重庆近三年中考数学试卷分析
专家解读点评2023重庆中考数学试题（最新发布）
专家解读点评2023重庆中考数学试题（最新发布）专家解读点评2023重庆中考数学试题（最新发布）中考数学讲究最基础，把握好课本，也是学习初中数学的一大必要，把基础打好了，才能更好地往上攀登。
下面是小编为大家整理的专家解读点评2023重庆中考数学试题，希望对您有所帮助!专家解读点评2023重庆中考数学试题解读：本次中考数学试题，各板块内容所占百分比与教材安排的课时比例基本一致。
试题体现数学课程的基本理念，全面评价学生在知识技能、数学思考、问题解决和情感态度方面的表现，对初中数学学习中的核心知识进行了重点全面的考查，如“数与代数”中的数与式、所有的方程、函数全考查;“图形与几何”中的三角形、四边形、圆全覆盖，平移、旋转、相似变换全展示;“统计与概率”中数据的收集、整理、描述与分析，概率全呈现。
本次试题尽力结合新时代，体现立德树人的根本任务，凸显学科育人价值。
如试题中的“就业岗位的个数”“智能玩具充电后运行的最长时间”“预制食品”“锻炼路线方案选择”等，情境真实，反映社会生活，引导学生重视生活体验，关注社会发展。
点评：“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等数学核心课程内容为重点——重庆一中初中数学教师白薇本次试题基础全面，利教利学。
整卷知识覆盖全面，深化基础考查，注重通性通法。
今年中考数学试题考查的内容主要为“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等数学核心课程内容及蕴含的基本思想，其所占百分比与教材安排的课时比例基本相同。
基础题考查学生对基本知识、基本技能的理解与简单应用。
试题能够引导教学注重作业题、练习题减量提质，减少“机械刷题”。
试卷注重梯度，层次感强，难易合理。
每种题型都遵循由易到难的原则，层次分明。
同时，试题情境新颖，关注热点，如智能玩具飞机、就业岗位、农业生产中的双季稻种植等背景，都源自当前学生关注的一些热点问题。
九年级数学成绩差怎么补救初三数学成绩差说明你还没有打好基础，接下来的学习一定要跟上老师的学习进度，不能再落后了。
2023年重庆市中考数学试卷(A卷)解析版
重庆市2023年初中学业水平暨高中招生考试数学试题（A 卷）（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项；3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B 铅笔完成；4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回参考公式：抛物线()20y ax bx c a =++≠）的顶点坐标为2424,b ac b a a ⎛⎫ ⎪⎝-⎭-，对称轴为2b x a =-一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1.8的相反数是（）A.8- B.8 C.18 D.18-【答案】A【解析】【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．【详解】解：8的相反数是8-，故选A ．【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．2.四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【详解】从正面看第一层是2个小正方形，第二层右边1个小正方形，故选：D ．【点睛】考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．3.反比例函数4y x=-的图象一定经过的点是（）A.()14， B.()14--， C.()22-， D.()22，【答案】C【解析】【分析】根据题意将各项的坐标代入反比例函数4y x =-即可解答．【详解】解：A 、将1x =代入反比例函数4y x=-得到14y =-≠，故A 项不符合题意；B 、项将1x =-代入反比例函数4y x=-得到44y =≠-，故B 项不符合题意；C 、项将=−2代入反比例函数4y x=-得到22y ==，故C 项符合题意；D 、项将2x =代入反比例函数4y x=-得到22y =-≠，故D 项不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数图象上则其坐标一定满足函数解析式，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．4.若两个相似三角形周长的比为1:4，则这两个三角形对应边的比是（）A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16【答案】B【解析】【分析】根据相似三角形的周长比等于相似三角形的对应边比即可解答．【详解】解：∵两个相似三角形周长的比为1:4，∴相似三角形的对应边比为1:4，故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的周长比等于相似三角形的对应边比，掌握相似三角形的性质是解题的关键．5.如图，,⊥∥AB CD AD AC ，若155∠=︒，则2∠的度数为（）A.35︒B.45︒C.50︒D.55︒【答案】A【解析】【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得CAB ∠的度数，根据垂直的定义可得90CAD ∠=︒，然后根据2CAB CAD Ð=Ð-Ð即可得出答案．【详解】解：∵AB CD ∥，155∠=︒，∴18055125CAB Ð=°-°=°，∵AD AC ⊥，∴90CAD ∠=︒，∴21259035CAB CAD Ð=Ð-Ð=°-°=°，故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的性质以及垂线的定义，熟知两直线平行同旁内角互补是解本题的关键．6.估计+的值应在（）A.7和8之间B.8和9之间C.9和10之间D.10和11之间【答案】B【解析】【分析】先计算二次根式的混合运算，再估算结果的大小即可判断．=4=+∵2 2.5<<，∴45<<，∴849<+<，故选：B ．【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．7.用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）A.39B.44C.49D.54【答案】B【解析】【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案．【详解】解：第①个图案用了459+=根木棍，第②个图案用了45214+⨯=根木棍，第③个图案用了45319+⨯=根木棍，第④个图案用了45424+⨯=根木棍，……，第⑧个图案用的木棍根数是45844+⨯=根，故选：B ．【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．8.如图，AC 是O 的切线，B 为切点，连接OA OC ，．若30A ∠=︒，AB =3BC =，则OC 的长度是（）A.3B.C.D.6【答案】C【解析】【分析】根据切线的性质及正切的定义得到2OB =，再根据勾股定理得到OC =【详解】解：连接OB ，∵AC 是O 的切线，B 为切点，∴OB AC ⊥，∵30A ∠=︒，AB =，∴在Rt OAB 中，tan 23OB AB A =⋅∠==，∵3BC =，∴在Rt OBC 中，OC ==，故选C ．【点睛】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握切线的性质是解题的关键．9.如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，连接AE ，AF ，EF ，45EAF ∠=︒．若BAE α∠=，则FEC ∠一定等于（）。
重庆市近三年中考数学试题分析
重庆市近三年中考数学试题分析（一）近三年重庆市中考数学试题与重庆市教科院发布的考试说明基本一致，试卷的结构稳定，考查的内容每年有少量变化，从题型到考试内容基本固定，总体难度逐年有所增加。
1、题型与题量：全卷均为满分150分，三种题型，26个题，其中选择题10个，填空题6个，解答题10个，解答题中第三大题4个小题，每小题6分，第四大题4个小题，每小题10分，第五大题2个小题，共22分。
三种题型的分值比是40：24：86。
占比略为26%、16%、58%。
试卷总体难度安排略为6:2:2，容易题安排在1—7、11—14、17—22小题；中档题安排在8—9、15、23—24小题；较难题为10、16、25、26小题。
4、试题背景与架构分析：(1)应用类型试题背景。
学习数学的最高境界是运用数学知识、方法和思想去解决实际问题。
