九年级数学上册 第22章二次根式复习课件 华东师大版
2.实数a在数轴上的位置如图所示,化简
a
a 1 (a 2)2 =
-1 0 1 2
.
3.若代数式 (2 a)2 (a 4)2 的值是常数2,
则a的取值范围是( )
A. a 2
C. 2 a 4
B. a 2
D. a 2或a 4
4、把 a 1 根号外的因式移到根号内得 a
（） 5、若化简 1 x x2 8x 16 的结果是2x-5,
a a (a 0,b 0) bb
4、二次根式的除法法则
a a (a 0,b 0) bb
例3、判断下列各式中哪些是最简二次根式， 哪些不是？为什么？(字母为正数)
(1) 3a2b (2) 1.5ab (3) x2 y2 (4) a b
最简二次根式的两个条件： （1）被开方数不含分母；(即因数是整数， 因式是整式
则x的取值范围是（
）
6. 观察下列分母有理化的计算：
1 2 1 ， 1 3 2 ，
2 1
3 2
1 4
3
4
3，
1 5 4 ，…，
5 4
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：
( 1 1 1
1
)( 2006 1)
2 1 3 2 4 3
2006 2005
拓展延伸 1、试写出下列各式的整数部分和小数部分
二、二次根式有以下二个基本性质
1.( a )2 a(a 0)
2.
a2
a
a 0 a
0
口算：
(1)( 2 )2 (4) 9 2
(2) (1 2)2
(3) ( 4)2
3 (5)
4
(6)(2 x )2
(7) 32 42 (7)2 ( 11)2
(8) a2 2ab b2 (a b)
一化 二找 三合并
1、下列各式与 2是同类二次根式的是（ C ）
A 10 B 24 C 72
D 2
3
2、若最简根式 X 1 与 3 X 是
同类二次根式，求 X 值
例3 :已知：m 1 ,
2 3
求1 2m m2 m 1
m2 2m m2 m
1
的值.
例4
设a.b为实数,且 2 a b 2 0
例2、计算
(1)3 5 2 15
(2) 40 45
(3)3 m6n5 5 m4n2 (m、、 为正数）
(4) 1 48 1
2
8
三、二次根式的乘除 1、积的算术平方根的性质
ab a b(a 0,b 0)
2、二次根式的乘法法则
a b ab(a 0,b 0)
3、商的算术平方根的性质
O 1 A1
A7
概念
二次根式 最简二次根式 同类二次根式
(a 0)
二
a 0
(a 0)
次
( a a
根
性质
( a2 a
式
ab a b (a 0,b 0)
a a bb
(a 0,b 0)
a b ab(a 0,b 0)
运算
a a (a 0,b 0) bb
② a ≥0
例1、当x取何值时，下列等式成立：
(1) 4 y2 2 y • 2 y (2) (3 2x)2 2x 3
(3) x x x2 x2
5
已知y
2x
x
2
5,则
y x
_2___
?
若 a2 a ，则实数a在数轴上
的对应点一定在( C) A、原点左侧 B、原点右侧 C、原点或原点左侧 D、原点或原点右侧
练习、当x取何值时，下列二次根式 有意义：
(1) 2x 1 (2) 1 1 3x
(3) x 2 (4) (x 3)2 x2
(5) a 1 1 3a
一.二次根式的概念及意义. 形如 a (a≥0 )这样的式子叫做二次根式,
其中a可以是数,也可以是单项式和多项式.
注：两个非负： ①a≥0
3 的整数部分 1 ，小数部分 3 1 。 15 的整数部分 3 ，小数部分 15 3。
2、化简： ( 15 3)2 ( 15 4)2
3、若a、b分别是 6 13 的整数部分和 小数部分2a-b的值是 13 。
拓展2
细心观察图形,认真分析,思考下列问题.
