东北师大附中
长春各大高中排名
一类高中（按照本人认为教学质量顺序排名）1·东北师大附中：毫无疑问的长春地区老大，教学水平毋庸置疑，录取分数是最高，和其他学校教学比相对宽松，在市中心，老校舍校园环境一般。
2·长春十一高：交通不是很便利，有贵族学校的风气，两极分化现象比较严重，但是每年的高分段学生还是很多。
3·省实验：在南湖边上，近几年似乎有下坡路趋势，据说有一年居然高分段被二中干倒了。
4·市实验：与上面三所同称为“四大校”。
由于前些年搬到净月校区，所以扩招力度比较大，升学率有所下滑。
近几年比较稳定。
这个学校需要住校，环境不错，比二实验稍好，寝室是地热。
5·长春二中：在市区内，是比较务实的学校。
如果成绩一般，而且比较肯学的话，建议你来这里，交通还算便利，但校园环境一般。
6·市二实验：和二中的升学率差不多，但缺点是托关系进去的太多。
两极分化比较明显。
也需要住校，环境还好。
7·长春六中：我的母校，近几年略有起色，毕竟有考清华的了，而且硬件设施也有所改善。
但是，她的确不如好的二类学校，师资力量很弱……汗颜，希望她越来越好吧！8·一汽六中：虽然也是一类，但是还不赶长春6中，所以徒有虚名，厂区的学生很多宁可去11高也不去汽6了。
二类：1·长春8中：这是二类最强的学校了，很务实。
每年都能接收到很多报一类校没录取上的好学生。
缺点是校园比较小，环境差些（二类校普遍硬件投入少，所以环境都差不多）2·长春5中：“千年老二”这个学校偶尔能蹦出来几个二类校状元，但是整体还是和8中有差距。
谈恋爱来这个学校比较合适，离重庆路很近3·十七中，七中，一中……都差不多，既然从天津到外地上学，还是进一个相对好点的学校比较合适。
东北师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末数学试题(解析版)
东北师大附中2023-2024学年下学期高（一）年级期末考试（数学）科试卷注意事项：1．答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 为虚数单位，复数i 12i z ⋅=+，则z =（ ）A.2i −− B.2i−+ C.2i+ D.2i−【答案】D 【解析】【分析】利用复数的四则运算求解即可. 【详解】因为i 12i z ⋅=+， 所以()()()12i i 12i2i ii i z +−+===−×−.故选：D.2.已知两条不同的直线m ，n 和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的为（ ）A.若//m α，//n α，则//m n B.若//m n ，m α⊂，则//n α C.若//m α，//m β，则αβ∥ D.若//m α，m β⊥，则αβ⊥【答案】D 【解析】【分析】利用点、线、面的位置关系即可得出答案.【详解】对于A ，若//m α，//n α，则,m n 可能相交，故A 错误；对于B ，若//m n ，m α⊂，则可能n ⊂α，故B 错误；对于C ，若//m α，//m β，则可能αβ⊥，故C 错误； 对于D ，若//m α，在平面α内能找到直线a ，使得//a m ， 由m β⊥，可得a β⊥，又因为a α⊂，则αβ⊥，故D 正确. 故选：D .3. 高一年级某位同学在五次考试中的数学成绩分别为105，90，104，106，95，这位同学五次数学成绩的方差为（ ） A. 20.2 B. 40.4C. 50D. 50.2【答案】B 【解析】【分析】根据题中数据结合平均数、方差公式运算求解.【详解】由题意可得：数学成绩平均数为()110590104106951005x=++++=， 所以数学成绩的方差为()()()()()2222221105100901001041001061009510040.45s =−+−+−+−+−=. 故选：B.4. 在直三棱柱111ABC A B C 中，122AA AB AC ==，且AB AC ⊥，则异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值是（ ）A.45B.35C.D.12【答案】A 【解析】【分析】先找到异面直线1A B 与1AC 所成角为HGI ∠（或其补角）,再通过解三角形求出它的余弦值. 【详解】如图分别取111,,,A C AA AB AC 的中点,,,H G I M ， 连接,,,GI HI IM GH ，因为11//,//A B GI HG AC ，所以异面直线1A B 与1AC 所成角即为直线GI 与HG 所成角，即HGI ∠（或其补角）， 设1222AA AB AC ===，由AB AC ⊥，所以BC ==MI =HIHG GB==，所以由余弦定理可得：22224cos5252HG GI HIHGIHG GI+−−∠===−⋅.则异面直线1A B与1AC所成角余弦值是45.故选：A.5. 数据1，2，5，4，8，10，6的第60百分位数是（）A. 4.5B. 5.5C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】对这7个数按从小到大的顺序排列，然后根据百分位数的定义求解.【详解】这7个数从小到大排列为：1，2，4，5，6，8，10，因为760% 4.2×=，所以第60百分位数是第5个数6.故选：C6. 已知圆台的上、下底面圆的半径分别为1和3，高为1，则圆台的表面积为（）A.20π3B. 20πC. (10π+D. (11π+【答案】C【解析】【分析】根据题意求出圆台的母线长，再利用圆台的表面积公式求解即可.【详解】设圆台的母线长为l，则l=的所以圆台的表面积为221π1π3(2π12π3)2×+×+×+×10π+.故选：C7. 某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法抽取了容量为180的样本，经计算得男生样本的均值为170，女生样本的均值为161，则抽取的样本的均值为是（ ） A. 165.5 B. 166C. 166.5D. 168【答案】B 【解析】【分析】由样本均值计算公式，代入数据即可求得； 【详解】抽取的样本的均值近似于总体的均值， 由题意可得：170,161xy =，500,400m n ==， 抽取的样本的均值为500400170161166500400500400m nx ym n m n ω=+=×+×=++++. 故选：B .8. 棱长为2的正方体内有一个棱长为a 的正四面体，且该正四面体可以在正方体内任意转动，则a 的最大值为（ ） A 1B.C.D. 2【答案】B 【解析】【分析】棱长为a 的正四面体的外接球的半径为1，设正四面体为−P ABC ，过P 作PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，连接AO ，表示出,AO PO ，然后结合图形利用勾股定理列方程求解【详解】棱长为2的正方体内切球的半径为1，因为正四面体可以在正方体内任意转动，所以只需该正四面体为球的内接正四面体，换言之，棱长为a 的.正四面体的外接球的半径为1，设正四面体为−P ABC ，过P 作PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，连接AO ，O 为底面正ABC 的中心，则23AO =，体高为PO ，由于外接球半径为1，利用勾股定理得：2211 −+=，解得a =或0a =(舍)， 故选：B二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分或4分，有选错的得0分．9. 某单位为了解员工参与一项志愿服务活动的情况，从800位员工中抽取了100名员工进行调查，根据这100人的服务时长（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图．则（ ）A. a 的值为0.018B. 估计员工平均服务时长为45小时C. 估计员工服务时长的中位数为48.6小时D. 估计本单位员工中服务时长超过50小时的有45人【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，根据各组的频率和为1可求出a ，对于B ，利用平均数的定义求解判断，对于C ，先判断中位数的位置，然后列方程求解即可，对于D ，根据频率分布直方图求出服务时长超过50小时的频率，再乘以800进行判断.【详解】对于A ，由频率分布直方图得10(0.0020.0350.0250.020)1a ++++=， 解得0.018a =，所以A 正确，对于B ，员工平均服务时长为250.02350.18450.35550.25650.249.3×+×+×+×+×=小时，所以B 错误，对于C ，因为前2组的频率和为0.200.5<，前3组的频率和为0.550.5>，所以中位数在第3组，设中位数为m ，则0.200.035(40)0.5m +−=， 解得48.6m ≈，所以C 正确，对于D ，因为服务时长超过50小时的频率为10(0.0250.020)0.45×+=， 所以本单位员工中服务时长超过50小时的约有8000.45360×=人，所以D 错误. 