关于最值问题的探讨
与二次函数有关的离散型最值问题的探讨
与二次函数有关的离散型最值问题的探讨二次函数与二次方程，二次不等式联系紧密，一脉相承.此类问题的解决方法多，技巧强，解题思路灵活多变，因此在高考中一直作为把关题出现，以体现对学生能力的考查.本文从离散型系数的二次函数问题出发，谈谈对此类问题最值的常见解法.例1、设k m ,为整数，方程0222=+-kx mx 在区间)1,0(内有两个不同的根，则k m +的最小值为 .分析：记函数22)(2+-=kx mx x f ，由题意得： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-=∆∈>+-=>=084)1,0(022)1(02)0(2m k m k k m f f ，化简得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<->+->>0200220,02m k m k k m k m ，作出可行域如下： 易得)2,2(A ，令3=k ，代入m k 22=和022=+-k m 依次得29=m 和4=m ，显然它们之间无整数解；令4=k ，代入m k 22=和022=+-k m ，依次得8=m 和6=m ，显然它们之间有一整数解7，即此时4=k ，7=m ，所以k m +的最小值为11.总结：根据题目所给的条件，列出关于k m ,不等式组，作出可行域，再在可行域里找出满足条件的整点坐标即可.这种方法也是我们处理双变量问题的常见方法，在高考中屡见不鲜.例2、二次函数c bx ax x f ++=2)(的系数均为整数，若)2,1(,∈βα，且βα,是方程0)(=x f 两个不等的实数根，则最小正整数a 的值为 ． 分析：由题意得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-=∆∈->++=>++=04)2,1(2024)2(0)1(2ac b a b c b a f c b a f ，这里有三个变量，显然利用刚才的方法无法解决，如果从不等式的性质出发，推出a 的范围，似乎又小题大做了，并且推导的过程并不轻松.那么有什么简洁的方法呢？考虑到系数均为整数，且0>a ，由题意0)2(,0)1(>>f f ，且Z f f ∈)2(),1(，所以1)2(,1)1(≥≥f f .设))(()(21x x x x a x f --=，代入得，1)1)(1(21≥--x x a ，1)2)(2(21≥--x x a ，两式相乘得：222111)2)(1)(2)(1(ax x x x ≥----，又 1614)]2()1[(4)]2()1[()2)(1)(2)(1(2222112211=-+-⋅-+-≤----x x x x x x x x ，① 162≥∴a ，又①式等号取不到，从而252≥∴a ，故a 的最小值为5，下面验证5=a 时是否成立，令1)2(,1)1(==f f ，解得11,15=-=c b ，此时方程为0111552=+-x x.其两根为10515±，显然满足条件. 上述方法技巧性强，学生不易想到，作为一道填空题，学生能否“蒙”出答案呢？ 因为要求a 的最小值，在同一坐标系下，a 决定了抛物线的“陡峭程度”（函数值变化的快慢），a 越大，图像越陡峭，a 越小，图像越平缓，进一步思考，抛物线的陡峭程度事实上决定了)1(f 和)2(f 的函数值的大小. 即a 越大，图像越陡峭，此时)1(f 和)2(f 的函数值越大，a 越小，图像越平缓.，)1(f 和)2(f 的函数值越小.又系数均为整数，且0>a ，由题意0)2(,0)1(>>f f ，且Z f f ∈)2(),1(，所以1)2(,1)1(≥≥f f .所以)1(f 和)2(f 的函数值的最小值为1，将问题特殊化，令1)2(,1)1(==f f 得124,1=++=++c b a c b a ，解得233,21c b c a -=-=，又042>-ac b ，代入得09102>+-c c ，9>∴c ，再考虑到21-=c a ，所以c 取11，此时15,5-==b a ，验证知其成立.总结：在对函数图像充分认识的基础上，利用特殊值解决整系数问题，显得简洁高效，希望同学们用心体会.