《二次函数与一元二次方程、不等式》一元二次函数、方程和不等式ppt
合集下载
《二次函数与一元二次方程、不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT课件
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
解含参数的一元二次不等式
解关于 x 的不等式 ax2－(a＋1)x＋1<0. 【解】 ①当 a＝0 时，原不等式即为－x＋1<0，解得 x>1.
②当 a<0 时，原不等式化为x－1a(x－1)>0，解得 x<1a或 x>1. ③当 a>0 时，原不等式化为x－1a(x－1)<0. 若 a＝1，即1a＝1 时，不等式无解；
三个“二次”之间的关系
若关于 x 的一元二次不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集为
xx<13或x>12，求关于 x 的不等式 cx2－bx＋a>0 的解集．
【解】
a<0， 由题意知13＋12＝－ba，
13×12＝ac，
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
a<0， 所以b＝－56a>0，
c＝16a<0， 代入不等式 cx2－bx＋a>0 中得16ax2＋56ax＋a>0(a<0)． 即16x2＋56x＋1<0，化简得 x2＋5x＋6<0， 解得－3<x<－2， 所以所求不等式的解集为{x|－3<x<－2}．
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
当 a－1＝－a，即 a＝12时，x≠－12， 所以当 a<12时，原不等式的解集为{x|x<a－1 或 x>－a}， 当 a>12时，原不等式的解集为{x|x<－a 或 x>a－1}， 当 a＝12时，原不等式的解集为xx≠－12，x∈R.
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
解含参数的一元二次不等式
解关于 x 的不等式 ax2－(a＋1)x＋1<0. 【解】 ①当 a＝0 时，原不等式即为－x＋1<0，解得 x>1.
②当 a<0 时，原不等式化为x－1a(x－1)>0，解得 x<1a或 x>1. ③当 a>0 时，原不等式化为x－1a(x－1)<0. 若 a＝1，即1a＝1 时，不等式无解；
三个“二次”之间的关系
若关于 x 的一元二次不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集为
xx<13或x>12，求关于 x 的不等式 cx2－bx＋a>0 的解集．
【解】
a<0， 由题意知13＋12＝－ba，
13×12＝ac，
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
a<0， 所以b＝－56a>0，
c＝16a<0， 代入不等式 cx2－bx＋a>0 中得16ax2＋56ax＋a>0(a<0)． 即16x2＋56x＋1<0，化简得 x2＋5x＋6<0， 解得－3<x<－2， 所以所求不等式的解集为{x|－3<x<－2}．
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
当 a－1＝－a，即 a＝12时，x≠－12， 所以当 a<12时，原不等式的解集为{x|x<a－1 或 x>－a}， 当 a>12时，原不等式的解集为{x|x<－a 或 x>a－1}， 当 a＝12时，原不等式的解集为xx≠－12，x∈R.
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
栏目 导引
沪科版数学九年级上册21.3二次函数与一元二次方程 课件(共24张PPT)
第21章 二次函数与反比例函数
21.3 二次函数与一元二次方程
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.理解二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.3.了解用图象法求一元二次方程的近似根的方法.
二次函数图象、性质确定方程的解.
二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.
D
C
3.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3;当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0. ∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4.
归纳小结
1.二次函数与一元二次方程的关系： 一般地，关于x的一元二次方程 的根，就是二次函数 的值为0时自变量x的值，也就是函数 的图像与x轴交点的横坐标.2.二次函数 与x轴交点个数的确定. 可有一元二次方程的根的判别式来表示判定二次函数图象与x轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题.在函数问题中，往往需要解方程：反过来也可以利用函数图象解方程.
思 考： 如何利用二次函数求一元二次方程的近似解.例：求一元二次方程x2+2x-1=0的根的近似值（精确到 0.1）. 分析：一元二次方程x²+2x-1=0的根就是抛物线y=x²+2x-1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
想一想：观察下列二次函数，图象与x轴有公共点吗? 如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少?由此你能得出相应的一元二次方程的根吗?(1) y＝x2＋x－2.(2)y＝x2－6x＋9.(3)y＝x2－x＋1.
21.3 二次函数与一元二次方程
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.理解二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.3.了解用图象法求一元二次方程的近似根的方法.
二次函数图象、性质确定方程的解.
二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.
D
C
3.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3;当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0. ∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4.
