第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动 §7-1 流体流动的连续性方程
亥姆霍兹第三定理（涡管强度守恒定理）
理想正压性流体在有势的质量力作用下，任一涡管强 度不随时间变化。
作业：7-2(1)、(3)， 7-5
x
vx
y
v y
z
vz
dxdydz
微元体内总质量的变化率为 ：
t
CV
dV
t
CV
dxdydz
t
dxdydz
取极限：CV→0，控制体收缩为质点，得：
t
x
vx
y
vy
z
vz
0
写为矢量形式 ：
(v) 0
t
讨论：1. 定常流动 (v) 0
2. 不可压缩流体流动
v 0
divv 0
vx x
dx
vx y
dy
y
vy
v y y
dy
C
C’
vy
B
v y x
dx
v y y
dy
dβ
dy
vx vy
o
dα
dx
A
A’
vx vy
vx x v y x
dx dx
d(dx) vx dxt dx vx t
x
x
x
d(dy) vy dyt dy vy t
y
y
1. 平移运动
y
C
B
dy
vx
o
dx
A vy
x
v2 2
PF
2
yvz
zvy
dx
y
v2 2
PF
2zvx
xvz
dy
z
v2 2
PF
2
xvy
yvx
dz
沿流线 ：
dx=vxdt，dy=vydt，dz=vzdt
d
v2 2
PF
2 yvzvx zvyvx dt
2 zvxvy xvzvy dt
2 xvyvz yvxvz dt 0
x
v2 2
PF
0
y
v2 2
PF
0
z
v2 2
PF
0
d
v2 2
PF
x
v2 2
PF
dx
y
v2 2
PF
dy
z
v2 2
PF
dz
0
积分之：
v2 2
PF
C
欧拉积分式
理想正压性流体在有势的质量力作用下作定常无旋流动时， 单位质量流体的总机械能在流场中保持不变。
三、伯努利积分 理想正压性流体在有势的质量力作用下作定常有旋流动
J dA 2 ndA
A
A
二、速度环量、斯托克斯定理
1．速度环量： 流体速度矢量沿周线的线积分
v dl (vxdx vydy vz dz)
规定绕行的正方向为逆时针方向，即沿封闭轴线前进时，封闭周线 所包围的面积总在绕行前进方向的左侧；封闭周线所包围曲面的法 线正方向与绕行的正方向符合右手螺旋系统。
v y x
vx y
k
V 0
vz v y y z
vx vz z x v y vx x y
判断有旋/无旋： 由流体微团本身是否发生旋转来决定， 与流体微团本身的运动轨迹无关 。
§7-4 理想流体运动微分方程式 欧拉积分和伯努里积分
一、运动微分方程
y
px -
p dx x2
dy
o
z
x
ba
dx y
2．斯托克斯定理
在涡量场中，沿任意封闭周线的速度环量等于通过该周线所 包围曲面面积的旋涡强度，即 ：
v dl d A 2 ndA J
A
A
三、汤姆孙定理、亥姆霍兹定理
1．汤姆孙（Thomson）定理 理想正压性流体在有势的质量力作用下，沿任何封闭流体 周线的速度环量不随时间变化
dΓ 0 dt
2 zvx
xvz
fy
1
p y
vz
t
z
v2 2
2 xvy
yvx
fz
1
p z
兰姆（mb）运动微分方程
矢量式:
v t
v2 2
2ω
v
f
1
p
在有势的质量力作用下，流场是正压性的，则：
有势质量力
f x x
f y y
fz
z
正压性
PF dp
f
PF 1 p
vx v y vz 0 x y z vz vx vy 4x 4 y z x y
积分之： vz 4(x y)z f (x, y) 由已知条件 vz z0 0
f (x, y) 0
vz 4(x y)z
§7-2 流体微团的运动分析
刚体
平动 转动
流体
平动 转动 变形
vx
vx y
海姆霍兹(Helmholtz)速度分解定理
§7-3 有旋流动和无旋流动
定义： 1. 流体微团的旋转角速度不等于零的流动称为有旋流动； 2. 流体微团的旋转角速度等于零的流动称为无旋流动，
无旋流动又称为有势流动。
无旋流动 有旋流动
1
V
0
2
1
V
0
2
V
vz y
v y z
i
vx z
vz x
j
vx y
y
A(x+δx,y+δy,z+δz)
O(x,y,z)
v x，v y，v z
o
x
z
v Ax
vx
v x x
x
v x y
y
v x z
z
v Ay
vy
v y x
x
v y y
y
v y z
z
v Az
vz
v z x
x
v z yyv z z Nhomakorabeaz
vAx
vx
vx x
x
1 2
( v y x
vx y
)y
dy
vx
vx x
dx
vx y
dy
y
vy
v y y
dy
C
C’
vy
B