练习、已知c b a ,,为正整数，函数c bx ax x f ++=2)(存在两个不同的零点分别为)(,2121x x x x ≠，且1||,1||21<<x x ，则c b a ++的最小值为 .分析：考虑到c b a ,,为正整数，则0,02121>=⋅<-=+ac x x a b x x ，从而)0,1(,21-∈x x .采用特殊值，令1)0(,1)1(==-f f ，得1,==c b a ，又ac b 42>，从而a a a a ∴>∴>,4,42的最小值为5，所以c b a ++的最小值为11.此时1,5===c b a ，函数的两个零点为10521±-，显然符合条件. 总结：在高考分秒必争的考试环境中，每一分钟都显得至关重要，快速准确的解题是教师和学生追求的目标.本文对二次函数有关的离散型最值问题进行了探讨，将复杂的问题简单化，从而节省了同学们在考场上的时间，希望对高三的学生有所帮助.。
高中数学有关分式型最值问题的探讨人教版
关于求fex dx c bx ax y ++++=22型最值问题的方法初讨株洲市第四中学 欧晓东对于fex dx c bx ax y ++++=22型的最值类问题一直是学生的难点，主要的原因是学生对这类问题缺乏归纳总结。
笔者通过不断观察、分析，特对这类问题的方法探讨总结得出其大致可分为三类〔指分子分母的最高次数〕：分子的次数比分母的次数高；分子的次数比分母的次数低；分子的次数等于分母的次数；具体解决方法如下：一、 分子的次数比分母的次数高对于这类问题常可转化成利用均值不等式的形式，具体方案是造分母。
例1、当1->x 时，求函数1)2)(5(+++=x x x y 的最小值。
解:∵1)2)(5(+++=x x x y =14)1(5)1(110722+++++=+++x x x x x x 514)1(++++=x x ∵ x>-1 ∴ x+1>0 ∴14)1(+++x x ≥4 ∴ y ≥9 〔当且仅当x+1=14+x 即x=1时取等号〕 二、 分子的次数比分母的次数低我们在解方程时往往是化多元为二元、化二元为一元，采取的是划归的思想。
鉴于此，这类问题常可化归成第一类问题来解决。
例2、求)0(160039202>++=x x x x y 的最大值。
方案一：∵x ≠0 ∴xx x y 9201600312++= 这样一来问题就划归成了分子的次数比分母的次数高类的问题了〔具体过程略〕；方案二：∵x ≠0 ∴31600920160039202++=++=xx x x x y 所以问题转化成求31600'++=xx y 的最值问题了。
观察发现此类问题都是转化分子分母的关系从而化归。
于是此类题也可提炼出自己的规律，方法类似。
具体方案是造分子。
例3、求)8050()40()50(1025≤<--=x x x y 的最大值。
分析：∵x ≠50 ∴100)50(20)50()50(10)40()50(102525+-+--=--=x x x x x y ∴2050100)50(105+-+-=x x y 三、 分子的次数等于分母的次数如果分子的次数等于分母的次数，这类问题较为复杂：分如下几种情况：〔1〕、自变量的X 围是全体实数，常采用判别式法；〔2〕自变量的X 围不是全体实数，那么常结合根的分布来讨论或分离常数〔变量〕。
数学圆和(面积)的最值问题
数学圆和(面积)的最值问题数学圆的最值问题引言数学中，圆是一个重要的几何概念。
在研究圆的性质和应用时，我们经常会遇到关于圆的最值问题，即在一定的条件下，如何找到圆的面积或其他性质的最大值或最小值。
本文将探讨数学圆的最值问题，并介绍一些解决这类问题的方法和策略。
圆的面积最值问题在圆的最值问题中，我们常常涉及到最大面积和最小面积两种情况。
下面分别讨论这两种情况。
圆的最大面积当我们固定圆的半径时，要找到圆的最大面积，需要确定这个半径的取值范围。
根据数学知识，圆的面积公式为：A = πr²，其中π是一个常数，r代表半径。
当半径r取值为正数时，圆的面积是一个关于r的增函数。
因此，我们可以通过求导数的方法来找到最大面积。
具体步骤如下：1.对面积公式A = πr²求导，得到A' = 2πr。
2.令A' = 0，解方程得到r的临界点。
3.将临界点带入面积公式，找到最大面积。
圆的最小面积当我们固定圆的周长时，要找到圆的最小面积，也需要确定周长的取值范围。
根据数学知识，圆的周长公式为：C = 2πr。