归纳小结
1.二次函数与一元二次方程的关系： 一般地，关于x的一元二次方程 的根，就是二次函数 的值为0时自变量x的值，也就是函数 的图像与x轴交点的横坐标.2.二次函数 与x轴交点个数的确定. 可有一元二次方程的根的判别式来表示判定二次函数图象与x轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题.在函数问题中，往往需要解方程：反过来也可以利用函数图象解方程.
思 考： 如何利用二次函数求一元二次方程的近似解.例：求一元二次方程x2+2x-1=0的根的近似值（精确到 0.1）. 分析：一元二次方程x²+2x-1=0的根就是抛物线y=x²+2x-1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
想一想：观察下列二次函数，图象与x轴有公共点吗? 如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少?由此你能得出相应的一元二次方程的根吗?(1) y＝x2＋x－2.(2)y＝x2－6x＋9.(3)y＝x2－x＋1.
人教高中数学必修一A版《二次函数与一元二次方程、不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT教学课件
返回至目录
典例精讲
角度2 参数影响二次项系数与对应方程根的大小
返回至目录
方法指导
含参一元二次不等式的解法
➢ 判定二次项系数是否为零，分别讨论； ➢ 在二次项系数不为零的条件下，讨论判别式与0的关系； ➢ 在有根的情况下进行因式分解或利用求根公式求出对应二次方程的根； ➢ 比较两根的大小，分别得到参数的范围，写出解集； ➢ 综上所述，按照参数的范围分别写出解集．
学习目标
➢ 掌握一元二次不等式在实际应用问题中的应用； ➢ 初步掌握解决实际问题的一般步骤.
返回至目录
典例精讲
题型 一元二次不等式的实际应用
返回至目录
典例精讲
返回至目录
典例精讲
返回至目录
变式训练
返回至目录
方法指导
一元二次不等式实际应用解题的方法： ➢ 选取合适的字母设题中的未知量； ➢ 由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）； ➢ 求解所列出的不等式（组）； ➢ 结合题目的实际意义下结论.
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 第3课时
学习目标 典例精讲 课堂小结 随堂检测
学习目标
➢ 会解含参一元二次不等式.（重难点）
返回至目录
题型1 含参一元二次不等式的解集
角度1 参数影响对应方程根的大小
典例精讲
返回至目录
典例精讲
返回至目录
典例精讲
角度2 参数影响二次项系数与对应方程根的大小
返回至目录
课堂小结
➢一个题型
一元二次不等式实际应用题 注意实际问题的具体范围
返回至目录
随堂检测
返回至目录
随堂检测
返回至目录
典例精讲
角度2 参数影响二次项系数与对应方程根的大小
返回至目录
方法指导
含参一元二次不等式的解法
➢ 判定二次项系数是否为零，分别讨论； ➢ 在二次项系数不为零的条件下，讨论判别式与0的关系； ➢ 在有根的情况下进行因式分解或利用求根公式求出对应二次方程的根； ➢ 比较两根的大小，分别得到参数的范围，写出解集； ➢ 综上所述，按照参数的范围分别写出解集．
学习目标
➢ 掌握一元二次不等式在实际应用问题中的应用； ➢ 初步掌握解决实际问题的一般步骤.
返回至目录
典例精讲
题型 一元二次不等式的实际应用
返回至目录
典例精讲
返回至目录
典例精讲
返回至目录
变式训练
返回至目录
方法指导
一元二次不等式实际应用解题的方法： ➢ 选取合适的字母设题中的未知量； ➢ 由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）； ➢ 求解所列出的不等式（组）； ➢ 结合题目的实际意义下结论.
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 第3课时
学习目标 典例精讲 课堂小结 随堂检测
学习目标
➢ 会解含参一元二次不等式.（重难点）
返回至目录
题型1 含参一元二次不等式的解集
角度1 参数影响对应方程根的大小
典例精讲
返回至目录
典例精讲
返回至目录
典例精讲
角度2 参数影响二次项系数与对应方程根的大小
返回至目录
课堂小结
➢一个题型
一元二次不等式实际应用题 注意实际问题的具体范围
返回至目录
随堂检测
返回至目录
随堂检测
返回至目录
二次函数与一元二次方程、不等式课件(第一课时)-2024-2025学年高一上学期数学必修第一册
y=x2-12x+20
P(x,y)
P(x,y)
x
一元二次不等式的解法
问题2: 基于三个“一次”的思想方法．类似地，要解一元二次不等式，首先要了解这三个
“二次”的关系.
