九年级上册《一元二次方程根的判别式》学案
人教版九年级数学上册《一元二次方程的根的判别式(第一节)》导学案
B、有两个相等的实数根
C、只有一个实数根
D、没有实数根
3、下列一元二次方程没有实数根的是（）
A、x2+2x+1＝0
B、x2+x+2＝0
C、x2－1＝0
D、x2－2x－1＝0
4、下列方程有两个相等实数根的是（）
A、x2+x+1＝0
B、4x2+2x+1＝0
C、x2+12x+36＝0
D、x2+x－2＝0
5、若关于X的方程式x2－x+a＝0有实根，则a的值可以是（）
A、2
B、1
C、0.5
D、0.25
6、下列选项中，能使关于X的一元二次方程ax2－4x+c＝0一定有实数根的是（）
A、a＞0
B、a＝0
C、c＞0
D、c＝0
二、填空题：
7、关于X的一元二次方程X2+2X+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是。
精讲导练：
不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况：
（1）9x2+6X+1＝0；（2）16x2+8x＝-3；
（3）3x2－5x－3＝0
随堂检测：
一选择题：
1、一元二次方程x2－x－1＝0的根的情况为（）
A、有两个不相等的实数根
B、有两个相数根
2、一元二次方程2x2－3x+1＝0的根的情况是（）
科目
数学
课题
一元二次方程的根的判别式（第一节）
授课时间
主备人
课型
新授
学习目标
1、了解什么是一元二次方程根的判别式
2、知道一元二次方程根的判别式的应用
一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系学案
一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系习题课 教学目标1 巩固复习一元二次方程根的判别式及根与系数的关系式。
2 熟练运用一元二次方程程根的判别式及根与系数的关系式解决相关问题。
教学重点灵活运用一元二次方程程根的判别式及根与系数的关系式解决问题。
教学过程一 知识点：1 关于x 的一元二次方程的一般式：)0(02≠=++a c bx ax2 )0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式用符号“△”表示。
△= 。
△>0 ⇔方程有两个 的实数根；△= 。
⇔方程有两个相等的实数根；△<0⇔方程 实数根。
3 设一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根1x ，2xa c 2x 1 x ,ab 2x 1x =∙-=+ 二 一元二次方程的根的判别式练习1、不解方程判断下列一元二次方程根的情况。
练习2、若关于x 的方程0342=+-x kx 有实数根，则k 的非负整数值是 。
三 根与系数的关系式应用练习（1）一元二次方程0222=-++m x x 的一个根是3，则它的另一根是______。
（2）求作一个一元二次方程，使它的二次项系数是3，常数项是-4，它的一个根是-1，写出这个方程。
043x x 2=-+065x x 2=+-（3）设βα, 是方程 01322=--x x 的两根，不解方程，求下列各式的值： ①βα11+； ②22βα+ ；（4） 讨论方程04)1(4)1(22=----x m x m 的根的情况并根据下列条件确定m 的值。
（1）两实数根互为倒数，（2）两实数根互为相反数，（3）两实数根中有一根为1。
三 小结一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系的应用类型及解题过程中应注意的问题。
a 计算“△=acb 42-”的前提是一元二次方程。
b 。
一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系。
c 一元二次方程的根与系数的关系的前提是△≥0。
【K12学习】九年级上册《一元二次方程根的判别式》学案
九年级上册《一元二次方程根的判别式》学案一、知识要点：一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式是用来判别一元二次方程根的情况的；即方程有的实数根；方程有的实数根；方程无实数根。
如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=。
以两个数x1，x2为根的一元二次方程是。
二、典例精析：一元二次方程根的判别式[基础知识]例1、不解方程，判断关于x的方程x2+6x+2=0的根的情况。
[跟踪练习]不解方程判断下列方程的根的情况x2+3x-4=03x2+x+5=07x2+x+-6=0例2、若关于x的方程2x2+x+1=0有两个实数根，求的取值范围。
[跟踪练习]已知关于x的方程x2+2x+=0，根据下列条件求实数的取值范围：有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；有两个实数根；没有实数根；有实数根。
