数学建模复习内容
山东省考研数学复习资料数学建模重点知识点
山东省考研数学复习资料数学建模重点知识点一、引言数学建模是考研数学科目的重要部分，它要求我们能够将数学知识应用于实际问题的建模与求解。
为了帮助大家更好地复习数学建模，本文将介绍山东省考研数学复习资料中数学建模的重点知识点。
二、数学建模的基本概念1.1 建模的定义建模是将实际问题抽象为数学问题的过程。
在建模中，我们需要明确问题的目标、已知条件和限制条件，然后根据问题的特点选择数学模型，并进行求解和分析。
1.2 建模的步骤(1) 理解问题：对于给定的实际问题，我们需要全面地了解问题的背景和条件，明确问题的需求。
(2) 建立模型：根据问题的特点和需求，选择适合的数学模型，将实际问题转化为数学问题。
(3) 求解模型：利用数学方法对建立的模型进行求解，得出问题的解。
(4) 模型验证：将模型得到的解与实际问题进行对比，验证模型的有效性和准确性。
三、数学建模的重点知识点2.1 数理统计数理统计是数学建模中应用广泛的一个分支，它涉及到概率论、数理统计方法、假设检验等方面的知识。
(1) 概率论基础：包括随机变量、概率分布、期望、方差等概念及其性质，以及常见的概率分布如正态分布、二项分布、泊松分布等。
(2) 数理统计方法：包括参数估计、假设检验、方差分析等统计推断的方法，以及最大似然估计、贝叶斯估计等常用的估计方法。
(3) 数据分析与建模：包括数据的整理与描述、数据可视化、回归分析、时间序列分析等内容，重点掌握数据处理和模型拟合的方法。
2.2 运筹学与优化方法运筹学与优化方法是数学建模中常用的数学方法之一，它主要应用于决策问题、资源分配问题、生产调度问题等。
(1) 线性规划：重点理解线性规划的基本概念，包括目标函数、约束条件、可行域等，熟悉线性规划的图形解法和单纯形法的基本步骤。
(2) 整数规划：了解整数规划与线性规划的区别，掌握常见的整数规划方法和算法，如分支定界法、割平面法等。
(3) 动态规划：掌握动态规划的基本原理和应用，熟悉最短路径问题、最优化问题等的动态规划求解方法。
数学建模部分概念期末复习
数学建模部分定义概念第一章1.1实践、数学与数学模型一、相关概念（特定对象特定目的特有内在规律）1. 原型：客观存在的各种研究对象。
既包括有形的对象，也包括无形的、思维中的对象，还包括各种系统和过程等2. 模型：为了某个特定的目的，将原型的某一部分信息简缩，提炼而构造的整个原型或其部分或其某一层面的替代物。
3. 原型与模型的关系：原型是模型的前提与基础，模型是原型的提炼与升华。
原型有各个方面和各个层次的特征，而模型只要求反映与某些目的有关的那些方面和层次。
二、什么是数学模型（Mathematical Model对于现实世界中的一个特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
广义上讲，数学模型是指凡是以相应的客观原型作为背景，加以一级抽象或多级抽象的数学概念、数学式子、数学理论等都叫数学模型。
狭义上讲，数学模型是指那些反映特定问题或特定事物的数学符号系统。
（我们所指的数学模型是指狭义上的数学模型）数学模型不是原型的复制品，而是为了一定的目的，对原型所作的一种抽象模拟。
它用数学算式、数学符号、程序、图表等刻画客观事物的本质属性与内在关系，是对现实世界的抽象、简化而有本质的描述，它源于现实又高于现实三、什么是数学建模数学建模是指应用数学的方法解决某一实际问题的全过程。
包括：（1 ）对实际问题的较详细的了解、分析和判断;（2 ）为解决问题所需相关数学方法的选择;（3 ）针对实际问题的数学描述,建立数学模型;（4 ）对数学模型的求解和必要的计算;（5 ）数学结果在实际问题中的验证;（6 ）将合理的数学结果应用于实际问题之中,从而解决问题。
