八年级平行四边形的动点问题学案(附答案)
2025年沪科版八年级下册数学第19章四边形专题12 特殊平行四边形的动点问题
∴ △的周长= + + = + + ≥ .
∵ 四边形是菱形， = 6 cm,∠ = 60∘ ,
∴ 易得 = 6 3 cm.
∴ △周长的最小值为6 3 cm.
（3）如图③，当点在线段上时，若某时
刻满足 = ，
①求证：为的中点;
∴ = 4 − ，即 = 2.
②如图，当∠ = 90∘ 时，∵ ∠ = 90∘ = ∠，
∴ //，∴ ∠ = ∠ = 90∘ ,
在Rt△中，易知∠ = 30∘ ,
∴ = 2,
∵ 易知 = ， = 8 − 2，∴ = 2(8 − 2)，即 =
2
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5.[2024福州期中] 如图①，正方形的
边长为4 2，点从点出发，沿射线方
向以每秒 2个单位长度的速度移动，点
从点出发，向点以每秒 2个单位长度的
速度沿线段移动（不与点重合）.设点
，同时出发移动秒，连接，，.
2 17
（1）当 = 1时，则的长为______;
另一个点也随之停止运动.设点，运动的时间为秒( > 0).
过点作 ⊥ 于点，连接，.
（1）求证： = .
【证明】∵ ⊥ ,∴ ∠ = 90∘ .
在Rt△中，由题意可知 = 2，
∠ = 30∘ ,
∴ = .
又易知 = ，∴ = .
在Rt△中，2 + 2 = 2 ,
∴ 32 + 2 = (4 − )2 .
7
8
7
8
解得 = ，∴ = 4 − =
25
.
8
根据题意得 = = , = ,
∴ △≌△.
∴ ∠ = ∠,∠ = ∠，
《平行四边形中的动点问题》教学设计
课题名称：平行四边形中的动点问题授课人：教学目标1、通过本节课的学习，使学生掌握动点问题的分析方法。
2、渗透分类讨论的数学思想方法3、培养学生的数学思维习惯，增强学生学习数学的自信心教学重点平行四边形中的动点问题的分析方法教学难点抓住以静制动，“动中求静〞。
教学过程Ⅰ．创设情境，引入新课引言：?平行四边形?这一章我们已经学完，对本章的根底知识，根本技能同学们已经掌握的很好，然而这些只是数学的皮毛，真正地学好数学在于能否把各知识点融汇贯穿，把不动的几何图形，动起来，形成动态几何，本节课我们就来研究?平行四边形中的动点问题?动态几何是中考的热点问题，也是最能考察学生动脑动手的能力问题，所以，本节课你们要发挥你们的小宇宙，挑战自我。
Ⅱ．导入新课热身练习：如图，在四边形ABCD 中∠B=90°，AD∥BC且AD=4cm AB=6cm DC=10cm假设动点P从A 点出发以每秒1cm的速度沿线段AD向点D 运动，点Q是BC上一定点，CQ= 3cm，设运动时间为t秒，探究：当t= 时四边形PQCD 是平行四边形？【师生活动】师：领着学生分析问题，问：一个点在动你首先要知道什么？生：找到段落中的关键字师生：总结动点问题中的考前须知①出发点，终止点，路径②动点的速度③效果【设计意图】本问题只是让学生初步了解动点的要素，让学生感受动态过程。
变式一：如图，在四边形ABCD中∠B=90°，AD∥BC且AD=4cm AB=6cm DC=10cm假设动点P从A点出发以每秒1cm的速度沿线段AD向点D运动，动点Q从C点ABDCA B DC出发，以每秒2cm 的速度沿CB 向点B 运动，当一个点到达终点时，动点P 、Q 同时停止运动设点P 、Q 同时出发并运动了t 秒求：当ｔ为何值时四边形PQCD 是平行四边形？【师生活动】师：进一步引导学生如何看待动点问题，把问题简单化。
当一个问题呈现在眼前时，你要把它想象成一个情景，你是导演，而不变的条件是舞台背景，变化的条件即动点那么是演员，能不能到达预期的效果，就看导演能不能通观全局恰当的安排好演员。
专题06 特殊的平行四边形中动点问题(解析版)八年级数学下册期末综合复习专题提优训练(人教版)
2020-2021学年八年级数学下册期末综合复习专题提优训练（人教版）专题06特殊的平行四边形中动点问题【典型例题】1．如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点E是斜边AB上的一个动点，连接CE，过点B，C分别作BD△CE，CD△BE，BD与CD相交于点D．（1）当CE△AB时，求证：四边形BECD是矩形；（2）填空：①当BE的长为______时，四边形BECD是菱形；②在①的结论下，若点P是BC上一动点，连接AP，EP，则AP+EP的最小值为______．【答案】（1）证明见解析；（2）②【分析】（1）根据矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明；（2）①根据菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可求解；②根据对称性：连接ED交BC于点P，此时AP+EP＝AD，最小，再过点D作DF垂直AC的延长线于点F，根据勾股定理即可求解．【详解】如图所示：（1）△BD△CE，CD△BE，△四边形BDCE是平行四边形，△CE△AB，△△BEC＝90°，△四边形BECD是矩形；（2）①当BE BECD是菱形．理由如下：连接ED，与BC交于点O，△四边形BDCE是平行四边形，当BC和DE互相垂直平分时，四边形BDCE是菱形，BO＝12BC＝3，OE＝12AC＝2，△根据勾股定理，得BE②连接AD，与BC交于点P，连接PE，此时PD＝PE，AP+EP最小，△AP+PE＝AP+PD＝AD，过点D作DF垂直于AC的延长线于点F，得矩形ODFC，△CF＝OD＝2，DF＝OC＝3，△AF＝AC+CF＝6，△在Rt△ADF中，根据勾股定理，得AD△AP+EP的最小值为故答案为【点睛】本题考查矩形的判定、菱形的判定定理、勾股定理，解题的关键是掌握矩形的判定、菱形的判定定理、勾股定理.【专题训练】一、选择题1．如图，菱形ABCD中，△D=135°，AD=6，CE=，点P是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则PE+PF的最小值是（）A．3B．6C．D．【答案】C【解析】分析：先作点E关于AC的对称点点G，再连接BG，过点B作BH△CD于H，运用勾股定理求得BH和GH 的长，最后在Rt△BHG中，运用勾股定理求得BG的长，即为PE+PF的最小值．详解：作点E关于AC的对称点点G，连接PG、PE，则PE=PG，CE=CG=，连接BG，过点B作BH△CD于H，则△BCH=△CBH=45°，△Rt△BHC中，BH=CH△HG=-，△Rt△BHG中，BG==△当点F与点B重合时，PE+PF=PG+PB=BG（最短），△PE+PF的最小值是故选：C．点睛：本题以最短距离问题为背景，主要考查了菱形的性质与轴对称的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，一般情况要作点关于某直线的对称点．注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．2．如图，在矩形ABCD中，BC＝15cm，动点P从点B开始沿BC边以每秒2cm的速度运动；动点Q从点D开始沿DA边以每秒1cm的速度运动，点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设动点的运动时间为t秒，则当t＝（）秒时，四边形ABPQ为矩形．A．3B．4C．5D．6【答案】C【分析】根据四边形ABPQ为矩形时，AQ＝BP，利用距离=速度×时间列方程求出t值即可得答案.【详解】设动点的运动时间为t秒，△四边形ABPQ为矩形，△AQ=BP，△点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，△15﹣t＝2t．解得：t＝5．故选C．【点睛】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质得出AQ=BP是解题关键.3．如图，菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，M、N分别是BC、CD上的动点，P是线段BD上的一个动点，则PM＋PN的最小值是（）A．95B．125C．165D．245【答案】D【解析】【分析】作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP=NQ最小，NQ为所求，当NQ△AB 时，NQ最小，继而利用面积法求出NQ长即可得答案.【详解】作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP=NQ最小，NQ为所求，当NQ△AB 时，NQ最小，△四边形ABCD是菱形，AC=6，DB=8，△OA=3，OB=4，AC△BD，在Rt△AOB中，AB5，△S菱形ABCD=12AC BD AB NQ=，△18652NQ ⨯⨯=，△NQ=245，△PM+PN的最小值为245，故选D.【点睛】本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键．4．如图，在正方形ABCD 中，2,AB P =是AD 边上的动点，PE AC ⊥于点,E PF BD ⊥于点F ，则PE PF +的值为（ ）A ．4B ．CD ．2【答案】C【分析】 根据正方形的对角线互相垂直可得OA △OD ，对角线平分一组对角可得△OAD =45°，然后求出四边形OEPF 为矩形，△AEP 是等腰直角三角形，再根据矩形的对边相等可得PF =OE ，根据等腰直角三角形的性质可得PE =AE ，从而得到PE +PF =OA ，然后根据正方形的性质解答即可．【详解】解：在正方形ABCD 中，OA △OB ，△OAD =45°，△PE △AC ，PF △BD ，△四边形OEPF 为矩形，△AEP 是等腰直角三角形，△PF =OE ，PE =AE ，△PE +PF =AE +OE =OA ，△正方形ABCD 的边长为2，△11.22===OA AC 故选：C【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质求出PE +PF =OA 是解题的关键．5．如图，已知矩形ABCD 中，AB =6，BC =4，点E 为 AB 边上的中点，点F 在BC 边上，且BF ＝1，动点P从点E 出发沿直线向点F 运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，经过若干次反弹，当动点P 第一次回到点E 时，动点P 所经过的路程长为（ ）A ．B ．16+C ．D ．16+【答案】A【分析】 利用反射角等于入射角画出动点的运动轨迹，再证四边形OP 5EF 和OP 2P 3P 4为菱形，然后利用等角对等边证出两个菱形的边都相等，再用勾股定理计算即可.【详解】如下图蓝色线为动点的运动轨迹，可发现动点P 第一次回到点E 时共弹出六次.