线性规划模型
线性规划模型
汽车厂生产计划模型引申： ★ 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。
Max s.t . z 2x1 3x2 4x 3 1.5x1 3x2 5x3 600 280 x1 250 x2 400 x3 60000 x1 , x2 , x3 0或 80
对于整数线性规划模型大致可分为两类： (1) 变量全限制为整数时，称纯整数规划； (2) 变量部分限制为整数的，称混合整数规划； (3) 变量只能取0或1时，称之为0-1整数规划。
3、整数线性规划的求解
在Lindo软件中最后加上语句：gin n
二、汽车厂生产计划模型
模型求解 整数规划（Integer Programming,简记IP）
二、Lindo软件求解 Lindo软件是解决线性规划求解问题 的对症良药，而Lingo则用来求解非线性 规划问题。
运用此软件注意的事项：
◆（1）“<, >”与“<= , =>”相同。
◆ （2）变量与系数间可以有空格（回车 符），但不能有运算符。 ◆ （3）变量以字母开头，不允许超过8个 字符。 ◆ （4）变量名不区分大小写。 ◆ （5）目标函数所在行为第一行，第二 行为约束符。
• 分析： • 1. 求什么？ • 生产多少桌子？ • 生产多少椅子？ • 2. 优化什么？ • 收益最大 • 3. 限制条件？ • 原料总量 • 劳力总数
x1 x2
Max f=80 x1+45 x2
0.2 x1 +0.05 x2 ≤4 15 x1 +10 x2 ≤450
模型I ：以产值为目标取得最大收益. 设：生产桌子 x1张, 椅子 x2张,(决策变量) • 将目标优化为：max f=80x1+45x2 • 对决策变量的约束： • 0.2x1+0.05x2≤4 • 15x1+10x2 ≤ 450, • x1 ≥ 0, x2 ≥ 0,
线性规划模型
线性规划模型● 知道线性规划模型的一般形式● 知道什么是可行解、可行域、最优解、最优值 ● 会用图解法求解二个变量的线性规划问题● 会利用软件WINQSB 求线性规划问题的最优解、最优值 ● 会建立简单的线性规划问题● 知道什么是缩减成本、影子价格，会利用软件WINQSB 进行灵敏度分析一、基本概念1. 线性规划模型的一般形式可以表示为：目标函数 max (或min )=c l x 1+c 2x 2+ … + c n x n 。
约束条件： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=≤+++≥=≤+++≥=≤+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ),(),(),(22112222212111212111或或或 非负条件： x 1≥0, x 2≥0, …, x n ≥0可简写为 max(或min)=∑=n j j j x c 1 约束条件： ∑=n j j ij x a1≤(或=，≥) b i ，i=1，2，…，m非负条件： x j ≥0，j=1，2，…，n目标函数中的系数c i , i=1,2, …，n , 常称为价值系数，它反映某种价值（如利润、收益或效益）；约束条件中的右端项bj ，j=1,2, …，m ，右端系数，它反映某种资源的限制（如劳动力、原材料等）；约束条件中的a ij 常称为技术系数。
一般，它们都是已知的常数。
2.一个线性规划问题有解，是指能找出一组x j（j=1，2，…，n），使其满足所有的约束条件和非负条件。
称任何一组这样的x j（j=1，2，…，n）是线性规划问题的一个可行解。
通常，线性规划问题含有多个可行解。
称全部可行解的集合为该线性规划问题的可行域。
使目标函数值达到最优的可行解称为该线性规划问题的最优解，最优目标函数值称为该线性规划问题的最优值。
对不存在可行解的线性规划问题，称该线性规划问题无解。
二、两个变量的线性规划问题的图解法图解法的步骤为：第1步：在平面上建立直角坐标系；第2步：图示约束条件和非负条件，找出可行域；第3步：图示目标函数，并寻找最优解。
第二章线性规划模型
m
n
ai bj ,
i 1
j 1
又从产地 Ai到需求点 B j的单位运输成本为 cij , 求相应的运
输方案.
模型建立
设 xij表示从产地 Ai到需求点B j 的运输量, 则合适的运输
方案表现为
n
对产量的要求
xij ai
i 1, 2, ,m;
j 1
m
对需求量的要求 xij bj i 1
第五年 x54 1.0235x44 1.06x31,
投资收益函数为
z 1.06x41 1.215x23 1.165x32 1.0235x54.