四数学建模流程图（参见教材上册P14 ）1 实际问题2 抽象、简化、假设，确定变量和参数3 根据某种“定律”或“规律”建立变量和参数间的一个明确的数学关系，即在此简化阶段上构造数学模型4 解析地或近似地求解该数学模型5 用实际问题的实测数据等来解释、验证该数学模型（若不通过，返回第2 步）6 投入使用，从而可产生经济、社会效益完美的图画--- 黄金分割黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1:0.618 或1.618:1 ，即长段为全段的0.618 。
数学模型复习知识点
内在规律，做出一些必要的简化假设，还用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
2.数学模型的一般步骤：模型准备、模型假设、模型的构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用。
3.数学建模的过程描述：表述、求解、解释、验证几个阶段。
并且通过这些阶段阶段完成从现实对象到数学模型，再从数学模型到现实兑现的循环。
4.量纲其次原则：以若干物理量为基本量纲，运用物理学公式，对相关的物理问题求解，用数学公式表示一些物理量之间的关系时，公式等号两端必须有相同的量纲。
5.量纲分析：就是利用量纲其次原则建立的物理量之间的数学模型。
6.层次分析法的基本步骤：建立层次结构模型、构造成对比较矩阵、计算权向量并做一致性检验、计算组合权向量并做组合一致性检验。
7.模型的逼真性：即为根据客观事物的特性，作出能真实反映其内部机理，较直观模型的可行性：即根据内部机理的数量规律，通过对数据的测量和统计分析，按照一定准侧做出的与数据拟合最好的模型。
模型的逼真性和可行性相辅相成，只有相互依存，才能使模型构成的更好。
8.（效用函数）无差别曲线：描述甲对物品x和y的偏爱程度，如果占有x1数量的x和y1数量和占有x2的x和y2的y，对甲某来说是同样满足的话，称p2和p1对甲是无差别的。
9.无差别曲线的特点：无差别曲线有无数条、无差别曲线是下凸的、单调的、互不相交的。
10.对无差别曲线做下凸形状作如下解释：当人们占有的x较少时，人们宁愿用较多的△y 换取较少的△x，当人们占有较多的△x时，人们愿意用较多的△x换取较少的△y满足这种特性的曲线是下凸的。
11.数学规划模型属于多元函数的条件极值问题的范围，其决策变量个数n和约束条件个数一般较大，并且最优解往往在可行域的边界上取得，数学规划是解决这类问题的有效方法。
分类：①线性规划②非线性规划③整数规划12.数学建模的重要意义：①在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地。
②在高新技术领域，数学模型几乎是必不可少的工具。
专题七 数学建模 2023高考数学二轮复习课件
角度一 指数、对数运算模型
【例1】 某人喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.8 mg/mL，此
时他停止饮酒，其血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少，经过n小
时后他血液中的酒精含量在0.2 mg/mL以下，则n的最小整数值为(参考数
据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
(B )
cos 45°＝22ar＝22ab＝ 22，即ba＝ 22，故离心率 e＝ac＝ 故选 B.
1－ba2＝
1－12＝
2 2.
目录
02
类型2 构造新模型求解
目录
角度一 构造函数模型
【例4】 f(x)在(0，＋∞)上的导函数为f′(x)，xf′(x)＞2f(x)，则下列不等式成
立的是
(A)
A．2 0212f(2 022)＞2 0222f(2 021)
以下，所以 n 的最小值为 7，故选 B.