[拓展研究]例3、已知：方程x2-2ax+a2-a-1=0有两个实数根，化简。
[跟踪练习]已知关于x的方程有两个不相等的实数根。
求的取值范围；化简。
例4、已知a、b、c分别为△ABc三条边的长，并且关于x的二次方程2ax2+2bx+c=0有两个相等的实数根，当∠B=90o时试判断△ABc的形状。
例5、已知x2+2x=-1没有实数根，求证：x2+x=1-2必定有两个不相等的实数根。
同步练习：下列一元二次方程没有实数解的是A、x2-2x-1=0B、=0c、x2-2=0D、x2+x+1=0已知关于x的方程x2-x+2=0有两个不相等的实数根，那么的最大整数值是A、-2B、-1c、0D、1若关于x的方程2x2-ax+a-2=0有两个相等的实数根，则a的值是。
已知关于x的一元二次方程2x2+x+1=0有两个不相等的实数根，则的取值范围是。
已知：关于x的方程x2-2x+2=0当取何值时，方程有两个实数根；当选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个根。
一元二次方程根与系数的关系例1、设x1，x2是方程x2-6x+3=0的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值。
九年级数学上册 一元二次方程根的判别式学案 人教新课标版
九年级数学上册一元二次方程根的判别式学案人教新课标版◆课前预习1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况可用b2－4ac•来判定，•b2－4ac•叫做________，通常用符号“△”为表示．（1）b2－4ac>0⇔方程_________；（2）b2－4ac=0⇔方程_________；（3）b2－4ac<0⇔方程_________．2．使用根的判别式之前应先把方程化为一元二次方程的________形式．◆互动课堂（一）基础热点【例1】不解方程，判别下列方程根的情况：（1）x2－5x+3=0；（2）x2；（3）3x2+2=4x；（4）mx2+（m+n）x+n=0（m≠0，m≠n）．解析：从根的判别式入手．答案：（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根；（4）有两个不相等的实数根．【例2】若关于x的方程（m2－1）x2－2（m+2）x+1=0有实数根，求m的取值范围．解析：由于x2的系数含字母，且题目中并未指明方程是否是一元二次方程，•因此要分两种情况讨论：（1）当m2－1=0时，此方程为一元一次方程，解得ｍ＝±１；（2）当m2－1≠0时，此方程为一元二次方程，所以b2－4ac≥０，解得m≥－54．由上可知m的取值范围是m≥－54。
答案：m≥－54．（二）易错疑难【例3】已知关于x的一元二次方程x2－（2k+1）x+4（k－12）=0．（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）如果等腰△ABC有一边长a=4，另两条边长b，c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．解析：（1）考虑根的判别式•b2－4ac；（2）分a为底和腰两种情况讨论：若a为底，则b=c，那么方程有两个相等的实数根；若a为腰，则b，c中有一个与a相等，那么方程必有一根为4．答案：（1）•b2－4ac ＝（2k+1）2－4×1×4（k－12）＝（2k－3）2∵（2k－3）2≥0∴无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）10．点拨：分类讨论是一种常用的解题思想与方法．（三）中考链接【例4】已知关于x的方程x－2（m+1）x+m2=0．（1）当m取何值时，方程有两个实数根？（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根．答案：（1）m≥－12；（2）如取m=0，得x1=0，x2=2．名师点拨1．使用判别式之前一定要先把方程变为一元二次方程的一般形式．2．如果说方程有实数根，•那么应包括有两个不等实根或有两个相等实根两种情况，此时b2－4ac≥0，注意不要忽略等号．3．△=b2－4ac是指一元二次方程的根的判别式，•只有当所研究的方程为一元二次方程时方能使用．◆跟进课堂1．方程2x2+3x－4=0的根的判别式△=________．2．已知关于x的一元二次方程mx2－10x+5=0有实数根，则m的取值范围是______．3．如果方程x2－2x－m+3=0有两个相等的实数根，则m的值为_______，此时方程的根为________．4．若关于x的一元二次方程kx2+2x－1=0没有实数根，则k的取值范围是______．5．若关于x的一元二次方程mx2－2（3m－1）x+9m－1=0有两个实数根，则实数m•的取值范围是_______．6．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）．A．x2+2x－1=0 B．x2．x2．－x2+x+2=07．如果方程2x（kx－4）－x2－6=0有实数根，则k的最小整数是（）．