数学模型
十大经典数学模型
1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法）2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具）3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现）4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备）5、动态规划、回溯搜索、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中）6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用）元胞自动机7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具）8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的）9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用）10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理）以上为各类算法的大致介绍，下面的内容是详细讲解，原文措辞详略得当，虽然不是面面俱到，但是已经阐述了主要内容，简略之处还望大家多多讨论。
小学数学五大几何模型
小学数学五大几何模型知识框架一、等积模型DC BA①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACDBCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、共角定理（鸟头定理）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△(1)(2)(3)(4)三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．S 4S 3S 2S 1O DC BA梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．A BC DO baS 3S 2S 1S 4四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCD ABCDEF G①AD AE DE AFAB AC BC AG ===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、共边定理（燕尾定理）有一条公共边的三角形叫做共边三角形。
初中48个数学模型
初中48个数学模型
1. 直线方程模型
2. 一次函数模型
3. 二次函数模型
4. 指数函数模型
5. 对数函数模型
6. 三角函数模型
7. 幂函数模型
8. 反比例函数模型
9. 绝对值函数模型
10. 分段函数模型
11. 等差数列模型
12. 等比数列模型
13. 等差数列求和模型
14. 等差数列通项求值模型
15. 等差数列前n项和求值模型
16. 等差数列前n项平均值模型
17. 等比数列求和模型
18. 等比数列通项求值模型
19. 等比数列前n项和求值模型
20. 等差数列与等差数列之和关系模型
21. 平方根模型
22. 平方根与二次方程关系模型
23. 正方形面积模型
24. 三角形面积模型
25. 平行四边形面积模型
26. 斜率模型
27. 切线斜率模型
28. 余弦定理模型
29. 正弦定理模型
30. 几何相似模型
31. 三角形相似模型
32. 平行线与平行线之间的角关系模型
33. 同位角与内错角模型
34. 相交弦定理模型
35. 角平分线定理模型
36. 体积模型
37. 圆锥体积模型
38. 圆柱体积模型
39. 球体积模型
40. 柱台体积模型
41. 三维图形表面积模型
42. 立体图形展开模型
43. 均值不等式模型
44. 不等式求解模型
45. 组合数学模型
46. 排列数学模型
47. 方程求解模型
48. 实际问题建模模型
以上是初中数学常见的48个数学模型，希望对你有所帮助！。
数学模型概论
人工智能与数学建模结合
人工智能算法和数学建模将进一步结 合，利用机器学习和深度学习技术进 行模型优化和预测。
面临的挑战与问题
模型的可解释性
多尺度建模
随着深度学习等黑箱模型的普及，模型的 可解释性成为关注焦点，如何解释模型决 策过程是亟待解决的问题。
多尺度现象在许多领域中普遍存在，如何 建立多尺度模型以描述不同尺度间的相互 作用是挑战之一。
供需关系
通过建立数学模型分析市场供需关系， 预测商品价格和供求量，为企业制定 生产和销售策略提供依据。
社会领域
人口预测
利用数学模型预测人口数量和结构变化 ，为政府制定人口政策和规划提供依据 。
VS
社会网络分析
通过建立数学模型分析社会网络结构，研 究人际关系、信息传播等社会现象。
生物领域
生态平衡