目录
|技法点拨| 先计算出100 mL血液中酒精含量，再构建指数型函数模型，根据 n小时后血液中酒精含量列出不等式即可求解．
目录
在流行病学中，基本传染数是指每个感染者平均可传染的人数．当基本传染
数高于 1 时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病
B．2 0212f(2 022)＜2 0222f(2 021)
C．2 021f(2 022)＞2 022f(2 021)
D．2 021f(2 022)＜2 022f(2 021)
目录
解析
令
g(x)
＝
f（x） x2
(x>0)
，
则
g′(x)
＝
x2f′（x）－2xf（x） x4
＝
数学建模复习题
数学建模复习题一、引言在数学建模课程中，复习题是巩固知识、提高解题能力的有效方法。
本文将围绕数学建模复习题展开讨论，涵盖模型选择、建模方法、求解策略等方面，以帮助读者系统地进行复习。
二、模型选择解决实际问题的数学建模过程，首先要选择适当的数学模型。
在复习中，我们可以从典型模型出发，将问题转化为已有的模型类型，借鉴解决方法、技巧。
同时，我们也要注意问题的特殊性，不局限于典型模型，而是根据问题的特殊要求，进行模型的自由选择。
三、建模方法在建模过程中，选择合适的方法是非常重要的。
数学建模的方法多种多样，如线性规划、动态规划、图论等。
复习时，我们需要回顾各类方法的基本原理，了解其适用范围和解题步骤。
同时，还要学会综合应用不同方法，构建多层次、多角度的模型。
四、求解策略解决复杂问题，需要合理的求解策略。
在复习中，我们要加强对不同求解策略的理解和实践。
比如，对于线性规划问题，我们可以采用单纯形法、内点法等不同的算法；对于图论问题，我们可以使用深度优先搜索、广度优先搜索等算法。
通过掌握不同求解策略，可以更高效地解决实际问题。
五、概念定义和定理证明数学建模不仅仅是应用数学工具，还涉及到概念的定义和定理的证明。
在复习过程中，我们应该对各个概念的定义进行梳理和总结，理解其内涵和外延。
同时，对于重要的定理，要复习其证明思路和关键步骤，增强理论的掌握和运用能力。
六、优秀范例分析复习中，我们可以参考一些经典的数学建模范例，学习其中的解题思路和方法。
通过分析优秀范例，可以更好地理解模型构建和求解的过程。
同时，还可以从范例中寻找共性和规律，为解决其他问题提供启示。
七、实战训练在复习过程中，实战训练是非常重要的环节。
通过解答大量的数学建模复习题，我们可以提高问题分析和解决的能力。
在实战训练中，要注重理论与实际的结合，培养灵活运用知识的能力，提升解题的效率和质量。
八、总结与展望通过对数学建模复习题的系统复习，我们可以更好地理解和掌握数学建模的基本原理和方法。
(完整版)数学建模复习内容带习题答案
考试内容分布：1、线性规划2题，有1题需编程；2、非线性规划2题，有1题需编程；3、微分方程1题，需编程；4、差分方程2题，纯计算，不需编程；5、插值2题，拟合1题，纯计算，不需编程；；6、综合1题(4分)，纯计算，不需编程。
一、列出下面线性规划问题的求解模型，并给出matlab计算环境下的程序1.某车间有甲、已两台机床，可用于加工三种工件，假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400,600和500，且已知用两种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。
问怎样分配车床的加工任务，才能即满足加工工件的要求，又使加工费用最低。
（答案见课本P35, 例1）2.有两个煤厂A,B，每月进煤分别不少于60t、100t，它们负责供应三个居民区的用煤任务，这三个居民区每月需用煤分别为45t, 75t, 40t。
A厂离这三个居民区分别为10km, 5km, 6km，B厂离这三个居民区分别为4km, 8km, 15km，问这两煤厂如何分配供煤，才能使总运输量最小？(1)问题分析设A煤场向这三个居民区供煤分别为x1,x2,x3;B煤场向这三个居民区供煤分别为x4,x5,x6，则min f=10*x1+5*x2+6*x3+4*x4+8*x5+15*x6，再根据题目约束条件来进行解题。
(2) 模型的求解>> f=[10 5 6 4 8 15];>> A=[-1 -1 -1 0 0 00 0 0 -1 -1 -1-1 0 0 -1 0 00 -1 0 0 -1 00 0 -1 0 0 -1];>> b=[-60;-100;-45;-75;-40];>> Aeq=[];>> beq=[];>> vlb=zeros(6,1);>> vub=[];>> [x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)Optimization terminated.(3) 结果分析x =0.0000 20.0000 40.0000 45.0000 55.0000 0.0000 fval = 960.0000即A 煤场分别向三个居民区供煤0t,20t,40t ；B 煤场分别向三个居民区供煤45t,55t,0t 可在满足条件下使得总运输量最小。
数学建模复习资料
（题号前有*的老师没给答案的）一、简答题 6*10=60分1. 什么是数学模型？数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构．简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律．*2. 什么是数学建模？数学建模就是构造数学模型的过程，即用数学的语言——公式、符号、图表等刻画和描述一个实际问题，然后精经过数学的处理——计算、迭代等得到定量的结果，以供人们作分析、预报、决策和控制。