由此得到该问题的数学模型
max z 1.06x41 1.215x23 1.165x32 1.0235x54,
s.t.x11 x14 120,
项目C: 于第二年的年初进行投资, 并于第五年的年末完成 成投资, 投资收益为21.5%, 投资额不超过40万； 项目D: 于每年的年初可进行投资, 并于当年末完成, 投资 收益为2.35%.
该公司现有资金120万, 试为该公司制定投资计划.
模型建立
以i 1, 2,3, 4,5代表年份, j 1, 2,3, 4分别表示4个项
0.1x1 0.3x2 0.9x3 1.1x5 0.2x6 0.8x7 1.4x8,
由此得到该问题的数学表达式:
min z 2.92x1 x2 x3 x4 200 2.12x2 x3 3x5 2x6 x7 200 1.5 x1 x3 3x4 2x6 3x7 4x8 200
3 2
x2
C
D
E
A
1
线性规划模型
j 1
i 1
将目标函数和约束条件放在一起，即得指派问题的数学模型.
第i人花费在第j项工作的时间用cijxij表示，在所有的工作中，第i人干仅干一项工作，
若第i人被分配去干第j0项工作，则当j0≠j时，cijxij=0，所以花费的总时间为T
nn
cij xij
.
i1 j 1
n
n
对于第i人，应有 xij 1 ；对于第j项工作，应有 xij 1 .
cT x
Ax b
A
eq
x beq
l b x u b
Matlab中求解线性规划的命令为：
[x，fval]=linprog(c，A，b，Aeq，beg，lb，ub)
其中，x返回的决策变量x的取值，fvla返回的是目标函数的最优值.
注：若没有某种约束，则相应的系数矩阵赋值为空矩阵，如没有等式约束，则令Aeq=[]， beq=[].
（7）模型的分析与评价
在建立线性模型是，总是假定aij，bi，cj都是常数，但实际上这些系数往往是估计值 和预测值，如市场条件一变，aij值就会变化；bi往往因工艺条件的改变而改变；cj是根据 资源投入后的经济效果决定的一种决策选择.因此，这些参数在什么范围内变化时，线 性规划问题的最优解不变.
2.整数规划模型
3. 0-1整数模型
在部分规划问题中，每个需要做的决策只有两种时，可以使用0-1整数规划建模，它的 变量xi仅取值0或1.此类模型可用Lingo和Matlab求解.Matlab中规定0-1整数规划模型中的标准形 式为：
min cT x Ax b
s.t. Aeq x beq
Matlab中求解0-1规划的命令为： [x，fval]=bintprog(c，A，b，Aeq，beq)
线性规划基本模型
在每次迭代中，单纯形法会根据目标函数的 系数和约束条件，通过一系列的数学运算， 将问题转化为更简单的形式，直到找到最优 解或确定无解。
单纯形法具有简单易懂、易于实现 的特点，是解决线性规划问题最常 用的方法之一。
对偶问题
等式约束
等式约束优化是指在优化问题中包含等式约束的线性规划问题。等式约束通常 表示决策变量之间的关系，满足等式约束是找到最优解的必要条件。
求解算法
对于包含等式约束的线性规划问题，可以采用一些特殊的算法进行求解，如消 元法或拉格朗日乘子法。这些算法能够更高效地处理等式约束，并找到最优解。
05
线性规划的扩展模型
线性规划基本模型
• 线性规划概述 • 线性规划的基本概念 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的优化方法 • 线性规划的扩展模型 • 线性规划的实际应用案例
01
线性规划概述
定义与特点
定义
线性规划是一种数学优化方法，通过 在一定的约束条件下最大化或最小化 一个线性目标函数，来找到一组变量 的最优解。
现状
目前，线性规划已经发展成为一 个成熟的学科分支，有许多成熟 的算法和软件工具可用于解决各 种实际问题。
02
线性规划的基本概念
线性方程组
线性方程组
01
线性规划问题通常由一组线性方程组成，这些方程描述了决策
变量之间的关系。
线性方程的解
02
线性方程组可能有多个解，但在线性规划中，我们通常只关心
满足特定约束条件的解。
资源利用
线性规划可以确定最佳的资源利用方案，包括原材料、设备、劳动力等，以最小化生产成本或最大化 利润。
优化模型一：线性规划模型数学建模课件
混合整数线性规划问题求解
要点一
混合整数线性规划问题的复杂性
混合整数线性规划问题是指包含整数变量的线性规划问题 。由于整数变量的存在，混合整数线性规划问题的求解变 得更加困难，需要采用特殊的算法和技术来处理。
要点二
混合整数线性规划模型的求解方 法
为了解决混合整数线性规划问题，可以采用一些特殊的算 法和技术，如分支定界法、割平面法等。这些方法能够将 问题分解为多个子问题，并逐步逼近最优解，从而提高求 解效率。