故选：AC10. 正六边形ABCDEF 的边长为2，G 为正六边形边上的动点，则AD BG ⋅的值可能为（ ） A. 3− B. 1−C. 12D. 16【答案】ABC 【解析】【分析】利用投影向量求解向量数量积，得到AD BG ⋅的最小值和最大值，得到答案.【详解】连接BF 与AD 相交于点O ，由正六边形的几何性质，BF ⊥AD ，60FAO ∠=°， 正六边形ABCDEF 的边长为2，故sin 301AO AF =°=，24AD EF ==， 故413OD =−=，故点B 在AD 上的投影为O ，当点G 与点D 重合时，此时BG 的投影向量为OD ，OD 与AD方向相同 此时AD BG ⋅取得最大值，最大值为4312AD OD ⋅=×=，故当G 与A 重合时，BG的投影向量为OA ，OA 与AD 方向相反，此时AD BG ⋅取得最小值，最小值为4OA AD −⋅=−，故[]4,12AD BG ⋅∈−，ABC 正确，D 错误.故选：ABC11. 如图，正三棱锥A BCD −和正三棱锥E BCD −，2BD =．若将正三棱锥A BCD −绕BD 旋转，使得点A ，C 分别旋转至点M ，N 处，且M ，B ，D ，E 四点共面，点M ，E 分别位于BD 两侧，则（ ）A. MN BD ⊥B. MN CE ⊥C. MCD. 点C 与点A 【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，先作出图形，取BD 中点P ，证明BD ⊥平面ACP ，即可得到BD MN ⊥；对于B ，分别证明CE ⊥平面BDE ,MN ⊥平面MBD ，可推得//MN CE ，排除B ；对于C,先求得cos MPO ∠，再由余弦定理即可求得MC ，对于D ，只需求出两点的旋转半径即可求得.【详解】如图，取BD 中点P ，连接,AP CP ,依题意，,AB AD CB CD ==,则有,,BD AP BD CP ⊥⊥ 因,,AP CP P AP CP ∩=⊂平面ACP ,则BD ⊥平面ACP . 对于A ，因为将正三棱锥A BCD −绕BD 旋转，使得点A ，C 分别旋转至点M ，N 处，故MN ⊂平面ACP ,因BD ⊥平面ACP ，故BD MN ⊥即A 正确； 对于B，因2,BC CD BD EB ED EC ======,则由222ED EC CD +=可知，CE DE ⊥,同理CE BE ⊥,因,,DE BE E DE BE ∩=⊂平面BDE ,故得，CE ⊥平面BDE ,同理可证AC ⊥平面ABD , 依题意，因M ，B ，D ，E 四点共面，故MN ⊥平面MBD ,故//MN CE ,故B 错误； 对于C ，设连接AE ，交CP 于点O ，则EO PO ⊥,11233OP CP ===112EP BD =,则cos EPO ∠,,M P E三点共线，可得cos MPO ∠, 在MPC中，由余弦定理，MC ==故C 正确；对于D ，因点C 与点A 是同时旋转，故转动的轨迹长度之比即旋转的半径之比， 而点C转动的半径为2PC ==,点A 转动的半径为1PA =,故点C 与点A 旋转运动D 正确. 故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题主要考查余几何体旋转有关的线面关系问题，属于难题.问题的关键在于，正确作出图形，理解旋转前后的变与不变的量，通过线面关系的推理与证明，即可得到线面关系，借助于正、余弦定理进行相关计算，即可解决.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知复数112z =−+，复数2z 满足123z z −=，则2z 的最小值为________． 【答案】2 【解析】【分析】设2i(,R)z a b a b =+∈，代入123z z −=中化简可得22192a b ++−=，则点(,)a b在以12 − 为圆心，3为半径的圆上，从而可求得结果. ,的【详解】设2i(,R)z a b a b =+∈，因为112z =−，123z z −=，所以1i 32a b −+−−=，所以22192a b++−=，所以点(,)a b 在以12 −为圆心，3为半径的圆上，所以2z =的最小值为3312−=−=. 故答案为：213. 设正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，E ，F 分别为AB ，1BD 的中点，点M 在正方体的表面上运动，且满足FM DE ⊥，则点M 轨迹的长度为________．【答案】2+ 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解出点M 轨迹的长度.【详解】在正方体1111ABCD A B C D −中，棱长为1，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，∴1111(0,0,0),(1,,0),(,,),2222D E F 设(,,)M x y z ，则1111(1,,0),(,,)2222DE FM x y z ==−−− ， ∵DE FM ⊥，∴11113()0022224x y x y −+−=⇒+−=，当0y =时，34x =，当1y =时，14x =，取3113(,0,0),(,1,0),(,1,1),(,0.1)4444G H R T ，连结,,,GH HR RT TG ，则1(,1,0),(0,0,1)2GH TR TG RH ==−== ，∴四边形GHRT 为矩形， 则111()20022DE GH ⋅=×−+×+= ，1100102DE TG ⋅×+×+× ，即,,,DE GH DE TG GH TG ⊥⊥为平面GHRT 中的两条相交直线，∴DE ⊥平面GHRT ，又111111(,,),(,,)422422GF FR =−=− ，又F 为1BD 的中点，则F ∈平面GHRT ， 为使DE FM ⊥，必有点M ∈平面GHRT ，又点M 在正方体表面上运动，所以点M 的轨迹为四边形GHRT ，因为1GH RT TG RH ，则点M 的轨迹不是正方形，则矩形GHRT 的周长为1222×+=+故答案为：2.14. 有两个相同的直三棱柱，高为2，底面三角形的三边长分别为3,4,5．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，拼成的几何体的表面积最小值是________． 【答案】52 【解析】【分析】先分情况分别求解组成三棱柱和四棱柱时的表面积，再比较大小得出最小值即可. ABC DEF −和直三棱柱111111A B C D E F −，如图所示：当拼成一个三棱柱时，表面积有三种情况： ①上下底面对接，其表面积为()112343454602S =×××+++×=；②边长为3的边合在一起时，表面积为()2122342542602S =××××++×=； ③边长为4的边合在一起时，表面积为()3122342532562S =××××++×=.当拼成一个四棱柱时，有四种情况，如图④、⑤、⑥、⑦：图④的表面积()4143454542602S =×××++++×=， 图⑤的表面积()5143453352562S =×××++++×=，图⑥的表面积()6143443432522S =×××++++×=， 图⑦的表面积()7143443342522S =×××++++×=. 综上所述，拼成的几何体的表面积最小值是52.故答案为：52.四、解答题：本大题共5小题，共55分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，120B =°．（1）若1a =，b =，求A ；（2）若b =，求ABC 周长的最大值．【答案】（1）30A =°（2）4+【解析】【分析】（1）利用正弦定理直接求解；（2）根据余弦定理结合基本不等式得4a c +≤，从而可求出ABC 周长的最大值．【小问1详解】由正弦定理知sin sin b a B A =1sin A=，解得1sin 2A =， 因为B 为钝角，所以30A =°．【小问2详解】解：由余弦定理得()2222222cos b a c ac B a c ac a c ac =+−=++=+−， 又由0a >，0c >，则22a c ac + ≤， 所以()()()222231224a c a c ac a c a c + =+−≥+−=+ ， 所以4a c +≤，当且仅当a c =时，等号成立，即a c +的最大值为4，所以ABC 周长的最大值为4+．16. 在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，AD ∥BC ，2PA AB AD ===，1BC =，E 为PD 中点．（1）求证：CE ∥平面P AB ；（2）求直线CE 与平面P AD 所成的角的正弦值．