v y x
dx
v y y
dy
dβ
dy
vx vy
o
dα
dx
A
A’
vx vy
vx x v y x
dx dx
d tan d vy dxt dx vy t x
x
x
d tan d vx dyt dy vx t
y
y
vx
vx y
dy
vx
1 2
( vx z
vz x
)z
1 (vy vx )y 1 (vx vz )z
2 x y 2 z x
vAy
vy
vy y
y
1 2
( vz y
vy z
)z
1 2
( v y x
vx y
)x
1 (vz vy )z 1 (vy vx )x
2 y z 2 x y
vAz
vz
vz z
z
1 2
( vx z
px+
p dx x2
fx c
dz
zx
牛顿第二定律：
Fx
m
dvx dt
fx
1
p x
dvx dt
fy
1
p y
dvy dt
fz
1
p z
dvz dt
理想流体运动微分方程式 欧拉(Euler)运动微分方程式
dvx dx
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
dvy t
v y t
vx
v y y
x x
PF 1 p
y y
PF 1 p
z z
x
v2 2
PF
vx t
2 yvz
zvy
y
v2 2
PF
v y t
2 zvx
x
v
z
z
v2 2
PF
vz t
2 xvy yvx
矢量式:
v2 2
PF
v t
2ω v
二、欧拉积分
理想正压性流体在有势的质量力作用下作定常无旋流动
b2 a2
a1
b1
A1
Γ Γ b1a1
b2 a 2
J1 J2
d A d A
A1
A2
在理性正压性流体中，涡管既不能开始，也不能终止。但可以自 成封闭的环状涡管，或开始于边界、终止于边界。
亥姆霍兹第二定理（涡管守恒定理） 理想正压性流体在有势的质量力作用下，流场中的涡管 始终由相同的流体质点组成。
积分之：
v2 2
PF
C
伯努利积分式
理想正压性流体在有势的质量力作用下作定常有旋流动时， 单位质量流体的总机械能沿流线保持不变。
§7-5 理想流体的旋涡运动
一、涡线、涡管、涡束和旋涡强度
涡量的定义： 2 V
1．涡线 涡线是在给定瞬时和涡量矢量相切的曲线
涡线的微分方程为：
dx
dy
dz
x
2. 线变形运动
d(dy) vy dt y
y
vx vy 0 x y
C
B
dy
o
dx
A
d(dx) vx dt x
x
3. 角变形运动
y
d vx
dt y
C
dy
o
z
1 2
理想正压性流体在有势的质量力作用下，任一涡管强 度不随时间变化。
作业：7-2(1)、(3)， 7-5
x
vx
y
v y
z
vz
dxdydz
微元体内总质量的变化率为 ：
t
CV
dV
t
CV
dxdydz
t
dxdydz
取极限：CV→0，控制体收缩为质点，得：
t
x
vx
y
vy
z
vz
0
写为矢量形式 ：
(v) 0
t
讨论：1. 定常流动 (v) 0
2. 不可压缩流体流动
v 0
divv 0
vx x
dx
vx y
dy
y
vy
v y y
dy
C
C’
vy
B
v y x
dx
v y y
dy
dβ
dy
vx vy
o
dα
dx
A
A’
vx vy
vx x v y x
dx dx
d(dx) vx dxt dx vx t
x
x
x
d(dy) vy dyt dy vy t
y
y
1. 平移运动
y
C
B
dy
vx
o
dx
A vy
x
v2 2
PF
2
yvz
zvy
dx
y
v2 2
PF
2zvx
xvz
dy
z
v2 2
PF
2
xvy
yvx
dz
沿流线 ：
dx=vxdt，dy=vydt，dz=vzdt
d
v2 2
PF
2 yvzvx zvyvx dt
2 zvxvy xvzvy dt
2 xvyvz yvxvz dt 0
x
v2 2
PF
0
y
v2 2
PF
0
z
v2 2
PF
0
d
v2 2
PF
x
v2 2
PF
dx
y
v2 2
PF
dy
z
v2 2
PF
dz
0
积分之：
v2 2
PF
C
欧拉积分式
理想正压性流体在有势的质量力作用下作定常无旋流动时， 单位质量流体的总机械能在流场中保持不变。
三、伯努利积分 理想正压性流体在有势的质量力作用下作定常有旋流动
J dA 2 ndA
A
A
二、速度环量、斯托克斯定理
1．速度环量： 流体速度矢量沿周线的线积分
v dl (vxdx vydy vz dz)
规定绕行的正方向为逆时针方向，即沿封闭轴线前进时，封闭周线 所包围的面积总在绕行前进方向的左侧；封闭周线所包围曲面的法 线正方向与绕行的正方向符合右手螺旋系统。
v y x
vx y
k
V 0
vz v y y z
