定积分的简单应用-人教版高中数学
知识图谱
-定积分曲边梯形的概念和面积求法定积分的概念和几何意义第09讲_定积分的简单应用错题回顾
定积分
知识精讲
一．函数的定积分
设函数定义在区间上．用分点，把区间分为个小区间，其长度依次为．记为这些小区间长度的最大值，当趋近于时，所有的小区间长度都趋近于．在每个小区间内任取一点，作和式．
当时，如果和式的极限存在，我们把和式的极限叫做函数在区间上的定积分，记作，即．其中叫做被积函数，叫积分下限，叫积分上限．叫做被积式．此时称函数
在区间上可积．
二．曲边梯形
曲线与平行于轴的直线和轴所围成的图形，通常称为曲边梯形．根据定
积分的定义，曲边梯形的面积等于其曲边所对应的函数在区间上的定积分，即．
三点剖析
一．方法点拨
求曲边梯形面积的四个步骤：
1．分割．在区间中插入各分点，将它们等分成个小区间
，区间的长度，
2．近似代替，“以直代曲”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．
3．求和．
4．取极限．
题模精讲
题模一曲边梯形的概念和面积求法
例1.1、
求围成图形面积．
题模二定积分的概念和几何意义
例2.1、
图中阴影部分的面积总和可用定积分表示为（）
A、B、
C、D、
例2.2、
已知函数，
（1）试用定积分表示与轴围成的介于与之间的平面图形的面积；
（2）结合的图象猜出的值；
（3）试将上述问题推广到一般的情况
随堂练习
随练1.1、
函数的图象与直线及轴所围成图形的面积称为函数在上的面积，已知函数在上的面积为，则函数在上的面积为________
随练1.2、
利用定积分的定义求直线，，和曲线围成的图形的面积．
随练1.3、
用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是（）
A、∫f（x）dx
B、|∫f（x）dx|
C、∫f（x）dx+∫f（x）dx
D、∫f（x）dx-∫f（x）dx
随练1.4、
（1）_________；（2）．
随练1.5、
由及轴围成的介于0与之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为________
自我总结
课后作业
作业1、
已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为V甲和V乙（如图所示）．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是（）
A、在t1时刻，甲车在乙车前面
B、t1时刻后，甲车在乙车后面
C、在t0时刻，两车的位置相同
D、t0时刻后，乙车在甲车前面
作业2、
试用定积分表示由直线，，及轴围成的平面图形的面积，并求积分的值
作业3、
=_________．
作业4、
（）
B、
A、
D、
作业5、
设为区间上的连续函数，且恒有，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组个）区间上的均匀随机数，…，和，…，，由此得到个点，在数出其
中满足的点数，那么由随机模拟方法可得积分的近似值为______.。
人教a版数学【选修2-2】1.7《定积分的简单应用》ppt课件
[答案]
1 2
2 3
[解析] 曲线y＝x 与y＝cx 由题意知
1 1 的交点为c ，c2.
2 1 ＝3.∴c＝2.
典例探究学案
不分割型平面图形面积的求解
如图，求曲线y＝x2与直线y＝2x所围图形的面 积S.
[分析] 从图形上可以看出，所求图形的面积可以转化为一 个三角形与一个曲边三角形面积的差，进而可以用定积分求 出面积．为了确定出积分的上、下限，我们需要求出直线和 抛物线的交点的横坐标．
(1)(2014· 山东理，6)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内 围成的封闭图形的面积为( A．2 2 C．2 ) B．4 2 D．4
(2)由y＝－x2与y＝x－2围成图形的面积S＝________.
9 [答案] (1)D (2)2
[解析] (1)如图所示
y＝4x， 由 3 y ＝ x .
[答案] C
) B．gt2 0 1 2 D．6gt0
[解析] 如果变速直线运动的速度为 v＝v(t)(v(t)≥0)， 那么
b 从时刻 t＝a 到 t＝b 所经过的路程是 v(t)dt，
a
故应选 C.