由于周长是一个固定值，我们可以将周长公式改写为：r = C / (2π)，然后将该式代入圆的面积公式A = πr²中，得到面积的表达式只包含C一个变量。
通过对这个新的面积表达式进行求导和求临界点，可以找到圆的最小面积。
结论数学圆的最值问题是一个有趣且实用的数学问题。
通过应用求导等数学方法，我们可以找到圆的最大面积和最小面积。
在实际应用中，我们可以将这些方法应用于设计圆形物体的最优尺寸、优化圆形线路的长度等问题中，为实际生活带来便利和效益。
参考文献：数学圆的性质与应用，XXX，XX出版社，20XX年。
数学分析教程，XXX，XX出版社，20XX年。
以上是本文对数学圆的最值问题的讨论和总结，希望对读者有所帮助。
高中数学解三角形最值与范围问题探讨
高中数学解三角形最值与范围问题探讨摘要：解三角形是高考中的重点题型，对正弦定理和余弦定理的考查比较灵活，且题型多变，多与三角形周长，面积有关，而三角形中的最值与范围问题又是一个重点。
本文主要探究解三角形中求取最值和范围问题的解法，本文给出三种解法，并对比几种方法优劣。
关键词：高考数学；解三角形；正弦定理；余弦定理；解三角形是高考中的重点题型，也是高考数学的高频考点。
解三角形对正弦定理和余弦定理的考查比较灵活，题型多变，多与三角形周长，面积有关；有时也会与平面向量，三角恒等变换，不等式等结合考查。
而三角形中的最值与范围问题又是一个重点。
处理这个最值问题解决方法主要有三种：(1)利用正弦定理和三角函数有界性：已知一边及其对角，可利用正弦定理求出2R（R为外接圆半径），再通过边角互化和代入消元的方式，将多变量的表达式转化为关于角B或角C的函数，再利用降幂公式，辅助角公式等进行化简，建立目标函数后，问题将转化为三角函数求值域（最值）问题。
(2)利用基本不等式和余弦定理：根据余弦定理并配合基本不等式可求解的最值问题。
(3)利用数形结合和极限思想：已知三角形一边及其对角可知三角形外接圆半径，在该圆上固定三角形一边，根据同弧所对的圆周角相等可知该边所对应顶点在圆上运动，根据圆的对称性和极限思想可得取值范围或最值。
下面给出例题，探讨几种方法的优劣：题型一：已知三角形一边及其对角例1：在 ABC中，有，若，求 ABC周长的取值范围。
解：推出A=法一：（利用三角函数有界性和正弦定理）周长 +2R（sinB+sinC）(B+C= )= +2（sinB+sin( )）==由于，则，则周长L=的范围 .法二：（利用基本不等式和余弦定理）解：由题意可得：L= +a+b由余弦定理 ,因为，所以则 ,而三角形中两边之和大于第三边则 ,则周长L= +a+b取值范围 .法三：（数形结合与极限思想）已知一边及其对角可得三角形外接圆半径为1，画出外接圆并在圆上固定A 角所对边BC，根据同弧所对的圆周角相等可得三角形一顶点A在圆上运动，根据圆的对称性可得，当A点运动到优弧的中点A’处时，此时三角形ABC周长最大，此时三角形ABC为等腰三角形。
初中数学最值问题解题策略与技巧
初中数学最值问题解题策略与技巧【摘要】本文将探讨初中数学最值问题的解题策略与技巧。
文章将介绍最值概念并探讨其在数学问题中的应用。
接着，将详细讲解求解最值问题的基本步骤，并总结常见类型最值问题的解题技巧。
还将介绍如何利用代数方法和图像法解决最值问题。
结论部分将总结初中数学最值问题解题策略，强调练习对掌握解题技巧的重要性，并提出培养数学思维、提高解题能力的建议。
通过本文的学习，读者将更好地掌握解决最值问题的方法，提升数学学习成绩和解题能力。
【关键词】初中数学、最值问题、解题策略、技巧、概念、基本步骤、常见类型、代数方法、图像法、总结、练习、数学思维、解题能力。
1. 引言1.1 初中数学最值问题解题策略与技巧初中数学最值问题是学生在学习数学时经常遇到的难题之一，解题的策略与技巧对于学生的数学能力提高至关重要。
掌握解决最值问题的方法，不仅能够提高学生的解题速度，还可以锻炼学生的数学思维和逻辑推理能力。
最值概念在数学中是指在一组数中的最大值和最小值。
解决最值问题首先要对这一概念有清晰的理解，并能灵活运用到解题过程中。
而求解最值问题的基本步骤包括确定问题类型、建立数学模型、分析问题求解方式、检验答案的正确性等。
在解题过程中，常见类型最值问题的解题技巧包括利用函数最值性质、利用代数方法求解等。
学生可以通过掌握这些技巧来提高解题效率。
