【2020年数学高考】河南省信阳市普通2020届高中高三第二次教学质量检测 数学文.doc
信阳市2017—2020学年普通高中高三第二次教学质量检测
数 学（文科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并帖好条形码。
请认真核准条形码的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
第Ⅰ卷 （满分60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．复数z ＝3i i
＋7的实部与虚部分别为 A ．7，－3 B ．7，－3i C ．－7，3 D ．－7，3i 2．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x ｜x ＜－
12，或x ＞1}，B ＝{x ｜－1≤x ≤2，x ∈Z}，则图1
所示的阴影部分表示的集合等于
A ．{－1，2}
B ．{－1，0}
C ．{1，2}
D ．{0，1}
3．已知命题p ：x ∃∈R ，x e －x －1≤0，则p ⌝为
A ．x ∀∉R ，x e －x －1＞0
B ．x ∀∈R ，x e －x －1≥0
C ．x ∀∈R ，x e －x －1＞0
D ．x ∃∈R ，x e －x －1＞0
4．已知双曲线22
221x y a b
－＝（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线经过点（3），则双曲线的离心率为
A B ．2 C 或2 D 或2 5．某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x ，第二次向上的点数记为y ．在直角坐
标系xOy 中，以（x ，y ）为坐标的点落在直线2x －y ＝1上的概率为
A ．19
B ．112
C ．536
D ．16 6．如果f （x ）是定义在R 上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是 A ．y ＝x ＋f （x ） B ．y ＝2x ＋f （x ） C ．y ＝xf （x ） D ．y ＝2x f （x ）
7．已知等比数列{n a }的前n 项和为n S ，a 1＋a 3＝52，且a 2＋a 4＝54，则n n S a 等于 A ．n 2－1 B ．1n －2 C ．1n －4 D ．1n 4－
8．执行图2所示的程序框图，若输出的y 的值为5，则判断框
中可以填入的条件是
A ．i ＜6?
B ．i ＜5?
C ．i ＜4?
D ．i ＜3?
9．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、
丁的供词如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙
说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一
人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人
中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，并且这四人
中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
10．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．
若asinBcosC ＋csinBcosA ＝
12
b ，且a ＞b ，则B 等于 A ．56π B ．3π C ．23π D ．6π 11．已知x ＝－
8π与0x 分别是函数f （x ）＝Asin （ωx ＋ϕ）（A ＞0，ω＞0，｜ϕ｜＜2
π）的一条对称轴和零点，且｜0x ＋8π｜min ＝4
π，则ϕ等于 A ．－8π B ．－4π C ．8π D ．4
π 12．已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （－x ）＝8－f （4＋x ），函数g （x ）＝432x x ＋－，若函数 f （x ）与g （x ）的图象共有168个交点，记作P i （x i ，y i ）（i ＝1，2，…，168），则
（x 1＋y 1）＋（x 2＋y 2）＋…＋（x 168＋y 168）的值为
A ．2020
B ．2017
C ．2016
D ．1008
第Ⅱ卷（满分90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．设向量a ＝（1，－2），a ＋b ＝（0，2），则｜a －2b ｜＝________________．
14．已知椭圆C ：22
1x my ＋＝的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m ＝_______________． 15．直线ax ＋by ＋c ＝0与圆C ：22
240x x y y －＋＋＝相交于A ，B 两点，且｜AB uu u r
则CA uu r ·CB uu r ＝_______________。
16．某化肥厂生产甲、乙两种肥料，生产一车皮甲肥料需要磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产一车皮
乙种肥料需要磷酸盐1吨、硝酸盐15吨．已知生产一车皮甲种肥料产生的利润是10万元，生产一车皮乙种肥料产生的利润是5万元．现库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，如果该厂合理安排生产计划，则可以获得的最大利润是____________万元．
三、解答题：本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21
题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．（本小题满分12分）
已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ＋bsinA ＝0．
（Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若a ＋c ＝4，b ABC 的面积．
18．（本小题满分12分）
已知等差数列{n a }的前n 和为n S ，且S 5＝45，S 6＝60．
（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式n a ；
（Ⅱ）若数列{n b }满足1n b ＋－n b ＝n a （n ∈N ﹡），且b 1＝3，求数列{1n
b }的前n 和为n T ．
19．（本小题满分12分）
二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x （0＜x ≤10）与销售价格y （单
（Ⅱ）已知每辆该型号汽车的收购价格为ω＝0．052x －1．75x ＋17．2（单位：万元），根据（Ⅰ）
中所求的回归方程，预测x 为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z （单位：
万元）最大?
20．（本小题满分12分）
已知抛物线C ：2
x ＝2py （p ＞0）的焦点为F ，过点F 的直线l 交C 于A ，B 两点，且以AB 为
直径的圆M 与直线y ＝－1相切于点N ．
（Ⅰ）求抛物线C 的方程；
（Ⅱ）若圆M 与直线x ＝－
32相切于点Q ，求直线l 的方程和圆M 的方程．
21．（本小题满分12分）
已知函数f （x ）＝24x ＋1x
－a ，g （x ）＝f （x ）＋b ，其中a ，b 为常数． （Ⅰ）若x ＝1是函数y ＝xf （x ）的一个极值点，求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方
程；
（Ⅱ）若函数f （x ）有2个零点，f （g （x ））有6个零点，求a ＋b 的取值范围．
选考题：共10分。
请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。
22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知直线l
的参数方程为122
x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝－＋，＝（其中t 为参数），曲线C 1：22cos ρθ＋223sin ρθ－
3＝0，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同长度单位．
（Ⅰ）求直线l 的普通方程及曲线C 1的直角坐标方程；
（Ⅱ）在曲线C 1上是否存在一点P ，使点P 到直线l 的距离最大?若存在，求出距离的最大值及
点P 的直角坐标；若不存在，请说明理由．
23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数f （x ）＝｜x －5｜—｜x －2｜．
（Ⅰ）若x ∃∈R ，使得f （x ）≤m 成立，求实数m 的取值范围；
（Ⅱ）解不等式2x －8x ＋15＋f （x ）≤0．。
【精准解析】河南省普通高中2020届高三质量测评(二)数学(文)试题
大象联考 2020年河南省普通高中高考质量测评（二）数学（文科）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置.2.全部答案在答题卡上完成，答丰本试题上无效3.回答选择题时，选出每小题答案后，用3B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 参考公式锥体的体积公式：13V Sh =（其中为S 为锥体的底面积，h 为锥体的高）. 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U =R ，集合{}2|log 1A x x =<，{}2|0B x x x =->，则AB =（ ）A. {|12x x <<}B. {|2x x <}C. {|12x x ≤≤}D.{|14x x ≤<} 【答案】A 【解析】 【分析】求出不等式2log 1x <和20x x ->的解，然后根据集合的交集运算，即可得到本题答案. 【详解】由2log 1x <，得02x <<，故{|02}A x x =<<， 由20x x ->，得1x >或0x <，故{|1B x x =>或0}x <， 所以，{|12}A B x x =<<.故选：A【点睛】本题主要考查集合的交集运算，其中涉及对数不等式和一元二次不等式的求解. 2. 已知复数z 满足21iz i-=+，则z =（ ）A. 13 2i+B.132i-C.32i+D.32i-【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算，即可得答案.【详解】∵2(2)(1)131(1)(1)2i i i i z i i i----===++-. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查基本运算求解能力，属于基础题. 3. 由我国引领的5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产出所做的预测.结合下图，下列说法正确的是（）A. 5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B. 设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C. 设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D. 信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势【答案】ABD【解析】【分析】本题结合图形即可得出结果．【详解】由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位，而后期是信息服务商处于领先地位，故C项表达错误．故选：ABD．【点睛】本题主要考查数学文字及图形的阅读理解能力．本题属基础题． 4. 已知角θ的终边过点()3,4-，则()cos πθ-=（ ） A. 45-B.45C.35D.35【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义及诱导公式即可求解. 【详解】因为角θ的终边过点()3,4-， 所以3cos 5θ=-，3cos()cos 5πθθ-=-=. 故选：D.【点睛】本题主要考查了三角函数定义，诱导公式，属于容易题.5. 若椭圆221(0)2x y p p p+=>的一个焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，则p =（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 8【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆方程，抛物线方程写出焦点，根据焦点重合即可求解. 【详解】椭圆的焦点坐标为()),，抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭， 2p=，解得4p =， 故选：C.【点睛】本题主要考查了椭圆的简单几何性质，抛物线的简单几何性质，属于容易题.6. 已知函数()xf x ae x b =++，若函数()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为23y x =+，则ab的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导得(0)2f '=，求得a 的值，再根据切点既在切线上又在曲线上，可求得b 的值，即可得答案.【详解】∵()1xf x ae '=+，∴(0)12f a '=+=，解得1,(0)13a f a b b ==+=+=，∴2b =， ∴2ab =. 故选：B.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意切点既在切线上又在曲线上的应用. 7. 函数2sin ()1x xf x x +=+在[,]-ππ的图象大致为（ ） A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据函数为奇函数及()0f π>，再结合排除法，即可得答案. 【详解】∵函数的定义域为R ，关于原点对称，且2sin()()()()()1x x f x f x x -+--==--+，∴()f x是奇函数，故排除A ；22sin ()011f ππππππ+==>++，排除B ，C.故选：D.【点睛】本题考查根据函数的解析式选择函数的图象，考查数形结合思想，求解时注意充分利用函数的性质及特殊点的函数值进行求解.8. 如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，2AD =，3BC =，E 是PD 的中点，F 在PC 上且13PF PC =，G 在PB 上且23PG PB =，则（ ）A. 3AG EF =，且AG 与EF 平行B. 3AG EF =，且AG 与EF 相交C. 2AG EF =，且AG 与EF 异面D. 2AG EF =，且AG 与EF 平行 【答案】D 【解析】 【分析】取CF 的中点H ，连接,DH GH ，通过证明四边形ADHG 为平行四边形，可得AG DH //且AG DH =，由在PHD ∆中，,E F 分别为PD 和PH 的中点，可得EF DH //且12EF DH =，综上，即可得到本题答案.【详解】取CF 的中点H ，连接,DH GH ，则在PBC ∆中，23PG PH PB PC ==，所以GH BC //，223GH BC ==，又因为AD BC //且2AD =，所以GH AD //，且GH AD =，所以四边形ADHG 为平行四边形，所以AG DH //，且AG DH =.在PHD ∆中，,E F 分别为PD 和PH的中点，所以EF DH //，且12EF DH =，所以EF AG //，且12EF AG =，即2AG EF =. 故选：D【点睛】本题主要考查空间中两直线的位置关系及大小关系，数形结合思想的应用是解决此题的关键.9. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，22a =，728S =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ）A. 20202021 B.20182020 C. 20182019D. 20212020【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列前n 项和公式及728S =，可得4a 的值.代入22a =由等差数列通项公式，即可求得首项与公差，进而得数列{}n a 的通项公式.结合裂项求和法即得数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和.【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，728S =， 由等差数列前n 项和公式可得74728S a == 所以44a =，结合22a =，由等差数列通项公式可得4121342a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，由等差数列通项公式可得()111n a n n =+-⨯=， 则()1111n n a a n n +=+.所以122334202020211111a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+ 111112233420202021=+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯ 111111112233420202021=-+-+-+⋅⋅⋅+-20202021=. 故选：A.【点睛】本题考查了等差数列前n 项和的性质应用，等差数列通项公式的求法，裂项求和的应用，属于基础题.10. “角谷定理”的内容为对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．如图为研究角谷定理的一个程序框图．若输入n 的值为10，则输出i 的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B 【解析】 【分析】根据流程逐步分析，直到1n =时，计算出i 的值即可.【详解】（1）10,0n i ==；（2）5,1n i ==；（3）16,2n i ==；（4）8,3n i ==；（5）4,4n i ==；（6）2,5n i ==；（7）1,6n i ==． 故选B ．【点睛】本题考查根据程序框图计算输出值，难度较易.程序框图问题，多数可以采用列举法的方式解答问题.11. 现有一副斜边长相等的直角三角板.若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知,64DAB BAC ππ∠=∠=，三棱锥的外接球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为（ ）A.33B.36C.324D.348【答案】B 【解析】 【分析】设三棱锥A BCD -的外接球的半径为r ，由球的体积得球的半径，当平面ABC ⊥平面ABD 时，三棱锥的体积达到最大，利用体积公式计算，即可得答案.【详解】设三棱锥A BCD -的外接球的半径为r ，因为244r ππ=⇒1r =， 因为90ADB ACB ︒∠=∠=，所以AB 为外接球的直径， 所以2AB =，且3,1,2AD BD AC BC ====当点C 到平面ABD 距离最大时，三枝锥A BCD -的体积最大， 此时平面ABC ⊥平面ABD ，且点C 到平面ABD 的距离1d =， 所以1113311332A BCD C ABD ABD V V S d --==⋅=⨯⨯=△. 故选：B.【点睛】本题考查三棱锥与球的内接问题、三棱锥体积的最大值、球的体积公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意球心位置的确定.12. 设函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0,,43ππωϕ⎡⎤>∈⎢⎥⎣⎦，已知()f x 在[0,2]π上有且仅有4个零点，则下列ω的值中满足条件的是（ ） A. 136ω=B. 116ω=C. 74ω=D. 34ω=【答案】A 【解析】 【分析】设t x ωϕ=+，则2t ϕπωϕ+，从而将问题转化为sin y t =在[,2]ϕπωϕ+上有4个零点，从而得到425ππωϕπ+<，再利用不等式恒成立问题求得ω的范围，即可得答案. 【详解】设t x ωϕ=+，则2t ϕπωϕ+， 所以sin y t =在[,2]ϕπωϕ+上有4个零点， 因为,43ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以425ππωϕπ+<， 所以52222ϕϕωππ-<-， 所以5342222ππωππ-<-，即15783ω<，满足的只有A. 故选：A.【点睛】本题考查根据三角函数的零点个数求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的应用.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若||3a =，||2b =，237a b +=，则a 与 b 的夹角为______________. 【答案】3π 【解析】【分析】由222|2|44a b a a b b +=+⋅+及||||cos a b a b θ⋅=⋅，即可得到本题答案. 【详解】设a与b的夹角为θ，则222|2|449432cos 4437a b a a b b θ+=+⋅+=+⨯⨯⨯+⨯=，得1cos 2θ=，所以3πθ=.故答案为：3π【点睛】本题主要考查利用向量的模的计算公式求向量的夹角，属基础题. 14. 记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若数列{S n ﹣2a 1}也为等比数列，则43S S =_____ 【答案】1514【解析】 【分析】设等比数列{a n }的公比为q ，根据数列{S n ﹣2a 1}为等比数列得到﹣（q 2+q ﹣1）＝（q ﹣1）2，解得q 12=，再计算43S S 得到答案.【详解】根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，对于等比数列{S n ﹣2a 1}，其前三项为：﹣a 1，a 2﹣a 1，a 3+a 2﹣a 1，则有（﹣a 1）（a 3+a 2﹣a 1）＝（a 2﹣a 1）2，变形可得：﹣（q 2+q ﹣1）＝（q ﹣1）2，解可得：q 12=或0（舍），则q 12=，则()()414433311115111411a q S q q S q a q q---===---； 故答案为：1514． 【点睛】本题考查了等比数列的相关计算，意在考查学生的计算能力.15. 某工厂生产的产品中分正品与次品，正品重100克，次品重110 克.现有5袋产品（每袋装有10个产品），已知其中有且只有一袋次品（10个产品均为次品），如果将5袋产品以1-5编号，第i 袋取出i 个产品（i =1，2，3，4，5），并将取出的产品一起用秤（可以称出物体重量的工具）称出其重量y ,若次品所在的袋子的编号是2，此时的重量y =__________克；若次品所在袋子的编号是n ,此时的重量y =_________克．【答案】 (1). 1520 (2). 150010n +,{}1,2,3,4,5n ∈【解析】 【分析】按照题意，可得从5个袋子中取得的总个数及第2个袋子中取的个数，进而确定总质量；再写出次品是第n 个时的个数及对应解析式即可.【详解】第1袋中取1个，第2袋取2个，第3袋取3个，第4袋取4个，第5袋取5个，共15个.若次品从第2袋中取，则共有13个正品，2个次品，所以总质量为1001311021520y =⨯+⨯=；若次品是第n 袋中取，则15个产品中共有次品n 个，正品15n -， 则()10015110150010y n n n =⨯-+⨯=+，{}1,2,3,4,5n ∈故答案为：1520；150010n +,{}1,2,3,4,5n ∈【点睛】本题考查了实际问题中函数的应用，属于基础题.16. 