vx vz z x v y vx x y
判断有旋/无旋： 由流体微团本身是否发生旋转来决定， 与流体微团本身的运动轨迹无关 。
§7-4 理想流体运动微分方程式 欧拉积分和伯努里积分
一、运动微分方程
y
px -
p dx x2
dy
o
z
x
ba
dx y
2．斯托克斯定理
在涡量场中，沿任意封闭周线的速度环量等于通过该周线所 包围曲面面积的旋涡强度，即 ：
v dl d A 2 ndA J
A
A
三、汤姆孙定理、亥姆霍兹定理
1．汤姆孙（Thomson）定理 理想正压性流体在有势的质量力作用下，沿任何封闭流体 周线的速度环量不随时间变化
dΓ 0 dt
2 zvx
xvz
fy
1
p y
vz
t
z
v2 2
2 xvy
yvx
fz
1
p z
兰姆（mb）运动微分方程
矢量式:
v t
v2 2
2ω
v
f
1
p
在有势的质量力作用下，流场是正压性的，则：
有势质量力
f x x
f y y
fz
z
正压性
PF dp
f
PF 1 p
vx v y vz 0 x y z vz vx vy 4x 4 y z x y
积分之： vz 4(x y)z f (x, y) 由已知条件 vz z0 0
f (x, y) 0
vz 4(x y)z
§7-2 流体微团的运动分析
刚体
平动 转动
流体
平动 转动 变形
vx
vx y
海姆霍兹(Helmholtz)速度分解定理
§7-3 有旋流动和无旋流动
定义： 1. 流体微团的旋转角速度不等于零的流动称为有旋流动； 2. 流体微团的旋转角速度等于零的流动称为无旋流动，
无旋流动又称为有势流动。
无旋流动 有旋流动
1
V
0
2
1
V
0
2
V
vz y
v y z
i
vx z
vz x
j
vx y
y
A(x+δx,y+δy,z+δz)
O(x,y,z)
v x，v y，v z
o
x
z
v Ax
vx
v x x
x
v x y
y
v x z
z
v Ay
vy
v y x
x
v y y
y
v y z
z
v Az
vz
v z x
x
v z yyv z z Nhomakorabeaz
vAx
vx
vx x
x
1 2
( v y x
vx y
)y
dy
vx
vx x
dx
vx y
dy
y
vy
v y y
dy
C
C’
vy
B
v y x
dx
v y y
dy
dβ
dy
vx vy
o
dα
dx
A
A’
vx vy
vx x v y x
dx dx
d tan d vy dxt dx vy t x
x
x
d tan d vx dyt dy vx t
y
y
vx
vx y
dy
vx
1 2
( vx z
vz x
)z
1 (vy vx )y 1 (vx vz )z
2 x y 2 z x
vAy
vy
vy y
y
1 2
( vz y
vy z
)z
1 2
( v y x
vx y
)x
1 (vz vy )z 1 (vy vx )x
2 y z 2 x y
vAz
vz
vz z
z
1 2
( vx z
px+
p dx x2
fx c
dz
zx
牛顿第二定律：
Fx
m
dvx dt
fx
1
p x
dvx dt
fy
1
p y
dvy dt
fz
1
p z
dvz dt
理想流体运动微分方程式 欧拉(Euler)运动微分方程式
dvx dx
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
dvy t
v y t
vx
v y y
x x
PF 1 p
y y
PF 1 p
z z
x
v2 2
PF
vx t
2 yvz
zvy
y
v2 2
PF
v y t
2 zvx
x
v
z
z
v2 2
PF
vz t
2 xvy yvx
矢量式:
v2 2
PF
v t
2ω v
二、欧拉积分
理想正压性流体在有势的质量力作用下作定常无旋流动
b2 a2
a1
b1
A1
Γ Γ b1a1
b2 a 2
J1 J2
d A d A
A1
A2
在理性正压性流体中，涡管既不能开始，也不能终止。但可以自 成封闭的环状涡管，或开始于边界、终止于边界。
亥姆霍兹第二定理（涡管守恒定理） 理想正压性流体在有势的质量力作用下，流场中的涡管 始终由相同的流体质点组成。
积分之：
v2 2
PF
C
伯努利积分式
理想正压性流体在有势的质量力作用下作定常有旋流动时， 单位质量流体的总机械能沿流线保持不变。
§7-5 理想流体的旋涡运动
一、涡线、涡管、涡束和旋涡强度
涡量的定义： 2 V
1．涡线 涡线是在给定瞬时和涡量矢量相切的曲线
涡线的微分方程为：
dx
dy
dz
x
2. 线变形运动
d(dy) vy dt y
y
vx vy 0 x y
C
B
dy
o