数学模型在生态学中的应用，如种群动态、生态平衡等，用于研究生态系统的行为和演化。
模型验证与修正
总结词
模型验证是确保模型准确性和可靠性的重要 步骤，而修正则是在模型出现问题时的必要 措施。
详细描述
验证方法包括对比实验、历史数据拟合等， 通过对比实际数据和模型预测结果，可以评 估模型的精度和误差。当模型出现偏差或异 常时，需要进行修正，这可能涉及到参数调 整、变量替换或模型结构修改等。修正后的 模型需要重新验证以确保其准确性和适用性
控制问题
总结词
数学模型在控制问题中起到核心作用，通过建立控制 系统的数学模型，可以实现有效的控制和调节。
详细描述
控制问题是指通过一定的控制手段，使系统达到预期的 状态或性能指标。数学模型可以建立控制系统的动态方 程和性能指标，通过分析和设计控制算法，实现系统的 稳定性和性能优化。例如，在机械系统中，数学模型可 以描述机械的运动状态和受力情况，设计控制器使得机 械系统能够稳定运行并达到预期的运动轨迹。
什么是数学模型
什么是数学模型？小学数学中的数学模型，主要的是确定性数学模型，广义地讲，数学的概念、法则、公式、性质、数量关系等都是模型。
数学模型具有一般化、典型化、和精确化的特点。
什么是模型思想？就是针对要解决的问题,构造相应的数学模型,通过对数学模型的研究来解决实际问题的一种数学思想方法。
（1）模型化思想是“问题解决”的重要形式（2）模型化思想是培养学生“用数学”的重要途径（3）模型化思想有利于培养学生的创造能力在教学中渗透模型思想比如，在小学阶段，学生认识小数时主要是将它和分数之间进行意义上的关联，即：一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……。
按照螺旋上升的教材编排原则，上述内容大多分解在三、四年级分两次学完，三年级先认识一位小数。
如何在三年级初步认识一位小数时就体现出“建模”的思想呢，可进行如下教学：课始，教师出示到超市购买的一些物品和相应的价钱：水彩笔12元、美工刀3元5角、铅笔0.4元。
当“0.4元”出现后，教师提问：师：知道“0.4元”到底是多少钱吗？生：0.4元就是4角钱。
（板书4角=0.4元）师：4角钱有没有1元多？生：没有。
师：看来，和1元相比，0.4元只能算是一个“零头”了。
如果我们用这样的一个长方形来表示1元（出示图1），你能把它分一分、涂一涂，将0.4元表示出来吗？（学生拿出练习纸画画涂涂，把自己的想法表示出来。
交流时，寻找共性特点：平均分成10份，涂出其中的4份）师：为什么这样就将“0.4元”表示出来了呢？生：因为1元等于10角，平均分成10份，1份就是1角，4份就是4角。
师：看着大家画出的图示，让我想起以前咱们学什么时，也是这样子平均分一分、涂一涂？生：分数！师：那0.4元如果用分数表示，如何表示呢？生：十分之四元。
师：数学真是有趣，原来0.4元也就是我们熟悉的十分之四元。
（出示图2）师：老师购买了一块橡皮，它的价钱是多少呢？（出示：0.8元）0.8元是多少钱？生：0.8元就是8角师：又是一个不足1元的零头，如果我们还是用这样的一个长方形来表示1元，那0.8元又该怎么表示呢？学生模仿者刚才的方式表示出“0.8元也就是十分之八元”（见右图）。
常见数学建模模型
常见数学建模模型一、线性规划模型线性规划是一种常用的数学建模方法，它通过建立线性函数和约束条件，寻找最优解。
线性规划可以应用于各种实际问题，如生产调度、资源分配、运输问题等。
通过确定决策变量、目标函数和约束条件，可以建立数学模型，并利用线性规划算法求解最优解。
二、整数规划模型整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量为整数。
整数规划模型常用于一些离散决策问题，如旅行商问题、装箱问题等。
通过引入整数变量和相应的约束条件，可以将问题转化为整数规划模型，并利用整数规划算法求解最优解。
三、非线性规划模型非线性规划是一类目标函数或约束条件中存在非线性项的优化问题。
非线性规划模型常见于工程设计、经济优化等领域。
通过建立非线性函数和约束条件，可以将问题转化为非线性规划模型，并利用非线性规划算法求解最优解。
四、动态规划模型动态规划是一种通过将问题分解为子问题并以递归方式求解的数学建模方法。
动态规划常用于求解具有最优子结构性质的问题，如背包问题、最短路径问题等。
通过定义状态变量、状态转移方程和边界条件，可以建立动态规划模型，并利用动态规划算法求解最优解。
五、排队论模型排队论是一种研究队列系统的数学理论，可以用于描述和优化各种排队系统，如交通流、生产线、客户服务等。
排队论模型通常包括到达过程、服务过程、队列长度等要素，并通过概率和统计方法分析系统性能，如平均等待时间、系统利用率等。
六、图论模型图论是一种研究图结构和图算法的数学理论，可以用于描述和优化各种实际问题，如网络优化、路径规划、社交网络等。
图论模型通过定义节点、边和权重，以及相应的约束条件，可以建立图论模型，并利用图算法求解最优解。
七、随机模型随机模型是一种考虑不确定性因素的数学建模方法，常用于风险评估、金融建模等领域。
随机模型通过引入随机变量和概率分布，描述不确定性因素，并利用概率和统计方法分析系统行为和性能。
