四川省新津中学2021届高三下学期入学考试数学(理)试题 含答案
四川省成都市新津中学2021届高考数学考前模拟试卷(理科) Word版含解析
四川省成都市新津中学2021届高考数学考前模拟试卷（理科）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|0＜x＜5}，B={x|x2﹣2x﹣3＞0}，则A∩∁R B( )A．（0，3）B．（3，5）C．（﹣1，0）D．（0，3]2．复数z=+ai（a∈R且a≠0）对应的点在复平面内位于( )A．第一、二象限B．第一、三象限C．其次、四象限D．第三、四象限3．命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是( )A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2=x C．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2=x4．已知函数f（x）=x﹣2，g（x）=x3+tanx，那么( )A．f（x）•g（x）是奇函数B．f（x）•g（x）是偶函数C．f（x）+g（x）是奇函数D．f（x）+g（x）是偶函数5．已知等比数列{a n}中，a2a10=9，则a5+a7( )A ．有最小值6 B．有最大值6C．有最小值6或最大值﹣6 D．有最大值﹣66．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|ω|＜）的部分图象如图所示，则y=f（x）的图象可由y=cos2x图象( )A ．向右平移个长度单位B ．向左平移个长度单位C ．向右平移个长度单位D ．向左平移个长度单位7．已知抛物线C：y2=4x，那么过抛物线C的焦点，长度为整数且不超过2021的弦的条数是( ) A．4024 B．4023 C．2022 D．20218．学校组织同学参与社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学．现从该小组中选出3位同学分别到A，B，C三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同支配方法有( )A．70种B．140种C．840种D．420种9．已知函数f（x）=（）x﹣lnx，若实数x0满足f（x0）＞sin +cos，则x0的取值范围是( ) A．（﹣∞，1）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（，+∞）10．已知函数f（x）=，若g（x）=|f（x）|﹣ax﹣a的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是( )A．（0，）B．（0，）C．有且只有一个交点，求实数a的取值范围．四川省成都市新津中学2021届高考数学考前模拟试卷（理科）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|0＜x＜5}，B={x|x2﹣2x﹣3＞0}，则A∩∁R B( )A．（0，3）B．（3，5）C．（﹣1，0）D．（0，3]考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，依据全集R求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．解答：解：由B中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）＞0，解得：x＞3或x＜﹣1，即B=（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），∵全集为R，A=（0，5），∴∁R B=，则A∩（∁R B）=（0，3]，故选：D．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，娴熟把握各自的定义是解本题的关键．2．复数z=+ai（a∈R且a≠0）对应的点在复平面内位于( )A．第一、二象限B．第一、三象限C．其次、四象限D．第三、四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、几何意义即可得出．解答：解：复数z=+ai（a∈R且a≠0）对应的点的横坐标与纵坐标的符号相同，因此对应的点在复平面内位于第一、三象限．故选：B．点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．3．命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是( )A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2=x C．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2=x考点：命题的否定．专题：简易规律．分析：依据全称命题的否定是特称命题，利用特称命题写出命题的否定命题．解答：解：依据全称命题的否定是特称命题，∴命题的否定是：∃x0∈R ，=x0．故选：D．点评：本题考查了全称命题的否定，要留意命题的否定与命题的否命题是两个完全不同的命题，全称命题的否定是特称命题．4．已知函数f（x）=x﹣2，g（x）=x3+tanx，那么( )A．f（x）•g（x）是奇函数B．f（x）•g（x）是偶函数C．f（x）+g（x）是奇函数D．f（x）+g（x）是偶函数考点：函数奇偶性的推断．专题：函数的性质及应用．分析：依据函数奇偶性的定义进行推断即可．解答：解：函数f（x）•g（x）=x﹣2（x3+tanx），函数的定义域为{x|x≠0且x≠kπ+}，则f（﹣x）•g（﹣x）=x﹣2（﹣x3﹣tanx）=﹣x﹣2（x3+tanx）=﹣f（x）•g（x），则f（x）•g（x）是奇函数．函数f（x）+g（x）=x﹣2+（x3+tanx），函数的定义域为{x|x≠0且x≠kπ+}，f（﹣x）+g（﹣x）=x﹣2﹣x3﹣tanx≠﹣f（x）•g（x），f（﹣x）+g（﹣x）≠f（x）+g（x），即f（x）+g（x）是非奇非偶函数，故选：A点评：本题主要考查函数的奇偶性的推断，依据定义是解决本题的关键．留意要先推断定义域是否关于原点对称．5．已知等比数列{a n}中，a2a10=9，则a5+a7( )A．有最小值6 B．有最大值6C．有最小值6或最大值﹣6 D．有最大值﹣6考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由等比数列的性质可得a5a7=9，分类争辩，当a5和a7均为正、负数时，由基本不等式可得相应的最值．解答：解：由等比数列的性质可得a5a7=a2a10=9，当a5和a7均为正数时，由基本不等式可得a5+a7≥2=6，当且仅当a5=a7=3时，a5+a7取最小值6；当a5和a7均为负数时，由基本不等式可得a5+a7=﹣（﹣a5﹣a7）≤﹣2=﹣6，当且仅当a5=a7=﹣3时，a5+a7取最大值﹣6；综上可得：a5+a7有最小值6或最大值﹣6故选：C点评：本题考查等比数列的通项公式和性质，涉及基本不等式和分类争辩的思想，属中档题．6．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|ω|＜）的部分图象如图所示，则y=f（x）的图象可由y=cos2x图象( )A ．向右平移个长度单位B ．向左平移个长度单位C ．向右平移个长度单位D ．向左平移个长度单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：由函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|ω|＜）的部分图象可得=•=﹣，求得ω=2．再把点（，0）代入函数的解析式可得sin（2×+φ）=0，∴2×+φ=kπ，k∈z，求得φ=kπ﹣，∴φ=﹣，f（x）=sin（2x ﹣）．故把y=cos2x=sin（2x+）的图象向右平移个长度单位，即可得到y=sin=sin（2x ﹣）的图象，故选：A．点评：本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．7．已知抛物线C：y2=4x，那么过抛物线C的焦点，长度为整数且不超过2021的弦的条数是( ) A．4024 B．4023 C．2022 D．2021考点：抛物线的简洁性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线过焦点的弦的最小值，再由抛物线的对称性，即可得到所求弦的条数为4023．解答：解：抛物线C：y2=4x的焦点为（1，0），由抛物线的性质可得过焦点的最小值为垂直于x轴的弦，且为2p=4，再由抛物线的对称性，可得弦长在5到2021之间的共有2011×2=4022条，综上可得长度为整数且不超过2021的弦的条数是4023．故选：B．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查弦的最小值和对称性的运用，考查运算力量，属于中档题和易错题．8．学校组织同学参与社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学．现从该小组中选出3位同学分别到A，B，C三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同支配方法有( )A．70种B．140种C．840种D．420种考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：满足条件的大事是选出的3位同学中男女都有，包括两种状况，①一男两女，②一女两男，用组合数写出大事数，分别到A，B，C 三地进行社会调查，有=6，利用乘法原理可得结论．解答：解：由题意，满足条件的大事是选出的3位同学中男女都有，包括两种状况，一是一男两女，二是一女两男，共有C41C52+C51C42=70分别到A，B，C 三地进行社会调查，有=6，故共有70×6=420种．故选：D．点评：本题考查利用排列组合解决实际问题，考查分类求满足条件的组合数，是一个基础题．9．已知函数f（x）=（）x﹣lnx，若实数x0满足f（x0）＞sin +cos，则x0的取值范围是( ) A．（﹣∞，1）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（，+∞）考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：函数的性质及应用；三角函数的求值．分析：首先利用函数的定义域排解A ，进一步求出的值，最终利用特殊值法排解C和D，最终求出结果．解答：解：已知函数f（x）=（）x﹣lnx，所以：函数自变量x的定义域为：x∈（0，+∞）故排解A．由于存在实数x0满足f（x0）＞sin +cos，又由于：==，即：当x=e 时，，lne=1所以：与冲突，故排解：C和D故选：B．点评：本题考查的学问要点：利用排解法和特殊值法解决一些简单的函数问题，对数的值得求法和特殊的三角函数值．10．已知函数f（x）=，若g（x）=|f（x）|﹣ax﹣a的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是( )A．（0，）B．（0，）C．点评：本题考查分段函数的运用，主要考查分段函数的图象，以及函数方程的转化，运用数形结合的思想方法是解题的关键．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分．11．开放式中的常数项为70．