dx
A
d(dx) vx dt x
x
3. 角变形运动
y
d vx
dt y
C
dy
o
z
1 2
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流体力学第七章理想不可压缩流体无旋运动
m y 2 2 2 x y
天津大学力学系 方一红
28
A W ( z) z
Ax 2 2 x y
Ax 2 2 x y
Ay 流线 2 C1 2 x y
c2 c2 x y 2 2
2 2 2
Ax 等势线 2 C3 2 x y
u ,v y x
(M ) (M 0 )
M
M0
vdx udy y
方一红
天津大学力学系
11
流函数的性质
1） 流函数可以差一任意常数，而不影响流体的 运动。 运动 2） 流函数与流线 数 线
x, y C
3） 流函数与体积流量
——流线
0
( div v 0 )
C11 C22 Cnn
天津大学力学系 方一红
2
0 2 p ~ V V f t t 2
t t 0 : v v r , p p r
dW u iv i U dz
W ( z) U z
天津大学力学系
方一红
21
2 点源与点汇
z x iy y re
i
W ( z ) a ln z
W ( z ) i a ln l r ia
天津大学力学系
方一红
22
a ln r , a
方一红
天津大学力学系
7
速度势函数性质
1） 速度势函数可允许相差一任意常数，而不影响 流体运动 流体运动。 2） 速度势的方向导数。
v m vm m
3）等势线。
( x, y ) C
天津大学力学系 方一红
28
A W ( z) z
Ax 2 2 x y
Ax 2 2 x y
Ay 流线 2 C1 2 x y
c2 c2 x y 2 2
2 2 2
Ax 等势线 2 C3 2 x y
u ,v y x
(M ) (M 0 )
M
M0
vdx udy y
方一红
天津大学力学系
11
流函数的性质
1） 流函数可以差一任意常数，而不影响流体的 运动。 运动 2） 流函数与流线 数 线
x, y C
3） 流函数与体积流量
——流线
0
( div v 0 )
C11 C22 Cnn
天津大学力学系 方一红
2
0 2 p ~ V V f t t 2
t t 0 : v v r , p p r
dW u iv i U dz
W ( z) U z
天津大学力学系
方一红
21
2 点源与点汇
z x iy y re
i
W ( z ) a ln z
W ( z ) i a ln l r ia
天津大学力学系
方一红
22
a ln r , a
方一红
天津大学力学系
7
速度势函数性质
1） 速度势函数可允许相差一任意常数，而不影响 流体运动 流体运动。 2） 速度势的方向导数。
v m vm m
3）等势线。
( x, y ) C
第七章不可压缩流体动力学基础
一、物理模型
刚体任意参考点的平移速度
刚体的运动速度
绕参考点的旋转速度
质点上任意参考点的平移速
流体任一质点速度 绕度通过该点的瞬时轴旋转速度
变形速度
流体力学 移动
流体微团的运动 转动
变形运动
流体力学
各点速度关系: M点速度: vx , vy C点速度:
BAMFra bibliotekCvCX
vx
vx x
dx 2
vCY
vy
流体力学
方程组的定解条件
初始条件 定解条件
边界条件
流体力学
1、初始条件
初始条件是指在起始瞬时t＝0所给定的流场中每一点的 流动参数。
也就是说，求得的解在t＝0时所应分别满足的 预先给定的坐标函数。
定常流动不需要给定初始条件。
流体力学
2、边界条件
边界条件是指任一瞬时运动流体所占 空间的边界上必须满足的条件。
根据质量守恒定律：
(ρVx x
)
(ρVy y
)
(ρVz z
)
ρ t
净流入微元体质量流量＝流体质量增长率
ρt
(ρVx x
)
(ρVy y
)
(ρVz z
)
0
将
dρ dt
ρt
Vx
ρx
Vy
ρy
Vz
ρ z
引入
得
ρ t
dρ dt
(Vx
ρx
Vy
ρy
Vz
ρz )
流体力学
代入上式
得
ddρt ρ(
vBx
vCx
vx x
dx
经过dt时间BC边伸长
刚体任意参考点的平移速度
刚体的运动速度
绕参考点的旋转速度
质点上任意参考点的平移速
流体任一质点速度 绕度通过该点的瞬时轴旋转速度
变形速度
流体力学 移动
流体微团的运动 转动
变形运动
流体力学
各点速度关系: M点速度: vx , vy C点速度:
BAMFra bibliotekCvCX
vx
vx x
dx 2
vCY
vy
流体力学
方程组的定解条件
初始条件 定解条件
边界条件
流体力学
1、初始条件
初始条件是指在起始瞬时t＝0所给定的流场中每一点的 流动参数。