△入射角等于反射角，AD △BC ，AB △DC△△1=△2=△3=△4，△5=△6，△7=△8=△9=△10，△11=△FEB又△△4＋△5=90°，△6＋△7=90°，△10＋△11=90°△△1=△2=△3=△4=△7=△8=△9=△10，△5=△6=△11=△FEB由△1=△8，△3=△10△EF △P 5P 4，P 5E △P 2PF所以四边形O P 5EF 为平行四边形，在△P 5AE 和△FBE 中A=B=90AE=BE11FEB ∠∠︒⎧⎪⎨⎪∠=∠⎩△△P 5AE △△FBE （ASA ）所以AE =EF△四边形OP 5EF 为菱形同理可证四边形OP 2P 3P 4为菱形又△△2=△8△OP 4=OF△两个菱形的边都相等，在Rt △EFB 中故动点P 所经过的路程长为故选A【点睛】此题考查的是入射角等于反射角，矩形的性质，菱形的判定及勾股定理.二、填空题6．如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=，3AB =，4AC =，点P 为BC 边上一动点，PE AB ⊥于点E ，PF AC ⊥于点F ，连结EF ，点M 为EF 的中点，则AM 的最小值为________．【答案】65【解析】【分析】 根据矩形的性质就可以得出，EF ，AP 互相平分，且EF =AP ，垂线段最短的性质就可以得出AP △BC 时，AP 的值最小，即AM 的值最小，由勾股定理求出BC ，根据面积关系建立等式求出其解即可．【详解】：△四边形AEPF 是矩形，△EF ，AP 互相平分．且EF =AP ，△EF ，AP 的交点就是M 点．△当AP 的值最小时，AM 的值就最小，△当AP △BC 时，AP 的值最小，即AM 的值最小． △12AP ．BC =12AB ．AC ， △AP ．BC =AB ．AC ．在Rt △ABC 中，由勾股定理，得BC =5．△AB =3，AC =4，△5AP =3×4△AP =125． △AM =65. 故答案为65． 【点睛】考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出AP 的最小值是关键．7．如图，已知2AB =，点D 是等腰Rt ABC ∆斜边AC 上的一动点，以BD 为一边向右下方作正方形BDEF ，当动点D 由点A 运动到点C 时，则动点F 运动的路径长为______.【答案】【分析】连接CF ，根据题意先证出BAD BCF ∆≅∆，然后得出AD CF =，所以点F 运动的路径长度即为点D 从A 到C 的运动路径，继而得出结论【详解】连接CF ，△2AB =，ABC ∆是等腰直角三角形，△AC =ABC =90°△四边形BDEF 是正方形△BD =BF ，△DBF =△ABC =90°，△△ABD =△CBF ,在△DAP 与△BAP 中AB BC ABD CBF BD BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△BAD BCF ∆≅∆，△AD CF =，点F 运动的路径长度即为点D 从A 到C 的运动路径,为CF =故答案为【点睛】本题主要考查的是等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、正方形的性质以及全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．8．如图，菱形ABCD 的边长为4，△BAD ＝60°，点E 是AD 上一动点（不与A 、D 重合），点F 是CD 上一动点，AE +CF ＝4，则△BEF 面积的最小值为_____．【答案】【分析】首先证明△BEF 是等边三角形，当BE △AD 时面积最小．【详解】连接BD ，△菱形ABCD 边长为4，△BAD ＝60°；△△ABD 与△BCD 为正三角形，△△FDB ＝△EAB ＝60°，△AE +CF ＝4，DF +CF ＝4，△AE ＝DF ，△AB ＝BD ，△△BDF △△BAE （SAS ），△BE ＝BF ，△ABE ＝△DBF ，△△EBF ＝△ABD ＝60°，△△BEF 是等边三角形，△当BE △AD 时，△BEF 的面积最小，此时BE ＝△边BE 上的高为2⨯＝3，△BEF 面积的最小值＝故答案为【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，求面积最值得问，注意掌握作辅助线的技巧．9．如图，A 、B 、C 、D 是矩形的四个顶点，16AB cm =，6BC cm =，动点P 从点A 出发，以3/cm s 的速度向点B 运动，直到点B 为止；动点Q 同时从点C 出发，以2/cm s 的速度向点D 运动，当时间为__时，点P 和点Q 之间的距离是10cm ．【答案】85s 或245s 【分析】过点Q 作ON AB ⊥于点N ，设当t 秒时PQ =10cm ，利用勾股定理得出即可．【详解】解：设当时间为t 时，点P 和点Q 之间的距离是10cm ，过点Q 作ON AB ⊥于点N ，如图：则2QC tcm =，(165)PN t cm =-，故226(165)100t +-=， 解得：185t =，2245t =， 即当时间为85s 或245s 时，点P 和点Q 之间的距离是10cm ， 故答案为：85s 或245s ． 【点睛】本题考查了勾股定理和矩形的性质，能构造直角三角形是解此题的关键，用了方程思想．10．如图，在边长为8的正方形ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、BC 上的动点，且EF ＝6，M 为EF 中点，P 是边AD 上的一个动点，则CP +PM 的最小值是_____．【答案】3【分析】延长CD到C'，使C'D=CD，CP+PM=C'P+PM，当C'，P，M三点共线时，C'P+PM的值最小，根据题意，点M的轨迹是以B为圆心，3为半径的圆弧上，圆外一点C'到圆上一点M距离的最小值C'M=C'B﹣3，根据勾股定理即可得到结论．【详解】延长CD到C'，使C'D=CD．△PD△CD，△PD是CC'的垂直平分线，△CP=C'P，则CP+PM=C'P+PM，当C'，P，M三点共线时，C'P+PM 的值最小，根据题意，点M的轨迹是以B为圆心，3为半径的圆弧上，圆外一点C'到圆上一点M距离的最小值C'M=C'B﹣3．△BC=CD=8，△CC'=16，△C'D=，△CP+PM的最小值是3．故答案为3．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的找到P点的位置是解题的关键．三、解答题11．如图，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，动点M从点D出发，按折线DCBAD方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以1cm/s的速度运动.(1)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇?(2)若点E在线段BC上，且BE=3cm，若动点M、N同时出发，相遇时停止运动，经过几秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形?【答案】（1）8秒（2）第2秒或6秒时，点A、E、M、N组成平行四边形【解析】试题分析：（1）根据相遇问题的等量关系列出方程求解即可；（2）分点M在点E的右边和左边两种情况，根据平行四边形对边相等，利用AN=ME列出方程求解即可．试题解析：（1）设t秒时两点相遇，根据题意得，t＋2t＝2（4＋8），解得t＝8，答：经过8秒两点相遇；（2）①如图1，点M在E点右侧时，当AN＝ME时，四边形AEMN为平行四边形，得：8－t＝9－2t，解得t＝1，△t＝1时，点M还在DC上，△t＝1舍去；②如图2，点M在E点左侧时，当AN＝ME时，四边形AEMN为平行四边形，得：8－t＝2t－9，解得t＝173，所以，经过173秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形.【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，相遇问题的等量关系，熟记各性质并列出方程是解题的关键．12．如图，菱形ABCD 的边长为12cm ，△A ＝60°，动点P 从点A 出发，沿着线路AB —BD 做匀速运动，动点Q 从点D 同时出发，沿着线路DC －CB －BA 做匀速运动．（1）求BD 的长．（2）已知动点P 运动的速度为2cm /s ，动点Q 运动的速度为2.5cm /s ．经过12秒后，P 、Q 分别到达M 、N 两点，试判断△AMN 的形状，并说明理由．（3）设问题（2）中的动点P 、Q 分别从M 、N 同时沿原路返回，动点P 的速度不变，动点Q 的速度改变为acm /s ，经过3秒后，P 、Q 分别到达E 、F 两点，若△BEF 为直角三角形，试求a 值．【答案】（1）BD =12；（2）△AMN 为直角三角形；证明见解析；（3）a 的值为1或3或6．【分析】（1）根据菱形的性质得12ABBC CD AD ，加上60A ∠=︒，于是可判断 ABD ∆是等边三角形，所以12BD AB ； （2）如图1，根据速度公式得到12秒后点P 走过的路程为24cm ，则点P 到达点D ，即点M 与 D 点重合，12秒后点Q 走过的路程为30cm ，而24BC CD +=，易得点 Q 到达AB 的中点，即点N 为AB 的中点，根据等边三角形的性质得MN AB ⊥，即 AMN ∆为直角三角形；（3）由ABD ∆为等边三角形得60ABD ∠=︒，根据速度公式得经过3秒后点 P 运动的路程为6cm 、点Q 运动的路程为3acm ，所以6BEDE cm ，然后分类讨论：当点Q 运动到F 点，且点F 在NB 上，如图1，则3NF a ，63BF BN NF a ，由于BEF ∆为直角三角形，而60FBE ∠=︒，只能得到90EFB ∠=︒，所以30FEB ∠=︒，根据含30度的直角三角形三边的关系得16362a，解得1a =；当点Q 运动到F 点，且点F 在BC 上，如图2，则3NF a ，36BF BN NF a ，由于BEF ∆为直角三角形，而60FBE ∠=︒，若90EFB ∠=︒，则30FEB ∠=︒，根据含30度的直角三角形三边的关系得13662a ，解得3a =；若90EFB ∠=︒，易得此时点F 在点C 处，则3612a，解得6a =．【详解】（1）解：△四边形ABCD 是菱形△AD=AB=BC=CD=12△△A＝60°△△ABD是等边三角形△BD=12（2）答：△AMN为直角三角形证：如图1，12秒后点P走过的路程为2×12=24，则12秒后点P到达点D，即点M与D点重合，12秒后点Q走过的路程为2．5×12=30，而BC+CD=24，所以点Q到B点的距离为30-24=6，则点Q到达AB的中点，即点N为AB的中点．△△ABD是等边三角形，而MN为中线△MN△AB△△AMN为直角三角形（3）△△ABD为等边三角形△△ABD=60°经过3秒后，点P运动的路程为6cm．