2 4．若两曲线y＝x 与y＝cx (c＞0)围成的图形的面积是 3 ，
2 3
则c＝________.
[解析]
y＝2x， 解方程组 2 y ＝ x ，
得x1＝0，x2＝2.
故所求图形的面积为 S＝ 2xdx－ x
2 0 2 0
2
2 2 dx＝x 0
1 3 4 2 －3x 0 ＝3.
[方法规律总结] 利用定积分求平面图形的面积的步骤 (1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象． (2)将平面图形分割成曲边梯形，并分清在x轴上方与下方的 部分． (3)借助图形确定出被积函数． (4)求出交点坐标，确定积分的上、下限． (5)求出各部分的定积分，并将面积表达为定积分的代数和( 定积分为负的部分求面积时要改变符号处理为正)，求出面 积．
高中数学人教A版选修2-2课件 1-7 定积分的简单应用 第13课时《定积分的简单应用》
解析：(1)由v(t)＝8t－2t2≥0，得0≤t≤4，
即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，
当t＞4时，P点向x轴负方向运动．
故t＝6时，点P离开原点的路程为
s1＝4(8t－2t2)dt－6(8t－2t2)dt
0
4
＝4t2－23t3|40－4t2－23t3|64＝1328.
a
成的曲边梯形的面积．
【练习1】 曲线y＝cosx0≤x≤32π与坐标轴所围成的图形面积是
() A．2
B．3
5 C.2
D．4
3
3
解析：S＝ 2 a
cosxdx＋|
2
cosxdx|＝
2
0
cosxdx－
2
cosxdx＝sinx|
2 0
－
(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度 在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间， 然后分别计算，否则会出现计算失误．
变式探究2 (1)一物体沿直线以v＝3t＋2(t单位：s，v单位：m/s)
的速度运动，则该物体在3 s～6 s间的运动路程为( )
A．46 m
3
(3t2－2t＋4)dt＝()－(8
2
－4＋8)＝18.
答案：(1)B (2)D
考点三 利用定积分计算变力做功 例3 设有一长25 cm的弹簧，若加以100 N的力，由弹簧伸长到
30 cm，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使 弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功．
∴W＝∫00.1250xdx＝25x2|00.12＝0.36(J)． 答案：0.36 J
数学人教A版选修2-2-1.7定积分的简单应用
1.7.2定积分在物理中的应用
1、变速直线运动的路程
设做变速直线运动的物体运动的速度
v=v(t)≥0，则此物体在时间区间[a, b]
内运动的距离(位移)s为
v
v v(t)
t
Oa
b
例 1:一辆汽车的速度一时间曲线如图所示，求汽
车在这 1 min 行驶的路程.
解:由速度──时间曲线可知:
3t (0≤ t ≤10)
0
1kx 2 2
|0L
1 2
kl 2(J
)
答:克服弹力所作功的功为 1 kl 2J .