八、模糊模型模糊模型是一种用于处理模糊信息的数学建模方法，常用于模糊推理、模糊控制等领域。
什么是数学模型
什么是数学模型?数学模型一般是实际事物的一种数学简化。
它常常是以某种意义上接近实际事物的抽象形式存在的，但它和真实的事物有着本质的区别。
要描述一个实际现象可以有很多种方式，比如录音，录像，比喻，传言等等。
为了使描述更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。
使用数学语言描述的事物就称为数学模型。
有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代。
数学模型是数学抽象的概括的产物，其原型可以是具体对象及其性质、关系，也可以是数学对象及其性质、关系。
数学模型有广义和狭义两种解释．广义地说，数学概念、如数、集合、向量、方程都可称为数学模型，狭义地说，只有反映特定问题和特定的具体事物系统的数学关系结构方数学模型大致可分为二类：(1)描述客体必然现象的确定性模型，其数学工具一般是代效方程、微分方程、积分方程和差分方程等，（2）描述客体或然现象的随机性模型，其数学模型方法是科学研究相创新的重要方法之一。
数学模型思想？数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物地特征，数量关系和空间形式的一种数学结构。
从广义角度讲，数学的概念，定理，规律，法则，公式，性质，数量关系式，图表，程序等都是数学模型。
数学的模型思想是一般化的思想方法，数学模型的主要模型形式是数学符号表达式和图表，因而它与符号化思想有很多相同之处，同样具有普遍的意义。
不过，也有很多数学家对数学模型的理解似乎更注重数学的应用性。
即把数学模型描述为特定的事物系统的数学关系结构。
如通过数学在经济，物理，农业，生物，社会学等领域的应用，所构造的数学模型。
为了把数学模型与数学知识或是符号思想明显的区分开来，本文主要从狭义的角度讨论数学模型，即重点分析小学数学的应用及数学模型的构建。
教学中是如何渗透模型思想？例：数学的发现和发展过程，也是一个应用的过程。
常见数学建模模型
常见数学建模模型一、线性规划模型线性规划是一种常见的数学优化方法，广泛应用于工程、经济、管理等领域。
线性规划模型的目标是在给定的约束条件下，求解一个线性目标函数的最优解。
其中，约束条件通常是线性等式或不等式，而目标函数是一个线性函数。
在实际应用中，线性规划模型可以用于生产计划、资源分配、运输问题等。
例如，一个工厂的生产计划中需要确定每种产品的产量，以最大化利润为目标，并且需要满足一定的生产能力和市场需求的约束条件。
二、整数规划模型整数规划是线性规划的一种扩展形式，其目标函数和约束条件仍然是线性的，但变量需要取整数值。
整数规划模型常用于离散决策问题，如项目选择、设备配置等。
例如，一个公司需要决定购买哪些设备以满足生产需求，设备的数量必须是整数，且需要考虑成本和产能的约束。
三、动态规划模型动态规划是一种求解多阶段决策问题的数学方法。
该模型通常包含一个阶段决策序列和一个状态转移方程，通过递推求解最优解。
动态规划模型被广泛应用于资源分配、路径规划、项目管理等领域。
例如，一个工程项目需要确定每个阶段的最佳决策，以最小化总成本或最大化总效益。
在每个阶段，决策的结果会影响到下一个阶段的状态和决策空间，因此需要使用动态规划模型进行求解。
四、图论模型图论是研究图和网络的数学理论。
图论模型常用于解决网络优化、路径规划、最短路径等问题。
例如，一个物流公司需要确定最佳的送货路径，以最小化运输成本或最短时间。
可以将各个地点看作图中的节点，道路或路径看作边，利用图论模型求解最优路径。
五、回归分析模型回归分析是研究变量之间关系的一种统计方法。
回归分析模型通常用于预测和建立变量之间的数学关系。
例如，一个销售公司需要预测未来销售额与广告投入、市场份额等因素的关系。
可以通过回归分析模型建立销售额与这些因素之间的数学关系，并进行预测和决策。
六、排队论模型排队论是研究排队系统的数学理论。
排队论模型常用于优化服务质量、降低排队成本等问题。
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数学模型复习题1、)(t x为连续函数，初值条件0x=，假设其增长率为常数r，显然有)0(x-=∆)(，则其满足微分方程；微分方程满足初值条件的)(+)(x∆ttrxttxt解为；这个模型称为。
阻滞增长模型的形式的微分形式；求解得到的曲线称为曲线。
2、叙述数学建模的一般步骤模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用从思想上理解。
3、简述数学模型按以下方面的分类：按应用领域可分为：人口、交通、能源、环境、经济、规划等等；按建立模型的数学方法可分为：初等数学模型、几何模型、微分方程模型、统计回归模型、数学规划模型等等；按模型的表现特征可以分为：确定性和随机性、线性和非线性、静态和动态、连续与离散等等。
可以灵活理解。