点Q运动的路程为3acm△点P从点M开始运动，即DE=6cm△点E为DB的中点，即BE=DE=6cm①当点Q运动到F点，且点F在NB上，如图1，则NF=3a△BF=BN-NF=6-3a△△BEF为直角三角形，而△FBE=60°△△EFB=90°（△FEB不能为90°，否则点F在点A的位置）△△FEB=30°△BF=12 BE△6-3a=12×6，即a=1②当点Q运动到F点，且点F在BC上，如图2，则NF=3a△BF=NF-BN=3a-6△△BEF为直角三角形，而△FBE=60°（i）若△EFB=90°，则△FEB=30°△BF=12 BE△3a-6=12×6，即a=3（ii）若△FEB=90°，即FB△BD，而DE=BE△点F在BD的垂直平分线上△此时点F在点C处△3a=6+12，即a=6综上所述，若△BEF为直角三角形，a的值为1或3或6．【点睛】本题考查了四边形的综合题，熟练掌握等边三角形的判定与性质、菱形的性质、含30度的直角三角形三边的关系计算几何计算，能运用分类讨论的思想解决数学问题是解题的关键．13．如图，在△ABC中，已知AB=AC，△BAC=90°，BC=12cm，直线CM△BC，动点D从点C开始以每秒4cm 的速度运动到B点，动点E也同时从点C开始沿射线CM方向以每秒2cm的速度运动．（1）问动点D运动多少秒时，△ABD△△ACE，并说明理由；（2）设动点D运动时间为x秒，请用含x的代数式来表示△ABD的面积S；（3）动点D运动多少秒时，△ABD与△ACE的面积比为4：1．【答案】（1）动点D 运动2秒时，△ABD △△ACE ；理由见解析；（2）1236S x =-+；（3）动点D 运动1秒时，△ABD 与△ACE 的面积比为4:1．【分析】（1）设动点D 运动t 秒时△ABD △△ACE ，先根据等腰直角三角形得：△ACE =△B ，再加上AB =AC 所以只要满足BD =CE ，△ABD △△ACE 列式可求得t 的值；（2）作高线AF ，根据等腰直角三角形三线合一可知：AF 是斜边的中线，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得AF =6，代入面积公式可求出代数式；（3）作高线AG ，先证明四边形AFCG 是矩形，求出AG =6，由△ABD 与△ACE 的面积比为4:1列式可得出结论．【详解】(1)如图1，设动点D 运动t 秒时，△ABD △△ACE由题意得：CD =4t ,CE =2t ,则BD =12-4t ,△AB =AC ,△BAC =90°,△△B =△ACB =45°,△CM △BC ,△△BCM =90°,△△ACE =90°-45°=45°,△△ACE =△B ,△当BD =CE 时,△ABD △△ACE ,即12-4t =2t ,t =2,动点D 运动2秒时,△ABD △△ACE ;(2)如图2,过A 作AF △BC 于F ,△AB =AC ,△BAC =90°，△AF 是等腰直角三角形的中线,△AF =6,由题意得：CD =4x ,则BD =12-4x ，1112-4)6123622ABD S S BD AF x x ∆==⋅=⨯=-+（； (3)设动点D 运动x 秒时,△ABD 与△ACE 的面积比为4:1如图2,再过A 作AG △CM 于G ,△△AFC =△BCM =△AGC =90°，△四边形AFCG 为矩形，△AG =CF =6,△△ABD 与△ACE 的面积比为4:1,1·4211·2ABDACEBD AF S S CE AG ==△△ △4BD CE= △BD =4CE ,即12-4x =8x ，x =1．答：动点D 运动1秒时,△ABD 与△ACE 的面积比为4:1．【点睛】本题考查了等腰直角三角形、全等三角形的判定及性质以及动点问题，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键；在动点问题中，明确路程=时间⨯速度，根据时间准确表示动点D 和E 的路程BD 、CE 的代数式，根据题中的等量关系列等式即可．14．如图所示，在长方形ABCD 中，AB =8cm ，BC =12cm ，E 为AB 的中点，动点P 在线段BC 上以4cm /s 的速度由点B 向C 运动，同时，动点Q 在线段CD 上由点C 向点D 运动，设运动时间为t （s ）．（1）当t=2时，求△EBP的面积；（2）若动点Q以与动点P不同的速度运动，经过多少秒，△EBP与△CQP全等？此时点Q的速度是多少？（3）若动点Q以（2）中的速度从点C出发，动点P以原来的速度从点B同时出发，都逆时针沿长方形ABCD的四边形运动，经过多少秒，点P与点Q第一次在长方形ABCD的哪条边上相遇？【答案】（1）S△EBP=16cm2；（2）经过32秒，△EBP与△CQP全等；此时点Q的速度是83cm/s；（3）经过9秒，点P与点Q第一次在长方形ABCD的边AB上相遇．【分析】（1）直接运用直角三角形面积等于两条直角边乘积的一半计算即可；（2）△EBP与△CQP全等，要分两种情形讨论：△EBP△△PCQ或△EBP△△QCP；先求出t的值，再求点Q的速度；（3）属于追击问题，根据等量关系：点P运动路程=点Q运动路程+12，列方程求解即可．【详解】（1）当t=2时，BP=2×4cm=8cm△E为AB的中点，△BE=12AB=12×8cm=4cm，△长方形ABCD △△B=90°△S△EBP=12BE•BP=12×4×8=16（cm2）．（2）设点Q的速度是acm/s，则BP=4t（cm），CQ=at（cm），△PC=（12-4t）（cm），△△EBP与△CQP全等，△B=△C=90°△△EBP△△PCQ或△EBP△△QCP当△EBP△△PCQ时，PC=EB，CQ=BP△12-4t=4，解得t=2，△2a=4×2△a=4，与动点Q以与动点P不同的速度运动矛盾．当△EBP△△QCP时，CP=BP，CQ=BE△12-4t=4t，解得t=32，△32a=4，解得a=83（cm/s）；答：经过32秒，△EBP与△CQP全等；此时点Q的速度是83cm/s；（3）设经过x秒，点P与点Q第一次在长方形ABCD的边上相遇；则：4x=12+83x，解得：x=9此时点P运动路程为：4×9=36（cm），△点P在AB的中点处，答：经过9秒，点P与点Q第一次在长方形ABCD的边AB上相遇．【点睛】本题考查了矩形性质，全等三角形判定和性质，分类讨论思想，列方程解行程问题，动点问题等；解题时要注意分类讨论．15．如图所示，在平行四边形ABCD中，AD△BC，过B作BE△AD交AD于点E，AB＝13cm，BC＝21cm，AE＝5cm．动点P从点C出发，在线段CB上以每秒1cm的速度向点B运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒2cm的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t(秒)(1)当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形？(2)当t为何值时，△QDP的面积为60cm2？(3)当t为何值时，PD＝PQ？【答案】(1)当t＝7时，四边形PCDQ是平行四边形；(2)当t＝112时，△QDP的面积为60cm2；(3)当t＝314时，PD＝PQ．【解析】【分析】（1）根据题意用t表示出CP=t，AQ=2t，根据平行四边形的判定定理列出方程，解方程即可；（2）根据三角形的面积公式列方程，解方程得到答案；（3）根据等腰三角形的三线合一得到DH=12DQ，列方程计算即可．【详解】(1)由题意得，CP＝t，AQ＝2t，△QD＝21﹣2t，△AD△BC，△当DQ＝PC时，四边形PCDQ是平行四边形，则21﹣2t＝t，解得，t＝7，△当t＝7时，四边形PCDQ是平行四边形；(2)在Rt△ABE中，BE＝12，由题意得，12×(21﹣2t)×12＝60，解得，t＝11 2，△当t＝112时，△QDP的面积为60cm2；(3)作PH△DQ于H，DG△BC于G，则四边形HPGD为矩形，△PG＝HD，由题意得，CG＝AE＝5，△PG＝t﹣5，当PD＝PQ，PH△DQ时，DH＝12DQ，即t﹣5＝12(21﹣2t)，解得，t＝31 4，则当t＝314时，PD＝PQ．【点睛】本题考查的是平行四边形的性质和判定、等腰三角形的性质，掌握平行四边形的判定定理和性质定理是解题的关键．16．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，24AD cm =，8AB cm =，26BC cm =，动点P 从A 点开始沿AD 边以1/cm s 的速度向点D 运动，动点Q 从C 点开始沿CB 边以3/cm s 的速度向点B 运动，P ，Q 分别从A ，C 同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t s （）．1（）当t 为何值时，四边形ABQP 是矩形；2（）当t 为何值时，四边形PQCD 是平行四边形？ 3（）问：四边形PQCD 是否能成菱形？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由． 【答案】（1） 6.5t =时，四边形ABQP 是矩形；（2）6t =时，四边形PQCD 是平行四边形；（3）四边形PQCD 不可能是菱形，理由见解析【分析】（1）由在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，可得当AP BQ =时，四边形ABQP 是矩形，即可得方程：262t t =-，解此方程即可求得答案．（2）由在梯形ABCD 中，//AD BC ，可得当PD CQ =时，四边形PQCD 是平行四边形，即可得方程：152t t -=，解此方程即可求得答案；（3）由若四边形PQCD 是菱形，则四边形PQCD 是平行四边形，根据（2）中的求解答案，分析看此时能否为菱形，因为CD PD ≠，即可得四边形PQCD 不可能是菱形．【详解】解：根据题意得：AP tcm =，3CQ tcm =，8AB cm =，24AD cm =，26BC cm =，()24DP AD AP t cm ∴=-=-，()263BQ t cm =-，（1）△在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，△当AP BQ =时，四边形ABQP 是矩形，△263t t =-，解得： 6.5t =，△当 6.5t =时，四边形ABQP 是矩形；（2）△在梯形ABCD 中，//AD BC ，△当PD CQ =时，四边形PQCD 是平行四边形，△243t t -=，解得：6t =，∴当6t =时，四边形PQCD 是平行四边形；（3）若四边形PQCD 是菱形，则四边形PQCD 是平行四边形，根据（2）得：6t s =，△()2424618PD t cm =-=-=，过点D 作DE BC ⊥于E ，△四边形ABED 是矩形，△24BE AD cm ==，△()26242EC BC BE cm =-=-=，8DE AB cm ==，△DC PD ==≠，△四边形PQCD 不可能是菱形．【点睛】此题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定与性质以及矩形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．17．如图所示，在四边形ABCD 中，//,90AD BC A ∠=︒，12,21,16AB BC AD ===.