最新不等式及不等式组易错题带答案

合集下载

不等式及不等式组易错题带答案

不等式易错题一．填空题〔共23小题〕1．〔2021•谷城县校级模拟〕假设不等式组恰有两个整数解．那么实数a的取值范围是．2．〔2021•凉山州〕假设不等式组的解集是﹣1＜x＜1，那么〔a+b〕2021=．3．〔2021春•金坛市期中〕如果不等式a≤x≤3有且仅有3个整数解，那么a的范围是．4．不等式x＜a的非负整数解有3个，那么a的取值范围是．5．〔2021秋•白下区校级月考〕不等式a≤x≤3只有6个整数解，那么a的范围是．6．假设关于x的不等式1﹣|x|＞ax的解集中有无穷多个整数，那么a的取值范围是．7．〔2021春•吉州区校级期中〕不等式3x+a≤9有三个非负整数解，那么a的取值范围是．8．〔2021•黄石模拟〕假设不等式的整数解有3个，那么m的取值范围是．9．〔2021秋•常熟市期中〕假设不等式组有4个整数解，那么a的取值范围是．10．〔2021春•成华区期中〕假设关于x的不等式组有5个整数解，那么m的取值范围是．11．假设有5个整数x使得不等式1+a≤x＜2成立，那么a的取值范围是．12．〔2021•青羊区校级模拟〕关于x的不等式组的整数解有3个，那么m的取值范围是．13．〔2021春•大邑县校级期中〕假设不等式组有4个整数解，那么m的取值范围是．14．假设不等式组无解，那么m的取值范围是．15．〔2021春•吴江市期末〕假设关于x的不等式2m一1＜x＜m+l无解，那么m的取值范围是．16．〔2021春•昌宁县校级期末〕假设不等式组无解，那么m的取值范围是．17．〔2021•潍城区模拟〕不等式组无解，那么m的取值范围是．18．〔2021春•化州市期中〕不等式组无解，那么a的取值范围是．19．〔2021春•天长市期末〕不等式ax＞b的解集是x＜，那么a的取值范围是．20．〔2021春•连云港校级期中〕假设不等式〔2a﹣3〕x＜2a﹣3的解集为x＞1，那么a的取值范围是．21．〔2021春•雅安校级期中〕关于x的不等式mx＜5m的解集是x＞5，那么m的取值范围是．22．〔2021春•榕江县校级期末〕不等式组的解集为x＞2，那么a的取值范围是．23．〔2021春•金坛市校级月考〕不等式mx﹣2＜3x+4的解集是x＞，那么m的取值范围是．二．解答题〔共7小题〕24．假设不等式3x＜a且只有3个非负整数解，求a的取值范围．25．关于x的不等式组恰有3个整数解，那么a的取值范围是．26．〔2021秋•乐清市校级月考〕关于x的不等式组的解集中的整数恰好有2个，求实数a的取值范围．27．关于x的不等式组有3个整数解，求a的取值范围．28．关于x的不等式组有4个整数解，求a的取值范围．29．关于x的不等式组恰有3个整数解，试求a的取值范围．30．如果不等式〔2a+1〕x＞4a+2的解集是x＜2，求a的取值范围．1．〔2021•谷城县校级模拟〕假设不等式组恰有两个整数解．那么实数a的取值范围是＜a≤1．2．〔2021•凉山州〕假设不等式组的解集是﹣1＜x＜1，那么〔a+b〕2021=﹣1．3．〔2021春•金坛市期中〕如果不等式a≤x≤3有且仅有3个整数解，那么a的范围是0＜a≤1．4．不等式x＜a的非负整数解有3个，那么a的取值范围是2＜a≤3．5．〔2021秋•白下区校级月考〕不等式a≤x≤3只有6个整数解，那么a的范围是﹣3＜a≤﹣2．6．假设关于x的不等式1﹣|x|＞ax的解集中有无穷多个整数，那么a的取值范围是a＜﹣1或a＞1．7．〔2021春•吉州区校级期中〕不等式3x+a≤9有三个非负整数解，那么a的取值范围是0＜a≤3．8．〔2021•黄石模拟〕假设不等式的整数解有3个，那么m的取值范围是5＜m≤6．9．〔2021秋•常熟市期中〕假设不等式组有4个整数解，那么a的取值范围是2≤a＜3．10．〔2021春•成华区期中〕假设关于x的不等式组有5个整数解，那么m的取值范围是﹣2≤m＜﹣1．11．假设有5个整数x使得不等式1+a≤x＜2成立，那么a的取值范围是﹣5＜a≤﹣4．12．〔2021•青羊区校级模拟〕关于x的不等式组的整数解有3个，那么m的取值范围是﹣1≤m＜0．13．〔2021春•大邑县校级期中〕假设不等式组有4个整数解，那么m的取值范围是﹣2＜m≤﹣1．14．假设不等式组无解，那么m的取值范围是m＜﹣．15．〔2021春•吴江市期末〕假设关于x的不等式2m一1＜x＜m+l无解，那么m的取值范围是m≥2．16．〔2021春•昌宁县校级期末〕假设不等式组无解，那么m的取值范围是m≤11．17．〔2021•潍城区模拟〕不等式组无解，那么m的取值范围是m≤1．18．〔2021春•化州市期中〕不等式组无解，那么a的取值范围是a≤2．19．