4、在超市购物时你可能注意到大包装商品比小包装商品便宜，比如中华牙膏65g每支2.5元，120g每支3.8元，二者单位重量的价格比约为1.21：1。
（1）分析商品单位重量价格C与商品重量w的关系。
价格由生产成本、包装成本和其他成本所决定，这些成本中有的与体积成正比、有的与表面积成正比、有的与体积（重量w）无关。
（2）给出单位重量价格C与w的关系，画出它们的简图。
说明w越大C越小，但是随着w的增加C减小的速度变慢，解释其意义是什么？5、2010级新生入学后，统计与应用数学学院共有在校学生1055人，其中统计学专业520人，信息与计算科学专业265人，数学与应用数学专业270人。
要在全院推选23名学生组成学生代表团，试用下面的方法分配各专业的学生代表：（1）按比例分配取整的方法，剩下的名额按惯例分配给小数部分较大者；（2）用Q值方法进行分配。
6、工厂定期订购原料，存入仓库供生产之用。
设在一个生产周期T内，原料每天的需求量为常数r，每次的定货费用为1c，每天每单位原料的存储费为2c，订货后可立即到货，每次订货量为Q。
（1）建立一周期的总费用函数（包括订货费与库存费，购货费是常数可不予考虑）；（2）为使每天的平均费用最小，求最佳订货批量Q、订货周期T和最小成本C。
7、一饲养场每天投入4元资金用于饲料、设备、人力，估计可使一头80公斤重的生猪每天体重增加2公斤。
目前生猪的出售价格为每公斤8元，但是预测价格每天降低0.1元。
（1）问该饲养场应该在什么时候出售这样的生猪最划算？（2）在最佳出售时机的价格之下，作体重增加关于时间的弹性分析，并对弹性分析作出相应的解释；（3）在最佳出售时机的价格之下，作价格的降低关于时间的弹性分析，并对弹性分析作出相应的解释；8、利润)(p U 是销售收入)(p I 与生产支出)(p C 之差，p 为每单位商品的售价，即)()()(p C p I p U -=。
dpdI称为 ；dpdC 称为 ；dpdU 称为 ；利润最大化的条件是 。
给定px p I =)(，qx p C =)(，需求函数bp a p x -=)(，0,,>q b a 已知（1）建立利润函数的表达式；（2）利用上述条件求利润最大化时的价格。
9、消费者对甲、乙两种商品的效用曲线（无差异曲线）),(21q q U ，问他如何利用手中的钱s 购买两种单价分别为1p 和2p 的商品以达到效用最大。
（1）建立效用最大化的数学规划模型；（2）利用Lagrange 乘数法求出利润最大化的条件，并对结果进行解释。
（3）对于上述模型，推广到n 商品的情况。
10、某工厂加工A ，B ，C 三种元件，三种元件在粗加工、精加工包装检验三个车间所需要单位工时，单位产品利润和各车间总工时限制如下表，问应如何安排，可获最大利润。
（1Max=30*x1+20*x2+50*x3; X1+2*x2+x3<430; 3*x1+2*x3<460; X1+4*x2<420;（2）对于你建立的线性规划模型，利用LINGO10.0求解结果如下：请你进行对偶价格分析和进行全面的灵敏度分析（目标函数的系数和约束条件右断的常数项），并作出解释。
Global optimal solution found.Objective value: 13500.00Total solver iterations: 2Variable Value Reduced CostX1 0.000000 40.00000X2 100.0000 0.000000X3 230.0000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 13500.00 1.0000002 0.000000 10.000003 0.000000 20.000004 20.00000 0.000000Ranges in which the basis is unchanged:Objective Coefficient RangesCurrent Allowable AllowableVariable Coefficient Increase DecreaseX1 30.00000 40.00000 INFINITYX2 20.00000 80.00000 20.00000X3 50.00000 INFINITY 26.66667Righthand Side RangesRow Current Allowable AllowableRHS Increase Decrease2 430.0000 10.00000 200.00003 460.0000 400.0000 20.000004 420.0000 INFINITY 20.0000011、某疗养院营养师要为病人拟订本周菜单。
可供选择的蔬菜及其费用和所含营养成Min=0.15*x1+0.15*x2+0.24*x3+0.06*x4+0.18*x5+0.1*x6;0.45*x1+0.45*x2+1.05*x3+0.4*x4+0.5*x5+0.5*x6>6;10*x1+28*x2+50*x3+25*x4+22*x5+75*x6>325;415*x1+9065*x2+2550*x3+75*x4+15*x5+235*x6>17500;8*x1+3*x2+53*x3+27*x4+5*x5+8*x6>245;0.3*x1+0.35*x2+0.6*x3+0.15*x4+0.25*x5+8*x6>5;对于你建立的线性规划模型，利用LINGO10.0求解结果如下：写出对偶线性规划问题，并指出对偶规划问题的最优解；请你进行对偶价格分析和进行全面的灵敏度分析（目标函数的系数和约束条件右断的常数项），并作出解释。