动点P 从点B 出发，沿射线BC 方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q 同时从点A 出发，在线段AD 上以每秒1个单位长度的速度向点D 运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t 秒．（1）填空：AQ = ；BP = ；t 的取值范围是 ．（2）设DPQ 的面积为S ，请用含t 的式子表示S ．（3）当t = 时，PD PQ =．（4）当t 为何值时，以点,,,P C D Q 为顶点的四边形是平行四边形．【答案】（1）,2,016t t t ≤≤；（2）966S t =-；（3）163t =；（4）当5t =或373时，以点,,,P C D Q 为顶点的四边形是平行四边形．【分析】（1）按照路程等于速度乘以时间，求解AQ ，BP ；时间最小为0，最大为点Q 动到点D 所花费的时间； （2）通过做垂直辅助线，根据已知条件并结合三角形面积公式求解本题（3）根据等腰三角形以及矩形的性质，结合三线合一以及路程公式求解本题；（4）本题需要根据动点情况分类讨论，并结合平行四边形性质列方程求解．【详解】（1）△距离=速度⨯时间，Q 的运动速度为1，P 的运动速度为2，运动时间为t ，△AQ =t ，BP =2t ．△AD =16，当点Q 运动到点D 时，动点停止运动，△t 最大值为16，最小值为0，故016t ≤≤．（2）如图，过点P 作PM QD ⊥，△//,90AD BC A ∠=︒，△四边形ABPM 为矩形，△PM =AB =12．又△AQ =t△16QD t =-．()11161296622QDP S QD PM t t =••=⨯-⨯=-△． （3）由上一问可知四边形ABPM 是矩形，2AM BP t ∴==．又PD PQ =，2DM QM AM AQ BP AQ t t t ∴==-=-=-=，216AD AM DM t t =+=+=即316t =，163t ∴=． （4）当P 在线段BC 上时，因为平行四边形PCDQ ，则DQ PC =，△16DQ t =-，212PC t =-，16212t t ∴-=-，解得：5t =；当P 在BC 延长线上时，同理：DQ =PC ，221PC t =-，16221t t ∴-=-， 解得：373t =； 综上所述：当5t =或373时，以点,,,P C D Q 为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】 本题考查几何动点问题，首先需要对运动路径有清晰理解，并且利用未知数表示未知线段，求解时具体问题具体分析，如本题主要利用面积公式，平行四边形性质求解，动点问题通常需要分类讨论．18．如图，在四边形ABCD 中，AD △BC ，AB =CD ，DE △BC 于点E ，且DE =AD =18，△C =60°； （1）BC =________（2）若动点P 从点D 出发，速度为2个单位/秒，沿DA 向点A 运动，同时，动点Q 从点B 出发，速度为3个单位/秒，沿BC 向点C 运动，当一个动点到达端点时，另一个动点同时停止运动，设运动的时间为t 秒。
四边形中的动点问题(带答案)
四边形中的动点问题1、如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠ EFB ＝2、如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H 分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为 _____3、如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是AC上一动点，则DQ ＋PQ 的最小值为___________4、如图，在Rt△ABC中，∠ B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点 D 从点C出发沿CA方向以4cm/s 的速度向点A匀速运动，同时点E从点 A 出发沿AB 方向以2cm/s 的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts(0<t ≤15)．过点 D 作DF⊥ BC于点F，连接DE，EF.(1) 求证：AE＝DF；(2) 四边形AEFD能够成为菱形吗如果能，求出相应的t 值；如果不能，请说明理由；(3)当t 为何值时，△ DEF为直角三角形请说明理由5、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点 A 出发沿射线AG以1cm/s 的速度运动，同时点 F 从点 B 出发沿射线BC以2cm/s 的速度运动，设运动时间为t.（1）连接EF，当EF经过AC边的中点 D 时，（1）求证：△ ADE≌△ CDF；：（2）当t 为____ s 时，四边形ACFE是菱形；6、在菱形ABCD中，∠ B=60°，点E在射线BC上运动，∠ EAF=60°，点 F 在射线CD上（1）当点E在线段BC上时（如图1），（1）求证：EC+CF=AB；（2）当点 E 在BC的延长线上时（如图2），线段EC、CF、AB 有怎样的相等关系写出你的猜想，不需证明7、如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ DAB=60°，点E是AD边的中点．点M 是AB边上一动点不与点 A 重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN 是平行四边形；（2）填空：①当AM 的值为____ 时，四边形AMDN 是矩形；②当AM 的值为____ 时，四边形AMDN 是菱形．8、如图，△ ABC中，点O 是边AC上一个动点，过O 作直线MN ∥BC，设MN 交∠ BCA的平分线于点E，交∠ BCA 的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF 的数量关系并加以证明；（2）当点O 运动到何处，且△ ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形（3）当点O 在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗若是，请证明，若不是，则说明理由．9、如图，已知菱形ABCD中，∠ ABC=60°，AB=8，过线段BD上的一个动点P（不与B、D 重合）分别向直线AB、AD 作垂线，垂足分别为E、F．（1）BD的长是___ ；（2）连接PC，当PE+PF+PC取得最小值时，此时PB 的长是__10、如图，∠ MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON 上，当B在边ON 上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O 的最大距离为_____ ．11、如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P 是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．（1）求证：四边形PMEN 是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN 是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗若有可能，求出AP 的长；若不可能，请说明理由．12、如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O，若E，F 是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A 运动，其速度为／s。
初二平行四边形的动点问题学案-(含答案经典)
程第十一讲平行四边形中的动点问题时间：年月日刘满江老师学生姓名：一、兴趣导入二、学前测试①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD程于点H，则的值为（）∴．三、方法培养：知识要点：平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形平行四边形的性质：边：对边平行且相等角：内角和为______,外角和___________，邻角______,对角__________对角线：互相平分平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离叫性质：平行线之间的距离处处相等。
推广：夹在两条平行线之间平行线段相等平行四边形的判定：定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形例11．如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16．程动点P 从点B 出发，沿射线BC 的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 同时从点A 出发，在线段AD 上以每秒1个单位长的速度向点D 运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t （秒）．（1）当t 为何值时，四边形PQCD 的面积是梯形ABCD 的面积的一半；（2）四边形PQCD 能为平行四边形吗？如果能，求出t 的值；如果不能，请说明理由．（3）四边形PQCD 能为等腰梯形吗？如果能，求出t 的值；如果不能，请说明理由． 考点：等腰梯形的判定；平行四边形的判定；直角梯形。
专题：动点型。
分析：（1）根据：路程=速度×时间，表示线段的长度，再利用：S 梯形ABPQ =S 梯形PQDC ，列方程求解；（2）只要能满足DQ=PC 即可，由此建立等量关系，列方程求解；（3）当四边形PQCD 为等腰梯形时，作PE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足为E 、F ，需要满足QE=CF ，由此建立等量关系，列方程求解．解答：解：（1）由已知得：AQ=t ，QD=16﹣t ，BP=2t ，PC=21﹣2t ， 依题意，得12)22116(2112)2(21⨯-+-=⨯+t t t t 解得； （2）能；当四边形PQDC 为平行四边形时，DQ=PC ，即16﹣t=21﹣2t 解得t=5；（3）不能作QE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足为E 、F ，当四边形PQCD 为等腰梯形时，PE=CF ，即t ﹣2t=21﹣16解得t=﹣5，不合实际．点评：本题考查了梯形计算面积的方法，根据平行四边形、等腰梯形的性质列方程求解的问题． 变式练习：如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16．动点P 从点B 出发，沿射线BC 的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 同时从点A 出发，在线段AD 上以每秒1个单位长的速度向点D 运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t （秒）．（1）设△DPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；（2）当t 为何值时，四边形PCDQ 是平行四边形？（3）分别求出当t 为何值时，①PD=PQ ，②DQ=PQ ．考点：直角梯形；勾股定理；平行四边形的判定与性质。