已知点P 是双曲线2213y x -=右支上一动点，12,F F 是双曲线的左、右焦点，动点Q 满足下列条件：①12212||0||PF PF QF PF PF ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⋅，②12120||||PF PF QP PF PF λ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则点Q 的轨迹方程为________________. 【答案】221(0)x y y +=≠ 【解析】 【分析】设动点Q 的坐标为(,)x y ，延长2F Q 交1PF 于点A ，根据向量的加法法则及数量积为0，可得2QF PQ ⊥，利用双曲线的定义可得11||12OQ AF ==，即可得答案. 【详解】设动点Q 的坐标为(,)x y ，延长2F Q 交1PF 于点A ， 由条件②知点Q 在12F PF ∠的角平分线上， 结合条件①知2QF PQ ⊥，所以在2PF A △中，2PQ F A ⊥.又PQ 平分2APF ∠， 所以2PF A △为等腰三角形，即2||PA PF =，2||AQ QF =.因为点P 为双曲线上的点，所以122PF PF -=，即12||2PA AF PF +-=， 所以12AF =.又在12F AF 中，Q 为2AF 的中点，O 为12F F 的中点， 所以11||12OQ AF ==， 所以点Q 的轨迹是以O 为圆心，半径为1的圆， 所以点Q 的轨迹方程为221(0)x y y +=≠.故答案为：221(0)x y y +=≠.【点睛】本题考查单位向量、向量的数量积、向量的加法法则的几何意义、双曲线的定义、轨迹方程的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意平面几何知识的应用.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且sin 2sin()0c B b A B -+= （1）求角B 的大小；（2）设4a =，6c =，求sin C 的值． 【答案】（1）3B π=（2）32114【解析】【分析】（1）由已知结合正弦定理化简可求cos B ，进而可求B ；（2）由余弦定理可得，2221cos 22a c b B ac +-==，代入可求b ，由正弦定理可得，sin sin c B C b =可求．【详解】解：（1）由正弦定理得sin sin 2sin sin()0C B B A B -+=， 化简得2sin sin cos sin sin 0C B B B C -=. 因为在三角形中，sin 0B ≠，sin 0C ≠， 可得1cos 2B =. 又因为(0,)B π∈，所以3B π=（2）由余弦定理可得，2221cos 22a cb B ac +-==，2163612462b +-=⨯⨯，所以27b =，由正弦定理可得，sin 321sin c B C b ==. 【点睛】本题主要考查了两角和及二倍角的公式，正弦定理，余弦定理的综合应用，属于中等试题．18. “不忘初心、牢记使命”主题教育活动正在全国开展，某区政府为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取n 名，获得了他们一周参加主题教育活动的时间（单位：时）的频率分布直方图，如图所示，已知参加主题教育活动的时间在(]12,16内的人数为92.（1）估计这些党员干部一周参与主题教育活动的时间的平均值；（2）用频率估计概率，如果计划对全区一周参与主题教育活动的时间在(]16,24内的党员干部给予奖励，且参与时间在(]16,20，(]20,24内的分别获二等奖和一等奖，通过分层抽样方法从这些获奖人中随机抽取5人，再从这5人中任意选取3人，求3人均获二等奖的概率. 【答案】（1）13.64（2）25【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图以每个小矩形的中值为估值计算即可求出；（2）用分层抽样抽取的人数：在(]16,20内为4人，设为a b c d ,,,；在(]20,24内为1人，设为A ，列出基本事件，根据古典概型计算概率即可.【详解】（1）由已知可得，()140.02500.04750.05000.01250.1150a =÷-+++=， 所以这些党员干部一周参加主题教育活动的时间的平均值为()60.0250100.0475140.1150180.0500220.0125413.64⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.（2）因为0.1150492n ⨯⨯=，所以922000.11504n ==⨯.故参与主题教育活动的时间在(]16,20的人数为0.0500420040⨯⨯=， 参与主题教育活动的时间在(]20,24的人数为0.0125420010⨯⨯=.则利用分层抽样抽取的人数：在(]16,20内为4人，设为a b c d ,,,；在(]20,24内为1人，设为A.从这5人中选取3人的事件空间为：{}(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)a b c a b d a b A a c d a c A a d A b c d b c A b d A c d A ，共10种情况，其中全是二等奖的有4种情况. 故42105P ==. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，均值，分层抽样你，古典概型，属于中档题. 19. 如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为2的正方形，点P 是圆弧CD 上的一动点（不与,C D重合），点Q 是圆弧AB 的中点，且点,P Q 在平面ABCD 的两侧.（1）证明：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）设点P 在平面ABQ 上的射影为点O ，点,E F 分别是PQB ∆和POA ∆的重心，当三棱锥P ABC -体积最大时，回答下列问题.（i ）证明：//EF 平面PAQ ； （ii ）求三棱锥A OEF -的体积.【答案】（1）证明见解析（2）（i ）证明见解析（ii ）427【解析】 【分析】（1）由PC PD ⊥，AD PC ⊥可得PC ⊥平面PAD ，即可证明；（2）（i ）连接PE 并延长交BQ 于点M ，连接PF 并延长交OA 于点N ，连接MN ，利用平行线分线段成比例可得//EF MN ，即可得//EF AQ 得证； （ii ）根据A EOF E AOF V V --=即可求解. 【详解】（1）证明：因为ABCD 是轴截面， 所以AD ⊥平面PCD ，所以AD PC ⊥，又点P 是圆弧CD 上的一动点（不与,C D 重合），且CD 为直径， 所以PC PD ⊥， 又ADPD D =，PD ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以PC ⊥平面PAD ，PC ⊂平面PBC ， 故平面PAD ⊥平面PBC（2）当三棱锥P ABC -体积最大时，点P 为圆弧CD 的中点.所以点O 为圆弧AB 的中点，所以四边形AQBO 为正方形，且PO ⊥平面ABO .（i ）证明：连接PE 并延长交BQ 于点M ，连接PF 并延长交OA 于点N ，连接MN ，则//MN AQ ，因为,E F 分别为三角形的重心，所以23PE PF PM PN ==， 所以//EF MN ， 所以//EF AQ ，又AQ ⊂平面PAQ ，EF ⊄平面PAQ ， 所以//EF 平面PAQ . （ii ）因为PO ⊥平面ABO ， 所以PO BO ⊥， 又AO BO ⊥，AOPO O =，所以BO ⊥平面PAO ， 因为////EF AQ BO ，所以EF ⊥平面PAO ，即EF ⊥平面FAO ，即EF 是三棱锥E AOF -的高. 又22233EF BO ==1112223323AOF APO S S ∆∆==⨯⨯=， 所以112224||3327A EOF E AOF AOF V V S EF --∆==⋅==. 【点睛】本题主要考查了线面垂直、面面垂直的判定，线面平行，等体积法求棱锥体积，属于中档题.20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，长轴长为4，且过点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）过2F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，过A 作x 轴的垂线交椭圆C 与另一点Q （Q 不与,A B 重合）.设ABQ ∆的外心为G ，求证2ABGF 为定值. 【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）根据长轴及椭圆过点即可求出；（2）由题意设直线AB 为1x my =+，联立椭圆方程可求||AB ，求出ABQ ∆外接圆圆心21,034G m ⎛⎫⎪+⎝⎭，计算2GF ，化简即可证明2AB GF 为定值.【详解】（1）由题意知2a =，将P 点坐标代入椭圆方程22221x y a b+=得291414b+=，解得b =所以椭圆方程为22143x y +=.（2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 为1x my =+， 代入椭圆方程得()2234690m y my ++-=. 设()()1122,,,A x y B x y ，则12122269,3434m y y y y m m --+==++， 所以AB 的中点坐标为2243,3434m m m -⎛⎫⎪++⎝⎭，所以()212212134m AB y y m +=-=-+.因为G 是ABQ ∆的外心，所以G 是线段AB 的垂直平分线与线段AQ 的垂直平分线的交点，AB 的垂直平分线方程为22343434m y m x m m ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭， 令0y =，得2134x m =+，即21,034G m ⎛⎫⎪+⎝⎭，所以222213313434m GF m m +=-=++， 所以()22222121||1234433334m AB m m GF m ++===++，所以2||AB GF 为定值，定值为4. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，定值问题，属于难题. 21. 已知函数()2(12)ln a f x x a x x=+-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）如果方程()f x m =有两个不相等的解12,x x ，且12x x <，证明：1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭. 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】（1）对函数()f x 进行求导得2()(21)()(0)x a x f x x x-+'=>，再对a 进行分类讨论，解不等式，即可得答案；（2）当0a 时，()f x 在(0,)+∞单调递增，()f x m =至多一个根，不符合题意；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增，则()0f a '=.不妨设120x a x <<<，只要证122x x a +>212x a x >-⇔，再利用函数的单调性，即可证得结论. 【详解】（1）2222122(12)()(21)()2(0)a a x a x a x a x f x x x x x x -+---+'=+-==>.①当0a 时，(0,),()0,()x f x f x '∈+∞>单调递增；②当0a >时，(0,),()0,()x a f x f x '∈<单调递减；(,),()0,()x a f x f x '∈+∞>单调递增.综上：当0a 时，()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增. （2）由（1）知，当0a 时，()f x 在(0,)+∞单调递增，()f x m =至多一个根，不符合题意；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增，则()0f a '=.不妨设120x a x <<<， 要证1202x x f +⎛⎫'>⎪⎝⎭，即证122x x a +>，即证122x x a +>，即证212x a x >-. 因为()f x 在(,)a +∞单调递增，即证()()212f x f a x >-，因为()()21f x f x =，所以即证()()112f x f a x >-，即证()()f a x f a x +<-. 令()()()g x f a x f a x =+--2()(12)ln()2()(12)ln()a a a x a a x a x a a x a x a x ⎡⎤⎡⎤=++-++--+--+⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦4(12)ln()(12)ln()a ax a a x a a x a x a x=+-+---+-+-， 221212()4()()a a a ag x a x a x a x a x --'=++--+-+- ()()22222222222242(12)4()()()()a a x x x a a a a a x a x a x a x a x +---=+-=-+-+-. 当(0,)x a ∈时，()0,()g x g x '<单调递减，又(0)(0)(0)0g f a f a =+--=， 所以(0,)x a ∈时，()(0)0g x g <=，即()()f a x f a x +<-， 即()(2)f x f a x >-.又1(0,)x a ∈，所以()()112f x f a x >-，所以1202x x f +⎛⎫'>⎪⎝⎭.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、证明不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将所证不等式转化为利用函数的单调性进行证明.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为21,2x s y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（s 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 2sin 90ρθρθ++=. （1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值. 【答案】（1）24y x =，290x y ++=（2【解析】 【分析】（1）直接利用消参法可得曲线C 的直角坐标方程；将cos ,sin x y ρθρθ==代入l 的极坐标方程得l 的直角坐标方程；（2）设212P s ⎛⎫⎪⎝⎭，利用点到直线的距离公式，结合二次函数的性质求最值，即可得答案.【详解】（1）C 的直角坐标方程为：24y x =，将cos ,sin x y ρθρθ==代入l 的极坐标方程得l 的直角坐标方程为：290x y ++=. （2）设212P s ⎛⎫⎪⎝⎭， 则点P 到直线l的距离21|9s d ++==，当s =-d ==【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程的互化、点到直线的距离公式，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意点的参数设法. 23. 已知函数()|1||24|f x x x =++-.（1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）若函数()y f x =的图象最低点为(),m n ，正数,a b 满足6ma nb +=，求23a b +的取值范围.【答案】（1）[]13,x ∈-（2）2325,6a b ⎡⎫+∈+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）分类讨论去掉绝对值得分段函数求解即可；（2）由分段函数求出最低点，得236a b +=，构造1，利用均值不等式求解即可. 【详解】（1）33,2()5,1233,1x x f x x x x x -≥⎧⎪=-+-<<⎨⎪-+≤-⎩，所以由()6f x ≤可得2336x x ≥⎧⎨-≤⎩，或1256x x -<<⎧⎨-+≤⎩，或1336x x ≤-⎧⎨-+≤⎩， 解得：[]2,3x ∈或()1,2x ∈-或1x =-.综上，[]13,x ∈-. （2）因为33,2()5,1233,1x x f x x x x x -≥⎧⎪=-+-<<⎨⎪-+≤-⎩，所以当2x =时，()min 3f x =，最低点为()2,3，即236a b +=，所以132a b +=. 23232313252323266a b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当65a b ==时等号成立， 所以2325,6a b ⎡⎫+∈+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，分段函数的最值，均值不等式，属于中档题.。
河南省信阳市2023-2024学年高三上学期第二次教学质量检测试题 数学含答案
2023-2024学年普通高中高三第二次教学质量检测数学（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．．．．．．．．．。
考试结束后．．．．．，将本试卷和答题卡一并交回．．．．．．．．．．．．。
注意事项：1．答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B 铅笔将准考证号填涂在相应位置。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{13}A x x =-<∣ ，{}24B x Z x =∈<∣，则A B 等于A ．{}0,1B ．{}1,0,1-C ．{}1,0,1,2-D ．{}2,1,0,1,2--2．若2iz i =+，则复数z 在复平面内对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，4512a a =，则94S S 等于A ．15B ．1C ．1-D ．9-4．已知向量a ，b 的夹角为3π且2a = ，()1,1b = ，则a 在b 上投影向量的坐标为A．B ．11,22⎛⎫⎪⎝⎭C ．22,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．()1,15．“1x >”是“()12log 10x +<”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．过直线y x =上的一点P 作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线1l ，2l ，切点分别为A ，B ，当直线1l ，2l 关于y x =对称时，线段PA 的长为A ．4B．CD ．27．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点P 是C 上一点，且5PF =，以PF 为直径的圆截x 轴所得的弦长为1，则p 等于A ．2B ．2或4C ．4D ．4或68．随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为13，13，13，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为14，15，16，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是A ．1237B ．1537C ．35D ．47二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+的图象如图所示，M ，N 是直线1y =-与曲线()y f x =的两个交点，且29MN π=，则下列选项正确的是A ．ω的值为3B ．ω的值为2C ．ϕ的值可以为43πD ．ϕ的值可以为3π10．气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22C ”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度（单位：C ）的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体平均数为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体平均数为26，总体方差为10.8，则肯定进入夏季的地区有A ．一个都没有B ．甲地C ．乙地D ．丙地11．定义在R 上的函数()f x 满足()()40f x f x ++=，()22f x +是偶函数，()11f =，则A ．()f x 是奇函数B ．()20231f =-C ．()f x 的图象关于直线1x =对称D ．1001(21)100k k f k =-=-∑12．如图，双曲线222:C x y a -=的左右顶点为A ，B ，P 为C 右支上一点（不包含顶点），PAB α∠=，PBA β∠=，APB γ∠=，直线l 与双曲线C 的渐近线交于F 、G ，M 为线段FG 的中点，则A ．双曲线C的离心率为e =B ．P 到两条渐近线的距离之积为2a C ．tan tan 2tan 0αβγ++=D ．若直线l 与OM 的斜率分别为1k ，2k ，则121k k =第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．13．若5a x ⎫⎪⎭的展开式中x 的系数为15，则a =_________．14．已知直线210x y -+=的倾斜角为α，则tan2α的值是_________．15．已知函数()22,0,,0,x x x f x e x ⎧=⎨>⎩ 若方程()2[]f x a =恰有两个不同的实数根1x ，2x ，则12x x +的最大值是_________．16．已知数列{}n a 通项公式为n a n t =+，数列{}n b 为公比小于1的等比数列，且满足148b b ⋅=，236b b +=，设22n nn n n a b a b c -+=+，在数列{}n c 中，若()*4n c c n N ∈ ，则实数t 的取值范围为_________．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
河南省信阳市2020-2021学年高三上学期第二次教学质量检测数学(理科)试题