利用图像法也是解决最值问题的重要方法之一，通过绘制函数图像或几何图形来找到最值点。
初中数学最值问题解题策略与技巧的掌握需要不断的练习和实践。
只有通过大量的练习，才能真正掌握解题方法并提高解题能力，培养学生的数学思维，让他们在面对各种复杂的最值问题时能够游刃有余、灵活应对。
最终，希望学生们能通过解决最值问题，提高数学解题能力，为将来的学习和发展打下坚实基础。
2. 正文2.1 最值概念理解与应用最值概念在数学中是指一组数中的最大值和最小值。
在解决最值问题时，首先需要理解最值的概念并掌握其应用方法。
一个最值问题的探讨
－ －
，
垂 直 ）如 图 ２ 若 Ｐ ： ， 点 位 于 射 线 Ｏ 上 Ｎ
时Ｐ 朋 鲁 不 ，≥ ， Ａ
可得
ｐ ２ Ａ
可能是最小值 ， Ｐ 当 点在 射线 Ｏ 上 时 ， 设 Ｏ Ｏ ｒＯ ＝ Ｍ Ａ＝ Ｂ＝ ， Ｐ ｍ， ／ －ＡＯＰ＝ａ，厶 ＢｏＰ ， 显然 ． 由余弦定理
图１
，
线段 及 ， 并计算 出 Ｐ Ａ 的值 然后在 ｚ
上拉动 Ｐ点 ， 观察这 个 比值 的变化 ， 确定使
２０ 年第 １ 期 ０８ ０
中学数学月刊
Ｍ ＮＢ ’
・４ ・ ５
这个 比值达到最大 的点 和达到最小 的点 Ⅳ 改变 Ａ和 的位置多次进行这样的观察 ， ． 笔者发现 ， Ｍ Ｎ和 ／Ｍ Ｎ总是直角 ， ／ Ａ ＿ ＿ Ｂ 如图
一 ２ ２ ２ｍｅｓ —＋ｍ ｒ ｏｆ ； — ｌ ｒ
＝ —
—
图２
ｂｏ ＋ 争 ＝ｔ ｃ ， ｃＣ ｏ ｔ 争ｃ ． ＋争 ｏ ｔ
ｃ＝ｃｏ ｔ
设 ＡＡ Ｃ的面 积 Ｂ 为 Ｓ则 ，
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＝ｃ。ｔ
ｒ＋ － ｒ ２ ｍ２ ２ ｍ
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（） １
争ｃ ＋ ＋ 争ｃ 。 。 ｔ ｔ
围
＿ ｙ
０ 而且有渐近曲线——抛物线 ） ， ， ， 象这样 既有渐近直线 ， 又有渐近曲线的函数 ， 我们往 往会犯只注意它有渐近直线而忽视它有渐近 曲线 的 错 误 ． 如 在 画有 理 分 式 函数 ） 例 ， ＝
如有人 在 画 ， ， ＝ 冉 （＞ ）的图象 ｃｏ 时， 忽视了曲线 的渐
高中数学立体几何中的最值问题
高中数学立体几何中的最值问题在高中数学的学习中，立体几何一直是一个重点和难点，而其中的最值问题更是让许多同学感到头疼。
这类问题往往需要我们综合运用空间想象力、几何知识以及数学方法来求解。
接下来，让我们一起深入探讨立体几何中的最值问题。
一、常见类型及解法1、距离最值问题（1）两点间距离最值在立体几何中，求两点间距离的最值，常常需要我们将空间中的两点转化到同一平面内。
例如，在长方体中，求异面直线上两点的最短距离，就需要通过平移将其转化为共面直线，然后利用平面几何中的知识求解。
（2）点到直线距离最值求点到直线的距离最值时，通常要找到点在直线上的投影。
如果直线是某一平面的斜线，那么可以通过作垂线找到投影，再利用勾股定理计算距离。
（3）点到平面距离最值对于点到平面的距离最值，一般可以利用空间向量法。
先求出平面的法向量，然后通过向量的数量积来计算点到平面的距离。
2、面积最值问题（1）三角形面积最值在立体几何中，涉及三角形面积的最值问题，可能需要考虑三角形的边长关系或者角度大小。
例如，已知三角形的两边及其夹角，当夹角为直角时，面积最大。
（2）四边形面积最值对于四边形，如平行四边形，其面积可以表示为底边乘以高。
当底边长度固定时，高取得最大值时面积最大；或者当四边形的对角线相互垂直时，面积等于对角线乘积的一半。
3、体积最值问题（1）柱体体积最值对于柱体，如圆柱、棱柱，其体积等于底面积乘以高。
当底面积不变时，高最大则体积最大；反之，高最小时体积最小。
（2）锥体体积最值锥体体积为三分之一底面积乘以高。
在求解锥体体积最值时，需要关注底面积和高的变化。
二、例题分析例 1：在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E、F 分别是棱AB、BC 的中点，求点 A1 到直线 EF 的距离。
解：连接 A1C1、C1F、EF，因为 A1C1 平行于 EF，所以点 A1 到直线 EF 的距离等于点 A1 到直线 C1F 的距离。