近三年一些试题的背景来源于学生所熟悉的现实生活，背景公平合理，时代感强。
4、总体评析：重庆市近三年的中考数学试题体现了新课程理念的基本要求，在学生已有知识经验和与知识体系相关的现实背景中，考查了基础知识和基本技能、数学活动过程、数学思考、解决问题能力，试题突出考查了学生运用数学知识解决实际问题的能力，加大了对学生后继学习潜能的考查，对方程与不等式、函数与图象、图形变换与坐标、统计与概率等重点内容进行了重点考查，无偏题、怪题，这些数学试题还对学生的情感、态度、价值观的形成起到了积极的引导与影响作用，让学生切实感受到了现实生活中存在大量数学知识信息，数学在现实世界中有着广泛的应用。
试题引导了学生关注社会，关注生活，体现了数学的运用价值，考查了学生在生活中运用数学的意识。
2012年2月28日初三教研会发言。
2023年重庆市中考数学试卷A卷(带答案及解析)
重庆市2023年初中学业水平暨高中招生考试数学试题(A 卷)一、选择题：(本大题10个小题，每小题4分，共40分)在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框黑。
1.8的相反数是()A.-8B.8C.18D.-182.四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是()A.B. C.D.3.反比例函数y =-4x的图象一定经过的点是()A.1，4B.-1，-4C.-2，2D.2，24.若两个相似三角形周长的比为1:4，则这两个三角形对应边的比是()A.1:2B.1:4C.1:8D.1:165.如图，AB ∥CD ,AD ⊥AC ，若∠1=55°，则∠2的度数为()A.35°B.45°C.50°D.55°6.估计28+10 的值应在()A.7和8之间B.8和9之间C.9和10之间D.10和11之间7.用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，⋯⋯，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是()A.39B.44C.49D.548.如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC。
若∠A=30°，AB=23，BC=3，则OC的长度是()A.3B.23C.13D.69.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF=45°。
若∠BAE=α，则∠FEC一定等于()A.2αB.90°-2αC.45°-αD.90°-α10.在多项式x-y-z-m-n(其中x>y>z>m>n)中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”。
重庆中考数学试题特点评析、解读命题趋势
重庆中考数学试题特点评析、解读命题趋势纵观2015年重庆中考数学试题结构，给人一种“熟悉的陌生感”。
本次中考是2012版数学新教材的第一届中考，所以关注度非常高，变化也较大！本套试题紧扣《2011版新课程标准》和《2015年重庆市中考考试说明》，难度适中，题型、题量和分值与去年保持一致，但是具体到每道试题有很大变化，特别是解答题。
同时本套中考试题，也对学生的基础知识、数学基本的思想方法等做了很好的考查。
总的来说，试题既体现了毕业水平考试的功能，又有利于选拔优秀的高水平学生。
具体分析如下：一、选择题必考点实数的大小比较【命题规律与趋势】分析近5年（11年~15年8套卷，08~10年未考查）重庆真题发现，该命题点属于每年必考点（15年B卷未考查），题型均为选择题，且分别考查最小、最小、最大、最大、最小、最小、最大，预计2016年仍会在选择题中考查，且考查最大数的可能性比较大。
命题点对称图形的识别【命题规律与趋势】分析近8年11套重庆真题发现，该命题点属于每隔两年考查两年（11年考查对中心对称图形的识别、12年考查对轴对称图形的识别，15年A卷考查对轴对称图形的识别，B卷考查对中心对称图形的识别），题型均为选择题，预计2016年仍会在选择题中考查。
命题点二次根式【命题规律与趋势】分析近8年11套重庆真题发现，仅在08年考查根式减法运算，14年A卷考查二次根式有意义的条件，15年考查二次根式的化简，题型均为选择题，预计2016年可能会在选择题中考查二次根式的乘除运算或二次根式有意义的条件。
必考点整式的运算【命题规律与趋势】本题考查积的乘方运算。
分析近8年11套重庆真题发现，共考查10次（15年B卷未考查），属于每年必考点，题型均为选择题，且合并同类项（减法）考查1次，同底数幂的乘法考查2次，同底数幂的除法考查3次，积的乘方考查3次，幂的乘方考查1次，预计2016年仍会在选择题中考查整式的运算，学生需要掌握以上几种考查方式来备考。
重庆一外中考数学试卷分析
重庆实验外国语学校初三第一次测试试卷分析一、试卷概述本次抽考的试卷是重庆一外的中考一模卷，试卷具有一定的创新性和区分性。
所涉及知识基本与中考所考知识类似。
但难题难度相比有所增加。
试卷所涉及考点及分值分布如下:二、试卷题目分析试卷共三道大题，26个小题，满分150分，考试时间120分钟。
全卷设计选择题12个，共48分，占总分的32%；填空题6个，共24分，占总分的16%；解答题8个，共78分，占总分的52%．二、试卷考法分析试卷十分注意体现最新版课标的评价理念，注重考查双基和通过应用考查基本能力，突出考查建模能力与应用意识。
在试题设计方面重视利用知识内在联系为主线或以实际问题解决为主线设置问题，在问题的搭配上注意由简单到复杂，难度循序渐进，突出多角度、多层面的考查数学的核心内容与核心思想。
1．注重基础知识，体现新课标的普及性理念本卷总体难度较之往年有所下调，更关注学生对基础知识和基本技能的理解和掌握程度对基础知识的考查，减少了死记硬背的知识以及过于繁杂的计算、过难的几何论证试题等方面的考查。
试卷中，第1至10题、13至15题、19至22题为容易题，分值为76分，占全卷总分的50%左右。
第11、16、17、23、24题为中档题，分值为42分，约占28%；即使是作为压轴题的12题、18题、25、26题，能用注重通性通法加以解决，也更注重考查学生的数学综合素养，涉及的知识也是基础的、常用的、生活的。
2．注重实际应用，重点考查数学模型建立本卷注重结合学生所熟悉的日常生活情境，从实际问题中抽象出数学问题，考查了学生建立方程与函数模型的能力．3．重视数学思想，考查数学方法以及数学素养试卷考查了数形结合、分类讨论、化归与转化、统计与随机等数学思想，以及待定系数法、由特殊到一般的思想方法等初中主要的数学思想方法。
通观全卷，数学思想贯穿始终，这些题目的设置，保证了对学生基本数学素养考查的效度，对引导初中数学教学全面贯彻课程标准的基本理念有较好的导向作用。
重庆近三年中考数学试卷分析
重庆近三年中考数学试卷分析
近三年来重庆市中考数学试题与重庆市教科院发布的考试说明基本一致，试卷结构稳定，考查的内容每年都有少量变化，从题型到考试内容基本固定，但具体到每到试题有很大变化，特别是解答题，总体难度逐年有所增加。
1.题型与题量
全卷均为满分150分，三种题型，26个题，其中12个选择题，6个填空题，8个解答题。
三种题型的分数比为48：24:78，占比略为32%、16%、52%。
其中1-9,13-16,19-22为容易做的题，占比略为60%，10,11,17,23,24,25为中档题，占比略为30%，其他的为比较难的题，占比略为10%。
2.考查知识点情况
由图我们得知，统计与概率相关问题的分值占比为12%，几何问题占比29%，实数的考查占比为20%，一次函数、反比例函数和二次函数占比为33%，新概念题型占比为6%。
总的来说，近几年的中考数学试题考查了基础知识和基础技能，数学逻辑思维，解决问题的能力，其中试题还突出考查了学生运用数学知识解决实际问题的能力。
对方程与不等式、函数与其图像的性质、几何图形的变换、统计与概率问题等重点内容进行了重点考查。
除此之外，这些数学试题还让学生其实感受到生活中存在大量数学知识信息，引导学生关注社会，关注生活，体现了数学的运用价值。
最新 2020年重庆近三年中考数学试卷分析
重庆近三年中考数学试卷分析
近三年来重庆市中考数学试题与重庆市教科院发布的考试说明基本一致,试卷结构稳定,考查的内容每年都有少量变化,从题型到考试内容基本固定,但具体到每到试题有很大变化,特别是解答题,总体难度逐年有所增加.
1.题型与题量
全卷均为满分150分,三种题型,26个题,其中12个选择题,6个填空题,8个解答题.三种题型的分数比为48：24:78,占比略为32%、16%、52%.其中1-9,13-16,19-22为容易做的题,占比略为60%,10,11,17,23,24,25为中档题,占比略为30%,其他的为比较难的题,占比略为10%.
2.考查知识点情况
由图我们得知,统计与概率相关问题的分值占比为12%,几何问题占比29%,实数的考查占比为20%,一次函数、反比例函数和二次函数占比为33%,新概念题型占比为6%.