考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：先求出二项式开放式的通项公式，再令x的系数等于0，求得r的值，即可求得开放式中的常数项的值．解答：解：二项式（x﹣2+）4可化为，开放式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x4﹣r．令x的幂指数4﹣r=0，解得r=4，故开放式中的常数项为=70，故答案为：70．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式开放式的通项公式，求开放式中某项的系数，配方是关键，属于中档题．12．已知向量=（2，1），=（﹣1，3），若存在向量，使得•=6，•=4，则=（2，2）．考点：平面对量数量积的运算．专题：平面对量及应用．分析：利用数量积的坐标运算即可得出．解答：解：设=（x，y），∵•=6，•=4，∴2x+y=6，﹣x+3y=4，联立解得x=y=2．∴=（2，2），故答案为：（2，2）．点评：本题考查了数量积运算性质，考查了计算力量，属于基础题．13．若变量x，y满足约束条件，则w=4x•2y的最大值是512．考点：简洁线性规划；有理数指数幂的化简求值．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，化目标函数，依据数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：由约束条件，作出可行域如图，联立，解得B（3，3），而w=4x•2y=22x+y，令z=2x+y，则y=﹣2x+z，当直线y=﹣2x+z过B（3，3）时，z最大，Z max=9，∴w=29=512，故答案为：512．点评：本题考查了简洁的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题14．某四周体的三视图如图所示，该四周体四个面的面积中最大的是10．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：三视图复原的几何体是一个三棱锥，依据三视图的图形特征，推断三棱锥的外形，三视图的数据，求出四周体四个面的面积中，最大的值解答：解：三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图，四个面的面积分别为：8，6，，10明显面积的最大值为10故答案为：10点评：本题考查了由三视图推断几何体，是基础题，考查三视图复原几何体的学问，考查几何体的面积，空间想象力量，计算力量，常考题型15．对椭圆有结论一：椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），过点P（，0）的直线l交椭圆于M，N两点，点M关于x轴的对称点为M′，则直线M′N过点F．类比该结论，对双曲线有结论二，依据结论二知道：双曲线C′：﹣y2=1的右焦点为F，过点P（，0）的直线与双曲线C′右支有两交点M，N，若点N的坐标是（3，），则在直线NF与双曲线的另一个交点坐标是．考点：类比推理；双曲线的简洁性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由已知结论一类比得到结论二，然后求出过点P、N的直线方程，再和双曲线方程联立求得M的坐标，找关于x轴的对称点得答案．解答：解：由结论一类比得到结论二为：双曲线的右焦点为F（c，0），过点P （，0）的直线l交双曲线于M，N两点，点M关于x轴的对称点为M′，则直线M′N过点F．由双曲线C′：﹣y2=1，得a2=3，b2=1，∴c2=a2+b2=4，c=2．∴右准线与x轴交点P （，0），则过N（3，）、P 的直线方程为，即．联立，解得：或．∴M （），M关于x 轴的对称点为．故答案为：．点评：本题考查了类比推理，考查了双曲线的简洁几何性质，考查了计算力量，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．在△A BC中，角A．B．C所对的边分别为a．b．c，已知sin2 B+sin2C=sin2 A+sin BsinC．（1）求角A的大小；（2）若cosB=，a=3，求c值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）利用余弦定理表示出cosA，已知等式利用正弦定理化简，代入计算求出cosA的值，即可确定出A 的度数；（2）由cosB的值求出sinB的值，再由cosA与sinA的值，利用两角和与差的正弦函数公式化简sin（A+B），把各自的值代入求出sin（A+B）的值，即为sinC的值，利用正弦定理求出c的值即可．解答：解：（1）由正弦定理可得b2+c2=a2+bc，由余弦定理：cosA==，∵A∈（0，π），∴A=；（2）由（1）可知，sinA=，∵cosB=，B为三角形的内角，∴sinB=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=，由正弦定理=，得c===．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，娴熟把握定理是解本题的关键．17．某校进行教工趣味运动会，其中一项目是投篮竞赛，规章是：每位老师投二分球四次，投中三个可以再投三分球一次，投中四个可以再投三分球三次，投中球数小于3则没有机会投三分球，全部参与的老师都可以获得一个小奖品，每投中一个三分球可以再获得一个小奖品．某位老师二分球的命中率是，三分球的命中率是．（Ⅰ）求该老师恰好投中四个球的概率；（Ⅱ）记该老师获得奖品数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥大事的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）该位老师投中四个球可以分为两个互斥大事，投中三个二分球一个三分球、投中四个二分球，利用相互独立与互斥大事的概率计算公式即可得出；（Ⅱ）ξ可能取值有1，2，3，4，P（ξ=1）=1﹣P（ξ=2）﹣P（ξ=3）﹣P（ξ=4），P（ξ=2）表示投中三个二分球一个三分球、投中四个二分球与投三次3分球只投中一次三分球，P（ξ=3）表示投中四个二分球两个三分球，P（ξ=4）表示投中四个二分球与3个三分球，可得ξ的分布列，利用数学期望计算公式即可得出．解答：解：（Ⅰ）该位老师投中四个球可以分为两个互斥大事，投中三个二分球一个三分球、投中四个二分球，∴概率是=；（Ⅱ）ξ可能取值有1，2，3，4，=，=，=，P（ξ=1）=1﹣P（ξ=2）﹣P（ξ=3）﹣P（ξ=4）=．∴ξ的分布列是ξ 1 2 3 4P数学期望是=．点评：本题考查了随机变量的分布列与数学期望、相互独立与互斥大事的概率计算公式、组合数的计算公式，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．18．如图，已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，∠ACB=，点D是线段BC的中点．（Ⅰ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅱ）当三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积最大时，求直线A1D与平面AB1D所成角θ的正弦值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）要证A1C∥平面AB1D，可利用线面平行的判定，记A1B∩AB1=O，由点D是线段BC的中点，可得A1C∥OD，然后由线面平行的判定定理得答案；（Ⅱ）法一、由题意可得当三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面积最大时，体积最大，进一步可得此时三角形ABC 为正三角形，然后利用等积法求出点A1到平面AB1D的距离d，由sinθ=得答案．法二、以D为原点，直线DA，DC分别为x，y轴建立空间坐标系，求出平面AB1D的一个法向量，进一步求出|cos ＜＞|得到直线A1D与平面AB1D所成角θ的正弦值．解答：（Ⅰ）证明：记A1B∩AB1=O，OD为三角形A1BC的中位线，∵A1C∥OD，OD⊂平面A1BD，A1C⊄平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D；（Ⅱ）解：法一、当三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面积最大时，体积最大，≥2AC•BC﹣AC•BC=AC•BC，当AC=BC，即三角形ABC为正三角形时取最大值．设点A1到平面AB1D的距离为d ，由，得，∴．则sinθ=．法二、如图，以D为原点，直线DA，DC分别为x，y轴建立空间坐标系，则A （），B（0，﹣1，0），B1（0，﹣1，2），．设面AB1D 的法向量为，由，设y=2，则z=1，∴，又，∴sinθ=|cos ＜＞|==．点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成的角，训练了利用向量法求线面角，考查同学的空间想象力量和运算力量，是中档题．19．已知等差数列{a n}中，a1=1，前n项和为S n 且满足条件：（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}的前n项和为T n ，且有=1（n∈N*），b1=3，证明：数列{b n﹣1}是等比数列；又c n =，求数列{c n}的前n项和W n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由等差数列{a n}中，a1=1，前n项和为S n 且满足条件：（n∈N*）．取n=1时，可得，解得a2=2，可得公差d=a2﹣a1．利用等差数列的通项公式即可得出．（2）由=1（n∈N*），b1=3，可得T n+1﹣T n=2b n﹣1，b n+1=2b n﹣1，变形为b n+1﹣1=2（b n﹣1），利用等比数列的通项公式即可得出b n．可得c n ==，再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．解答：（1）解：∵等差数列{a n}中，a1=1，前n项和为S n 且满足条件：（n∈N*）．∴=3，解得a2=2，∴公差d=a2﹣a1=1．∴a n=1+（n﹣1）×1=n．（2）证明：由=1（n∈N*），b1=3，∴T n+1﹣T n=2b n﹣1，∴b n+1=2b n﹣1，变形为b n+1﹣1=2（b n﹣1），∴数列{b n﹣1}是等比数列，首项为b1﹣1=2，公比为2，∴，∴+1．∴c n ==，∴数列{c n}的前n项和W n =+…+，=+…+，∴=+…+﹣，∴W n =3++…+﹣=1+﹣=．点评：本题考查了递推式的应用、等差数列与等比数列的通项公式的前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．20．已知椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别是F1（﹣1，0），F2（1，0），直线l的方程是x=4，点P是椭圆C上动点（不在x轴上），过点F2作直线PF2的垂线交直线l于点Q，当PF1垂直x轴时，点Q的坐标是（4，4）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）推断点P运动时，直线PQ与椭圆C的公共点个数，并证明你的结论．考点：椭圆的简洁性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由已知得c=1，当PF1⊥x 轴时，点，利用，及其b2=a2﹣1，解出即可．