2
做P59练习：
1.一物体沿直线以v=2t+3(t的单位为s,v的
单位为m/s)的速度运动,求该物体在3~5s
间行进的路程. S
5
(2t 3)dt 22m
3
2.一物体在力F(x)=3x+4(单位:N)的作用下,
当a≤0时, 0 (x2 2x)dx 4 ,解得a=-1
a
3
当0<a≤2时,
a
(2x
x2 )dx
4
,解得a=2
0
3
当a>2时,
2 (2x x2 )dx
a
,(
x2
2x)dx
4
,无解
0
2
3
故a=-1或a=2
注意 S
b
| f (x) |dx(a b)
a
若”面积为4/3”,改为”面积不超过4/3”呢? [-1,2]
64 3
26 3
18
法2：s
4
[(4
2
y)
1 2
y2 ]dy
(4 y
人教版高中数学1.7.1《定积分在几何中的简单应用》课件(人教A版选修2-2)
定 积 分 的 简 单 应 用
一、复习回顾 1、定积分的几何意义：
当
f(x)0
时，积分
b
f
(x)dx
a
在几何上表示由 y=f (x)、
xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y
y
yf (x) Oa
bx
b
c
b
a f (x)dx -aS f (x)dxc f
S2
2
s
in
x
dx
-
2cosx dx
S1=有S其2 他
方法吗？
4
4
六、小结
1．本节课我们做了什么探究活动呢？ 2．如何用定积分解决曲边形面积问题呢？ 3．解题时应注意些什么呢？ 4．体会到什么样的数学研究思路及方法呢？
七、作业 1、书本P60 习题A组1 B组3 2、全优设计P48－49 3、思考B组1，2
-2
2
简
单
应
2
计算： sinxdx -
用
解：如图由几何意义
sinxdx0 -
y y sin x
0
x
二、热身练习
3. 计算由 y 2x2与x轴及x=－1，x＝1所围成的面积
定
积 分
y
A y f1(x) D
的 简
B
C
单 应
M y f2 (x) N
Oa
bx
用
4．用定积分表示阴影部分面积
求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤：
分
的 （1）画草图，求出曲线的交点坐标
简 单
（2）将曲边形面积转化为曲边梯形面积
高中数学选修课件第四章§定积分的简单应用
当n→∞时，积分和的极限存在，则称函数f(x)在[a,b]上 可积，该极限值称为f(x)在[a,b]上的定积分。
积分和
将积分区间[a,b]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (b-a)/n，取每个小区间的任意一点ξi，对应的函数值 为f(ξi)，则f(x)在[a,b]上的积分和为Σf(ξi)Δx。
拓展延伸及未来发展趋势
定积分在物理学中的应用
定积分在物理学中有着广泛的应用，如计算变力做功、液体静压力等，需要进一步学习和 掌握。
定积分在经济学中的应用
定积分也可以应用于经济学领域，如计算收益、成本等经济量，为决策提供科学依据。
定积分与计算机技术的结合
随着计算机技术的发展，定积分与计算机技术的结合将越来越紧密，如利用计算机进行定 积分的数值计算、绘制定积分的图形等。这将为定积分的应用提供更广阔的空间和更高效 的手段。
A
一阶导数法
通过求解一阶导数等于零的点来找到函数的极 值点，从而确定最优解。
二阶导数法
通过判断二阶导数的符号来确定函数的凹 凸性，从而确定最优解。
B
C
约束优化方法
在存在约束条件的情况下，通过构造拉格朗 日函数等方法来求解最优解。
数值计算方法
对于难以求解的复杂函数，可以采用数值计 算方法（如牛顿法、梯度下降法等）来逼近 最优解。
几何应用
通过具体案例介绍如何利用定积 分求解平面图形的面积，如求解 由直线和曲线围成的图形面积等
。
物理应用
介绍定积分在物理中的应用，如求 解变力做功、液体静压力等问题中 涉及的面积计算。
经济应用
通过实际案例介绍定积分在经济领 域的应用，如求解由需求曲线和价 格曲线围成的面积所表示的消费者 剩余或生产者剩余等。
最新-高中数学 定积分的简单应用课件1 新人教A版选修2-2 精品
4
y 2x
2
S2
S1
O
5
10 x
解: 两曲线交点为(8,4) 直线y=x-4与x轴的交点为(4,0)
S=S1+S2
4
0
2xdx
8 4
2xdx
8 4
x
4dx
22 3
3
x2
|04
22 3
3
x2
|84
1 2
x 4 2 |84
40
3
你还有其它的解法吗?
堂上练习 求y=x2, x=-1, x=1, y=0围成平面图形的面积.
