线线平行垂直,线面平行垂直,面面平行垂直判定与性质
直线、平面平行和垂直的判定和性质
龙文教育个性化辅导授课案
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四、平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言
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判 定 定 理 一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。
性 质 定 理
两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
例1：下列命题中错误的是 （ ）
（A ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
（B ）如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β （C ）如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，=l αβ⋂，那么l ⊥平面γ （D ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
例2：已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，下面有三个命题：①α∥β⇒l ⊥m ；
②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β.则真命题的个数为________．
例3：如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
例4：在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，
则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
龙文教育教务处制。
直线平面平行、垂直地判定及其性质的知识点
一、直线、平面平行的判定与其性质知识点一、直线与平面平行的判定ii .思考：如图，设直线b在平面a内，直线a在平面a外，猜测在什么条件下直线a与平面a 平行.〔a|| b〕※判定定理的证明特别提示证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线平行，证得“线面〃平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面〃平行，证得“线面〃平行. 知识点三、平面与平面平行的判定、直线、平面垂直的判定与其性质知识点一、直线和平面垂直的定义与判定要点诠释：定义中“平面-内的任意一条直线"就是指“平面二：内的所有直线"，这与“无数条直线〃不同〔线线垂直线面垂直〕知识点二、二面角I.二面角：：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角〔dihedral angle 〕.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面•记作二面角一AB —.〔简记P —AB —Q〕.面角的平面角的三个特征：i .点在棱上ii.线在面内iii.与棱垂直n .二面角的平面角：在二面角一I —的棱I上任取一点O ,以点O为垂足，在半平面，内分别作垂直于棱丨的射线OA和0B，如此射线OA和0B构成的AOB叫做二面角的平面角• 作用：衡量二面角的大小；X 围：0°180°.2能保证直线 a 与平面a 平行的条件是〔A 〕 A.a a ,b a ,a / bB .b a ,a / b知识点四、平面和平面垂直的定义和判定定义 判定文字描述 两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角，就说这两个平面垂直 .一个平面过另一个平面的垂线，如此这两 个平面垂直 图形 k z结果aAp = l a -l- B =90° 戸 a 丄 B 1 丄 cxj c a:丄 0〔垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是“任何〃“随意〃“无数〃等字眼〕 知识点五、平面和平面垂直的性质面面垂直 '线面垂直〔如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与一个面平垂直〕例题1.如图，假如 是长方体ABCD-ABCQ 被平面EFGH 截去几何体 EFGHBD 后得到的几 何体，其中E 为线段A i B i 上异于B i 的点，F 为线段BB 上异于B 的点，且EH// A i D i , 如此如下结论中不正确的答案是A. EH // FGB. 四边形EFGH 是矩形C. 是棱柱D.是棱台 C. b a ,c / a ,a / b,a / cD. b a ,A € a,B € a,C € b ,D € b 且 AC = BD3如下命题正确的答案是〔 DF 〕A. 平行于同一平面的两条直线平行B. 假如直线a / a ,如此平面a 内有且仅有一条直线与a 平行 C. 假如直线a / a ,如此平面a 内任一条直线都与a 平行 D. 假如直线a / a ,如此平面a 内有无数条直线与 a 平行E. 如果a 、b 是两条直线，且 a / b ，那么a 平行于经过b 的任何平面F. 