（II）设点P（x0，y0），代入椭圆方程可得，设点Q（4，t），利用，可得直线PQ 的方程，代入椭圆方程，计算△与0比较即可得出．解答：解：（Ⅰ）由已知得c=1，当PF1⊥x 轴时，点，由，∴，∴2b2﹣3a=0，b2=a2﹣1，∴2a2﹣3a﹣2=0，解得a=2，，∴椭圆C 的方程是；（Ⅱ）设点P（x0，y0），则，化为，设点Q（4，t），由得：（x0﹣1）（4﹣1）+y0t=0，∴，∴直线PQ 的方程为：，即，即，化简得：，代入椭圆方程得：，化简得：，判别式△=，∴直线PQ与椭圆有一个公共点．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到△与0 的关系、向量垂直与数量积的关系，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．21．已知函数f（x）=（其中a≤2且a≠0），函数f（x）在点（1，f（1））处的切线过点（3，0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）与函数g（x）=a+2﹣x ﹣的图象在（0，2]有且只有一个交点，求实数a的取值范围．考点：利用导数争辩函数的单调性；利用导数争辩曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用导数的几何意义可得切线方程，对a分类争辩、利用导数争辩函数的单调性即可；（2）等价方程在（0，2]只有一个根，即x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2=0在（0，2]只有一个根，令h（x）=x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2，等价函数h（x）在（0，2]与x 轴只有唯一的交点．由，对a分类争辩、结合图象即可得出．解答：解：（1），∴f（1）=b ，=a﹣b，∴y﹣b=（a﹣b）（x﹣1），∵切线过点（3，0），∴b=2a，∴，①当a∈（0，2]时，单调递增，单调递减，②当a∈（﹣∞，0）时，单调递减，单调递增．（2）等价方程在（0，2]只有一个根，即x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2=0在（0，2]只有一个根，令h（x）=x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2，等价函数h（x）在（0，2]与x轴只有唯一的交点，∴①当a＜0时，h（x）在x∈（0，1）递减，x∈（1，2]的递增，当x→0时，h（x）→+∞，要函数h（x）在（0，2]与x轴只有唯一的交点，∴h（1）=0或h（2）＜0，∴a=﹣1或．②当a∈（0，2）时，h（x ）在递增，的递减，x∈（1，2]递增，∵，当x→0时，h（x）→﹣∞，∵h（e﹣4）=e﹣8﹣e﹣4﹣2＜0，∴h（x）在与x轴只有唯一的交点，③当a=2，h（x）在x∈（0，2]的递增，∵h（e﹣4）=e﹣8﹣e﹣4﹣2＜0，或f（2）=2+ln2＞0，∴h（x）在x∈（0，2]与x轴只有唯一的交点，故a的取值范围是a=﹣1或或0＜a≤2．点评：本题考查了利用导数争辩函数的单调性极值与最值、导数的几何意义，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了分类争辩的思想方法，考查了推理力量与计算力量，属于难题．。
四川省成都市新津县高三数学下学期入学考试试题 理
四川省新津中学2018届高三数学下学期入学考试试题 理一、选择题：每小题5分，共12小题 1.已知复数531iz i+=-，则下列说法正确的是（ ） A ．z 的虚部为4i B. z 的共轭复数为14i -C ．5z = D. z 在复平面内对应的点在第二象限 2.集合{}24,031x y x Q x x xP -==⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+-=,则=⋂Q P （ ）A. (12]，B. [12]，C. ),1()3,(+∞⋃--∞D. [12)， 3. 某几何体三视图如下，图中三个等腰三角形的直角边长 都是2，该几何体的体积为 ( ) A ．43B. 83C.4D. 1634.函数12log (sin 2coscos 2sin )44y x x ππ=-的单调递减区间为（ ） A.5(,)88k k ππππ++k Z ∈ B. 3(,)88k k ππππ++k Z ∈ C. 3(,)88k k ππππ-+ k Z ∈ D. 35(,)88k k ππππ++k Z ∈5．执行如图程序框图其输出结果是 （ ） A ．29 B ．31 C ．33 D ．356.变量,x y 满足条件1011x y y x -+≤⎧⎪≤⎨⎪>-⎩，则22(2)x y -+的最小值为（ ）92D. 57．高一学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现在从中任选3人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选1人，不同的选取法的种数为 ( )A.484B. 472C.252D.232正视图俯视图侧视图8.下列命题中正确命题的个数是（ ） （1）cos 0α≠是2()2k k Z παπ≠+∈的充分必要条件（2）()sin cos f x x x =+则()f x 最小正周期是π（3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后， 则样本的方差不变 （4）设随机变量ζ服从正态分布(0,1)N ,若(1)P p ζ>=，则1(10)2P p ζ-<<=- A.4 B.3 C.2 D.19.设不等式组0301x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一点，则此点到坐标原点的距离小于2的概率是（ ）B.36π- D. 4π10.若抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，其准线经过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，点M 为这两条曲线的一个交点，且MF p =，则双曲线的离心率为（ ）A ．22+21+11.在平行四边形ABCD 中，0AC CB ⋅=, 22240BC AC +-=,若将其沿AC 折成直二面角D AC B --,则三棱锥D AC B --的外接球的表面积为（ ） A ．16π B.8π C. 4π D. 2π12.已知函数()ln f x x x k =-+，在区间1[,]e e上任取三个数,,a b c 均存在以()f a ，()f b ，()f c 为边长的三角形，则k 的取值范围是（ ）A ．(1)-+∞， B.(,1)-∞- C. (,3)e -∞- D. (3)e -+∞，二、填空题：每小题5分，共20分 13.在*3)()n n N∈的展开式中，所有项的系数和为32-，则1x 的系数等于14. AOB ∆为等腰直角三角形，1OA =,OC 为斜边AB 的高，点P 在射线OC 上，则AP OP ⋅的最小值为15.椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，(,0),(0,),(0,)A a B b C b --分别为其三个顶点. 直线CF 与AB 交于点D ，若椭圆的离心率12e =，则tan BDC ∠= 16. 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且2,c b ==，则ABC ∆的面积最大值为 三、解答题：共70分17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*∈+=N n S a n n 121. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若n n a b 2log =,11+=n n n b b c ,且数列{}n c 的前n 项和为n T ,求n T 的取值范围.18.为了增强环保意识，我校从男生中随机抽取了60人，从女生中随机抽取了50人参加环保知识测试,统计数据如下表所示：（Ⅱ）为参加市里举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为32，现在环保测试中优秀的同学中选3人参加预选赛，若随机变量X 表示这3人中通过预选赛的人数，求X 的分布列与数学期望.附:2K ＝2()()()()()n ad bc a b c d a c b d -++++19.ABC ∆为等腰直角三角形，4==BC AC ， 90=∠ACB ，D 、E 分别是边AC 和AB 的中点，现将ADE ∆沿DE 折起，使面ADE ⊥面DEBC ，H 、F 分别是边AD 和BE 的中点，平面BCH 与AH ICDBFGEAE 、AF 分别交于I 、G 两点．（Ⅰ）求证：IH //BC ；（Ⅱ）求二面角C GI A --的余弦值；20.已知椭圆14:22=+y x E 的左，右顶点分别为B A ,，圆422=+y x 上有一动点P ,点P 在x 轴的上方，()0,1C ，直线PA 交椭圆E 于点D ，连接PB DC ,.(1)若︒=∠90ADC ,求△ADC 的面积S ;(2)设直线DC PB ,的斜率存在且分别为21,k k ,若21k k λ=, 求λ的取值范围.21.设函数21()ln .2f x x ax bx =-- (1)当12a b ==时，求函数)(x f 的最大值； (2)令21()()2aF x f x ax bx x=+++，（03x <≤） 其图象上任意一点00(,)P x y 处切线的斜率k ≤21恒成立，求实数a 的取值范围； (3)当0a =，1b =-，方程22()mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值．选作题：考生在题（22）（23）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为sin cos sin 2x y θθθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)，若以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为:sin()42πρθ+=（其中t 为常数）.（Ⅰ）若曲线N 与曲线M 只有一个公共点，求t 的取值范围； （Ⅱ）当2t =-时，求曲线M 上的点与曲线N 上点的最小距离．23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知实数c b a ,,满足0,0,0>>>c b a ，且1=abc . （Ⅰ）证明：8)1)(1)(1(≥+++c b a ； （Ⅱ）证明：cb ac b a 111++≤++.新津中学高三下期3月入学考试题参考答案（理科）13.-270 14.81- 15.33- 16.2217.