初中数学中最值问题解法的探讨
初中数学中最值问题解法的探讨【摘要】仔细斟酌多年中考试题不难发现最值问题是历来各地中考关注的热点，也是初中数学中比较常见的题目。
而此类题目的灵活性较强，有着极为丰富的内涵，它涉及的知识面广，综合性强，解法颇具有技巧性。
纵观近几年的数学中考试卷，“最值”问题不仅出现在解答题中，而且在填空、选择题中也多有涉及，可以说“最值”问题成为了的初中数学学习的热门内容。
为了让学生尽量减少在此类题目的失分率，我认为很有必要研究一下初中数学中最值问题的基本解法和对其的灵活运用。
我通过多年教学经验的积累，总结出最值问题的常用方法有“配方法、运用一次函数的性质、运用二次函数性质、运用基本不等式”。
本文举例介绍初中数学中有关最值问题的一些常用的方法和运用，仅供参考。
【关键词】初中数学最值问题配方法一次函数性质二次函数性质基本不等式求最值问题是一类常见的题型，这类问题没有固定的公式，需要结合图形集体分析后，灵活的运用各种数学思想、方法和解题技巧才能顺利的走出“最值”的问题，找到解题的途径。
而且仔细斟酌多年中考试题不难发现最值问题是历来各地中考关注的热点，此类题目的灵活性较强，有着极为丰富的内涵，它涉及的知识面广，综合性强，解法颇具有技巧性。
纵观近几年的数学中考试卷，“最值”问题不仅出现在解答题中，而且在填空、选择题中也多有涉及，可以说“最值”问题成为了的初中数学学习的热门内容。
为了让学生尽量减少在此类题目的失分率，我认为很有必要研究一下初中数学中最值问题的基本解法和对其的灵活运用。
本文通过我多年教学经验的积累总结，举例介绍出最值问题的一些常用的方法，仅供参考。
１运用配方法来求解最值问题配方法是中学数学解题中一种重要的方法，通常用于解一元二次方程及其演变而来的题型。
再求最值问题中也有着广泛的应用，而学生却经常忘记或者忽视这种方法。
在求最值问题时，通过配方，将代数式变形成“完全平方式”的形式，最后利用完全平方式在实数范围内具有非负性确定最值。
处理高中数学最值问题的方法探析
的取 值范 围进行讨论 ， 去 掉绝对值 ， 从 而简化题 目 ， 找
高中数 学内容 涉及很多 的公式 ， 尤其 是 三角 函数公 式非 常多 ， 使得学 生在三角 函数求最值 的题 型 中感觉无 从 下手 ，所 以高 中数 学教 师需要 帮助学生 灵活运 用公 式， 通过公 式变换 ， 利用函数的有界性求解最值．
则 函 ） 在 （ 一 ∞ ， ａ ］ 上 的 最 小 值 为 ） （ ÷ １ ＿ 叶 ． 依据具体条件求出最值．
２ ０ １ ５ 年 ９ 月
解 析 ） ＝ ｓ ｉ ｎ ＋ ２ ｓ ｉ 似ｃ 。 眦＋ ３ ｃ 。 ｓ ＝ ＋ ｓ ｉ ｎ ＋
… 究 鍪
生在 利 用数 列 知 识 解 题 时 总 感 觉 力 不从 心 ， 无 法 找 到 正
ｆ （ ｘ ） 的最小值．
二、 根 据实 际情况 灵活 变换 数 学公 式 ， 借
卧 千 函 的 右 界 十 牛 卜 王 ｌ 目 晶信 ｆ ＝ － － ］ 颢
ห้องสมุดไป่ตู้
思路 分析 ： 由题 目中的已知 条件可知 ： 题 目中既 含 有 未知参数ａ ， 又含有绝对值 ， 解题 的关键是对未知参数
功率 。 体 现 了 函数 模 型 处 理 极 值 ｆ ， － ＇ Ｉ 题 的 优 越 性．
其他 知识点的联系也 比较 紧密 ， 在求解最值方 面也 不例
外． 高 中数学教 师在 指导学 生解 此类题 型 时 ， 应 引导 学
生善于建立函数模型 ， 利用 函数思想求解最值． 例１ 已知ａ 为实 数 ， 函数厂 （ ） ＋ ｉ ｘ — ａ ｌ ＋ ｌ ， 求 函数
例２ 已知 函数 厂 （ ） ＝ ｓ ｉ ｎ Ｚ ｘ ＋ ２ ｓ ｉ ｃ ｏ ＋ ３ ｃ ０ ｓ ， ∈Ｒ，
高考数学导数：极值与最值问题解析
高考数学导数：极值与最值问题解析在高考数学中，导数部分的极值与最值问题一直是重点和难点，也是许多同学感到头疼的知识点。
但其实，只要我们掌握了正确的方法和思路，这类问题也并非不可攻克。
接下来，让我们一起深入探讨一下高考数学中导数的极值与最值问题。
一、极值与最值的基本概念首先，我们要明确极值和最值的定义。
极值是指函数在某个局部范围内的最大值或最小值。
也就是说，在函数的某个区间内，如果在某一点处的函数值比它附近其他点的函数值都大（小），那么这个点对应的函数值就是极大值（极小值）。
