函数的定义域及常见求解方法
求函数的定义域和值域的方法
③
∵ ∴
即函数的值域是{ y| yR且y1}（此法亦称分离常数法）
④当x>0，∴ = ，
当x<0时， =－
∴值域是 [2，+ ).（此法也称为配方法）
函数 的图像为：
2．二次函数比区间上的值域(最值)：
例2求下列函数的最大值、最小值与值域：
① ；
② ；③ ；④ ；
解：∵ ，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.
解：如图，设AB=2x，则AD= =
∴y=2x + x2=— x2+Lx
由2x＞0
＞0 得0＜x＜
∴所求的函数为y=— x2+Lx（0＜x＜ ）
22X
A 2222222 B
2x 2X
D
2X
求 函数值域的几种常见方法
1．直接法：利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R，值域为R；
（2）已知函数f（x）的定义域为〔1，4〕，求函数y=f（x+m）—f（x—m）（m＞0）的定义域。
解：（1）要使函数有意义，须满足：ax—3≥0
∴（ⅰ）当a＞0时原函数的定义域为｛x︱x≥ ｝
（ⅱ）当a＜0时原函数的定义域为｛x︱x≤ ｝
（ⅲ）当a=0时ax—3≥0的解集为空集，即原函数的定义域为空集
（2）是已知f〔g（x）〕的定义域，求f（x）的定义域。其解法是：已知f〔g（x）〕的定义域为〔a，b〕，求f（x）的定义域的方法为：由a≤x≤b，求g（x）的值域，即得f（x）的定义域。
（3）是（1）的求和问题，是将每个复合函数定义域求出后取其交集。
（4）与（2）相似。
解：（1）令-2≤X2—1≤2得-1≤X2≤3，即0≤X2≤3，从而- ≤x≤
求函数的定义域与值域的常用方法
求函数的定义域与值域的常用方法在数学中，函数的定义域和值域是非常重要的概念。
定义域是指函数可以接受的输入值的集合，而值域则是函数能够取得的输出值的集合。
正确确定函数的定义域和值域是解决函数相关问题的关键，下面我们将详细介绍求函数定义域和值域的常用方法。
一、函数的定义域的常用方法：1. 显式定义法：对于一些常见的函数，我们可以直接根据其表达式来确定其定义域。
例如，对于一元多项式函数f(x)=ax^n+bx^m+...+c，其定义域可以是实数集或者区间。
2.隐式定义法：对于一些函数可能没有明确的表达式，或者函数的定义域和表达式没有直接的关系，我们可以根据函数的特性和性质来确定其定义域。
例如，对于分式函数f(x)=1/(x-1)，我们可以得知分母不能为0，所以其定义域是实数集减去1的那部分实数。
3.已知条件法：有时候我们可以根据函数在一些点的取值情况来确定其定义域。
例如，对于一个连续函数f(x)，如果我们知道在一些区间上f(x)恒大于0，那么可以确定该区间为函数的定义域。
4.集合运算法：当函数的定义域可以表示为多个区间或集合的并、交、差等运算时，我们可以利用这些运算来求解函数的定义域。
例如，对于函数f(x)=√(x+1)-√(x-1)，我们可以先求出√(x+1)和√(x-1)的定义域，然后求出它们的交集。
二、函数的值域的常用方法：1.考察函数表达式法：对于一些常见的函数，我们可以观察其表达式，根据其中的字母、常数等特性来确定其值域的范围。
例如，对于平方函数f(x)=x^2，我们可以观察到平方函数的输出恒为非负数，所以其值域是[0,+∞)。
2.定义域与函数性质法：当我们已经确定了函数的定义域后，可以根据函数的性质来确定其值域。
例如，对于连续函数f(x)在一些区间上单调增加或者单调减少，我们可以确定函数在该区间上取值范围。
3.极限与极大极小值法：利用函数的极限性质、导数等衍生性质来确定函数的值域。