(1)当1n =时,11112a S =+,解得12a = 当2n ≥时,11112n n a S --=+……① 112n n a S =+ ……② ②-①得112n n n a a a --= 即12n n a a -=∴数列{}n a 是以2为首项,2为公比的等比数列 ∴2n n a =(2)22log log 2n n n b a n===11111(1)1n n n c b b n n n n +===-++ 11111111 (223341)n T n n =-+-+-++-+=111n -+ n N *∈ 110,12n ⎛⎤∴∈ ⎥+⎝⎦ 1,12n T ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭18. (I) 22110(40302020)60506050K ⨯-⨯=⨯⨯⨯27.822K ≈ 27.822 6.635K ≈>∴有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关.(II)X 的可能取值为0,1,2,3271)31()0(3===X P 92)31)(32()1(213===C XP 94)32)(31()2(223===C X P 278)32()3(3===X P()2E X =19. (Ⅰ)因为D 、E 分别是边AC 和AB 的中点，所以BC ED //，因为⊂BC 平面BCH ，⊄ED 平面BCH ，所以//ED 平面BCH 因为⊄ED 平面BCH ，⊂ED 平面AED ，平面BCH ⋂平 面HI AED =所以HI ED //又因为BC ED //，所以IH //BC .(Ⅱ) 如图，建立空间右手直角坐标系，由题意得，)0,0,0(D ，)0,0,2(E ，)2,0,0(A ，)0,1,3(F ，)0,2,0(E ，)1,0,0(H ，)2,0,2(-=EA ，)0,1,1(=EF ，)1,2,0(-=CH ，)0,0,1(21==DE HI ， 设平面AGI 的一个法向量为),,(1111z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n EB n ，⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-001111y x z x ，令11=z ，解得11=x ，11-=y ，则)1,1,1(1-=n 设平面CHI 的一个法向量为),,(2222z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022n n CH ，⎪⎩⎪⎨⎧==+-002221x z y ，令22-=z ，解得11-=y ，则)2,1,0(2--=n 15155321,cos 21=⋅->=<n n ，所以二面角C GI A --的余弦值为151520.（1）依题意，)0,2(-A .设),(11y x D ，则142121=+y x .由︒=∠90ADC 得1-=⋅CD AD k k , 1121111-=-⋅+∴x y x y ,()()124112*********-=-+-=-⋅+∴x x x x x y , 解得舍去）(2,3211-==x x 3221=∴y , 2332221=⨯⨯=S . (2)设()22,y x D , 动点P 在圆422=+y x 上, ∴1-=⋅PA PB k k . 又21k k λ=, ∴1212222-⋅=+-x y x y λ, 即()()222212y x x -+-=λ=()()41122222x x x --+- =()()()222244112x x x --+-=21422--⋅x x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+21142x .又由题意可知()2,22-∈x ,且12≠x , 则问题可转化为求函数()()()1,2,22114≠-∈⎪⎭⎫⎝⎛-+=x x x x f 且的值域. 由导数可知函数()x f 在其定义域内为减函数,∴函数()x f 的值域为()()3,00,⋃∞- 从而λ的取值范围为()()3,00,⋃∞-21解: （1）依题意，知)(x f 的定义域为（0，+∞），当21==b a 时，x x x x f 2141ln )(2--=，xx x x x x f 2)1)(2(21211)('-+-=--=令)('x f =0，解得1=x ．（∵0>x ），当10<<x 时，0)('>x f ，此时)(x f 单调递增；当1>x 时，0)('<x f ，此时)(x f 单调递减。
2021届四川省新津中学高三9月月考数学(理)试题(解析版)
2021届四川省新津中学高三9月月考数学（理）试题一、单选题1．设集合{|42}x A x =>，2{|0}B x x x =-<，则A B =（ ）A ．(0,1)B ．1(0,)2C ．1(,1)2D ．∅【答案】C【解析】根据集合A 、B 的描述分别求出不等式的解集，写出集合，利用集合的交集运算即可求A B ；【详解】由{|42}x A x =>知：1{|}2A x x =>；2{|0}B x x x =-<知：{|01}B x x =<<；∴1{|1}2A B x x =<< 故选：C 【点睛】本题考查了集合的基本运算，根据集合的描述解不等式得到集合，应用集合基本运算求交集，属于简单题；2．()()12z i i =+-的共轭复数z 为（ ） A ．3i -- B ．3i -+ C ．3i + D ．3i -【答案】D【解析】首先根据题意得到3i z =+，再求共轭复数即可. 【详解】因为()()212223z i i i i i i =+-=-+-=+，所以3z i =-.故选：D 【点睛】本题主要考查复数的共轭复数，同时考查了复数的乘法，属于简单题.3．设a R ∈，则“a =1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件,【答案】C【解析】若直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行，则21a=,且11 a-≠解得1a=故选C点睛：这是一道关于充分条件和必要条件判断的题目．考查的主要是充分条件，必要条件，熟练掌握掌握充分条件和必要条件的判定方法．本题中，利用直线平行的条件是解决问题的关键．4．一个几何体的三视图如图所示，若这个几何体的体积为205，则该几何体的外接球的表面积为（）A．36πB．64πC．81πD．100π【答案】C【解析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式求出四棱锥体的外接球的半径，最后求出球的表面积．【详解】解：根据几何体的三视图可以得到该几何体为四棱锥体，如图所示：该四棱锥的底面是长方形，长为6，宽为5，四棱锥的高即为PD所以156205 3V h=⨯⨯⨯=解得h =设四棱锥的外接球的半径为r ，所以()(2222256r =++，解得92r =， 所以294812S ππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭球， 故选：C 【点睛】本题考查了几何体的三视图问题，解题的关键是要能由三视图解析出原几何体，从而解决问题.5．甲､乙两个人要在一排8个空座上就坐，若要求甲､乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有多少种（ ） A ．16 B ．20 C ．30 D ．56【答案】B【解析】采用插空法即可得答案. 【详解】先将6个空座摆好，因为要求甲､乙两人每人的两旁都有空座，所以甲､乙两人有五个空可以插，有2520A =种，故选：B 【点睛】本题主要考查排列组合的不相邻问题用插空法，属于基础题 6．下列命题中，真命题的个数是（ ） ① 若,0a b c ><，则c c a b> ②“1,1a b >>”是“1ab >”的充分不必要条件 ③若0a <，则12a a+≤- ④命题：“若1xy ≠，则1x ≠或1y ≠” A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】①，举例说明该命题错误；②，“1,1a b >>”成立，则“1ab >”成立，“1ab >”成立，则“1,1a b >>”不一定成立，所以该命题正确； ③，利用基本不等式说明该命题正确； ④，由于其逆否命题正确，所以该命题正确. 【详解】① 若,0a b c ><，如：1,1,1a b c ==-=-，则c ca b<，所以该命题错误； ②“1,1a b >>”成立，则“1ab >”成立，“1ab >”成立，则“1,1a b >>”不一定成立，如13,2a b ==，所以“1,1a b >>”是“1ab >”的充分不必要条件，所以该命题正确； ③若0a <，则11[()()]2,a a a a+=--+-≤-当且仅当1a =-时取等号.所以该命题正确；④“若1xy ≠，则1x ≠或1y ≠”的逆否命题是“若1x =且1y =，则1xy =”，由于其逆否命题正确，所以该命题正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查实数大小的比较，考查充分条件必要条件的判定，考查基本不等式的应用，考查命题真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．等差数列{}n a 中，已知611a a =，且公差0d >，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( ) A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】C【解析】因为等差数列{}n a 中，611a a =，所以6116111150,0,,2a a a a a d =-=-，有2[(8)64]2n dS n =--， 所以当8n =时前n 项和取最小值.故选C. 8．设函数()f x '是奇函数()f x ()x R ∈的导函数，(2)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '+>，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,2)(0,2)-∞-⋃B ．(2,0)(2,)-+∞C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．(2,0)(0,2)-【答案】B【解析】构造函数()()F x xf x =，利用导数判断函数单调性，以及奇偶性，再利用函数性质，即可求得不等式解集. 【详解】设()()F x xf x =，则()()()F x xf x f x ''=+， 当0x >时，()0F x '>，()F x 单调递增；又()()()()F x xf x xf x F x -=--==，故()F x 为偶函数； 则当0x <时，()F x 是单调减函数.因为()20f -=，故可得()()202F F -==. 则()0f x >等价于0()0x F x >⎧⎨>⎩或0()0x F x <⎧⎨<⎩，解得2x >或20x -<<， 所以()0f x >的解集为()()2,02,-+∞.故选：B. 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，以及用单调性解不等式，涉及函数奇偶性的应用，属综合中档题.9．早在17世纪人们就知道用事件发生的“频率”来估计事件的“概率”．18世纪末有人用投针试验的方法来估计圆周率π，20世纪40年代电子计算机的出现使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能，这种模拟方法称为蒙特卡罗方法或随机模拟方法.如图所示的程序框图就是利用随机模拟方法估计圆周率π，（其中()rand 是产生[0,1]内的均匀随机数的函数，*k N ∈），则π的值约为（ ）A ．m kB ．2m kC ．4m k-D ．4m k【答案】D【解析】根据[0,1]x ∈，[0,1]y ∈，而221x y +<表示14个圆，则4m k π=，故4mkπ=. 