Global optimal solution found.Objective value: 1.057771Total solver iterations: 0Variable Value Reduced CostX1 0.000000 0.7908464E-01X2 1.818497 0.000000X3 0.000000 0.6040132E-01X4 12.56693 0.000000X5 0.000000 0.1055289X6 0.3098109 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 1.057771 -1.0000002 0.000000 -0.14715093 63.32691 0.0000004 0.000000 -0.9125189E-055 102.2410 0.0000006 0.000000 -0.3035017E-02Ranges in which the basis is unchanged:Objective Coefficient RangesCurrent Allowable AllowableVariable Coefficient Increase Decrease X1 0.1500000 INFINITY 0.7908464E-01 X2 0.1500000 0.2308013 0.8192000E-01 X3 0.2400000 INFINITY 0.6040132E-01 X4 0.6000000E-01 0.1923420E-01 0.5698966E-01 X5 0.1800000 INFINITY 0.1055289 X6 0.1000000 2.971263 0.2370241E-01 Righthand Side RangesRow Current Allowable AllowableRHS Increase Decrease2 6.000000 6.517810 1.0480613 325.0000 63.32691 INFINITY4 17500.00 34276.90 16325.285 245.0000 102.2410 INFINITY6 5.000000 31.53571 2.41951412、用)(t x 和)(t y 分别表示甲乙交战双方时刻t的兵力（人数），每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力,分别为),(),,(y x g y x f ；每一方的非战斗减员率（由疾病、逃跑等因素引起）只与本方的兵力成正比；甲乙双方的增援率是给定的时间的函数，分别为)(),(t v t u 。
则兵力变化的微分方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+--=+--=)(),()(),(t v y y x g dtdyt u x y x f dt dxβα 根据以下条件，求出甲乙兵力的函数，分析甲、乙方获胜的条件。
正规战争：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=00)0(,)0(y y x x bx dtdyaydt dx游击战争：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=00)0(,)0(y y x x dxy dtdycxydt dx混合战争：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=00)0(,)0(y y x x bx dtdycxydt dx13、在经济增长模型中，为了适用于不同的对象，可将产量函数折算成现金，考虑到物价上涨因素，我们记物价上升指数为)1)0()((=p t p ，则产品的表面价值)(t y 、实际价值)(t Q 和物价指数)(t p 之间有关系)()()(t p t Q t y =。
（1）导出)(),(),(t p t Q t y 的相对增长率之间的关系，并作出解释；（2）设雇佣工人数为)(t L ，每个工人的工资)(t w ，其他成本)(t C 企业的利润函数为)()()()()()()()()()(t C t w t L t p t Q t C t w t L t y t R --=--=根据Cobb —Douglas 生产函数)()()(1t k t aL t Q rr -=讨论，企业应雇佣多少工人可使利润最大？14、记时刻t 渔场中的鱼量为)(t x ，在无捕捞的条件下)(t x 的增长服从Logistic 规律⎪⎭⎫ ⎝⎛-=N x rx dx dx 1其中r 是固有增长率，N 是环境容许的最大鱼量。