而最值则是指函数在整个定义域内的最大值或最小值。
需要注意的是，极值不一定是最值，最值也不一定是极值。
例如，函数在一个区间内可能有多个极值，但只有一个最大值和一个最小值。
二、求极值的方法1、求导数这是解决极值问题的关键步骤。
对于给定的函数，我们先对其求导，得到导函数。
2、令导数为 0求出导函数后，令其等于 0，解出这些方程的根。
这些根就是可能的极值点。
3、判断极值点通过导数的正负来判断极值点的类型。
如果在极值点的左侧导数为正，右侧导数为负，那么这个点就是极大值点；反之，如果在极值点的左侧导数为负，右侧导数为正，那么这个点就是极小值点。
例如，对于函数 f(x) ＝ x³ 3x²＋ 2，其导函数为 f'（x) ＝ 3x² 6x。
令 f'（x) ＝ 0，解得 x ＝ 0 或 x ＝ 2。
当 x ＜ 0 时，f'（x) ＞ 0；当 0 ＜x ＜ 2 时，f'（x) ＜ 0；当 x ＞ 2 时，f'（x) ＞ 0。
所以，x ＝ 0 是极大值点，极大值为 f(0) ＝ 2；x ＝ 2 是极小值点，极小值为 f(2) ＝－2。
三、求最值的方法1、求出函数在区间内的极值按照前面提到的求极值的方法，找出函数在给定区间内的所有极值。
2、求出区间端点处的函数值将区间的端点代入函数，得到相应的函数值。
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最值问题 是高中阶段的一个很重要的问题 , 本文主要探讨高 中阶段常 见的最值问 题 , 以 期对高中 最值 ; 函数 ; 不等式 ; 复数 [ 文献标识码 ] A _ [ 文章编号 ] 1009- 2323( 2006) 01- 0088- 02 1 [ y< 2 2 1 _ ymi n = 2 3. 利用判别式来求的最值问题 此类函数最值问题的一个重要前提是函数的定义域是 全体实数。 x2 - x 例 4 求函数 y= 2 的最小值 x - x+ 1 1 2 3 解 : 由题意 x2 - x + 1= ( x) + > 0 xI R 2 4 将原函数变形为 ( y- 1) x 2 - ( y- 1) x + y= 0 ^ yX 1 _ y- 1 X 0 1 由判别式大于或等于零得 [ y< 1 3 1 _ ymi n = 3 4 1 三角函数中的最值问题 三角函数的最 值问 题是 三角 函 数基 础知 识的 综 合应 用 , 在近几年的高 考中是一 个重要 内容。下面 将这类 问题 归纳如下 : ( 1) y = asinx+ bcosx 型 的函数 b 此类函数可化为 y = a2 + b2 sin( x + <) , tan<= a P P 例 5 当[ x[ 时 , 求函 数 y = sinx + 3cosx 的 2 2 最大值和最小值。 P 解 : y = sinx + 3cosx= 2sin( x + ) 3 - P [ x[ P 2 2 P P 5P _ [ x+ [ 6 3 6 _ ym an = 2, ymin = - 1 ( 2) y = a sin2 x + bsinxco s+ ccos 2 x 型的函数 此类函数可先降 次 , 整理 再化 为求 形为 y = A sin2x + Bcos2x 的最大值和最小值。 例 6 求函数 y= sin2 x co sx+ 3cos 2 x 的最大值。 解 : y= sin 2 x+ cos 2 x + 2sinxcosx+ 2cos2 x( 下转第 94 页 )
[ 责任编辑 : 丛爱玲 ]
值是 解 : x + 2y= 1 1 2y 1 x _ = 1+ , = + 2 x x y y 1 1 2y x _ + = 3+ + \ 3+ 2 2 x y x x 1 1 _ + = 3+ 2 2 x y mi n 三、 复数中的 最值问题 在复数中有两类比较典型的最值问题 , 即 : 1. | z- z1 | + | z- z2 | 型的最小值问题 2. | z- z1 | - | z- z2 | 型的最大值问题 ( 以上两类式 子中的 z1 , z2 都是已知复数 ) 这两类最值问题都可 利用数 形结合 的思想 来解决 , 将 | z- z1 | , | z- z 2 | 理解成 复数 z 所对应 的点 z1 与 z 2 所 对应 的点的距离。