【详解】根据程序框图，知[0,1]x ∈，[0,1]y ∈，而221x y +<表示14个圆，如图所示：则落在阴影部分的面积与正方形面积比为4m k π=，得4mkπ=.故选：D. 【点睛】本题考查了程序框图，几何概型，频率的理解与应用，属于中档题.10．在如图所示的正方形中随机投掷1000个点，则落入阴影（曲线为正态分布(0,1)N 的密度曲线）的点的个数的估计值为( )（附：若2~(,)X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<+=）A ．239B ．272C ．341D ．477【答案】C【解析】求出1(01)0.68260.3412P X <=⨯=，即可得出结论．【详解】解：由题意1(01)0.68260.3412P X <=⨯=，∴落入阴影部分点的个数的估计值为10000.341341⨯=.故选：C ． 【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性．11．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 312PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23B ．12C ．13D ．14【答案】D 【解析】【详解】分析：先根据条件得PF 2=2c,再利用正弦定理得a,c 关系，即得离心率. 详解：因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以PF 2=F 1F 2=2c,由AP斜率为6得，222tan sin cos 6PAF PAF PAF ∠=∴∠=∠=， 由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠,所以2221=4,54sin()3c a c e a c PAF =∴==+-∠，故选D. 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()122xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()log 20(01)a f x x a -+=<<恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A．142⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B．0,4⎛ ⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由已知中()f x 是定义在R 上的偶函数，对于任意的x ∈R ，都有(2)(2)f x f x -=+，我们可以得到函数()f x 关于直线2x =对称，则不难画出函数()f x 在区间(2-，6]上的图象，结合方程的解与函数的零点之间的关系，我们可将方程()log (2)0a f x x -+=恰有3个不同的实数解，转化为函数()f x 的与函数()log 2a y x =+的图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a 的取值范围.【详解】对于任意的x ∈R ，都有(2)(2)f x f x -=+，∴函数()f x 关于直线2x =对称，又当[2x ∈-，0]时，1()2()2xf x =-，且函数()f x 是定义在R 上的偶函数，故函数()f x 在区间(2-，6]上的图象如下图所示：若在区间(2-，6]内关于x 的方程()log (2)0a f x x -+=恰有3个不同的实数解 则log 42a >-，log 82a <-， 解得：21)2a ∈ 故选：A 【点睛】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，指数函数与对数函数的图象与性质，其中根据方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题，是解答本题的关键．二、填空题13．291()x x+展开式中，常数项的值为__________. 【答案】84【解析】先写出通项，在通项公式中令x 的指数为0，求出k ，从而写出常数项． 【详解】 解：()921831991kkk k kk T Cx C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭令18﹣3k ＝0，k ＝6，故921x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为T 下标7＝C 96＝84 故答案为84 【点睛】本题考查二项式定理中通项公式的应用：求常数项，属基本题型、基本方法的考查． 14．等比数列{}n a 中，318a =，5162a =，公比q =__________．【答案】3或3-【解析】分析：设设等比数列{}n a 的公比为q ，利用253a q a =，即可求解等比数列的公比.详解：设等比数列{}n a 的公比为q ， 由3518,162a a ==，所以253162918a q a ===，解得3q =或3-. 点睛：本题考查了等比数列的通项公式，等比数列的公比的求解，着重考查了学生的推理与运算能力，试题比较基础，属于基础题.15．已知向量(4,2)a →=，(2,1)b k k →=--若||||a b a b →→→→+=-，则k 的值为__________. 【答案】3【解析】根据向量的坐标计算向量的和差及向量的模,即可求解. 【详解】(4,2)a →=，(2,1)b k k →=--,∴(6,1)a b k k →→+=-+,(2,3)a b k k →→-=+-,||||a b a b →→→→+=-,=化简得：824k =， 解得3k =， 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了向量和、差、模的坐标运算，考查了运算能力，属于中档题. 16．方程||||(0)169x x y y λλ+=<的曲线即为函数 ()y f x =的图象，对于函数 ()y f x =，下列命题中正确的是 .（请写出所有正确命题的序号）①函数()y f x =在 R 上是单调递减函数；②函数 ()y f x =的值域是 R ； ③函数()y f x =的图象不经过第一象限；④函数 ()y f x =的图象关于直线 y x =对称；⑤函数()4()3F x f x =+至少存在一个零点. 【答案】①②③【解析】试题分析：当x ＜0，y ＜0时，方程化为221169x y λλ+=--，表示的函数图像为椭圆221169x y λλ+=--在第三象限部分；当x ≤0，y ≥0时，方程可化为221169x y λλ-=--，表示的函数图像是双曲线221169x y λλ-=--左支的x 轴上方部分；当x ≥0，y ≤0时，方程可化为221916y xλλ-=--，表示的函数图像是焦点在y 轴上的双曲线221916y x λλ-=--下支的y 轴右侧部分，函数()y f x =图像如图所示，有图像知，函数()y f x =在R 上是单调递减函数，值域是R ，图象不经过第一象限，图象不关于直线y x =对称，故①，②，③正确，④⑤不正确.【考点】1.椭圆图像、双曲线的图像；2.函数的图像与性质；3.函数零点；4.分类整合思想.三、解答题17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（222a b c +=，求sin C ． 【答案】（1）3A π=；（2）62sin 4C =【解析】（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：222b c a bc +-=，从而可整理出cos A ，根据()0,A π∈可求得结果；（2）利用正弦定理可得sin 2sin A B C +=，利用()sin sinB AC =+、两角和差正弦公式可得关于sin C 和cos C 的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果.【详解】（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=- 即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 由正弦定理可得：222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-∴==()0,A π∈ 3A π∴=（2）22a b c +=sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 2C C C +=整理可得：3sin C C =22sin cos 1C C += (()223sin 31sin C C ∴=-解得：sin 4C =4因为sin 2sin 2sin 0B C A C ==>所以sin C >，故sin C =（2）法二：22a b c +=sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 222C C C ++=整理可得：3sin C C =，即3sin 6C C C π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭sin 62C π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭由2(0,),(,)3662C C ππππ∈-∈-，所以,6446C C ππππ-==+sin sin()46C ππ=+=. 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.18．2020年2月，为防控新冠肺炎，各地中小学延期开学.某学校积极响应“停课不停学”政策，在甲、乙两班分别开展了H 、G 两种不同平台的线上教学尝试，经过一段时间的试用，从两班各随机调查了20个同学，得到了对两种线上平台的评价结果如下：（1）假设两个班级的评价相互独立，以事件发生频率作为相应事件发生的概率，若从甲乙两班中各随机抽取一名学生，求甲班学生的评价结果比乙班学生的评价结果“更好”的概率；（2）根据对两个班的调查，完成列联表，并判断能否有99%的把握认为评价是否“差评”与线上平台有关.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.【答案】（1）740；（2）列联表答案见解析，没有99%的把握认为评价是否“差评”与线上平台有关.【解析】（1）记1A 表示事件：甲班抽取的学生评价结果为“好评”；2A 表示事件：甲班抽取的学生评价结果为“一般”；1B 表示事件：乙班抽取的学生评价结果为“差评”或“一般”；2B 表示事件：乙班抽取的学生评价结果为“差评”；C 表示事件：甲班学生的评价结果比乙班学生的评价结果“更好”，可知()()1122P C P A B A B =+；又因为两个班级的评价相互独立，由此即可求出结果；（2）根据表中所给数据完成列联表，求出2 1.558K ≈，再根据1.558 6.635<，根据独立性检验即可得出结论. 【详解】解：（1）记1A 表示事件：甲班抽取的学生评价结果为“好评”； 2A 表示事件：甲班抽取的学生评价结果为“一般”；1B 表示事件：乙班抽取的学生评价结果为“差评”或“一般”； 2B 表示事件：乙班抽取的学生评价结果为“差评”；C 表示事件：甲班学生的评价结果比乙班学生的评价结果“更好”.