河南省信阳市2020-2021学年普通高中高三第二次教学质量检测数学(理科)一､选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2650A x x x =-+≤，{}3B x y x ==-，A B 等于（ ）A. [1,)+∞B. []1,3C. (3,5]D. []3,5D先求出集合,A B ，再求交集运算.由{}{}2650|15A x x x x x =-+≤=≤≤，{}{}33B x y x x x ==-=≥所以[]3,5A B =故选;D2. 已知复数2020z i i =+.则||z =( ) A. 2 B. 1C. 0D. 2A易得20201i =，所以1z i =+，进而根据模长公式计算即可..因为2101010102020()(1)1i i ==-=，所以1z i =+，所以|2|z =.故选：A .本题考查复数的运算，考查计算能力，属于基础题.3. 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示.为了了解该地区中小学生的近视形成原因用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A. 100，40B. 100，20C. 200，40D. 200，20D首先根据扇形统计图中的数据求出学生总数，接下来结合已知求出样本容量，根据上述所求进一步求出抽取的高中学生人数，然后结合图乙进行解答即可.由图甲可知，学生总数45003500200010000++=（人），故抽取的样本容量为100002%200⨯=（人）， 其中抽取的高中学生有20002004010000⨯=（人）； 由图乙可知，高中生近视率为50%，∴抽取的高中生近视人数为4050%20⨯=（人）.故选：D ..本题主要考查的是统计图及分层抽样的应用，解答本题的关键是能从图中获取关键信息，接下来结合已知中的数据进行解答即可，属于常考题.4. 已知正项数列{}n a 满足221120n n n n a a a a ++--=，{}n a 的前n 项和为n S ，则53S a =（ ） A. 314B.312C.154D.152A由221120n n n n a a a a ++--=,得()()1120n n n n a a a a +++-=，由{}n a 为正项数列，可得12n n a a +=，得出数列{}n a 是等比数列，且公比2q ，设首项为1a ，由等比数列的通项公式和前n 项和公式，代入可得选项.由221120n n n n a a a a ++--=,得()()1120n n n n a a a a +++-=，又{}n a 为正项数列，所以12n n a a +=，所以数列{}n a 是等比数列，且公比2q，设首项为1a ，则()5151123112a S a -==-，231124a a a =⨯=，则53314S a =.故选：A. 本题考查等比数列的定义，通项公式，前n 项和公式，关键在于由已知的递推式，分解因式得出数列是等比数列，属于基础题.5. 如图是函数()f x 的图像，()f x 的解析式可能是（ ）A. 1()ln 1+=-x f x x B. 1()ln 1-=+x f x x C. 11()11=++-f x x x D. 11()11=-+-f x x x C利用赋值法代入0x =，2x =，12x =-，用排除法即可得到答案. 由图象可知(0)0f =，若11()11=-+-f x x x ，11(0)20101f =-=+-，故可排除D ； 当2x =时，(2)0f >，若1()ln1-=+x f x x ，211(2)lnln 0213f -==<+，故可排除B ； 当12x =-时，1()02f ->，若1()ln 1+=-x f x x ，11112()ln ln 012312f -+-==<-，故可排除A ；故选：C.函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．6. “ln ln x y >”是“1132xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件A利用对数函数，指数函数和幂函数的单调性，根据逻辑条件的定义判断.由ln ln x y >，得0x y >>，此时111332xyy⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，反之1132xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立时，可以取1x =-，2y =-，不能推出ln ln x y >.故选：A .本题主要考查逻辑条件的判断，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 7. 执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出的结果是（ ）A. 11114135717P ⎛⎫=-+-++⎪⎝⎭ B. 11114135719P ⎛⎫=-+-+-⎪⎝⎭ C. 11114135721P ⎛⎫=-+-+⋯+ ⎪⎝⎭D. 11114135721P ⎛⎫=-+-+-⎪⎝⎭B按照程序框图运行程序，寻找规律，直到i n >输出结果即可. 按照程序框图运行程序，输入10n =，0S =，1i =，则1S =，2i =，不满足i n >，循环；113S =-，3i =，不满足i n >，循环；11135S =-+，4i =，不满足i n >，循环；以此类推，1111135719S =-+--⋅⋅⋅-，11=i ，满足i n >，则4P S =，11114135719P ⎛⎫∴=-+--⋅⋅⋅- ⎪⎝⎭.故选：B .本题考查根据程序框图循环结构计算输出结果的问题，属于常考题型.8. 中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（ ） A. 30种 B. 50种 C. 60种 D. 90种B先分情况甲选牛共有1121020C C ⋅=，甲选马有1131030C C ⋅=，得出结果.若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种任意选，所以共有1121020C C ⋅=若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种任意选，所以共有1131030C C ⋅=所以共有203050+=种故选B本题主要考查了排列组合，分情况选择是解题的关键，属于较为基础题.9. 定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，且当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()lg g x x =，则方程()()f x g x =的解的个数是（ ） A. 9 B. 10C. 11D. 12C由题意可得()f x 为周期为2的偶函数，且当[1,1]x ∈-时，2()f x x =，画出()y f x =的图象，作出()y g x =的图象，通过图象可得两函数的交点个数，可得所求方程解得个数.(1)(1)f x f x -=+，即为(2)()f x f x +=，可得()f x 为周期为2的偶函数，且当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，即[1,1]x ∈-时，2()f x x =， 画出()y f x =的图象，函数()g x 是定义在R 上的奇函数， 当0x >时，()lg g x x = 可得0x =时，(0)0g =，0x <时，()lg()g x x =--， 作出()y g x =的图象，由lg101=，()f x 的最大值为1，可得0x >时，()y f x =和()y g x =的图象有9个交点； 当0x =时，(0)(0)0f g ==；当0x <时，()y f x =和()y g x =的图象有1个交点； 综上所述，可得()y f x =和()y g x =的图象共有11个交点， 即方程()()f x g x =共有11个解，故选：C. 函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．10. 将函数()17cos 488f x x =+的图象向左平移12π个单位长度，向下平移78个单位长度后，得到()h x 的图象，若对于任意的实数,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()h x ω都单调递增，则正数ω的最大值为（ ） A. 3 B.52C.73D.76B根据三角函数图象变换求得()1cos 483h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可得()1cos 483h x x πωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得出2433333x πωπππωπω+≤+≤+，由函数()y h x ω=单调递增可得出关于ω的不等式组，即可解得正数ω的最大值.将函数()17cos 488f x x =+的图象向左平移12π个单位长度，得到函数17cos 4838y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 再将所得函数图象向下平移78个单位长度后，得到函数()1cos 483h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则()1cos 483h x x πωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2433333x πωπππωπω+≤+≤+， 由于函数()y h x ω=在区间,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以，[]2,2,23333k k πωππωππππ⎡⎤++⊆-⎢⎥⎣⎦， 所以，2332233k k πωππππωππ⎧+≥-⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，解得()16432k k k Z ω-≤≤-∈，由16432k k -≤-，解得76k ≤，k Z ∈，当1k =时，522ω≤≤，因此，正数ω的最大值为52.故选：B. 本题考查利用余弦型函数的单调性求参数，同时也考查了利用函数图象变换求函数解析式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.11. 如图，12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. 23y x =±B. 22y x =±C. 3y x =D. 2y x =A设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由by x a=±得到双曲线的渐近线方程. 设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =， 所以2212||46413F F =+=13c ⇒= 因为2521a x a =-=⇒=，所以23b =所以双曲线的渐近线方程为23b y x x a=±=±. 本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.12. 已知函数244()ln -⎫⎛=++ ⎪⎝⎭x f x k x k x ，[1,)∈+∞k ，曲线()y f x =上总存在两点()11,M x y ，()22,N x y 使曲线()y f x =在M ､N 两点处的切线互相平行，则12+x x 的取值范围为（ ） A. [4,)+∞ B. (4,)+∞C. 16,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D. 16,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B 分析】求得()f x 的导数()f x '，由题意可得121()()(f x f x x '='，20x >，且12)x x ≠，化为121244()()x x k x x k+=+，因此12164x x k k+>+对[1k ∈，)+∞都成立，令4()g k k k=+，[1k ∈，)+∞，根据对勾函数的性质求出最值即可得出．解：函数244()()x f x k lnx k x-=++，导数2414()()1f x k k x x '=+--．由题意可得121()()(f x f x x '='，20x >，且12)x x ≠． 即有221122444411k k k k x x x x ++--=--， 化为121244()()x x k x x k+=+， 而21212()2x x x x +<， 2121244()()()2x xx x k k +∴+<+，化为12164x x k k+>+对[1k ∈，)+∞都成立， 令4()g k k k=+，[1,)∈+∞k ，则()g k 在[)1,2上单调减，在[2,)+∞上单调递增， 所以()()min 22442g k g ==+=∴6164414k k=+， 124x x ∴+>，即12x x +的取值范围是()4,+∞．故选：B ．方法点晴：本题利用导数几何意义，函数的单调性与最值问题的等价转化方法、基本不等式的性质．二､填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.13. 已知x ，y 满足约束条件221x y y x y +≥⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，则3-=y z x 的最大值为________．23- 作出约束条件所表示的可域，再根据目标函数的几何意义为两点连线斜率的最大值，即可得答案；约束条件所表示的可行域，如图所示：目标式3-=y z x的几何意义是可行域内的点(,)x y 与点(0,3)连线的斜率， 由图可知过点（1，1）时，max 23z =-．故答案为：23-.本题考查线性约束条件下非线性目标函数的最值问题，考查数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意目标函数几何意义的运用.14. 在23(23)x x --的展开式中，含2x 的项的系数是__________． -9由于涉及的为三项展开式的问题，解题中可根据组合的方法求解．()3223xx --表示三个()223x x --相乘，所以展开式中含2x 的项有两种情况：（1）从三个()223x x --选取一个然后取2x ，再从剩余的两个()223x x --中分别选取3-，所得结果为12223(3)27C x x ⋅⋅-=；（2）从三个()223x x --选取两个分别取2x -，再从剩余的一个()223x x --中选取3-，所得结果为2223(2)(3)36C x x ⋅-⋅-=-．综上可得展开式中含2x 的项为22236279x x x -+=-． 故答案为9-．本题考查三项展开式的问题，解题的方法有两个：一是转化为二项展开式的问题求解，另一个是根据组合的方法求解，考查转化和计算能力，注意考虑问题时要全面，属于基础题． 15. 已知抛物线2y =4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，且FA FB 6⋅=，则|AB|=_____ 6先设直线方程联立抛物线方程得121x x =，由抛物线的焦半径公式写出FA FB ⋅列式可解出12x x +，然后由12AB 2FA FB x x =+=++可求出答案.解：由抛物线2y =4x ，得()1,0F ，当直线AB 垂直与x 轴时，2FA FB ==，不符合故可设直线AB ：y=k(x 1)-，联立抛物线得()2222x 22=0k k x k -++所以121x x =由抛物线的焦半径可知11FA x =+，21FB x =+所以()()1212121211126FA FB x x x x x x x x ⋅=++=+++=++= 所以124x x +=，12AB 26FA FB x x =+=++= 故答案为6本题考查抛物线焦点弦的性质，抛物线的焦半径，属于中档题. 16. 在ABC 中，()()3cos ,cos ,cos ,sin AB x x AC x x ==，则ABC 面积的最大值是____________34计算113sin 22624ABC S x π⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭△，得到答案. ()22211sin ,1cos,22ABC S AB AC AB AC AB ACAB AC=⋅=⋅-△()2222AB AC AB AC=⋅-⋅=2113sin cos sin 22624x x x x π⎛⎫=-=--≤ ⎪⎝⎭， 当sin 216x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时等号成立.此时262x ππ-=-，即6x π=-时，满足题意. 故答案为：34.本题考查了三角形面积的最值，向量运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 三､解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()()3a b c a b c ab +++-=. （1）求角C 的值；（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求+a b 的取值范围. (1) 3C π=.(2) .（1）根据题意，由余弦定理求得1cos 2C =，即可求解C 角的值； （2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到4sin 6a b A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再根据ABC ∆为锐角三角形，求得62A ππ<<，利用三角函数的图象与性质，即可求解.（1）由题意知()()3a b c a b c ab +++-=，∴222a b c ab +-=，由余弦定理可知，2221cos 22a b c C ab +-==，又∵(0,)C π∈，∴3C π=.（2）由正弦定理可知，2sin sin sin 3a b A Bπ===，即,a Ab B == ∴sin )a b A B +=+2sin sin 3A A π⎤⎛⎫=+- ⎪⎥⎝⎭⎦ 2cos A A =+4sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又∵ABC ∆为锐角三角形，∴022032A B A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，即，则2363A πππ<+<，所以4sin 46A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，综上+a b 的取值范围为.本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.18. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S （0n S ≠），满足1S ，2S ，3S -成等差数列，且123a a a =.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()1311nn n n a b a a +-=++，求数列{}n b的前n 项和n T .（1）()2nn a =-.（2）()()112221n n n T ++-+=--+ （1）设数列{}n a 的公比为q ，由题意结合等差数列、等比数列的性质转化条件可得()()21121a q q a q -+=+、2211a q a q =，即可得解； （2）由题意()()1112121n nn b +=--+-+，利用裂项相消法即可得解.（1）设数列{}n a 的公比为q ，依题意得()1322S S S +-=，所以()()23122a a a a -+=+即()()21121a q q a q -+=+，因为10a ≠，所以2320q q ++=，解得1q =-或2q =-， 因为0n S ≠，所以2q =-，又因为123a a a =，所以2211a q a q =即12a q ==-，所以()2nn a =-；（2）题意可得()()()()()()()111322*********n n nn n n n n b +++-----==⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+-+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()1112121nn +=--+-+，则()()()()()()12231111111212121212121n n n T +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-+-+-+-+-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()11122112121n n n +++-+=--=--+-+. 本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，考查了利用裂项相消法求数列前n 项和的应用，属于中档题.19. 为进一步深化“平安校园”创建活动，加强校园安全教育宣传，某高中对该校学生进行了安全教育知识测试（满分100分），并从中随机抽取了200名学生的成绩，经过数据分析得到如图1所示的频数分布表，并绘制了得分在[)30,40以及[]90,100的茎叶图，分别如图2､3所示． 成绩 [)30,40[)40,50[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100频数5304050452010图1（1）求这200名同学得分的平均数；（同组数据用区间中点值作代表）（2）如果变量X 满足()220.9544P X μσμσ-<<+>且()330.9974P X μσμσ-<<+>，则称变量X “近似满足正态分布()2,N μσ的概率分布”．经计算知样本方差为210，现在取μ和2σ分别为样本平均数和方差，以样本估计总体，将频率视为概率，如果该校学生的得分“近似满足正态分布()2,N μσ的概率分布”，则认为该校的校园安全教育是成功的，否则视为不成功．试判断该校的安全教育是否成功，并说明理由．（3）学校决定对90分及以上的同学进行奖励，为了体现趣味性，采用抽奖的方式进行，其中得分不低于94的同学有两次抽奖机会，低于94的同学只有一次抽奖机会，每次抽奖的奖金及对应的概率分别为：奖金 50100概率3414现在从不低于90同学中随机选一名同学，记其获奖金额为ξ，以样本估计总体，将频率视为概率，求ξ的分布列和数学期望． 21014.5≈）（1）65；（2）是成功的，理由详见解析；（3）分布列详见解析，数学期望为87.5 （1）每组的中间成绩乘以对应的频率再求和，就是所求的平均数； （2）计算2,3μσμσ±±的概率，结合茎叶图中的数据即可进行判断；（3）ξ的可能取值为：50,100,150,200，计算每个数值对应的概率，进而得到ξ的分布列，由此计算得出期望.解（1）据频数分布表得：350.025450.15550.2650.25⨯+⨯+⨯+⨯750.225850.1950.0565+⨯+⨯+⨯=， 所以平均数为65．（2）该校的安全教育是成功的．理由如下：14.5≈，所以265214.536μσ-=-⨯=，265214.594μσ+=+⨯=，365314.521.5μσ-=-⨯=，365314.5108.5μσ+=+⨯=，而且据茎叶图2，3知：得分小于36分的学生有3个，得分大于94分的有4个， 所以7(22)10.9650.9544200P X μσμσ-<<+=-=>， 因为学生的得分都在[]30,100之间，所以(33)10.9974P X μσμσ-<<+=>，所以学生的得分“近似满足正态分布()65,210N 的概率分布”，因此该校的安全教育是成功的．（3）设这名同学获得的奖金为ξ，则ξ的可能取值为50，100，150，200．639(50)10420P ξ==⨯=， 261433(100)1041048P ξ⎛⎫==⨯+⨯= ⎪⎝⎭，124313(150)104420P C ξ==⨯⨯⨯=， 2411(200)10440P ξ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭， 分布列为93315010015020087.52082040E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．本题考查了平均数的计算，考查了正态分布，离散型随机变量的分布列和数学期望，考查了学生的审题和计算能力，属于中档题.20. 已知椭圆N ：()222210x y a b a b +=>>经过点()0,1C，且离心率为2.（1）求椭圆N 的标准方程与焦距；（2）直线l ：13y kx =-与椭圆N 的交点为A ，B 两点，线段AB 的中点为M .是否存在常数λ，使AMC ABC λ=⋅∠∠恒成立，并说明理由.（1）2212x y +=，焦距为2；（2）存在常数2λ=，使2AMC ABC ∠=∠恒成立，详见解析.（1）根据上顶点的坐标和离心率可得,,a b c ，从而可求标准方程和焦距.