（要求用几何法解答）【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）取AD 中点G ，根据平行关系可证平面ECG ∥平面P AB ，结合面面平行的性质分析证明； （2）根据题意可证CG ⊥平面P AD ，可知CEG ∠为CE 与平面P AD 所成的角，即可得结果.【小问1详解】取AD 中点G ，连接EG ，CG ，因为E 、G 分别为PD 、AD 中点，则EG ∥PA ，112EG PA ==， 且PA ⊂平面P AB ，EG ⊄平面P AB ，可得EG ∥平面P AB ，由题意可知：BC ∥AG ，且BC AG =，可知ABCG 为平行四边形，则AB ∥CG ，2AB CG ==，且AB ⊂平面P AB ，CG ⊄平面P AB ，可得CG ∥平面P AB ，且CG EG G ∩=，,CG EG ⊂平面ECG ，所以平面ECG ∥平面P AB ，又因为EC ⊂平面ECG ，所以CE ∥平面P AB ．【小问2详解】因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，则PA AB ⊥又因为AD AB ⊥，PA AD A ∩=，,PA AD ⊂平面P AD ，可得AB ⊥平面P AD ，由（1）可知：AB ∥CG ，则CG ⊥平面P AD ，可知CEG ∠为CE 与平面P AD 所成角，在直角三角形CEG 中，由（1）可知：2,1,CG EG CE ====，则sin CG CEG CE ∠=的所以直线CE 与平面P AD . 17. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式，某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示，为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流．（1）应抽取小吃类商家多少家？（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示．①估计该直播平台商家平均日利润的第75百分位数；②若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数．【答案】（1）28家 （2）① 487.5元；②280【解析】【分析】（1）根据分层抽样的定义结合图①求解即可；（2）①先根据频率和为1求出a ，然后列方程求解第75百分位数，②根据频率分布直方图求出平均均日利润超过480元的频率，然后乘以1000可得答案.【小问1详解】根据分层抽样知：应抽取小吃类()80130%15%10%5%5%28×−−−−−=家； 【小问2详解】①根据题意可得()0.002320.006501a ×++×=，解得0.004a =， 设75百分位数为x ，因为()0.0020.0040.006500.60.75++×=<，(0.002+0.004+0.006+0.004)×50=0.8>0.75，所以()4500.0040.60.75x −×+=，解得487.5x =， 所以该直播平台商家平均日利润的75百分位数为487.5元．②5004800.0040.0020.00250100028050− ×++××=， 所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280．18. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2，M 分别为棱1BB 的中点．（1）证明：1AC D M ⊥；（2）求平面1AMD 与平面ABCD 所成二面角的余弦值．（要求用几何法解答）【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）连接BD ，则AC BD ⊥，由线面垂直的判定定理可证得AC ⊥平面1BDD ，从而可证得结论； （2）延长1D M 、DB 交于点E ，则直线AE 为平面1AMD 与平面ABCD 的交线，过点M ，作MN AE ⊥，垂足为N ，连接BN ，则可得∠MNB 为平面1AMD 与平面ABCD 所成二面角的平面角，然后在MNB 中求解即可.【小问1详解】证明：连接BD ，因为四边形ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥，因为1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1DD AC ⊥，因为1DD BD D = ，1,DD BD ⊂平面1BDD ，所以AC ⊥平面1BDD ，因为1D M ⊂平面1BDD ，所以1AC D M ⊥．【小问2详解】延长1D M 、DB 交于点E ，则直线AE 为平面1AMD 与平面ABCD 的交线，过点M ，作MN AE ⊥，垂足为N ，连接BN ，因为BM ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以BM AE ⊥，因为BM MN M = ，,BM MN ⊂BMN ，所以⊥AE 平面BMN ，因为BN ⊂平面BMN ，所以AE BN ⊥，所以∠MNB 为平面1AMD 与平面ABCD 所成二面角的平面角，因为BM ∥1DD ，所以MBE △∽1D DE △， 所以112MB BE D D DE ==，所以BE BD == 在ABE 中，2AB =，BE =，135ABE ∠=°所以2222cos13520AE AB BE AB BE =+−⋅°=，所以AE = 因为11sin 22ABE S AB BE ABE AE BN ∆=⋅∠=⋅，所以11222BN ××°=×，所以BN =MN === 所以2cos 3BN MNB MN ∠== 所以平面1AMD 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为23．19.定义：球的直径的两个端点称为球的一对对径点；过球心的平面与球面的交线称为该球的大圆；对于球面上不在同一个大圆上的点A ，B ，C ，过任意两点的大圆上的劣弧AB ，劣弧BC ，劣弧CA 所组成的图形称为球面ABC ，记其面积为ABC S 球面△．易知：球的任意两个大圆均可交于一对对径点，如图1的A ，A ′；若球面上A ，B ，C 的对径点分别为A ′，B ′，C ′，则球面A B C ′′′ 与球面ABC 全等，如图2．已知球O 的半径为R ，圆弧AB 和圆弧AC 所在平面组成的锐二面角B AO C −−的大小为α，圆弧BA 和圆弧BC 所在平面组成的锐二面角的大小为β，圆弧CA 和圆弧CB 所在平面组成的锐二面角的大小为γ．记()AB C ABC A BC A B C S S S S S α′′′′′′=+++ 球面球面球面．（1）请写出()πS ，π2S ，π4S的值，并猜测函数()S α的表达式； （2）求ABC S 球面△（用α，β，γ，R 表示）．【答案】（1）()2π4πS R =，2π2π2S R = ，2ππ4S R =；猜测2()4S R αα= （2）()πABCS R αβγ++−球面△【解析】 【分析】（1）结合图形理解题意，根据()S α的计算公式，分别求出()πS ，π2S，π4S ，并按照规律猜出()S α的表达式即得；（2）分别计算,,S S S αβγ并相加，利用八块球面拼接成一个球面，以及ΔA B C ABC S S ′′′=球面球面，将其化简，代入（1）猜测的公式，即可求得ABC S 球面△的解析式.【小问1详解】()222221111π4π4π4π4π4π4444S R R R R R =×+×+×+×=， 22222π11114π4π4π4π2π28888S R R R R R =×+×+×+×= ，22222π11114π+4π4π4ππ416161616S R R R R R =××+×+×= ． 猜测2()4S R αα=．【小问2详解】S S S αβγ++=()ABC A BC AB C A B C S S S S ′′′′′′++++ 球面球面球面球面()ABC AB C A BC A B C SS S S ′′′′′′++++ 球面球面球面球面 ()ABCABC A B C A B C S S S S ′′′′′′+++ 球面球面球面球面 22ABC A B C S S S ′′′=++ 球球面球面因为ΔA B C ABC S S ′′′=球面球面，所以22224444π4ABC R R R R S αβγ++=+ 球面，即()2πABC S R αβγ++− 球面．【点睛】思路点睛：本题主要考查球面三角形表面积的新定义问题，属于难题.解题思路，即是结合图形，充分理解题意，正确列出关系式，并根据图形进行表面积合并整理，即可求得.。
东北师大附中校歌
东北师大附中校歌
摘要：
1.东北师大附中校歌简介
2.校歌歌词及其含义
3.校歌的象征意义
4.校歌对学生的影响
正文：
东北师大附中校歌是一首富有历史和文化底蕴的歌曲，代表着学校的精神风貌和教育理念。
这首歌歌词简洁明了，旋律优美动听，深入人心。