因为两个班级的评价相互独立，所以()()()()()()11222211P C P A B A B P A P B P A P B =+=+， 故()51010272020202040P C =⨯+⨯=. （2）根据已知，列联表如下：所以()22405181521201.558202033777K ⨯-⨯==≈⨯⨯⨯.由于1.558 6.635<，故没有99%的把握认为评价是否“差评”与线上平台有关. 【点评】本题主要考查了独立事件概率的求法，以及独立检验的应用，属于基础题. 19．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥．（1）证明：1AC AB =； （2）若1ACAB ⊥，160CBB ∠=︒，AB BC =，求二面角111A A B C --的余弦值．【答案】（1）证明见详解；（2）17-. 【解析】（1）连接1BC ，交1B C 于点O ，连接AO ，证明1B C AO ⊥且1B C 平分得到答案.（2）O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，OB 为单位长，建立空间直角坐标O xyz -，计算相应点坐标，计算法向量，利用二面角公式计算得到答案.【详解】证明：（1）连接1BC ，交1B C 于点O ，连接AO ， 因为侧面11BB C C 为菱形， 所以11B C BC ⊥，且O 为1B C 与1BC 的中点， 又1AB B C ⊥，ABBO B =,所以1B C ⊥平面ABO . 由于AO ⊂平面ABO ， 故1B C AO ⊥. 又1B O CO =，故1AC AB=.（2）因为1AC AB⊥，且O为1B C的中点，所以AO CO=，又因为AB BC=，所以BOA BOC≌，故OA OB⊥，从而1,,OA OB OB两两相互垂直，O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，OB为单位长，建立空间直角坐标O xyz-，因为160CBB∠=︒，所以1CBB为等边三角形，设233AB BC==，则1333,(1,0,0),,0,A B B C⎛⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，111113333 0,,,1,0,,1,AB A B AB B C BC⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==-==-⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设(,,)n x y z=是平面11AA B的法向量，则111n ABn A B⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11223122y zx z⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以(1,3,n =. 设m 是平面111A B C 的法向量，则111100m A B m B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，同理可取(1,m =-，1cos ,7||||n m n m n m ⋅==， 所以二面角111A A B C --的余弦值为-17. 【点睛】本题考查线段相等的证明，建立空间直角坐标系解决二面角问题，计算量较大，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.属于中档题.20．已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点,P Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若2OM ON ⋅=，求证：直线l 经过定点.【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析.【解析】（1）由题目条件确定出,a b ，然后得出椭圆方程；（2）设点()11,P x y ，点()22,Q x y ，写出直线AP ，AQ 的方程，再分别求出点M 与点N 的坐标，然后利用2OM ON ⋅=得出关于1x 与2x 的关系式，再联立直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆方程，结合韦达定理求证当2OM ON ⋅=时直线l 过定点.【详解】（1）由题意得，21,1b c ==，∴2222a b c =+=，∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，则直线AP 的方程为1111y y x x -=+.令0y =，得点M 的横坐标111M x x y =--. 又11y kx t =+，从而11||||1M x OM x kx t ==+-.同理，22||||1x ON kx t =+-. 由22,12y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=. 则122412kt x x k +=-+，21222212t x x k-=+. ∴1212||||||||11x x OM ON kx t kx t ⋅=⋅+-+-()12221212||(1)(1)x x k x x k t x x t =+-++- 22222222212||224(1)()(1)1212t k t kt k k t t k k-+=-⋅+-⋅-+-++12||1tt+=-. 又||||2OM ON ⋅=，∴12||21tt+=-. 解得0t =， ∴ 直线l 经过定点()0,0. 【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的综合运用，考查定点问题的求解，难度较大. 解答时，韦达定理的运用是关键，设法将目标问题用含所设元的式子表示，然后证明. 21．已知函数()1x f x e ax =--（e 为自然对数的底数，a 是实数）. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当0a >时，若()0f x ≥对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的值；（3）求证：22222232323ln[1]ln[1]ln[1]2(31)(31)(31)nn ⨯⨯⨯++++++<---【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）1a =；（3）证明见解析. 【解析】（1）求导数，利用导数的正负，即可求函数f (x)的单调区间;（2）若()0f x ≥对任意的x ∈R 恒成立，即ln 10a a a --对a >0恒成立，即可求实数a 的值;（3）要证原不等式成立，只需证()21232,31knkk =⨯<-∑即证()213131knkk =<-∑即可.【详解】（1）'()x f x e a =-，0a ∴时，'()0f x >，()f x 在R 上单调递增；0a >时，(,ln )x a ∈-∞时，()f x 单调递减，(ln ,)x a ∈+∞时，单调递增.（2）由（1），0a >时，min ()(ln )f x f a =，∴问题转化为(ln )f a 0恒成立，即ln 10a a a --.记()ln 1(0)g a a a a a =-->.()1(ln 1)ln g a a a =-+=-，()g a ∴在(0,1)上单调增，在(1,)+∞上单调减，()(1)0g a g ∴=，故()0g a =，得1a =.（3）1n =时，()22332231nn ⨯=<-， 2n 时，()()()()()1212323233133313131nn n n nnn n--⨯⨯⨯<=-----1113131n n -=---2n 时，()2133112223131knn kk =<+-<--∑. 由（2）可知1a =时()0f x 恒成立，即1x e x +，ln(1)x +(1)x x >-，0x ∴>时，ln(1)x x +<，故()()22222232323ln 1ln[1ln 12(31)3131n n ⎤⎡⎤⎡⎤⨯⨯⨯⎥⎢⎥++++++<⎢⎥⎥⎢⎥-⎣⎦--⎦⎣⎦， 原不等式成立. 【点睛】本题主要考查导数知识的运用，考查函数的单调性，函数的最值，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于较难题.22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12x t y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，a ∈R ）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线(0)3πθρ=≥与曲线C 交于,O P 两点，直线l 与曲线C 相交于,A B两点.（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）当||||AB OP =时，求a 的值.【答案】（Ⅰ）0l y a +-=，()22:24C x y -+=；（Ⅱ）0或【解析】（Ⅰ）将l 参数方程消去t 即可得到普通方程；由24cos ρρθ=，根据极坐标和直角坐标互化原则可得C 的直角坐标方程；（Ⅱ）联立C 和射线的极坐标方程可得P 点极坐标，从而得到OP ；将l 参数方程代入圆C 的直角坐标方程，利用t 的几何意义，结合韦达定理构造关于a 的方程，解方程求得结果. 【详解】（1）将直线l 的参数方程消去t0y a +-=由4cos ρθ=得：24cos ρρθ= 224x y x ∴+=整理可得曲线C 的直角坐标方程为：()2224x y -+=（2）由()4cos 03ρθπθρ=⎧⎪⎨=≥⎪⎩得：2,3P π⎛⎫⎪⎝⎭ 2OP ∴= 将直线l 的参数方程代入C得：()2220t t a ++=由()22240a ∆=->得：44a <<设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，则：122AB t t =-===解得：0a=或a=第 1 页 共 6 页 ∴所求a 的值为0或【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程化普通方程、极径的意义、直线参数方程中参数的几何意义的应用等知识，属于常考题型.23．已知函数()1(0)f x x x k k =-++>.（Ⅰ）当2k =时，求不等式()5f x ≥的解集；（Ⅱ）若函数()f x 的最小值为3，且*,,a b c R ∈，a b c k ++=，证明：22243a b c ++≥. 【答案】（Ⅰ）{|32}x x x ≤-≥或；（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）利用零点分类讨论法解绝对值不等式得解；（Ⅱ）利用绝对值三角不等式得13k +=解得2k =，即2a b c ++=，再用柯西不等式即可证明22243a b c ++≥. 【详解】（Ⅰ）当2k =时，()21,212{3,21 21,1x x f x x x x x x --≤-=-++=-<<+≥，故不等式()5f x ≥可化为：2{ 215x x ≤---≥或21{ 35x -<<≥或1{ 215x x ≥+≥， 解得：3x ≤-或2x ≥.所求解集为：{|32}x x x ≤-≥或.（Ⅱ）因为()()()11f x x x k x x k =-++≥--+ 1k =+.又函数()f x 的最小值为3，0k >， 所以13k +=，解得2k =，即2a b c ++=，由柯西不等式得()()()22222221114a b ca b c ++++≥++=， 所以22243a b c ++≥. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值三角不等式和柯西不等式，考查不等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