部编数学八年级下册专题19四边形中的动图问题(解析版)含答案
专题19 四边形中的动图问题（解析版）类型一平行四边形及特殊平行四边形的存在性问题1．如图，平行四边形OABC的顶点O为坐标原点，A点在X轴正半轴上，∠COA＝60°，OA＝10cm，OC ＝4cm，点P从C点出发沿CB方向，以1cm/s的速度向点B运动；点Q从A点同时出发沿AO方向，以3cm/s的速度向原点运动，其中一个动点达到终点时，另一个动点也随之停止运动．（1）求点C，B的坐标（结果用根号表示）（2）从运动开始，经过多少时间，四边形OCPQ是平行四边形；（3）在点P、Q运动过程中，四边形OCPQ有可能成为菱形吗？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由．思路引领：（1）过C作CE⊥OA于E，过B作BF⊥OA于F，根据直角三角形的性质算出OE的长，再利用勾股定理即可求出CE的长，从而得到C点坐标；根据平行线间的距离相等可知CE＝BF＝证明Rt△COE≌Rt△BAF，从而得到AF的长，即可得到B点坐标；（2）根据平行四边形的性质可知CP＝OQ，设时间为x秒，表示出OQ、CP的长，可得到方程10﹣3x＝x，解方程即可；（3）如果四边形OCPQ菱形，则CO＝QO＝CP＝4cm，根据运动速度，算出运动时间，计算可发现不能成为菱形．解：（1）过C作CE⊥OA于E，过B作BF⊥OA于F，∵∠COA＝60°，∴∠1＝30°，∴OE=12CO＝2cm，在Rt△COE中，CE==∴C点坐标是（2，，∵四边形OABC是平行四边形，∴CO＝AB，CO∥AB，∵CE⊥OA，过B作BF⊥OA，∴CE＝BF＝，∴Rt△COE≌Rt△BAF，∴AF＝EO＝2，∴OF＝OA+AF＝12（cm），∴B点坐标是（12，；（2）设从运动开始，经过x秒，四边形OCPQ是平行四边形，10﹣3x＝x，解得：x＝2.5，故运动开始，经过2.5秒，四边形OCPQ是平行四边形；（3）不能成为菱形，如果四边形OCPQ菱形，则CO＝QO＝CP＝4cm，∵OA＝10cm，∴AQ＝10﹣4＝6（cm），则Q的运动时间是：6÷3＝2（秒），这时CP＝2×1＝2（cm）∵CP≠4cm，∴四边形OCPQ不能成为菱形．总结提升：此题主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质，直角梯形的性质，菱形的性质，是一道综合题，关键是需要同学们熟练掌握各种特殊四边形的性质，并能熟练应用．2．（2022春•广信区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．思路引领：（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ＝AP，据此求得t的值；（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ＝CQ，列方程求得运动的时间t；（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长＝4×10，根据菱形的面积求出面积即可．解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，∴BC＝AD＝16cm，AB＝CD＝8cm，由已知可得，BQ＝DP＝tcm，AP＝CQ＝（16﹣t）cm，在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，∴t＝16﹣t，得t＝8，故当t＝8s时，四边形ABQP为矩形；（2）∵AP＝CQ，AP∥CQ，∴四边形AQCP为平行四边形，∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形=16﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得t＝6，故当t＝6s时，四边形AQCP为菱形；（3）当t＝6s时，AQ＝CQ＝CP＝AP＝16﹣6＝10cm，则周长为4×10cm＝40cm；面积为10cm×8cm＝80cm2．总结提升：本题考查了菱形、矩形的判定与性质．解决此题注意结合方程的思想解题．3．（2021春•睢县期中）如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）连结EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）当t为多少时，以A、C、F、E为顶点的四边形是平行四边形？思路引领：（1）由题意得到AD＝CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；（2）分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE＝CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．（1）证明：∵AG∥BC，∴∠EAD＝∠DCF，∠AED＝∠DFC，∵D为AC的中点，∴AD＝CD，在△ADE和△CDF中，∠EAD=∠FCD∠AED=∠CFDAD=CD，∴△ADE≌△CDF（AAS）；（2）解：当t＝2或6时，A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．理由如下：①当点F在C的左侧时，根据题意，得AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BC﹣BF＝（6﹣2t）cm，∵AG∥BC，当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，即t＝6﹣2t，解得t＝2；②当点F在C的右侧时，根据题意，得AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BF﹣BC＝（2t﹣6）cm，∵AG∥BC，当AE＝CF时，四边形AEFC为平行四边形，即t＝2t﹣6，解得t＝6，综上可得：当t＝2或6时，A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．总结提升：此题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用．类型二动点最值问题4．（2021春•灌云县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△PAB =13S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（ ）A．B．C．D．思路引领：过P点作MN∥AB，交AD于M，交BC于N，作A点关于MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P，AP+PB＝A'B即为所求，由面积关系可得AM=23AD＝4，在Rt△ABA'中求出A'B即可．解：过P点作MN∥AB，交AD于M，交BC于N，作A点关于MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P，∴AP+PB＝A'P+PB＝A'B，此时PA+PB的值最小，∵S△PAB =13S矩形ABCD，∴12×AB×AM=13×BA×AD，∴AM=23 AD，∵AD＝6，∴AM＝4，∴AA'＝8，∵AB＝10，在Rt△ABA'中，A'B＝故选：B．总结提升：本题考查轴对称求最短距离，通过面积关系，能确定P点所在直线是解题的关键．5．（自贡中考）如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是 形，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB的任意点，则PE+PF的最小值是 ．思路引领：根据题意证明四边相等即可得出菱形；作出F关于AB的对称点M，再过M作ME⊥AD，交AB于点P，此时PE+PF最小，求出ME即可．解：∵△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴AC＝AD，BC＝BD，∵AC＝BC，∴AC＝AD＝BC＝BD，∴四边形ADBC是菱形，故答案为菱；如图作出F关于AB的对称点M，再过M作ME⊥AD，交AB于点P，此时PE+PF最小，此时PE+PF＝ME，过点A作AN⊥BC，∵AD∥BC，∴ME＝AN，作CH⊥AB，∵AC ＝BC ，∴AH =12，由勾股定理可得，CH ∵12×AB ×CH =12×BC ×AN ，可得，AN =∴ME ＝AN =4，∴PE +PF总结提升：此题主要考查路径和最短问题，会结合轴对称的知识和“垂线段最短”的基本事实分析出最短路径是解题的关键．6．（2020•锦州模拟）如图，已知平行四边形ABCD 中，AB ＝BC ，BC ＝10，∠BCD ＝60°，两顶点B 、D 分别在平面直角坐标系的y 轴、x 轴的正半轴上滑动，连接OA ，则OA 的长的最小值是 ．思路引领：利用菱形的性质以及等边三角形的性质得出A 点位置，进而求出AO 的长．解：如图所示：过点A 作AE ⊥BD 于点E ，当点A ，O ，E 在一条直线上，此时AO 最短，∵平行四边形ABCD 中，AB ＝BC ，BC ＝10，∠BCD ＝60°，∴AB ＝AD ＝CD ＝BC ＝10，∠BAD ＝∠BCD ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∴AE 过点O ，E 为BD 中点，∵∠BOD ＝90°，BD ＝10，∴EO ＝5，故AO 的最小值为：AO ＝AE ﹣EO ＝AB sin60°―12×BD ＝―5．故答案为：―5．总结提升：此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，得出当点A，O，E在一条直线上，此时AO最短是解题关键．7．（2022•利州区校级模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（ ）A．0.5B．2.5C D．1思路引领：由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在线段轨迹上运动将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EHG，连接BH，得到△EFB≌△EHG从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，延长HM交CD于点N．