〔2021春•天长市期末〕不等式ax＞b的解集是x＜，那么a的取值范围是a＜0．20．〔2021春•连云港校级期中〕假设不等式〔2a﹣3〕x＜2a﹣3的解集为x＞1，那么a的取值范围是a＜．21．〔2021春•雅安校级期中〕关于x的不等式mx＜5m的解集是x＞5，那么m的取值范围是m＜0．22．〔2021春•榕江县校级期末〕不等式组的解集为x＞2，那么a的取值范围是a≤2．23．〔2021春•金坛市校级月考〕不等式mx﹣2＜3x+4的解集是x＞，那么m的取值范围是m＜3．二．解答题〔共7小题〕24．假设不等式3x＜a且只有3个非负整数解，求a的取值范围．25．关于x的不等式组恰有3个整数解，那么a的取值范围是．26．〔2021秋•乐清市校级月考〕关于x的不等式组的解集中的整数恰好有2个，求实数a的取值范围．27．关于x的不等式组有3个整数解，求a的取值范围．28．关于x的不等式组有4个整数解，求a的取值范围．29．关于x的不等式组恰有3个整数解，试求a的取值范围．30．如果不等式〔2a+1〕x＞4a+2的解集是x＜2，求a的取值范围．。

(易错题精选)初中数学方程与不等式之不等式与不等式组易错题汇编及答案解析

（易错题精选）初中数学方程与不等式之不等式与不等式组易错题汇编及答案解析一、选择题1．不等式组213,1510520x x x x -<⎧⎪++⎨-≥⎪⎩的解集在数轴上表示为（） A ． B ． C ．D ．【答案】D【解析】【分析】分别解不等式求出不等式组的解集，由此得到答案.【详解】解213x x -<得x>-1，解1510520x x ++-≥得3x ≤， ∴不等式组的解集是13x -<≤，故选：D.【点睛】此题考查解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确解每个不等式是解题的关键.2．不等式组30240x x -≥⎧⎨+>⎩的解集在数轴上表示正确的是（） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】【详解】解：30240x x -≥⎧⎨+>⎩①②，解不等式①得，x ≤3解不等式②得，x ＞﹣2在数轴上表示为：.故选D ．【点睛】本题考查在数轴上表示不等式组的解集．3．关于x 的不等式组()02332x m x x ->⎧⎨-≥-⎩恰有五个整数解，那么m 的取值范围为（） A ．21m -≤<-B ．21m -<<C ．1m <-D ．2m ≥-【答案】A【解析】【分析】先求出不等式组的解集，然后结合有五个整数解，即可求出m 的取值范围．【详解】解：()02332x m x x ->⎧⎨-≥-⎩解不等式①，得：x m >，解不等式②，得：3x ≤，∴不等式组的解集为：3m x <≤，∵不等式组恰有五个整数解，∴整数解分别为：3、2、1、0、1-；∴m 的取值范围为21m -≤<-；故选：A ．【点睛】本题考查了解不等式组，根据不等式组的整数解求参数的取值范围，解题的关键是正确求出不等式组的解集，从而求出m 的取值范围．4．从4-，1-，0，2，5，8这六个数中，随机抽一个数，记为a ，若数a 使关于x 的不等式组0331016x a x -⎧<⎪⎨⎪+≥⎩无解，且关于y 的分式方程2233y a y y -+=--有非负数解，则符合条件的a 的值的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】由不等式组无解确定出a 的一个取值范围、由分式方程其解为非负数确定a 的一个取值范围，综上可确定a 的最终取值范围，根据其取值范围即可判定出满足题意的值．【详解】解：0331016x a x -⎧<⎪⎨⎪+≥⎩①②解①得，x a <解②得，2x ≥∵不等式组无解∴2a ≤∵2233y a y y-+=-- ∴83a y -= ∵关于y 的分式方程2233y a y y -+=--有非负数解 ∴803a y -=≥且833a -≠ ∴8a ≤且a≠-1∴综上所述，2a ≤且1a ≠-∴符合条件的a 的值有4-、0、2共三个．故选：C【点睛】本题考查了不等式（组）的解法、分式方程的解法，能根据已知条件确定a 的取值范围是解决问题的关键．5．不等式组2201x x +>⎧⎨-≥-⎩的解在数轴上表示为( ) A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】解不等式组求得不等式组的解集，再把其表示在数轴上即可解答.【详解】2201x x ①②+>⎧⎨-≥-⎩，解不等式①得，x ＞-1；解不等式②得，x ≤1；∴不等式组的解集是﹣1＜x ≤1.不等式组的解集在数轴上表示为：故选D.