2021届四川省成都市新津中学高三下学期入学考试数学试题(理)(1)
四川省新津中学2021届高三下学期入学考试数学试题（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。
1．已知集合(){},2M x y x y =+=，(){},2N x y x y =-=，则集合MN =（ ）A ．{}0,2B ．()2,0C ．(){}0,2D ．(){}2,02（i 为虚数单位））A ．2B ．1C ．12D3．如图所示的阴影部分是由x 轴及曲线sin y x =围成，在矩形区域OABC 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（ ）A ．2πB ．12 C ．1π D ．3π4 ） A ．4- B ．4 C ．13-D ．135．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（ ）A ．2B ．4+C ．4+D ．4+6．已知实数x ，y 满足2210x y x y +-⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≥，若z x my =+的最大值为10，则m =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．已知()201720162018201721f x xx x =++++，下列程序框图设计的是求()0f x 的值，在“ ”中应填的执行语句是（ ）A ．2018n i =-B ．2017n i =-C ．2018n i =+D ．2017n i =+8．若函数()24x f x a =--存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a 的取值范围为（ ） A ．()0,4 B ．()0,+∞C ．()3,+∞D ．()3,49．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B，当P ，A ，B 不共线时，PAB △面积的最大值是（ ） A．BC．3D．310．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率3e =，右焦点为F ，点A 是双曲线C的一条渐近线上位于第一象限内的点，AOF OAF ∠=∠，AOF △的面积为，则双曲线C 的方程为（ ）A ．2213612x y -=B ．221186x y -=C ．22193x y -=D ．2213x y -=11．设锐角ABC △的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1c =，2A C =，则ABC △周长的取值范围为（ ） A．(0,2B．(0,3+C．(2+ D．(212．若关于x 的方程e 0e e xx xx m x ++=+有三个不相等的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m ∈R ，e 2.71828=为自然对数的底数，则3122312111e e e x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ） A ．1B ．eC ．1m -D ．1m +二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高三下学期开学考试数学理试题 含答案
2021年高三下学期开学考试数学理试题含答案一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）各题答案必须答在答题卡上．1．设（是虚数单位），则 ( )A． B． C． D．2.设集合，那么是的（）.A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．设向量，若表示向量，，的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量为( ). A．B．C．D．4.等差数列中，若公差，且成等比数列，则公比等于（）.A．B．C．D．5.的图象上相邻两条对称轴间的距离是，则的一个值是（）.A．B．C．D．６.已知双曲线的一条准线经过抛物线的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）. A．B．C．D．７.函数是定义在上的增函数，且，则函数值，的大小关系为（）.A．B．C．D．8.设动点坐标满足则的最小值为（）.A．B．C．D．9.已知，则的最小值为（）.A．B．C．D．10.定义域为R的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二．填空题（本小题共5个小题，每个小题5分，共25分）11.若直线与直线垂直，则实数的值等于__________.12.在数列中，前项和，则_________.13.已知是上的增函数，是其图像上的两个点，那么的解集是______________.14.若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_________.15.若为的各位数字之和，如则，记，，……，则__________三．解答题（本题共6个小题，共75分）16.（本小题满分13分）在中,角、、的对边分别为、、.已知（1）求的值（2）求的值17. （本题满分13分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率.（注：将频率视为概率）18. （本题满分13分）已知，a、b为实数）有极值，且处的切线与直线平行．（1）求实数a的取值范围；（2）若在上是单增函数，求实数a的取值范围；19. （本题满分12分）数列中，前项和，，，…．（1）证明数列是等差数列；（2）求关于的表达式；（3）设，求数列的前项和．20. （本题满分12分）二次函数满足，且最小值是．（1）求的解析式；（2）设常数，求直线：与的图像以及轴所围成封闭图形的面积是；（3）已知，，求证：．21. (本小题满分12分)如图，椭圆C ：(a ＞b ＞0)的离心率为，其左焦点到点P (2，1)的距离为．不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 求ABP 的面积取最大时直线l 的方程．重庆铁路中学高xx 级高三（下）开学考试理科数学参考答案1. D 解析：2.B3.D ()()4320,234,6a b a c c a b +-+==--=-4.C 所以5.C ()21sin cos sin sin 23f x x x x x πωωω⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭ 所以6.A ，所以渐近线7.D 所以所以所以8.D 9.D ()()()()()()()()222222111111111111a a b b a b b a a b a b a b a b ab +-+-++++⎛⎫⎛⎫-=== ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ 而 所以 所以当且仅当时，等号成立。
2021年高三下学期开学考试数学(理)试题 含答案
2021年高三下学期开学考试数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，且有4个子集，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.2．复数等于（）A. B. C. D.03. 函数的单调递减区间是（）A. B.C. D.4．等比数列中，，前3项和为，则公比的值是（）A. 1B.－C. 1或－D. -1或－5. 已知关于的二项式展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则的值为（）A．1 B．C．2 D．6. 若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.7. 执行如图所示的程序框图，若输入的值为8，则输出的值为（）A. 4B. 8C. 10D. 128．若为不等式组表示的平面区域，则当从－2连续变化到1时，动直线扫过中的那部分区域的面积为 ( )A．1 B． C．D．9. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，一个内角为的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（）A. B. C. D.10. 已知为正三角形内一点，且满足，若的面积与的面积比值为3，则的值为（）A. B. C. 2 D. 311. 过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点,为原点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.12．定义在上的单调函数，则方程的解所在区间是（ ）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题~24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 已知等差数列中，,那么 . 14. 5位同学排队，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能相邻，且女生甲不能排在排头，则排法种数为 . 15. 已知球的直径，是球球面上的三点,， 是正三角形，则三棱锥的体积为 . 16. 给出下列四个结论：（1）如图中，是斜边上的点，. 以为起点任作一条射线交于点，则点落在线段上的概率是；（2）设某大学的女生体重与身高具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的线性回归方程为，则若该大学某女生身高增加，则其体重约增加；（3）若是定义在上的奇函数，且满足,则函数的图像关于对称;（4）已知随机变量服从正态分布则.其中正确结论的序号为三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）“德是”号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心（记为）．当返回舱距地面1万米的点时（假定以后垂直下落，并在点着陆），救援中心测得飞船位于其南偏东方向，仰角为，救援中心测得飞船位于其南偏西方向，仰角为．救援中心测得着陆点位于其正东方向． （1）求两救援中心间的距离；（2）救援中心与着陆点间的距离．A BCD E北 A P东B C D18．(本小题满分12分)我国新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在为优秀，各类人群可正常活动.市环保局对我市xx 年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为，，，，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图.