也就是说，求得的解在t＝0时所应分别满足的 预先给定的坐标函数。
定常流动不需要给定初始条件。
流体力学
2、边界条件
边界条件是指任一瞬时运动流体所占 空间的边界上必须满足的条件。
根据质量守恒定律：
(ρVx x
)
(ρVy y
)
(ρVz z
)
ρ t
净流入微元体质量流量＝流体质量增长率
ρt
(ρVx x
)
(ρVy y
)
(ρVz z
)
0
将
dρ dt
ρt
Vx
ρx
Vy
ρy
Vz
ρ z
引入
得
ρ t
dρ dt
(Vx
ρx
Vy
ρy
Vz
ρz )
流体力学
代入上式
得
ddρt ρ(
vBx
vCx
vx x
dx
经过dt时间BC边伸长
流体力学第七章不可压缩流体动力学基础
第七章不可压缩流体动力学基础在前面的章节中，我们学习了理想流体和粘性流体的流动分析，按照水力学的观点，求得平均量。
但是，很多问题需要求得更加详细的信息，如流速、压强等流动参数在二个或三个坐标轴方向上的分布情况。
本章的内容介绍流体运动的基本规律、基本方程、定解条件和解决流体问题的基本方法。
第一节流体微团的运动分析运动方式：①移动或单纯的位移（平移）②旋转③线性变形④角变形。
位移和旋转可以完全比拟于刚体运动，至于线性变形和脚变形有时统称为变形运动则是基于液体的易流动性而特有的运动形式，在刚体是没有的。
在直角坐标系中取微小立方体进行研究。
一、平移：如果图（a ）所示的基体各角点的质点速度向量完全相同时，则构成了液体基体的单纯位移，其移动速度为z y x u u u 、、。
基体在运动中可能沿直线也可能沿曲线运动，但其方位与形状都和原来一样（立方基体各边的长度保持不变）。
二、线变形：从图（b ）中可以看出，由于沿y 轴的速度分量，B 点和C 点都比A 点和D 点大了dy yu y ∂∂，而yu y ∂∂就代表1=dy 时液体基体运动时，在单位时间内沿y 轴方向的伸长率。
x u x ∂∂，y u y ∂∂，zuz ∂∂ 三、角变形（角变形速度）ddd DCABCDBAdt yu dy dt dy y u d x x ∂∂=⋅∂∂=α dt x udx dt dx x u d yy∂∂=⋅∂∂=β θβθα+=-d d 2βαθd d -=∴ 角变形： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂=+=-=x u y u d d d y x z 212βαθαθ ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂=x u z u z x y 21θ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂=y u z u z y x 21θ 四、旋转（旋转角速度）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=-=y u x u x y z 21θω ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=z u y u y zx 21ω 即， ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=x u z u z x y 21ωzyxu u u z y x k ji ∂∂∂∂∂∂=21ω 那么，代入欧拉加速度表达式，得：z x x x x x x z y y z z y y y y y y y x z z x x z z z z z z z y x x y y x x y du u u u u u u u dt t xu u u u u u u u dt t y u u uu u u u u dt t z αθθωωαθθωωαθθωω∂∂⎫==++++-⎪∂∂⎪∂∂∂⎪==++++-⎬∂∂⎪⎪∂∂∂==++++-⎪∂∂⎭各项含义： （1） 平移速度（2）线变形运动所引起的速度增量（3）（4）角变形运动所引起的速度增量 （5）（6）微团的旋转运动所产生的速度增量流体微团的运动可分解为平移运动，旋转运动，线变形运动和角变形运动之和。
不可压缩粘性流体动力学基础_OK
uz y
u y z
zx
xz
1 ux 2 z
uz x
（7—3）
14
江汉大学化环学院
流体力学与流体机械
综上所述，可写出表示流体微团运动的基本形式如下：
表示平移的平移速度：u x、u、y u。z
表示线变形的线变形速度（又称线变率）：
x
u x x
y
u y y
z
u z y
表示角变形的角变形速度（又称角变率）：
一、流体微团（Material Elements of Fluid） 流体微团是由大量的流体质点所组成的一个微小质团，它