目标函数的类型
常见的目标函数类型包括最小化、最大化等。
确定约束条件
约束条件
01
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为数学不等式
或等式。
确定约束条件的原则
02
根据问题的实际情况，选择能够反映问题约束条件的条件作为
约束条件。
约束条件的类型
03
常见的约束条件类型包括等式约束、不等式约束等。
线性规划模型的建立
也可以表示为
maximize (c^T x) subject to (A x geq b) and (x leq 0)。
线性规划的应用场景
生产计划
物流优化
在制造业中，线性规划可以用于优化生产 计划，确定最佳的生产组合和数量，以满 足市场需求并降低成本。
在物流和运输行业中，线性规划可以用于 优化运输路线、车辆调度和仓储管理，降 低运输成本和提高效率。
初始基本可行解
在线性规划问题中，一个解被称为基 本可行解，如果它满足所有的约束条 件。
在寻找初始基本可行解时，可以采用 一些启发式算法或随机搜索方法，以 快速找到一个可行的解作为起点。
初始基本可行解是线性规划问题的一 个起始点，通过迭代和优化，可以逐 渐逼近最优解。
线性规划模型
第一节 线性规划模型
（一）制定生产计划
例1：某炊具生产企业生产四种产品，生产过程中要经过5 个车间，每个车间所能提供的工时数量、每种产品的工时定额、 各种产品的单位成本、销售价格、市场需求量预测等如下表。 下月生产产品B和D的金属板供应量紧缺，最大供应量为2000 平方米，若产品B每件需要2平方米，产品D每件需要1平方米。 希望实现最大利润，制定下月的生产计划。
X 11 X 21 X 31 5000 X 12 X 22 X 32 7500 X 13 X 23 X 33 7500 X 14 X 24 X 34 2000 （三）物资调运问题
产品 车间
单位产品的工时定额 （时）
ABCD
可用
工时 （时/ 月）
冲压 0.03 0.15 0.05 0.1 400
钻孔 0.06 0.12
0.1 400
装配 0.05 0.10 0.05 0.12 500
喷漆 0.04 0.20 0.03 0.12 450
包装 0.02 0.06 0.02 0.05 400
求总费用最小，运费= 单件运费× 运送量，因此目标函数为
Z min 8X11 6 X12 7 X13 4 X 21 3X 22
5X 23 7 X 31 4X 32 8X 33
即供应量的约束为：
X11 X12 X13 6000
X 21 X 22 X 23 4000
X 31 X 32 X 33 10000
约束条件为满足三种规格钢筋的最低需求，所以线性 规划模型为
Zmin 4X1 12X 2 2X 3 5X 5 10X 6
2 X1 X 2 XHale Waihona Puke 3 30s.t.X
2
3X 4
1.1 线性规划模型
计算机应 用软件
a1n xn (或 ，或 ）b1 a2 n xn (或 ，或 ）b2 LLL amn xn (或 ，或 ）bm
• 线性规划研究的问题： 1、在现有的人、财、物等资源的条件下， 研究如何合理地计划、安排，可使得 如产量、利润等。 某一目标达到最大， 2、在任务确定后，如何计划、安排，使 用最少的人、财、物等资源，去实现 该任务， 如使生产成本、费用最少等。 寻求在一定约束 条件下使某个指标达到最优
§1.1 线性规划的基本概念
即找到目标值与决策变量的数量关系
步骤三：确定约束条件 即决策变量所受到的外界条件的制约。 约束条件一般为决策变量的等式或不等式
要求：目标函数与约束条件均是线性的，
且目标函数只能是一个。
2、线性规划模型的一般形式：
max （或 min ）z c1 x1 c2 x2 L cn xn
maximum minimum
¤Ð ¸ ò º Ò ú ¶ ù È ¥Î µ ºÀ øÈ ó ¨Ô £ ¨£ §
z 工厂的总利润 目标函数：z 3x1 2 x2 5 x3
û ¿ úú ²Æ «» Ó¸ ¤Ê ª» ä¨ £« ÖÖ Ó£ § ¿ ÃÌ ì» Ó¸ ¤Ä ÜÁ ¦ ¬² » úÆ « Ò² úÆ « ø ª² úÆ « £« ¨ ÖÖ Ó£ § 1 2 1 430 3 0 2 460 1 4 0 420 3 2 5
现在我们希望每天得到的维生素不少于所规定的最低需要 量，问应该如何搭配各种食品才能使所花的费用最少？
x2 每天采购乙食品的数量 解：x1 每天采购甲食品的数量 ，
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）物资调运问题摘要：随着社会不断发展，物资调运的重要性不断凸显。