校歌的歌词为：“我们是东北师大附中的学子，为了实现梦想而努力奋斗。
让我们共同书写辉煌的未来，为祖国的繁荣富强贡献力量。
”这句歌词既表达了学生们的豪情壮志，也体现了学校培养学生为国家和社会作出贡献的决心。
同时，歌词中的“梦想”和“未来”也寓意着学生们要珍惜时光，努力学习，实现自己的人生目标。
东北师大附中校歌的旋律激昂向上，催人奋进。
它象征着学校对学生们的期望和鼓励，希望学生们能够勇往直前，不断进取。
校歌的旋律和歌词相得益彰，共同构成了这首充满力量和激情的歌曲。
在校园生活中，校歌具有重要的象征意义。
每当集体活动或者重要场合，学生们都会高唱校歌，表达对学校的热爱和自豪。
同时，校歌也是学校文化的重要组成部分，它传承着学校的历史和传统，弘扬着学校的精神和价值观。
对于东北师大附中的学生来说，校歌不仅仅是一首歌曲，更是一种激励和鞭策。
它鼓舞学生们努力学习，追求卓越，为实现自己的梦想而奋斗。
在校歌
的熏陶下，学生们逐渐形成了积极向上、勇攀高峰的精神风貌。
总之，东北师大附中校歌是一首充满力量和激情的歌曲，它代表着学校的精神风貌和教育理念。
东北师大附中必读书目
东北师大附中必读书目
（原创版）
目录
1.引言：介绍东北师大附中必读书目
2.书目列表：列举东北师大附中必读书目的书名和作者
3.书目分类：对书目进行分类，如文学、历史、哲学等
4.推荐理由：简述每本书被推荐的原因和价值
5.结论：总结东北师大附中必读书目对学生成长的意义
正文
东北师大附中作为我国著名的中学之一，一直注重学生的全面素质教育，尤其强调阅读的重要性。
学校为学生制定了一系列的必读书目，旨在培养学生的阅读兴趣，拓宽视野，提高人文素养。
东北师大附中的必读书目丰富多样，包括了文学、历史、哲学等多个领域。
以下是具体的书目列表：
1.《红楼梦》：曹雪芹
2.《西游记》：吴承恩
3.《水浒传》：施耐庵
4.《三国演义》：罗贯中
5.《古文观止》：各朝名家
6.《史记》：司马迁
7.《资治通鉴》：司马光
8.《道德经》：老子
9.《庄子》：庄子
10.《人类简史》：尤瓦尔·赫拉利
这些书目都是经过精心挑选的，每一本都有着深远的影响和独特的价值。
例如，《红楼梦》被誉为中国古典小说的巅峰之作，既有丰富的人物描绘，又有深刻的社会剖析；《史记》则是史学经典，生动记录了上古至汉代的历史，具有极高的文学和历史价值；《人类简史》则是近年来备受好评的科普读物，以全新的视角讲述了人类历史的演变。
东北师大附中对这些书目的推荐，不仅是为了让学生掌握知识，更是为了培养他们的独立思考能力和批判性思维。
这些书籍中的智慧和见解，对于塑造学生的人格，激发他们的创造力，都有着积极的影响。
总的来说，东北师大附中的必读书目是其教育理念的体现，也是对学生最深沉的期待。
吉林省东北师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期第一次摸底考试数学试卷
东北师大附中高三年级（数学）科试卷2024—2025学年上学期第一次摸底考试出题人：高三备课组审题人：高三备课组考试时长：120分钟满分：150分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合{}213A x x =-≤，{}240B x xx =∈-≤N ，则A B = （）A.0,2B.0,2C.{}0,1,2 D.{}1,22.已知1tan 2α=，则sin cos sin 3cos αααα-=+（）A.23 B.17-C.12D.12-3.已知角α的终边经过点5π5πsin ,cos 66⎛⎫ ⎪⎝⎭，则tan α=（）A. B.C.33-D.334.若函数()3ln f x a x x x=+-既有极大值也有极小值，则实数a 的取值范围为（）A.(0, B.((),-∞-⋃+∞C.(,-∞- D.()+∞5.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()3e 1e 1x x f x -=-，则下列说法正确的是（）A.函数()f x 有两个零点B.当0x >时，()e 3e 1x xf x -=-C.()0f x >的解集是(),ln 3-∞-D.m ∀∈R ，0x ∃∈R ，使得()0f x m=6.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()10f =，()()f x f x '>，则不等式()0f x >的解集为（）A.()0,∞+ B.()1,+∞ C.()0,1 D.()()0,11,+∞ 7.已知34m =，44m a -=，22m b -=，则下列说法正确的是（）A.a b <B.a b >C.a b= D.a b=-8.若关于x 不等式()ln ax x b ≤+恒成立，则当1e ea ≤≤时，1e lnb a +-的最小值为（）A.11e+ B.e 1- C.1D.e二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若0b a >>，则下列不等式成立的是（）A.2a ba b +<<< B.11a b<C.222log log log 22a b a b++< D.()22b a b a ->-10.已知π2sin 33α⎛⎫+=⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A.πcos 63α⎛⎫-=⎪⎝⎭ B.π1cos 239α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭C.5π2cos 63α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ D.若()0,πα∈，cos 6α=11.定义在R 上的偶函数()f x ，满足()()=2f x f x --，当(]1,0x ∈-时，()1f x x =--，则下列说法正确的是（）A.()10f =B.2027122f ⎛⎫=⎪⎝⎭C.函数()()31y f x x =--的所有零点之和为5D.()0.11e1ln 1.1f f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知某扇形的圆心角为120°，弧长为2πcm ，则此扇形的面积为________2cm .13.已知函数2231,0()ln(3),0x x f x x ax x +⎧-<⎪=⎨++≥⎪⎩，()()30f f -=，则实数a 的值为______.14.对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x 满足()()f x f x -=-，则称函数()f x 为“局部奇函数”.若函数()14972xx f x m +=-⋅-在定义域R 上为“局部奇函数”，则实数m 的取值范围为________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知数列{}n a 满足：11a =，()*12n n a a n +=+∈N，数列{}nb 为单调递增等比数列，22b=，且1b ，2b ，31b -成等差数列.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设2log n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .16.已知函数()2ee xx f x x =+-.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）当[]1,0x ∈-时，求函数()f x 的最大值与最小值.17.师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与投入的成本30x（单位：元）满足如下关系：()2343,02,332,2 5.1x x W x x x x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪+⎩，已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.水果树单株获得的利润为()f x （单位：元）.（1）求()f x 的函数关系式；（2）当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大?最大利润是多少?18.已知函数()()e ln xf x x a a x =--，a ∈R .（1）当e a =时，求函数()f x 的单调区间与极值；（2）若函数()f x 有2个不同的零点1x ，2x ，满足2121e 2e x xx x >，求a 的取值范围.19.对于数列{}n x ，若0M ∃>，对任意的*n ∈N ，有n x M ≤，则称数列{}n x 是有界的.