总的来说,近几年的中考数学试题考查了基础知识和基础技能,数学逻辑思维,解决问题的能力,其中试题还突出考查了学生运用数学知识解决实际问题的能力.对方程与不等式、函数与其图像的性质、几何图形的变换、统计与概率问题等重点内容进行了重点考查.除此之外,这些数学试题还让学生其实感受到生活中存在大量数学知识信息,引导学生关注社会,关注生活,体现了数学的运用价值.。
2024年重庆市中考数学试卷及解析
2024年重庆市中考数学真题试卷(A 卷)(全卷共三个大题,满分150分,考试时间120分钟)一、选择题:(本大题10个小题,每小题4分,共40分)在每个小题的下面,都给出代号为A,B,C,D 的四个答案,其中只有一个是正确的,请将答题卡上题号右侧确答案所对应的方框涂黑．1.下列四个数中,最小的数是()A.2- B.0C.3D.12-2.下列四种化学仪器的示意图中,是轴对称图形的是()A. B.C. D.3.已知点()3,2-在反比例函数()0ky k x=≠的图象上,则k 的值为()A.3- B.3C.6-D.64.如图,AB CD ∥,165∠=︒,则2∠的度数是()5.若两个相似三角形的相似比是1:3,则这两个相似三角形的面积比是()A.1:3B.1:4C.1:6D.1:96.烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质,下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图,其中灰球代表碳原子,白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子,第2种如图②有6个氢原子,第3种如图③有8个氢原子,……按照这一规律,第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是()A.20B.22C.24D.267.已知m =,则实数m 的范围是()A.23m <<B.34m <<C.45m << D.56m <<8.如图,在矩形ABCD 中,分别以点A 和C 为圆心,AD 长为半径画弧,两弧有且仅有一个公共点．若4=AD ,则图中阴影部分的面积为()A.328π-B.4πC.324π- D.8π9.如图,在正方形ABCD 的边CD 上有一点E ,连接AE ,把AE 绕点E 逆时针旋转90︒,得到FE ,连接CF 并延长与AB 的延长线交于点G ．则FG CE的值为()C.322D.33210.已知整式1110:nn n n M a x a x a x a --++++ ,其中10,,,n n a a - 为自然数,n a 为正整数,且1105n n n a a a a -+++++= ．下列说法①满足条件的整式M 中有5个单项式②不存在任何一个n ,使得满足条件的整式M 有且只有3个③满足条件的整式M 共有16个．其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3二、填空题:(本大题8个小题,每小题4分,共32分)请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．11.计算:011(3)()2π--+＝_____．12.如果一个多边形的每一个外角都是40︒,那么这个多边形的边数为______．13.重庆是一座魔幻都市,有着丰富的旅游资源．甲、乙两人相约来到重庆旅游,两人分别从A ,B ,C 三个景点中随机选择一个景点游览,甲、乙两人同时选择景点B 的概率为_____．14.随着经济复苏,某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元,2023年缴税48.4万元,该公司这两年缴税的年平均增长率是______．15.如图,在ABC ∆中,延长AC 至点D ,使CD CA =,过点D 作DE CB ∥,且DE DC =,连接AE 交BC 于点F ．若CAB CFA ∠=∠,1CF =,则BF =______．16.若关于x 的不等式组()411321x x x x a -⎧<+⎪⎨⎪+≥-+⎩至少有2个整数解,且关于y 的分式方程13211a y y-=---的解为非负整数,则所有满足条件的整数a 的值之和为______．17.如图,以AB 为直径的O 与AC 相切于点A ,以AC 为边作平行四边形ACDE ,点D ,E 均在O 上,DE 与AB 交于点F ,连接CE ,与O 交于点G ,连接DG ．若10,8AB DE ==,则AF =______．DG =______．18.我们规定:若一个正整数A 能写成2m n -,其中m 与n 都是两位数,且m 与n 的十位数字相同,个位数字之和为8,则称A 为“方减数”,并把A 分解成2m n -的过程,称为“方减分解”．例如:因为26022523=-,25与23的十位数字相同,个位数字5与3的和为8,所以602是“方减数”,602分解成26022523=-的过程就是“方减分解”．按照这个规定,最小的“方减数”是______．把一个“方减数”A 进行“方减分解”,即2A m n =-,将m 放在n 的左边组成一个新的四位数B ,若B 除以19余数为1,且22m n k +=(k 为整数),则满足条件的正整数A 为______．三、解答题:(本大题8个小题,第19题8分,其余每小题10分,共78分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形(包括辅助线),请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19.计算(1)()()22x x y x y -++(2)22111a a a a-⎛⎫+÷ ⎪+⎝⎭．20.为了解学生的安全知识掌握情况,某校举办了安全知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩(百分制)进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分(成绩得分用x表示,共分成四组:A ．6070x <≤;B ．7080x <≤;C ．8090x <≤;D ．90100x <≤),下面给出了部分信息七年级20名学生的竞赛成绩为66,67,68,68,75,83,84,86,86,8686,87,87,89,95,95,96,98,98,100.八年级20名学生的竞赛成绩在C 组的数据是:81,82,84,87,88,89．七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表年级七年级八年级平均数8585中位数86b众数a79根据以上信息,解答下列问题(1)上述图表中=a ______,b =______,m =______(2)根据以上数据分析,你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由(写出一条理由即可)(3)该校七年级有400名学生,八年级有500名学生参加了此次安全知识竞赛,估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀()90x >的学生人数是多少？21.在学习了矩形与菱形的相关知识后,小明同学进行了更深入的研究,他发现,过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线,与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形,可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路,完成以下作图与填空(1)如图,在矩形ABCD 中,点O 是对角线AC 的中点．用尺规过点O 作AC 的垂线,分别交AB ,CD 于点E ,F ,连接AF ,CE ．(不写作法,保留作图痕迹)(2)已知:矩形ABCD ,点E ,F 分别在AB ,CD 上,EF 经过对角线AC 的中点O ,且EF AC ⊥．求证:四边形AECF 是菱形．证明:∵四边形ABCD 是矩形∴AB CD ．∴①,OCF OAE ∠=∠．∵点O 是AC 的中点∴②．∴CFO AEO ≅△△(AAS )．∴③．又∵OA OC=∴四边形AECF 是平行四边形．∵EFAC⊥∴四边形AECF 是菱形．进一步思考,如果四边形ABCD 是平行四边形呢？请你模仿题中表述,写出你猜想的结论:④．22.为促进新质生产力的发展,某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新,某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策,更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴,更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备,该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？(2)经测算,购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元,用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同,那么该企业在获得70万元的补贴后,还需投入多少资金更新生产线的设备？23.如图,在ABC 中,6AB =,8BC =,点P 为AB 上一点,过点P 作PQ BC ∥交AC 于点Q ．设AP 的长度为x ,点P ,Q 的距离为1y ,ABC 的周长与APQ △的周长之比为2y ．(1)请直接写出1y ,2y 分别关于x 的函数表达式,并注明自变量x 的取值范围(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数1y ,2y 的图象;请分别写出函数1y ,2y 的一条性质(3)结合函数图象,直接写出12y y >时x 的取值范围．(近似值保留一位小数,误差不超过0.2)24.如图,甲、乙两艘货轮同时从A 港出发,分别向B ,D 两港运送物资,最后到达A 港正东方向的C 港装运新的物资．甲货轮沿A 港的东南方向航行40海里后到达B 港,再沿北偏东60︒方向航行一定距离到达C 港．乙货轮沿A 港的北偏东60︒方向航行一定距离到达D 港,再沿南偏东30︒方向航行一定距离到达C 港．(参考数1.41≈ 1.73≈2.45≈)(1)求A ,C 两港之间的距离(结果保留小数点后一位)(2)若甲、乙两艘货轮的速度相同(停靠B 、D 两港的时间相同),哪艘货轮先到达C 港？请通过计算说明．25.如图,在平面直角坐标系中,抛物线()240y ax bx a =++≠经过点()1,6-,与y 轴交于点C ,与x 轴交于A B ，两点(A 在B 的左侧),连接tan 4AC BC CBA ∠=，，．