（1）你能求出哪些线段的长？
OA2=__2_S1=__12 _ OA3=__3_S2=__22_
A5
1
1 A4
S4
…… …… A6
S5
OAn=__n_
1 S6
Sn=__2n_
A7
1 A3 1
S3 S2 A2
S1 1
O 1 A1
1
（2）请计算
S1=
1 2
S2=
2 2
…Sn=
S12
S
2 2
S
2 3
S
2 n
n 2
n(n 1) 8
A5 1 A4
1
S4
A6
S5
1 S6
1 A3 1
S3 S2 A2
S1 1
求a2 2 2a 2 b2 的值
解:
2 a 0， b 2 0
而 2a b2 0
2a0 ， b20
a 2， b 2
原式 (a 2)2 b2 ( 2 2)2 22
4
练一练 :
1.如果最简根式 ba 3b 和 2b a 2
是同类二次根式，那么a、b的值分别是（ ） A．a=0，b=2 B．a=2，b=0 C．a=-1，b=1 D．a=1，b=-2
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数 或因式；
3、计算：
(1)2 3 27 1
(2) 3
3
2 5
(3)( 3 2)(2 3)
(4) a2b ab2 a2 b ab a
（2 - 3）2007（ 2 3）2008
四、二次根式的加减 1、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果 被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类 二次根式 2、二次根式的加减（合并同类二次根式）
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华东师大版数学九年级上册二次根式教学课件2
3.从运算结果来看:
a 2 =a
a (a≥ 0)
a 2 =∣a∣=
-a (a＜0)
思考：若 (m 4)2 4 m,则m的取值范围是 _m____4___
华 东 师 大 版 数学九 年级上 册-21. 1 二 次 根式 课 件 _ 3
华 东 师 大 版 数学九 年级上 册-21. 1 二 次 根式 课 件 _ 3
1
(
0.01)2 0.01 (
3 1 )2
3
2 a a (a≥0)
42 4
02 0
0.012 0.01 1 2 1 3 3
a2 a (a≥0)
华 东 师 大 版 数学九 年级上 册-21. 1 二 次 根式 课 件 _ 3
华 东 师 大 版 数学九 年级上 册-21. 1 二 次 根式 课 件 _ 3
(1) x 1
(2) x2 2
(3) x2
(4) 1 3 2x
①被开方数大于或等于零；
②分母中有字母时，要保证分母不为零。 华 东 师 大 版 数学九 年级上 册-21. 1 二 次 根式 课 件 _ 3
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( 4)2 4 ( 0)2 0
S
圆形的下球体在平面图上的面积为S，
S
则半径为____________.
b-3
如图示的值表示正方形的面积，则
正方形的边长是 b 3
s
a2 2500
表示一些正数的算术平方根．
b3
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
a叫被开方数
凭着你已有的知识, 说说对二次根式 a 的认识,好吗?
?
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
a 2 =a
a (a≥ 0)
a 2 =∣a∣=
-a (a＜0)
思考：若 (m 4)2 4 m,则m的取值范围是 _m____4___
华 东 师 大 版 数学九 年级上 册-21. 1 二 次 根式 课 件 _ 3
华 东 师 大 版 数学九 年级上 册-21. 1 二 次 根式 课 件 _ 3
1
(
0.01)2 0.01 (
3 1 )2
3
2 a a (a≥0)
42 4
02 0
0.012 0.01 1 2 1 3 3
a2 a (a≥0)
华 东 师 大 版 数学九 年级上 册-21. 1 二 次 根式 课 件 _ 3
华 东 师 大 版 数学九 年级上 册-21. 1 二 次 根式 课 件 _ 3
(1) x 1
(2) x2 2
(3) x2
(4) 1 3 2x
①被开方数大于或等于零；
②分母中有字母时，要保证分母不为零。 华 东 师 大 版 数学九 年级上 册-21. 1 二 次 根式 课 件 _ 3
华 东 师 大 版 数学九 年级上 册-21. 1 二 次 根式 课 件 _ 3
( 4)2 4 ( 0)2 0
S
圆形的下球体在平面图上的面积为S，
S
则半径为____________.
b-3
如图示的值表示正方形的面积，则
正方形的边长是 b 3
s
a2 2500
表示一些正数的算术平方根．
b3
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
a叫被开方数
凭着你已有的知识, 说说对二次根式 a 的认识,好吗?