如果直线a 、b 和平面a 满足 a / b , a / a ,b a,那么b /a4在空间，如下命题正确的答案是〔A 〕平行直线的平行投影重合〔B 〕平行于同一直线的两个平面平行〔C〕垂直于同一平面的两个平面平行A. m , n〔D〕垂直于同一平面的两条直线平行5m n为两条不同的直线，a、B为两个不同的平面，如此如下命题中正确的答案是B. a m , nm// nC. ml a,m 丄n n / aD. n / m,n丄a m± a〔A〕如果平面丄平面，那么平面内一定直线平行于平面〔B〕如果平面垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面〔C〕如果平面丄平面，平面丄平面，丨，那么丨丄平面〔D〕如果平面丄平面，那么平面内所有直线都垂直于平面设盘上是悔条直线, 血是两个平酣则a Lb的一个充分条件是(A) a ± a.bll(i.Q1 /J (B) □丄a少丄p(C) a c a,b丄(D)a c a.bll丄08. 求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面:空间四边形ABCD中, E、F分别是AB AD的中点求证：EF”平面BCD9. 如图，在椎体P-ABCD中，ABCD1边长为1的棱形,且/ DAB=60, ,PB=2,E,F分别是BC,PC的中点.⑴证明：AD丄平面DEF;(2)求二面角P-AD-B的余弦值.课堂练习A组1已知砌理是两条不冋宜线，a t j8,y是三个不同平面'下列命题中正确的是（）A•若fn\\ ay/II a,则加“舟 B.若c（一丁』丄人则口"0C*若卅队则伉//爪 D.若仍丄丄＜7,则朋“料4.已拓两荼直线,阳个平和。
平行和垂直认识平行线和垂直线的性质
平行和垂直认识平行线和垂直线的性质平行和垂直是几何学中常用的两个概念。
平行线和垂直线是直线的两种特殊情况，它们具有独特的性质和相互关系。
本文将分别介绍平行线和垂直线的定义、性质以及相关定理。
一、平行线的性质平行线是指在同一个平面上，永远不相交的两条直线。
平行线的性质包括以下几个方面：1. 平行线的定义：对于同一个平面上的两条直线，如果它们之间的任意两点都不重合并且永远不会相交，那么这两条直线就是平行线。
2. 平行线的判定方法：平行线有多种判定方法，常用的有以下几种：(1) 同位角相等定理：如果两条直线被一条直线所截，且同位角相等，则这两条直线是平行线。
(2) 逆否命题定理：如果两条直线与另一条直线的同位角不相等，则这两条直线不平行。
(3) 平行线性质的应用：如两直线分别与一条截它们的第三条线成等角，则这两条直线是平行线。
3. 平行线的性质：(1) 平行线与平行线之间相互平行，即如果线段AB与直线CD平行，而直线CD与直线EF平行，则线段AB与直线EF也平行。
(2) 平行线上的对应角相等，即平行线AB与CD之间的对应角都相等。
(3) 平行线截割平行线所得的交线上的对应线段成比例，即截割平行线所得的交线AB与CD上的线段AE与CF成比例。
等等。
二、垂直线的性质垂直线是指与另一条直线成直角的线段。
垂直线的性质包括以下几个方面：1. 垂直线的定义：如果两条直线相交且交角为90度，那么这两条直线是垂直线。
2. 垂直线的判定方法：垂直线有多种判定方法，常用的有以下几种：(1) 直角定理：如果两条直线互相垂直，则这两条直线上截取的线段为等腰直角三角形。
(2) 垂直线性质的应用：如直线AB与直线CD相交于点O，且AO与CO垂直，则直线AB与直线CD是垂直线。
3. 垂直线的性质：(1) 垂直线与垂直线之间相互垂直，即如果线段AB与线段CD垂直，而线段CD与线段EF垂直，则线段AB与线段EF也垂直。
(2) 垂直线上的对应角互补，即当线段AB与直线CD垂直时，由线段AB与直线CD所得到的对应角都是互补角。
面面垂直线面垂直的判定定理
面面垂直线面垂直的判定定理一、引言在几何学中，面面垂直是一个基本的概念。
当两个平面垂直时，我们称它们是面面垂直的。
本文将介绍面面垂直线面垂直的判定定理。
二、定义1. 面：在三维空间中，由无数条线段组成的平坦曲面。
2. 平行：两条线或两个平面在同一平面内，且不相交。
3. 垂直：两条线或两个平面相交于一个角度为90度的交点。
4. 面面垂直：当两个平面相互垂直时，它们被称为“面面垂直”。
三、定理如果一条直线同时与两个不同的平面相交，并且这条直线与其中一个平面的交线是另一个平面上的一条直线，则这两个平面是“面面垂直”的。
四、证明假设有两个不同的平面A和B，并且这两个平面相互垂直。
我们需要证明如果一条直线同时与这两个不同的平面相交，并且这条直线与其中一个平面A的交线是另一个平面B上的一条直线，则这两个平面是“ 面面垂直”的。
首先，我们需要证明这条直线存在。
假设这两个平面A和B相交于一条直线L。
因为这两个平面相互垂直，所以它们的交角为90度，因此直线L与平面A和平面B的交线都是垂直的。
接下来，我们需要证明这条直线与平面A和平面B的交线是垂直的。
假设这条直线与平面A的交点为P，与平面B的交点为Q，并且PQ 在平面B上。
我们需要证明AP和BQ是垂直的。
由于PQ在平面B上，所以PQ与平面A的交线PA也在平面B上。
因此，我们可以得到三角形APQ和三角形BPQ共享一个角度PQB，并且它们有一个共同边界PQ。
根据余弦定理：cos(APQ) = (AQ² + PQ² - AP²) / (2 * AQ * PQ)cos(BPQ) = (BQ² + PQ² - BP²) / (2 * BQ * PQ)由于AP = BQ（因为它们都等于L），所以AP² = BQ²。
将其代入上式中可得：cos(APQ) = cos(BPQ)因此，APQ = BPQ因此，AP和BP是垂直的。