曲边梯形的面积
b
S a [ f2 (x) f1(x)]dx
例1 计算由曲线y2=x, y=x2 所围成图形的面积S. yC B
S=S曲边梯形OABC－S曲边梯形OABD
1.5 D y=Ax2
1
0.5
利用定积分计算
-1
O
-0.5
关键：确定被积函数与积分上、下限
-1
1x
y2=x
解 两曲线的交点 (0,0),(1,1)
定积分在几何中的应用
复习回顾 微积分的基本定理(牛顿－莱布尼兹公式)
如果f (x)是区间[a,b]上连续函数,并且F(x)=f (x),那么
b
a
f
xdx
F b
F a
定积分的几何意义
y y f (x)
oa
bx
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
曲边梯形的面积
b
S a f (x)dx
y
y f2(x)
y f1( x)
oa
bx
S=S曲边梯形OABC－S曲边梯形OABD
人教版高一数学课件-定积分在几何中的简单应用
求由曲線圍成的平面圖形面積的解題步驟
證明：如圖建立平面直角坐標系，可設拋物線方程為
定
y -ax2 (a 0) 代拋物線上一點入方程
積 分
則有 - h -a(b)2
2
得
a
4h b2
y 0
的 簡
所以拋物線方程為
y
-
4h b2
x2
x
hS
單 於是，拋物線拱的面積為 2S 應
用
2s 2b2 h
b 2 0
單 應 用
S S1 S2
O
x
42
S1
4 cosx dx -
0
4 sin x dx
0
S2
2
s
in
x
dx
-
2
c
os
x
dx
S1有=S其2他
方法嗎？
4
4
六、小結
1．本節課我們做了什麼探究活動呢？ 2．如何用定積分解決曲邊形面積問題呢？ 3．解題時應注意些什麼呢？ 4．體會到什麼樣的數學研究思路及方法呢？
c
b
f (x)dx f (x)dx
f (x)dx。
a
a
c
Oa
yf (x) bx
當f(x)0時，由yf (x)、xa、xb 與 x 軸所圍成 的曲邊梯形位於 x 軸的下方，
一、復習回顧
2、牛頓—萊布尼茨公式
定理 （微積分基本定理）
如果f(x)是區間[a,b]上的連續函數,
並且F’(x)=f(x),則ab f (x)dx F(b) - F(a)
七、作業 1、書本P60 習題A組1 B組3 2、全優設計P48－49 3、思考B組1，2
人教版数学备课资料定积分的巧用
定积分的巧用定积分的引入为传统的高中数学注入了新鲜的血液，还给学生提供了数学建模的新思路、“用数学”的新意识，通常利用定积分可以求平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体体积、变速直线运动的路程及变力作功等。
另外，利用定积分也能证明不等式、求物体所受的力。
一. 证明不等式例1.证明：ln(1+n)<1+n nln 113121+<+++ (n ∈N *). 分析: 考虑：)(11111),1,(n i xi x i i x ∈<+<++∈记11+=x y 与x 轴及直线x=i,x=i+1围成的面积为S 1；记11+=i y 与x 轴及直线x=i,x=i+1围成的面积为S 2;记xy 1=与x 轴及直线x=i,x=i+l 围成的面积为S 3；则S 1＜S 2＜S 3．证明 ∵x ∈(i,i+1),i 为自然数时，xi x 11111<+<+评析 根据定积分定义：f(x)>0 在x ∈[a, b]内恒成立时,⎰badx x f )(表示－个曲边梯形面积，证明一些不等式的问题，可转化为面积的大小比较问题，再利用定积分化简即可． 二. 求平面图形的面积例2. 求椭圆12222=+by a x 面积.分析: 先选出它的一个积分变量，结合图形列定积分式求解．（如图）解答 由12222=+b y a x 得22x a aby -±=由椭圆的性质评析 长轴、短轴分别为2a,2b 的椭圆的面积公式S=πab. 三、求物体所受的力例3.矩形闸门宽a 米，高h 米垂直放在水中，上沿与水面平齐，则该闸门所受水的压力F 等于 （ ）其中水的密度为ρkg/m 3，g 单位是m/s 2，A.⎰hgahdh 0ρ B.⎰agahdh 0ρ C.⎰agahdh 021ρ D. ⎰agahdh 02ρ解析：建立如图所示坐标系.取x 为积分变量，x ∈[0，h]， 任取子区间[x ，x+dx]⊂[0，h]，∵闸门所受水的压力F=ps ， 其中p 为压强，s 为受力面积，又p=ρgx ，（x 为水的深度.）