具有微小的体积，是研究流体运动的一个基本单元。
4
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流体力学与流体机械
流体微团的尺度在微观上足够大，大到能包含大量的 分子，使得在统计平均后能得到其物理量的确定值，质 点的尺度在宏观上又足够小，远小于所研究问题的特征 尺度，使得其平均物理量可看成是均匀的；而且可以把 流体微团看成是几何上的一个点。
dx dy dz
x y z
21
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流体力学与流体机械
在给定瞬时，在漩涡场中任取一个不是涡线的封闭曲线， 通过这条曲线上每一点作一根涡线，这些涡线就构成一个管 状曲面，称为涡管（Vortex Tube）；涡管中充满着作旋涡运 动的流体，称为涡束，或称为元涡（Vortex Filament）。 涡通量（Vortex Flux）或旋涡强度（Intensity of Vorticity），以 J表示。元涡的涡通量为微元涡的断面积和速度涡量（简称涡 量）的乘积，即
y
ux d yd t y
D
C
C
uy
u y y
dy
第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动
第三节 理想流体的旋涡运动
本节主要讲述理想流体有旋运动的理论基础，重点是速度环 量及其表征环量和旋涡强度间关系的斯托克斯定理。
一、涡线、涡管、涡束和旋涡强度
涡量用来描述流体微团的旋转运动。涡量的定义为：
2 V 也称为旋度
涡量是点的坐标和时间的函数。它在直角坐标系中的投影为：
x
根据流体微团在流动中是否旋转，可将流体的流动分为两类：
有旋流动和无旋流动。
当
1
V
0
2
无旋流动
当
1
V
0
2
有旋流动
通常以
V
是否等于零作为判别流动是否有旋或无旋的
判别条件。
在笛卡儿坐标系中：
V
vz y
v y z
i
vx z
Байду номын сангаас
w x
2020/1/30 第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动
（4）旋转运动 dα dβ 且符号相反
则流体微团只发生旋转，不发生角变形 大多数情况下，流体微团在发生角变形的同时，还 要发生旋转运动。
2020/1/30 第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动
旋转角速度： dα v dt
还是无旋流动。
【解】：由于
x
1 2
vz y
v y z
0
y
1 vx 2 z
x
vz
x
0
z
1 2
v y x
第七章_理想流体二元不可压缩流动
1 1 1 vr z ( ( rv ) ) 2 r r r
代入速度分布可得
z 0
故该流动是无旋的。
20
7.3不可压缩理想流体平面势流的基本方程
工程上有许多问题可简化为理想流体的
无旋流动问题，如流体机械内的流动。利 用无旋流动的特性，可建立线性运动方程 来求解流体的速度分布，从而避开求解欧 拉方程的困难。
21
7.3.1速度势函数
对于无旋流动，速度的旋度为零，即
v 2 0
此时流体质点都要满足以下条件
vx v y vz vx v y vz , , y x x z z y
22
由数学分析，上面的三个方程是
vx dx v y dy vz dz
即单位时间内直角改变量的一半。 同理对三维空间可写出
1 vz v y x ( ) 2 y z
1 v x v z y ( ) 2 z x
剪变形角速度是流体微团中某一直角的减 小速度的一半。
10
三、平均旋转角速度
y I׳ 虚线是初始位置， C׳ I D׳ 经过∆t时间后，流体微 D C (α+β)/2 团运动到AB׳C׳D。׳由几 α 何关系 B׳
vx , vy y x
36
平面流动的流线方程为
vx dy vy dx 0
所以在流线上有
d 0或 const
在每条流线上函数ψ都有不同的值，故ψ被称 为流函数。在引出流函数时，并未涉及到流 体的粘性和是否为有势流动，只要是不可压 缩流体的平面流动，就必然存在流函数。在 三维流动中一般不存在流函数，轴对称流动 除外。
38
dq vx dy vy dx
第七章 不可压缩理想流体二元流动
１、平移
微团的移动速度，是O 点坐标（x0,y0,z0）和时间t 的函数，即
几何形状不变，只是空间位置发生变化。
2、线变形
经dt 时间O→O＇， M→M＇， O＇M＇两点的距离为 称为线性变形。
显然较原来距离伸长了。其增量为 （1）单位时间内的线性变形为