A．－1 B．0 C．1 D．28．下列一元二次方程中，有实数根的方程是（）．A．x2－x+1=0 B．x2－2x+3=0 C．x2+x－1=0 D．x2+4=09．如果关于x的一元二次方程kx2－6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）．A．k<1 B．k≠0 C．k<1且k≠0 D．k>110．关于x的方程x2+（3m－1）x+2m2－m=0的根的情况是（）．A．有两个实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根11．关于x的一元二次方程mx2－（3m－1）x+2m－1=0，其根的判别式的值为1，求m•的值及该方程的解．12．已知a、b、c分别是△ABC的三边长，当m>0时，关于x的一元二次方程c（x2+m）+b（x2－m）－ax=0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．13．等腰△ABC中，BC=8，AB、AC的长是关于x的方程x2－10x+m=0的两根，求m的值．14．如果关于x的方程mx2－2（m+2）x+m+5=0没有实数根，试判断关于x的方程（m－•5）x2－2（m－1）x+m=0的根的情况．◆挑战极限15．已知关于x的方程（n－1）x2+mx+1=0①有两个相等的实数根．（1）求证：关于y的方程m2y2－2my－m2－2n2+3=0②必有两个不相等的实数根；（2）如果方程①的一个根是－12，求方程②的根．。
九年级数学上册《一元二次方程的根的判别式》教案、教学设计
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对一元二次方程根的判别式的好奇心，培养他们主动学习、乐于探究的良好习惯。
2.引导学生认识数学在现实生活中的广泛应用，增强他们学习数学的信心和责任感。
3.培养学生面对问题时的积极态度，使他们学会在困难面前不退缩，勇于挑战，形成正确的价值观。
4.成果展示：每组选派一名代表展示讨论成果，其他组员进行补充。
（四）课堂练习
1.练习题设计：设计不同难度的练习题，涵盖本节课的知识点，让学生进行即时巩固。
2.练习过程：学生在规定时间内独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生疑问。
3.反馈与评价：学生互相批改练习题，教师对共性问题进行讲解，提高学生的解题能力。
（五）总结归纳
1.知识点回顾：对本节课的重点知识点进行回顾，如判别式的定义、性质和应用。
2.方法总结：引导学生总结运用判别式判断一元二次方程根的情况的方法。
3.情感态度与价值观：强调数学在现实生活中的应用，激发学生学习数学的兴趣和责任感。
4.课后作业布置：布置适量的课后作业，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
（二）过程与方法
在教学过程中，注重启发式教学，引导学生通过自主探究、合作交流的方式，培养他们的逻辑思维能力和解决问题的方法。
1.采用问题驱动的教学策略，激发学生的学习兴趣，引导他们主动探究一元二次方程根的判别式的规律。
2.通过举例、练习和讨论，帮助学生掌握判别式的应用方法，培养他们分析问题、解决问题的能力。
九年级数学上册《一元二次方程的根的判别式》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.了解一元二次方程的一般形式，理解判别式的定义及其数学意义。
九年级数学上册《一元二次方程根的判别式》优秀教学案例
4.反思与评价关注学生成长
在本案例中，反思与评价环节得到了充分重视。学生通过回顾学习过程，总结自己的收获和不足，有助于提高自我认知。同时，教师对学生的个性化评价，关注学生的全面发展，进一步激发学生的学习兴趣和自信心。
1.判别式的定义、计算方法和物理意义。
2.根据判别式的值判断方程根的情况的规律。
3.运用判别式解决实际问题的方法和步骤。
4.在解题过程中需要注意的问题和易错点。
（五）作业小结
为了巩固本节课的知识，我会布置以下作业：
1.完成课本上的相关练习题，加深对判别式的理解和运用。
2.结合实际生活中的问题，运用一元二次方程根的判别式进行求解，并撰写解题报告。
（一）知识与技能
1.理解一元二次方程根的判别式的定义，掌握判别式的计算方法，并能熟练运用。
2.能够根据判别式的值判断一元二次方程的根的情况，如：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根。
3.学会运用一元二次方程根的判别式解决实际问题，提高数学应用能力。
4.能够运用一元二次方程根的判别式，对给定的方程进行根的估算和判断，增强数感。
5.培养学生严谨、求实的科学态度，树立正确的价值观。
三、教学策略
（一）情景创设
为了让学生更好地理解一元二次方程根的判别式的概念和意义，我将创设贴近学生生活的情景。例如，可以通过设计一个与校园绿化相关的情境，提出如“如何确定一块绿地能否被等分为两个面积相等的部分”的问题。通过这样的问题，引导学生运用一元二次方程的知识，自主发现判别式的存在和作用。这样的情景创设能够激发学生的学习兴趣，提高他们的参与度。