方时, P点纵坐标y的符号是怎样的？
P在x轴上方时: 纵坐标y>0
纵坐标y=0
P在x轴上时:
P在x轴下方时: 纵坐标y<0
y
O
我们在平面直角坐标系中画出二次函数 y=x2-12x+20的图象(右图)
方程x2-12x+20=0的根2和10就是二次函数y=x2-12x+20上纵坐标为0点的横坐标
一元二次不等式的解法
问题2: 基于三个“一次”的思想方法．类似地，要解一元二次不等式，首先要了解这三个
“二次”的关系.
我们在平面直角坐标系中画出二次函数 y=x2-12x+20的图象(右图)
y=x2-12x+20
y
思考4: 一元二次方程x²-12x+20=0的实数根就是二次函数y=x²-12x+20图象
二次函数零点的定义：
对于二次函数y=ax²+bx+c，我们把使ax²+bx十c=0的实数x叫做二次函数
y=ax²+bx十c 的零点，二次函数y=x2-12x+20 的两个零点是2和10.
注意：零点是实数不是点，是函数对应方程的根！
2
10
x
一元二次不等式的解法
问题3: 上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式ax²+bx+c>0(a>0) 和ax2+ bx+c<0 (a>0) 的
人教版数学九年级上册22.2 二次函数和一元二次方程课件(共55张PPT)
当已知二次函数 y 值，求自变量 x值时，可以看作是解对应的一 元二次方程.相反地，由解一元二次方程，又可看作是二次函数值 为0时，求自变量x的值
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
二次函数与一元二次方程、不等式_课件
对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次 不等式或一元一.次不等式组求解，但要注意分母不 为零.
对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先 移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为 零，然后再用上述方法求解.
拓展练习 变式训练2：解下列不等式 ：
∴原不等式的解集 为
拓展练习 变式训练2：解下列不等式 ：
(3){x|x≠2}
2.当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0?大于0?小于 0? （1）y=3x²-6x+2;（2）y=25-x²; （3）y=x²＋6x+10;（4）y=-3x²＋12x-12.
(2) 令25-x²=0，则z=±5，又由y=25-x²图象的开口方向朝下，故z=±5 时 ，函数的值等于0，当-5 (3)令x²＋6z＋10=0，则方程无解，又由y=x²＋6x＋10 图象的开口方向上， 故无论x须何值，函数值均大于0; (4)x=2时，函数的值等于0；当x≠2时，函数值小于 0.
∴原不等式的解集 为
知识拓展
简单高次不等式的解 法
知识拓展 [解析]原不等式等价于x(x+2)(x3)<0. 结合数轴穿针法（如图）可知
[答案]A
拓展练习 变式训练3：解不等式：x(x-1)²(x+1)³(x-2)>0.
∴原不等式的解集 为
1.求下列不等式的解集∶ (1)(x+2)(x-3)>0;(2)3x²-7x≤10; (3)-x²+4x-4<0;(4)x²-x+<0; (5)-2x²+x≤-3;(6)x²-3x+4>0; 答案（1）{x|x<-2,或x>3} (4)不等式的解集为
程
对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先 移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为 零，然后再用上述方法求解.
拓展练习 变式训练2：解下列不等式 ：
∴原不等式的解集 为
拓展练习 变式训练2：解下列不等式 ：
(3){x|x≠2}
2.当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0?大于0?小于 0? （1）y=3x²-6x+2;（2）y=25-x²; （3）y=x²＋6x+10;（4）y=-3x²＋12x-12.
(2) 令25-x²=0，则z=±5，又由y=25-x²图象的开口方向朝下，故z=±5 时 ，函数的值等于0，当-5 (3)令x²＋6z＋10=0，则方程无解，又由y=x²＋6x＋10 图象的开口方向上， 故无论x须何值，函数值均大于0; (4)x=2时，函数的值等于0；当x≠2时，函数值小于 0.
∴原不等式的解集 为
知识拓展
简单高次不等式的解 法
知识拓展 [解析]原不等式等价于x(x+2)(x3)<0. 结合数轴穿针法（如图）可知
[答案]A
拓展练习 变式训练3：解不等式：x(x-1)²(x+1)³(x-2)>0.
