BC＝3.5－3＝0.5(cm)．

知识点2线段的性质

例2如图，这是A、B两地之间的公路，在公路工程改造计划时，为使A、B两地行程最短，应如何设计线路？在图中画出，并说明你的理由．

解：如图所示，连接AB.

理由：两点的所有连线中，线段最短．

【跟踪训练2】如图，平面上有A、B、C、D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备修建一个蓄水池，不考虑其他因素，请你画出蓄水池P的位置，使它与4个村庄的距离之和最小．解：连接AC、BD的交点即为P点的位置，如图．

04巩固训练

页 9 第

1．下列说法正确的是(D)

A．连接两点的线段就叫做两点间的距离

B．在所有连接两点的线中直线一定最短

C．线段AB就是表示点A到点B的距离

D．线段AB的长度是点A到点B的距离

2．如图，下列关系式中与图不符合的式子是(C)

A．AD－CD＝AB＋BC B．AC－BC＝AD－BD

C．AC－BC＝AC＋BD D．AD－AC＝BD－BC

3．为比较两条线段AB与CD的大小，小明将点A与点C重合使两条线段在一条直线上，点B 在CD的延长线上，则(B)

A．AB＜CD B．AB＞CD

C．AB＝CD D．以上都有可能

4．如图，从A到B有4条路径，最短的路径是③，理由是(D)

A．因为③是直的

B．两点确定一条直线

C．两点间距离的定义

D．两点之间线段最短

5．已知线段AB＝6，若C为AB的中点，则AC＝3．

6．若线段AB＝5 cm，BC＝2 cm，且A，B，C三点在同一条直线上，则点C可能在AB上，

也可能在AB的延长线上，则AC的长等于3__cm或7__cm．

7．如图，已知线段a和b，且a＞b，用直尺和圆规作一条线段，使它等于2a＋b.

解：图略．

8．已知，如图，AB＝16 cm，C是AB上一点，且AC＝10 cm，D是AC的中点，E是BC 的中点，求线段DE的长．

解：因为D是AC的中点，AC＝10 cm，

1所以DC＝AC＝5 cm.

2又因为AB＝16 cm，所以BC＝AB－AC＝6 cm.

1因为E是BC的中点，所以CE＝BC＝3 cm.

2所以DE＝DC＋CE＝8 cm.

页 10 第

05课堂小结

度量法????线段的大小比较?叠合法???线段:1ZXXK][来源线段的中点??线段的性质：两点之间，线段最短4．3角

4．3.1角

01教学目标

1.理解角的两种定义，识别角的符号．

2．知道角的几种表示方法，并能够正确表示．

3．掌握角的度量单位及度、分、秒的进位制，能够熟练的进行转换．

02预习反馈

阅读教材P132，知道角的定义、角的表示方法、周角、平角，完成下列内容．

1．角是由两条具有公共端点的射线组成的图形，角也可以看作一条射线绕端点旋转而形成的图形．

2．如果一个角的终边旋转到与始边成一条直线时，所成的角叫做平角．继续旋转，当终边旋转到与始边重合时，所成的角叫做周角．

3．角的表示方法：角用“∠”表示，读做“角”．

(1)用三个大写字母表示；

(2)用表示角的顶点的字母表示；

(3)用一个数字或一个希腊字母(α、β、γ、θ)表示．

(4)度、分、秒是角的基本度量单位：

1°的角等分成60份就是1′的角；

1′的角等分成60份就是1″的角．

11)′，1°＝3__600″．((＝)°，1′＝60″，＝1″，1°角度制：＝60′1′6060

【点拨】度、分、秒是60进制的．

03名校讲坛

知识点1角的定义和表示方法

例1(《名校课堂》4.3.1习题)如图，∠1，∠2表示的角可分别用大写字母表示为∠ABC，∠BCN；

∠A也可表示为∠BAC，还可以表示为∠MAN．

页 11 第

【跟踪训练1】如图，能用∠1，∠ACB ，∠C三种方法表示同一个角的是(C)

A B C D

知识点2角的度量

例2(教材P134练习T2)(1)35°等于多少分？等于多少秒？

(2)38°15′和38.15°相等吗？如不相等，哪一个大？

解：(1)35°＝35×60

＝2 100分

＝2 100×60

＝126 000秒．

(2)38.15°＝38.15×60

＝2 289分．

38°15′＝38×60＋15

＝2 295分．

所以38°15′＞38.15°.