因此有 : | z- z1 | + | z- z2 | \ | z 1 - z2 | - | z 1 - z2 | [ | z- z1 | - | z- z2 | [ | z 1 - z 2 | 四、 其它最值 问题 例 10 一把钥匙只 能开一把 锁 , 现有四 把钥匙 四把 锁 , 但不知哪把钥匙开哪把锁 , 问 : 最多试多少次可以打开所有 的锁 ? 解 : 从极端情 形出发 : 开第一把锁 , 最不凑巧要开 4 次才能打开 ; 开第二把锁 , 最不凑巧要开 3 次才能打开 ; 开第三把锁 , 最不凑巧要开 2 次才能打开 ; 开第四把锁 , 开 1 次才 能打开 ; 所以 , 最多试 4+ 3+ 2+ 1= 10( 次 ) [参
[ 责任编辑 : 丛爱玲 ]
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2006 年第 1 期 ( 总 第9 5期 )
牡丹江教育学院学报
JOU R NA L O F M U DA N JIA NG CO LL EGE OF EDU CA T IO N
N o. 1, 2006
T ota l No 1 95
关于最值问题的探讨
刘 水 中
建德 311604) ( 严州师范学校, 浙江
数学中知识点的理解 、 复习起到很好的借鉴作用 。 [ 中图分类号 ] G633. 6
一、 函数中的最值问题 1 1 一元二次函数中的最值问题 一元二次函数的一般 形式为 y= ax2 + bx + c( a X 0, a, b, cI R) , 然后根据 a 的符 号来确 定最值 , 此类 函数可 以先 通过配方为 b 2 4ac- b2 y= a( x+ ) + 2a 4a 然后 , 根据 a 的符号来确定最值 , 即 4ac- b2 4ac- b 2 a> 0, ymin = ; a< 0, yma x = . 其 中 , 当 a= 4a 4a b 时 , 等号成立。在具体应用的时候 , 一定 要注意等号 是否 能够取到。 ( 1) 定义域为自然定义域的情况 例 1 求函数 y= x 2 - 2x + 5 的 最小值。 分析 : 这是一个典型的一元二次函数的最 值问题 , 只须 配方即可。 解 : 配方得 : y= ( x- 1) 2 + 4, 则 y min = 4 ( 2) 定义域不为自然定义域的情况 例 2 求函数 y= x 2 - 3x + 5( x I [ - 1, 1] ) 的最值。 分析 : 这是给定区间的一元二次函数的最 值问题 , 必须 考虑到函数的单调性。 3 2 4 解 : 配方得 y= ( x ) + 2 11 3 因为函数在 ( - ] , ] 上是减函 数 , 所 以函数 在 [ - 1, 2 1] 上是减函数 , 此时 , ymax = ( - 1) 2 - 3 @ ( - 1) + 5= 9, ymin = 1 2 - 3 @ 1+ 5= 3 2 1 利用反函数知识来求的最值问题 此类函数利用原函数的一些已知条件或实际情况来解 题。 2x - 1 例 3 求 y= ( x \ 0) 的最小值 x+ 1 - 2y - 1 解 : 将原函数变形得 x= ( x \0) y- 2 - 2y- 1 _ \0 y- 2 ( 2y+ 1) ( y- 2) [ 0 y- 2 X 0 [ 收稿日期 ] 2005- 09- 08
则是指学生在教师的组织下有步骤地进行分组实验或演示 实验 , 获取实验数 据。实验的 探究点 来自教师 对实验 的不 断探索和对学生的积极诱导 , 来自学生主体作用的被强化 , 合理确定探究点并积极引 导学生 投身于 探究活 动 , 是培养 学生的创新精神和实践能力的有效途径。在实验探究过程 中 , 教师一定要明 确学生是参与实验的主体 , 不要向学生演 示实验的过程 , 对 于实验中的注意事项 , 可以引导学生自己 总结。 探究式教学模式是众 多教学 方法之 一 , 其 优势是 其他 方式无法替代的 , 物理教师应积极研究它 , 但重要的是切不 可急于求成 , 更不可因 短期内 看不到 明显成 效而回 到以前 的老路上去。培养学生各 方面能 力本身 就是一 个长期 的、 系统的过程 , 只要 教师坚持下去 , 这种教学模式必将有利于 学生的终生学习 , 有利于全面提高学生的素质。 [参