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，消去y 后利用韦达定理化简CA CB ⋅可得0CA CB ⋅=，从而可得2λ=.（1）因为椭圆N ：()222210x y a b a b +=>>经过点()0,1C，且离心率为2，所以1b =，c a =，又因为222a c b -=， 可解得1c =，a =22c =，所求椭圆的方程为2212x y +=.（2）存在常数2λ=，使2AMC ABC ∠=∠恒成立， 证明如下：由221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()2291812160kxkx +--=，0∆>，设()11,A x y ，()22,B x y ， 则12212918k x x k +=+，12216918x x k -=+. 又因为()11,1CA x y =-，()22,1CB x y =-， 所以()()121211CA CB x x y y ⋅=+--12124433x x kx kx ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()21212416139k x x k x x =+-++()22216412161091839189k k k k k -=+⋅-⋅+=++，所以CA CB ⊥，因为线段AB 的中点为M ，所以MC MB =，所以2AMC ABC ∠=∠. 存在常数2λ=，使2AMC ABC ∠=∠恒成立.求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.21. 已知函数()()2 ,xf x e ax ag x lnx =--=.(1)讨论()f x 的单调性;(2)用{},max m n 表示,m n 中的最大值，若函数()()(){}(),0h x max f x g x x =>只有一个零点,求a 的取值范围.(1) ()f x 在()(),2ln a -∞上单调递减,在())(2,ln a +∞上单调递增，.(2) )1, [2e ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩+∞⎭(1)先求函数的导函数()'2xf x e a =-，再讨论0a ≤时, 0a >时,函数()f x 的单调性即可；(2)分别讨论函数()()(){}(),0h x max f x g x x =>在当1,() x ∈+∞，当1x =时，当()0,1x ∈时,函数()h x 零点个数，然后结合函数在(0, )+∞的零点个数即可得解.解:(1)函数()f x 的定义域为R ,且()'2xf x e a =-.当0a ≤时,() 0f x >对x ∈R 恒成立,所以()f x 在R 上单调递增. 当0a >时,令()0f x '=,得() 2x ln a =,当(),2()x ln a ∈-∞时,()0f x '<;当()2,()x ln a ∈+∞时,()0f x '>.所以()f x 在()(),2ln a -∞上单调递减,在())(2,ln a +∞上单调递增，.(2)①当1,() x ∈+∞时, () 0g x ln x =>,从而()()(){}() ,0h x max f x g x g x =≥>,所以()h x 在(1, )+∞上无零点，②当1x =时, ()13f e a =-,若()()(){}(),11,1103ea h max f g g ≥===,所以1x =是()h x 的零点;若()()(){}() ,11,1103e a h maxfg f <==>,所以1x =不是()h x 的零点. ③当()0,1x ∈时, ()l 0g x n x =<,所以()h x 在()0,1上的零点个数只需要考虑()f x 在()0,1上的零点个数.()f x 在()0,1上的零点个数()0f x ⇔=在()0,1上实根的个数21xe a x ⇔=+在()0,1上实根的个数.令函数()(),0,121xe x x x ϕ=∈+,则()()()22121xx e x x ϕ-'=+,所以()x ϕ在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1(,1)2上单调递增；又()01ϕ=，()31e ϕ=，22e ϕ⎛⎫⎪⎭= ⎝，当2a <或1a ≥时，()f x 在()0,1上无零点;当2a =或13e a ≤<时, ()f x 在()0,1上有唯一零点，3ea ≤<时, ()f x 在()0,1上有两个零点，综上可得：当a <()h x 在(0, )+∞上有无零点,当a =()h x 在(0, )+∞上有1个零点,当12a <<时，()h x 在(0, )+∞上有2个零点, 当1a ≥时，()h x 在(0, )+∞上有1个零点,则()h x 在(0, )+∞上有唯一零点, a 的取值范围为)1, [e ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩+∞⎭. 本题考查了导数的综合应用，重点考查了利用函数研究函数的单调性及函数的大致图像，属难度较大的题型.22. 已知直线l的参数方程为1x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2sin 1sin θρθ=-．（1）写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 是曲线C 上的动点，求P 到直线l 距离的最小值，并求出此时P 点的坐标． （1cos()14πθ，2yx ；（2）P 到直线距离的最小值为：8，此时P 点的坐标为11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ （1）先将直线l 的参数方程消去参数化为普通方程，再将其转化为极坐标方程，把2sin 1sin θρθ=-化为2cos sin ρθθ=，然后两边同乘以ρ，再利用公式可转化为直角坐标方程.（2）利用点到直线的距离公式，求出P 到直线l 的距离的最小值，再根据函数取最值的情况求出点P 的坐标即可解：（1）由1x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），消去参数得10x y --=，所以直线l 的极坐标方程为cos sin 10ρθρθ--=cos()14πθ，由2sin 1sin θρθ=-，得2cos sin ρθθ=，22cos sin ρθρθ=，得 2y x ，所以曲线C 的直角坐标方程为2y x （2）设00(,)P x y ，则2000(0)y x x ，点00(,)P x y 到直线l 的距离为2013()x d -+====当012x=时，min 8d =，此时 11(,)24P所以当11(,)24P 时，点P 到直线l 的距离最小，最小值为8此题考查了参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，点到直线的距离公式，属于基础题.23. 设函数()22f x x x =+--.（1）解不等式()2f x ≥；（2）当x ∈R ，0<y <1时，证明：11221x x y y+--≤+-. （1）{|1}x x ≥；（2）证明见解析.（1）去绝对值将函数转化为()4,22,224,2x f x x x x ≥⎧⎪=-<<⎨⎪-≤-⎩，然后分2x ≥， 22x -<<两种情况讨论求解.（2）通过（1）得到224x x +--≤，然后利用“1”的代换，利用基本不等式求得111y y+-的最小值即可.（1）由已知可得：()4,22,224,2x f x x x x ≥⎧⎪=-<<⎨⎪-≤-⎩，当2x ≥时，42＞成立；当22x -<<时，22x ≥，即1≥x ，则12x ≤＜. ∴()2f x ≥的解集为{|1}x x ≥. （2）由（1）知，224x x +--≤，∵01y ＜＜，则()1111111y y y y y y ⎛⎫⎡⎤+=++- ⎪⎣⎦--⎝⎭， 122241y y y y-=++≥+=- 当且仅当1=1y y y y --，即12y =时取等号， 则有11221x x y y+--≤+-. 本题主要考查绝对值不等式的解法以及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。
2023届河南省信阳市普通高中高三第二次教学质量检测数学(理)试题(解析版)
2023届河南省信阳市普通高中高三第二次教学质量检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合()(){}210A x x x =+-=，{}2,1,0,1,2B =--，那么BA 等于（ ）A ．2,0,1B ．{1,0,2}-C ．{}2,1,0--D ．{}0,1,2【答案】B【分析】根据补集的运算，可得答案.【详解】由题意，{}2,1A =-，则{}1,0,2B A =-. 故选：B.2．下列命题中，错误的命题有（ ）A ．函数()f x x =与()2g x =不是同一个函数B ．命题“[]00,1x ∃∈，201x x +≥”的否定为“[]0,1x ∀∈，21x x +<” C ．设函数()22020x x x f x x +<⎧=⎨≥⎩，则()f x 在R 上单调递增D ．设,R x y ∈，则 “x y <”是“2()0x y y -⋅<”的必要不充分条件 【答案】C【分析】对于A 选项，定义域不同，函数不同，故A 正确；对于B 选项，由存在量词命题与全称量词命题否定关系，可判断B 正确； 对于C 选项，举反例否定其是增函数，可得C 错误；对于D 选项，举反例说明不充分，并且可证明其是必要条件，故D 正确.【详解】对于A 选项，因为两个函数的定义域不同，所以两个函数是不同的函数，故A 正确； 对于B 选项，因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以B 正确；对于C 选项，因为0.10-<，但是()()0.1 1.810f f -=>=，与增函数定义矛盾，所以C 错误； 对于D 选项，若x y <，当0y =时，推不出2()0x y y -⋅<，当2()0x y y -⋅<时，0y ≠且x y <，所以D 正确. 故选：C.3．已知角α的终边在直线340x y -=上，则2cos 2sin 2αα+=（ ）A ．6425B ．4825C ．1D ．1625【答案】A【分析】由题意可得3tan 4α=，然后化简变形2222cos 4sin cos cos 2sin 2sin cos ααααααα++=+，再给分子分母同除以2cos α，化为正切，再代值计算即可. 【详解】因为角α的终边在直线340x y -=上， 所以当0x >时，在直线上取一点(4,3)，则3tan 4α=， 当0x <时，在直线上取一点(4,3)--，则3tan 4α=， 综上3tan 4α=， 所以2222cos 4sin cos cos 2sin 2sin cos ααααααα++=+231414tan 6449tan 125116αα+⨯+===++， 故选：A.4．在等差数列{}n a 中，38a =，712a =，则12a =（ ） A ．19 B ．18C ．17D ．20【答案】C【分析】利用已知条件列方程组求出1,a d ，从而可求出12a . 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由题意可得1128612a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得161a d =⎧⎨=⎩， 所以1211161117a a d =+=+=， 故选：C.5．如图所示的程序框图，输入3个数，0.12a =，0.23b -=，41log 2c =，则输出的a 为（ ）A ．0B ．0.12C ．0.23-D ．41log 2【答案】D【分析】根据条件结构的程序框图，依次执行，即得解 【详解】由题意，输入0.12a =，0.23b -=，41log 2c = 第一步，判定a b >是否成立，由于00.200.121,1233b a b a -==<=∴=>> 因此赋值0.23a -=，第二步，判定a c >是否成立，由于0.24130,log 02c a c a ->=<∴=> 因此赋值41log 2a = 输出41log 2a = 故选：D6．源于探索外太空的渴望，航天事业在21世纪获得了长足的发展．太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件，宇航员常常在太空旅行中进行科学实验．在某次太空旅行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中,A B 两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有（ ） A ．18种 B ．36种C ．72种D ．108种【答案】B【分析】先排,A B 两道程序有23A 种放法，再排剩余的3道程序有33A 种放法，再由分步计数原理即可得出答案.【详解】先排,A B 两道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，则在第2,3,4道程序选两个放,A B ，共有23A 种放法；再排剩余的3道程序，共有33A 种放法； 则共有2333A A =36⋅种放法. 故选：B.7．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，且8AB =，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ） A ．1 B ．4 C ．3 D ．7【答案】C【分析】设出()()1122,,,A x y B x y ，由抛物线焦点弦公式得到126x x +=，进而求出线段AB 的中点横坐标为1232x x +=，得到答案. 【详解】由题意得：()1,0F ，设()()1122,,,A x y B x y ， 则1228AB x x =++=，解得：126x x +=， 则线段AB 的中点横坐标为1232x x +=， 故线段AB 的中点到y 轴的距离为3. 故选：C8．已知函数()y f x = 对任意实数x 都有(6)()2(3)f x f x f ++= 且(1)(1)0f x f x -+-= ，则(2022)f 等于（ ）A ．3-B ．0C ．3D ．6【答案】B【分析】根据题意可推出(1)(1)f x f x -=--即()()f x f x -=-，可得函数()y f x =是奇函数，利用赋值法求得(0)0f =以及(3)0f =，继而根据(6)()2(3)f x f x f ++=推得函数的周期，由此利用周期求得(2022)f 的值.【详解】因为对任意实数x 都有函数满足(1)(1)0f x f x -+-=，即(1)(1)f x f x -=--，即()()f x f x -=-，所以函数()y f x =是奇函数，对于(1)(1)0f x f x -+-=，令1x =，则可得(0)0f =；由(6)()2(3)f x f x f ++=，令3x =-得，(3)(3)2(3)f f f +-=， 即(3)(3)2(3),(3)0f f f f -=∴= ，所以(6)()2(3)0f x f x f ++==，即(6)()f x f x +=-，所以()()()()126f x f x f x f x ⎡⎤+=-+=--=⎣⎦ ，即12为函数()y f x =的周期， 所以()(2022)(121686(6)0)0f f f f =⨯+=== , 故选：B ．9．已知函数22π()2sin cos sin (0)24x f x x x ωωωω⎛⎫=⋅-->⎪⎝⎭在区间π5π,562⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（ ） A ．15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】将函数()f x 用三角恒等变换化简成正弦型函数，根据整体代换与正弦函数的性质，结合已知建立ω的不等量关系，即可求解.【详解】22()2sin cos sin 24x f x x x ωπωω⎛⎫=⋅--⎪⎝⎭2πsin [1cos()]sin sin 2x x x x ωωωω=⋅+--=，()f x 在区间π5π,562⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数， 250,ππ56x ωωωω>-≤≤，2ππ5π3π,052625ωωω∴-≥-≤∴<≤，. 当ππ2π2π(Z),(Z)22k x k k x k ωωω=+∈=+∈时，()f x 取得最大值， 而()f x 在区间[0,]π上恰好取得一次最大值， ππ2π2ππ2ωωω⎧≤⎪⎪∴⎨⎪+>⎪⎩，解得1522ω≤<，综上，1325ω≤≤. 故选：D.10．某车间加工同一型号零件，第一､二台车床加工的零件分别占总数的40%，60%，各自产品中的次品率分别为6%，5%.记“任取一个零件为第i 台车床加工(1,2)i =”为事件i A ，“任取一个零件是次品”为事件B ，则（ ）①()0.054=P B ②()20.03=P A B ③()10.06P B A = ④()259P A B = A ．①②④ B ．②③④C ．②③D ．①②③④【答案】B【分析】根据全概率概率公式及条件概率概率公式计算可得；【详解】依题意()10.4P A =，()20.6P A =，()1|0.06P B A =，()2|0.05P B A =，故③正确； 所以()()()()()1122||0.40.060.60.050.054P B P B A P A P B A P A =⋅+⋅=⨯+⨯=， 所以()()110.0540.946P B P B =-=-=，故①错误； 因为()()()222|P BA P B A P A =，所以()()()222|0.60.050.03P BA P B A P A ==⨯=，故②正确；所以()()()220.0350.0549P BA P A B P B ===，故④正确； 故选：B11．设直线0)30(x y m m -+=≠与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A ，B ，若点(,0)P m 满足||||PA PB =，则该双曲线的离心率是（ ）AB ．12CD【答案】A【分析】联立直线方程与双曲线的渐近线的方程可得(,)33ma bm A b a b a --，(,)33ma bmB b a b a-++，进而可得,A B 中点2222223(,)99ma mb Q b a b a --，由||||PA PB =，可得PQ AB ⊥，进而可得1PQ ABk k ⋅=-，代入得2a b =，c 即可得答案.【详解】解：因为双曲线的渐近线方程为by x a=±， 由30b y x a x y m ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，解得33bm y b a ma x b a ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，不妨设(,)33ma bmA b a b a--， 同理可得(,)33ma bmB b a b a-++， 则,A B 中点2222223(,)99ma mb Q b a b a --，又因为点(,0)P m 满足||||PA PB =，所以点PQ AB ⊥， 所以1PQ AB k k ⋅=-，又因为13AB k =，所以2222223939PQmb b a k mamb a -==---，所以2a b =， 所以2252ac a b =+=， 所以52c e a ==. 故选：A.12．已知关于x 的不等式e ax x b ≥+对任意x R ∈恒成立，则ba的最大值为（ ）A ．12B ．1C ．2eD ．e【答案】C【分析】讨论a 的取值范围，利用函数图象，结合导数求出2ln 1b a a a +=，构造函数2ln )01(,a g a a a+=>，利用导数求出函数的最值，进而得解.【详解】设()axf x e =，()g x x b =+，若e ax x b ≥+，对任意x R ∈恒成立，则()()f x g x ≥，对任意x R ∈恒成立， 当0a ≤时，在同一坐标系中作出函数()(),f x g x 的图象，显然，由图可知e ax x b ≥+，对任意x R ∈不恒成立； 当0a >时，在同一坐标系中作出函数()(),f x g x 的图象，由图可知，临界条件是直线()g x x b =+与曲线()axf x e =的图象相切时，由()axf x e =，求导()e e x f x a '=，设()00e 1ax a f x '==，解得0e 1axa=，且()00e axf x =， ∴当()axf x e =的切线斜率为1时，切点坐标为()00,ax x e ，故001e ax ax b =+=，所以01x b a =-即111e1l 1n 1n e l a ab a b ab a a a a ab -⎛⎫- ⎪⎝⎭=⇒==-⇒+=-⇒ 两边同除以2a ，2ln 1b a a a +=，令2ln )01(,ag a a a +=> 求导24332(1ln )12(1ln )12ln ()1a a a a a g a a a a a ⋅-+-+--'===令()0g a '=，得1ln 2a =-，即12e a -=当120,e a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0g a '>，函数()g a 单调递增，当12e ,a -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0g a '<，函数()g a 单调递减，所以当12e a -=，函数()g a 取到最大值，且11222112ln ee(e )1e 2e 12g ----+===⎛⎫ ⎪⎝⎭故b a 的最大值为2e 故选：C.【点睛】思路点睛：本题考查不等式恒成立求参数取值范围问题，需要结合图象分类讨论，构造函数将问题转化，考查数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想和运算求解能力，是难题.二、填空题13．i 是虚数单位，若复数()()12i i a -+ 是纯虚数，则实数a 的值为____________. 【答案】2-【详解】试题分析：由复数的运算可知，()()12i a i -+是纯虚数，则其实部必为零，即，所以.【解析】复数的运算.14．()()24211x x +-的展开式中4x 的系数为_____________． 【答案】9【分析】利用二项式定理求指定项的系数.【详解】()2424(21)(1)441(1)x x x x x +-=++-，展开式中4x 的系数为()2344444C 4C 1C 9+⨯-+=．故答案为：915．已知D 是ABC 内部（不含边界）一点，若::5:4:3ABD BCD CAD S S S =△△△，AD x AB y AC =+，则x y +=__________. 【答案】23【分析】利用向量共线表示AM AD x AB y AC λλλ==+，以及()1AM AB AC μμ=-+，转化求得1x y +=λ，根据图形可知AMAD=λ，再逐步变形转化为面积比值，即可求解. 【详解】如图，连结AD 并延长交BC 于点M ， 设点B 到AD 的距离为B d ，点C 到AD 的距离为C d ，因为::5:4:3ABD BCD CAD S S S =△△△，所以设5,4,3ABD BCDCAD S k S k S k ==△△,设AM AD x AB y AC λλλ==+，BM BC μ=， 所以()AM AB BM AB BC AB AC AB μμ=+=+=+-()1AB AC μμ=-+，所以1x y λμλμ=-⎧⎨=⎩，即11x y μμλλλ-+=+=， ()()()B C B C AD DM d d AM AD DM AD AD AD d d λ+⨯++===⨯+ ()1112221122B C B C B C AD d AD d DM d d AD d AD d ⨯+⨯+⨯+=⨯+⨯ 5343532k k k k k ++==+，所以123x y +==λ. 故答案为：2316．剪纸是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一.如图，一圆形纸片，直径20cm AB =，需要剪去菱形EFGH ，可以经过两次对折、沿EF 裁剪、展开后得到.若CF EF =，要使镂空的菱形EFGH 面积最大，则菱形的边长EF =______cm.