向量法求空间角(高二数学-立体几何)

A B C D PQ 向量法求空间角1.（本小题满分10分)在如图所示的多面体中，四边形ABCD为正方形，四边形ADPQ 是直角梯形，DP AD ⊥,⊥CD 平面ADPQ ，DP AQ AB 21==.(1)求证:⊥PQ 平面DCQ ； （2）求平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小.2.（满分13分）如图所示,正四棱锥P-中,O 为底面正方形的中心,侧棱与底面所成的角的正切值为26.（1)求侧面与底面所成的二面角的大小；D B A(2）若E是的中点，求异面直线与所成角的正切值；(3)问在棱上是否存在一点F，使⊥侧面，若存在，试确定点F的位置;若不存在，说明理由.3.（本小题只理科做,满分14分）如图,已知AB⊥平面ACD,DE//AB，△ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F是CD的中点.（１）求证:AF//平面BCE;(2）求证：平面BCE⊥平面CDE;（3)求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小．4.（本小题满分12分)如图,在四棱锥ABCDP-中，PD⊥底面ABCD,且底面ABCD为正方形，G,==分别为,2AD,FEPD,的中点．PC,PDCB（1)求证：//AP平面EFG；(2）求平面GEF和平面DEF的夹角．5．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥ 侧面11A ABB 且12AA AB ==.(Ⅰ)求证:AB BC ⊥；(Ⅱ)若直线与平面1A BC 所成的角为6π,求锐二面角1A A C B --的大小.HPGFE DCB6.如图,四边形ABCD 是正方形,EA ⊥平面ABCD ,EA PD ,2AD PD EA ==,F ,G , H 分别为PB ,EB ,PC 的中点．（1）求证：FG 平面PED ；(２)求平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小.参考答案１.（１)详见解析;（2)4π 【解析】试题分析：(１)根据题中所给图形的特征，不难想到建立空间直角坐标，由已知，DA ,DP ,DC 两两垂直,可以D 为原点，DA 、DP 、DC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．表示出图中各点的坐标：设a AB =，则)0,0,0(D ,),0,0(a C ,)0,,(a a Q ，)0,2,0(a P ,则可表示出),0,0(a DC =,)0,,(a a DQ =，)0,,(a a PQ -=,根据数量积为零与垂直的充要条件进行证明,由0=⋅,0=⋅，故⊥，⊥，即可证明；(2)首先求出两个平面的法向量，其中由于⊥平面ADPQ ,所以可取平面ADPQ 的一个法向量为)1,0,0(1=n ;设平面BCQ 的一个法向量为),,(2z y x n = ,则02=⋅n ，02=⋅n ，故⎩⎨⎧=+--=+-,0,0az ay ax az ay 即⎩⎨⎧=+--=+-,0,0z y x z y 取1==z y ,则0=x ，故)1,1,0(2=n ，转化为两个法向量的夹角,设1n 与2n 的夹角为θ,则2221||||cos 2121==⋅=n n n n θ.即可求出平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小.试题解析：(1）由已知,DA ，DP ，DC 两两垂直,可以D 为原点,DA 、DP 、DC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． 设a AB =，则)0,0,0(D ,),0,0(a C ，)0,,(a a Q ，)0,2,0(a P , 故),0,0(a =,)0,,(a a =，)0,,(a a -=， 因为0=⋅，0=⋅，故⊥,⊥，即PQ DC ⊥，PQ DQ ⊥, 又DCDQ D =所以，⊥PQ 平面DCQ . （２)因为⊥DC 平面ADPQ ,所以可取平面ADPQ 的一个法向量 为)1,0,0(1=n ，点B 的坐标为),0,(a a ,则),,0(a a -=，),,(a a a --=,设平面BCQ 的一个法向量为),,(2z y x n =,则02=⋅QB n ，02=⋅n ， 故⎩⎨⎧=+--=+-,0,0az ay ax az ay 即⎩⎨⎧=+--=+-,0,0z y x z y 取1==z y ,则0=x , 故)1,1,0(2=n .设1n 与2n 的夹角为θ，则2221||||cos 2121==⋅=n n n n θ．所以，平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小为4π考点:１.空间向量的应用；2.二面角的计算;３.