2024-2025学年初中数学九年级上册(人教版)同步学案第03讲解一元二次方程——公式法(原卷版)
第03讲 解一元二次方程——公式法知识点01 根的判别式1. 根的判别式：用配方法解一元二次方程()002≠=++a c bx ax ，可将方程化成 。
由配方法解方程可知，根据2244aac b -与0的大小关系可以确定方程的根的情况。
确定2244aac b -与0的大小关系只需要确定 与0的大小关系。
我们把 叫做一元二次方程的根的判别式。
用符号∆来表示。
①若⇔-=∆042＞ac b 。
②若⇔=-=∆042ac b 。
③若⇔-=∆042＜ac b 。
题型考点：①计算根的判别式的值判断方程的根的情况。
②根据方程的根的情况求值【即学即练1】1．一元二次方程x 2+3x ﹣1＝0的根的情况是（ ） A ．无实数根B ．有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【即学即练2】2．已知方程（k ﹣3）x 2+2x +1＝0有两个实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＜4 B ．k ≤4C ．k ＜4且k ≠3D ．k ≤4且k ≠3知识点02 利用公式法解一元二次方程——求根公式1. 求根公式：由222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+可知，=+a b x 2 。
=x 。
我们把它叫做一元二次方程的求根公式。
①042＞ac b -=∆时，一元二次方程有两个不相等的实数根。
即=1x ；=2x 。
②042=-=∆ac b 时，一元二次方程有两个相等的实数根。
即==21x x 。
③042＜ac b -=∆时，一元二次方程没有实数根。
2. 公式法解一元二次方程的步骤：①将一元二次方程化成 ，并确定 的值。
②计算 的值，确定一元二次方程的根的情况。
③根据根的情况把c b a ，，的值带入相应的求根公式求解。
题型考点：①根据求根公式确定c b a ，，的值。
②利用公式法解一元二次方程。
【即学即练1】3．用公式法解方程x 2﹣4x ﹣11＝0时，Δ＝（ ） A ．﹣43B ．﹣28C ．45D ．60【即学即练2】4．下列方程中，以x ＝24255c+±-为根的是（ ）A ．x 2﹣5x ﹣c ＝0B ．x 2+5x ﹣c ＝0C ．x 2﹣5x +4c ＝0D ．x 2+5x +c ＝0【即学即练3】5．利用公式解可得一元二次方程式3x 2﹣11x ﹣1＝0 的两解为a 、b ，且a ＞b ，求a 值为何（ ） A ．B ．C ．D ．【即学即练4】6．用公式法解方程： （1）：x 2+2x ﹣6＝0．（2）：2x （x ﹣3）＝（x ﹣1）（x +1）．知识点03 根与系数的关系1. 根与系数的关系：由公式法可知，若一元二次方程的042＞ac b -=∆时，一元二次方程有两个不相等的实数根，分别是 与 。
苏科版九年级数学上册第1章：一元二次方程根的判别式学案设计
授课学案学生姓名： 授课教师： 班主任： 科目： 九年级上数上课时间： 年 月 日 时— 时 跟踪上次授课情况 上次授课回顾○ 完全掌握 ○ 基本掌握 ○ 部分掌握 ○ 没有掌握 作业完成情况 ○ 全部完成 ○ 基本完成 ○ 部分完成 ○ 没有完成本次授课内容授课标题 一元二次方程根的判别式学习目标 理解一元二次方程根的判别式的概念，能够利用一元二次方程根的判别式进行相关判断与解题重点难点一元二次方程根的判别式的灵活应用 。
知识回顾一元二次方程：（1）一般形式：02=++c bx ax （a ≠0） （2）公式法解方程：求根公式：a ac b b x 242-±-=新课知识点在一元一次方程02=++c bx ax （a ≠0）中 ，根的判别式为ac b 42-=∆ （1）当∆>0时⇔方程有两个不相等的实数根；（2）当∆=0时⇔方程有两个相等的实数根；（3）当∆<0时⇔方程没有实数根。
例题讲解【例1】下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）A. 0342=++x xB.0962=+-x x C.x x 4322-=+ D.121-2-=+-）（x ;;【例2】当m 取什么值时，关于X 的方程062=+++m x m x（1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根；（3）没有实根.【例3】关于X 的方程04)1(2=++-m x m mx 有实根，求m 的取值范围。
课堂小练1、下列方程中是关于X 的一元二次方程的是（ ）A 、5122=+xx B 、02=++c bx ax C 、1)2)(1(=+-x x D 、052322=--y xy x2、关于x 的一元二次方程2x ＋kx －1=0的根的情况是 （ ）A 、有两个不相等的同号实数根B 、有两个不相等的异号实数根C 、有两个相等的实数根D 、没有实数根3、方程0322=-+k x x 根的判别式是 ；当k 时，方程有实根。
