时间序列分析

其中X0是Xt的初始值，可假定为任何常数或取初 值为0，则
t
t
Va(X rt)Va(X r0 t) Va(rt)
t1
t1
t2
这表明Xt的方差随时间而增大，平稳性的第二个条 件（7.2）不满足，因此，随机漫步时间序列是非平
稳时间序列。可是，若将（7.5）式写成一阶差分形
式：
ΔXt=εt
（7.6)
这个一阶差分新变量ΔXt是平稳的，因为它就等 于白燥声εt，而后者是平稳时间序列。
3、带漂移项的随机漫步 (Random walk with drift)
Xt=μ+Xt－1+εt
（7.7）
其中μ是一非0常数，εt为白燥声。
μ之所以被称为“漂移项”，是因为（7.7）式的 一阶差分为
ΔXt = Xt－Xt-1 =μ+εt
在介绍上述方法之前，下面先介绍所涉及的一些 术语和定义。
一． 平稳性（Stationarity）
1. 严格平稳性 (strict stationarity)
如果一个时间序列Xt的联合概率分布不随时间而 变，即对于任何n和k，X1,X2,…，Xn的联合概率分布 与X1+k,X2+k,…Xn+k 的联合分布相同，则称该时间序列 是严格平稳的。
时间序列分析
第一节 时间序列分析的基本概念
经济分析通常假定所研究的经济理论中涉及的 变量之间存在着长期均衡关系。按照这一假定，在 估计这些长期关系时，计量经济分析假定所涉及的 变量的均值和方差是常数，不随时间而变。
然而，经验研究表明，在大多数情况下，时间 序列变量并不满足这一假设，从而产生所谓的“伪 回归”问题(‘spurious’ regression problem)。
只要这三个条件不全满足，则该时间序列是非平稳的 。事实上，大多数经济时间序列是非平稳的。例如，在 图7.1中，某国的私人消费（CP）和个人可支配收入（ PDI）这两个时间序列都有一种向上的趋势，几乎可以 断定它们不满足平稳性条件（7.1），因而是非平稳的。
600000
500000
CP
PDI
400000
白噪声可用符号表示为：
εt～IID(0, σ2)
（7.4）
注：这里IID为Independently Identically Distributed（独立同分 布)的缩写。
2、随机漫步（Random walk）
随机漫步是一个简单随机过程，由下式确定：
Xt = Xt－1+εt
（7.5）
其中εt为白噪声。
更一般地，（7.8）式又是
Xt=φ1Xt－1+φ2Xt－2+……+φqXt-q+εt
（7.9）
的特例，（7.9）称为q阶自回归过程（AR(q））。
可以证明，如果特征方程
1－φ1L－φ2L2－φ3L3－……－φqLq = 0 （7.10）
300000
200000
100000 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995
图7.1 某国私人消费和个人可支配收入，1960—1995年度数据 单位：百万美元（1970年不变价）
二． 几种有用的时间序列模型
1、白噪声（ White noise）
白噪声通常用εt表示，是一个纯粹的随机过程，满 足: （1）E(εt) = 0 , 对所有t成立； （2）V ar(εt) = σ2，对所有t成立； （3）Cov (εt, εt+k) = 0，对所有t和k≠0成立。
这表明时间序列Xt向上或向下漂移，取决于μ的符 号是正还是负。显然，带漂移项的随机漫步时间序 列也是非平稳时间序列。
4、自回归过程
随机漫步过程（7.5）（ Xt = Xt－1+εt）是最简单的 非平稳过程。它是
Xt=φXt－1+εt
（7.8）
的特例，（7.8）称为一阶自回归过程（AR(1））， 该过程在－1＜φ＜1时是平稳的，其他情况下，则为 非平稳过程。
Xt的均值：
E(Xt）= E(Xt-1+εt）= E(Xt－1) + E(εt) = E(Xt－1) 这表明Xt的均值不随时间而变。
为求Xt的方差，对（7.5）式进行一系列置换：
Xt = Xt－1+εt
= Xt－2+εt-1+εt
= Xt－3+εt-2+εt-1+εt
=……
= X0+ε1+ε2+……+εt = X0+∑εt
为解决这类问题，研究人员提出了不少对传统 估计方法的改进建议，其中最重要的两项是对变量 的非平稳性 (non-stationarity) 的系统性检验和协整 (cointegration)。
协整
协整分析被认为是上世纪八十年代中期以来计量 经济学领域最具革命性的进展。简单地说，协整分 析涉及的是一组变量，它们各自都是不平稳的（含 义是随时间的推移而上行或下行），但它们一起漂 移。这种变量的共同漂移使得这些变量之间存在长 期的线性关系，因而使人们能够研究经济变量间的 长期均衡关系。如果这些长时间内的线性关系不成 立 ， 则 对 应 的 变 量 被 称 为 是 “ 非 协 整 的 ” (not cointegrated)。
（3）协方差 Cov(Xt, Xt+k）= E [(Xt -μ)(Xt+k -μ)]＝ rk， t=1,2,…，k≠0
）
（7.3
3. 平稳性和非平稳性
通常情况下，我们所说的平稳性指的就是弱平稳性。 一般来说，如果一个时间序列的均值和方差在任何时间 保持恒定，并且两个时期t和t+k之间的协方差仅依赖于 两时期之间的距离（间隔或滞后）k，而与计算这些协 方差的实际时期t无关，则该时间序列是平稳的。
2. 弱平稳性 (weak stationarity)
由于在实践中上述联合概率分布很难确定，我们用
随机变量Xt（t=1,2,…）的均值、方差和协方差代替之 。一个时间序列是“弱平稳的”，如果：
（1）均值 E(Xt) =μ，t=1,2,…
（7.1）
（2 ）方差 Var(Xt) = E(Xt -μ)2 =σ2，t =1,2,…（7.2）
误差修正模型
一般说来，协整分析是用于非平稳变量组成的关 系式中长期均衡参数估计的技术。它是用于动态模 型的设定、估计和检验的一种新技术。
此外，协整分析亦可用于短期或非均衡参数的估 计，这是因为短期参数的估计可以通过协整方法使 用长期参数估计值，采用的模型是误差修正模型 (error correction model)。