称为线性变形速度。 （2）单位长度上单位时间内的线性变形，即单位长度上 的线性变形速度为称为线变形率，为 （3）微团的膨胀速率
二、流函数的性质 （1）对于不可压缩流体的平面流动，流函数 永远 满足 连续性方程。 2 2 将流函数代入连续性方程式得 yx xy 即流函数永远满足连续性方程。 （2）对于不可压缩流体的平面势流，流函数 满足拉普 拉斯方程，流函数也是调和函数。 u y u x 对于平面无旋流动， z 0 ，则 0
ux ; uy ; uz x y z
函数 ( x, y, z, t ) 与流场中的速度有关,函数就叫做速度势函数 (简称速度势) 。因此，也可以说，存在速度势函数的流动为有 势流动，简称势流。
不论是可压缩流体还是不可压缩流体，也不论是定常 流动还是非定常流动，只要满足无旋流动条件，必然存在 速度势函数。
u z u y u x u z u y u x ; ; y z z x x y
速度势函数 由数学分析可知， 是 ux dx uy dy uz dz 成 为某一标量函数 ( x，y，z，t ) 全微分的充分必要条件。 在有势流动中一定存在关系
u x dx u y dy u z dz d dx dy dz x y z
1 1 2 2 VA p B VB 2 2
1 1 2 (VA VB2 ) 1.4 10 5 1.2 (32 464 ) 139740 .8( Pa ) 2 2
第7章 不可压缩流体动力学基础
dz
ρvx dydz
∂( ρvx ) dxdydz ρvx + ∂x
＝
微元体内的 质量变化率
dx x y 微元体及其表面的质量通量
34
连续性方程
1、x方向：dt时间内沿从六面体 x 处与 x+dx 处输 、 方向 方向： 时间内沿从六面体 入与输出的质量差： 入与输出的质量差：
25
涡线
26
涡管
在涡量场中任意画一封闭曲线， 在涡量场中任意画一封闭曲线，通过这条曲线 上的每一点所作出的涡线构成一管状的曲面， 上的每一点所作出的涡线构成一管状的曲面，称为 涡管。 涡管。
27
涡通量
28
涡管强度守恒定理
涡管截面愈小的地方，流体的旋转角速度愈大。 涡管截面愈小的地方，流体的旋转角速度愈大。
31
斯托克斯定理
沿任意封闭曲线s的速度环量等于通过以该曲 沿任意封闭曲线 的速度环量等于通过以该曲 的涡通量。 线为边界的曲面 A 的涡通量。
32
33
第三节 不可压缩流体连续性微分方程
直角坐标系中的连续性方程 直角坐标系中的连续性方程
z dy
质量守恒
输入微元体 输出微元体 的质量流量－ 的质量流量
8
平移运动速度
微团上各点公有的分速度 ux 和uy ，使它们在 dt 时间内均沿 x 方向移动一距离 uxdt , 沿 y 方向移 因而，我们把中心点 动一距离 uydt 。因而，我们把中心点 M 的速度 ux 定义为流体微团的平移运动速度。 和 uy ，定义为流体微团的平移运动速度。
9
线变形运动
13
旋转角速度
y B t M^
∂u x dydt ∂y
t+dt
ρvx dydz
∂( ρvx ) dxdydz ρvx + ∂x
＝
微元体内的 质量变化率
dx x y 微元体及其表面的质量通量
34
连续性方程
1、x方向：dt时间内沿从六面体 x 处与 x+dx 处输 、 方向 方向： 时间内沿从六面体 入与输出的质量差： 入与输出的质量差：
25
涡线
26
涡管
在涡量场中任意画一封闭曲线， 在涡量场中任意画一封闭曲线，通过这条曲线 上的每一点所作出的涡线构成一管状的曲面， 上的每一点所作出的涡线构成一管状的曲面，称为 涡管。 涡管。
27
涡通量
28
涡管强度守恒定理
涡管截面愈小的地方，流体的旋转角速度愈大。 涡管截面愈小的地方，流体的旋转角速度愈大。
31
斯托克斯定理
沿任意封闭曲线s的速度环量等于通过以该曲 沿任意封闭曲线 的速度环量等于通过以该曲 的涡通量。 线为边界的曲面 A 的涡通量。
32
33
第三节 不可压缩流体连续性微分方程
直角坐标系中的连续性方程 直角坐标系中的连续性方程
z dy
质量守恒
输入微元体 输出微元体 的质量流量－ 的质量流量
8
平移运动速度
微团上各点公有的分速度 ux 和uy ，使它们在 dt 时间内均沿 x 方向移动一距离 uxdt , 沿 y 方向移 因而，我们把中心点 动一距离 uydt 。因而，我们把中心点 M 的速度 ux 定义为流体微团的平移运动速度。 和 uy ，定义为流体微团的平移运动速度。
9
线变形运动
13
旋转角速度
y B t M^
∂u x dydt ∂y
t+dt
第七章 理想不可压缩流体无旋运动PPT课件
液体，通常情况下。 气体，低速绕流运动（流速<< 声速），
例如飞机速度<100m/s时。 3）无旋运动：在以上近似下，有势体力场中流体涡旋运动性质