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九年级上册《一元二次方程根的判别式》
学案
九年级上册《一元二次方程根的判别式》学案
一、知识要点：
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式
是用来判别一元二次方程根的情况的；即方程有的实
数根；方程有的实数根；方程无实数根。
2、（1）如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两
个实数根是x1，x2，那么x1+x2= ，x1x2= 。
（2）以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项
系数为1）是。
二、典例精析：
一元二次方程根的判别式
[基础知识]
例1、不解方程，判断关于x的方程(6m-1)x2+6
mx+2=0的根的情况。
[跟踪练习]
1、不解方程判断下列方程的根的情况
（1）2x2+3x-4=0（2）3x2+x+5=0（4）7x2+(m+5)x+m-6=0 例2、若关于x的方程m2x2+(2m+1)x+1=0有两个实
数根，求m的取值范围。
[跟踪练习]
已知关于x的方程(m-1)x2+2(m+2)x+m=0，根据下列条件求实数m的取值范围：
（1）有两个不相等的实数根；
（2）有两个相等的实数根；
（3）有两个实数根；
（4）没有实数根；
（5）有实数根。
[拓展研究]
例3、已知：方程x2-2ax+a2-a-1=0有两个实数根，化简。
[跟踪练习]
已知关于x的方程有两个不相等的实数根。
（1）求m的取值范围；
（2）化简。
例4、已知a、b、c分别为△ABC三条边的长，并且关于x的二次方程2ax2+2bx+c=0有两个相等的实数根，当
∠B=90o时试判断△ABC的形状。
例5、已知x2+2x=m-1没有实数根，求证：x2+mx=1-2m 必定有两个不相等的实数根。
同步练习：（中考链接）
1、（2009上海金山）下列一元二次方程没有实数解的是（）
A、x2-2x-1=0
B、(x-1)(x-3)=0
C、x2-2=0
D、
x2+x+1=0
2、（2008四川）已知关于x的方程x2-(2k-1)x+k2=0有两个不相等的实数根，那么k的最大整数值是（）
A、-2
B、-1
C、0
D、1
3、（2009北京石景山）若关于x的方程2x2-ax+a-2=0有两个相等的实数根，则a的值是。
4、（2008天津）已知关于x的一元二次方程
(m-2)2x2+(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数根，则m的
取值范围是。
5、（2008浙江宁波）已知：关于x的方程
x2-2(m+1)x+m2=0
（1）当m取何值时，方程有两个实数根；
（2）当m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个根。
一元二次方程根与系数的关系
例1、设x1，x2是方程x2-6x+3=0的两个根，利用
根与系数的关系求下列各式的值。
（1）x1+x2（2）x1x2（3）x12+x22（4）（5）|x1-x2| [跟踪练习]
若方程2x2-2x-1=0的两根为α、β，不解方程，求①α+β= ，②αβ= ，③α2+β2= ，④ = ，⑤（α-1）
（β-1）= 。
例2、已知方程2x2+kx-8=0的一个根是，求另一个根及k的值。
[跟踪练习]
已知一元二次方程x2+4x-m=0的一个根为，则另一个根是，且m= 。
例3、已知关于x的方程2x2-mx-2m+1=0的两个实数的平方和等于，求m的值。
[跟踪练习]
1、（2007重庆市）已知关于x的一元二次方程
x2+(2m-3)x-m2=0的两个不相等的实数根为α、β，满足，求m的值。
2、已知方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个实数根且这两个实数根的平方和比两个实数根的积大21，求m的值。
例4、已知一元二次方程的根为3，-4，求这个方程。
[跟踪练习]
已知一元二次方程的根为-1，2，求这个方程。
例5、（2006青岛市）已知α2+α-1=0，β2+β-1=0且α≠β，则αβ+α+β的值为。
同步练习：
1、（2009兰州）若x1，x2是方程x2+6x+3=0的两个实数根，则的值为。
2、（2008成都）已知x=1是关于x的一元二次方程2x2+kx-1=0的一个根，则实数k的值是。
3、（2007锦州）设方程x2+x-2=0的两个根为α、β，则（α-1）（β-1）的值等于。
4、已知是关于x的方程x2-4x+c=0的一个根，则c 的值是。
5、若方程组的解是某个一元二次方程的两个根，则这个一元二次方程是。
6、已知一元二次方程x2-2x+m-1=0。
（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根。
（2）设x1，x2是方程的两个实数根，且满足
x12+x1x2=1，求m的值。