2010-2019高考数学(文)真题分类汇编(六：数列~2.等比数列)

专题六 数列

第二讲 等比数列

2019年

1.（2019全国Ⅰ文14）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若133

1

4

a S ==，，则S 4=___________．

2.（2019全国Ⅱ文18）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+. （1）求{}n a 的通项公式；

（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和.

3.（2019全国Ⅲ文6）已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3= A ． 16

B ． 8

C ．4

D ． 2

4.（2019北京文16）设{a n }是等差数列，a 1=–10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；

（Ⅱ）记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值．

5.（2019天津文18）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0，已知113a b ==，

23b a = ，3243b a =+.

（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）设数列{}n c 满足2

1,,,

n n n c b n ??

=?

??奇偶为数为数求()*

112222n n

a c a c a c n N ++

+∈.

2010-2018年

一、选择题

1．(2018北京)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比

例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比

都等于f ，则第八个单音的频率为

A

B

C

．

D

．

2．(2018浙江)已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若

11a >，则

A ．13a a <，24a a <

B ．13a a >，24a a <

C ．13a a <，24a a >

D ．13a a >，24a a >

3．（2015新课标2）已知等比数列}{n a 满足41

1=

a ，)1(4453-=a a a ，则=2a A ．2 B ．1 C ．21 D ．8

1

4．（2014重庆）对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是

A ．139,,a a a 成等比数列

B ．236,,a a a 成等比数列

C ．248,,a a a 成等比数列

D ．269,,a a a 成等比数列

5．（2013新课标2）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，59a =，则1a =

A ．

13 B ．1

3

- C ．

19 D ．1

9

- 6．（2012北京）已知{}n a 为等比数列.下面结论中正确的是

A ．1322a a a +…

B ．222

1322a a a +…

C ．若13a a =，则12a a =

D ．若31a a >，则42a a >

7．（2011辽宁）若等比数列{}n a 满足116n

n n a a +=，则公比为

A ．2

B ．4

C ．8

D ．16

8．（2010广东）已知数列{}n a 为等比数列，n S 是是它的前n 项和,若2312a a a ?=，且4a 与

27a 的等差中项为

5

4

，则5S = A ．35 B ．33 C ．3l D ．29 9．（2010浙江）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=则

5

2

S S = A ．－11

B ．－8

C ．5

D ．11

10．（2010安徽）设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为

,,X Y Z ，则下列等式中恒成立的是

A ．2X Z Y +=

B ．()()Y Y X Z Z X -=-

C ．2Y XZ =

D ．()()Y Y X X Z X -=-

11．（2010北京）在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m =

A ．9

B ．10

C ．11

D ．12

12．（2010辽宁）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则

公比q = A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

13．（2010天津）已知{}n a 是首项为1的等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，且369S S =，

则数列1n a ??

????

的前5项和为

A ．

158或5 B ．3116或5 C ．3116 D ．158

二、填空题

14．（2017江苏）等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为n S ，已知374S =

，663

4

S =，则8a = ．

15．（2015广东）若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中5a =+5c =-，

则b =________．

16．（2014广东）等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则

2122232425log +log +log +log +log =a a a a a ________．

17．（2014广东）若等比数列{}n a 的各项均为正数，且5

12911102e a a a a =+，则

1220ln ln ln a a a +++= ．

18．（2014江苏）在各项均为正数的等比数列}{n a 中，,12=a 4682a a a +=，则6a 的值是 ． 19．（2013广东）设数列{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234||||a a a a +++= ．

20．（2013北京）若等比数列{}n a 满足24a a +=20，35a a +=40，则公比q = ；前n

项和n S = ．

21．（2013江苏）在正项等比数列{}n a 中，2

1

5=

a ，376=+a a ．则满足 n n a a a a a a a a ......321321>++++的最大正整数n 的值为 ．

22．（2012江西）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比不为1．若11a =，且对任意的n N +∈

都有2120n n n a a a +++-=，则5S =_________________．

23．（2012辽宁）已知等比数列}{n a 为递增数列，若01>a ，且125)(2++=+n n n a a a ，则数

列{}n a 的公比=q ．

24．（2012浙江）设公比为(0)q q >的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若2232S a =+，