当正整数n 无限大时，若n x 无限接近于常数a ，则称常数a 是数列{}n x 的极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记为lim n n x a →+∞=.单调收敛原理：“单调有界数列一定收敛”可以帮助我们解决数列的收敛性问题.（1）证明：对任意的1x ≥-，*n ∈N ，()11nx nx +≥+恒成立；（2）已知数列{}n a ，{}n b 的通项公式为：11nn a n ⎛+⎫ ⎪⎝⎭=，111n n b n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n ∈N .（i ）判断数列{}n a ，{}n b 的单调性与有界性，并证明；（ii ）事实上，常数e lim lim n n n n a b →+∞→+∞==，以e 为底的对数称为自然对数，记为ln x .证明：对任意的*n ∈N ，()1111ln 11nnk k n k k ==<+<+∑∑恒成立.东北师大附中高三年级（数学）科试卷2024—2025学年上学期第一次摸底考试出题人：高三备课组审题人：高三备课组考试时长：120分钟满分：150分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】C二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】AC【10题答案】【答案】BCD【11题答案】【答案】ABD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】3π【13题答案】【答案】3-【14题答案】【答案】1,7⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）21n a n =-，12n n b -=；（2）232n n n T -=【16题答案】【答案】（1）22y x =+（2）函数()f x 的最大值为2，最小值3ln 24+【17题答案】【答案】（1）()23403030,02332020,251x x x f x x x x x ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪+⎩（2）当投入成本为90元时，该水果树单株获得的利润最大，最大利润是180元【18题答案】【答案】（1）()f x 单调递减区间为()0,1；()f x 单调递増区间为()1,+∞；()f x 有极小值0，无极大值.（2）2ln 2a >【19题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）（i ）{}n a 是递增数列，是有界的，{}n b 是递减数列，也是有界的，（ii ）证明见解析．。
东北师大附中明珠校区语文老师名单
东北师大附中明珠校区语文老师名单东北师范大学附属中学明珠校区自2004年创建以来，一直有着扎实的语文基础，每一届学生都能在语文课堂上得到优质的教学。
担任语文教学工作的都是一群有着丰富教学经验的优秀教师，他们以自己良好的教学风格、优秀的教学成果，赢得了同学们、家长们和老师们的信任和赞誉。
下面就为大家介绍一下东北师范大学附属中学明珠校区语文老师的名单：一、罗汉林老师罗汉林老师现任东北师范大学附属中学明珠校区语文教师，也是校内最著名的语文高手之一。
其认真、用心的教学风格赢得了同学们的喜爱。
教学内容深入浅出，幽默风趣，形象生动，既能贴近学生的生活，又能激发学生的学习兴趣，让每一位同学都能受到很好地鼓舞与激励。
二、覃明芳老师覃明芳老师也是东北师范大学附属中学明珠校区语文教师，具有多年教学经验。
覃老师不仅在课堂上教学有方，能够调动学生的学习热情，而且还是学生的倾听者，将学生心中的疑问、困惑细致耐心地解答，使得学生们在接受知识的同时，也能得到更多的心理暗示，在学习上更加坚定信心。
三、孙丽丽老师孙丽丽老师在东北师范大学附属中学明珠校区任教已有多年，孙老师以其独特的教学风格深受学生们的喜欢。
她特别注重学生语言表达能力的培养，教学过程中总是以活动环节为主，经常进行各种有利于学生口头表达能力、提高言语能力的活动，以此来做到锻炼学生的实际运用能力，激发学生的求知欲，让学生们在欢乐中学习语文，将每一堂语文课都变成一次有趣的探索之旅。
四、牛晓霞老师牛晓霞老师也是东北师范大学附属中学明珠校区的语文教师，她认真负责地履行着教师的职责，关心学生，对学生一点点进步都会非常开心，充满激情地教授课程，学生都喜欢上她的语文课，并且以她为榜样努力学习。
牛老师在关心学生的综合素质的同时，也深入浅出地讲解知识，把每一节语文课都变成一次收获和愉快的体验。
五、刘秀英老师刘秀英老师在东北师范大学附属中学明珠校区担任语文教师已有多年，其丰富的教学经验、活泼开朗的性格深受学生们的喜爱。
东北师范大学附属中学2024年高一上学期9月阶段性考试数学试题(解析版)
2024-2025学年东北师大附中 高一年级数学科试卷上学期阶段性考试考试时长：90分钟 试卷总分：120分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1. 下列元素的全体可以组成集合的是（ ） A. 人口密度大的国家 B. 所有美丽的城市 C. 地球上四大洋 D. 优秀的高中生【答案】C 【解析】【分析】根据集合的确定性，互异性和无序性即可得出结论.详解】由题意，选项ABD ，都不满足集合元素的确定性，选项C 的元素是确定的，可以组成集合. 故选：C.2. 若全集R U =，集合{}0,1,2,3,4,5,6A =，{|3}B x x =<，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A. {3,4,5,6}B. {0,1,2}C. {0,1,2,3}D. {4,5,6}【答案】A 【解析】【分析】根据图中阴影部分表示()U A B 求解即可. 【详解】由题知：图中阴影部分表示()U A B ，{}|3U Bx x =≥ ，则(){}3,4,5,6U B A = .故选：A3. 命题“[1,3]x ∀∈−，2320x x −+<”的否定为（ ）的【A. []1,3x ∃∈−，2320x x −+≥B. []1,3x ∃∈−，2320x x −+>C. []1,3x ∀∈−，2320x x −+≥D. []1,3x ∃∉−，2320x x −+≥【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用全称量词命题的否定直接写出结论即可.【详解】命题“[1,3]x ∀∈−，2320x x −+<”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 因此命题“[1,3]x ∀∈−，2320x x −+<”的否定是[]1,3x ∃∈−，2320x x −+≥. 故选：A4. 已知集合{}240A x x=−>，{}2430B x xx =−+<，则A B = （ ）A. {}21x x −<< B. {}12x x <<C. {}23x x −<<D. {}23x x <<【答案】D 【解析】【分析】解出集合,A B ，再利用交集含义即可.【详解】{}{2402A x xx x =−>=或}2x <−，{}{}2430|13B x xx x x =−+<=<<，则{}23A Bx x ∩=<<.故选：D.5. 若,,a b c ∈R ，0a b >>，则下列不等式正确的是（ ） A.11a b> B. a c b c >C. 2ab b >D. ()()2211a c b c −>−【答案】C 【解析】【分析】对BD 举反例即可，对AC 根据不等式性质即可判断. 【详解】对A ，因为0a b >>，则11a b<，故A 错误； 对B ，当0c =时，则a c b c =，故B 错误；对C ，因为0a b >>，则2ab b >，故C 正确； 对D ，当1c =时，则()()2211a c b c −=−，故D 错误. 故选：C.6. “2a <−”是“24a >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解出不等式24a >，根据充分不必要条件的判定即可得到答案. 【详解】24a >，解得2a >或2a <−，则“2a <−”可以推出“24a >”，但“24a >”无法推出“2a <−”， 则“2a <−”是“24a >”的充分不必要条件. 故选：A .7. 关于x 的一元二次方程(1)(4)x x a −−=有实数根12,x x ，且12x x <，则下列结论中错误的说法是（ ） A. 当0a =时，11x =，24x = B. 当0a >时，1214x x << C. 当0a >时，1214x x <<< D. 当904a −<<时，122544x x <<【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，借助二次函数的图象，逐项分析判断即可.