3. 简述数学模型的分类？按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型、扩散模型等． 按研究对象的实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等．4. 请给出最小生成树的定义与Kruskal 算法的内容。
最小生成树： 在赋权图G 中，求一棵生成树，使其总权最小，称这棵生成树为图G 的最小生树.Kruskal 算法思想及步骤：Kruskal （1959）提出了求图的最小生成树的算法，其中心思想是每次添加权尽量小的边，使新的图无圈，直到生成一棵树为止，便得最小生成树，其算法步骤如下：（1）把赋权图G 中的所有边按照权的非减次序排列；（2）按（1）排列的次序检查G 中的每一条边，如果这条边与已得到的边不产生圈， 这一条边为解的一部分.（3）若已取到n-1条边，算法终止，此时以V 为顶点集，以取到的1 n 条边为边集的图即为最小生成树.5. 适合于计算机仿真的问题有哪些？在下列情况中，计算机仿真能有效地解决问题：(1) 难以用数学表示的系统，或者没有求解数学模型的有效方法；(2) 虽然可以用解析的方法解决问题，但数学的分析与计算过于复杂，这时计算机仿真可能提供简单可行的求解方法；(3) 希望能在较短的时间内观察到系统发展的全过程，以估计某些参数对系统行为的影响；(4) 难以在时间环境中进行实验和观察时，计算机仿真是唯一可行的方法，例如太空飞行的研究；(5) 需要对系统或过程进行长期运行的比较，从大量方案中寻找最优方案。
数学建模与数学实验 复习范围
数学建模与数学实验复习范围: 题型为:简答题、建模计算题和编写程序。
1. 数学建模的步骤和模型按照表现特性的分类。
（1）数学建模步骤：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用、（2）模型按照表现特性分类：确定性模型和随机性模型、静态模型和动态模型、线性模型和非线性模型、离散模型和连续模型2. 人口模型：要求（1）指数增长模型的建立及求解（2）阻滞增长模型的建立.（1）指数增长模型的建立及求解：设t 时刻的人口为)(t x ，经过一段短的时间t ∆后，在t t ∆+时刻，人口数量变化为)(t t x ∆+。
由基本假设，在这段短的时间t ∆内，人口数量的增加量应与当时的人口)(t x 成比例，不妨设比例系数为0r ，即t ∆内人口的增量可写为t t x r t x t t x ∆=-∆+)()()(0等式两边同除以t ∆，当0→∆t 时)()()(lim00t x r t t x t t x t =∆-∆+→∆ 等号的左边即是导数t x d d ，已知初始时刻人口数量为0x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==00)0()(d d x x t x r t x (2.2) 就是描述人口随时间变化的带初始条件的微分方程。
用分离变量法求解，得t r x t x 0e )(0=（2）阻滞增长模型的建立：由于自然资源的约束，人口存在一个最大容量m x 。
增长率不是常数，随人口增加而减少。
它具有以下性质：当人口数量)(t x 很小且远小于m x 时，人口以固定增长率0r 增加；当)(t x 接近m x 时，增长率为零。
0r 和m x 可由统计数据确定。
满足上述性质的增长率可以写作)1()(0mx x r x r -= (2.4)这样Malthus 模型公式(2.2)变为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=00)0()1(d d x x x x x r t x m (2.5) 称为阻滞增长模型或Logistic 模型。
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考试内容分布： 1、 线性规划2题，有1题需编程； 2、 非线性规划2题，有1题需编程； 3、 微分方程 1题，需编程；
4、 差分方程2题，纯计算，不需编程；
5、 插值2题，拟合1题，纯计算，不需编程；；
6、
综合1题(4分)，纯计算，不需编程。
一列出下面线性规划问题的求解模型，并给出matlab 计算环境下的程序
1. 某车间有甲、已两台机床，可用于加工三种工件，假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400,600和500，且已知用两种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。
问怎样分配车床的加工任务，才能即满足加工工件的要求，又使加工费用最低。
2. 有两个煤厂A,B ，每月进煤分别不少于60t 、100t ， 它们负责供应三个居民区的用煤任
务，这三个居民区每月需用煤分别为45t, 75t, 40t 。
A 厂离这三个居民区分别为10km, 5km, 6km ， B 厂离这三个居民区分别为4km, 8km, 15km ， 问这两煤厂如何分配供煤，才能使总运输量最小？ 3. 某工厂利用两种原料甲、乙生产1A ,1A ,1A 三种产品，每月可供应的原料数量（单位：t ）、
每万件产品所需各种原料的数量以及每万件产品的价格如下表所示