?
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
华师大版九年级上 22.1二次根式课件.rarPPT优选课件
9
X是怎样的数时,下列各式在实数范围内 有意义?
(1) x3;(2) 24x; (3) 5x;(4) 2
x1
2020/10/18
10
阅读P3“思考”
性2 ：质 a2 |a| a(a a (a 0)0),.
2020/10/18
11
计算：) 4 9
(4) (6)2
指出下列各式中哪些是二次根式,哪些不是, 为什么?
5 ,a ( a 0 )3 8 ,, a ( a 0 )
2020/10/18
8
例2要使式子 x1有意义，字母x的取值
必须满足什么条件？
分析：要使式子 x有1意义，必须x-1≥0，
即x≥1。
解: ∵被开方数 x-1≥0,
∴x≥1
2020/10/18
16.2二.1次根式的概念
2020/10/18
1
1. 16的平方根是 ±4; 2. 9的算术平方根是 3 ; 3. 25的平方根是 ± 5;
2020/10/18
2
1. a表示什么?
2.a需要满足什么条件?为什么?
当a是正数时， a表示a的算术平方根，即正数a的
正的平方根；
当a是零时， a等于0，也叫零的算术平方根； 当A是负数时，a没有意义.
a≥0，因为任何一个有理数的平方都大于或等于零.
2020/10/18
3
aa0是 一 个 非 负 数 ， 即 a0a0
a2a0 等 于 什 么 ？
2
a aa0
2020/10/18
4
性质1：
1 a0a0
2 a 2 aa0
2020/10/18
5
计算 ：
( 5 )2 5
初三数学课件-华师大版九年级数学上册22.2《二次根式的乘除法》课件2 最新
a a
x y x y
m m m
x x
最简二次根式！（P9）
辨析训练
判断下列各等式是否成立。
√） （1） 16 9 4 3 （× ）（2） 3 3 （
1
把下列各式分母有理化 2 x y x y
x y m x 2 x 2
2
x y
x y
2 3
m m
m
m 1
m
m 1
x 2 x 2 x
x 2
2
化简
15 12 2 45
15 2 3 5 3 15 12 2 45 15 23 5 5
(3) 3.化简二次根式的方法.
ab a b , (a 0, b 0);
b
b
, (a 0, b 0)
二次根式的化简要求满足以下两条:
(1)被开方数的因数是整数,因式是整式,也就是说“被开 方数不含分母”. (2)被开方数中不含能开得尽的因数或因式,也就是说“被 开方数的每一个因数或因式的指数都小于2”.
1 2 3
1 1 2
6 2
1 5x y x
5x 5x
xy x
4 4
a 2
2 2a
72 6 1
()
1 40 ( 3) ) (2 1 2 45
5 4 4 3 ( ) 4 m n 5 m n
1 6
1 () 1
a a 般地, 有 ________, (＞ a (a ≥ 0, b 0 )0, b 0) b b
华东师大版九年级上册课件：21.2.3二次根式的除法(共28张PPT)
（1） 8 •（ 2 ）＝ 4
（2）2 5 •（ 5 ）＝ 10
（3）a－1 •（
a － 1）＝ a－1 （4）3
2＝
3பைடு நூலகம்
6
2.把下列各式的分母有理化：
（
－ 1）
8
3
（ 2）3 2
8
27
（ 3） 5a 10 a
（ 4） 2 y 2 4 xy
3.化简： （1）－19÷ 95
（2） 9 1 ÷（－3 21）
48
24
41、解 4 .1： 1、 、要 等 等使 mmm m－ － 式 － － 式 53等 53＝＝式 mmm m－ －－ － 53成 成 53成m立 立立 >， 的 5的 _m条 _必 __条 _须 _件___件 满 _是 。___足 _是 。 _______
m m- -3 5>00m5
5、如图，在Rt△ABC中,∠C=900， ∠A=300，AC=2cm,求斜边AB的长
60
60 30
注意：要进行根式化简，关键是要搞清楚分 式的分子和分母都乘什么，有时还要先对分 母进行化简。
例4：化简
1 3 232 3 8
5
27
2a
（ 4） 2 a 2b (5) 3
3
2 3
在二次根式的运算中， 最后结果一般 要求分母中不含有二次根式.