例如，对于函数f(x)=x^3-3x+2，我们可以求出其导数为f'(x)=3x^2-3，然后根据导数的符号确定函数的单调性和极值点，从而确定其值域。
求函数的定义域与值域的常用方法
求函数的定义域与值域的常用方法在数学中，函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数的定义域是指所有输入值的集合，也就是函数可以接受的所有输入。
值域是函数所有可能的输出值的集合，也就是函数可以得到的所有输出。
在求函数的定义域和值域时，一般需要注意以下一些常用的方法和技巧：1.分析函数的显式定义式：如果函数的显式定义式直接给出了函数的定义域和值域，那么问题就迎刃而解了。
例如，定义域是实数集合，值域是区间(0,∞)的函数，可以通过观察定义式得出。
2.求解方程或不等式：通过求解方程或不等式，可以确定函数的定义域。
例如，对于函数f(x)=√(x-2)，需要解方程x-2≥0，得到x≥2，即定义域为[2,∞)。
对于函数g(x)=1/x，需要解方程x≠0，得到定义域为(-∞,0)∪(0,∞)。
对于值域，可以通过类似的方式求解不等式或方程得到。
3.观察函数的图像：通过观察函数的图像，可以大致判断函数的定义域和值域。
函数在图像上的取值范围和横坐标的取值范围可以提供一些线索。
例如，对于函数f(x)=x^2，通过观察图像可以看出它的定义域为实数集合，值域为[0,∞)。
4.分解复合函数：当函数是由两个或多个函数复合而成时，可以通过分解复合函数的方式求解定义域和值域。
例如，对于函数f(x)=√(3-x^2)，可以将其分解为两个函数f(x)=√(3-y)和g(y)=y^2，然后分别求解其定义域和值域。
5. 推导函数的性质和特点：有时候可以根据函数的性质和特点来推导其定义域和值域。
例如，对于比例函数 f(x) = kx，由于比例函数在定义域上的取值范围是全体实数，所以比例函数的值域也是全体实数。
需要注意的是，函数的定义域和值域是相互依存的。
函数的定义域决定了可以输入什么值，而函数的值域决定了可以输出什么值。
因此，在求解函数的定义域和值域时，需要综合考虑函数定义式、方程和不等式的求解、函数图像的观察、复合函数的分解以及函数的性质和特点等多个方面的信息。
常见函数解析式定义域值域的求法总结
常见函数解析式定义域值域的求法总结函数的定义域和值域是函数解析式中的两个重要概念。
定义域指的是函数的自变量可能取值的范围，值域则是函数的因变量可能取值的范围。
在解析式中，定义域和值域可以通过不同的方法进行求解。
下面是常见的函数解析式定义域和值域求解方法总结。
一、定义域的求法：1.开方函数的定义域：对于形如y = √(ax + b)的开方函数，考虑开方中的被除数，即ax + b的取值范围，对ax + b >= 0进行求解，得到定义域。
2.分式函数的定义域：对于形如y=f(x)/g(x)的分式函数，需要满足分母不等于0的条件，因此需要解g(x)≠0，将g(x)=0进行求解，得到定义域。
3.对数函数的定义域：对于形如y = logₐ(x)的对数函数，需要满足x > 0的条件，因此定义域为x > 0。
4.指数函数的定义域：对于形如y=aˣ的指数函数，没有特殊定义域的限制，因此定义域为全体实数。
5.三角函数的定义域：对于常见的正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数，它们的定义域为全体实数。
6.反三角函数的定义域：对于反正弦、反余弦、反正切等反三角函数，它们的定义域要满足对应的正弦、余弦、正切函数取值范围的要求。
7.复合函数的定义域：当函数为两个函数的复合函数时，需要满足两个函数的定义域的交集作为复合函数的定义域。
二、值域的求法：1.函数的图像法：通过绘制函数的图像，观察函数在定义域内的取值范围，得到值域的估计。