4432S a =+，则q = ．

25．（2011北京）在等比数列{}n a 中，11

2

a =

，44a =-，则公比q =_____ _________； 12...n a a a +++=____________．

三、解答题

26．（2018全国卷Ⅰ）已知数列{}n a 满足11a =，12(1)+=+n n na n a ，设n

n a b n

=

． (1)求1b ，2b ，3b ；

(2)判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； (3)求{}n a 的通项公式．

27．（2018全国卷Ⅲ）等比数列{}n a 中，11a =，534a a =．

(1)求{}n a 的通项公式；

(2)记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．

28．（2018浙江）已知等比数列1{}a 的公比1q >，且34528a a a ++=，42a +是3a ，5

a 的等差中项．数列{}n

b 满足11b =，数列1{()}n n n b b a +-的前n 项和为2

2n n +．

(1)求q 的值；

(2)求数列{}n b 的通项公式．

29．（2017新课标Ⅰ）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知22S =，36S =-．

(1)求{}n a 的通项公式；

(2)求n S ，并判断1n S +，n S ，2n S +是否成等差数列。

30．（2017新课标Ⅱ）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，

11a =-，11b =，222a b +=．

(1)若335a b +=，求{}n b 的通项公式； (2)若321T =，求3S

31．（2017山东）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且126a a +=，123a a a =．

(Ⅰ)求数列{}n a 通项公式；

(Ⅱ) {}n b 为各项非零的等差数列，其前n 项和n S ，已知211n n n S b b ++=，求数列n n b a ??

?

???

的前n 项和n T ．

32．（2017北京）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==，2410a a +=，

245b b a =．

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求和：13521n b b b b -+++

+．

33．（2016年全国III 卷）已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，

2

11(21)20n n n n a a a a ++---=．

（Ⅰ）求23,a a ；

（Ⅱ）求{}n a 的通项公式．

34．（2016年天津）已知{}n a 是等比数列，前n 项和为()n S n N ∈*，

且

6123

112

,63S a a a -==. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式；

(Ⅱ)若对任意的,b n n N ∈*是2log n a 和21log n a +的等差中项，求数列()

{}

21n

n b -的前

2n 项和．

35．（2015安徽）已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8a a a a +==．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1

1

n n n n a b S S ++=

，求数列{}n b 的前n 项和n T ．

36．（2015广东）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *

∈N ．已知11a =，232a =

，35

4

a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+． （Ⅰ）求4a 的值； （Ⅱ）证明：11

{}2

n n a a +-

为等比数列； （Ⅲ）求数列{}n a 的通项公式．

37．（2014新课标）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+．

（Ⅰ）证明{

}

12

n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）证明：1231112

n

a a a ++<…+．

38．（2014福建）在等比数列{}n a 中，2

53,81a a ==．

（Ⅰ）求n a ； （Ⅱ）设3log n

n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．

39．（2014江西）已知数列{}n a 的前n 项和*∈-=N n n

n S n ，2

32． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）证明：对任意1>n ，都有*

∈N m ，使得m n a a a ，

，1成等比数列．

40．(2013四川) 在等比数列{}n a 中，212a a -=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，求数列

{}n a 的首项、公比及前n 项和．

41． (2013天津)已知首项为

3

2

的等比数列{}n a 的前n 项和为(*)n S n ∈N ， 且234,2,4S S S -成等差数列．

(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ) 证明13

*)6

1(n n S n S +

≤∈N ． 42．（2011新课标）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且2

12326231,9a a a a a +==．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式． （Ⅱ ）设31323log log log n n b a a a =++

+，求数列1

{}n

b 的前n 项和．

43．（2011江西）已知两个等比数列{},{}n n a b ，满足(),,a a a b a 111=>0-=1

,b a b a 2233-=2-=3．

（Ⅰ）若a =1，求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ ）若数列{}n a 唯一，求a 的值．

44．（2011安徽）在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，

将这2n +个数的乘积记作n T ，再令,lg n n a T =1n ≥． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （

Ⅱ

）

设

1

t a n t a n ,n n

n b a a +=求数列

{}n b 的前

n

项和n

S ．