【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解决问题的关键．6．如图，用长为40米的铁丝一边靠墙围成两个长方形，墙的长度为30米，要使靠墙的一边不小于25米，那么与墙垂直的一边的长度x 的取值范围为（）A ．0米5x <≤米B ．103x ≥米C ．0米103x <≤米 D ．103米5x ≤≤米【答案】D【解析】【分析】设与墙垂直的一边的长为x 米，根据铁丝长40米，墙的长度30米，靠墙的一边不小于25米，列出不等式组，求出x 的取值范围即可．【详解】解：设与墙垂直的一边的长为x 米，根据题意得：4032540330x x -≥⎧⎨-≤⎩，解得：103≤x≤5；故选：D ．【点睛】此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出不等式组，注意本题要用数形结合思想．7．不等式组30213xx+⎧⎨->⎩…的解集为（）A．x＞1 B．x≥3C．x≥﹣3 D．x＞2【答案】D【解析】【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【详解】解：30213xx+>⎧⎨->⎩①②，由①得，x≥﹣3，由②得，x>2，故此不等式组的解集为：x>2．故选：D．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是分别解出各不等式的解集，利用数轴求出不等式组的解集，难度适中．8．如果关于x的不等式组232x ax a>+⎧⎨<-⎩无解，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＞2 C．a≥2D．a≤2【答案】D【解析】【分析】由不等式组无解，利用不等式组取解集的方法确定出a的范围即可．【详解】∵不等式组232x ax a+⎧⎨-⎩＞＜无解，∴a+2≥3a﹣2，解得：a≤2．故选D．【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解答本题的关键．9．已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＜0，a+2b+c＝0，则（）A．b＞0，b2﹣ac≤0B．b＜0，b2﹣ac≤0C．b＞0，b2﹣ac≥0D．b＜0，b2﹣ac≥0【答案】C【解析】【分析】根据a ﹣2b +c ＜0，a +2b +c ＝0，可以得到b 与a 、c 的关系，从而可以判断b 的正负和b 2﹣ac 的正负情况．【详解】∵a ﹣2b +c ＜0，a +2b +c ＝0，∴a +c ＝﹣2b ，∴a ﹣2b +c ＝（a +c ）﹣2b ＝﹣4b ＜0，∴b ＞0，∴b 2﹣ac ＝222222a c a ac c ac +++⎛⎫-= ⎪⎝⎭＝2222042a ac c a c -+-⎛⎫= ⎪⎝⎭…，即b ＞0，b 2﹣ac ≥0，故选：C ．【点睛】此题考查不等式的性质以及因式分解的应用，解题的关键是明确题意，判断出b 和b 2-ac 的正负情况．10．关于x 的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则不等式组的解集是（）A ．1x >-B ．3x ≤C ．13x -≤≤D ．13x -<≤【答案】D【解析】【分析】数轴的某一段上面，表示解集的线的条数，与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右小于向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集．【详解】由数轴知，此不等式组的解集为-1＜x≤3，故选D ．【点睛】考查解一元一次不等式组，不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．11．一元一次不等式组2(3)40113x x x +-⎧⎪+⎨>-⎪⎩…的最大整数解是( ) A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】【分析】解出两个不等式的解，再求出两个不等式的解集，即可求出最大整数解；【详解】 ()2340113x x x ⎧+-⎪⎨+>-⎪⎩①②… 由①得到：2x+6-4≥0，∴x ≥-1，由②得到：x+1＞3x-3，∴x ＜2，∴-1≤x ＜2，∴最大整数解是1，故选C ．【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法，属于中考常考题型．12．若关于x 的不等式组24x x a<⎧⎨-≤⎩的解集是2x <，则a 的取值范围是（） A ．