线面平行垂直知识点
线面平行垂直知识点一、线面平行的定义和性质1.定义：线面平行是指一条直线与一个平面内的所有直线都不相交。
2.性质：a.对于一个平面内的一条直线和平面外的任意一条直线，它们都不能同时与该平面平行。
b.平行线与同一平面内的另一条直线的关系：如果两条直线都与同一个平面平行，则这两条直线要么相交，要么重合。
c.平行线与不同平面内的直线的关系：如果两条直线分别与两个不相交平面平行，则这两条直线不相交。
二、线面垂直的定义和性质1.定义：线面垂直是指一条直线与一个平面内的所有直线都垂直相交。
2.性质：a.如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线与平面内的任意一条直线都垂直。
b.平行于同一个平面内的两条直线不存在垂直关系。
c.如果两个平面垂直，则其法线向量互相垂直。
三、线面平行和垂直的判定方法1.平行判定：线面平行的判定可以通过向量的方法、斜率的方法和直线与平面的交点判定方法等。
例如，若两个平面的法线向量相等或平行，则这两个平面是平行的。
2.垂直判定：线面垂直的判定可以通过两条直线的方向向量相互垂直、用点法式判断直线与平面之间的关系等方法。
例如，若一条直线与一个平面垂直，则这条直线的方向向量与该平面的法线向量垂直。
四、线面平行和垂直的应用1.线面平行和垂直的知识可以用于建筑设计中，例如判断条墙与地面是否平行或垂直，从而影响建筑的结构布局。
2.在工程测量中，线面平行和垂直关系的知识可以用于量测一些平面的倾斜度和水平度等参数。
3.在图形的投影与透视等绘图问题中，线面平行和垂直关系的知识可以帮助我们正确地绘制出图形的形状和位置。
综上所述，线面平行和垂直是几何学中非常重要的概念，其涉及到线与面之间的相互关系。
了解线面平行和垂直的定义、性质以及判定方法，可以帮助我们更好地理解空间几何中的问题，并应用于实际生活和工作中。
直线平面平行、垂直的判定及其性质知识点
一、直线、平面平行的判定及其性质知识点一、直线与平面平行的判定ⅰ.直线和平面的位置关系（一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种）位置关系直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α=A a||α图形表示注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外ⅱ.思考：如图，设直线b在平面α内，直线a在平面α外，猜想在什么条件下直线a与平面α平行.（a||b）直线与平面平行的判断判定文字描述直线和平面在空间平面永无交点，则直线和平面平行（定义）平面外的一条直线一次平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行图形条件a与α无交点结论a∥αb∥α※判定定理的证明知识点二、直线与平面平行的性质图形条件a∥αa∥αa⊂βα∩β＝b 结论a∩α＝∅a∥b线面平行，则线线平行特别提示证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行.知识点三、平面与平面平行的判定知识点四、平面与平面平行的性质二、直线、平面垂直的判定及其性质知识点一、直线和平面垂直的定义与判定定义判定语言描述如果直线l和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l⊥α一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直.图形条件b为平面α内的任一直线，而l对这一直线总有l⊥αl⊥m，l⊥n，m∩n＝B，mα，nα结论l⊥αl⊥α要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”知识点二、直线和平面垂直的性质性质语言描述一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线垂直于同一个平面的两条直线平行.图形条件知识点三、二面角Ⅰ.二面角：：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle）. 这条直线叫做二面角的棱，二面角ABαβ－－. （简记P AB Q－－）二面角的平面角的三个特征:ⅰ.点在棱上ⅱ.线在面内ⅲ.与棱垂直Ⅱ.二面角的平面角：在二面角αβ－l－的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面,αβ内分别作垂直于棱l的射成的AOB∠叫做二面角的平面角.作用：衡量二面角的大小；范围：000180θ<<.知识点四、平面和平面垂直的定义和判定定义判定文字描述两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直图形结果α∩β=l α-l-β=90o α⊥β（垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是“任何”“随意”“无数”等字眼）知识点五、平面和平面垂直的性质面面垂直线面垂直（如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与一个面平垂直1.如图，若Ω是长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EFGHB 1C 1后得到的几何体，其中EBB 1上异于B 1的点，且EH ∥A 1 D 1，则下列结论中不正确的是A. EH ∥FGB.