学报 , 2003, ( 2)1 [ 2] 石保军 1 用判别式法求分式函数值域 [ J]1 中学数 学教学参考 , 2004, ( 5)1
考
文
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
献]
[ 1] 戴洪彬 1 三角函数值域求法 探秘 [ J ]1 乌鲁木 齐成人教 育学院
1 1 例 9 已知正数 x, y 满足 x + 2y= 1, 则 + 的 最小 x y
12~ 38 1 [ 2] 靳玉乐 1 探究教学论 [ M ]1 重庆 : 西南师范大学出版社 , 2001 1 [ 3] 王炳红 1 谈物理教学中如 何有效开 展探究性 学习 [ J ]1 高等函 授学报 , 2004, ( 12) 1
考
文
献]
[ 1] 任长松 1 新课程学习方式的变革 [ M ]1 人民教 育出版社 , 2003:
[ 作者简介 ] 刘水中 ( 1977- ) , 男 , 湖 南衡东人 , 严州师范学校助理讲师 。
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成功后 , 学生们纷纷从网上、 报刊、 电视新闻中搜集资料 , 写 成了一些小论文 , 这在传播知识的同时 , 既培养了学生的科 学精神和参与科学探究活 动的激情 , 又 及时地 对学生 进行 了爱国主义教育。 四、 探究式教学模式在物理实验中的应用 物理是一门与自然、 生活、 生产、 国防 等联系 非常密 切 的实验科学。实验教学是 物理教学 自身的 特点 , 也是获 取 知识与应用知识过程中的 一个有机 组成部 分 , 只有将 探究 性学习引入物理实验之中 , 让学生动脑动手 , 自主地进行实 验探究 , 才能培养学生的协作意识、 探索精神和探究能力。 实验探究对学生能力的 要求较 高 , 而 这些能 力的培 养 不能一蹴而就 , 教师 在教学中要 循序渐进 , 有计 划、 有 系统 地培养学生的各种能力 , 教授各种方法。例如 , 实验设计属 于探究能力的较高层次 , 能够调 动学生 参与探 究活动 的积 极性 , 激发学生的好奇心和创新意识 , 它应建立在学生熟悉 教材内容和观察与思考的基础 之上 , 教师可 采取/ 扶0/ 引0 / 放0 的方法 。/ 扶0 就是把学 生要 探索 设计的 方法、 实验 步 骤等以填空的形式出现 , 缩小设计的难度 ; / 引0 就是把设计 的实验交给学生 , 让学生分析实验设计的原理 , 从而培养学 生的动脑能力 ; / 放0 就是提出实验目的后 , 提供部分或全部 材料 , 让学生独立完 成实验的 全过程。 而实验 的探究过 程 ( 上接第 88 页) = 1+ 2co s2 + 2sinxcosx = co s2x + sin2x P = 2sin( 2x+ ) 4 _ ymax = 2 ( 3) y= asin 2 x + bsinx cos+ c cos 2 x 型的函数 此类函数的求法可转化为形如 : y = at 2 + bt+ c( - 1 [ t [ 1) 的二次函数的最值。 例 7 函 数 y = cos 2 x - 3cosx + 2 的 最 小值 为 ( ) ( 97 年高考题 ) 解 : 令 : co sx= t( - 1 [ t [ 1) 则 y = t 2 - 3t+ 2 3 2 1 = ( t) 2 4 - 1[ t [ 1 _ t= 1, ymin = 0 二、 不等式中的最值问题 此类最值问题必须正确使用一些基本的不等式及其变 形不等式 , 常用不等式如下 : a, b I R, a2 + b2 \ 2ab ( 1) ( 当且仅 当 a= b 时 , 等号成立 ) a, b I R+ , a+ b \ 2 ab a, b, c I R+ , a3 + b3 + c3 \ 3abc ( 2) ( 当 且仅当 a= b = c 3 a, b, c I R+ , a+ b+ c\ 3 abc 时 , 等号成立 ) 例 8 x , y I R+ , 2x+ 5y= 20, 则 lgx + lg y 的最大 值是 解 : lgx + lg y= lg xy x , y I R+ , 2x + 5y= 20 _ _ _ _ 20 \ 2 10x y xy [ 10 lg x y [ 1 ( lgx + lg y) max = 1