具有保持性，即初始无旋则永远无旋。在流体从静止开始的运 动中和无穷远均匀来流绕流物体的运动等，流动均无旋。此模 型是对一类广泛存在的流动问题的理想近似。
3
1) 流函数可允许相差一任意常数，而不影响流体的运动；
2) (x, y)常数是流线，它的切线方向和速度矢量的方向重合：
根据定义，流线方程为：
dx dy uv
vdxudy0
v u
x
y
dxdy0
x y
d 0
(x, y)常数是流线
18
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
3) 通过曲线NN0的流量等于这两点处流函数的差值：
数学表达
1) 流体运动只在与Oxy平面平行的平面内进行，w=0；
2) 在与Oz轴平行的直线上所有物理量不变，即：
0
z
8
绕无限翼展的流动(平面流动)
9
绕有限翼展的流动(三维流动)
10
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
二、速度势函数
对平面运动：w=0 0 z
i jk
rotv
x y z uv0
二、基本方程组
第一节 引言
V 0
dV dt
F
p
t
0,
V
V
r ,
p
p r
B oundary condition s
方程组求解的困难: (1) 惯性项非线性；(2) 速度v与压力p相互关 联，需要联立求解
4
若运动无旋，则： rotv0
例如飞机速度<100m/s时。 3）无旋运动：在以上近似下，有势体力场中流体涡旋运动性质
具有保持性，即初始无旋则永远无旋。在流体从静止开始的运 动中和无穷远均匀来流绕流物体的运动等，流动均无旋。此模 型是对一类广泛存在的流动问题的理想近似。
3
1) 流函数可允许相差一任意常数，而不影响流体的运动；
2) (x, y)常数是流线，它的切线方向和速度矢量的方向重合：
根据定义，流线方程为：
dx dy uv
vdxudy0
v u
x
y
dxdy0
x y
d 0
(x, y)常数是流线
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第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
3) 通过曲线NN0的流量等于这两点处流函数的差值：
数学表达
1) 流体运动只在与Oxy平面平行的平面内进行，w=0；
2) 在与Oz轴平行的直线上所有物理量不变，即：
0
z
8
绕无限翼展的流动(平面流动)
9
绕有限翼展的流动(三维流动)
10
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
二、速度势函数
对平面运动：w=0 0 z
i jk
rotv
x y z uv0
二、基本方程组
第一节 引言
V 0
dV dt
F
p
t
0,
V
V
r ,
p
p r
B oundary condition s
方程组求解的困难: (1) 惯性项非线性；(2) 速度v与压力p相互关 联，需要联立求解
4
若运动无旋，则： rotv0
工程流体力学第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动
将旋转角速度分量，角变形速度之半代入以上三式，便可将式写 成 ： vxE vx vx dx ( z dy y dz ) ( y dz z dy )
v yE v zE x x 2 2 2 v y dy dz dx dx vy ( x z ) ( z x y 2 2 2 2 v z dz dx dy dy vz ( y x ) ( x y z 2 2 2 2 2 dz ) 2 dx ) 2
1 当 V 0 2
即当流场速度同时满足：
v z v y y z
v x v z z x
v y
v x x y
时流动无旋。
需要指出的是，有旋流动和无旋流动仅由流体微团本身是 否发生旋转来决定，而与流体微团本身的运动轨迹无关。 如图（ a），流体微团的运动为旋转的圆周运动，其微团自 身不旋转，流场为无旋流动；图（ b）流体微团的运动尽管为 直线运动，但流体微团在运动过程中自身在旋转，所以，该流 动为有旋流动。
1 v z v y x 2 y z
1 v x v z y 2 z x
流体微团的旋转角速度定义为:
1 xi y j z k V 2
其中，流体微团的旋转角速度分量及模量为：
流体微团沿z轴的角变形速度分量：
1 1 v y vx z dt 2 dt dt 2 x y
同理，可有流体微团角变形速度之半分量及其模量为：
1 v z v y x y z 2 1 v x v z y 2 z x 1 v y v x z x y 2