为此，本文引入某地区三家物资生产厂与八个存储仓库的物资调运问题作为范例进行研究，以求解决类似的物资调运问题。
首先，本文确定了物资生产厂与存储仓库的供求平衡关系，引入SNA-社会关系网络的相关理论规划出成本最低的运输路线。
然后，设定相关必要的约束条件，建立线性规划模型，策划出合理的存储方案。
最后，本文加入新的约束条件，以及改变供求关系，而模型均给出相对合理的方案，体现出较强的普适性。
故通过本文的有关模型，物资调运问题可以得到初步解决，调运成本大大缩减，利益最大化得以实现。
关键词：线性规划；平衡模型；SNA-社会关系网络1、问题重述某地区有甲、乙、丙三家物资生产厂负责供应该地a,b,c,d,e,f,g,h八个物资存储仓库。
为了节省成本，保证物资正常存储，本文需要解决如下三个问题：1、在无其他条件约束下，设计一种合理的物资存储运输方案；2、加入“每个存储仓库的短缺量不能超过需求量的20%”这一条件，重新设计运输方案。
3、为生产厂家设计增产方案以满足每个存储仓库的需求，并设计运输方案使总运费最少。
2、问题分析1、首先需要确定物资生产厂与存储仓库的供求平衡关系。
然后，由于最优运输方案只需要保证运输成本最优与存储量最优，且二者是相互独立的，故可以分别建立对应的线性规划模型求解。
2、加入“每个存储仓库的短缺量不能超过需求量的20%这一条件”，就需要在问题一的方案上增加相关约束条件。
3、增产方案需要通过在问题一的方案上增加未知量改变供求关系；运输方案仍延续问题一的思路。
3、符号说明a各厂对a存储仓库运输量ib各厂对b存储仓库运输量ic各厂对c存储仓库运输量id各厂对d存储仓库运输量ie各厂对e存储仓库运输量if各厂对f存储仓库运输量ig各厂对g存储仓库运输量ih各厂对h存储仓库运输量iP生产量N需求量S方案总成本M 违约总金额X 甲物资生产厂增产后的生产量Y 乙物资生产厂增产后的生产量Z丙物资生产厂增产后的生产量4、问题假设假设1：不考虑物资在生产运输过程中的损耗。
假设2：不考虑时间、空间等无关因素的影响。
假设3：设定物资运输车辆的单程承载能力是无穷大。
假设4：忽略除运输费用、违约金外的成本。
5、模型建立及求解5.1最优物资存储运输模型5.1.1物资生产厂与存储仓库的供求平衡模型不同的供求关系会直接影响仓库存储方案的设计，故首先建立供求平衡模型：供求平衡：N P =供大于求：N P ≥供不应求：NP ≤问题中550530=≤=N P ，所以可知供不应求，需要考虑支付相关违约金。
5.1.2最优运输模型由于选择不同路线会导致运输成本的不同，所以我们需要从所有可选方案中选择出运输成本最少的一条路线。
在此我们将使用SNA-社会关系网络相关理论，通过igraph 在R 上的应用实现最优路线的选取。
例如，对于d →甲，经过适当数据处理我们可以得到如下最优路线（其中A 是物资生产厂，i B 与i C 是有关节点，D 为存储仓库d）：图1甲→d最优路线规划重复上述方法，本文最终确定三家物资生产厂到各仓库的最短路径规划如下：图2生产厂家与存储仓库的最优运输路线网络图通过上图，可整理得到如下各厂家到物资存储仓库的最低运输成本：表1各生产厂家到各存储仓库的最低运输成本表（单位：元/吨）5.1.2最优存储模型ab c d e f g h 合计甲1a 1b 1c 1d 1e 1f 1g 1h 200乙2a 2b 2c 2d 2e 2f 2g 2h 170丙3a 3b 3c 3d 3e 3f 3g 3h 160表2各生产厂家在各存储仓库的存储表分析已有数据，可以确定在不增加其他约束条件的情况下，各生产厂家在各存储仓库的存储关系如上表所示。
总费用的计算公式如下：MH h G g F f E e D d C c B b A a S i i i i i i i i i i i i i i i i i +⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑=)(31其中，i i H A 为各生产厂家到各存储仓库的最低运输成本。