【跟踪训练2】已知∠1＝27°18′，∠2＝27.18°，∠3＝27.3°，则下列说法正确的是(A) A．∠1＝∠3 B．∠1＝∠2

C．∠1＜∠2 D．∠2＝∠3

04巩固训练

1．下列关于角的说法正确的个数是(A)

①角是由两条射线组成的图形；

②角的边越长，角越大；

③在角一边的延长线上取一点D；

④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．

A．1 B．2 C.3 D．4

2．若∠A＝20°20′，∠B＝20.20°，∠C ＝20.5°，则下面的结论正确的是(D)

A．∠A＝∠B B.∠A＝∠C

C．∠C＝∠B D.∠A，∠B，∠C两两不等

3．如图，能用一个字母表示的角有∠B，用三个大写字母表示∠1为∠MCB，∠2为∠AMC. 页 12 第

3题图第

4题图第

，CODCOE，∠AOC，∠AOE，∠写出图中小于平角的角：4．如图，A，O，D三点在一条直线上，∠．∠EOD. 30分，时钟的分针与时针所夹的角等于135°5．如图是一个时钟的钟面，下午1点．如图：6为顶点的角有几个？把它们表示出来；以B(1) 为边的角；指出以射线BA(2) 为一边的锐角有几个？分别表示出来．为顶点，DC(3)以DDBC. 、∠、∠ABC为顶点的角有3个，分别是∠ABD解：(1)以BABC. ABD和∠为边的角有以射线BA2个，分别是∠(2)CDE.

1个，是∠D为顶点，DC为一边的锐角有(3)以32条？引出引出1条射线，此图中共有几个角？如果引出．如图，在∠7AOB的内部，从顶点O n条可得到多少个角？条呢？依此规律，引出条

射线，3条射线，图中共有6个角；引出引出O1条射线，图中共有3个角；引出2解：从顶点）2）（n＋（n＋1 个角．n条射线，可得到图中共有10个角；引出2课堂小结05角的概念???角的表示方法角??角的度量与换算角的比较与运算

3.24．教学目标01

．会用量角器度量角，并会比较两个角的大小．1 ．会根据图形判断角的和差倍分．2 角平分线的定义．．记住3预习反馈02页 13 第

阅读教材P134～136，完成下列内容．

1．比较两个角的大小，我们可以用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小，也可以把它们叠合在一起比较它们的大小，这两种方法分别叫度量法和叠合法．

2．角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．如：

1如图，若OB是∠AOC的平分线，则∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．203名校讲坛

知识点1角的大小比较

例1(教材补充例题)如图，点A，O，B在一条直线上，OD平分∠AOB，回答下列问题：

(1)试比较∠AOB、∠AOD、∠AOE、∠AOC的大小；

(2)找出图中的三个等量关系．

解：(1)因为点A，O，B在一条直线上，

所以∠AOB是平角．

因为OD平分∠AOB，

1所以∠AOD＝∠AOB＝90°.

2由图知∠AOC是钝角、∠AOD是直角、∠AOE是锐角，

所以∠AOB＞∠AOC＞∠AOD＞∠AOE.

(2)等量关系有：∠COE＝∠EOD＋∠COD，

∠AOB＝2∠AOD＝∠AOE＋∠BOE，

∠DOB＝∠COD＋∠BOC.