(1)求抛物线的表达式(2)点P 是射线CA 上方抛物线上的一动点,过点P 作PE x ⊥轴,垂足为E ,交AC 于点D ．点M 是线段DE 上一动点,MN y ⊥轴,垂足为N ,点F 为线段BC 的中点,连接AM NF ，．当线段PD 长度取得最大值时,求AM MN NF ++的最小值(3)将该抛物线沿射线CA 方向平移,使得新抛物线经过(2)中线段PD 长度取得最大值时的点D ,且与直线AC 相交于另一点K ．点Q 为新抛物线上的一个动点,当QDK ACB ∠∠=时,直接写出所有符合条件的点Q 的坐标．26.在ABC 中,AB AC =,点D 是BC 边上一点(点D 不与端点重合)．点D 关于直线AB 的对称点为点E ,连接,AD DE ．在直线AD 上取一点F ,使EFD BAC ∠∠=,直线EF 与直线AC 交于点G ．(1)如图1,若60,,BAC BD CD BAD α∠=︒<∠=,求AGE ∠的度数(用含α的代数式表示)(2)如图1,若60,BAC BD CD ∠=︒<,用等式表示线段CG 与DE 之间的数量关系,并证明(3)如图2,若90BAC ∠=︒,点D 从点B 移动到点C 的过程中,连接AE ,当AEG △为等腰三角形时,请直接写出此时CG AG的值．2024年重庆市中考数学真题试卷(A 卷)答案解析一、选择题．1.A2.C 3.C 4.B 5.D 6.B 7.B 【解析】解:∵2733332312m =-=-==∵3124<<∴34m <<故选:B ．8.D 【解析】解:连接AC根据题意可得28AC AD ==∵矩形ABCD ,∴4AD BC ==,90ABC ∠=︒在Rt ABC △中,2243AB AC BC =-=∴图中阴影部分的面积2904443238360ππ⨯=⨯⨯=．故选:D ．9.A【解析】解:过点F 作DC 延长线的垂线,垂足为点H ,则90H ∠=︒由旋转得,90EA EF AEF =∠=︒∵四边形ABCD 是正方形∴90D Ð=°,DC AB ∥,DA DC BC ==,设1DA DC BC ===∴D H∠=∠∵12AEH AEF D∠=∠+∠=∠+∠∴12∠=∠∴ADE EHF≌∴DE HF =,1AD EH ==,设DE HF x==则1CE DC DE x=-=-∴()11CH EH EC x x=-=--=∴HF CH x ==,而90H ∠=︒∴45HCF ∠=︒∴2sin 45HF CF ==︒∵DC AB∥∴45HCF G ∠=∠=︒同理可求22CG BC ==∴)2221FG CG CF x x =-==-∴)2121x FG CE x-==-故选:A ．10.D【解析】解:∵10,,,n n a a - 为自然数,n a 为正整数,且1105n n n a a a a -+++++= ∴04n ≤≤当4n =时,则2104345a a a a a +++++=∴41a =,23100a a a a ====满足条件的整式有4x 当3n =时,则210335a a a a ++++=∴()()3210,,,2,0,0,0a a a a =,()1,1,0,0,()1,0,1,0,()1,0,0,1满足条件的整式有:32x ,32x x +,3x x +,31x +当2n =时,则21025a a a +++=∴()()210,,3,0,0a a a =,()2,1,0,()2,0,1,()1,2,0,()1,0,2,()1,1,1满足条件的整式有:23x ,22x x +,221x +,22x x +,22x +,21x x ++当1n =时,则1015a a ++=∴()()10,4,0a a =,()3,1,()1,3,()2,2满足条件的整式有:4x ,31x +,3x +,22x +当0n =时,005a +=满足条件的整式有:5∴满足条件的单项式有:4x ,32x ,23x ,4x ,5,故①符合题意不存在任何一个n ,使得满足条件的整式M 有且只有3个;故②符合题意满足条件的整式M 共有1464116++++=个．故③符合题意故选D二、填空题．11.312.913.19【解析】解:画树状图如下由图可知,共有9种等可能的情况,其中甲、乙两人同时选择景点B 的情况有1种∴甲、乙两人同时选择景点B 的的概率为19故答案为:19．14.10%【解析】解:设平均增长率为x ,由题意得()240148.4x +=解得:10.110%x ==,2 2.1x =-(不符合题意,舍去)故答案为:10%．15.3【解析】解:∵CD CA =,过点D 作DE CB ∥,CD CA =,DE DC =∴1FA CA FE CD ==,CD CA DE ==∴AF EF=∴22DE CD AC CF ====∴4AD AC CD =+=∵DE CB∥∴CFA E ∠∠=,ACB D∠∠=∵CAB CFA∠=∠∴CAB E∠∠=∵CD CA =,DE CD=∴CA DE=∴CAB DEA≌∴4BC AD ==∴3BF BC CF =-=故答案为:316.16【解析】解:()411321x x x x a -⎧<+⎪⎨⎪+≥-+⎩①②,解①得:4x <解②得:23a x -≥ 关于x 的一元一次不等式组至少有两个整数解∴223a -≤解得8a ≤解方程13211a y y -=---,得22a y -= 关于y 的分式方程的解为非负整数∴202a -≥且212a -≠,2a -是偶数解得2a ≥且4a ≠,a 是偶数∴28a ≤≤且4a ≠,a 是偶数则所有满足条件的整数a 的值之和是26816++=故答案为:16．17.①.8②.13【解析】解:连接DO 并延长,交O 于点H ,连接GH ,设CE ,AB 交于点M,如图所示∵以AB 为直径的O 与AC 相切于点A∴AB AC⊥∴90CAB ∠=︒∵四边形ACDE 为平行四边形∴∥DE AC ,8AC DE ==∴90BFD CAB ==︒∠∠∴AB DE⊥∴142DF EF DE ===∵10AB =∴152DO BO AO AB ====∴3OF ==∴538AF OA OF =+=+=∵∥DE AC∴EFM CAM∽∴EF FM AC AM=∴48FM AF FM=-即488FM FM=-解得:83FM =∴4133EM ===∵DH 为直径∴90DGH ∠=︒∴DGH EFM∠=∠∵ DGDG =∴DEG DHG=∠∠∴EFM HGD∽∴FM EM DG DH=即84133310DG =解得:201313DG =．故答案为:8;201313．18.①.82②.4564【解析】①设10m a b =+,则108n a b =+-(19a ≤≤,08b ≤≤)由题意得:()()2210108m n a b a b -=+-+-∵19a ≤≤,“方减数”最小∴1a =则10mb =+,18n b=-∴()()2222101810020188221m n b b b b b b b-=+--=++-+=++则当0b =时,2m n -最小,为82故答案为:82②设10m a b =+,则108n a b =+-(19a ≤≤,08b ≤≤)∴10001001081010998B a b a b a b =+++-=++∵B 除以19余数为1∴1010997a b ++能被19整除∴134********B a b a b -++=++为整数又22m n k +=(k 为整数)∴()210108308a b a b a b +++-=++是完全平方数∵19a ≤≤,08b ≤≤∴308a b ++最小为49,最大为256即716k ≤≤设34719a b t ++=,t 为正整数则13t ≤≤当1t =时,3412a b +=,则334b a =-,则330830384a b a a ++=+-+是完全平方数,又19a ≤≤,08b ≤≤,无整数解当2t =时,3431a b +=,则3134a b -=,则3133083084a a b a -++=++是完全平方数,又19a ≤≤,08b ≤≤,无整数解当3t =时,3450a b +=,则5034a b -=,则5033083084a ab a -++=++是完全平方数经检验,当6,8a b ==时,3473648757193a b ++=⨯+⨯+==⨯,23068819614⨯++==,3,14t k ==∴68,60m n ==∴268604564A =-=故答案为:82,4564．三、解答题．19.(1)222x y +(2)11a a +-．20.(1)86，87.5，40；(2)八年级学生竞赛成绩较好，理由见解析；(3)该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是320人．21.(1)见解析(2)①OFC OEA ∠=∠;②OA OC =;③OF OE =;④四边形AECF 是菱形【小问1详解】解:如图所示,即为所求【小问2详解】证明:∵四边形ABCD 是矩形∴AB CD ．∴OFC OEA ∠=∠,OCF OAE ∠=∠．∵点O 是AC 的中点∴OA OC =．∴()AAS CFO AEO ≌．∴OF OE =．又∵OA OC=∴四边形AECF 是平行四边形．∵EF AC⊥∴四边形AECF 是菱形．猜想:过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线,与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形证明:∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB CD ．∴OFC OEA ∠=∠,OCF OAE ∠=∠．∵点O 是AC 的中点∴OA OC =．∴()AAS CFO AEO ≌．∴OF OE =．又∵OA OC=∴四边形AECF 是平行四边形．∵EF AC⊥∴四边形AECF 是菱形．故答案为:①OFC OEA ∠=∠;②OA OC =;③OF OE =;④四边形AECF 是菱形．22.(1)该企业甲类生产线有10条,则乙类生产线各有20条(2)需要更新设备费用为1330万元【小问1详解】解:设该企业甲类生产线有x 条,则乙类生产线各有()30x -条,则()323070x x +-=解得:10x =则3020x -=答:该企业甲类生产线有10条,则乙类生产线各有20条【小问2详解】解:设购买更新1条甲类生产线的设备为m 万元,则购买更新1条乙类生产线的设备为()5m -万元,则2001805m m =-解得:50m =经检验:50m =是原方程的根,且符合题意则545m -=则还需要更新设备费用为10502045701330⨯+⨯-=(万元)23.