【答案】203##263【分析】设圆心为O ，结合已知条件，求出OF 与OE 的关系式，然后利用导函数即可求解菱形EFGH 面积最大值，进而可得到答案.【详解】设圆心为O ，由圆的性质可知，A ，E ，O ，G ，B 共线，C ，F ，O ，H ，D 共线， 由菱形性质可知，EG FH ⊥，不妨令OF m =，OE n =，且半径为10， 则22=10EF m n CF m +==-，即2121010m n =-，010n <<， 故314221010EFGH OEFS SOE OF mn n n ==⋅==-+， 不妨令31()1010f x x x =-+，010x <<， 则23()1010f x x '=-+，从而()00f x x '>⇒<<；()010f x x '<⇒<<，故()f x 在上单调递增，在上单调递减，所以当x =()f x 在(0,10)上取最大值，从而要使镂空的菱形EFGH 面积最大，则n =， 由2121010m n =-可知，103m =，则此时20103EF m =-=. 故答案为：203.三、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos b A c =． （1）求B 的大小；（2）若2c a b +=，求ABC 的面积．【答案】（1）6π； （2【分析】（1sin cos A A B =，求得cos B 即可求解；（2）由余弦定理可得2233a b a -+=，结合2a b +=，求得1a b ==，利用三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）因为cos b A c =，由正弦定理可得sin cos sin B A A C =， 又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，sin cos A A B =，因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以cos B = 因为(0,)B π∈，所以6B π=.（2）因为6B π=，c由余弦定理可得22cosB =，整理得2233a b a -+=， 又2a b +=，解得1a b ==，所以111sin 1222ABCSac B ==⨯=. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．18．2022年北京冬奥会即第24届冬季奥林匹克运动会在2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行.某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学随机抽取男生、女生各200人，对冰壶运动有兴趣的人数占总数的27，女生中有80人对冰壶运动没有兴趣.(1)完成上面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关？ (2)按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取9人，若从这9人中随机选出2人作为冰壶运动的宣传员，设X 表示选出的2人中女生的人数，求X 的分布列和数学期望. 附：22()()n ad bc K n a b c d -==+++.【答案】(1)列联表见解析，有99%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关． (2)分布列见解析，8()9E X =.【分析】（1）根据题干所给数据求出冰壶运动有兴趣的男女人数，即可得到列联表，再计算出卡方，即可判断；（2）首先利用分层抽样求出男、女抽取的人数，依题意X 的所有可能取值为0，1，2，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；【详解】（1）解：依题意对冰壶运动有兴趣的人数为()2720020027040⨯+=人， 则女生中对冰壶运动有兴趣的有20080120-=人， 男生中对冰壶运动有兴趣的有270120150-=人， 所以男生中对冰壶运动无兴趣的有20015050-=人， 所以22⨯列联表：22400(1508050120)40010.256 6.63527013020020039K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关．（2）解：从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取9人，抽到的男生人数、女生人数分别为：15095270⨯=（人)，12094270⨯=（人)， 则X 的所有可能取值为0，1，2，所以2529C 105(0)C 3618P X ====，114529C C 205(1)C 369P X ====， 4292C 61(2)C 366P X ====， 故X 的分布列是：故5518()01218969E X =⨯+⨯+⨯=．19．在数列{an }中，1244n n a a n ++=-（n ∈N *），123a =-. (1)求n a ；(2)设n S 为{}n a 的前n 项和，求n S 的最小值．【答案】(1)24,21,21,2,n n n k k Za n n k k Z -=+∈⎧=⎨-=∈⎩(2)当n 为偶数时，n S 取得最小值为－242；当n 为奇数时，n S 取最小值为－243【分析】（1）根据题干条件得到()212144n n a a n +++=+-，与1244n n a a n ++=-相减后得到212n n a a ++-=，故得到a 1，a 3，a 5，…是以123a =-为首项，2为公差的等差数列，a 2，a 4，a 6，…是以219a =-为首项，2为公差的等差数列，进而求出通项公式；（2）分n 为偶数和n 为奇数两种情况表达出n S ，并求出最小值.【详解】（1）∵1244n n a a n ++=-（n ∈N *），①()212144n n a a n +++=+-②②－①得，22n n a a +-=. 又∵a 2＋a 1＝2－44，a 1＝－23， ∴a 2＝－19，同理得，a 3＝－21，a 4＝－17.故a 1，a 3，a 5，…是以123a =-为首项，2为公差的等差数列，a 2，a 4，a 6，…是以219a =-为首项，2为公差的等差数列．从而24,21,21,2,n n n k k Za n n k k Z -=+∈⎧=⎨-=∈⎩ （2）当n 为偶数时，()()()12341n n n S a a a a a a -=++++++ ()()()214423442144n =⨯-+⨯-++⨯--⎡⎤⎣⎦()2131442n n =+++--⨯⎡⎤⎣⎦2222n n =- 故当n ＝22时，Sn 取得最小值为－242. 当n 为奇数时，()()()123451n n n S a a a a a a a -=+++++++()()2322442144n =-+⨯-++⨯--⎡⎤⎣⎦()1232241442n n -=-+++--⨯⎡⎤⎣⎦()()()11232212n n n +-=-+--232222n n =--. 故当n ＝21或n ＝23时，Sn 取得最小值－243.综上所述：当n 为偶数时，Sn 取得最小值为－242；当n 为奇数时，Sn 取最小值为－243. 20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>长轴的两个端点分别为(2,0),(2,0)A B -（1）求椭圆C 的方程；（2）P 为椭圆C 上异于,A B 的动点，直线,AP PB 分别交直线6x =-于,M N 两点，连接NA 并延长交椭圆C 于点Q .（ⅰ）求证：直线,AP AN 的斜率之积为定值； （ⅱ）判断,,M B Q 三点是否共线，并说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）是，理由见解析.【分析】（1）根据长轴的两个端点分别为(2,0),(2,0)A B -2,c a e a === （2）（ⅰ）设00(,)P x y ，则直线AP 的斜率为002y x +，直线BP 的斜率为002y x -，再由直线的交点，求得点N 的坐标，进而得到直线AN 的斜率，然后结合220014x y +=运算即可；（ⅱ）设直线AP 斜率为k ，易得M 的坐标，再由（ⅰ）得到直线AN 斜率为12k-，写出直线AN 的方程，与椭圆方程联立，求得Q 点的坐标，再判断直线BQ k 与BM k 是否相等即可. 【详解】（1）由题意得2,c a e a ===所以2221==-=c b a c ， 所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）（ⅰ）证明：设00(,)P x y ，因为P 在椭圆C 上，所以220014x y +=. 因为直线AP 的斜率为002y x +，直线BP 的斜率为002y x -，所以直线BP 的方程为00(2)2y y x x =--. 所以N 点的坐标为008(6,)2y N x ---.所以直线AN 的斜率为0000822622y x y x --=-+-. 所以直线,AP AN 的斜率之积为：20200022000021422122442x y y y x x x x ⎛⎫-⎪⎝⎭⋅===-+---.（ⅱ）,,M B Q 三点共线.设直线AP 斜率为k ，易得(6,4)M k --. 由（ⅰ）可知直线AN 斜率为12k -，所以直线AN 的方程为1(2)2y x k=-+. 联立22440,22,x y x ky ⎧+-=⎨=--⎩可得22(44)80k y ky ++=.解得Q 点的纵坐标为221kk -+， 所以Q 点的坐标为222222(,)11k kQ k k --++. 所以，直线BQ 的斜率为22220122221kk k k k--+=--+，直线BM 的斜率为40622k k --=--. 因为直线BQ 的斜率等于直线BM 的斜率， 所以,,M B Q 三点共线.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21．已知函数()e sin cos xf x x x ax =+--．(1)若函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，求实数a 的取值范围； (2)设函数()()()ln 1g x f x x =--，若()0g x ≥，求a 的值． 【答案】(1)2a ≤ (2)3a =【分析】（1）由题意()e cos sin 0xf x x x a '=++-≥，利用分离参数法得到e cos sin x a x x ≤++对[)0,x ∈+∞恒成立.设()e cos sin x h x x x =++，利用导数判断出函数()h x 在[)0,∞+上单调递增，求出2a ≤；（2）把题意转化为(),1x ∀∈-∞，()()0g x g ≥恒成立.由0x =为()g x 的一个极小值点，解得3a =.代入原函数验证成立.【详解】（1）由题意知()e cos sin xf x x x a '=++-因为函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，所以()e cos sin 0xf x x x a '=++-≥，即e cos sin x a x x ≤++对[)0,x ∈+∞恒成立设()e cos sin xh x x x =++，则()e sin cos 4x x h x x x e x π⎛⎫'=-+=- ⎪⎝⎭当02x π≤<时，()e 1104xh x x π⎛⎫'=->-= ⎪⎝⎭当2x π≥时，()2e e 0h x π'>>>所以函数()e cos sin xh x x x =++在[)0,∞+上单调递增所以()()min 02a h x h ≤==（2）由题知()()()()()ln 1e sin cos ln 11xg x f x x x x ax x x =--=+----<所以()1e cos sin 1xg x x x a x'=++-+-，()00g = 因为()0g x ≥，所以(),1x ∀∈-∞，()()0g x g ≥即()0g 为()g x 的最小值，0x =为()g x 的一个极小值点，所以()010e cos0sin 0010g a '=++-+=-，解得3a = 当3a =时，()()()e sin cos 3ln 11xg x x x x x x =+----<所以()11e cos sin 3e 3141xx g x x x x x x π⎛⎫'=++-+=+-+ ⎪--⎝⎭ ①当01x ≤<时，()11310g x '≥+-+=（当且仅当0x =时等号成立） 所以()g x 在[)0,1上单调递增 ②当0x <时，若02x π-≤<，()11310g x '<+-+=；若2x π<-，()22132e3302222g x πππ-'<+<+-+<++ 所以()g x 在(),0∞-上单调递减综上，()g x 在(),0∞-上单调递减，在[)0,1上单调递增所以当3a =时，()()00g x g ≥=【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． （3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． （4）考查数形结合思想的应用．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为：3x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为π2,3⎛⎫⎪⎝⎭.(1)写出曲线C 的普通方程，并判断点P 与曲线C 的位置关系； (2)设直线l ：()π3R θρ=∈与曲线C 交于M N 、两点，求11PM PN +的值. 【答案】(1)22(3)8x y -+=，P 在曲线C 内部【分析】（1）利用消参法可得曲线C 的普通方程，求得点P 的直角坐标，代入曲线C 的普通方程中，可判断点P 与曲线C 的位置关系； （2）求出直线π3θ=的参数方程，并代入曲线方程中，得根与系数的关系式，利用参数的几何意义，求得答案.【详解】（1）由3x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩,消参得曲线C 的普通方程为：22(3)8x y -+=， 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得点P的直角坐标为P ,将P 代入曲线C 的普通方程的左边得：78<，故P 在曲线C 内部. （2）因为直线l ：()π3R θρ=∈的极坐标方程对应的普通方程为：y =，所以P 在直线l 上，所以可设直线l的参数方程为：112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将其代入曲线C 的普通方程22(3)8x y -+=并化简整理得：210t t +-=，50∆=> ，设它的两根为12,t t ，则121211t t t t +=-⎧⎨=-⎩，所以：121111PM PN t t +=+=23．已知a ，b ，c 为正数. (1)求24a a+的最小值； (2)求证：bc ac aba b c a b c++≥++. 【答案】(1)3 (2)证明见解析【分析】（1）24a a +24=22a a a++，然后利用均值不等式可得答案； （2）由2bc ac c a b +≥=， 2ac ab a b c +≥，2bc ab b a c +≥可证明. 【详解】（1）因为24a a+24=322a a a ++≥=，当且仅当“2a =”时等号成立，所以当2a =时，24a a+的最小值为3.（2）因为2bc ac c a b +≥=，同理2ac ab a b c +≥，2bc ab b a c +≥， 所以三式相加得22()bc ac ab a b c a bc ⎛⎫++≥++ ⎪⎝⎭，所以bc ac aba b c a b c++≥++，当且仅当“a b c ==”时等号成立。
2020年河南省六市高三第二次联考理科数学试题 参考答案
| PQ |
20．解：（1）x =12× 0.04 +14× 0.12 +16× 0.28 +18× 0.36 + 20× 0.10 + 22× 0.06 + 24× 0.04 =17.40 千
元，故估计 50 位农民的年平均收入 x 为 17．40 千元．…………………………………3 分
3
（2）由题意知 X ∼ N (17.40, 6.92) ，
..............4 分
（2）设直线 PQ 的方程为： x = ty +1，则直线 MN 的方程为 x = ty
由
x x2
2
= +
ty +1
y2
得
=1
(2
+
t
2
)
y
2
+
2ty
−1
=
0
，
∆
=
4t
2
+
4(2
+
t
2
)
=
8(t
2
+ 1)
>
0
设 Q(x2, y2 ) ，则
y1
+
y2
=
−
2t 2+t2
且当 2 < t < t0 时， s(t) < 0 ；当 t > t 0 时， s(t) > 0 ，
即θ (x)在(2, t0 ) 上单调递减，在 (t0 , +∞) 上单调递增
所以θ (t= )min
θ= (t0 )
2t0 + 2t0 l= n t0 t0 − 2
t02 −= 2t0 t0 − 2
2020届河南省普通高中高三第二次质量检测数学(理)试卷及解析
2020届河南省普通高中高三第二次质量检测数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)注意事项：1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置.2.全部答案在答题卡完成,答在本试题上无效.3.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,回答非选择题时,将答案用0.5毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上.4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.参考公式:锥体的体积公式:13V Sh =（其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高）. 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ,集合{}2|log 1A x x =<,{}2|0B x x x =->,则A B =（ ）A. {|12x x <<}B. {|2x x <}C. {|12x x ≤≤}D. {|14x x ≤<}【答案】A【解析】 求出不等式2log 1x <和20x x ->的解,然后根据集合的交集运算,即可得到本题答案.【详解】由2log 1x <,得02x <<,故{|02}A x x =<<,由20x x ->,得1x >或0x <,故{|1B x x =>或0}x <,所以,{|12}A B x x =<<.故选：A2.已知复数z 满足21i z i-=+,则z =（ ）A. 132i +B. 132i -C. 32i +D. 32i - 【答案】B【解析】利用复数的除法运算,即可得答案.【详解】∵2(2)(1)131(1)(1)2i i i i z i i i ----===++-. 故选：B.3.由我国引领的5G 时代已经到来,5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展,进而对GDP 增长产生直接贡献,并通过产业间的关联效应和波及效应,间接带动国民经济各行业的发展,创造岀更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据,对今后几年的5G 经济产出所做的预测.结合下图,下列说法正确的是（ ）A. 5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B. 设备制造商的经济产出前期增长较快,后期放缓C. 设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D. 信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势【答案】ABD【解析】本题结合图形即可得出结果．【详解】由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位,而后期是信息服务商处于领先地位,故C 项表达错误．故选：ABD ．4.411(12)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ） A. 10B. 24C. 32D. 56。
河南省信阳市2020届高三上学期第二次教学质量检测(期末)数学(理)试题(含答案)
2020年1月14日河南省信阳市2020届高三上学期第二次教学质量检测（期末）数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分㊂考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效㊂考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回㊂注意事项:1.答题前,考生务必将本人的姓名㊁准考证号等考生信息填写在答题卡上,并用2B铅笔将准考证号填涂在相应位置㊂2.选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写,字体工整㊁笔迹清楚㊂3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效㊂4.保持卡面清洁,不折叠,不破损㊂第Ⅰ卷一㊁选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x}x2-16ɤ0},B={x|l g|x-2|>0},则AɘB等于A.[-4,1)ɣ(3,4]B.[-4,-3)ɣ(-1,4]C.(-4,1)ɣ(3,4)D.(-4,-3)ɣ(-1,4)2.复数z的共轭复数记作z,已知复数z1对应复平面上的点(-1,-1),复数z2满足z1㊃z2=-2,则|z2|等于A.2B.2C.10D.103.正项等差数列{a n}的前n和为S n,已知a3+a7-a25+15=0,则S9等于A.35B.36C.45D.544.如图所示,三国时代数学家赵爽在‘周髀算经“中利用弦图,给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影),设直角三角形有一内角为30ʎ,若向弦图内随机抛掷500颗米粒(米粒大小忽略不计,取3ʈ1.732),则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为A.134B.67C.182D.1085.在әA B C中,H为B C上异于B,C的任一点,M为AH的中点,若AM⇀=λA B⇀+μA C⇀,则λ+μ等于A.12B.23C.16D.13)页4共(页1第三高题数学科理试6.一个算法的程序框图如图所示,若该程序输出的结果是34,则判断框中应填入的条件可能是A.i >5B .i <5C .i >4 D.i <47.将函数y =s i n (3x +φ)的图象沿x 轴向左平移π9个单位长度后,得到函数f (x )的图象,则 φ=π6是 f (x )是偶函数 的A.充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知f (x +2)是偶函数,f (x )在(-ɕ,2]上单调递减,f (0)=0,则f (2-3x )>0的解集是A.(-ɕ,23)ɣ(2,+ɕ)B .(23,2)C .(-23,23) D.(-ɕ,-23)ɣ(23,+ɕ)9.函数f (x )=1x -l n x -1的图象大致是A B.C. D.10.从5名学生中选出4名分别参加数学,物理,化学,生物四科竞赛,其中甲不能参加生物竞赛,则不同的参赛方案种数为A.48B .72C .90D.9611.已知F 1㊁F 2是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左右焦点,过点F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ,若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是A.(3,2)B .(2,+ɕ)C .(1,2)D.(2,3)12.