∴原不等式的解集 为
1.求下列不等式的解集∶ (1)(x+2)(x-3)>0;(2)3x²-7x≤10; (3)-x²+4x-4<0;(4)x²-x+<0; (5)-2x²+x≤-3;(6)x²-3x+4>0; 答案（1）{x|x<-2,或x>3} (4)不等式的解集为
程
人教A版必修第一册2.3二次函数与一元二次方程、不等式第2课时不等式的解法及应用(共33张PPT)
-
≥0;
+
解:(1)原不等式可化为 (-)( + ) ≥ ,
+ ≠ ,
解得
≤ - 或 ≥ ,
≠- .
所以 x<- 或 x≥ ,
所以原不等式的解集为{x|x<- 或 x≥ }.
数学
(2)
-
>1.
+
解:(2)原不等式可化为
数学
第2课时
不等式的解法及应用
数学
知识探究·素养启发
课堂探究·素养培养
数学
知识探究·素养启发
知识探究
一元二次不等式的解集是 R 或 的含义
[问题1-1] 一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集是全体实数(或恒成立)时,相
对应的二次函数y=ax2+bx+c的图象有什么特征?一元二次不等式ax2+bx+c<0
-3<k≤0.故选 D.
)
数学
2
[变式训练 3-1] 若命题 p:存在 x∈R,使 2kx +kx+ <0 是假命题,则实数 k 的取
值范围为
.
2
解析:由命题 p 为假命题可知﹁p“∀x∈R,2kx +kx+ ≥0 恒成立”为真命题.
当 k=0 时满足题意;当 k≠0 时,则
> ,
所以 m<
-+
因为函数 y=
.
《二次函数与一元二次方程、不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT优质教学课件
因为
方程=0的解为
则二次函数草图为
不等式的解集为
不等式的解集为
不等式的解集为R
不等式的解集为
不等式的解集为
不等式的解集为
不等式的解集为R
不等式的解集为
不等式的解集为
不等式的解集为
方法指导
SCQ NO.1 MIDDLE SCHOOL
解一元二次不等式的一般方法化标准：不等式右侧化为0，二次项系数化为正整数.判别式：确定对应一元二次方程有无实根.求实根：若有根，求根. 作草图：作出对应二次函数的草图.写解集：结合图像写一元二次不等式的解集.
实数
特别提醒：（1）二次函数的零点不是点，是二次函数图象与轴交点的横坐标. （2）一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点.
A
3.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的对应关系
设 ，方程 的判别式
判别式
解不等式 或 的步骤
求方程 的根
SCQ NO.1 MIDDLE SCHOOL
课堂小结
SCQ NO.1 MIDDLE SCHOOL
图像法解一元二次不等式
利用“三个二次的关系”求参数
一元二次不等式
三个基本知识
二次函数的零点
“三个二次”之间的关系
两个题型
教材认知
SCQ NO.1 MIDDLE SCHOOL
1.一元二次不等式一般地，我们把只含有_______未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是__________________或 ，其中 、 、 均为常数， .
一个
C
2.二次函数的零点一般地，对于二次函数 ，我们把使 成立的_________的值叫作二次函数 的零点.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课前篇
自主预习
一
二
3.做一做
2
2
2
>0.其
已知下列不等式:①ax +2x+1>0;②x -y>0;③-x -3x<0;④ 2 -3
)
中是一元二次不等式的个数为(
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:①中当a=0时,它不是一元二次不等式;②中有两个未知数,
它不是一元二次不等式;③是一元二次不等式;④是分式不等式.
(4)因为 x2-2x+2=0 的判别式 Δ<0,所以方程 x2-2x+2=0 无解.又因为函数
y=x2-2x+2 的图象是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集为 R.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
随堂演练
反思感悟 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)化标准.通过对不等式的变形,使不等式的右侧为0,使二次项系
不等式,称为一元二次不等式.
(2)形式:
①ax2+bx+c>0(a≠0);
②ax2+bx+c≥0(a≠0);
③ax2+bx+c<0(a≠0);
④ax2+bx+c≤0(a≠0).
(3)解集:一般地,使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不
等式的解,一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次
不等式的解集.
一元二次函数、方程和不等式
2.3
二次函数与一元二次方程、不等式
-1-
首页
课标阐释
思维脉络
1.了解一元二次不
等式的现实意义.
2.能够借助一元二
次函数求解一元二
次不等式;并能用
集合表示一元二次
不等式的解集.
3.借助一元二次函
数的图象,了解一
元二次不等式与相
应函数、方程的联
系.