(1)()()124606063y x x y x x=<≤=<≤，(2)函数图象见解析,1y 随x 增大而增大,2y 随x 增大而减小(3)2.26x <≤【小问1详解】解:∵PQ BC∥∴APQ ABC∽∴APQABC C PQ AP C BC AB==△△∴12686y x AB y AP x ===∴()()124606063y x x y x x =<≤=<≤，【小问2详解】解:如图所示,即为所求由函数图象可知,1y 随x 增大而增大,2y 随x 增大而减小【小问3详解】解:由函数图象可知,当12y y >时x 的取值范围2.26x <≤．24.(1)A ,C 两港之间的距离77.2海里(2)甲货轮先到达C 港．【小问1详解】如图,过B 作BE AC ⊥于点E∴90AEB CEB ∠=∠=︒由题意可知:45GAB ∠=︒,60EBC ∠=︒∴45BAE ∠=︒∴cos 40cos 45202AE AB BAE =∠=⨯︒=∴tan 260236CE BE EBC =∠=︒=⨯∴2026201.4120 2.4577.2AC AE CE =+=⨯+⨯≈(海里)∴A ,C 两港之间的距离77.2海里【小问2详解】由(1)得:45BAE ∠=︒,60EBC ∠=︒,77.2AC =∴sin 40sin 45202BE AB BAE =∠=⨯︒=∴20220256.41cos cos 602BE BC EBC ====≈∠︒由题意得:60ADF ∠=︒,30CDF ∠=︒∴90ADC ∠=︒∴1177.238.622CD AC ==⨯=, 1.73cos3077.266.82AD AC =︒=⨯≈(海里)∴甲行驶路程为:4056.496.4AB BC +=+=(海里),乙行驶路程为:66.838.6105.4AD CD +=+=(海里)∵96.4105.4<,且甲、乙速度相同∴甲货轮先到达C 港．25.(1)234y x x =--+(2)AM MN NF ++的最小值为4122+(3)符合条件的点Q 的坐标为()1,2--或1943,416⎛⎫-⎪⎝⎭．【小问1详解】解:令0x =,则4y =∴()0,4C ∴4OC =∵tan 4CBA ∠=∴4OC OB=∴1OB =∴()1,0B 将()1,0B 和()1,6-代入24y ax bx =++得6404a b a b =-+⎧⎨=++⎩解得13a b =-⎧⎨=-⎩∴抛物线的表达式为234y x x =--+【小问2详解】解:令0y =,则2034x x =--+解得4x =-或1x =∴()4,0A -设直线AC 的解析式为4y mx =+代入()4,0A -,得044m =-+解得1m =∴直线AC 的解析式为4y x =+设()2,34P p p p --+(40p -<<),则(),4D p p +∴()()2234424PD p p p p =--+-+=-++∵10-<∴当2p =-时,PD 最大,此时()2,6P -∴2AE =,2MN OE ==,()2,0E -∴AE MN =,AE MN∥连接EN∴四边形AMNE 是平行四边形∴AM EN=∴AM MN NF EN MN NF MN EF++=++≥+∴当E N F 、、共线时,EF 取最小值,即AM MN NF ++取最小值∵点F 为线段BC 的中点∴1,22F ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴2EF ==∴AM MN NF ++的最小值为4122+【小问3详解】解:由(2)得点D 的横坐标为2-,代入4y x =+,得2y =∴()2,2D -∴新抛物线由234y x x =--+向左平移2个单位,向下平移2个单位得到∴()()222324278y x x x x =-+-++-=---'过点D 作1DQ BC ∥交抛物线y '于点1Q ∴1Q DK BCA∠=∠同理求得直线BC 的解析式为44y x =-+∵1DQ BC∥∴直线1DQ 的解析式为46y x =--联立得28476x x x =-----解得11x =-,22x =-当=1x -时,=2y -∴()11,2Q --作1DQ 关于直线AC 的对称线得2DQ 交抛物线y '于点2Q ∴21Q DK Q DK BCA∠=∠=∠设1DQ 交x 轴于点G由旋转的性质得到DG DG '=过点D 作DR x ∥轴,作DH x ⊥轴于点H ,作G H DR ''⊥于点H '当0y =时,046x =--解得32x =-∴3,02G ⎛⎫- ⎪⎝⎭∵()4,0A -,()0,4C ∴OA OC=∴45OAC OCA ∠=∠=︒∵DR x ∥轴∴45RDA DAH ADH ∠=∠=∠=︒∴G DH GDH''∠=∠∵90G H D GHD ∠=∠=''︒,DG DG '=∴GD H GDH''≌△△∴31222G H GH ''==-=,2DH DH '==∴54,2G ⎛⎫- ⎪⎝⎭'同理直线2DQ 的解析式为4213=-+y x 联立2134278x x x =--+--解得2x =-或194x =-当194x =-时,11934344216y ⎛⎫=-⨯-+= ⎪⎝⎭∴21943,416Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭综上,符合条件的点Q 的坐标为()1,2--或1943,416⎛⎫-⎪⎝⎭．26.(1)60α︒+(2)CG =(3)12或352+【小问1详解】解:如图∵EFD BAC ∠∠=,60BAC ∠=︒∴60EFD ∠=︒∵11EFD BAD α∠=∠+∠=∠+∴160α∠=︒-∵1180AGE BAC ∠+∠+∠=︒∴1806011201AGE ∠=︒-︒-∠=︒-∠∴()1206060AGE αα∠=︒-︒-=︒+【小问2详解】解:CG =在CG 上截取CM BD =,连接,,BM BE AE ,BM 交AD 于点H ,∵,60AB AC BAC =∠=︒∴BCA V 为等边三角形∴60,ABC C BC AB ∠=∠=︒=∴ABD BCM△≌△∴3=4∠∠∵35AHM ∠=∠+∠∴4560AHM ∠=∠+∠=︒∵60EFD BAC ∠=∠=︒∴AHM EFD∠=∠∴EG BM∥∵点D 关于直线AB 的对称点为点E ∴,,60AE AD BE BD ABE ABC ==∠=∠=︒∴120EBC ∠=︒∴180EBC C ∠+∠=︒∴EB AC∥∴四边形EBMG 是平行四边形∴BE GM=∴BE GM BD CM ===∴2CG BD=记AB 与DE 的交点为点N 则由轴对称可知:DE AB ⊥,NE ND=∴Rt DNB 中,sin 2DN BD ABC =⋅∠=∴2DE DN ==∴CG DE ==∴CG =【小问3详解】解:连接BE ,记AB 与DE 的交点为点N∵,90AB AC EFD BAC =∠=∠=︒∴=45ABC ∠︒由轴对称知,45,,EAB DAB EBA DBA DE AB NE ND ∠=∠∠=∠=︒⊥=当点G 在边AC 上时,由于90EAG ∠>︒∴当AEG △为等腰三角形时,只能是AE AG =同(1)方法得BAD ∠=α,AGE α∠=∴EAB α∠=∴2∠=EAD α∵,AE AG EG AD=⊥∴2FAG EAD α∠=∠=∴Rt AFG △中,290αα+=︒,解得30α=︒∴60EAD ∠=︒,而AE AD =∴AED △为等边三角形∴AE ED=设AF x=∵60EAD ∠=︒∴2cos 60AF AG AE ED x ====︒∴DN x =∴在Rt DAN △中,tan DN AN DAB ===∠∵,45DE AB ABC ⊥∠=︒∴tan 45DN BN DN x ===︒∴AC AB x ==+∴)21CG AC AG x x x =-=+-=∴12CG AG -=当点G 在CA 延长线上时,只能是GE GA =,如图设BAD BAE β∠=∠=∴90DAC GAF β∠=∠=︒-,1802EAF β∠=︒-∴90GAE EAF GAF β∠=∠-∠=︒-∵GE GA=∴90GAE GEA β∠=∠=︒-∵90EFD BAC ∠=∠=︒∴在Rt AFE 中,90180290ββ︒-+︒-=︒解得60β=︒∴906030DAC GAF ∠=︒-︒=︒=∠设GF x =,则2AG GE x ==,AF =在Rt EFA △中,23EF x x x =+=,由勾股定理求得AE =在Rt EAN △中,cos60AN AE =⋅︒=,sin 603EN DN BN AE x ===⋅︒=∴3AB AC x ==∴(5CG AG AC x =+=+∴352CG AG +=综上所述:352CG AG +=或12．。
2022年重庆市中考数学试卷(a卷)(解析版)
2022年重庆市中考数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1．（4分）5的相反数是()A．5-B．5C．15-D．1 5【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号，求解即可．【解答】解：5的相反数是5-，故选：A．2．（4分）下列图形是轴对称图形的是()A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；D．是轴对称图形，故此选项符合题意．故选：D．3．（4分）如图，直线AB，CD被直线CE所截，//AB CD，50C∠=︒，则1∠的度数为()A．40︒B．50︒C．130︒D．150︒【分析】根据两直线平行，同旁内角互补即可得出答案．【解答】解：//AB CD，1180C ∴∠+∠=︒，118018050130C ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．故选：C ．4．（4分）如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度()h m 随飞行时间()t s 的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为()A ．5mB ．7mC ．10mD ．13m【分析】根据函数的图象的最高点对应的函数值即可得出答案．【解答】解：观察图象，当3t =时，13h =，∴这只蝴蝶飞行的最高高度约为13m ，故选：D ．5．（4分）如图，ABC ∆与DEF ∆位似，点O 为位似中心，相似比为2:3．若ABC ∆的周长为4，则DEF ∆的周长是()A ．4B ．6C ．9D ．16【分析】根据位似图形是相似图形，相似三角形的周长比等于相似比，可以求得DEF ∆的周长．【解答】解：ABC ∆ 与DEF ∆位似，相似比为2:3．:2:3ABC DEF C C ∆∆∴=，ABC ∆ 的周长为4，DEF ∴∆的周长是6，故选：B ．6．（4分）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为()A ．32B ．34C ．37D ．41【分析】根据图形的变化规律得出第n 个图形中有41n +个正方形即可．【解答】解：由题知，第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，⋯，第n 个图案中有41n +个正方形，∴第⑨个图案中正方形的个数为49137⨯+=，故选：C ．