2a ≥-B ．2a >-C ．2a ≤-D ．2a <-【答案】A【解析】【分析】求出不等式的解集，根据已知不等式组的解集x<2，推出a 42+≥求解即可．【详解】因为不等式组24x x a <⎧⎨-≤⎩的解集是x<2 所以不等式组2+4<⎧⎨≤⎩x x a 的解集是x<2 根据同小取较小原则可知，a 42+≥ ，故2a ≥-故选：A【点睛】本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式（组）等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集和已知得到a42+≥是解此题的关键．13．在数轴上表示不等式x<2的解集，正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】把不等式x＜2的解集在数轴上表示出来可知答案．【详解】在数轴上表示不等式x＜2的解集故选：A．【点睛】本题运用了不等式的解集在数轴上的表示方法，体现了数形结合的数学思想．14．把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由（1）得x＞-1，由（2）得x≤1，所以-1＜x≤1．故选B．15．不等式组222xx>⎧⎨-≥-⎩的解集在数轴上表示为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】先解不等式组，然后根据不等式组的解集判断即可．【详解】222x x ①②>⎧⎨-≥-⎩由①，得x ＞1，由②，得x ≤2，∴不等式组的解集为1＜x ≤2，故选C ．【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握解不等式组是解题的关键．16．不等式组26020x x +>⎧⎨-≥⎩的解集在数轴上表示为（） A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．【详解】解：26020x x +>⎧⎨-≥⎩①②，由①得：3x >-；由②得：2x ≤，∴不等式组的解集为32x -<≤，表示在数轴上，如图所示：故选：C ．【点睛】考核知识点：解不等式组.解不等式是关键.17．不等式x ﹣2＞的解集是（） A ．x ＜﹣5B ．x ＞﹣5C ．x ＞5D ．x ＜5【答案】A【解析】【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【详解】去分母得：4x ﹣8＞6x +2，移项、合并同类项，得：﹣2x ＞10，系数化为1，得：x ＜﹣5．故选A ．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．18．已知点P （a +1，12a -+）关于原点的对称点在第四象限，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：∵P （1a +，12a -+）关于原点对称的点在第四象限，∴P 点在第二象限，∴10a +<，102a -+>，解得：1a <-，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是．故选C ．考点：1．在数轴上表示不等式的解集；2．解一元一次不等式组；3．关于原点对称的点的坐标．19．关于x 的方程2111ax x x -=++的解为非正数，且关于x 的不等式组22533a x x +⎧⎪+⎨⎪⎩„…无解，那么满足条件的所有整数a 的和是（）A ．﹣19B ．﹣15C ．﹣13D ．﹣9 【答案】C【解析】解：分式方程去分母得：ax ﹣x ﹣1=2，整理得：（a ﹣1）x =3，由分式方程的解为非正数，得到 31a -≤0，且 31a -≠﹣1，解得：a ＜1且a ≠﹣2．不等式组整理得：224axx-⎧≤⎪⎨⎪≥⎩，由不等式组无解，得到22a-＜4，解得：a＞﹣6，∴满足题意a的范围为﹣6＜a＜1，且a≠﹣2，即整数a的值为﹣5，﹣4，﹣3，﹣1，0，则满足条件的所有整数a的和是﹣13，故选C．点睛：此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．不等式组21512xx①②->⎧⎪⎨+≥⎪⎩中,不等式①和②的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】分析：根据解一元一次不等式组的一般步骤解答，并把解集表示在数轴上，再作判断即可.详解：解不等式①，得：x1<;解不等式②，得：x3≥-；∴原不等式组的解集为：3x1-≤<，将解集表示在数轴上为：故选C.点睛：掌握“解一元一次不等式组的解法和将不等式的解集表示在数轴上的方法”是解答本题的关键.。