【详解】对于A ，当0a =时，方程(1)(4)0x x −−=的二实根为121,4x x ==，A 正确； 对于B ，方程(1)(4)x x a −−=，即2540x x a −+−=，254(4)0a ∆=−−>，解得94a >−， 当0a >时，1244x x a =−<，B 错误；对于C ，令()(1)(4)f x x x =−−，依题意，12,x x 是函数()y f x =的图象与直线y a =交点的横坐标， 在同一坐标系内作出函数()y f x =的图象与直线y a =，如图，观察图象知，当0a >时，1214x x <<<，C 正确； 对于D ，当904a −<<时，12254(4,)4x x a =−∈，D 正确.故选：B8. 已知[]x 表示不超过x 的最大整数，集合[]{}03A x x =∈<<Z ，()(){}2220Bx xax x x b =+++=，且 R A B ∩=∅ ，则集合B 的子集个数为（ ）．A. 4B. 8C. 16D. 32【答案】C 【解析】【分析】由新定义及集合的概念可化简集合{}1,2A =，再由()A B ∩=∅R 可知A B ⊆，分类讨论1,2的归属，从而得到集合B 的元素个数，由此利用子集个数公式即可求得集合B 的子集的个数. 【详解】由题设可知，[]{}{}Z |31,2A x x =∈<<=，又因为()A B ∩=∅R ，所以A B ⊆， 而()(){}22|20B x xax x x b =+++=，因为20x ax 的解为=0x 或x a =−，220x x b ++=的两根12,x x 满足122x x +=−， 所以1,2分属方程20x ax 与220x x b ++=的根，若1是20x ax 的根，2是220x x b ++=的根，则有221+1=02+22+=0a b × × ，解得=1=8a b −− ， 代入20x ax 与220x x b ++=，解得=0x 或=1x 与=2x 或4x =−，故{}0,1,2,4B=−；若2是20x ax 的根，1是220x x b ++=的根，则有222+2=01+21+=0a b × × ，解得=2=3a b −− ，代入20x ax 与220x x b ++=，解得=0x 或=2x 与=1x 或3x =−，故{}0,1,2,3B=−；所以不管1,2如何归属方程20x ax 与220x x b ++=，集合B 总是有4个元素， 故由子集个数公式可得集合B 的子集的个数为42=16. 故选：C二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9. 已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为(1,6)−，则（ ） A. 0a < B. 不等式0ax c +>的解集是{|6}x x > C. 0a b c ++< D. 不等式20cx bx a −−<的解集为11(,)32【答案】BC 【解析】【分析】利用一元二次不等式的解集用a 表示,b c ，再逐项分析判断即得.【详解】对于A ，由不等式20ax bx c ++<的解集为(1,6)−，得1,6−是方程20ax bx c ++=的两个根，且0a >，A 错误；对于B ，16,16b ca a−+=−−×=，则5,6b a c a =−=−， 不等式0ax c +>，即60ax a −>，解得6x >，B 正确； 对于C ，56100a b c a a a a ++=−−=−<，C 正确；对于D ，不等式20cx bx a −−<，即2650ax ax a −+−<，整理得()()31210x x −−>，解得13x <或12x >，D 错误. 故选：BC10. 已知x y 、都是正数，且满足2x y +=，则下列说法正确的是（ ）A. xy 的最大值为1B.+的最小值为2C. 11x y+的最小值为2D. 2211x y x y +++的最小值为1【答案】ACD【解析】【分析】根据给定条件，借助基本不等式及“1”的妙用逐项计算判断即得.【详解】对于A ，由0,0x y >>，2x y +=，得2()12x y xy +≤=，当且仅当1xy ==时取等号，A 正确；对于B2+≤，当且仅当1xy ==时取等号，B 错误； 对于C，1111111()()(2)(22222y x x y x y x y x y +=++=++≥+=， 当且仅当1xy ==时取等号，C 正确； 对于D ，222211111111111111x y x y x y x y x y x y −+−++=+=−++−+++++++ 11111111[(1)(1)]()(2)11411411y x x y x y x y x y ++=+=++++=++++++++1(214≥+=，当且仅当1111y x x y ++=++，即1x y ==时取等号，D 正确. 故选：ACD11. 用()C A 表示非空集合A 中元素的个数，定义()()()()()()()(),,C A C B C A C B A B C B C A C A C B −≥ ∗=−< ，已知集合222{0},{R |()(1)0}A x x x B x x ax x ax =+==∈+++=|，则下面正确结论正确的是（ ）A. a ∃∈R ，()3C B =B. a ∀∈R ，()2C B ≥C. “0a =”是“1A B ∗=”的充分不必要条件D 若{}R1S a A B =∈∗=∣，则()4C S = 【答案】AC 【解析】【分析】根据集合新定义，结合一元二次方程，逐项分析判断即可. 【详解】对于A ，当2a =时，{}0,2,1B =−−，此时()3C B =，A 正确；对于B ，当0a =时，{}0B =，此时()1C B =，B 错误；.对于C ，当0a =时，{}0B =，则()1C B =，而{}0,1A =−，()2C A =，因此1A B ∗=；当1A B ∗=时，而()2C A =，则()1C B =或3，若()1C B =，满足2Δ40a a ==−< ，解得0a =； 若()3C B =，则方程20x ax 的两个根120,x x a ==−都不是方程210x ax ++=的根，且20Δ40a a ≠ =−=，解得2a =±，因此“0a =”是“1A B ∗=”的充分不必要条件，C 正确； 对于D ，由1A B ∗=，而()2C A =，得()1C B =或3，由C 知：0a =或2a =±，因此{}0,2,2S =−， 3C S ，D 错误.故选：AC三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12. 已知集合{}A x x a =<，{}13B x x =<<，若A B B = ，则实数a 的取值范围是______．【答案】3a ≥ 【解析】【分析】根据给定条件，利用交集的定义，结合集合的包含关系求解即得.【详解】由A B B = ，得B A ⊆，而{}A x x a =<，{}13B x x =<<，则3a ≥，所以实数a 的取值范围是3a ≥. 故答案：3a ≥13.若一个直角三角形的斜边长等于，当这个直角三角形周长取最大值时，其面积为______． 【答案】18 【解析】【分析】由题意画出图形，结合勾股定理并通过分析得知当()2722AB AC AB AC +=+⋅最大值，这个直角三角形周长取最大值，根据基本不等式的取等条件即可求解. 【详解】如图所示：为在Rt ABC △中，90,A BC ==而直角三角形周长l AB BC CA AB CA =++=++，由勾股定理可知(222272AB CA BC +===，若要使l 最大，只需+AB AC 即()2222722AB AC AB AC AB AC AB AC +=++⋅=+⋅最大即可， 又22272AB AC AB AC ⋅≤+=，等号成立当且仅当6AB AC ==， 所以()2722144AB AC AB AC +=+⋅≤，12AB AC +≤，12l ≤+， 等号成立当且仅当6AB AC ==， 此时，其面积为11661822S AB AC =⋅=××=. 故答案为：18.14. 若不等式22x x a ax +−>+对(]0,1a ∀∈恒成立，则实数x 取值范围是______． 【答案】(]),2∞∞−−∪+【解析】【分析】根据主元法得()2120x a x x +−−+<对(]0,1a ∀∈恒成立，再利用一次函数性质即可得到答案.【详解】由不等式22x x a ax +−>+对(]0,1a ∀∈恒成立， 得()2120x a x x +−−+<对(]0,1a ∀∈恒成立，令()()212g a x a x x =+−−+，得22(0)20(1)120g x x g x x x =−−+≤ =+−−+< ， 解得(]),2x ∈−∞−+∞，∴实数x的取值范围是(.故答案为：(]),2∞∞−−∪+.四、解答题（本题共3小题，共47分）15. 设集合U =R ，{}05Ax x =≤≤，{}13B x m x m =−≤≤． （1）3m =，求()U A B ∪ ；（2）若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求m 的取值范围．