直线与平面的位置关系2.（1）60︒; （２)5102； (3）F 是的4等分点,靠近Ａ点的位置. 【解析】试题分析：(1)取中点M,连接,，由正四棱锥的性质知∠为所求二面角Ｐ－-O 的平面角，∠为侧棱与底面所成的角∴∠＝26，设＝a ，则＝22ａ,=23ａ,12a ， ∠=3,∠=6０°; （2)依题意连结,，则∥ ，故∠为异面直线与所成的角,由正四棱锥的性质易证⊥平面，故AOE ∆为直角三角形,=21=2122DO PO +＝45a ∴∠＝EO AO ＝5102;（3)延长交于N ，取中点Ｇ，连，,,易得⊥平面，故平面⊥平面，而△为正三角形,易证⊥平面,取的中点F ，连，则四边形为平行四边形，从而⊥平面, F 是的4等分点，靠近Ａ点的位置.试题解析:（1）取中点Ｍ，连接，,依条件可知⊥,⊥,则∠为所求二面角P-－O 的平面角 (2分）∵⊥面，∴∠为侧棱与底面所成的角.∴∠=26设＝a,＝22a,∴ ＝·∠＝23a ， ∠=MO PO ＝3.∴∠＝60°． (４分）M DB A CO EP（２)连接，, ∵∥,∴∠为异面直线与所成的角. (6分） ∵⊥,⊥,∴⊥平面.又⊂平面， ∴ ⊥.∵=21=2122DO PO +＝45a,∴∠=EO AO ＝5102. (8分)(3）延长交于N ，取中点G,连,,．∵⊥，⊥，∴⊥平面∴平面⊥平面. (1０分） 又=,∠=60°,∴△为正三角形．∴⊥．又平面 ∩平面=,∴⊥平面． (12分） ∴F 是的４等分点，靠近Ａ点的位置(13分） M D BA C OEPM D BA C O EPN G F考点:立体几何的综合问题３.（1）见解析;(２）见解析;(3）45︒. 【解析】试题分析：（1)取中点P ，连接、,根据中位线定理可知,且且.21DE ,而,且.21DE 则为平行四边形，则,⊄平面,⊂平面,满足线面平行的判定定理,从而证得结论;（2)根据⊥平面,,则⊥平面，又⊂平面,根据线面垂直的性质可知DE AF AF CD CD DE D ⊥⊥=．又，，满足线面垂直的判定定理，证得⊥平面，又，则⊥平面，⊂平面，根据面面垂直的判定定理可证得结论;(3)由（2),以F 为坐标原点，,，所在的直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系F ﹣．设２，根据线面垂直求出平面的法向量ｎ，而（0,0,１)为平面的法向量，设平面与平面所成锐二面角为α，根据||cos ||||m n m n α⋅=⋅可求出所求．试题解析：（1)解：取中点P,连结、,∵F 为的中点，∴，且.21DE ﻭ又,且.21DE ∴,且， ﻭ∴为平行四边形,∴ ﻭ又∵AF ⊄平面⊂平面, ∴平面(２）∵△为正三角形,∴AF CD ⊥. ∵⊥平面, ﻭ∴⊥平面,又⊂平面， ∴⊥.又⊥∩， ﻭ∴⊥平面又，∴⊥平面.又∵⊂平面， ﻭ∴平面⊥平面 ﻭ(3)法一、由(2),以F 为坐标原点，所在的直线分别为轴(如图)， ﻭ建立空间直角坐标系F —.设2, 则C(0,—１,０）,).2,1,0(,),1,0,3(E B -设(,,)n x y z =为平面的法向量，300,0,220x y z n CB n CE y z ⎧++=⎪∴⋅=⋅=∴⎨+=⎪⎩ ，令1，则(0,1,1)n =-显然,)1,0,0(=m 为平面的法向量. ﻭ设面与面所成锐二面角为,α 则||2cos ||||2m n m n α⋅===⋅∴ 45=α. ﻭ即平面与平面所成锐二面角为45︒ ﻭ法二、延长、,设、交于一点O,连结. ﻭ则面EBC 面DAC CO =. ﻭ由是EDO ∆的中位线，则AD DO 2=.在OCD∆中22OD AD AC==,60=∠ODC . ,CD OC ⊥ﻭ又DE OC ⊥． OC ∴⊥ﻭ面,ECD 而⊂面，为所求二面角的平面角ECD CE OC ∠∴⊥∴,在Rt EDC ∆中，ED CD =，045=∠∴ECD ﻭ即平面与平面所成锐二面角为45︒．考点:与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定. ４．证明见解析 【解析】试题分析：：（1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系,准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.（2)证明线面平行,需证线线平行，只需要证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;(3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.试题解析:（１）如图，以D 为原点,以,,DA DC DP 为方向向量 建立空间直角坐标系,xyz D -则)0,0,2(),1,0,0(),1,1,0(),0,2,1(),0,2,0(),2,0,0(A F E G C P .)11,1(),0,1,0(),2,0,2(-=-=-=∴.