2.函数的导数法：对函数求导，并观察导数的符号及极限情况，来推断函数的值域。
例如，当导数恒大于0时，函数为增函数，值域为整个实数轴。
3.函数的区间法：对于已知闭区间上连续的函数，可以通过求出函数的最大值和最小值，及极限情况，来确定值域的范围。
4.反函数的值域：如果函数存在反函数，那么反函数的值域即为原函数的定义域。
5.一次函数的值域：对于一次函数y = kx + b，k为斜率，通过观察斜率的正负和直线与坐标轴的交点可以得到值域的范围。
函数的定义域和常见求解方法
函数的定义域和常见求解方法函数的定义域（domain）是指函数能够接受的实际输入值的集合。
换句话说，定义域是使函数有意义的所有可能的输入值的集合。
在数学中，函数一般表示为f(x)，其中x是函数的自变量，而f(x)则是自变量x所对应的函数值。
常见的函数定义域包括实数域（-∞,+∞），有理数集，整数集，自然数集，以及其他特定的定义域，如正数集，三角函数等。
在确定函数的定义域时，我们需要注意以下几点：1.分式函数的定义域：分式函数的定义域由分母不等于零的值所构成。
我们需要找出使分母不等于零的x的值，将这些值作为定义域的一部分。
2.平方根函数的定义域：平方根函数的定义域要求被开方数非负，即要求根号内的数大于等于零。
3.对数函数的定义域：对数函数的定义域要求底数大于零，并且对数函数的参数值必须大于零。
常见的函数求解方法包括图像法、方程法、函数变量代换法、函数性质法等。
1.图像法：图像法是通过绘制函数的图像来找出函数的解。
我们将函数的图像与坐标系结合起来，寻找函数与x轴的交点，即函数的解。
2.方程法：方程法是通过将函数等式转化为方程的形式，然后通过解方程来找出函数的解。
在方程法中，我们可以使用各种方法来解方程，如因式分解法、配方法、根号消去法等。
3.函数变量代换法：函数变量代换法是通过引入新的变量来转化函数，从而简化函数的形式。
通过选择适当的变量代换，我们可以将原函数转化为更简单的函数，进而求解出函数的解。
4.函数性质法：函数性质法是通过利用函数的性质来求解函数的解。
例如，通过函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等性质，我们可以得到函数的一些特殊解。
在实际问题中，常常需要综合运用以上多种方法来求解函数的解。
根据具体的函数形式和问题的要求，选择最合适的方法进行求解。
同时，在进行函数求解时，我们也需要注意函数定义域的范围，以保证求解出的函数解在定义域内有效。
函数定义域的几种求法
函数定义域的几种求法函数定义域指的是函数的自变量可能取的值的集合，也就是函数的有效输入值集合。
求函数定义域的几种方法有：1、根据函数的表达式或方程求解法这是最常见的求解函数定义域的方法，根据函数表达式或者是方程，计算有效解集，从而求出函数定义域。
例如：函数f(x) = x2 +1 = 0, 求它的定义域；由此等式我们可以得到 x2 = -1,则有x=$$\sqrt{-1}$$, 但是$$\sqrt{-1}$$不存在，从而该函数f(x)的定义域就是空集。
2、根据函数的几何图形特征求解法这是一种不常用的求解函数定义域的方法，简而言之就是通过分析函数的几何图形特征，来求出函数定义域。
例如：如果我们想求函数y= 1/x的定义域，则我们可以发现，当x的值小于0时，y的值会变成负数，而当x的值大于0时，y的值会变成正数；所以我们可以得出结论，这个函数的定义域为 x>0。
3、根据定义求解法例如：求函数g(x) = $$\sqrt{x}$$的定义域，由于x的开平方根√x必须大于等于0，所以该函数的定义域就是[0,+∞)。
4、根据解析学原理求解法对于一般函数，我们还可以运用解析学原理求解函数定义域，这个是一种较为复杂但可以非常准确的求解函数定义域的方法。