， ∴相应一薄层水对闸门的压力近似为： dF= pds=ρgxds=ρgx ·a dx ， 于是整个闸门所受水的压力F 为：F=⎰hgaxdx 0ρ=⎰hgahdh 0ρ，故选A.点评：闸门所受水的压强p 是关于水深x 的函数,随着x 的变化而变化；且闸门的受力面积s 也是关于水深x 的函数.所以可用分割、近似代替、求和、取极限的方法,即用定积分的定义来求该闸门所受水的压力F.四、利用定积分研究函数与方程例4.已知函数f(x)=bx ax x ++232131, a,b ∈R,)(x f '是函数f(x)的导数． （1)试判断函数f(x)的单调性；(2)若-1≤a ≤1, -1≤b ≤1,求方程)(x f '=0有实数根的概率．（3）若-1≤a ≤1, -1≤b ≤1,求方程)(x f '＋ax ＋a 2＋a ＝0有实数根的概率．分析: （1）利用函数的导数判断函数的单调性，由于涉及参数a,b ，导致函数的导数的正负难以确定，所以需要讨论，致使判断函数的单调性也相应地进行讨论；（2)涉及函数方程与概率相结合的典型的几何概型问题．解析：（1）由f(x)=bx ax x ++232131得b ax x x f ++='2)(, ①若△=a 2-4b ＜0，即a 2＜4b ，当x ∈R 时,)(x f '＞0恒成立，所以f(x)在R 上单调递增；②若△=a 2-4b=0，即a 2=4b ，当x ∈R 时)(x f '≥0恒成立，当且仅当x=-2a时, )(x f '=0. 当x ≠-2a 时, )(x f '>0恒成立，所以函数f(x)在(-∞, -2a )上为增函数，在(-2a，+∞)上也为增函数，而函数f(x)在x=-2a处连续，则f(x)在R 上单调递增;③若△=a 2-4b>0，即a 2>4b ，令)(x f '=0,即b ax x ++2=0,解得2421b a a x ---=,2422ba a x -+-=,21x x <.当x ∈(-∞, 1x )时)(x f '＞0，当x ∈(21,x x )时,)(x f '<0时,当x ∈(x 2, +∞)时, )(x f '＞0.则函数f(x)在(-∞,x 1)上单调递增, (21,x x )上单调递减，(x 2, +∞)上单调递增．故若a 2≤4b 时，函数f(x)在R 上单调递增；若a 2>4b 时，函数f(x)在(-∞,x 1)上单调递增，(21,x x )上单调递减，(x 2,+∞)上单调递增，其中2421b a a x ---=,2422b a a x -+-=.（2）方程)(x f '=0，即b ax x ++2=0有实数根，则△≥0，即a 2≥4b ，若-1≤a ≤1, -1≤b ≤1,方程)(x f '=0有实数根的条件是⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-≤≤-b a b a 411112 (※)如图：条件(※)的面积为da a S ⎰---=1121)]1(4[=da a ⎰-+112)14(613212113=+=-a . 而条件-1≤a ≤1, -1≤b ≤1的面积为S=4， 根据几何概型的概率公式可知, 方程)(x f '=0有实数根的概率为P=24131=S S . （3）方程)(x f '＋ax ＋a 2＋a ＝0，即x 2＋2ax ＋a 2＋a ＋b=0有实数根，则△≥0，即a+b ≤0，若-1≤a ≤1, -1≤b ≤1,方程)(x f '＋ax ＋a 2＋a ＝0有实数根的条件是⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≤-≤≤-01111b a b a(※)如图：条件(※)的面积为S 1=2，而条件-1≤a ≤1, -1≤b ≤1的面积为S=4， 根据几何概型的概率公式可知，方程)(x f '＋ax ＋a 2＋a ＝0有实数根的概率为P=211=S S . 点评：本题是一道微积分与函数、概率相结合的综合性问题，利用导数研究函数的单调性，利用定积分求解曲线所围平面图形面积，借助几何概型的概率公式求所要解决的问题，主要考查学生根据所学知识解决相应问题的能力．这是新课标高考体 现，在今后的高考中又是一亮点，值得留意与关注．五.变力沿直线所作的功例5.半径为r 的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的比重为 1 ，现将这球从水中取出，需作多少功?解：建立如图所示的坐标系将高为r 的球缺取出水面，所需的力)(x F 为：浮F G x F -=)(其中：g r G ⋅⋅=1343π是球的重力，浮F 表示将球缺取出之后，仍浸在水中的另一部分球缺所受的浮力。