课前篇
自主预习
一
二
一、一元二次不等式的概念
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
随堂演练
1
2
解:(1)方程 2x2-3x-2=0 的解是 x1=- ,x2=2.
因为对应函数的图象是开口向上的抛物线,
1
所以原不等式的解集是 < - 2 或 > 2 .
(2)不等式可化为 3x2-6x+2<0.
因为 3x2-6x+2=0 的判别式 Δ=36-4×3×2=12>0,所以方程 3x2-6x+2=0 的
交点(相切),没有交点(相离).可以通过对应一元二次方程的判别式Δ
与0的关系来判断.
课前篇
自主预习
一
二
2.填空
二次函数与一元二次方程、不等式的解集的对应关系
Δ>0
Δ=0
Δ<0
判别式 Δ=b2-4ac
ax2+bx+c=0(a>0) 有两个不相等的 有两个相等的 没有实
的根
实数根 x1,x2
实数根 x1=x2 数根
1.从未知数的个数以及未知数的最高次数看,不等式x2-2x3>0,x2+5x≤0,-3x2-6x+1<0,4x2-1≥0等有什么共同特点?
提示:它们只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2.
课前篇
自主预习
一
二
2.填空
一元二次不等式的概念及形式
(1)概念:我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的
上述各种情况下函数图象与x轴有什么关系?
提示:当x=0或x=5时,y=0.此时图象与x轴交于两个点(0,0)和(5,0);
当0<x<5时,y<0,函数图象位于x轴下方,此时x2-5x<0;
当x<0或x>5时,y>0.此时函数图象位于x轴上方,此时x2-5x>0.
课前篇
自主预习
一
二
(3)对任意的一元二次不等式,求解集的关键点有哪些?
(2)由题意知不等式对应方程的两个根是3和7,且对应的二次函数
的图象是开口向上的抛物线,故不等式的解集是{x|3<x<7}.
.
.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
随堂演练
一元二次不等式的求解
例1解下列不等式:
(1)2x2-3x-2>0;
(2)-3x2+6x-2>0;
(3)4x2-4x+1≤0;
(4)x2-2x+2>0.
分析:先求出对应一元二次方程的解,再结合对应的二次函数的
图象写出不等式的解集.
课堂篇
探究学习
y=ax2+bx+c(a>0)
的图象
ax2+bx+c>0(a>0)
的解集
ax2+bx+c<0(a>0)
的解集
b
x x≠2a
{x|x<x1 或 x>x2}
{x|x1<x<x2}
⌀
R
⌀
课前篇
自主预习
一
二
3.做一做
(1)不等式x2-2x>0的解集是
(2)不等式x2+3x+6<0的解集是
答案:(1){x|x>2或x<0} (2)⌀
答案:A
课前篇
自主预习
一
二
二、一元二次不等式的解法
1.(1)什么叫二次函数y=ax2+bx+c的零点?零点是点吗?
提示:把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.
零点不是点,是一个实数.零点就是函数对应方程的根.
(2)二次函数y=x2-5x的图象如图所示.
当x为何值时,y=0?当x为何值时,y<0?当x为何值时,y>0.
3
3
3
3
解是 x1=1- ,x2=1+ .
因为函数 y=3x2-6x+2 的图象是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集
3
3
是 1- 3 < < 1 + 3 .
1
(3)方程 4x2-4x+1=0 的解是 x1=x2=2,函数 y=4x2-4x+1 的图象是开口向上
1的抛物线,所以原不等式的来自集是 = 2 .数为正.
(2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解,若不能分解,则计算对
应方程的判别式.
(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程
无实根.
(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草
图.
(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
变式训练1解下列不等式:
提示:①抛物线y=ax2+bx+c与x轴的位置情况,也就是一元二次方
程ax2+bx+c=0的根的情况;②抛物线y=ax2+bx+c的开口方向,也就
是a的正负.
(4)抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴的相关位置有哪些情况?如何
用一元二次方程来说明这些位置关系?
提示:抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴可能有两个交点(相交),一个
(1)4x2-20x<-25;
(2)(x-3)(x-7)<0;
(3)-3x2+5x-4<0;
(4)x(1-x)≥x(2x-3)+1.
探究四
思维辨析
随堂演练
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
随堂演练
解:(1)不等式可化为4x2-20x+25<0,由于Δ=0,且对应的二次函数
的图象是开口向上的抛物线,所以不等式的解集是⌀.