则△EFB≌△EHG，∴HE＝BE＝1，∠BEH＝60°，∠GHE＝∠FBE＝90°，∴△EBH为等边三角形．∵四边形ABCD是矩形，∴∠FBE＝90°，∴∠GHE＝∠FBE＝90°，∴点G在垂直于HE的直线HN上，作CM⊥HN，由垂线段最短可知，CM即为CG的最小值，作EP⊥CM，连接BH，EH，则四边形HEPM为矩形，∴MP＝HE＝1，∠HEP＝90°，∴∠PEC＝30°．∵EC＝BC﹣BE＝3，∴CP=12EC=32，∴CM＝MP+CP＝1+32=52，即CG的最小值为5 2．方法二：以CE为边作等边三角形CEH，连接FH，则△CEG≌△EFH，∴CG＝FH，当FH⊥AB时，FH最小＝1+32=52．故选：B．总结提升：本题考查了旋转的性质，线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型．8．（2022秋•射阳县月考）如图，△APB中，AB＝4，∠APB＝90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE 和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是 ．思路引领：先延长EP 交BC 于点F ，得出PF ⊥BC ，再判定四边形PCDE 平行四边形，根据平行四边形的性质得出：四边形CDEP 的面积＝EP ×CF ＝a ×12b =12ab ，最后根据a 2+b 2＝8，判断12ab 的最大值即可．解：如图，延长EP 交BC 于点F ，∵∠APB ＝90°，∠APE ＝∠BPC ＝60°，∴∠EPC ＝150°，∴∠CPF ＝180°﹣150°＝30°，∴PF 平分∠BPC ，又∵PB ＝PC ，∴PF ⊥BC ，设Rt △ABP 中，AP ＝a ，BP ＝b ，则CF =12CP =12b ，a 2+b 2＝42＝16，∵△APE 和△ABD 都是等边三角形，∴AE ＝AP ，AD ＝AB ，∠EAP ＝∠DAB ＝60°，∴∠EAD ＝∠PAB ，在△EAD 和△PAB 中，AE =AP ∠EAD =∠PAB AD =AB，∴△EAD ≌△PAB （SAS ），∴ED ＝PB ＝CP ，同理可得：△APB ≌△DCB （SAS ），∴EP＝AP＝CD，∴四边形PCDE是平行四边形，∴四边形PCDE的面积＝EP×CF＝a×12b=12ab，又∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2≥0，∴2ab≤a2+b2＝16，∴12ab≤4，即四边形PCDE面积的最大值为4．故答案为：4．总结提升：本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形的高线．9．（2022春•番禺区校级期中）如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°，点E是边AB上任意一点（端点除外），线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，C，AE，EF的中点分别为M，N．（1）求证：AF＝EF；（2）求MN+NG的最小值．思路引领：（1）连接CF，根据FG垂直平分CE和菱形的对称性即可得到CF＝EF，CF＝AF，从而求证结论．（2）利用M和N分别是AE和EF的中点，点G为CE中点，即可得到MN+NG=12（AF+CF），当点F与菱形ABCD对角线交点O重合时，AF+CF最小，即此时MN+NG最小，结合已知推断△ABC为等边三角形，即可求解．解：（1）证明：连接CF，∵FG垂直平分CE，∴CF＝EF，∵四边形ABCD为菱形，∴A 和C 关于对角线BD 对称，∴CF ＝AF ，∴AF ＝EF ；（2）连接AC ，∵M 和N 分别是AE 和EF 的中点，点G 为CE 中点，∴MN =12AF ，NG =12CF ，即MN +NG =12（AF +CF ），当点F 与菱形ABCD 对角线交点O 重合时，AF +CF 最小，即此时MN +NG 最小，∵菱形ABCD 边长为1，∠ABC ＝60°，∴△ABC 为等边三角形，AC ＝AB ＝1，即MN +NG 的最小值为12；总结提升：本题考查了菱形的性质，中位线的性质、等边三角形性质的知识，关键在于熟悉各个知识点在本题的灵活运用．属于拔高题．类型三 求运动路径的长10．（2022•虞城县二模）如图，矩形ABCD 中．AB =AD ＝1，点E 为CD 中点，点P 从点D 出发匀速沿D ﹣A ﹣B 运动，连接PE ，点D 关于PE 的对称点为Q ，连接PQ ，EQ ，当点Q 恰好落在矩形ABCD的对角线上时（不包括对角线端点），点P 走过的路径长为 12或1 ．思路引领：当点Q 恰好落在矩形ABCD 的对角线上时存在两种情况：①如图1，点P 在AD 上，点Q 在AC 上，连接DQ ，证明AP ＝PD 可得结论；②如图2，点P 在AB 上，连接PD ，根据30°角的三角函数列式可得AP 的长，从而计算结论．解：如图1，点P 在AD 上，点Q 在AC 上，连接DQ ，∵E 为CD 的中点，∴DE ＝CE ，∵点D 关于PE 的对称点为Q ，∴PE ⊥DQ ，DE ＝EQ ＝EC ，∴∠DQC ＝90°，∴DQ ⊥AC ，∴PE ∥AC ，∴PD ＝AP =12AD =12，即点P 走过的路径长为12；如图2，点P 在AB 上，连接PD ，∵E 为CD 的中点，且CD =∴DE ＝CE ∵∠DFE ＝90°，∴cos ∠EDF ＝cos30°=DF DE，∴DF =34，∵BD 2，∴BF ＝2―34=54，cos ∠ABD ＝cos30°=BF PB ，∴BP 5=∴AP ==∴此时点P 走过的路径长为1综上，点P 走过的路径长为12或1+故答案为：12或1+总结提升：本题主要考查了矩形的性质，对称的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，掌握矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识是解题的关键，并注意运用分类讨论的思想．11．如图，有一张矩形纸条ABCD ，AB ＝5cm ，BC ＝2cm ，点M ，N 分别在边AB ，CD 上，CN ＝1cm ．现将四边形BCNM 沿MN 折叠，使点B ，C 分别落在点B '，C '上．（1）当点B '恰好落在边CD 上时，线段BM 的长为 cm ；（2）点M 从点A 运动到点B 的过程中，若边MB ′与边CD 交于点E ，求点E 相应运动的路径长度．（3）当点A 与点B '距离最短时，求AM 的长．思路引领：（1）运用矩形性质和翻折性质得出：MB′＝NB′，再利用勾股定理即可求得答案；（2）探究点E的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可．（3）如图5中，连接AN，当点B′落在AN上时，AB′的值最小，此时MN平分∠ANB．利用面积法求出AM：BM＝2，可得结论．解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠1＝∠3，由翻折的性质可知：∠1＝∠2，BM＝MB′，∴∠2＝∠3，∴MB′＝NB′，∵NB′cm），∴BM＝NB′=cm）．（2）如图1中，点B'恰好落在边CD上时，BM＝NB′=cm）．如图2中，当点M与A重合时，AE＝EN，设AE＝EN＝xcm，在Rt △ADE 中，则有x 2＝22+（4﹣x ）2，解得x =52，∴DE ＝4―52=32（cm ），如图3中，当点M 运动到MB ′⊥AB 时，DE ′的值最大，DE ′＝5﹣1﹣2＝2（cm ），如图4中，当点M 运动到点B ′落在CD 时，DB ′（即DE ″）＝5﹣1―（4―（cm ），∴点E 的运动轨迹E →E ′→E ″，运动路径＝EE ′+E ′B ′＝2―32+2﹣（432）（cm ）．（3）如图5中，连接AN ，当点B ′落在AN 上时，AB ′的值最小，此时MN 平分∠ANB ．过点M 作MP ⊥AN 于点P ，MQ ⊥BN 于点Q ．在Rt △ADN 中，AN ===∵S △AMN S △MNB =AM BM =12⋅AN⋅MP 12⋅BN⋅MQ =2，∴AM =23AB =103．总结提升：本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型．类型四 平移、翻折及旋转问题12．（2019春•江北区期中）如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，AD ＝8，F 是AB 的中点．过点F 作FE ⊥AD ，垂足为E ．将△AEF 沿点A 到点B 的方向平移，得到△A ′E ′F ′．设P 、P ′分别是EF 、E ′F ′的中点，当点A ′与点B 重合时，四边形PP ′F ′F 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．―8思路引领：如图，连接BD ，DF ，DF 交PP ′于H ．首先证明四边形PP ′CD 是平行四边形，再证明DF ⊥PP ′，求出FH 即可解决问题．解：如图，连接BD ，DF ，DF 交PP ′于H ．由题意PP ′＝AA ′＝AB ＝CD ，PP ′∥AA ′∥CD ，∴四边形PP ′CD 是平行四边形，∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∵AF ＝FB ，∴DF ⊥AB ，DF ⊥PP ′，在Rt △AEF 中，∵∠AEF ＝90°，∠A ＝60°，AF ＝4，∴AE ＝2，EF ＝∴PE ＝PF =在Rt △PHF 中，∵∠FPH ＝30°，PF∴HF =12PF∴平行四边形PP ′FF ′的面积8＝故选：B ．总结提升：本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．13．（2021•海南模拟）如图，正方形ABCD 的边长为1；将其绕顶点C 按逆时针方向旋转一定角度到CEFG 的位置，使得点B 落在对角线CF 上，则阴影部分的面积是（ ）A ．14B ．2―C 1D ．12思路引领：依据△BFH 、△CEF 为等腰直角三角形，即可得到阴影部分的面积．解：正方形ABCD 的边长为1，将其绕顶点C 按逆时针方向旋转一定角度到CEFG 位置，使得点B 落在对角线CF 上，∴EF ＝CE ＝1，∴CF =∴BF =―1，∵∠BFE ＝45°，∴BH ＝BF ―1，∴阴影部分的面积=12×1×1―12×―1）2―1，故选：C ．总结提升：本题考查了正方形的性质及旋转的性质，本题关键是利用△BFH 、△CEF 为等腰直角三角形求解线段的长．14．（2020•湘西州）在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （6，0），点B 在y 轴的正半轴上，∠ABO ＝30°，矩形CODE 的顶点D ，E ，C 分别在OA ，AB ，OB 上，OD ＝2．将矩形CODE 沿x 轴向右平移，当矩形CODE 与△ABO 重叠部分的面积为CODE 向右平移的距离为 ．