7．（4的值应在()A ．10和11之间B ．9和10之间C ．8和9之间D ．7和8之间【分析】先计算出原式得6，再根据无理数的估算可得答案．【解答】解：原式6==91516<< ，34∴<<，9610∴<+<．故选：B ．8．（4分）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是()A ．2200(1)242x +=B ．2200(1)242x -=C ．200(12)242x +=D ．200(12)242x -=【分析】设该快递店揽件日平均增长率为x ，关系式为：第三天揽件数=第一天揽件数(1⨯+揽件日平均增长率）2，把相关数值代入即可．【解答】解：设该快递店揽件日平均增长率为x ，根据题意，可列方程：2200(1)242x +=，故选：A ．9．（4分）如图，在正方形ABCD 中，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，点F 是边AB 上一点，连接DF ，若BE AF =，则CDF ∠的度数为()A ．45︒B ．60︒C ．67.5︒D ．77.5︒【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质，可以得到ADF ∠的度数，从而可以求得CDF ∠的度数．【解答】解： 四边形ABCD 是正方形，AD BA ∴=，90DAF ABE ∠=∠=︒，在DAF ∆和ABE ∆中，AD BA DAF ABE AF BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAF ABE SAS ∆≅∆，ADF BAE ∠=∠，AE 平分BAC ∠，四边形ABCD 是正方形，122.52BAE BAC ∴∠=∠=︒，90ADC ∠=︒，22.5ADF ∴∠=︒，9022.567.5CDF ADC ADF ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故选：C ．10．（4分）如图，AB 是O 的切线，B 为切点，连接AO 交O 于点C ，延长AO 交O 于点D ，连接BD ．若A D ∠=∠，且3AC =，则AB 的长度是()A ．3B ．4C ．D ．【分析】连接OB ，则OB AB ⊥，由勾股定理可知，222AB OA OB =-①，由OB 和OD 是半径，所以A D OBD ∠=∠=∠，所以OBD BAD ∆∆∽，AB BD =，可得2BD OD AD =⋅，所以22OA OB OD AD -=⋅，设OD x =，则23AD x =+，OB x =，3OA x =+，所以22(3)(23)x x x x +-=+，求出x 的值，即可求出OA 和OB 的长，进而求得AB 的长．【解答】解：如图，连接OB ，AB 是O 的切线，B 为切点，OB AB ∴⊥，222AB OA OB ∴=-，OB 和OD 是半径，D OBD ∴∠=∠，A D ∠=∠ ，A D OBD ∴∠=∠=∠，OBD BAD ∴∆∆∽，AB BD =，::OD BD BD AD ∴=，2BD OD AD ∴=⋅，即22OA OB OD AD -=⋅，设OD x =，3AC = ，23AD x ∴=+，OB x =，3OA x =+，22(3)(23)x x x x ∴+-=+，解得3x =（负值舍去），6OA ∴=，3OB =，22227AB OA OB ∴=-=，AB ∴=故选：C．11．（4分）若关于x 的一元一次不等式组411,351x x x a-⎧-⎪⎨⎪-<⎩的解集为2x -，且关于y 的分式方程1211y a y y -=-++的解是负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是()A ．26-B ．24-C ．15-D ．13-【分析】解不等式组得出215x a x -⎧⎪+⎨<⎪⎩，结合题意得出11a >-，解分式方程得出13a y -=，结合题意得出8a =-或5-，进而得出所有满足条件的整数a 的值之和是8513--=-，即可得出答案．【解答】解：解不等式组411351x x x a -⎧-⎪⎨⎪-<⎩得：215x a x -⎧⎪+⎨<⎪⎩，不等式组411351x x x a-⎧-⎪⎨⎪-<⎩的解集为2x -，∴12 5a+>-，11a∴>-，解分式方程1211y ay y-=-++得：13ay-=，y是负整数且1y≠-，∴13a-是负整数且113a-≠-，8a∴=-或5-，∴所有满足条件的整数a的值之和是8513--=-，故选：D．12．（4分）在多项式x y z m n----中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”．例如：()()x y z m n x y z m n----=--++，()x y z m n x y z m n----=--+-，⋯．下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果．其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3【分析】根据“加算操作”的定义可知，当只给x y-加括号时，和原式相等；因为不改变x，y的运算符号，故不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0在多项式x y z m n----中，可通过加括号改变z，m，n的符号，因为z，m，n中只有加减两种运算，求出即可．【解答】解：①()x y z m n x y z m n----=----，与原式相等，故①正确；② 在多项式x y z m n----中，可通过加括号改变z，m，n的符号，无法改变x，y的符号，故不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；故②正确；③在多项式x y z m n----中，可通过加括号改变z，m，n的符号，加括号后只有加减两种运算，2228∴⨯⨯=种，所有可能的加括号的方法最多能得到8种不同的结果．故选：D ．二、填空题（本大题四个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．13．（4分）计算：0|4|(3)π-+-=5．【分析】根据绝对值的性质和零指数幂的性质计算即可．【解答】解：原式415=+=．故答案为：5．14．（4分）有三张完全一样正面分别写有字母A ，B ，C 的卡片．将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的字母后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的字母相同的概率是13．【分析】根据题意列出图表得出所有等情况数和两次抽出的卡片上的字母相同的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：根据题意列表如下：AB C A AA BA CA B AB BB CB CACBCCC共有9种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上的字母相同的有3种情况，所以抽取的两张卡片上的字母相同的概率为3193=，故答案为：13．15．（4分）如图，菱形ABCD 中，分别以点A ，C 为圆心，AD ，CB 长为半径画弧，分别交对角线AC 于点E ，F ．若2AB =，60BAD ∠=︒，则图中阴影部分的面积为6323π-．（结果不取近似值）【分析】根据菱形的性质求出对角线的长，进而求出菱形的面积，再根据扇形面积的计算方法求出扇形ADE 的面积，由2ADE ABCD S S S =-阴影部分扇形菱形可得答案．【解答】解：如图，连接BD 交AC 于点O ，则AC BD ⊥， 四边形ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，30BAC ACD ∴∠=∠=︒，2AB BC CD DA ====，在Rt AOB ∆中，2AB =，30BAO ∠=︒，112BO AB ∴==，32AO AB ==，2AC OA ∴==，22BD BO ==，12ABCD S AC BD ∴=⋅=菱形，2ADE ABCD S S S ∴=-阴影部分扇形菱形2602360π⨯=-6323π-=，故答案为：6323π-．16．（4分）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为5:6:7，需香樟数量之比为4:3:9，并且甲、乙两山需红枫数量之比为2:3．在实际购买时，香樟的价格比预算低20%，红枫的价格比预算高25%，香樟购买数量减少了6.25%，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为35．【分析】分别设出甲乙丙三山的香樟数量、红枫数量及总量，根据甲乙两山红枫数量关系，得出甲乙丙三山香樟和红枫的数量（只含一个字母），进而根据“所花费用和预算费用相等”列出等式，从而求得香樟和红枫的单价之间关系，进一步求得结果．【解答】解：根据题意，如表格所设：香樟数量红枫数量总量甲4x 54y x -5y 乙3x 63y x -6y 丙9x79y x-7y甲、乙两山需红枫数量之比为2:3，∴542633y x y x -=-，2y x ∴=，故数量可如下表：香樟数量红枫数量总量甲4x 6x 10x 乙3x 9x 12x 丙9x5x14x所以香樟的总量是16x ，红枫的总量是20x ，设香樟的单价为a ，红枫的单价为b ，由题意得，[16(1 6.25%)][(120%)]20[(125%)]1620x a x b x a x b ⋅-⋅⋅-+⋅⋅+=⋅+⋅，12251620a b a b ∴+=+，45a b ∴=，设5a k =，4b k =，∴121253252545a kb k ⨯==⨯，故答案为：35．三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．17．（8分）计算：（1）2(2)(4)x x x ++-；（2）22(1)2a a b b b--÷．【分析】（1）先利用完全平方公式和单项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可；（2）先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，继而约分即可．【解答】解：（1）原式22444x x x x=+++-224x =+；（2）原式()()()2a b a b a b b b b+-=-÷2()()a b b b a b a b -=⋅+-2a b=+．