已知函数f (x )=x l n x -2x ,x >0x 2+32x ,x ɤ0ìîíïïïï的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y =-1的对称点在y =k x -1的图象上,则实数k 的取值范围是A.(12,1)B .(12,34)C .(13,1) D.(12,2))页4共(页2第 题试科理学数三高第Ⅱ卷二㊁填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置.13.在(3x -2x)n的二项展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则该二项展开式常数项等于.14.设数列{a n }为等差数列,其前n 项和为S n ,已知a 1+a 4+a 7=99,a 2+a 5+a 8=93,若对任意n ɪN *都有S n ɤS k 成立,则k 的值为.15.已知抛物线y 2=2p x (p >0)的焦点为F ,过焦点F 且斜率为13的直线与抛物线相交于A ㊁B 两点,O 为坐标原点,则c o s øA O B =.16.若函数f (x )=-56x -112c o s 2x +m (s i n x -c o s x )在(-ɕ,+ɕ)上单调递减,则m 的取值范围是.三㊁解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)如图,在ΔA B C 中,已知点D 在边B C上,且øD A C =90ʎ,s i n øB A C =223,A B =32,A D =3.(Ⅰ)求B D 长;(Ⅱ)求c o s øC .18.(本小题满分12分)已知数列{a n },其前n 项和S n =-3n 2,又{b n }是单调递增的等比数列,b 1b 2b 3=512,a 1+b 1=a 3+b 3.(Ⅰ)求数列{a n },{b n }的通项公式;(Ⅱ)若c n =b n (b n -2)(b n -1),求数列{c n }的前n 项和T n ,并求证:23ɤT n <1.19.(本小题满分12分)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率e =22,且椭圆过点(2,1)(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)设直线l 与C 交于M ,N 两点,点D 在椭圆C 上,O 是坐标原点,若O M ⇀+O N ⇀=O D ⇀,判定四边形O MD N 的面积是否为定值?若为定值,求出该定值;如果不是,请说明理由.)页4共(页3第 题试科理学数三高20.(本小题满分12分)在某市高中某学科竞赛中,某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示.(Ⅰ)求这4000名考生的竞赛平均成绩x (同一组中数据用该组区间中点作代表);(Ⅱ)由直方图可认为考生竞赛成绩z 服从正态分布N (μ,σ2),其中μ,σ2分别取考生的平均成绩x 和考生成绩的方差s 2,那么该区4000名考生成绩超过84.81分的人数估计有多少人?(Ⅲ)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况,现从全市参赛考生中随机抽4名考生,记成绩不超过84.81分的考生人数为ξ,求P (ξɤ3).(精确到0.001)附:①s 2=204.75,204.75=14.31;②z ~N (μ,σ2),则P (μ-σ<z <μ+σ)=0.6826,P (μ-2σ<z <μ+2σ)=0.9544;③0.84134=0.501.21.(本小题满分12分)已知函数f (x )=12x 2-a x +(a -1)l n x ,g (x )=b -x l n x 的最大值为1e.(Ⅰ)求实数b 的值;(Ⅱ)当a >1时,讨论函数f (x )的单调性;(Ⅲ)当a =0时,令F (x )=2f (x )+g (x )+2l n x +2,是否存在区间[m ,n ]⊆(1,+ɕ),使得函数F (x )在区间[m ,n ]上的值域为[k (m +2),k (n +2)]?若存在,求实数k 的取值范围;若不存在,请说明理由.请考生在22㊁23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)[选修4 4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系x O y 中,曲线C 的参数方程x =1+c o s φy =s i n φ{(φ为参数).以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程;(Ⅱ)若直线l 的极坐标方程是2ρs i n (θ+π3)=33,射线O M ʒθ=π3与曲线C 的交点为O ,P ,与直线l 的交点为Q ,求线段P Q 的长.23.(本小题10分)[选修4 5:不等式选讲]已知函数f (x )=|x -1|(Ⅰ)解不等式f (x )+f (x +4)ȡ8;(Ⅱ)若|a |<1,|b |<1,a ʂ0,求证:f (a b )>|a |f (b a).)页4共(页4第 题试科理学数三高2019-2020学年普通高中高三第二次教学质量检测数学理科参考答案一㊁选择题1.A2.A3.C4.B5.A6.D7.A8.D9.B 10.D 11.B 12.A二㊁填空题13.112 14.20 15.-313 16.[-23,23]三㊁解答题17.解:(Ⅰ)由题意,因为øD A C =90ʎ,ʑs i n øB A C =s i n (π2+øB A D )=c o s øB A D ,ʑc o s øB A D =223,3分 在әA B D 中,由余弦定理得,B D 2=A B 2+A D 2-2A B ㊃A D ㊃c o s øB A D ,即B D 2=18+9-2ˑ32ˑ3ˑ223=3,得B D =3.6分 (Ⅱ)由c o s øB A D =223,得s i n øB A D =13,在ΔA B D 中,由正弦定理,得:B D s i n øB A D =A Bs i n øA D B.9分ʑs i n øA D B =A B ㊃s i n øB A D B D =32ˑ133=63,ȵøA D B =øD A C +øC =π2+øC ,ʑc o s øC =63.12分18.解:(Ⅰ)当n =1时,a 1=S 1=-3,当n ȡ2时,a n =S n -S n -1=-3n 2-[-3(n -1)2]=-6n +3,当n =1时,也满足a n =-6n +3,ʑa n =-6n +3,3分 ȵ{b n }是等比数列,ʑb 1b 3=b 22,ʑb 1b 2b 3=b 32=512⇒b 2=8,又ȵa 1+b 1=a 3+b 3,ʑ-3+8q=-15+8q ⇒q =2或q =-12(舍去),ʑb n =b 2q n -2=2n +16分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可得:c n =2n +1(2n +1-2)(2n +1-1)=2n (2n -1)(2n +1-1)=12n -1-12n +1-1,8分 )页4共(页1第 案答学数科理三高ʑT n =c 1+c 2+c 3+ +c n =(12-1-122-1)+(122-1-123-1)+ +(12n -1-12n +1-1)=1-12n +1-1<1,11分显然数数{T n }是递增数列,ʑT n ȡT 1=23,即23ɤT n <1.12分 19.解:(Ⅰ)由题意可得c a =222a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2ìîíïïïïïï,解得a 2=4,b 2=2则椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1,4分(Ⅱ)当直线l 的斜率不存在时,直线MN 的方程为x =-1或x =1,此时可求得四边形O MD N 的面积为6.5分 当直线l 的斜率存在时,设直线l 方程是y =k x +m ,代入到x 24+y 22=1,得(1+2k 2)x 2+4k m x +2m 2-4=0,ʑx 1+x 2=-4k m 1+2k 2,x 1x 2=2m 2-41+2k 2,ә=8(4k 2+2-m 2)>0,7分 ʑy 1+y 2=k (x 1+x 2)+2m =2m 1+2k 2,|MN |=1+k 2ˑ22㊃4k 2+2-m 21+2k 2点O 到直线MN 的距离d =|m |1+k2,由O M ⇀+O N ⇀=O D ⇀,得x D=-4k m 1+2k 2,yD=2m1+2k 2ȵ点D 在曲线C 上,所以有(-4k m 1+2k 2)24+(2m 1+2k2)22=1,整理得1+2k 2=2m 2,8分 由题意四边形O MD N 为平行四边形,ʑO MD N 的面积为S O MD N =|MN |㊃d=1+k 2㊃22㊃4k 2+2-m 21+2k 2㊃|m |1+k2=22|m |㊃4k 2+2-m 21+2k 2由1+2k 2=2m 2得S O MD N =6,故四边形O MD N 的面积是定值,其定值为6.12分20.解:(Ⅰ)由题意知:x =45ˑ0.1+55ˑ0.15+65ˑ0.2+75ˑ0.+85ˑ0.15+95ˑ0.1=70.5,ʑ4000名考生的竞赛平均成绩x 为70.5.4分)页4共(页2第 案答学数科理三高(Ⅱ)依题意z 服从正态分布N (μ,σ2),其中μ=x =70.5,σ2=D ξ=204.75,ʑσ=14.31,ʑz 服从正态分布N (μ,σ2)=N (70.5,14.312),而P (μ-σ<z <μ+σ)=P (56.19<z <84.81)=0.6826,ʑP (z ȡ84.81)=1-0.68262=0.1587.ʑ竞赛成绩超过84.8的人数估计为0.1587ˑ4000=634.8人ʈ634人.8分 (Ⅲ)全市竞赛考生成绩不超过84.8的概率1-0.1587=0.8413.而ξ~B (4,0.8413),ʑP (ξɤ3)=1-P (ξ=4)=1-C 44㊃0.84134=1-0.501=0.499.12分 21.解:(Ⅰ)由题意得g '(x )=-l n x -1,令g '(x )=0,解得x =1e,当x ɪ(0,1e )时,g'(x )>0,函数g (x )单调递增;当x ɪ(1e,+ɕ)时,g'(x )<0,函数g (x )单调递减.所以当x =1e 时,g (x )取得极大值也是最大值,所以g (1e )=1e +b =1e,解得b =0.3分 (Ⅱ)f (x )的定义域为(0,+ɕ).f'(x )=x -a +a -1x =x 2-a x +a -1x =(x -1)(x +1-a )x①a -1=1即a =2,则f '(x )=(x -1)2x,故f (x )在(0,+ɕ)单调增②若a -1<1,而a >1,故1<a <2,则当x ɪ(a -1,1)时,f'(x )<0;当x ɪ(0,a -1)及x ɪ(1,+ɕ)时,f'(x )>0故f (x )在(a -1,1)单调递减,在(0,a -1),(1,+ɕ)单调递增.③同理若a -1>1,即a >2,f (x )在(1,a -1)单调递减,在(0,1),(a -1,+ɕ)单调递增7分(Ⅲ)由(Ⅰ)知F (x )=x 2-x l n x +2,所以F '(x )=2x -l n x +1,令ω(x )=F '(x )=2x -l n x +1,则ω'(x )=2-1x>0对∀x ɪ(1,+ɕ)恒成立,所以F '(x )在区间(1,+ɕ)内单调递增,所以F '(x )>F '(1)=1>0恒成立,所以函数F (x )在区间(1,+ɕ)内单调递增.假设存在区间[m ,n ]⊆(1,+ɕ),使得函数F (x )在区间[m ,n ]上的值域是[k (m +2),k (n +2)],则F (m )=m 2-m l n m +2=k (m +2)F (n )=n 2-n l n n +2=k (n +2){,)页4共(页3第 案答学数科理三高问题转化为关于x 的方程x 2-x l n x +2=k (x +2)在区间(1,+ɕ)内是否存在两个不相等的实根,10分即方程k =x 2-x l n x +2x +2在区间(1,+ɕ)内是否存在两个不相等的实根,令h (x )=x 2-x l n x +2x +2,x ɪ(1,+ɕ),则h '(x )=x 2+3x -4-2l n x(x +2)2,设p (x )=x 2+3x -4-2l n x ,x ɪ(1,+ɕ),则p '(x )=2x +3-2x=(2x -1)(x +2)x>0对∀x ɪ(1,+ɕ)恒成立,所以函数p (x )在区间(1,+ɕ)内单调递增,故p (x )>p (1)=0恒成立,所以h '(x )>0,所以函数h (x )在区间(1,+ɕ)内单调递增,所以方程k =x 2-x l n xx +2在区间(1,+ɕ)内不存在两个不相等的实根.综上所述,不存在区间[m ,n ]⊆(1,+ɕ),使得函数F (x )在区间[m ,n ]上的值域是[k (m +2),k (n +2)].12分22.(Ⅰ)曲线C 的普通方程为(x -1)2+y 2=1,极坐标方程为ρ=2c o s θ4分(Ⅱ)设P (ρ1,θ1),则有ρ=2c o s θθ=π3ìîíïïïï解得ρ1=1,θ1=π36分 设Q (ρ2,θ2),则有2ρs i n (θ+π3)=33 θ=π3ìîíïïïï解得ρ2=3,θ2=π38分 所以|P Q |=2.10分23.解:(Ⅰ)f (x )+f (x +4)=|x -1|+|x +3|=-2x -2,x <-3,4,-3ɤx ɤ1,2x +2,x >1.ìîíïïïï2分 当x <-3时,由-2x -2ȡ8,解得x ɤ-5;当-3ɤx ɤ1时,f (x )ɤ8不成立;当x >1时,由2x +2ȡ8,解得x ȡ3.4分 所以,不等式f (x )ɤ4的解集为{x |x ɤ-5,或x ȡ3}.5分(Ⅱ)f (a b )>|a |f (ba),即|a b -1|>|a -b |.7分 ȵ因为|a |<1,|b |<1,ʑ|a b -1|2-|a -b |2=(a 2b 2-2a b +1)-(a 2-2a b +b 2)=(a 2-1)(b 2-1)>0,所以,|a b -1|>|a -b |.故所证不等式成立㊂10分)页4共(页4第 案答学数科理三高。
河南省六市2020届高三第二次联合调研检测数学(文科)试卷含答案
★2020年5月28日2020年河南省六市高三第二次联合调研检测数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟．其中第I1卷22题，23题为选考题，其它题为必考题。
考试结束后，将答题卡交回.注意事项:1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 选择题（共60分）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U=R ，集合{}0)1)(4(≥+-=x x x A ，则A C U =A ．（1-，4]B ．[1-，4）C ．（1-，4）D ．[1-，4]2．复数z 1在复平面内对应的点为（2，3）．i z +-=22（i 为虚数单位），则复数21z z 的虚部为 A ．58 B ．58- C ．i 58 D ．i 58- 3．在△ABC 中==，若点D 满足21=，则= A ．c b 3231+ B ．3132+ C ．3134- D ．2121+4．南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1，V2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S1、S2，则“S1、S 2不总相等”是“V1，V2不相等”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．青班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作，下图1是经典的六柱鲁班锁及六个构件的图片，下图2是其中一个构件的三视图（图中单位mm ），则此构件的体积为A ．34000 mm 3B ．33000 mm 3C ．32000 mm 3D ．30000 mm 36．在正项等比数列{}n a 中，4651242292900a a a a a a =-=+，，则2020a 的个位数字是A ．1B ．7C ．3D ．97．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验．受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值，试验步骤如下：①先请高三年级1000名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对（x ，y ）（0＜x ＜1，0＜y ＜1）；②若卡片上的x ，y 能与1构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为m ；④根据统计数m 估计π的值．假如本次试验的统计结果是m=218，那么可以估计π的值约为A ．124389B ．124391C ．125389D ．125391 8．已知双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的一条渐近线过点（3-，2），且双曲线的一个焦点在抛物线x y 742=的准线上，则双曲线的方程为A ．1282122=-y xB ．1212822=-y x C ．14322=-y x D ．13422=-y x 9．已知三棱锥A —BCD 的四个顶点都在球O 的表面上，且AB ⊥BC ，AB ⊥CD ，∠BCD=32π，若BC=CD=2，AB=32，则球O 的表面积为A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π10．将函数)0)(3sin(4>-=ωπωx y 的图像分别向左、向右各平移6π个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则ω的最小值为A ．3B ．2C ．4D ．611．已知函数y=f （x ）满足f （x+1）=f （x -1），当x ∈[-1，1]时f （x ）=x 2，则方程x x f lg )(=实根共有A ．10个B ．9个C ．18个D ．20个12．已知椭圆C 1：12222=+b y a x （a ＞b ＞0）与圆C 2：43222b y x =+，若在椭圆C 1上不存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是A ．)33,0(B ．)22,0(C ．)122[，D ．)133[， 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知函数3()1f x ax x =++的图像在点（1，(1)f ）处的切线过点（2，11），则a= ． 14．若实数x ，y 满足约束条件工1330y x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则z=5x +y 的最小值为 ．15．设函数22()4x x f x e e x -=--，则不等式2()(56)f x f x +--＜0的解集是 ．（用区间表示）16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且BC，则c b b c +的最大值是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知数列{a n }满足：212231n a a a n n n ++⋅⋅⋅+=++（n ∈N +）． （Ⅰ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）设1n n b a =，若数列{b n }的前n 项和为n S ，求满足1940n S ＞的最小正整数n ．18．（本小题满分12分）在直角梯形ABCD中（如图1），AB∥DC，∠BAD =90°，AB=5，AD =2，CD=3，点E在CD上，且DE=2，将△ADE沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE（如图2），G为AE中点．（Ⅰ）求四棱锥D—ABCE的体积；（Ⅱ）在线段BD上是否存在点P，使得CP∥平面ADE？若存在，求BPBD的值；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分12分）某快递公司招聘快递骑手，该公司提供了两种日工资方案：方案（1）规定每日底新50元，快递骑手每完成一单业务提成3元：方案（2）规定每日底薪100元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元．该快递公司记录了每天骑手的人均业务量．现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[25，35），[35，45），[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95] 七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）随机选取一天，估计这一天该快递公司的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率；（Ⅱ）若骑手甲、乙、丙选择了日工资方案（1），丁、戊选择了日工资方案（2）．现从上述5名骑手中随机选取2人，求至少有1名骑手选择方案（2）的概率；（Ⅲ）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）20．（本小题满分12分）设函数2()ln f x x ax x =-+．（Ⅰ）若当x=1时()f x 取得极值，求a 的值及()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：2121()()42f x f x a x x a ---＞．21．（本小题满分12分）已知圆F ：4)2(22=+-y x ，动点Q )(y x ，（x≥0），线段QF 与圆F 相交于点P ，线段PQ 的长度与点Q 到y 轴的距离相等．（Ⅰ）求动点Q 的轨迹W 的方程；（Ⅱ）过点A （2，4）作两条互相垂直的直线与W 的交点分别是M 和N （M 在N 的上方，A ，M ，N 为不同的三点），求向量NM 在y 轴正方向上的投影的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 213231（t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为θρ22sin 213+=． （Ⅰ）求曲线C 1的极坐标方程与曲线C 2的直角坐标方程；（Ⅱ）设A ．B 为曲线C 2上位于第一，二象限的两个动点，且∠AOB=2π，射线OA ，OB 交曲线C 1分别于点D ，C ．求△AOB 面积的最小值，并求此时四边形ABCD 的面积。
2020年河南省高三联考文科数学试卷答案