不等式易错点

易错07 不等式易错点1 分式不等式【例1】（1）（2020·江苏）不等式2302x x +≥-的解集为。

（2）（2020·福建省永泰县城关中学）不等式2312x x +≤+的解集为。

【答案】（1）32x x ⎧≤-⎨⎩或}2x >（2）{}|21x x -<≤- 【解析】（1）分式不等式2302x x +≥-等价于230x +=或()()2320x x +->，即32x =-或32x <-或2x >，故解集为32x x ⎧≤-⎨⎩或}2x >.（2）2312x x +≤+可得102x x +≤+，从而()()12020x x x ⎧++≤⎨+≠⎩，解得21x -<≤-，【举一反三】易错导图易错详讲【易错总结】解分式不等式的步骤：（1）移项，把分式不等式一边化为0；（2）通分，化不等式为()0()f xg x >或()0()f x g x ≥形式，转化时应使得(),()f x g x 中最高次项系数为正，（3）转化，化为()()0f x g x >或()()0()0f x g x g x ≥⎧⎨≠⎩，（4）得解．1．（2020·利辛县阚疃金石中学）不等式13x x-≤的解集为______________. 【答案】{0x x 或1}2x ≤-【解析】不等式13x x -≤移项通分可得：120x x --≤，即120xx +≥，所以(12)00x x x +≥⎧⎨≠⎩，解得0x >或12x ≤-，故答案为：{0x x 或1}2x ≤-.2．不等式2115x x +≥--的解集为________．【答案】4{|3x x ≤或5}x > 【解析】原不等式移项得21105x x ++≥-，通分整理得3405x x -≥-，等价于(34)(5)050x x x --≥⎧⎨-≠⎩，解得43x ≤或5x >.故答案为：4{|3x x ≤或5}x > 3．（2020·北京市昌平区前锋学校）不等式2112x x +≥-的解集为________ 【答案】(,3](2,)-∞-+∞【解析】原不等式等价于21102x x +-≥-，即302x x +≥-，即(3)(2)0,2,x x x +-≥⎧⎨≠⎩因此，原不等式的解集为(,3](2,)-∞-+∞．故答案为：(,3](2,)-∞-+∞易错点2 穿根引线【例2】（2020·吴起高级中学）不等式()()()21120x x x +-->的解集为______________.【答案】()()(),11,12,-∞--+∞【解析】不等式()()()21120x x x +-->等价于()()10120x x x +≠⎧⎨-->⎩，解得()()(),11,12,x ∈-∞--+∞.故答案为：()()(),11,12,-∞--+∞.【举一反三】1．（2020·上海普陀·曹杨二中）不等式()()()()2321120x x x x++--≤的解集为________【答案】(]{}[],211,2-∞--【解析】如下图所示：根据图象可知：当2x-≤或1x=-或12x≤≤时，()()()()2321120x x x x++--≤，所以不等式的解集为：(]{}[],211,2-∞--，故答案为：(]{}[],211,2-∞--.2.（2020·云南省保山第九中学）不等式(2)3x xx+<-的解集为（）A．{|2x x<-，或03}x<<B．{|22x x-<<，或3}x>C．{|2x x<-，或0}x>D．{|0x x<，或3}x<【答案】A原不等式可转化为()()230x x x+-<，结合数轴标根法可得，2x<-或03x<<．即不等式的解集为{|2x x<-，或03}x<<．故选：A．3．（2020·江苏省响水中学）不等式2(1)0x x-<的解集为（）A．{|0x x<或01}x<<B．{|1x x<-或01}x<<【易错总结】利用“穿针引线法”求解高次不等式的解集时，注意从数轴的右上方开始，每经过一个因式对应的数轴上点，要判断该因式是奇次还是偶次，如果是奇次，则穿过该点，如果是偶次，则选择穿而不过.C ．{|10x x -<<或1}x >D ．{|1x x <-或1}x >【答案】B【解析】2(1)0x x -<等价于(1)(1)0x x x -+<，根据穿根法可得1x <-或01x <<.故选：B.易错点3 基本不等式取“=”【例3】已知a ，b >0且a +b =1，给出下列不等式： ①ab ≤14；②1174ab ab +≥≤；④112a b+≥. 其中正确的序号是（）A ．①②B ．②③④C ．①②③D ．