例如：求函数h(x) = |x| - 1的定义域；首先，我们使用变量y来表示y = |x| ，并且通过解析学原理可以得到y = x, x≥ 0 或者 y = -x, x < 0 。
根据等式 y - 1 =0 我们可以得到|x| - 1 = 0，即x=1或者x= -1。
所以该函数的定义域为( -∞， -1] U [1,∞)。
函数的定义域和常见求解方法
函数的定义域和常见求解方法一、函数的定义域在一般的函数定义中，常见的定义域包括实数、有理数和整数等。
例如，函数$f(x)=\sqrt{x}$的定义域为非负实数集合即$[0,+\infty)$，因为负数的平方根是没有意义的。
又如，函数$g(x)=\dfrac{1}{x}$的定义域为除0以外的所有实数，即$(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$，因为0不能作为除数。
当给定一个复合函数时，可以通过多个函数的定义域的交集得到整个函数的定义域。
例如，对于函数$h(x)=\sqrt{\log(x)}$，先看到内层函数$\log(x)$的定义域是正实数，而外层函数$\sqrt{x}$的定义域是非负实数。
所以整个函数$h(x)$的定义域即正实数集合$[0,+\infty)$。
二、常见的求解方法1.方程求解法方程求解法是指通过解方程的方式求解函数的取值范围。
常见的方程求解法包括代数法和计算法。
代数法是通过对方程进行变形或利用数学性质来求解，而计算法是通过运算符和数值的计算来求解。
举例来说，对于函数$f(x)=\dfrac{1}{(x-3)^2}$，要求函数的定义域，需要解方程$(x-3)^2\neq 0$。
通过解这个方程，可以得到$x \neq 3$，即函数的定义域为整个实数集合除去32.不等式求解法不等式求解法是通过对不等式进行变形或运算，得出函数的定义域。
常见的不等式求解法包括分段法和绝对值法。
对于分段函数，可以对每一段函数的定义域进行求解，然后将这些定义域的并集作为整个函数的定义域。
对于函数$f(x) = \sqrt{a-x}$，当$a>x$时，根式内部大于等于0，所以函数的定义域为$(-\infty, a]$。
3.图像法图像法是通过观察函数的图像来确定函数的定义域。
对于一元函数，可以通过绘制函数的图像来判断函数在何种区间内有定义。
例如，为了求解函数$f(x) = \sqrt{x^2-4}$的定义域，可以考虑到根式内部的取值不能小于0。
8种求定义域的方法
8种求定义域的方法定义域是指一个函数中所有可能输入的集合。
具体来说，定义域是指函数中的自变量可以取得的所有值。
在数学中，求定义域是解决一个函数的自变量的取值范围的问题。
下面是八种常见的方法来求定义域。
方法1：显式定义对于一些函数，定义域可以通过其显式定义来确定。
例如，对于函数f(x)=1/x，定义域可以通过注意到除数不能为零来确定，即x不能为0。
因此，定义域就是除去0之后的实数集合：R\{0}。
方法2：关系定义有些函数的定义域可以通过直接观察定义函数的关系来确定。
例如，对于函数f(x)=√(2x-1)，注意到根号内的表达式必须大于等于零，即2x-1≥0。
解这个不等式可以得到定义域为x≥1/2方法3：对数函数对于对数函数，定义域必须满足底数必须大于零且不等于1，并且实数必须大于零。
例如，对于函数f(x) = log₂(x + 3)，定义域为x + 3 > 0，即x > -3方法4：分式函数对于分式函数，定义域必须使分母不等于零。
例如，对于函数f(x)=1/(x-2)，定义域为x≠2方法5：根式函数对于根式函数，定义域必须使根号内的表达式大于等于零。
例如，对于函数f(x)=∛(x-4)，根号内的表达式必须大于等于零，即x-4≥0，解不等式可得x≥4、因此，定义域为x≥4方法6：三角函数对于三角函数，定义域是实数的所有值，因为三角函数在整个数轴上都有定义。