2020年河南省六市高三第二次联合教学质量监测参考答案1-5 CBABC 6-10 BDCCA 11-12 DA 13. 2 14. 3 15. ）（6,1- 16. 2317解：（Ⅰ）∵．①∴当n=1时，可得a 1＝4，……........................................................…1分 当n ≥2时，．②….................……2分①—②可得： ＝（2n ﹣1）+1=2n ，……................................…4分∴．n=1时也满足…….....................................................…5分 ∴.…………................................................................….…6分（Ⅱ）=…..............................................…..…8分∴S n ，……..........................…10分又4019>n S ，可得n>19，….............................................................……11分 可得最小正整数n 为20．……....................................................………12分 18解：（Ⅰ）证明：因为G 为AE 中点，2AD DE == 所以DG AE ⊥.............................................................…1分因为平面ADE ⊥平面ABCE ，平面ADE I 平面ABCE AE =，DG ⊂平面ADE ， 所以DG ⊥平面ABCE ．...........................................................................…3分 在直角三角形ADE 中，易求22AE =则2AD DEDG AE⋅==.............…4分 所以四棱锥D ABCE -的体积为1(15)222232D ABCE V -+⨯=⨯=…………6分（Ⅱ）在BD 上存在点P ，使得//CP 平面ADE 且45BP BD =……...................…7分过点C 作//CF AE 交AB 于点F ，过点F 作//FP AD 交DB 于点P ，连接PC 因为CF//A E ，AE ⊂平面,ADE CF ⊄平面ADE ,所以CF //平面ADE ,同理//FP 平面ADE ,又因为CF PF F ⋂=，所以平面CFP //平面ADE ．…......................................................................……9分因为CP ⊂平面CFP ， 所以//CP 平面ADE ．所以在BD 上存在点P ，使得//CP 平面ADE .…….............................…10分 因为四边形AECF 为平行四边形，所以1==CE AF ，即4=BF 故45BP BF BD AB ==所以在BD 上存在点P ，使得//CP 平面ADE 且45BP BD =…..........………12分19（Ⅰ）0.4；（Ⅱ）107.（Ⅲ）选择方案（1） 解：（Ⅰ）设事件A 为“随机选取一天，这一天该快递公司的骑手的人均日快递业务量不少于65单”依题意，快递公司的人均日快递业务量不少于65单的频率分别为：0.20.150.05，，因为0.20.150.050.4++=所以()P A 估计为0.4. ……4分（Ⅱ）设事件B 为“从五名骑手中随机选取2人，至少有1名骑手选择方案（2）” 从五名骑手中随机选取2名骑手，有10种情况，即{甲，乙} ，{甲，丙}，{甲，丁}，{甲，戊}，{乙，丙}，{乙，丁}，{乙，戊}，{丙，丁} {丙，戊} {丁，戊}..........................................................................................…6分 其中至少有1名骑手选择方案（2）的情况为{甲，丁}，{甲，戊} ，{乙，丁}，{乙，戊}，{丙，丁}， {丙，戊} ，{丁，戊}共7种情况， 所以7()10P B =.……...................................................................................…8分 （Ⅲ）方法1：快递公司人均日快递量的平均数是：300.05400.05500.2600.3700.2800.15900.0562⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=因此，方案（1）日工资约为50623236+⨯= …............................….…10分 方案(2)日工资约为()10062445190 236+-⨯=<故骑手应选择方案（1） ...................................................................…12分 方法2： 设骑手每日完成快递业务量为n 单方案（1）的日工资*1503()y n n =+∈N ，方案（2）的日工资*2*100,44,1005(44),44,n n y n n n ⎧≤∈⎪=⎨+->∈⎪⎩NN当17n <时，12y y <依题意，可以知道25n ≥，所以这种情况不予考虑 当25n ≥时 令()503100544n n +>+- 则85n < ……..................…10分 即若骑手每日完成快递业务量在85单以下，则方案（1）日工资大于方案（2）日工资，而依题中数据，每日完成快递业务量超过85单的频率是0.05 ，较低， 故建议骑手应选择方案（1）……................................................…......12分 方法3：设骑手每日完成快递业务量为n 单，方案（1）的日工资*1503()y n n =+∈N ，方案（2）的日工资*2*100,44,1005(44),44,n n y n n n ⎧≤∈⎪=⎨+->∈⎪⎩NN所以方案（1）日工资约为1400.051700.052000.22300.32600.22900.153200.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 236= ……......................................................................................…10分方案（2）日工资约为1000.051000.051300.21800.32300.22800.153300.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 194.5=因为236194.5>，所以建议骑手选择方案（1）.…….....…12分20（Ⅰ）()()21212,0x ax f x x a x x x-+'=-+=> ………………1分1x =Q 时，()f x 取得极值.()0,31f a ∴'==. ……………………………2分 .()()()2211231 x x x x f x x x---+'∴==解()0f x '>得102x <<或1x > 解()0f x '<得112x <<……………4分()f x ∴的单调增区间为10,,(1,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭. …………5分（Ⅱ）()()221,0x ax f x x x-+'=>()f x Q 存在两个极值点∴方程()0f x '=即2210x ax -+=在(0,)+∞上有两个不等实根∴212180,02a x x ∆=->=>，1202ax x +=> ……………………………………………………………………………6分 ()()22212221112121ln ln f x f x x ax x x ax x x x x x -+-+--=--2121212121ln ln ln ln 2x x x x a x x a x x x x --=+-+=-+--……………………………7分∴所证不等式()()212142f x f x ax x a >---等价于2121ln ln 4x x x x a ->-……………………8分 即212121ln ln 2x x x x x x ->-+……………………………………………………………………9分不妨设210x x >>，即证2212111ln 21x x xx x x ->+ (10)分令211x t x =>，()()21ln 1t h t t t -=-+,()()()()222114011t h t t t t t -'=-=>++， ()h t ∴在(1,)+∞上递增.()()10h t h ∴>=. …………………………………………………………………………11分2212111ln 21x x x x x x -∴>+成立.()()212142f x f x a x x a ∴>---成立. ……………………………12分 21解：（Ⅰ）由题知点Q 到F 的距离||QF 等于Q 到y 轴的距离加2 所以||QF 等于Q 到直线2x =-的距离……..............................…2分 由抛物线的定义可知:点Q 的轨迹W 是以F 为焦点，以2-=x 为准线的抛物线…….............................…….......................................................…3分所以动点Q 的轨迹W 的方程为x y 82=…......................................……4分 （Ⅱ）设直线AM 的方程为2)4(+-=y m x ）（0>m ，与x y 82=联立，得0163282=-+-m my y ，则0)1632(4642>-⨯-=∆m m ，1100><<∴>m m m 或Θ， .........................................................……6分 设 ),(),,(2211y x N y x M ，则m y 841=+，即481-=m y ，以m 1-代替m ，得482--=my ， 则向量NM →在y 轴正方向上的投影为)1(821m m y y +=-............................................................................……9分设函数)1(8)(mm m f +=，则)(m f 在）（1,0上单调递减，在），（∞+1上单调递增，从而16)1()(=>f m f ............................................................…...................…11分 故向量NM 在y 轴正方向上的投影的取值范围为），（∞+16.............……12分22.解：（Ⅰ）由曲线1C的参数方程为112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）消去参数得40x +-= cos ,sin x y ρθρθ==由得,cos sin 4ρθθ= 即cos sinsin cos266ππρθρθ+=即曲线1C 的极坐标方程为sin()26πρθ+= ……………3分由222y x +=ρ，22222(12sin )3,23x y y ρθ+=++= 即2213x y +=…...................................5分 （Ⅱ）设1(,)A ρθ,2(,)2B πρθ+,3(,)D ρθ,4(,)2C πρθ+故2221222222113391912sin 12cos 4412sin 12cos 416()2AOB S ρρθθθθ∆==≥=+++++，即AOB ∆面积的最小值为34 当且仅当12ρρ=（即4πθ=）时取“=” …...................................8分（法2：:222211cos sin 13ρθρθ+=，222222sin cos 13ρθρθ+=，故22121143ρρ+=22121221143ρρρρ∴≤+=，当且仅当12ρρ=（即4πθ=）时取“=” 121324AOB S ρρ∆=≥ ................................8分） 此时34112222sin()cos()4646COD S ρρππππ∆==++g 48cos 3π== 故所求四边形的面积为329844-= …...................................10分23. 证明：（Ⅰ）,,0a b c >Q ，∴222111()4f x x x a c b =+++-222111()4x x c b a ≥+--+2221114a b c =++ ∴2221114a b c ++1= …...................................3分 由柯西不等式得222(4)a b c ++222111()4a b c++2(111)9≥++=当且仅当2a b c ====”∴22249a b c ++≥ …...................................5分（Ⅱ） 22112,a b ab +≥Q22111,4b c bc +≥221114a c ac+≥（以上三式当且仅当2a b c ====”）…...................................…...................................7分将以上三式相加得211ab bc ac ++≤2221112()24a b c++= 即111122ab bc ac++≤ …...................................10分。
2020届河南省普通高中高考质量测评(二)数学(理)试题(解析版)
2020届河南省普通高中高考质量测评（二）数学（理）试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}2|log 1A x x =<，{}2|0B x x x =->，则A B I =（ ）A ．{|12x x <<}B ．{|2x x <}C ．{|12x x ≤≤}D ．{|14x x ≤<}【答案】A【解析】求出不等式2log 1x <和20x x ->的解，然后根据集合的交集运算，即可得到本题答案. 【详解】由2log 1x <，得02x <<，故{|02}A x x =<<， 由20x x ->，得1x >或0x <，故{|1B x x =>或0}x <， 所以，{|12}A B x x =<<I . 故选：A 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，其中涉及对数不等式和一元二次不等式的求解. 2．已知复数z 满足21iz i -=+，则z =（ ） A ．132i+ B ．132i - C ．32i +D ．32i- 【答案】B【解析】利用复数的除法运算，即可得答案. 【详解】 ∵2(2)(1)131(1)(1)2i i i iz i i i ----===++-. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查基本运算求解能力，属于基础题.3．由我国引领的5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出所做的预测.结合上图，下列说法错误的是（）A ．5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B ．设备制造商的经济产前期增长较快，后期放缓C ．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势D ．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 【答案】D【解析】对A 选项，可直观感知每年的产出是逐渐增高；对B 选项，2020到2023年设备制造商的经济产前期增长较快，后几年放缓；对C 选项，2028到2030年第二个小矩形的高与第一个小矩形的高度差明显逐年加大；对D 选项，2029和2030年已被信息服务超出． 【详解】对A 选项，每一年小矩形高是逐渐增高的，可直观发现每年产值是逐渐增高，故A 正确；对B 选项，2020到2023年设备制造商的经济产前期增长较快，后几年放缓，故B 正确； 对C 选项，2028到2030年第二个小矩形的高与第一个小矩形的高度差明显逐年加大，故C 正确；对D 选项，2029和2030年已被信息服务超出，故D 错误．故选D ． 【点睛】本题主要考查数学阅读理解能力及从图中提取信息的能力，属基础题． 4．411(12)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ） A ．10 B ．24C ．32D ．56【答案】D【解析】先将式子411(12)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭化成4411(12)(12)x x x⋅++⋅+，再分别求两项各自的2x 的系数，再相加，即可得答案.【详解】 ∵444111(12)1(12)(12)x x x x x⎛⎫++=⋅++⋅+ ⎪⎝⎭， ∴4(12)x +展开式中含2x 的项为22241(2)24C x x ⋅=，41(12)x x ⋅+展开式中含2x 的项33241(2)32C x x x⋅=， 故2x 的系数为243256+=. 故选：D. 【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.5．已知函数()x f x ae x b =++，若函数()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为23y x =+，则ab 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】对函数求导得(0)2f '=，求得a 的值，再根据切点既在切线上又在曲线上，可求得b 的值，即可得答案. 【详解】∵()1x f x ae '=+，∴(0)12f a '=+=，解得1,(0)13a f a b b ==+=+=，∴2b =， ∴2ab =. 故选：B. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意切点既在切线上又在曲线上的应用. 6．函数2sin ()1x xf x x +=+在[,]-ππ的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据函数为奇函数及()0f π>，再结合排除法，即可得答案. 【详解】∵函数的定义域为R ，关于原点对称，且2sin()()()()()1x x f x f x x -+--==--+，∴()f x 是奇函数，故排除A ；22sin ()011f ππππππ+==>++，排除B ，C.故选：D. 【点睛】本题考查根据函数的解析式选择函数的图象，考查数形结合思想，求解时注意充分利用函数的性质及特殊点的函数值进行求解.7．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，2AD =，3BC =，E 是PD 的中点，F 在PC 上且13PF PC =，G 在PB 上且23PG PB =，则（ ）A ．3AG EF =，且AG 与EF 平行B ．3AG EF =，且AG 与EF 相交C ．2AG EF =，且AG 与EF 异面D ．2AG EF =，且AG 与EF 平行 【答案】D【解析】取CF 的中点H ，连接,DH GH ，通过证明四边形ADHG 为平行四边形，可得AG DH //且AG DH =，由在PHD ∆中，,E F 分别为PD 和PH 的中点，可得EF DH //且12EF DH =，综上，即可得到本题答案. 【详解】取CF 的中点H ，连接,DH GH ，则在PBC ∆中，23PG PH PB PC ==，所以GH BC //，223GH BC ==，又因为AD BC //且2AD =，所以GH AD //，且GH AD =，所以四边形ADHG 为平行四边形，所以AG DH //，且AG DH =.在PHD ∆中，,E F 分别为PD 和PH 的中点，所以EF DH //，且12EF DH =，所以EF AG //，且12EF AG =，即2AG EF =. 故选：D 【点睛】本题主要考查空间中两直线的位置关系及大小关系，数形结合思想的应用是解决此题的关键.8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，22a =，728S =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ） A ．20202021B ．20182020C ．20182019D ．20212020【答案】A【解析】根据22a =，728S =，求得n a ，再利用裂项相消法求n T ，令2020n =代入n T ，即可得答案. 【详解】因为数列{}n a 是等差数列，所以()1774772a a S a +==. 设公差为d ，因为272,28a S ==， 所以()112,7328,a d a d +=⎧⎨+=⎩解方程组得11,1,a d =⎧⎨=⎩ 所以数列{}n a 的通项公式为1(1)1n a n n =+-⨯=，所以111(1)n n a a n n +=⨯+.设n T 为数列11nn a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和， 则11111122334(1)(1)n T n n n n =+++⋯++⨯⨯⨯-⨯⨯+ 111111122331n n =-+-++⋯+-+ ∴2020111111111122334202012020202020201T =-+-+-++-+--+L 12020120212021=-=故选：A. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意利用裂项相消法进行求和.9．“角谷定理”的内容为对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．如图为研究角谷定理的一个程序框图．若输入n 的值为10，则输出i 的值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】根据流程逐步分析，直到1n =时，计算出i 的值即可. 【详解】（1）10,0n i ==；（2）5,1n i ==；（3）16,2n i ==；（4）8,3n i ==；（5）4,4n i ==；（6）2,5n i ==；（7）1,6n i ==． 故选B ． 【点睛】本题考查根据程序框图计算输出值，难度较易.程序框图问题，多数可以采用列举法的方式解答问题.10．设抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，设7(0,)2pC ，AF 与BC 相较于点E .若||2CF AF =，且ACE ∆的面积为32，则p 的值为（ ） A ．2 B ．2C ．6D ．22【答案】C【解析】由题，可得()2,Ap p ，又由~ABE FCE ∆∆及ACE ∆的面积为32，得92ACF S ∆=，然后通过求132922ACF S p p ∆=⨯⨯=的解，即可得到本题答案.【详解】 根据已知0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，:2pl y =-，由||2||CF AF =，得3||2AF p =，不妨设点(,)A x y 在第一象限，则322p y p +=，即y p =，所以2x p =，易知~ABE FCE ∆∆，||||1||||2AB AE CF EF ==，所以||2||EF AE =，所以ACF ∆的面积是AEC ∆面积的3倍，即92ACF S ∆=，所以132922ACF S p p ∆=⨯⨯=，解得6p =. 故选：C 【点睛】本题主要考查抛物线与直线的综合问题，考查学生的分析问题和解决问题能力及运算求解能力.11．现有一副斜边长相等的直角三角板.若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知,64DAB BAC ππ∠=∠=，三棱锥的外接球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为（ ）A ．B ．6C ．24D ．48【答案】B【解析】设三棱锥A BCD -的外接球的半径为r ，由球的体积得球的半径，当平面ABC ⊥平面ABD 时，三棱锥的体积达到最大，利用体积公式计算，即可得答案.【详解】设三棱锥A BCD -的外接球的半径为r ，因为244r ππ=⇒1r =， 因为90ADB ACB ︒∠=∠=，所以AB 为外接球的直径，所以2AB =，且1,AD BD AC BC ====当点C 到平面ABD 距离最大时，三枝锥A BCD -的体积最大， 此时平面ABC ⊥平面ABD ，且点C 到平面ABD 的距离1d =，所以11111332A BCD C ABD ABD V V S d --==⋅=⨯⨯=△. 故选：B. 【点睛】本题考查三棱锥与球的内接问题、三棱锥体积的最大值、球的体积公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意球心位置的确定.12．