综合上述结论，可以列出如下条件进行线性规划：目标函数：MH h G g F f E e D d C c B b A a S Min i i i i i i i i i i i i i i i i i +⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑=)(:31约束条件：ab c d e f g h 甲488191162220乙14771612162317丙20191114615510⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤+++≤+++≤+++≤≤≤≤≤≤≤≤∑∑∑∑∑∑∑∑========160170200809040100703560753332221113131313131313131h b a h b a h b a h g f e d c b a i i i i i i i i i i i i i i i i 求出最优解如下：a b c d e f g h 合计甲75000854000200乙06035705000170丙00001007080160表3各生产厂家在各存储仓库的最优存储表5.1.3最优物资存储运输方案综合上述模型求解，现给出最优物资存储运输方案如下：甲工厂：运往a 仓库75吨，运往e 仓库85吨，运往f 仓库40吨；乙工厂：运往b 仓库60吨，运往c 仓库35吨，运往d 仓库70吨，运往e 仓库5吨；丙工厂：运往e 仓库10吨，运往g 仓库70吨，运往h 仓库80吨。
总费用为5530元5.2在特定条件下的物资存储运输方案若规定每个存储仓库的短缺量不能超过需求量的20%，需要在现有模型的基础上增加一组约束条件：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⨯≥⨯≥⨯≥⨯≥⨯≥⨯≥⨯≥⨯≥∑∑∑∑∑∑∑∑========3131313131311318.0808.0908.0408.01008.07050358.0608.075i ii i i i i i i i i i i ii i h g f e d c b a 求解模型可得最优方案如下：甲工厂:运往a 仓库75吨，运往e 仓库85吨，运往f 仓库40吨；乙工厂:运往b 仓库60吨，运往c 仓库33吨，运往d 仓库70吨，运往e 仓库7吨；丙工厂：运往e 仓库8吨，运往g 仓库72吨，运往h 仓库80吨。
总费用为5530元5.3最优增产运输模型5.3.1优化物资生产厂与存储仓库的供求平衡模型根据题目的要求，物资生产厂与存储仓库的供求关系需要保持平衡，所以甲、乙、丙三家物资生产厂的生产量需要进行更改，本文用新的变量X，Y，Z 刻画它们。
此时，X,Y,Z 应该满足：ZY X P ++=NP =5.3.2最优运输模型由于供求关系保持平衡，所以改变费用计算公式：)(311i i i i i i i i i i i i i i i i i H h G g F f E e D d C c B b A a S ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑=显然，公式中的1S 即是运输费用，因此可以建立最优运输模型。
列出下表：ab c d e f g h 合计甲1a 1b 1c 1d 1e 1f 1g 1h X 乙2a 2b 2c 2d 2e 2f 2g 2h Y 丙3a 3b 3c 3d 3e 3f 3g 3h Z表4供求平衡状态下各生产厂家在各存储仓库的存储表通过上表我们可以列出如下约束条件，进行线性规划：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥========∑∑∑∑∑∑∑∑========160170200809040100703560753131313131313131Z Y X h g f e d c b a i i i ii i i i i i i i i ii i 求解模型可得最优增产运输方案如下：甲工厂：增产0吨，运往a 仓库75吨，运往e 仓库85吨，运往f 仓库40吨；乙工厂：增产0吨，运往b 仓库60吨，运往c 仓库35吨，运往d 仓库70吨，运往e 仓库5吨；丙工厂：增产20吨，运往e 仓库10吨，运往g 仓库90吨，运往h 仓库80吨。
运输路径维持模型一的最优路径，运输费用为4630元.6、模型的检验与分析6.1最优运输模型的检验多次代入新的情况进行检验比对，所得结果均符合设定的最佳结果，故模型是具有一定的科学性与可靠性的。
6.2最优存储模型的检验通过人为的检索比对，所得结果均符合设定的最佳结果，故模型是具有一定的科学性与可靠性的。
7、模型的评价与推广7.1优点1、使用了SNA-社会关系网络的相关理论求最优运输路线，操作简单，可视化程度较强；2、采用的线性规划模型普适性强，可以根据不同情况进行调整，算法简便可靠性高；3、本文所建模型有较为成熟的理论作为依据，可信度、实用性高。
7.2缺点本文所建模型仅以成本最少为目标进行规划的，所以不适用于灾难应急物资运输、物流配送等特殊类型的物资调运问题，具有一定的局限性。
7.3模型的推广在现实生活中，产销不平衡运输问题普遍存在，而文中所示的线性规划法在求解此类问题上会取得很好效果，可以在一定程度上提高物资调运的经济效益。