试制定每月最优生产计划，使得总收益最大。
每班护士在职半开时向病房报道，连续工作八小时，医院领导为满足每班所需要的护士数，最少需雇佣多少护士？ 试根据你了解的实际情况建立一个较好的数学模型及相应的算法和程序。
一、列出下面问题的求解模型，并给出matlab 计算环境下的程序
1.炼油厂将A 、B 、C 三种原料加工成甲乙丙三种汽油。
一桶原油加工成汽油的费用为4元，每天至多能加工汽油14，000桶。
原油的买入价、买入量、辛烷值、硫含量，及汽油的卖出价、需求量、辛烷值、硫含量由下表给出。
问如何安排生产计划，在满足需求的条件下使利润最大？
2. 要设计和发射一个带有X 射线望远镜和其他科学仪器的气球，对于性能的粗糙的度量方法是以气球所能达到的高度和所携仪器的重量来表达，很清楚，高度本身是气球体积的一个函数。
根据过去的经验作出的结果，是求极大满意性能函数
222.0803.0100),(W W V V W V f P -+-==, 此处V 是体积，W 是仪器重量。
承包项
目的预算限额是1040美元，与体积V 有关的费用是V 2，与设备有关的费用是W 4，为了保证在高度方面的性能与科学设备方面的性能之间的合理平衡，设计者需要满足约束条件V W 10080≥。
找出由体积和设备重量来表达的最优设计模型。
3、某厂向用户提供发动机，合同规定，第一、二、三季度末分别交货40台、60
台、80台．每季度的生产费用为 2)(bx ax x f +=（元），其中x 是该季生产的台数．若交货后有剩余，可用于下季度交货，但需支付存储费，每台每季度c 元．已知工厂每季度最大生产能力为100台，第一季度开始时无存货，设a=50、b=0.2、c=4，问工厂应如何安排生产计划，才能既满足合同又使总费用最低．
二、 给出下列为微分方程数值解的求解程序
1. ⎪⎩
⎪⎨⎧='==+--1)0(,0)0(0)1(1000222x x x dt dx x dt x d 2.⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧===-='-='='1
)0(,1)0(,0)0(51.0321213312321y y y y y y y y y y y y
3. ⎪⎩⎪⎨⎧='==+--0)0(,1)0(0)1(7222y y y dt dy
y dt y d 4. ⎪⎩⎪⎨⎧
='='+=''-0
)0(,0)0()(151)1(2y y y y x 5. ⎪⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎨⎧==--+-=--+-=0)0(,0)0()()1()1(5)1()()1(52
22
2y x y t y x dt
dy
x y t x dt dx
三、 求解下列差分方程的通解 1. 斐波那契数列
⎩⎨⎧==+=--1
212
1F F F F F n n n
2. 求解 ,4,3,221=-=--n a a a n n n ， 初值 3,221==a a
3. 求解 3,21≥-=--n a a a n n n ，初值0,121==a a
4. )3()2()1()(---+-=n H n H n H n H ,求其通解
5. 某人上一共有n 级台阶的楼梯，如果规定他每步只能上1级台阶或2级台阶，问共有多少种不同的上楼梯的方法。
6. 只由3个字母c b a ,,组成的长度为n 的一些单词将在通信信道上传输，传输中应满足条件：不得有两个a 连续出现在任一单词中，确定通信信道允许传输的单词的个数。
7. 某人有n(n ≥1)元钱，他每天买一次物品，或者买一元钱的甲物品，或者买两
元钱的乙物品。
问此人有多少种方式花完这n 元钱？
8.
求长度为n 的0,1符号串，不出现00的符号串总数。
9. 从n 个文字中取k 个文字作允许重复的排列，但不允许一个文字连续出现3次，求这样的排列的数目。
四、 插值与拟合
1. 根据下表给出的平方根值，(1)用线性插值计算5; (2)用抛物线法计算5
2. 已知)(x f y =
的函数表 求线性插值多项式，并计算5.1=x 的值。
)1(2
1
21311313)(1
0100101+=⨯--+⨯--=--+--=x x x y x x x x y x x x x x p
7..
解：设
2210)(x a x a a x P ++=，得
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=++=++=++=++261641893104242102102
10210a a a a a a a a a a a a ,⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢
⎣⎡26181041641
931
421111210a a a
记系数矩阵为Φ，则
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=ΦΦ35410030100301030104T ， ⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Φ62218258y T
故正规方程组为
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡6221825835410030100301030104210a a a 解得
2
1,1049,23210==-=a a a。