18．（8分）在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形ABCD 中，E 是AD 边上的一点，试说明BCE ∆的面积与矩形ABCD 的面积之间的关系．他的思路是：首先过点E 作BC 的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规，过点E 作BC 的垂线EF ，垂足为F （只保留作图痕迹）．在BAE ∆和EFB ∆中，EF BC ⊥ ，90EFB ∴∠=︒．又90A ∠=︒，∴A EFB ∠=∠，①//AD BC ，∴②又③()BAE EFB AAS ∴∆≅∆．同理可得④111222BCE EFB EFC ABFE EFCD ABCD S S S S S S ∆∆∆∴=+=+=矩形矩形矩形．【分析】以C 为圆心DE 长为半径画弧交BC 于F ，连接CF ，根据已知条件依次写出相应的解答过程即可．【解答】解：根据题意作图如下：由题知，在BAE ∆和EFB ∆中，EF BC ⊥ ，90EFB ∴∠=︒．又90A ∠=︒，A EFB ∴∠=∠，①//AD BC ，AEB FBE ∴∠=∠，②又BE EB =，③()BAE EFB AAS ∴∆≅∆．同理可得()EDC CFE AAS ∆≅∆，④111222BCE EFB EFC ABFE EFCD ABCD S S S S S S ∆∆∆∴=+=+=矩形矩形矩形，故答案为：①A EFB ∠=∠，②AEB FBE ∠=∠，③BE EB =，④()EDC CFE AAS ∆≅∆．四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在对应的位置上．19．（10分）公司生产A 、B 两种型号的扫地机器人，为了解它们的扫地质量，工作人员从某月生产的A 、B 型扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘量的数据（单位：)g ，并进行整理、描述和分析（除尘量用x 表示，共分为三个等级：合格8085x <，良好8595x <，优秀95)x ，下面给出了部分信息：10台A 型扫地机器人的除尘量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98．10台B 型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94抽取的A 、B 型扫地机器人除尘量统计表型号平均数中位数众数方差“优秀”等级所占百分比A 9089a 26.640%B 90b 903030%根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a =95，b =，m =；（2）这个月公司可生产B 型扫地机器人共3000台，估计该月B 型扫地机器人“优秀”等级的台数；（3）根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理由（写出一条理由即可）．【分析】（1）根据众数、中位数概念可求出a 、b 的值，由B 型扫地机器人中“良好”等级占50%，“优秀”等级所占百分比为30%，可求出m 的值；（2）用3000乘30%即可得答案；（3）比较A 型、B 型扫地机器人的除尘量平均数、众数可得答案．【解答】解：（1）在83，84，84，88，89，89，95，95，95，98中，出现次数最多的是95，∴众数95a =，10台B 型扫地机器人中“良好”等级有5台，占50%，“优秀”等级所占百分比为30%，∴“合格”等级占150%30%20%--=，即20m =，把B 型扫地机器人的除尘量从小到大排列后，第5个和第6个数都是90，90b ∴=，故答案为：95，90，20；（2）该月B 型扫地机器人“优秀”等级的台数300030%900⨯=（台)；（3）A 型号的扫地机器人扫地质量更好，理由是在平均除尘量都是90的情况下，A 型号的扫地机器人除尘量的众数B >型号的扫地机器人除尘量的众数（理由不唯一）．20．（10分）已知一次函数(0)y kx b k =+≠的图象与反比例函数4y x=的图象相交于点(1,)A m ，(,2)B n -．（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；（2）根据函数图象，直接写出不等式4kx b x+>的解集；（3）若点C 是点B 关于y 轴的对称点，连接AC ，BC ，求ABC ∆的面积．【分析】（1）根据反比例函数解析式求出A 点和B 点的坐标，然后用待定系数法求出一次函数的表达式即可；（2）根据图象直接得出不等式的解集即可；（3）根据对称求出C 点坐标，根据A 点、B 点和C 点坐标确定三角形的底和高，进而求出三角形的面积即可．【解答】解：（1） 反比例函数4y x =的图象过点(1,)A m ，(,2)B n -，∴41m =，42n =-，解得4m =，2n =-，(1,4)A ∴，(2,2)B --，一次函数(0)y kx b k =+≠的图象过A 点和B 点，∴422k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得22k b =⎧⎨=⎩，∴一次函数的表达式为22y x =+，描点作图如下：（2）由（1）中的图象可得，不等式4kx b x+>的解集为：20x -<<或1x >；（3）由题意作图如下：由图知ABC ∆中BC 边上的高为6，4BC =，146122ABC S ∆∴=⨯⨯=．21．（10分）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A 地沿相同路线骑行去距A 地30千米的B 地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．（1）若乙先骑行2千米，甲才开始从A 地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；（2）若乙先骑行20分钟，甲才开始从A 地出发，则甲、乙恰好同时到达B 地，求甲骑行的速度．【分析】（1）设乙骑行的速度为x 千米/时，则甲骑行的速度为1.2x 千米/时，利用路程=速度⨯时间，结合甲追上乙时二者的行驶路程相等，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可求出乙骑行的速度，再将其代入1.2x 中即可求出甲骑行的速度；（2）设乙骑行的速度为y 千米/时，则甲骑行的速度为1.2y 千米/时，利用时间=路程÷速度，结合乙比甲多用20分钟，即可得出关于y 的分式方程，解之经检验后即可求出乙骑行的速度，再将其代入1.2y 中即可求出甲骑行的速度．【解答】解：（1）设乙骑行的速度为x 千米/时，则甲骑行的速度为1.2x 千米/时，依题意得：111.2222x x ⨯=+，解得：20x =，1.2 1.22024x ∴=⨯=．答：甲骑行的速度为24千米/时．（2）设乙骑行的速度为y 千米/时，则甲骑行的速度为1.2y 千米/时，依题意得：3030201.260y y -=，解得：15y =，经检验，15y =是原方程的解，且符合题意，1.2 1.21518y ∴=⨯=．答：甲骑行的速度为18千米/时．22．（10分）如图，三角形花园ABC 紧邻湖泊，四边形ABDE 是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C 在点A 的正东方向，200AC =米．点E 在点A 的正北方向．点B ，D 在点C 的正北方向，100BD =米．点B 在点A 的北偏东30︒，点D 在点E 的北偏东45︒．（1）求步道DE 的长度（精确到个位）；（2）点D 处有直饮水，小红从A 出发沿人行步道去取水，可以经过点B 到达点D ，也可以经过点E 到达点D ．请计算说明他走哪一条路较近？1.414≈ 1.732)≈【分析】（1）过D 作DF AE ⊥于F ，由已知可得四边形ACDF 是矩形，则200DF AC ==米，根据点D 在点E 的北偏东45︒，即得283DE ==≈（米)；（2）由DEF ∆是等腰直角三角形，283DE =米，可得200EF DF ==米，而30ABC ∠=︒，即得2400AB AC ==米，BC ==米，又100BD =米，即可得经过点B 到达点D 路程为500AB BD +=米，100)CD BC BD =+=米，从而可得经过点E 到达点D 路程为100529AE DE +=+≈米，即可得答案．【解答】解：（1）过D 作DF AE ⊥于F ，如图：由已知可得四边形ACDF 是矩形，200DF AC ∴==米，点D 在点E 的北偏东45︒，即45DEF ∠=︒，DEF ∴∆是等腰直角三角形，283DE ∴==≈（米)；（2）由（1）知DEF ∆是等腰直角三角形，283DE =米，200EF DF ∴==米，点B 在点A 的北偏东30︒，即30EAB ∠=︒，30ABC ∴∠=︒，200AC = 米，2400AB AC ∴==米，BC =米，100BD = 米，∴经过点B 到达点D 路程为400100500AB BD +=+=米，100)CD BC BD =+=米，100)AF CD ∴==米，100)200100)AE AF EF ∴=-=-=米，∴经过点E 到达点D 路程为100529AE DE +=-+≈米，529500> ，∴经过点B 到达点D 较近．23．（10分）若一个四位数M 的个位数字与十位数字的平方和恰好是M 去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M 为“勾股和数”．例如：2543M =，223425+= ，2543∴是“勾股和数”；又如：4325M =，225229+= ，2943≠，4325∴不是“勾股和数”．（1）判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；（2）一个“勾股和数”M 的千位数字为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，记()9c d G M +=，|10()()|()3a cb d P M -+-=．当()G M ，()P M 均是整数时，求出所有满足条件的M ．【分析】（1）由“勾股和数”的定义可直接判断；（2）由题意可知，2210a b c d +=+，且220100c d <+<，由()G M 为整数，可知9c d +=，再由()P M 为整数，可得22812c d cd +=-为3的倍数，由此可得出M 的值．【解答】解：（1）22228+= ，820≠，2022∴不是“勾股和数”，225550+= ，5055∴是“勾股和数”；（2）M 为“勾股和数”，2210a b c d ∴+=+，220100c d ∴<+<，()G M 为整数，9c d +为整数，9c d ∴+=，22|10()()||99|()33a cb dcd c P M -+-+--∴==为整数，22812c d cd ∴+=-为3的倍数，cd ∴为3的倍数．