把分母中的根号化去,使分母变成有理数, 这个过程叫做分母有理化。
2
6
____
6 （ ） 2 3 40
(7) √√___22___RR_12__hh
2.化简
7 (1) 2
9
(2)
81 25x2
x
0
(3) 16ab22ca0,b0
【华师大版】2012-2013学年九年级(全一册)数学小复习：第22单元 二次根式-讲练课件
知识 不 技能
数学·新课标（HS）
第22章讲练 ┃ 试卷讲练
10题借助亍几何中对称的概念，结合数轴来考查学生对亍二次根 式的运算． 14题以二次根式的知识为基础，构造出一个新的运算，让学生体 会到知识间的联系． 18题以一种比较新颖的形式考查了对亍二次根式的概念的理解不 亮点 运用． 23题让学生在动手实践中体验到二次根式不勾股定理的联系，幵 会运用分类思想来解决实际问题． 24题是一道运用直角三角形、勾股定理、二次根式的运算等知识 的综合题，既考查了相关性质的应用，也考查了运算能力.
数学·新课标（HS）
第22章讲练 ┃ 试卷讲练 【针对第10题训练】
1．如图 22－1，矩形 OABC 的边 OA 长为 2，边 AB 长为 1， OA 在数轴上，以原点 O 为圆心，对角线 OB 的长为半径画弧，交 正半轴于一点，则这个点表示的实数是( D )
图 22－1 A．2.5 B．2 2 C. 3 D. 5
数学·新课标（HS）
第22章讲练 ┃ 试卷讲练 【针对第2题训练】
1．使 3x－1有意义的 x 的取值范围是( C ) 1 A．x> 3 1 C．x≥ 3 B．x>－ 1 3
1 D．x≥－ 3
数学·新课标（HS）
第22章讲练 ┃ 试卷讲练
1 x≥ 2 2．若二次根式 2x－1有意义，则 x 的取值范围是________．
0 3．化简： x－2－ 2－x＝________.
数学·新课标（HS）
第22章讲练 ┃ 试卷讲练 【针对第5题训练】
1．下列计算结果正确的是( C ) A. 2＋ 5＝ 7 C. 2× 5＝ 10 B．3 2－ 2＝3 D. 2 ＝5 10 5
数学·新课标（HS）
华东师大版九年级上册21.2.3二次根式的乘除法三(共19张PPT)
a2 ab b a3
b
探索
1、计算：
(1) 6 27 9
2 ;(2)
20
2
3 3
15;
(3) 5 10 ;(4) 1 5 ;(5) 2 3 6 .
22
20 10
2
2、观察上面计算题的最后结果，可以发现 这些式子中的二次根式两个特点：
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数不含能开得尽方的因数或
(3) 8x2 y3 4x2 y2 2y 2xy 2y
2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90º， AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．
解：由题意得
AB AC2 BC2 2.52 62
42.25 169 13 6.5 42
AB的长为6.5cm. A
C
B
观察下面运用分母有理化得到最简二次根式的过程： (1) 2 2( 3 1) 2( 3 1) 3 1;
(1) (4)(3) 43 4 3 2 3 (2)∵a＜0, b＜0, a a a a b ab .
b b b b b b
二、计算化简：
(1) 12 21 14 ; (2)2 3 3 5 20 ;
解：(1) 12 21 14 12 14 8 2 2
21
3 56
模仿完成计算：(1) 3 ;(2) 3 ;(3) 5 2 .
52
5 2
5 2
解：(3) 5 2 ( 5 2)2 5 2 ( 5 2)( 5 2)
54 54 54
94 5
小结
本节课要掌握：
1、最简二次根式的两个条件： (1)被开方数不含分母； (2)被开方数不含能开得尽方的因数或 因式.
(2)2 3 3 5 20 2 3 3 2 3 3 3 3 42
华东师大版数学九年级上册21.1二次根式课件
?