的【答案】（1）{|5x x ≤或}9x > （2）12m <−或513m ≤≤. 【解析】【分析】（1）根据 集合的补集定义以及集合的交集运算，即可求得答案；（2）依题意可得B A ，讨论集合B 是否为空集，列出相应的不等式，即可求得结果. 【小问1详解】当3m =时，可得{}|29B x x =≤≤，故可得{|2U B x x =< 或}9x >，而{}|05A x x =≤≤， 所以(){|5U A B x x ∪=≤ 或}9x >. 【小问2详解】由“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件可得B A ； 当B =∅时，13m m −>，解得12m <−，符合题意； 当B ≠∅时，需满足131035m m m m −≤−≥ ≤，且10m −≥和35m ≤中的等号不能同时取得，解得513m ≤≤； 综上可得，m 的取值范围为12m <−或513m ≤≤. 16. （1）已知03x <<，求y =的最大值； （2）已知0x >，0y >，且5x y xy ++=，求x y +的最小值； （3）解关于x 的不等式()2330ax a x −++<（其中0a ≥）． 【答案】（1）92；（2）2+；（3）答案见解析 【解析】【分析】（1）化简得y，再利用基本不等式即可；（2）利用基本不等式构造出252x y x y + ++≤，解出即可；（3）因式分解为(3)(1)0ax x −−<，再对a 进行分类讨论即可.【详解】（1）()229922x x y +−=≤=，当且仅当229x x =−，即229x x =−，即x =时等号成立.则y =的最大值为92. （2）因为 0,0x y >>, 且 5x y xy ++=, 则252x y x y xy + ++≤，解得2x y +≥ 或 2x y +≤−（舍去），当且仅当1x y ==时等号成立，则x y +的最小值为2+.（3）不等式()2330ax a x −++<化为(3)(1)0ax x −−<，（其中0a ≥）， 当0a =时，解得1x >；当0a >时，不等式化为3()(1)0x x a−−<，若0<<3a ，即31a>，解得31x a <<；若3a =，x 无实数解； 若3a >，即31a <，解得31x a<<， 所以当0a =时，原不等式的解集为{|1}x x >； 当0<<3a 时，原不等式的解集为3{|1}x x a<<； 当3a =时，原不等式的解集为∅； 当3a >时，原不等式的解集为3{|1}x x a<<. 17. 已知方程()220,x mx n m n −+−=∈R（1）若1m =，0n =，求方程220x mx n −+−=的解；（2）若对任意实数m ，方程22x mx n x −+−=恒有两个不相等的实数解，求实数n 的取值范围；（3）若方程()2203x mx n m −+−=≥有两个不相等的实数解12,x x ，且()2121248x x x x +−=，求221221128x x x x x x +−+的最小值． 【答案】（1）2x =或1−；（2）2n <（3）【解析】【分析】（1）由题意得到220x x −−=，求出方程的根；（2）由根的判别式大于0得到()21124n m <++，求出()211224m ++≥，从而得到2n <； （3）由韦达定理得到1212,2x x m x x n +==−，代入()2121248x x x x +−=中得到24m n =，结合立方和公式化简得到2212211288328x x m x x x x m m m+−=−++−，令8t m m =−，由单调性得到81333t −=≥，结合基本不等式求出22122112832x x t x x x x t +−=+≥+，得到答案. 【小问1详解】1m =，0n =时，220x x −−=，解得2x =或1−；【小问2详解】()222120x mx n x x m x n −+−=⇒−++−=，故()()2Δ1420m n =+−−>，所以()21124n m <++， 其中()211224m ++≥，当且仅当1m =−时，等号成立， 故2n <；【小问3详解】()2203x mx n m −+−=≥有两个不相等的实数解12,x x ，()2Δ420m n =−−>，由韦达定理得1212,2x x m x x n +==−，故()2212124488x x x x m n +−=−+=，所以24m n =，此时80∆=>， 所以()()2222331211221212211212121212888x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +−+++−=−=−+++ ()()()221212121212336882x x x x x x m m n x x x x n m ++−−+ −=−+−，因为24m n =， 所以2222122221126284488883282244m m m m x x m m m x x x x m m m m m +−+ +−=−=−=−++−−−， 令8t m m =−，其在3m ≥上单调递增，故81333t −=≥，故22122112832x x t x x x x t +−=+≥+ 当且仅当32t t=，即=t 时，等号成立， 故221221128x x x x x x +−+的最小值为【点睛】关键点点睛：变形得到2212211288328x x m x x x x m m m+−=−++−，换元后，由函数单调性和基本不等式求最值.。
吉林长春10所公立初中排行榜
吉林长春10所公立初中排行榜长春市的公立中学top10(以下学校排名不分先后)一：东北师范大学附属中学1、东北师大附中明珠学校(中学)位置：人民大街9000号房价：学校目前处于退公阶段，学区房很贵，达到14000元/平。
学校在人民大街上，附近基本没有新盘，多为长春明珠、长春豪园、民航花园、万豪汇景新城等比较高档的老小区。
二手房平均价格在8000元/平，甚至更高。
简介：东北师范大学附属中学创建于1950年，涵盖幼儿园、小学、初中、高中等多个学部，现有自由、青华、明珠、净月等多个校区，是东北三大高中之一，全国知名重点中学。
作为吉林省的一张名片，同时有东北师范大学名校的光环，附中在师资力量、教学质量、硬件设施上，“上师大附中”也被视为上大学的象征。
二：吉林省第二实验学校1.吉林省二实验房价：南湖校区附近都是年头老旧的楼房，学区房均价过15000元，面积越小单价越高。
位置：南湖中街421号简介：吉林省第二实验学校始建于1984年，分为中、小学两部，是吉林省教育厅直属的省级重点实验学校，也是的一所隶属于吉林省教育委员会的小学、初中九年一贯制的学校。
学校分为南湖、高新、远洋三个校区，曾连续三年高考考出状元。
三、吉林大学附属中学1.吉林大学前卫校区(初中)位置：朝阳区解放大路2519号房价：学校没有学区，初中只接收吉大子弟。
如果陪读，周边有天安第一城、保利罗兰香谷、大禹城邦、融创上城等楼盘，价格在8000元/平以上。
2.吉林大学附属中学慧谷学校位置：高新区南部，北至创意北路，南至创意路，西至超强西街，东至超强街学区范围：铖裕香榭湾小区、澳海澜庭小区、昂展公园里小区、雍景家园小区、澳海澜苑小区、伟业富强天玺小区、天茂湖小区、恒大雅苑小区、东地天澜小区、南郡水云天三号小区。
房价：附近新楼盘有恒大雅苑、东地天澜。
恒大雅苑为精装修，均价7500元/平以上，东地天澜均价也要6000元/平以上。
简介：吉林大学附属中学创建于1989年，是吉林省内一流的初级中学、吉林大学的重要组成部分。
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东北师大附中2006—2007学年度上学期高三年级第一次质量检测地理本试卷分为第Ⅰ卷（选择题45分），第Ⅱ卷（非选择题55分）；两部分考试时间：90分钟试卷满分：100分.注意：1．第Ⅰ卷的答案用2B铅笔涂在答题卡上，第Ⅱ卷的答案写在答题纸上的指定处，写错地方或写在试题卷上无效。
2．答题前，考生务必将自己的“班级”、“学号”、“姓名”写在答题卡和答题纸上。
3．考试结束后，只交答题卡和答题纸。
第Ⅰ卷一、单项选择题（每题只有一个正确选项，答对每题得1.5分，共45分）1．关于太阳高度的正确叙述是（）A．处于白昼各地太阳高度都大于0度B．晨昏线上，太阳高度小于0度C．地球上不存在一天中太阳高度不发生变化的地点D．纬度高的地方太阳高度总是较大2．公元前28年（即汉成帝河平元年），曾记载“三月正未，日出黄，有黑气大如钱，居日中央”，这种现象发生在太阳大气层的（）A．光球B．色球C．日冕D．中心核3．图1中，不能正确表示地球自转方向的是（）（图1）4．下表所列的是12月22日甲、乙、丙、丁四地的白昼时间，根据表中数据判断，位于南 半球的是（ ）A ．甲地B ．乙地C ．丙地D ．丁地下图是我国某地6月22日太阳高度的日变化示意图（图2）（未考虑海拔等因素）。
据此回答5—6题。