思路引领：由已知得出AD ＝OA ﹣OD ＝4，由矩形的性质得出∠AED ＝∠ABO ＝30°，在Rt △AED 中，AE ＝2AD ＝8，由勾股定理得出ED ＝解：∵点A （6，0），∴OA ＝6，∵OD ＝2，∴AD＝OA﹣OD＝6﹣2＝4，∵四边形CODE是矩形，∴DE∥OC，∴∠AED＝∠ABO＝30°，在Rt△AED中，AE＝2AD＝8，ED∵OD＝2，∴点E的坐标为（2，；∴矩形CODE的面积为2＝∵将矩形CODE沿x轴向右平移，矩形CODE与△ABO重叠部分的面积为∴矩形CODE与△ABO不重叠部分的面积为如图，设ME′＝x，则FE′，依题意有x×÷2＝解得x＝±2（负值舍去）．故矩形CODE向右平移的距离为2．故答案为：2．总结提升：考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键（2022•大连模拟）如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD 边的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则GE＝ ．思路引领：过点E作EH⊥AD于H，根据勾股定理可求DH的长度，由折叠的性质得出AG＝GE，在Rt△HGE中，由勾股定理可求出答案．解：过点E作EH⊥AD于H，∵ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝AB＝4，∴∠BAD＝∠HDE＝60°，∵E是CD中点，∴DE＝2，在Rt△DHE，中，DE＝2，HE⊥DH，∠HDE＝60°，∴DH＝1，HE=∵将菱形纸片翻折，使点A落在CD边的中点E处，∴AG＝GE，在Rt△HGE中，GE2＝GH2+HE2，∴GE2＝（4﹣GE+1）2+3，∴GE＝2.8．故答案为：2.8．总结提升：本题考查了折叠问题，菱形的性质，勾股定理，关键是添加恰当的辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求线段长度．。
初二动点问题(含标准答案)
初二动点问题（含答案）作者:日期: 2动态问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目•解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题•关键：动中求静•数学思想：分类思想数形结合思想转化思想1、如图1,梯形ABCD 中，AD // BC,/ B=90 ° , AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P 从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动，如果P, Q分别从A , C同时出发，设移动时间为t秒。
当t= _____ 时，四边形是平行四边形；6当t= _____ 时，四边形是等腰梯形• 82、如图2,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上，且DM=1 , N为对角线AC上任意一点，则DN+MN的最小值为_________ 53、如图，在只也ABC中，ACB 90°, B 60°, BC 2•点°是AC的中点，过点°的直线l从与AC重合的位置开始，绕点°作逆时针旋转，交AB边于点D •过点C作2CE // AB 交直线I 于点E ，设直线I 的旋转角为(1)①当度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为②当度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时 AD 的长为(2)当 90°时，判断四边形 EDBC 是否为菱形，并说明理由.解：(1 ［① 30, 1 :② 60, 1.5;(2)当/% =900时，四边形 EDBC 是菱形•v/a =/ACB=90°,「. BC//ED. T CE//AB,二四边形 EDBC 是平行四边形 在 Rt △ABC 中，/ ACB=900,/ B=60°,BC=2, /./ A=30°.137AC3••• AB=4,AC=2 '3. ••• A°= 2 = 3 •在 Rt △ AOD 中，/ A=30,二 AD=2.B• BD=2. • BD=BC. 又•••四边形 EDBC 是平行四边形, •四边形EDBC 是菱形 4、C ,A(1) 当直线 MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ ADC ◎△ CEB •，②DE=AD + BE ;⑵当直线 MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证： DE=AD-BE ;⑶当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问 DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量 关系，并加以证明•解：(1 ［① •••/ ACD= / ACB=90 •••/ CAD+ / ACD=90 /-Z BCE+ / ACD=90•••/ CAD= Z BCE •/ AC=BCADC ◎△ CEB② •/△ ADC ◎△ CEB • CE=AD , CD=BE • DE=CE+CD=AD+BE(2) T Z ADC= Z CEB= Z ACB=90°ACD= Z CBE又 ■: AC=BCACD ◎△ CBE • CE=AD , CD=BE • DE=CE-CD=AD-BE(3) 当 MN 旋转至U 图 3 的位置时，DE=BE-AD(或 AD=BE-DE , BE=AD+DE 等)•/Z ADC= Z CEB= Z ACB=90° /Z ACD= Z CBE , 又 ■: AC=BC ,ACD ◎△ CBE ,• AD=CE , CD=BE ,• DE=CD-CE=BE-AD.5、数学课上，张老师出示了问题： 如图1,四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点. AEF 90°,且EF 交正方形外角 DCG 的平行线CF 于点F ,求证：AE=EF.经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点 M 连接 ME 则 AM =EC,易证△ AME ECF ，所以 AE EF .在此基础上，同学们作了进一步的研究：(1 )小颖提出：如图2,如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点 E 是边BC 上(除B, C 外)的任意 一点”，其它条件不变，那么结论“ AE=EF'仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明 过程；如果不正确，请说明理由；(3) 若AB=5且Z ABM=45 °，其他条件不变，直接写出△ PAB 为直角三角形的t 值(2)小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上(除C 点外)的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF' 仍然成立.你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程； 解：(1)正确. 证明：在 AB 上取一点M ，使AM45°DCFBM BE . BME QCF 是外角平分线，AMEQ AEBBAE(2)正确.证明：在BA 的延长线上取一点 NBN BE . N PCEQ 四边形ABCD 是正方形， ADAE BEA . NAE △ ANEECF (ASA ). AE EF .ECF . BAE 90°， CEF . AEB△6、如图，射线MB 上,MB=9,A 是射线 MB 方向以1个单位/秒的速度移动，设 求(PAB 为等腰三角形的t 值;MB 外一点,AB=5且A 到射线 P 的运动时间为t.(2)△ PAB 为直角三角形的t 值; 如果不正确，请说明理由. MB 的距离为3,动点P 从图沿射线2 ＞过P 作PG 丄IVIN 于G VMN/7AB^NM=NP过N 作NR 丄MP^R 则有：RM=0.5FM= V宀 忑 J ：Rt ANMRM^RM- y MN=」CMV3 再A — {5・X j ■亍:、x=43。
八下数学平行四边形中的动点问题
动点问题练习题1．（宁夏回族自治区）已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒．1、线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积； （2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．2．如图，在四边形ABCD中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．CP Q BA M N C1． 如图，在平面直角坐标系中，在四边形OABC 中，OA ∥BC ，点A 的坐标为(6，0)，点B 的 坐标为(4，3)，点C 在y 轴的正半轴上．动点M 在OA 上运动，从O 点出发到A 点；动点N 在AB 上运动，从A 点出发到B 点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t (秒)． (1)求线段AB 的长；当t 为何值时，MN ∥OC ？(2)设△CMN 的面积为S ，求S 与t 之间的函数解析式， 并指出自变量t 的取值范围；S 是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？(3)连接AC ，那么是否存在这样的t ，使MN 与AC 互相垂直？ 若存在，求出这时的t 值；若不存在，请说明理由． 2．（河北卷）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝16，动点P 从点A 出发沿AC 边向点C 以每秒3个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发沿CB 边向点B 以每秒4个单位长的速度运动．P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ 关于直线PQ 对称的图形是△PDQ ．设运动时间为t （秒）． （1）设四边形PCQD 的面积为y ，求y 与t 的函数关系式； （2）t 为何值时，四边形PQBA 是梯形？（3）是否存在时刻t ，使得PD ∥AB ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t ，使得PD ⊥AB ？若存在，请估计t 的值在括号中的哪个时间段内（0≤t ≤1；1＜t ≤2；2＜t ≤3；3＜t ≤4）；若不存在，请简要说明理由．3．（山东济宁）如图，A 、B 分别为x 轴和y 轴正半轴上的点。