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根
2. a可以是数,也可以是式.
3. 情势上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
说一说: 下列各式是二次根式吗?
(1) 32, (2) 6, (3) 12, (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
? 在实数范围内,负数没有平方根
例1： 当x取何值时，下列各式有意义？
(1) x 5 (2) x2 2
(3) x 1 x3
(4) x 2 2 x 1
( 4)2 4 ( 0)2 0
1
(Hale Waihona Puke 0.01)2 0.01 (
3 1 )2
3
2 a a (a≥0)
42 4
02 0
0.012 0.01
一路下来，我们结识了很多新知识， 你能谈谈自己的收获吗？说一说，让大 家一起来分享。
二次根式的定义:
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式 .
二次根式的性质:
a 0, a 0（. 双重非负性）
2 a a(a 0) a (a≥ 0) a2 =∣a∣= -a (a＜0)
S
圆形的下球体在平面图上的面积为S，
S
则半径为____________.
b-3
如图示的值表示正方形的面积，则
正方形的边长是 b 3
s
a2 2500
b3
表示一些正数的算术平方根．
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式 .
a叫被开方数
凭着你已有的知识, 说说对二次根式 a 的认识,好吗?
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根
2. a可以是数,也可以是式.
3. 情势上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
说一说: 下列各式是二次根式吗?
(1) 32, (2) 6, (3) 12, (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
? 在实数范围内,负数没有平方根
例1： 当x取何值时，下列各式有意义？
(1) x 5 (2) x2 2
(3) x 1 x3
(4) x 2 2 x 1
( 4)2 4 ( 0)2 0
1
(Hale Waihona Puke 0.01)2 0.01 (
3 1 )2
3
2 a a (a≥0)
42 4
02 0
0.012 0.01
一路下来，我们结识了很多新知识， 你能谈谈自己的收获吗？说一说，让大 家一起来分享。
二次根式的定义:
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式 .
二次根式的性质:
a 0, a 0（. 双重非负性）
2 a a(a 0) a (a≥ 0) a2 =∣a∣= -a (a＜0)
S
圆形的下球体在平面图上的面积为S，
S
则半径为____________.
b-3
如图示的值表示正方形的面积，则
正方形的边长是 b 3
s
a2 2500
b3
表示一些正数的算术平方根．
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式 .
a叫被开方数
凭着你已有的知识, 说说对二次根式 a 的认识,好吗?
九年极数学 第22章 二次根式复习 华东师大版
【本讲教育信息】一. 教学内容：第22章二次根式复习二. 重点、难点：本章的重点是二次根式的运算，二次根式的有关概念和性质是进行二次根式运算的基础，正确理解和运用二次根式的有关概念和性质是二次根式运算的关键，深刻理解和运用公式是本章的难点。
三. 知识梳理：1. 本章知识提练整理2. 学习本章的几个注意点（1）抓对比，明确概念本章概念多，容易混淆。
学习时要抓住它们各自的特点进行对比，搞清概念间的联系和区别，如画出网络图建立二次根式与同类二次根式的联系和区别；这是获得知识、训练能力的有效方法。
（2）抓类比，发展联想美国数学教育学家波利亚说：“类比就是一种相似，相似的对象在某个方面彼此一致，类比的对象则其相应部分在某些关系上相似。
”学习二次根式时可以同算术平方根的符号、性质类比，这样学习数学就能逐步提高思维能力。