【点拨】角的大小比较的方法：

(1)如果已知角是锐角、直角、周角、平角、钝角，就可以直接由它们之间的关系比较大小；

(2)可以通过量角器量角度来比较大小；

(3)可以根据各角在同一图中的位置关系比较角的大小．

【跟踪训练1】在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，则一定存在(A)

A．∠AOB＞∠AOC B．∠AOB＜∠BOC

C．∠BOC＞∠AOC D．∠AOC＞∠BOC

知识点2角度的运算

页 14 第

例2计算：

(1)90°－36°12′15″

(2)32°17′53″＋42°42′7″

(3)25°12′35″×5;

(4)53°÷6.

解：(1)90°－36°12′15″＝53°47′45″.

(2)32°17′53″＋42°42′7″＝74°59′60″＝75°.

(3)25°12′35″×5＝125°60′175″＝126°2′55″.

(4)53°÷6＝8°50′.

【点拨】度、分、秒的运算方法：

(1)在进行角度的加法运算时，先算秒，再算分，最后算度，满60″时，把60″化为1′，满60′时，把60′化为1°；

(2)进行角度的减法时，不够减，借1°化为60′，借1′化为60″；

(3)关于度、分、秒的乘法运算，把度、分、秒分别乘乘数，满60″时，把60″化为1′，满60′时，把60′化为1°；

(4)关于度、分、秒的除法运算，把度的余数化成分或把分的余数化为秒后再进行除法运算.

知识点3与角平分线有关的计算

例3如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠DOB的平分线．

(1)如果∠AOB＝130°，那么∠COE是多少度？

(2)在(1)的条件下，如果∠COD＝20°，那么∠BOE是多少度？

解：(1)因为OC是∠AOD的平分线，

1所以∠COD＝∠AOD.

2因为OE是∠BOD的平分线，

1所以∠DOE＝∠BOD.

2111所以∠COD＋∠DOE＝∠AOD＋∠BOD＝(∠AOD＋∠BOD)．222因为∠COD＋∠DOE＝∠COE，∠AOD＋∠BOD＝∠AOB，

页 15 第

1所以∠COE＝∠AOB.

2因为∠AOB＝130?，

所以∠COE＝65°.

(2)因为∠COE＝65°，∠COD＝20°，

所以∠DOE＝∠COE－∠COD＝45°.

又因为OE平分∠DOB，

所以∠BOE＝∠DOE＝45°.

【跟踪训练2】

如图所示，∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD 的平分线，则∠MON等于135°．

04巩固训练

1．射线OC在∠AOB内部，下列四个选项不能判定OC是∠AOB的平分线的是(C)

1A．∠AOB＝2∠AOC B．∠AOC＝∠AOB

2C．∠AOC＋∠BOC＝∠AOB D．∠AOC＝∠BOC

2．如图，在横线上填上适当的角：

(1)∠BOD＝∠BOC＋∠COD＝∠AOD－∠AOB；

(2)∠AOB＝∠AOC－∠COB＝∠AOD－∠BOD；

(3)∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝∠AOD－∠COD－∠AOB.

第2题图第3题图

3．如图，若OC平分∠AOB，∠AOB＝60°，则∠1＝30°.

4.已知∠AOB＝80°，∠AOC＝40°，则∠BOC的度数为120°或40°．

5．计算：

(1)15°37′＋42°51′；(2)90°－68°17′50″；

(3)5°26′×3; (4)178°53′÷5.

解：(1)原式＝58°28′.(2)原式＝21°42′10″.

(3)原式＝16°18′.(4)原式＝35°46′36″.

6．如图，已知O是直线CD上的点，OA平分∠BOC，∠AOC＝35°，求∠BOD的度数．解：因为O是直线CD上的点，OA平分∠BOC，∠AOC＝35°，所以∠BOC＝2∠AOC＝70°.所以∠BOD＝180°－∠BOC＝110°.