四边形EFGH 是矩形C. Ω是棱柱D. Ω是棱台2能保证直线a 与平面α平行的条件是（ A ）⊄α,b ⊂α,a ∥b B .b ⊂α,a ∥bC. b ⊂α,c ∥α,a ∥b,a ∥cD. b ⊂α,A ∈a,B ∈a,C ∈b ,D ∈b 且AC ＝BD3下列命题正确的是（ D F ）A. 平行于同一平面的两条直线平行B. 若直线a ∥α,则平面α内有且仅有一条直线与a 平行C. 若直线a ∥α,则平面α内任一条直线都与a 平行D. 若直线a ∥α,则平面α内有无数条直线与a 平行E. 如果a 、b 是两条直线，且a ∥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面F. 如果直线a 、b 和平面α满足a ∥b ，a ∥α,b ⊄α，那么b ∥α4在空间，下列命题正确的是 （A ）平行直线的平行投影重合 （B ）平行于同一直线的两个平面平行 （C ）垂直于同一平面的两个平面平行 （D ）垂直于同一平面的两条直线平行5已知m 、n 为两条不同的直线，a 、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A ．,,m n αα⊂⊂m ∥β，n ∥β⇒a ∥βB ．a ∥β，,m n αβ⊂⊂⇒m ∥nC ．m ⊥a,m ⊥n ⇒n ∥aD ．n ∥m,n ⊥a ⇒m ⊥a 6.下列命题中错误的是（A ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定直线平行于平面β（B ）如果平面α垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β （C ）如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ⋂=，那么l ⊥平面γ （D ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β8.求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面． 已知：空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点 求证：EF ‖平面BCD8题图 9题图9.如图，在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形， 且∠DAB=60 ， ,PB=2, E,F 分别是BC,PC 的中点. (1) 证明：AD ⊥ 平面DEF;(2) 求二面角P-AD-B 的余弦值.课堂练习A 组、n 是空间两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下面四个命题中，真命题的序号是________．①m ⊥α，n ∥β，α∥β⇒m ⊥n ； ②m ⊥n ，α∥β，m ⊥α⇒n ∥β； ③m ⊥n ，α∥β，m ∥α⇒n ⊥β； ④m ⊥α，m ∥n ，α∥β⇒n ⊥β.4.如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB 11111在长方体（1）作出过直线AC 且与直线BD1平行的截面，并说明理由.（2）设E 、F 分别是A1B 和B1C 的中点，求证直线6. 在图中所示的一块木料中，棱BC 平行于平面A ’C ’ ．（1）要经过平面内的一点P 和棱BC 将木料据开，应怎样画线 （2）所画的线和平面AC 是什么位置关系C A ''EABCFE 1 A 1B 1C 1D 1D。
(完整版)直线平面平行、垂直的判定及其性质知识点
一、直线、平面平行的判定及其性质知识点一、直线与平面平行的判定ⅰ.直线和平面的位置关系（一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种）位置关系直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α=A a||α图形表示注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外ⅱ.思考：如图，设直线b在平面α内，直线a在平面α外，猜想在什么条件下直线a与平面α平行.（a||b）判定文字描述直线和平面在空间平面永无交点，则直线和平面平行（定义）平面外的一条直线一次平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行图形条件a与α无交点结论a∥αb∥α※判定定理的证明知识点二、直线与平面平行的性质性质文字描述一条直线与一个平面平行，则这条直线与该平面无交点一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面相交，这条直线和交线平行．图形条件a∥αa∥αa⊂βα∩β＝b结论a∩α＝∅a∥b线面平行，则线线平行特别提示证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行.判定文字描述如果两个平面无公共点，责成这两个平面平行一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．如果两个平面同时垂直于一条直线，那么这两个平面垂直。