设函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0,,43ππωϕ⎡⎤>∈⎢⎥⎣⎦，已知()f x 在[0,2]π上有且仅有4个零点，则下列ω的值中满足条件的是（ ） A ．136ω=B ．116ω=C ．74ω=D ．34ω=【答案】A【解析】设t x ωϕ=+，则2t ϕπωϕ+剟，从而将问题转化为sin y t =在[,2]ϕπωϕ+上有4个零点，从而得到425ππωϕπ+<…，再利用不等式恒成立问题求得ω的范围，即可得答案. 【详解】设t x ωϕ=+，则2t ϕπωϕ+剟， 所以sin y t =在[,2]ϕπωϕ+上有4个零点，因为,43ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以425ππωϕπ+<…， 所以52222ϕϕωππ-<-…， 所以5342222ππωππ-<-…，即15783ω<…，满足的只有A.故选：A. 【点睛】本题考查根据三角函数的零点个数求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的应用.二、填空题13．若||3a =r ，||2b =r，2a b +=r r ，则a r 与 b r的夹角为______________. 【答案】3π 【解析】由222|2|44a b a a b b +=+⋅+r rr r r r 及||||cos a b a b θ⋅=⋅r r r r ，即可得到本题答案.【详解】设a r 与 b r的夹角为θ，则222|2|449432cos 4437a b a a b b θ+=+⋅+=+⨯⨯⨯+⨯=r rr r r r ，得1cos 2θ=，所以3πθ=.故答案为：3π 【点睛】本题主要考查利用向量的模的计算公式求向量的夹角，属基础题.14．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若数列{}12n S a -也为等比数列，则43S S =________. 【答案】1514【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，利用等比数列{}12n S a -的等比中项性质可得公比q ，再代入等比数列的前n 项和公式中，即可得答案. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， ∵数列{}12n S a -为等比数列，∴()()2211231a a a a a a -=-+-，解得：12q =， ∴4211231241332315(1)1587(1)144Sa q q q S a q a a a a a a q a +++====+++++++. 故答案为：1514.【点睛】本题考查等比数列中的基本量法运算、等比数列的通项公式和前n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.15．某工厂生产的产品中分正品与次品，正品重100g ，次品重110g ，现有5袋产品（每袋装有10个产品），已知其中有且只有一袋次品（10个产品均为次品）如果将5袋产品以1～5编号，第i 袋取出i 个产品（1,2,3,4,5i =），并将取出的产品一起用秤（可以称出物体重量的工具）称出其重量y ，若次品所在的袋子的编号是2，此时的重量y =_________g ；若次品所在的袋子的编号是n ，此时的重量y =_______g . 【答案】1520 150010,{1,2,3,4,5}n n +∈【解析】第1袋取1个，第2袋取2个，第3袋取3个，第4袋取4个，第5袋取5个，共取15个.若次品是第2袋，则15个产品中正品13个，次品2个，若次品是第({1,2,3,4,5})n n ∈袋，则15个产品中次品n 个，正品15n -个，分别进行计算，即可得答案. 【详解】第1袋取1个，第2袋取2个，第3袋取3个，第4袋取4个，第5袋取5个，共取15个.若次品是第2袋，则15个产品中正品13个，次品2个， 此时的重量1001311021520y =⨯+⨯=，若次品是第({1,2,3,4,5})n n ∈袋，则15个产品中次品n 个，正品15n -个， 此时的重量100(15)110150010,{1,2,3,4,5}y n n n n =⨯-+⨯=+∈. 故答案为：1520；150010,{1,2,3,4,5}n n +∈ 【点睛】本题考查数学推理应用题，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对题意的理解.16．已知点P 是双曲线2213y x -=右支上一动点，12,F F 是双曲线的左、右焦点，动点Q 满足下列条件：①12212||0||PF PF QF PF PF ⎛⎫+=⎪⎝⎭⋅u u u u u u u r u u r u u u u r u u r r u ，②12120||||PF PF QP PF PF λ⎛⎫++= ⎪⎝⎭u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r ，则点Q 的轨迹方程为________________. 【答案】221(0)x y y +=≠【解析】设动点Q 的坐标为(,)x y ，延长2F Q 交1PF 于点A ，根据向量的加法法则及数量积为0，可得2QF PQ ⊥，利用双曲线的定义可得11||12OQ AF ==，即可得答案. 【详解】设动点Q 的坐标为(,)x y ，延长2F Q 交1PF 于点A ， 由条件②知点Q 在12F PF ∠的角平分线上， 结合条件①知2QF PQ ⊥，所以在2PF A △中，2PQ F A ⊥.又PQ 平分2APF ∠， 所以2PF A △为等腰三角形，即2||PA PF =，2||AQ QF =.因为点P 为双曲线上的点，所以122PF PF -=，即12||2PA AF PF +-=， 所以12AF =.又在12F AF V 中，Q 为2AF 的中点，O 为12F F 的中点， 所以11||12OQ AF ==， 所以点Q 的轨迹是以O 为圆心，半径为1的圆， 所以点Q 的轨迹方程为221(0)x y y +=≠.故答案为：221(0)x y y +=≠. 【点睛】本题考查单位向量、向量的数量积、向量的加法法则的几何意义、双曲线的定义、轨迹方程的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意平面几何知识的应用.三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且sin 2sin()0c B b A B -+= （1）求角B 的大小；（2）设4a =，6c =，求sin C 的值． 【答案】（1）3B π=（2321【解析】（1）由已知结合正弦定理化简可求cos B ，进而可求B ；（2）由余弦定理可得，2221cos 22a cb B ac +-==，代入可求b ，由正弦定理可得，sin sin c BC b=可求． 【详解】解：（1）由正弦定理得sin sin 2sin sin()0C B B A B -+=， 化简得2sin sin cos sin sin 0C B B B C -=. 因为在三角形中，sin 0B ≠，sin 0C ≠， 可得1cos 2B =. 又因为(0,)B π∈，所以3B π=（2）由余弦定理可得，2221cos 22a cb B ac +-==，2163612462b +-=⨯⨯，所以b =由正弦定理可得，sin sin 14c B C b ==. 【点睛】本题主要考查了两角和及二倍角的公式，正弦定理，余弦定理的综合应用，属于中等试题．18．为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水质优良的特点，决定利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验，试验后选择其中一种进行大面积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为0.8.鱼苗乙，丙的自然成活率均为0.9，且甲、乙、丙三种鱼苗是否成活相互独立.（1）试验时从甲、乙，丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为X ，求X 的分布列和数学期望；（2）试验后发现乙种鱼苗较好，扶贫工作组决定购买n 尾乙种鱼苗进行大面积养殖，为提高鱼苗的成活率，工作组采取增氧措施，该措施实施对能够自然成活的鱼苗不产生影响.使不能自然成活的鱼苗的成活率提高了50%.若每尾乙种鱼苗最终成活后可获利10元，不成活则亏损2元，且扶贫工作组的扶贫目标是获利不低于37.6万元，问需至少购买多少尾乙种鱼苗？【答案】（1）分布列见解析，2.6（2）40000尾【解析】（1）由题意得随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，利用相互独立事件同时发生的概率，可计算(0),(1),(2),(3)P X P X P X P X ====的值，进而得到分布列和期望；（2）依题意知一尾乙种鱼苗最终成活的概率为0.95，计算一尾乙种鱼苗的平均收益，进而计算n 尾乙种鱼苗最终可获得的利润，再解不等式，即可得答案. 【详解】（1）记随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3， 则(0)0.20.10.10.002P X ==⨯⨯=，(1)0.80.10.10.20.90.10.20.10.90.044P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，(2)0.80.90.10.80.10.90.20.90.90.306P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，(3)0.80.90.90.648P X ==⨯⨯=.故X 的分布列为X0 1 2 3 P0.0020.0440.3060.648()00.00210.04420.30630.648 2.6E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）根据已知乙种鱼苗自然成活的概率为0.9，依题意知一尾乙种鱼苗最终成活的概率为0.90.10.50.95+⨯=， 所以一尾乙种鱼苗的平均收益为100.9520.059.4⨯-⨯=元. 设购买n 尾乙种鱼苗，()E n 为购买n 尾乙种鱼苗最终可获得的利润，则()9.4376000E n n =…，解得40000n …. 所以需至少购买40000尾乙种鱼苗，才能确保获利不低于37.6万元. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、期望、利润最大化的决策问题，考查函数与方程思想、，考查数据处理能力.19．如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为2的正方形，点P 是圆弧CD 上的一动点（不与,C D 重合），点Q 是圆弧AB 的中点，且点,P Q 在平面ABCD 的两侧.（1）证明：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）设点P 在平面ABQ 上的射影为点O ，点,E F 分别是PQB △和POA V 的重心，当三棱锥P ABC -体积最大时，回答下列问题. （ⅰ）证明：//EF 平面PAQ ；（ⅱ）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）（ⅰ）见解析（ⅱ 【解析】（1）证明PC 垂直平面PAD 内的两条相交直线,AD PD ，再利用面面垂直的判定定理证明即可；（2）当三棱锥P ABC -体积最大时，点P 为圆弧CD 的中点，所以点O 为圆弧AB 的中点，所以四边形AQBO 为正方形，且PO ⊥平面ABO .（ⅰ）连接PE 并延长交BQ 于点M ，连接PF 并延长交OA 于点N ，连接MN ，则//MN AQ ，再由线面平行的判定定理证得结论；（ⅱ）由PO ⊥平面,ABO AO 垂直BO ，所以以O 为坐标原点，,,OA OB OP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PAB 的法向量n =r ，平面PCD 的法向量(0,0,1)m =u r，求两向量夹角的余弦值，进而得到二面角的正弦值. 【详解】（1）因为ABCD 是轴截面，所以AD ⊥平面PCD ，所以AD PC ⊥，又点P 是圆弧CD 上的一动点（不与,C D 重合），且CD 为直径，所以PC PD ⊥， 又,AD PD D PD ⋂=⊂平面,PAD AD ⊂平面PAD ，所以PC ⊥平面PAD ，而PC ⊂平面PBC ，故平面PAD 平面PBC .（2）当三棱锥P ABC -体积最大时，点P 为圆弧CD 的中点，所以点O 为圆弧AB 的中点，所以四边形AQBO 为正方形，且PO ⊥平面ABO .（ⅰ）连接PE 并延长交BQ 于点M ，连接PF 并延长交OA 于点N ，连接MN ，则//MN AQ ，因为,E F 分别为两个三角形的重心，∴23PE PF PM PN ==，//EF MN 所以//EF AQ ，又AQ ⊂平面,PAQ EF ⊄平面PAQ ，所以//EF 平面PAQ . （ⅱ）PO ⊥平面,ABO AO 垂直BO ，所以以O 为坐标原点，,,OA OB OP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：则(0,0,2),(2,0,0),(0,2,0),(2,0,2),(2,2,0)P A B PA AB =-=-u u u r u u u r，设平面PAB 的法向量(,,)n x y z =r ，则0,0,n PA n AB ⋅=⎧⎨⋅=⎩vu u u v v即220,220,x z x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩可取(2,2,1)n =r，又平面PCD 的法向量(0,0,1)m =u r，所以5cos ,||||5n m n m n m ⋅〈〉===r u rr u r r u r ，所以25sin ,n m 〈〉=r u r . 所以平面PAB 与平面PCD 所成二面角的正弦值为25.【点睛】本题考查空间中的线面平行、面面垂直、二面角的向量求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意建系前必需证明三条直线两两互相垂直.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合）已知12PF F △椭圆的离心率为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）过2F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，过A 作x 轴的垂线交椭圆C 与另一点Q （Q 不与,A B 重合）.设ABQ △的外心为G ，求证2||AB GF 为定值. 【答案】（1）22143x y +=（2）见解析【解析】（1）当12PF F △面积最大时，r 最大，即P点位于椭圆短轴顶点时r =即可得到b 的值，再利用离心率求得,a c ，即可得答案；（2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 为1x my =+，代入椭圆方程得()2234690m y my ++-=.设()()1122,,,A x y B x y ，利用弦长公式求得||AB ，利用AB 的垂直平分线方程求得G 的坐标，两个都用m 表示，代入2||AB GF 中，即可得答案. 【详解】 （1）由题意知：12c a =，∴2222,a c b a c ==-，∴b =. 设12PF F △的内切圆半径为r ， 则()12121211(22)()22PF F S PF PF F F r a c r a c r =++⋅=+⋅=+⋅V ， 故当12PF F △面积最大时，r 最大，即P点位于椭圆短轴顶点时r =)a c bc +=，把2,a c b ==代入，解得：2,a b ==，所以椭圆方程为22143x y +=.（2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 为1x my =+， 代入椭圆方程得()2234690m y my ++-=. 设()()1122,,,A x y B x y ，则12122269,3434m y y y y m m --+==++， 所以AB 的中点坐标为2243,3434m m m -⎛⎫⎪++⎝⎭，所以()2122121|||3434m AB y m m +===++. 因为G 是ABQ △的外心，所以G 是线段AB 的垂直平分线与线段AQ 的垂直平分线的交点，AB 的垂直平分线方程为22343434m y m x m m ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭， 令0y =，得2134x m =+，即21,034G m ⎛⎫⎪+⎝⎭，所以222213313434m GF m m +=-=++ 所以()22222121||1234433334m AB m m GF m ++===++，所以2||AB GF 为定值，定值为4. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解、离心率、直线与椭圆位置关系中的定值问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将问题转化为关于变量m 的表达式，进而求证得到定值. 21．已知函数()2(12)ln af x x a x x=+-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）如果方程()f x m =有两个不相等的解12,x x ，且12x x <，证明：1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）对函数()f x 进行求导得2()(21)()(0)x a x f x x x-+'=>，再对a 进行分类讨论，解不等式，即可得答案；（2）当0a …时，()f x 在(0,)+∞单调递增，()f x m =至多一个根，不符合题意；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增，则()0f a '=.不妨设120x a x <<<，只要证122x x a +>212x a x >-⇔，再利用函数的单调性，即可证得结论. 【详解】（1）2222122(12)()(21)()2(0)a a x a x a x a x f x x x x x x -+---+'=+-==>.①当0a …时，(0,),()0,()x f x f x '∈+∞>单调递增； ②当0a >时，(0,),()0,()x a f x f x '∈<单调递减；(,),()0,()x a f x f x '∈+∞>单调递增.综上：当0a …时，()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增. （2）由（1）知，当0a …时，()f x 在(0,)+∞单调递增，()f x m =至多一个根，不符合题意；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增，则()0f a '=.不妨设120x a x <<<，要证1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭，即证122x x a +>，即证122x x a +>，即证212x a x >-. 因为()f x 在(,)a +∞单调递增，即证()()212f x f a x >-，因为()()21f x f x =，所以即证()()112f x f a x >-，即证()()f a x f a x +<-. 令()()()g x f a x f a x =+--2()(12)ln()2()(12)ln()a a a x a a x a x a a x a x a x ⎡⎤⎡⎤=++-++--+--+⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦4(12)ln()(12)ln()a ax a a x a a x a x a x=+-+---+-+-， 221212()4()()a a a ag x a x a x a x a x --'=++--+-+- ()()22222222222242(12)4()()()()a a x x x a a a a a x a x a x a x a x +---=+-=-+-+-. 当(0,)x a ∈时，()0,()g x g x '<单调递减，又(0)(0)(0)0g f a f a =+--=，所以(0,)x a ∈时，()(0)0g x g <=，即()()f a x f a x +<-， 即()(2)f x f a x >-.又1(0,)x a ∈，所以()()112f x f a x >-，所以1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、证明不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将所证不等式转化为利用函数的单调性进行证明.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为21,2x s y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（s 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 2sin 90ρθρθ++=.（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值. 【答案】（1）24y x =，290x y ++=（2【解析】（1）直接利用消参法可得曲线C 的直角坐标方程；将cos ,sin x y ρθρθ==代入l 的极坐标方程得l 的直角坐标方程； （2）设212P s ⎛⎫⎪⎝⎭，利用点到直线的距离公式，结合二次函数的性质求最值，即可得答案. 【详解】（1）C 的直角坐标方程为：24y x =，将cos ,sin x y ρθρθ==代入l 的极坐标方程得l 的直角坐标方程为：290x y ++=. （2）设212P s ⎛⎫⎪⎝⎭， 则点P 到直线l的距离21|9s d ++==，当s =-d ==. 【点睛】 本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程的互化、点到直线的距离公式，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意点的参数设法.23．已知函数()|1||24|f x x x =++-.（1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）若函数()y f x =的图象最低点为(),m n ，正数,a b 满足6ma mb +=，求23a b +的取值范围.【答案】（1）[]13,x ∈-（2）2325,6a b ⎡⎫+∈+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）分类讨论去掉绝对值得分段函数求解即可；（2）由分段函数求出最低点，得236a b +=，构造1，利用均值不等式求解即可.【详解】（1）33,2()5,1233,1x x f x x x x x -≥⎧⎪=-+-<<⎨⎪-+≤-⎩，所以由()6f x ≤可得2336x x ≥⎧⎨-≤⎩，或1256x x -<<⎧⎨-+≤⎩，或1336x x ≤-⎧⎨-+≤⎩， 解得：[]2,3x ∈或()1,2x ∈-或1x =-.综上，[]13,x ∈-. （2）因为33,2()5,1233,1x x f x x x x x -≥⎧⎪=-+-<<⎨⎪-+≤-⎩，所以当2x =时，()min 3f x =，最低点为()2,3，即236a b +=，所以132a b +=. 23232313252323266a b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当65a b ==时等号成立， 所以2325,6a b ⎡⎫+∈+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，分段函数的最值，均值不等式，属于中档题.。