（图2）5．该地的地理坐标为（ ）A ．30°N ，90°EB ．16°52′N ，105°EC ．23°26′N ，120°ED ．36°52′N ，150°E 6．此地最高气温一般出现在北京时间 （ ）A ．12：00B ．13：00C ．14：00D ．16：00读地球某日的光照示意图（图3），此时太阳直射点为A 7．此时C 点的地方时是 A ．12时 B ．17时 C ．18时 D ．19时 8．D 点的正午太阳高度为（ ） A ．0° B ．23°26′ C ．46°52′D ．66°34′9．此日往后的三个月内，下列说法正确的是 （ ） A ．地球在公转轨道上的运动速度将由快变慢再变快 B ．北京正午射进屋内的阳光面积由一年中最大值逐渐减小 C ．夏威夷高压势力正处在强盛期D ．我国长江中下游地区正值梅雨期10．一条河流，其上游南岸冲刷厉害，而北岸有沙洲形成，其下游北岸冲刷厉害，南岸入海处形成河口三角洲，则此河的位置与流向与下列图示（图4）相吻合的是 （ ）图(5)① ② ③ ④ A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．②③11．下面为四幅等高线分布图（图5），等高距皆为50米，比例尺分别为1∶10 000、 1∶20 000、1∶30 000、1∶40 000，则其坡度由大到小的排序是 （ ）A ．①＞②＞③＞④B ．②>③＞①＞④C ．①＞④＞③＞②D ．④＞①＞②＞③12．图6是一幅经纬网图，在ABCD 四点中，最早沐浴到新世纪阳光的（ ）（图6）A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点13．读下面太阳直射点移动示意图（图7）， 判断（ ） A ．长春的昼在a 段渐长，D 点最长 B ．悉尼的夜在c 、d 段渐长，C 点最长C ．北半球的极昼在a 段扩大，d 段缩小D ．南半球在a 、b 两段都是昼长于夜当北纬80°及以北的地区出现极夜时，据此回答14—15题。
14．一同学在北半球某地图示时间内，利用日影测量当地经纬度，当竖直的竹竿影子朝正北时，正好是北京时间12：20，日影与竹竿等长，则该地的地理坐标是 （ ） A ．120°E ，45°N B ．115°E ，35°N C ．120°E ，35°N D ．115°E ，45°N15．如果这一天，甲、乙、丙、丁四地的正午太阳高度分别为80°、60°、40°、20°，那么就纬度位置而言 （ ）图(4)图A．甲地可能在南半球也可能在北半球B．如果乙、丙在同一半球，则丙地纬度可能高于也可能低于乙地C．乙地自转线速度可能小于也可能等于甲地D．丁地肯定在寒带范围之内16．地球上最主要的能量来源是（）A．大气辐射B．地面辐射C．太阳辐射D．地热17．关于逆温现象的叙述，正确的是（）A．盆地底部，白天容易出现逆温B．逆温出现时，对流运动将会增强C．逆温出现时，气温随海拔升高会增高D．逆温出现时，气温垂直递减率会变大读“我国部分地区气压分布图”（图9）单位（hPa），回答18—20题：（图9）18．此气压分布图最有可能出现在（）A．隆冬季节B．冬春之交C．春末夏初D．秋末冬初19．此时，上海的风向是（）A．东北风B．偏南风C．偏东风D．西北风20．此时北京地区的气压与山东半岛气压相比（）A．北京地区的值气压可能比山东半岛的大6hPaB．北京地区的值气压可能比山东半岛的至少大1hPaC．两处可能相等D．北京地区的值气压可能比山东半岛的小3hPa21．南亚热带季风的成因是（）①气压带和风带的季节移动②海陆热力性质差异③反气旋与气旋的交替控制④季风洋流的影响A．①②B．③④C．①③D．②④读图10，甲地的月均温及降水量的分布图，分析判断22—23题。
22．甲地所在半球及气候类型是（）A．北半球的地中海气候B．北半球的热带季风气候C．南半球的热带草原气候D．南半球的热带雨林气候（图10）23．甲地可能分布在（图11）中哪个地区（）（图11）图1224—25题。
24．该地在本月中旬经历了（）A．快行冷锋B．慢行冷锋C．暖锋D．准静止锋25．历经此次天气系统过境，该地气温变化值约为（）A．9.2℃B．3℃C．8℃D．6.2℃26．有关臭氧层的说法，正确的是（）A．臭氧层遭破坏，使到达地面的可见光增加，地表热带范围扩大B．使用冰箱、空调释放大量氟氯烃化合物，破坏了臭氧层C．臭氧主要分布在对流层，易被破坏D．南极臭氧空洞使南极冰川融化速度明显加快27．读高空等压面图（图13），判断下列说法正确的是（）（图13）A．图中４点的气压①＜②＜③＜④ B．甲地多晴朗天气C．甲地温度高于乙地D．近地面气流由甲地流向乙地28．下列气压带、风带容易产生降水的是（）①极地高气压带②赤道低气压带③盛行西风带④副热带高气压带⑤信风带⑥副极地低气压带⑦极地东风带A．①②③⑤ B．②④⑤⑥C．②⑤⑥⑦D．②③⑥29．关于今年我国台风偏多的原因叙述中，正确的是（）A．赤道辐合带异常活跃B．赤道地区对流偏弱C．南方地区植被破坏严重D．副高势力偏弱30．按图14的顺序，下列气候类型的排序正确的是（）（图14）A．热带草原气候、热带雨林气候、温带大陆性气候、亚热带季风气候B．地中海气候、热带雨林气候、温带季风气候、亚热带季风气候C．亚热带季风气候、热带雨林气候、温带季风气候、地中海气候D．地中海气候、热带季风气候、温带季风气候、温带季风气候第Ⅱ卷二、综合题（4小题，共55分）31．图15为局部经纬网图上的晨昏线示意图。
读图回答：（10分）（图15）（1）当AB为晨线的一段时，此日是前后，判断理由。
（2）当CB为昏线的一段时，此日太阳直射点的纬度位置是。
（3）当AB为昏线的一段时，此时全球昼夜长短的分布规律为___________________________________________________________________________。
（4）当北京时间为8点整时，CB是__________线的一段。
32．下图（图16）中，箭头表示地球自转的方向，阴影部分表示黑夜，图中的度数分别表示地球上的经度与纬度。
读图完成下列要求：（13分）Array（1）这一天，深圳、北京、海口、重庆四地正午时，相同高度物体的影子由短到长的排列顺序是：________。
（2）图中各点，昼长是12小时的点是____________。
（3）如果A点为22日，那么日期为21日的区域为______________。
（4）请在下图（图17）中，请绘出指定的20℃的等温线，用来描述此时北半球海陆气温分布的规律。
并请说出等温线如此弯曲的原因_____________________________________________________________。
33．读“我国东部地区一般年份夏季风的进退情况示意图”（图17），回答下列问题：（20分）（图17）（1）A 地区的雨季每年一般起于 月，止于 月。
（2）B 地区每年7、8月份一般会出现“ ”天气。
（3）图中C 、D 两地区的气候类型为_______，气候特点为________________________。
（4）在夏季风势力强盛的年份，往往会 造成我国南北方的 （灾害）。
（5）图19为图18中B 处局部等高线示意图。
a 、b 为到A 村的两条引水线路，合理的是____，原因是_____________。
（6）如（5）题所给的信息，图19的B 、 C 处，降水较多的是_________，原因是________________________________________。
34．读下面沿某经线绘制的大气环流局部示意图（图20），回答：（12分）（图19）（图18）（图20）（1）该图表示北半球________季的大气环流状况，判断理由是_____________ _________________________________。
（2）此时北半球海陆分布对大气环流的影响为__________________________ _________________________________________________________________。
（3）A地近地面风向为______________，用锋面知识解释E处空气上升的原因______________________________________________________________。
（4）B和C交替控制形成的气候类型的气候特点是___________________。
参考答案一、选择题1—5：AADDA 6—10：DADBB 11—15：ACBBC 16—20：CCCBA 21—25：ACDCB26—30：BCDAB二、综合题（共55分）31．（10分）（1）12月22日北极圈及其以北出现了极夜现象（2）23°26′S（3）北极圈及其以北出现极昼现象，南极圈及其以南出现极夜，自北极圈向南极圈昼渐短、夜渐长（北半球昼长夜短，南半球昼短夜长）（4）昏32．（13分）（1）深圳、海口、重庆、北京（2）A （3）120°W向西到180°（4）陆地向北凸由于海陆地热力性质的差异，此时为北半球的夏季，陆地增温快，与由同纬度海洋比气温高。