图形条件α∩β＝∅a，b⊂βa∩b＝Pa∥αb∥αl⊥αl⊥β结论α∥βα∥βα∥β性质文字描述如果两个平行平面同时和第三平面相交，那么他们的交线平行如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面图形条件α∥ββ∩γ＝bα∩γ＝a α∥β a⊂β结论a∥b a∥α二、直线、平面垂直的判定及其性质知识点一、直线和平面垂直的定义与判定 定义 判定语言描述 如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面互相垂直，记作l ⊥α一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 图形条件b 为平面α内的任一直线，而l 对这一直线总有l ⊥αl ⊥m ，l ⊥n ，m ∩n ＝B ，m ⊂α，n ⊂α 结论l ⊥α l ⊥α 要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂直线面垂直）性质语言描述 一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线垂直于同一个平面的两条直线平行.图形条件结论知识点三、二面角Ⅰ.二面角：：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle ）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB αβ－－. （简记P AB Q －－）二面角的平面角的三个特征:ⅰ. 点在棱上ⅱ. 线在面内 ⅲ.与棱垂直Ⅱ.二面角的平面角：在二面角αβ－l －的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面,αβ内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角. 作用：衡量二面角的大小；范围：00180θ<<.定义判定文字描述两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直图形结果α∩β=l α-l-β=90o α⊥β“任何”“随意”“无数”等字眼知识点五、平面和平面垂直的性质面面垂直线面垂直（如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与一个面平垂直）例题1.如图，若Ω是长方体ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1 D1，则下列结论中不正确的是A. EH∥FGB.四边形EFGH是矩形C. Ω是棱柱D. Ω是棱台2能保证直线a与平面α平行的条件是（ A ）A.a⊄α,b⊂α,a∥b B .b⊂α,a∥bC. b⊂α,c∥α,a∥b,a∥cD. b⊂α,A∈a,B∈a,C∈b ,D∈b且AC＝BD3下列命题正确的是（ D F ）A. 平行于同一平面的两条直线平行B. 若直线a∥α,则平面α内有且仅有一条直线与a平行C. 若直线a∥α,则平面α内任一条直线都与a平行D. 若直线a∥α,则平面α内有无数条直线与a平行E. 如果a、b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面F. 如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α,b⊄α，那么b∥α4在空间，下列命题正确的是（A）平行直线的平行投影重合（B）平行于同一直线的两个平面平行（C）垂直于同一平面的两个平面平行（D ）垂直于同一平面的两条直线平行5已知m 、n 为两条不同的直线，a 、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A ．,,m n αα⊂⊂m ∥β，n ∥β⇒a ∥βB ．a ∥β，,m n αβ⊂⊂⇒m ∥nC ．m ⊥a,m ⊥n ⇒n ∥aD ．n ∥m,n ⊥a ⇒m ⊥a 6.下列命题中错误的是（A ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定直线平行于平面β（B ）如果平面α垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β （C ）如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ⋂=，那么l ⊥平面γ （D ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β8.求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面． 已知：空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点 求证：E F ‖平面BCD8题图 9题图9.如图，在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形， 且∠DAB=60 ， ,PB=2, E,F 分别是BC,PC 的中点. (1) 证明：AD ⊥ 平面DEF;(2) 求二面角P-AD-B 的余弦值.课堂练习A 组3.m 、n 是空间两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下面四个命题中，真命题的序号是________．①m ⊥α，n ∥β，α∥β⇒m ⊥n ； ②m ⊥n ，α∥β，m ⊥α⇒n ∥β； ③m ⊥n ，α∥β，m ∥α⇒n ⊥β； ④m ⊥α，m ∥n ，α∥β⇒n ⊥β.4.如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2,E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。