（3）抓审题，提高素质由于前面分析过的难点，就使得学习时容易出现错误，特别在解题时，如不仔细审题，就容易用错概念，或挖掘不出隐含在题意或符号、算式中的关系和条件，所以在审题时要细心观察，善于联想，去伪存真，巧妙转化；再有，二次根式运算的题目往往比较繁杂，计算时要学会调控自己的情绪，沉着冷静，切忌浮躁，养成“审题、检查、反思”的学习习惯，培养良好的心理素质，提高自身综合素质。
（4）抓“化简”，落实双基本章学习要抓住二次根式的运算这条主线，而二次根式的化简又是运算的表现形式，因此，要通过“化简”把算术平方根和二次根式的概念、性质，以至多项式的运算、多项式的因式分解等等知识有机地结合起来，并通过“化简”做到“明白算理，运算熟练，结果正确。
”【典型例题】例1.如果2y =，则2x y +=_______.分析：a 必须是非负数，即a ≥0，可以是单项式，也可以是多项式.所以由已知条件，得23x -≥0且32x -≥0.解：由题意得23x -≥0且32x -≥0，∴32x =，y =2，∴2x y +=5.例2. 已知数a ，b－a ，则 ( ) A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b解析：此题是二次根式|a －b|=b －a ，根据绝对值的意义，可得a －b ≤0，所以有a≤b ，故选D.例3.=a 的取值范围是___________. 分析：=a ≥0，b ＞0，不能与二次根式有意义的条件混淆.解：由a ≥0和2－a ＞0得0≤a ＜2.例4.若|1|a b -+互为相反数，则=+2004)b a (_______。
华东师大版九年级数学上册21.1二次根式课件 (共54张PPT)
拓展练习 深化新知
1 1.当 x 是多少时， 2 x 3 在实数范 x +1 围内有意义？ x 3 且x 1 2 x 2.已知 y 2 x x 2 5 ，求 的 y 2
值.
5
3.若 a 1 b 1 0 ，求 a 值.
0
2009
b
2009
2
2
2
-5 3
2
16
.
-30
做一做
填空：
0.01 ； 2 22 = _______ ；0.012 = _______ 1 2 2 2 1 2 10 ； = _______; 3 10 = _______ 3 3 2 3 2 0 ； = _______. 0 = _______ 7 7
解：二次根式有：
2， x x 0 , 0, 2, x y x 0, y 0 ；
不是二次根式的有：
3
1 4 1 3， , , 2, . x x y
交流归纳
从形式上看，一个代数式是二次根式必
须具备以下两个条件： （1）必须有二次根号； （2）被开方数不能小于0.
例2：x 取何值时，下列二次根式有意义？
a +1 是不是二次根式？
的式子叫做
不是
a +1 呢?
是
议一议
二次根式 a 1 表示什么意义？ 此算术平方根的被开方数是什么？ a 1 被开方数必须满足什么条件时二次根式才 有意义？ 被开方数大于或等于零.
其中字母 a 需满足什么条件？为什么？
a -1
总结
二次根式根号内字母的取值范围必须满 足被开方数大于或等于零.
a0 . 2. a 2 a成立的条件是_______
华东师大版九年级上册 数学 课件 21.1 二次根式)PPT
5
8
(3) 25；
(4) （－1.5）2；
5
1.5
(5) （a－3）2 (a＜3)．
已知 2x 1 1 2x y 3,
求代数式 xy的值。
解：依题意得，
2x 1 0 1 2x 0
解得， x 1
2
y 3
xy 1 3 3 22
二次根式的定义: 形如 a ( a 0 ) 的式子叫做二次根式 .
21.1 二次根式
类比导入:
我们知道 2x 2yc 3 ， 5a b 2 ，4 等是 整式，
像 2x ，1 ， 2
y z a
x 6
等是分式 ，
那么 x ， 2x 3y ， 1 等既不是
6
整式也不是分式，那么它们是什么呢？
教学目标：
1、了解二次根式的概念，能判断一个式子 是不是二次根式；
2、掌握二次根式有意义的条件； 3、掌握二次根式的基本性质； 4、通过计算、观察、类比、归纳、猜想，经
归纳：当 a >0 时， a2＝________．
4
(2)计算： （－4）2＝____4____， －452＝___5_____.
归纳：当 a <0 时， a2＝________．
(3)计算： 02＝ ____0____． 归纳：当 a＝0 时， a2＝____0____．
综上，试概括你发现的结论．
6.真正的快乐来源于宽容和帮助。 96.再多一点努力，就多一点成功。 64.日复明日，明日何其多？我生待明日，万事成蹉跎。
二次根式的性质:
a 0, a 0（. 双重非负性）
2 a a(a 0)
a2
=
1、练习册1-6题 2、书课后题1-3