(1) 求的值；(2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；(3) 如果空气质量指数不超过，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取天的数值，其中达到“特优等级”的天数为，求的分布列和数学期望.空气质量指数0.0320.020 0.018O 5 15 25 35 4519. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面平面，，在锐角中，并且，.（1）点是上的一点，证明：平面平面；（2）若与平面成角，当面平面时，求点到平面的距离．20.（本小题满分12分）已知椭圆的左，右顶点分别为，圆上有一动点,点在轴的上方，，直线交椭圆于点，连接.(1)若,求△的面积;(2)设直线的斜率存在且分别为,若,求的取值范围.21. (本小题满分12分)设函数.（1）若函数在处有极值，求函数的最大值；（2）①是否存在实数，使得关于的不等式在上恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；②证明：不等式考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，已知点在⊙直径的延长线上，切⊙于点，是的平分线，交于点，交于点．（Ⅰ）求的度数；（Ⅱ）若，求．23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线与曲线交于两点.（1）求的长；（2）在以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点的极坐标为，求点到线段中点的距离．24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知实数满足，且.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）证明：.哈尔滨市第六中学xx 届高三第三次模拟考试数学试卷（理工类）答案一．选择题1.B2.D3.B4.C5.C6.B7.B8.D9.D 10.A 11.A 12.C 二．填空题13. 14. 15.40 16.②③④ 三．解答题17. 解：（1）由题意知，则均为直角三角形………………1分在中，，解得…………………………2分 在中，，解得…………………………3分 又，万米. …………………………5分 （2），，…………………………7分 又，所以.…………………………9分在中，由正弦定理，…………………………10分 万米…………………………12分18.(1) 解：由题意，得， ……………1分解得. ……………2分 （2）解：个样本中空气质量指数的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯= ……………3分由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为. …………4分（3）解：利用样本估计总体，该年度空气质量指数在内为“特优等级”，且指数达到“特优等级”的概率为，则. ………5分的取值为， ………6分 ，，，. ……………10分 ∴的分布列为：……11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ………12分 （或者）19.解法一（1）因为，，由勾股定理得，因为平面平面，平面平面 =，面，所以平面面，所以平面平面 ………6分12M（2）如图，因为平面，所以平面平面，所以，做于，所以面，，设面面=，面平面所以面面，所以，取中点，得为平行四边形，由平面边长得为中点，所以………12分解法二（1）同一（2）在平面过做垂线为轴，由（1），以为原点，为轴建立空间直角坐标系,设平面法向量为，设，锐角所以，由，解得，，，解得或（舍）设，解得因为面平面，，所以面法向量为，所以，解得，所以到平面的距离为竖坐标．………12分20.（1）依题意，.设，则.由得, ,, 解得, . …………5分(2)设, 动点在圆上, .又, , 即====.又由题意可知,且,则问题可转化为求函数的值域.由导数可知函数在其定义域内为减函数, 函数的值域为从而的取值范围为……12分21.（1）由已知得：，且函数在处有极值∴，即∴∴当时，，单调递增；当时，，单调递减；∴函数的最大值为（2）①由已知得：(i)若，则时，∴在上为减函数，∴在上恒成立；(ii)若，则时，∴在上为增函数，∴，不能使在上恒成立；(iii)若，则时，，xyz当时，，∴在上为增函数， 此时， ∴不能使在上恒成立； 综上所述，的取值范围是 …………8分 ②由以上得：取得： 令， 则，()1222111ln 101111n n n n x x n n n n n n-⎛⎫-=-+<-=-< ⎪+-++⎝⎭. 因此. 又()1211ln ln ln 1ln1ln 1nn k k n k k k -==⎛⎫=--+=+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭∑∑ 故1122211111ln 1ln 1111nn n n k k k k k n x k k k k n --===⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-++ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑ ()()11122111111111111n n n k k k kk k k kn k k ---===⎛⎫>-=-≥=-+>- ⎪+++⎝⎭∑∑∑ ……12分22．（1）因为为⊙的切线，所以…………1分因为是的平分线，所以…………2分 所以，即，…………3分又因为为⊙的直径，所以…………4分. 所以.…………5分（2）因为，所以，所以∽，所以，………7分在中，又因为，所以，………8分 中，………10分23.解:（1）直线的参数方程化为标准型（为参数） …… 2分代入曲线方程得设对应的参数分别为，则，，所以 …… 5分 （2）由极坐标与直角坐标互化公式得直角坐标， …… 6分 所以点在直线， 中点对应参数为， 由参数几何意义，所以点到线段中点的距离 ……10分 24.(1) ，相乘得证——————5分 （2），， 相加得证——————10分40095 9C9F 鲟Zx5P34375 8647 虇x29910 74D6 瓖22319 572F 圯•B35268 89C4 规34290 85F2 藲24190 5E7E 幾精品文档实用文档。
四川省新津中学2021届高三数学10月月考试题 理(1)
四川省新津中学2021届高三10月月考数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部份。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.假设复数1m iz i +=-（i 为虚数单位）为实数，那么实数m =A ．0B ．－１ Ｃ．－１或１ Ｄ．１s 已知全集U=R ，集合{}{}|ln(31),|sin(2),A x y xB y y x ==-==+则()U C A B ⋂=３．将函数sin 23cos 2y x x =+的图像沿x 轴向左平移ϕ个单位后，取得一个偶函数的图像，那么ϕ的最小值为４．设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：假设0a b •=，0b c •=，那么0a c •=；命题q ：假设//,//a b b c ，那么//a c ，那么以下命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝５．将包括甲、乙两队的８支队伍平均分成２个小组参加某项竞赛，那么甲、乙两队被分在不同小组的分组方案有Ａ．10种 Ｂ．20种 Ｃ．40种 Ｄ．60种６．函数2sin xy x =-的图像大致是 A ．B ．C ．D ．７．如图１是某县参加2014年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，A10（如A2表示身高（单位：cm ）在[150，155）内的学生人数）．图2是统计图1中身高在必然范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～185cm （含160cm ，不含185cm ）的学生人数，那么在流程图中的判定框内应填写的条件是( )A ．i ＜9B ．i ＜8C ．i ＜7D ．i ＜6８．假设函数()f x kx Inx=-在区间()1,+∞单调递增，那么k 的取值范围是（A ）(],2-∞- （B ）(],1-∞- （C ）[)2,+∞ （D ）[)1,+∞.A AD ⊥平面PBC 且三棱椎D-ABC 的体积为83 .B BD ⊥平面PAC 且三棱椎D-ABC 的体积为83.C AD ⊥平面PBC 且三棱椎D-ABC 的体积为163 .D BD ⊥平面PAC 且三棱椎D-ABC 的体积为16310．已知f （x ）是概念在R 上且以2为周期的偶函数，当0≤x≤1，f （x ）=x2．若是函数()()()g x f x x m =-+有两个零点，那么实数m 的值为第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分．把答案填在题中横线上． 11．(x-2)6的展开式中3x 的系数为 .（用数字作答）12.已知函数1(),4()2(1),4xx f x f x x ⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩，那么2(1log 5)f +的值为 13．已知函数f(x)=3x+cos2x+sin2x ，a=()4f π', 那么过曲线y=x3上一个点P(a,b)的切线方程为 。
四川省新津中学2021届高三9月月考数学(理)试题 Word版含答案
B．
C．
D．
10．在如图所示的正方形中随机投掷1000个点，则落入阴影（曲线为正态分布 的密度曲线）的点的个数的估计值为( )
（附：若 ，则 ， ）
A．239B．272C．341D．477
11．已知 ， 是椭圆 的左，右焦点， 是 的左顶点，点 在过 且斜率为 的直线上， 为等腰三角形， ，则 的离心率为
评价结果
差评
一般
好评
甲班
5人
10人
5人
乙班
2人
8人
10人
（1）假设两个班级的评价相互独立，以事件发生频率作为相应事件发生的概率，若从甲乙两班中各随机抽取一名学生，求甲班学生的评价结果比乙班学生的评价结果“更好”的概率；
（2）根据对两个班的调查，完成列联表，并判断能否有99%的把握认为评价是否“差评”与线上平台有关.
（Ⅰ）求直线 的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）当 时，求 的值.
23．已知函数 .
（Ⅰ）当 时，求不等式 的解集；
（Ⅱ）若函数 的最小值为3，且 ， ，证明： .
新津中学高2018级（高三）9月月考试题数学（理科）参考答案
1-12:CDABB BCADC DA
13． 14． 15．316．①②③
又函数 的最小值为3， ，
所以 ，解得 ，即 ，
由柯西不等式得 ，
所以 .
（3）求证：
请考生从22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
22．在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数， ）.以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，射线 与曲线 交于 两点，直线 与曲线 相交于 两点.