设平面EFG 的法向量为(,,)n x y z =0,0,n EF n EG ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩即⎩⎨⎧=-+=-.0,0z y x y ⎩⎨⎧==∴.0,y z x令1=x 则(1,0,1)n =.1(2)00120,.n AP n AP ⋅=⨯-+⨯+⨯=∴⊥又⊄AP 平面//,AP EFG ∴平面.EFG(2） 底面ABCD 是正方形,,DC AD ⊥∴又⊥PD 平面ABCD.AD PD ⊥∴又D CD PD = ,AD ∴⊥平面PCD∴向量DA 是平面PCD 的一个法向量,)0,0,2(=又由（1）知平面EFG 的法向量(1,0,1)n =.cos ,2||||22DA n DA n DA n ⋅∴<>===⋅∴二面角D EF G --的平面角为045.考点:(1)证明直线与平面平行;（2）利用空间向量解决二面角问题.5．(Ⅰ）详见解析;（Ⅱ)3π.【解析】试题分析:（Ⅰ）取1A B 的中点D ，连接,由已知条件推导出⊥平面1A BC ，从而AD BC ⊥，由线面垂直得1AA BC ⊥．由此能证明AB BC ⊥.（Ⅱ）方法一：连接,由已知条件得ACD ∠即为直线AC 与平面1A BC 所成的角，AED ∠即为二面角1A A C B --的一个平面角，由此能求出二面角1A A C B --的大小.解法二(向量法）：由（1)知AB BC ⊥且1BB ABC ⊥底面,所以以点B 为原点,以1BC BA BB 、、所在直线分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系B xyz-,设BC a =，则(0,2,0)A ,(0,0,0)B ,(,0,0)C a ，1(0,2,2)A ,(,0,0)BC a =，1(0,2,2)BA =，(,2,0)AC a =-, 1(0,0,2)AA =，求出平面1A BC的一个法向量1(,,)n x y z =，设直线AC 与平面1A BC所成的角为θ，则6πθ=得12121sin6242AC n AC n aπ-===+,解得2a =，即(2,2,0)AC =-,求出平面1A AC 的一个法向量为2(1,1,0)n =，设锐二面角1A A C B --的大小为α,则1212121cos cos ,2n n n n n n α=<>==,且(0,)2πα∈, 即可求出锐二面角1A A C B --的大小.试题解析:解(1）证明：如图，取1A B 的中点D ，连接AD ，因1AA AB =,则1AD A B ⊥ 由平面1A BC ⊥侧面11A ABB ，且平面1A BC 侧面11A ABB 1A B =， 得1AD A BC ⊥平面,又BC ⊂平面1A BC ， 所以AD BC ⊥. 因为三棱柱111ABC A B C —是直三棱柱,则1AA ABC⊥底面，所以1AA BC ⊥.又1=AA AD A,从而BC ⊥侧面11A ABB ,又AB ⊂侧面11A ABB ,故AB BC ⊥. ６分解法一:连接CD ,由（１）可知1AD A BC ⊥平面，则CD 是AC 在1A BC 平面内的射影∴ ACD ∠即为直线AC 与1A BC 平面所成的角，则=6ACD π∠ 在等腰直角1A AB ∆中，12AA AB ==，且点D 是1A B 中点，∴1122AD A B ==,且=2ADC π∠，=6ACD π∠∴AC =过点A 作1AE A C ⊥于点E ,连DE ，由(1）知1AD A BC ⊥平面，则1AD A C ⊥，且AEAD A =∴ AED ∠即为二面角1A A C B --的一个平面角且直角1A AC ∆中：113A A AC AE AC ⋅===,又AD ,=2ADE π∠ ∴sin =AD AED AE ∠==且二面角1A A C B --为锐二面角 ∴ =3AED π∠，即二面角1A A C B --的大小为3π 1２分解法二（向量法）：由(1）知AB BC ⊥且1BB ABC ⊥底面，所以以点B 为原点,以1BC BA BB 、、所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系B xyz -，如图所示,且设BC a =,则(0,2,0)A ,(0,0,0)B ,(,0,0)C a ，1(0,2,2)A ，(,0,0)BC a =,1(0,2,2)BA =,(,2,0)AC a =-，1(0,0,2)AA = 设平面1A BC 的一个法向量1(,,)n x y z =，由1BC n ⊥,11BA n ⊥得：220xa y z =⎧⎨+=⎩ 令1y = ,得 0,1x z ==-,则1(0,1,1)n =-设直线AC 与1A BC 平面所成的角为θ,则6πθ= 得111sin624AC n AC n π⋅===,解得2a =，即(2,2,0)AC =- 又设平面1A AC 的一个法向量为2n ，同理可得2(1,1,0)n =，设锐二面角1A A C B --的大小为α,则1212121cos cos ,2n n n n n n α⋅=<>==，且(0,)2πα∈,得 3πα=∴ 锐二面角1A A C B --的大小为3π．