∴①0c =，9d =或9c =，0d =，此时8109M =或8190；②3c =，6d =或6c =，3d =，此时4536M =或4563．24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++与直线AB 交于点(0,4)A -，(4,0)B ．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点C ，过点P作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求PC PD +的最大值及此时点P 的坐标；（3）在（2）中PC PD +取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点F ，M 为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N ，使得以点E ，F ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．Ⅷ【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为2142y x x =--；（2）设直线AB 解析式为y kx t =+，把(0,4)A -，(4,0)B 代入可得直线AB 解析式为4y x =-，设21(,4)2P m m m --，则2142PD m m =-++，可得21(2C m m -，214)2m m --，2122PC m m =-+，则2222113252434()2224PC PD m m m m m m m +=-+-++=-+-=--+，利用二次函数性质可得PC PD +的最大值为254，此时点P 的坐标是3(2，35)8-；（3）将抛物线2142y x x =--向左平移5个单位得抛物线217422y x x =++，对称轴是直线4x =-，即可得7(0,)2F ，7(2E -，35)8-，设(4,)M n -，217(,422N r r r ++，分三种情况：①当EF 、MN 为对角线时，EF 、MN 的中点重合，可得1(2N ，458；②当FM 、EN 为对角线时，FM 、EN 的中点重合，可得1(2N -，138；③当FN 、EM 为对角线时，FN 、EM 的中点重合，可得15(2N -，138．【解答】解：（1）把(0,4)A -，(4,0)B 代入212y x bx c =++得：4840c b c =-⎧⎨++=⎩，解得14b c =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线的函数表达式为2142y x x =--；（2）设直线AB 解析式为y kx t =+，把(0,4)A -，(4,0)B 代入得：440t k t =-⎧⎨+=⎩，解得14k t =⎧⎨=-⎩，∴直线AB 解析式为4y x =-，设21(,4)2P m m m --，则2142PD m m =-++，在4y x =-中，令2142y m m =--得212x m m =-，21(2C m m ∴-，214)2m m --，2211()222PC m m m m m ∴=--=-+，2222113252434()2224PC PD m m m m m m m ∴+=-+-++=-++=--+，10-< ，∴当32m =时，PC PD +取最大值254，此时221133354(422228m m --=⨯--=-，3(2P ∴，35)8-；答：PC PD +的最大值为254，此时点P 的坐标是3(2，35)8-；（3） 将抛物线2142y x x =--向左平移5个单位得抛物线22117(5)(5)44222y x x x x =+-+-=++，∴新抛物线对称轴是直线44122x =-=-⨯，在217422y x x =++中，令0x =得72y =，7(0,)2F ∴，将3(2P ，35)8-向左平移5个单位得7(2E -，35)8-，设(4,)M n -，217(,422N r r r ++，①当EF 、MN 为对角线时，EF 、MN 的中点重合，∴270427351742822r n r r ⎧-=-+⎪⎪⎨⎪-=+++⎪⎩，解得12r =，∴22171117454()42222228r r ++=⨯+⨯+=，1(2N ∴，458；②当FM 、EN 为对角线时，FM 、EN 的中点重合，∴270427351742822r n r r ⎧-=-+⎪⎪⎨⎪+=-+++⎪⎩，解得12r =-，∴22171117134()4()2222228r r ++=⨯-+⨯-+=，1(2N ∴-，13)8；③当FN 、EM 为对角线时，FN 、EM 的中点重合，∴270427173542228r r r n ⎧+=--⎪⎪⎨⎪+++=-+⎪⎩，解得152r =-，∴2217115157134(4()2222228r r ++=⨯-+⨯-+=，15(2N ∴-，138；综上所述，N 的坐标为：1(2，45)8或1(2-，138或15(2-，13)8．25．（10分）如图，在锐角ABC ∆中，60A ∠=︒，点D ，E 分别是边AB ，AC 上一动点，连接BE 交直线CD 于点F ．（1）如图1，若AB AC >，且BD CE =，BCD CBE ∠=∠，求CFE ∠的度数；（2）如图2，若AB AC =，且BD AE =，在平面内将线段AC 绕点C 顺时针方向旋转60︒得到线段CM ，连接MF ，点N 是MF 的中点，连接CN ．在点D ，E 运动过程中，猜想线段BF ，CF ，CN 之间存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）若AB AC =，且BD AE =，将ABC ∆沿直线AB 翻折至ABC ∆所在平面内得到ABP ∆，点H 是AP 的中点，点K 是线段PF 上一点，将PHK ∆沿直线HK 翻折至PHK ∆所在平面内得到QHK ∆，连接PQ ．在点D ，E 运动过程中，当线段PF 取得最小值，且QK PF ⊥时，请直接写出PQ BC 的值．【分析】（1）如图1中，在射线CD 上取一点K ，使得CK BE =，证明()BCE CBK SAS ∆≅∆，推出BK CE =，BEC BKD ∠=∠，再证明180ADF AEF ∠+∠=︒，可得结论；（2）结论：2BF CF CN +=．首先证明120BFC ∠=︒．如图21-中，延长CN 到Q ，使得NQ CN =，连接FQ ，证明()CNM QNF SAS ∆≅∆，推出FQ CM BC ==，延长CF 到P ，使得PF BF =，则PBF ∆是等边三角形，再证明()PFQ PBC SAS ∆≅∆，推出PQ PC =，60CPB QPF ∠=∠=︒，推出PCQ ∆是等边三角形，可得结论；（3）由（2）可知120BFC ∠=︒，推出点F 的运动轨迹为红色圆弧（如图31-中），推出P ，F ，O 三点共线时，PF 的值最小，此时tanAO APK AP ∠==，如图32-中，过点H 作HL PK ⊥于点L ，设2HL LK ==，PL =，PH =，KH =PQ ，可得结论．【解答】解：（1）如图1中，在射线CD 上取一点K ，使得CK BE =，在BCE ∆和CBK ∆中，BC CB BCK CBE BE CK =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCE CBK SAS ∴∆≅∆，BK CE ∴=，BEC BKD ∠=∠，CE BD = ，BD BK ∴=，BKD BDK ADC CEB ∴∠=∠=∠=∠，180BEC AEF ∠+∠=︒ ，180ADF AEF ∴∠+∠=︒，180A EFD ∴∠+∠=︒，60A ∠=︒ ，120EFD ∴∠=︒，18012060CFE ∴∠=︒-︒=︒；（2）结论：2BF CF CN +=．理由：如图2中，AB AC = ，60A ∠=︒，ABC ∴∆是等边三角形，AB CB ∴=，60A CBD ∠=∠=︒，AE BD = ，()ABE BCD SAS ∴∆≅∆，BCF ABE ∴∠=∠，60FBC BCF ∴∠+∠=︒，120BFC ∴∠=︒，如图21-中，延长CN 到Q ，使得NQ CN =，连接FQ ，NM NF = ，CNM FNQ ∠=∠，CN NQ =，()CNM QNF SAS ∴∆≅∆，FQ CM BC ∴==，延长CF 到P ，使得PF BF =，则PBF ∆是等边三角形，120PBC PCB PCB FCM ∴∠+∠=∠+∠=︒，PFQ FCM PBC ∴∠=∠=∠，PB PF = ，()PFQ PBC SAS ∴∆≅∆，PQ PC ∴=，60CPB QPF ∠=∠=︒，PCQ ∴∆是等边三角形，2BF CF PC QC CN ∴+===．（3）由（2）可知120BFC ∠=︒，∴点F 的运动轨迹为红色圆弧（如图31-中），P ∴，F ，O 三点共线时，PF 的值最小，此时tanAO APK AP ∠==45HPK ∴∠>︒，QK PF ⊥ ，45PKH QKH ∴∠=∠=︒，如图32-中，过点H 作HL PK ⊥于点L ，设PQ 交KH 题意点J ，设2HL LK ==，PL =，PH =，KH =1122PHK S PK HL KH PJ ∆=⋅⋅=⋅⋅ ，22PQ PJ ∴===+∴14PQ BC =．。
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重庆近三年中考数学试卷分析
近三年来重庆市中考数学试题与重庆市教科院发布的考试说明基本一致，试卷结构稳定，考查的内容每年都有少量变化，从题型到考试内容基本固定，但具体到每到试题有很大变化，特别是解答题，总体难度逐年有所增加。
1.题型与题量
全卷均为满分150分，三种题型，26个题，其中12个选择题，6个填空题，8个解答题。
三种题型的分数比为48：24:78，占比略为32%、16%、52%。
其中1-9,13-16,19-22为容易做的题，占比略为60%，10,11,17,23,24,25为中档题，占比略为30%，其他的为比较难的题，占比略为10%。
2.考查知识点情况
由图我们得知，统计与概率相关问题的分值占比为12%，几何问题占比29%，实数的考查占比为20%，一次函数、反比例函数和二次函数占比为33%，新概念题型占比为6%。
总的来说，近几年的中考数学试题考查了基础知识和基础技能，数学逻辑思维，解决问题的能力，其中试题还突出考查了学生运用数学知识解决实际问题的能力。
对方程与不等式、函数与其图像的性质、几何图形的变换、统计与概率问题等重点内容进行了重点考查。
除此之外，这些数学试题还让学生其实感受到生活中存在大量数学知识信息，引导学生关注社会，关注生活，体现了数学的运用价值。