例如，对于函数f(x) = sin(x)，定义域为所有实数：(-∞, ∞)。
方法7：反三角函数对于反三角函数，定义域必须使其定义范围内的表达式满足相应的条件。
例如，对于函数f(x) = arcsin(x)，由于反正弦函数的定义域是[-1, 1]，因此定义域必须满足-1 ≤ x ≤ 1方法8：参数化定义对于一些函数，可以通过将函数参数化来求取定义域。
例如，对于函数f(x)=√(x²-1)，我们可以通过取x²-1≥0来求取定义域。
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a
BC , CA, AB
上各取一点P、Q、R，使
CQ=2BP，AR=3BP，
1.若BP=
与
x
x
,三角形PQR的面积为 y ，求 y 的关系，并注明 x 的取值范围。
为何值时，三角形PQR的面积最小？
２．当
x
分析：
A
Q R B C
P
第一讲---函数及其定义域
一、函数的概念：
1、函数的定义：（见课本） 2、函数的对应类型：一对一、多对一 3、函数的三要素：定义域、值域及对应法则
4、 函数的表示方法：解析法、列表法、图象法 5、函数的运算：合成即四则运算与复合运算 6、函数的相等与不等
二、函数的定义域及常见求解方法
（一）、函数的定义域： y f x 的定义域指的是自变量 x 的 取值范围，实质上是指被法则 f 直接作 用的对象的取值范围。故要用集合表示.
（二）．常见函数定义域的类型及求解
1．基本函数的定义域________熟记（理解记忆） ２．合成函数的定义域： （１）定义：合成函数______由若干个基本函数通 过四则运算所形成的函数，其定义域为使得每 一部分都有意义的公共取值范围。 （２）求解：求解过程中坚持以下几个原则： （１）分式的分母不能为0； （2）偶次方根 内部必需非负 即大于等于零。
的定义域为
的定义域；
⑷已知
y f 2x
的定义域为
x
求
y f log 2
1,1
，
的定义域；
⑸已知 y f x 的定义域为 1,1 ， 求 F x f x 2 3 f 2sin 2 x 1 的定义域；
4、实际问题中的函数的定义域 _______除使解析式有意义外，还要保证 问题有实际意义。 ABC 的边 的正 例4：如图，在边长为
。
（Ⅱ）已知 的定义 域 D1，求 y f x 的定义域 D2 。 解法：令
g x 的值域。
u g x , x D1 ，求函数
y f g x
例3：已知 y f 2x 1 的定义域为 1, 2 ，求 y f x 的定义域。log 12Fra bibliotek3 x 2
5 y log x3
x 2 x3
2
6 y
25 x lg cos x
2
3、复合函数的定义域 （1）复合函数____ 若 y f u , u g x 则y f g x 就叫做 f 和g 的复合函数。其中 y f u 叫外函数 u g x 叫内函数。
练习： ⑴已知 y f x
，求 f x 2 2 的定义域； ⑵已知
的定义域为 1, 2
y f x 的定义域为 ,0 2 x 2 的定义域； log 2 ，求 f
y f x 2 2 x 3
⑶已知
1,3 ，求 f x
，
(2)复合函数定义域的求解类型及对应方法
（Ⅰ）已知 y f x的定义域 D1 ， 求 y f g x 的定义域 D2 。
解法：解不等式 g x D1
例2：已知 y f x 的定义域 D1 1, 2 ，求
y f x 2 2 的定义域D2
（３）对数的真数为正； （4）对数的底数 大于0且不为1； 0 （5） x 中， x 0 。
例1：求下列各函数的定义域
x 2x 1 y x 3
2
2 y x
2
2 x 3
0
例1:
5 x lg x 1 3 y x2
2
4 y