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第十一讲平行四边形中的动点问题时间：年月日刘满江老师学生姓名：一、兴趣导入二、学前测试1．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）A．∠1=∠2B．∠BAD=∠BCD C．A B=CD D．A C⊥BD考点：平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的性质，平行四边形对边平行以及对边相等和对角相等分别判断得出即可．解答：解：∵在平行四边形ABCD中，∴AB∥CD，∴∠1=∠2，故此选项正确，不合题意；∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD，AB=CD，故B，C选项正确，不合题意；无法得出AC⊥BD，故此选项错误，符合题意．故选D．点评：此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握相关的性质是解题关键．2.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（）A．3种B．4种C．5种D．6种考点：平行四边形的判定．分析：根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可．解答：解：①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；①④可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；故选：B．点评：此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理．3.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AD，AB的中点，EF交AC 于点H，则的值为（）A．1 B．C．D．考点：三角形中位线定理；平行四边形的性质．分析：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出H是AO的中点，再根据平行四边形的对角线互相平分可得AO=CO，然后求出CH=3AH，再求解即可．解答：解：∵点E，F分别是边AD，AB的中点，∴AH=HO，∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴AO=CO，∴CH=3AH，∴=．故选C．三、方法培养：知识要点：平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形平行四边形的性质：边：对边平行且相等角：内角和为______,外角和___________，邻角______,对角__________对角线：互相平分平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离叫性质：平行线之间的距离处处相等。
推广：夹在两条平行线之间平行线段相等平行四边形的判定：定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形例11．如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16．动点P 从点B 出发，沿射线BC 的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 同时从点A 出发，在线段AD 上以每秒1个单位长的速度向点D 运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t （秒）．（1）当t 为何值时，四边形PQCD 的面积是梯形ABCD 的面积的一半；（2）四边形PQCD 能为平行四边形吗？如果能，求出t 的值；如果不能，请说明理由．（3）四边形PQCD 能为等腰梯形吗？如果能，求出t 的值；如果不能，请说明理由．考点：等腰梯形的判定；平行四边形的判定；直角梯形。
专题：动点型。
分析：（1）根据：路程=速度×时间，表示线段的长度，再利用：S 梯形ABPQ =S 梯形PQDC ，列方程求解；（2）只要能满足DQ=PC 即可，由此建立等量关系，列方程求解；（3）当四边形PQCD 为等腰梯形时，作PE⊥BC，DF⊥BC，垂足为E 、F ，需要满足QE=CF ，由此建立等量关系，列方程求解．解答：解：（1）由已知得：AQ=t ，QD=16﹣t ，BP=2t ，PC=21﹣2t ，依题意，得12)22116(2112)2(21⨯-+-=⨯+t t t t 解得； （2）能；当四边形PQDC 为平行四边形时，DQ=PC ，即16﹣t=21﹣2t 解得t=5；（3）不能作QE⊥BC，DF⊥BC，垂足为E 、F ，当四边形PQCD 为等腰梯形时，PE=CF ，即t ﹣2t=21﹣16解得t=﹣5，不合实际．点评：本题考查了梯形计算面积的方法，根据平行四边形、等腰梯形的性质列方程求解的问题． 变式练习：如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16．动点P 从点B 出发，沿射线BC 的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 同时从点A 出发，在线段AD 上以每秒1个单位长的速度向点D 运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t （秒）．（1）设△DPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；（2）当t 为何值时，四边形PCDQ 是平行四边形？（3）分别求出当t 为何值时，①PD=PQ，②DQ=PQ．考点：直角梯形；勾股定理；平行四边形的判定与性质。
解答：（1）解：直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠A=90°，BC=21，AB=12，AD=16，依题意AQ=t ，BP=2t ，则DQ=16﹣t ，PC=21﹣2t ，过点P 作PE⊥AD 于E ，则四边形ADPE 是矩形，PE=AB=12，∴S △DPQ =DQ •AB=（16﹣t ）×12=﹣6t+96．（2）当四边形PCDQ 是平行四边形时，PC=DQ ，∴21﹣2t=16﹣t 解得：t=5，∴当t=5时，四边形PCDQ 是平行四边形．（3）∵AE=BP=2t，PE=AB=12，①当PD=PQ 时，QE=ED=AQ=t ，∴AD=3t即16=3t，解得：t=，∴当t=时，PD=PQ②当DQ=PQ时，DQ2=PQ2∴t2+122=（16﹣t）2解得：t=∴当t=时，DQ=PQ☆专题2：平行四边形的证明【例2】如图，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，且AD=4cm，AB=6cm，DC=10cm．若动点P从A点出发，以每秒4cm的速度沿线段AD、DC向C点运动；动点Q从C点出发以每秒5cm的速度沿CB向B点运动．当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动．设点P、Q同时出发，并运动了t秒，（1）直角梯形ABCD的面积为cm2；（2）当t= 秒时，四边形PQCD成为平行四边形？（3）当t= 秒时，AQ=DC；（4）是否存在t，使得P点在线段DC上且PQ⊥DC？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．考点：直角梯形；平行四边形的判定。
解答：解：（1）作DM⊥BC于点M．则四边形ABMD是平行四边形∴DM=AB=6cm．在直角△CDM中，CM==8cm ∴BC=BM+CM=4+8=12cm∴直角梯形ABCD的面积为（AD+BC）•AB=48cm2；（2）当PD=CQ时，四边形PQCD成为平行四边形即4﹣5x=4x 解得x=；（3）BQ=12﹣5x 在直角△ABQ中，AB2+BQ2=AQ2 即62+（12﹣5x）2=102 解得x=；（4）存在，．连接QD，则CP=14﹣4t，CQ=5t若QP⊥CD，S△DQC=S△DQC，有CQ×AB=CD×QP得QP=3t 在RtS△QPC中QP2+PC2=CQ2，即（3t）2+（14﹣4t）2=（5t）2解之得求得BC=12 CP=14﹣4t=7＜10 CQ=5t=＜12所以，存在t，使得P点在线段DC上，且PQ⊥DC．变式练习如图，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，且AD=4cm，AB=6cm，DC=10cm．若动点P从A点出发，以每秒4cm的速度沿线段AD、DC向C点运动；动点Q从C点出发以每秒5cm的速度沿CB向B点运动．当Q 点到达B点时，动点P、Q同时停止运动．设点P、Q同时出发，并运动了t秒，（1）这个直角梯形ABCD的面积是多少？（2）当t为何值时，四边形PQCD成为平行四边形？（3）是否存在t，使得P点在线段DC上且PQ⊥DC？若存在，求出此时t的值，若不存在，说明理由．分析：（1）作DM⊥BC于点M，在直角△CDM中，根据勾股定理即可求得CM，得到下底边的长，根据梯形面积公式即可求解．（2）当PD=CQ时，四边形PQCD成为平行四边形．（3）连接QD，根据S△DQC=S△DQC，即可求解．解答：解：（1）作DM⊥BC于点M．则四边形ABMD是平行四边形，∴DM=AB=6cm．在直角△CDM中，CM==8cm，∴BC=BM+CM=4+8=12cm，∴直角梯形ABCD的面积为（AD+BC）•AB=48cm2；二、当PD=CQ时，四边形PQCD成为平行四边形，即4﹣5x=4x，解得x=；（3）存在，．连接QD，则CP=14﹣4t，CQ=5t，若QP⊥CD，S△DQC=S△DQC，有CQ×AB=CD×QP，即5t×6=10×QP，得QP=3t，在RtS△QPC中， QP2+PC2=CQ2，即（3t）2+（14﹣4t）2=（5t）2解之得，求得BC=12， CP=14﹣4t=7＜10， CQ=5t=＜12，所以，存在t=时，使得P点在线段DC上，且PQ⊥DC．☆专题3：三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半。
逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
【例3】直角三角形AOB在平面直角坐标系中如图所示，O与坐标原点重合，点A在x轴上，点B在y轴上，OB=2，∠BAO=30°，将△AOB沿直线BE折叠，使得OB边落在AB上，点O与点D重合．（1）求直线BE的解析式；（2）求点D的坐标；（3）点P是x轴上的动点，使△PAB是等腰三角形，直接写出P点的坐标；（4）点M是直线BE上的动点，过M点作AB的平行线交y轴于点N，是否存在这样的点M，使得以点M、N、D、B为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有M点的坐标；如果不存在说明理由．考点：一次函数综合题；正比例函数的图象；待定系数法求一次函数解析式。