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05课堂小结

度量法????角的大小比较?叠合法???角的大小比较和运算角的运算??角平分线4．3.3余角和补角

01教学目标

1．了解两个角互余或互补的意义．

2．掌握同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等．

3．理解方位角的概念，会用角描述方向，解决实际问题．

02预习反馈

阅读教材P137～138，完成下列内容．

1．一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．几何语言表示为：如果∠1＋∠2＝90°，那么∠1与∠2互为余角．2．一般地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．几何语言表示为：如果∠1＋∠2＝180°，那么∠1与∠2互为补

角．

3．性质：等角(同角)的余角相等，等角(同角)的补角相等．

4．判断题：

(1)90度的角叫余角，180度的角叫补角．(×)

(2)若∠1＋∠2＋∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3互为余角．(×)

(3)如果一个角有补角，那么这个角一定是钝角．(×)

(4)互补的两个角不可能相等．(×)

(5)钝角没有余角，但一定有补角．(√)

(6)互余的两个角一定都是锐角，两个锐角一定互余．(×)

(7)如果∠A＝25°，∠B＝75°，那么∠A与∠B互为余角．(×)

(8)如果∠A＝x°，∠B＝(90－x)°，那么∠A与∠B互余．(√)

03名校讲坛

知识点1余角、补角

例1如图，点O在直线AB上，OD平分∠COA，OE平分∠COB.

(1)∠COB＋∠AOC＝180°，∠EOD＝90°；

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(2)图中互余的角有4对，互补的角有5对．

【跟踪训练】

1．若∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°，则∠1＝∠3.理由是同角的补角相

等．

2．已知一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角的度数．

解：设这个角是x，

则这个角的补角为180°－x，余角为90°－x，

所以3(90°－x)＝180°－x，

整理，得2x＝90°，

解得x＝45°，

即这个角的度数为45°.

知识点2方位角

例2如图1，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上．同时，在它北偏东40°、南偏西10°、西北(即北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D.仿照表示灯塔A方位的方法，画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线．

图1图2

画法：以点O为顶点，表示正北方向的射线为角的一边，画40°的角，使它的另一边OB落在东与北之间．射线OB的方向就是北偏东40°(图2)，即客轮B所在的方向．

请你在图2上画出表示货轮C和海岛D方向的射线．

解：略．

【跟踪训练】

3．(《名校课堂》习题)如图，根据点A，B，C，D，E在图中的位置填空．

(1)射线OA表示东北方向；

(2)射线OB表示北偏西30°；

(3)射线OC表示南偏西60°；

(4)射线OD表示正南方向；

(5)射线OE表示南偏东50°．

04巩固训练

1．若∠1＝40°，则∠1的余角的度数是(C)

A．20°B．40°C．50°D．60°

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2．在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB的大小为(C)

A．69°

B．111°

C．141°

D．159°

3．下列结论正确的个数为(C)

①互余且相等的两个角是45°；②锐角的补角是钝角；③锐角没有余角，钝角没有补角；④两

个钝角不可能互补．

A．1 B．2 C．3 D．4

4．如图，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.若∠BOC＝70°，∠AOC＝50°.

(1)求出∠AOB及其补角的度数；

(2)请求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由．

解：(1)∠AOB＝∠BOC＋∠AOC＝70°＋50°＝120°，其补角为180°－∠AOB＝180°－120°＝60°.

11(2)∠DOC＝∠BOC＝35°，∠AOE＝∠AOC＝25°.∠DOE与∠AOB互补．理由：∠DOE＝∠DOC22＋∠COE＝35°＋25°＝60°，∠DOE＋∠AOB＝60°＋120°＝180°，故∠DOE与∠AOB互补．

05课堂小结

1．余角、补角的概念：

(1)和为90°的两个角互为余角；

(2)和为180°的两个角互为补角．

2．余角、补角的性质：

(1)等角(同角)的余角相等；

(2)等角(同角)的补角相等．

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