高中数学PPT课件-定积分在几何中的应用
S1
S2
新知探究
选x为积分变量x∈[-2,3]
(1) x [-2, 0], dA1 = (x3 - 6x - x2 )dx
(2) x [0, 3], dA2 = (x2 - x3 + 6x)dx
于是所求面积 A A A
1
2
A = 0 (x3 - 6x - x2 )dx + 3 (x2 - x3 + 6x)dx
S = S1 + S2
4
= 0
2xdx
+
8 4
2xdx -
8 4
x
-
4
dx
= 2
2
3
x2
3
4 0
+
2
2 3
3
x2
8 4
-
1 2
x-4 2
8 4
= 40 3
新知探究
例3
计算由曲线 y = x3 6x 和 y = x2 所围成的图形的面积.
首先画出草图，并设法把所求图形的面积问题转化为求两部分的面积问题.其次，确定被积函数 和积分的上、下限.
面积元素为[j右(y)-j左(y)]dy, 面积为
S
d
c
[右
(
y)
左(
y)]dy
新知探究
例1 计算两条抛物线
在第一象限所围图形的面积 .
首先根据题意画出曲线
的草图，在图中找出所求面积的区域，图形结合，直观
解题；其次，为了确定出被积函数和积分的上、下限，我们需要求出两条曲线的交点的横坐标.
新知探究
x3
1 0
= 2-1=1 33 3
x x + dx
新知探究
人教版数学高二人教 《定积分的简单应用》 同步教学设计
§1.7定积分的简单应用一：教学目标 知识与技能目标1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；4、 体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。
过程与方法 情感态度与价值观 二：教学重难点 重点 曲边梯形面积的求法难点 定积分求体积以及在物理中应用三：教学过程：1、复习1、求曲边梯形的思想方法是什么？2、定积分的几何意义是什么？3、微积分基本定理是什么？ 2、定积分的应用（一）利用定积分求平面图形的面积例1．计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成的图形的面积.【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
解：201y xx x y x⎧=⎪⇒==⎨=⎪⎩及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=1120xdx x dx =-⎰⎰，所以⎰120S =(x -x )dx 32130233x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=13【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。
巩固练习 计算由曲线36y x x =-和2y x =所围成的图形的面积. 例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x =以及x 轴所围图形的面积S.分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S 1和S 2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线4y x =-与曲线2y x =的交点的横坐标，直线4y x =-与 x 轴的交点．2x y =y x= A BC D O解：作出直线4y x =-，曲线2y x =的草图，所求面积为图1. 7一2 阴影部分的面积．解方程组2,4y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得直线4y x =-与曲线2y x =的交点的坐标为（8,4) . 直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0).因此，所求图形的面积为S=S 1+S 2488442[2(4)]xdx xdx x dx =+--⎰⎰⎰334828220442222140||(4)|3323x x x =+-=. 由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．例3.求曲线],[sin 320π∈=x x y 与直线,,320π==x x x 轴所围成的图形面积。