函数与极限测试题及答案

函数与极限测试题（三）

一、选择题（每小题4分，共20分） 1、 当0x →+时，（ ）无穷小量。

A 1sin x x

B 1

x e C ln x D 1

sin x x

2、点1x =是函数31

1()1131x x f x x x x -<⎧⎪

==⎨⎪->⎩

的（ ）。

A 连续点

B 第一类非可去间断点

C 可去间断点

D 第二类间断点 3、函数()f x 在点0x 处有定义是其在0x 处极限存在的（ ）。 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 无关条件

4、已知极限22

lim()0x x ax x

→∞++=，则常数a 等于（ ）。

A -1

B 0

C 1

D 2 5、极限2

01

lim

cos 1

x x e x →--等于（ ）。

A ∞

B 2

C 0

D -2

二、填空题（每小题4分，共20分） 1、21lim(1)x

x x

→∞

-=_______。

2、 当0x →+时，无穷小ln(1)Ax α=+与无穷小sin 3x β=等价，则常

数A=_______。

3、 已知函数()f x 在点0x =处连续，且当0x ≠时，函数2

1()2

x f x -=，

则函数值(0)f =_______。

4、 111

lim[

]1223

(1)

n n n →∞++

+

⋅⋅+=_______。

5、 若lim ()x f x π

→存在，且sin ()2lim ()x x

f x f x x ππ→=

+-，lim ()x f x π→=_______。

三、解答题

1、（7分）计算极限 22

2

111

lim(1)(1)

(1)23n n →∞---

2、（7分）计算极限 30tan sin lim x x x

x

→- 3、（7分）计算极限 1

23lim()21

x x

x x +→∞++

4、（7分）计算极限 0

1

x x e →-5、（7分）设3214

lim 1

x x ax x x →---++ 具有极限l ，求,a l 的值

6、（8分）设3

()32,()(1)n

x x x x c x αβ=-+=-，试确定常数,c n ，使得

()()x x αβ

7、（7分）试确定常数a ，使得函数21sin

0()0

x x f x x

a x

x ⎧

>⎪=⎨⎪+≤⎩

在(,)-∞+∞内连续

8、（10分）设函数()f x 在开区间(,)a b 内连续，12a x x b <<<，试证：在开区间(,)a b 内至少存在一点c ，使得

11221212()()()()

(0,0)t f x t f x t t f c t t +=+>>

函数与极限测试题答案（三）

一、1－5 ACDAD

二、1. 2

e -； 2. 3； 3 . 0； 4. 1； 5. 1； 三、1、解：原式=1324

11111

lim()()

(

)lim 2233

22

n n n n n n n n →∞

→∞-++•••=•=

2、解：原式=2

322000sin 1sin 1cos 1

cos 2lim lim lim cos cos 2

x x x x x x

x x x x x x x →→→--===

3、解：原式=11

122

21lim(1)lim(1)1212

x x x x x x +++→∞→∞+=+++

112

2

11lim(1)

lim(1)112

2

x x x e x x +

→∞

→∞

=+

•+

=++

4、解：原式=201

sin 12lim 2

x x x

x →=

5、解：因为1

lim(1)0x x →-+=，所以 3

2

1

lim(4)0x x ax x →---+=，

因此 4a = 并将其代入原式

321144(1)(1)(4)

lim lim 1011

x x x x x x x x l x x →-→---++--===++

6、解：

32221()32(1)(2)

(1)(2)3

lim ,3,2(1)x x x x x x x x c n c x c

α→=-+=-+-+=∴==- 此时，()()x x αβ

7、解：当0x >时，()f x 连续，当0x <时，()f x 连续。

002

1

lim ()lim sin 0

lim ()lim()x x x x f x x x f x a x a +

-

→→→→===+= 所以 当0a =时，()f x 在0x =连续

因此，当0a =时，()f x 在(,)-∞+∞内连续。

8、证明：因为()f x 在(,)a b 内连续，12a x x b <<<，所以 ()f x 在12[,]

x x 上连续，由连续函数的最大值、最小值定理知，()f x 在12[,]x x 上存在最