考点:1.用空间向量求平面间的夹角;2.空间中直线与直线之间的位置关系.6.（1)证明见解析；（2)045 【解析】试题分析：(1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系,准确写出相关点的坐标,从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．(2)证明证线线垂直,只需要证明直线的方向向量垂直;（３)把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4)空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系,实施几何问题代数化．同时注意两点:一是正确写出点、向量的坐标,准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备. 试题解析:(１）证明:F ,G 分别为PB ,BE 的中点,FG∴PE .又FG ⊄平面PED ，PE ⊂平面PED ,FG∴平面PED .(2)解:EA ⊥平面ABCD ,EAPD ，PD ∴⊥平面.ABCD,AD CD ⊂平面,ABCD PD AD ∴⊥,PD CD ⊥.四边形ABCD 是正方形,AD CD ∴⊥.以D 为原点,分别以直线,,DA DC DP 为x 轴, y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,设 1.EA =2AD PD EA ==,D ∴()0,0,0,P ()0,0,2,A ()2,0,0,C ()0,2,0，B ()2,2,0，(2,0,1)E ,(2,2,2)PB =-,(0,2,2)PC =-．F ,G ，H 分别为PB ,EB ,PC 的中点，F ∴()1,1,1，G 1(2,1,)2，H (0,1,1),1(1,0,)2GF =-，1(2,0,).2GH =-(解法一)设1111(,,)x y z =n 为平面FGH 的一个法向量,则110GF GH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n , 即11111021202x z x z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩,令11y =，得1(0,1,0)=n ．设2222(,,)x y z =n 为平面PBC 的一个法向量，则2200PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n , 即222222220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩,令21z =,得2(0,1,1)=n .所以12cos,n n 1212⋅⋅n n n n 2.所以平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小为π4(或45︒) （解法二)(0,1,1)(2,0,0)0DH BC ⋅=⋅-=，(0,1,1)(0,2,2)0DH PC ⋅=⋅-=，DH∴是平面PBC 一个法向量.(0,2,0)(1,0,0)0DC FH ⋅=⋅-=,1(0,2,0)(1,0,)02DC FG ⋅=⋅-=,DC ∴是平面平面FGH 一个法向量.cos ,2DH DC DH DC DH DC⋅===⋅∴平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小为π4(或45︒）.（解法三）延长AE 到,Q 使得,AE EQ =连,.PQ BQQP HGFE D C BA2PD EA AQ ==，EAPD ，∴四边形ADPQ 是平行四边形,.PQAD 四边形ABCD 是正方形，,.BCAD PQBC ∴F ,H 分别为PB ，PC 的中点，,.FH BC FHPQ ∴FH ⊄平面PED ,PQ ⊂平面PED , FH ∴平面PED ．,,FHFG F FH FG =⊂平面,ADPQ ∴平面FGH平面.ADPQ故平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角与二面角D PQ C --相等.,PQ CD PQ PD ⊥⊥,,,PD CD D PD DC =⊂平面,PDC PQ ∴⊥平面.PDCPC ⊂平面,,PDC PQ PC ∴⊥DPC ∠是二面角D PQ C --的平面角.,,45.AD PD AD PD DPC =⊥∴∠=︒∴平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小为π4(或45︒). 考点：1、直线与平面平行的判定；２、平面与平面所成的角.。