高中数学必修5第一章解三角形的进一步讨论

1．1．3解三角形的进一步讨论
（一）教学目标
1．知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

2. 过程与方法:通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。

3.情态与价值：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。

（二）教学重、难点
重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。

（三）学法与教学用具
学法：通过一些典型的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法。

教学用具：教学多媒体设备
（四）教学设想
[创设情景]
思考：在∆ABC 中，已知22a cm =，25b cm =，0133A =，解三角形。

（由学生阅读课本第9页解答过程）
从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。

下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。

[探索研究]
例1．在∆ABC 中，已知,
,a b A ，讨论三角形解的情况 分析：先由sin sin b A B a =
可进一步求出B ； 则0180()C A B =-+ 从而sin a C c A
= 1．当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解。

2．当A 为锐角时，
如果a ≥b ，那么只有一解；
如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若sin a b A >，则有两解；
（2）若sin a b A =，则只有一解；
（3）若sin a b A <，则无解。

（以上解答过程详见课本第9 10页）
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A 为锐角且 sin b A a b <<时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。

[随堂练习1]
（1）在∆ABC 中，已知80a =，100b =，045A ∠=，试判断此三角形的解的情况。

（2）在∆ABC 中，若1a =，12
c =，040C ∠=，则符合题意的b 的值有_____个。

（3）在∆ABC 中，a xcm =，2b cm =，045B ∠=，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围。

（答案：（1）有两解；（2）0；（3
）2x <<）
例2．在∆ABC 中，已知7a =，5b =，3c =，判断∆ABC 的类型。

分析：由余弦定理可知
222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形
∆
（注意：是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆）
解：222753>+ ，即222a b c >+，
∴ABC 是钝角三角形∆。

[随堂练习2]
（1）在∆ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，判断∆ABC 的类型。

（2）已知∆ABC 满足条件cos cos a A b B =，判断∆ABC 的类型。

（答案：（1）ABC 是钝角三角形
∆；（2）∆ABC 是等腰或直角三角形）
例3．在∆ABC 中，060A =，1b =，求sin sin sin a b c A B C
++++的值 分析：可利用三角形面积定理111sin sin sin 222
S ab C ac B bc A ===以及正弦定理 sin sin a
b A B =sin c
C ==sin sin sin a b c A B C
++++ 解：由1sin 22
S bc
A ==得2c =， 则2222cos a b c bc A =+-=3，即a =
从而sin sin sin a b c +++
+2sin a == [随堂练习3]
（1）在∆ABC 中，若55a =，16b =，且此三角形的面积S = C
（2）在∆ABC 中，其三边分别为a 、b 、c ，且三角形的面积2224a b c S +-=
，求角C
（答案：（1）060或0120；（2）045）
[课堂小结]
（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
（2）三角形各种类型的判定方法；
（3）三角形面积定理的应用。

（五）评价设计（课时作业）
（1）在∆ABC 中，已知4b =，10c =，030B =，试判断此三角形的解的情况。

（2）设x 、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x 的取值范围。

（3）在∆ABC 中，060A =，1a =，2b c +=，判断∆ABC 的形状。

（4）三角形的两边分别为3cm ，5cm,它们所夹的角的余弦为方程25760x x --=的根， 求这个三角形的面积。