直线、平面平行与垂直的判定与性质
平行(线面平行⇒线线平行)
符号语言
因为
l∥a
______，
______，
a⊂α
l⊄α
__
______，
l⊂β
α∩
＝b
______，
所以l∥b
[提醒] 应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件
必须都具备，缺一不可．
2．平面与平面平行的判定定理和性质定理
(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另
一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决．
[提醒] 两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另
一个平面．这是把面面垂直转化为线面垂直的依据．运用时要注意
“平面内的直线”．
6.（综合题）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比
西方早1 000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直
于底面的三棱柱称为堑堵(qiandu)；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面
的四棱锥， 鳖臑(bienao)指四个面均为直角三角形的四面体．如图，三棱
柱ABC- A1B1C1，BC1⊥平面A1C1CA，四棱锥B-A1C1CA为阳马，且E，F分别
2.垂直关系中的两个常用结论
(1)两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直．
(2)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直．
走进高考
1．[2019·全国卷Ⅱ]设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
题3图
题4图
4.( 线 面 垂 直 ) 如 图 ， 多 面 体 ABCDEF 中 ， 底 面 ABCD 为 正 方 形 ，
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1.线线平行
判定：a用向量，方向向量平行b一条直线平行于另一个平面，则它平行于它所在平面与那个平面的交线。
C若一平面与两平行平面相交，则两交线平行。
D同时与一平面垂直的两直线平行。
E同时平行于一条直线的两直线平行。
性质：貌似没啥性质，一般是证明线面关系的时候先证明线线关系。
2.线线垂直
判定：a向量，方向向量垂直b直线垂直于平面，则直线与平面中的任意直线都垂直c第一条直线与第二条直线平行，第一条垂直于第三条，则第二条也垂直于第三条d把两直线放在一个平面中，利用平面几何各种判定方法，如等腰三角形的底和高等。
E（重点）三垂线定理：平面内的一条直线，如果和过平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直。
三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和过平面的一条斜线垂直，那么它也垂直于斜线在平面内的射影。
（这个比较重要，记不住的话找一下例题，多看看图就好了）性质：貌似也没什么性质，一般也是要证明线面关系的时候用到它。
注意：第一条直线垂直于第二条直线，第一条直线垂直于第三条直线，则第二条直线与第三条直线可垂直可平行也可普通相交。
3,线面平行
判定：a面外一条线与面内一条线平行。
（常用）b空间向量法，证明线一平行向量与面内一向量（x1x2-y1y2=0）（常用）c面外一直线上不同两点到面的距离相等d证明线面无交点（定义）e反证法（线与面相交，再推翻）
性质：平面外一条直线与此平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行。
4.线面垂直
判定:a一条线和平面内两条相交直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直b两个平面垂直,其中一个平面内的直线垂直两平面的交线，那么这条直线和这个平面垂直c直线的方向向量与平面的法向量平行
性质：如果两条直线同时垂直一个平面，那么这两条直线平行。
5.面面平行
判定a一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行,则这两个平面平行。
（常用）b如果两平面同时垂直于一条直线，则两平面平行（大题一般不用）
性质：a两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面b两个平面平行，和一个平面垂直的直线必垂直于另外一个平面 c 两个平行平面，分别和第三个平面相交，交线平行d平行平面所截的线段对应成比例（这个是推论，不好描述，书上或练习册上应该有类似的题）
6.面面垂直
判定：一个面如果过另外一个面的垂线，那么这两个面相互垂直
性质：a如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
b如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。
C如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。
D三个两两垂直的平面的交线两两垂直。