①③④ 【答案】C【解析】∵a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝1，∴ab ≤2a b +⎛⎫⎪⎝⎭2＝14，当且仅当12a b ==时，等号成立，故①正确；令y=ab ＋1ab ，设t ab =由①可知104t <≤ ，则1y t t =+在104t <≤上单调递减，故当14t =时，y 有最小值117444+=，故②正确；)2＝a ＋b ＋a ＋b ＋a ＋b ＝2，故③正确；112a b + ()11332222b a a b a b a b ⎛⎫=++=++≥ ⎪⎝⎭332222=⨯+=，当且仅当2b aa b= 时，等号成立，故④不正确.故选：C【举一反三】1．（2020·平遥县综合职业技术学校）已知0x >，0y >，且10xy =，则下列说法正确的是（）A ．当x y ==25x y+取得最小值B ．当x y ==25x y+取得最大值C ．当2x =，5y =时，25x y+取得最小值 D ．当2x =，5y =时，25x y+取得最大值【答案】C 【解析】0x ，0y >，且10xy =，20x∴>，50y >，101xy =，252x y ∴+≥==，当且仅当25x y=即2x =，5y =时，等号成立，所以当2x =，5y =时，25x y+取得最小值，最小值为2. 故选：C .2．已知27101x x y x ++=+(1x ≠-)，则y 的取值范围为（）A ．(,2][2,)-∞-+∞B ．(,1][3,)-∞-⋃+∞C ．(,1][7,)-∞-⋃+∞D ．(,1][9,)-∞⋃+∞【答案】D【解析】由题意，22710(1)5(1)44(1)5111x x x x y x x x x ++++++===++++++，当10x +>即1x >-时，4(1)5591y x x =+++≥=+，当且仅当411x x +=+即1x =时，等号成立；当10x +<即1x <-时，4(1)5511y x x ⎡⎤=--+-+≤-=⎢⎥+⎣⎦，当且仅当()411x x -+=-+即3x =-时，等号成立； ∴y 的取值范围为(,1][9,)-∞⋃+∞. 故选：D.易错点4 分类讨论【例4】（2020·北京八中月考）解关于x 的不等式(m 为任意实数)：()2220mx m x +--<【答案】答案见解析【解析】当0m =时，原不等式化为220x -<，解得1x <；当0m ≠时，原不等式可化为()()120x mx -+<，即11x =，22x m=-. 当0m >时，20x <，则原不等式的解集为21x x m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭当0m <时，20x >，当21m-=，即2m =-时，有121x x ==，则原不等式的解集为{}1x x ≠；当21m -<，即2m <-时，则原不等式的解集为2x x m ⎧<-⎨⎩或}1x >当21m ->，即20m -<<时，则原不等式的解集为.2x x m ⎧>-⎨⎩或}1x <【举一反三】1．（2020·云南昆明二十三中）解关于x 不等式2325()ax x ax a R -+>-∈.【答案】答案见解析【解析】不等式化为()2330ax a x +-->，即()()310ax x -+>当0a =时，不等式为330x -->，解得1x <-，当0a >时，31a >-，解得不等式为1x <-或3x a >，当0a <时，若31a >-，即3a <-时，解得不等式为31x a-<<，若31a =-，即3a =-时，不等式无解，若31a <-，即30a -<<时，解得不等式为31x a<<-，综上，3a <-时，不等式的解集为31,⎛⎫- ⎪⎝⎭a ；3a =-时，不等式无解；30a -<<时，不等式的解集为3,1⎛⎫- ⎪⎝⎭a ；0a =时，不等式的解集为(),1-∞-；0a >时，不等式的解集为()3,1,⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭a .2．解不等式：2(2)10ax a x +++>. 【答案】答案见解析.【解析】①当0a =时，不等式为210x +>，解集为12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭，②当0a ≠时，22(2)440a a a ∆=+-=+>，恒有两个实根1x =2x =当0a ><解集为22a x x a ⎧--⎪<⎨⎪⎩或22a x a --+>⎪⎭；当0a <时，222424a a a a ，解集为x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭，综上所述：0a =时，解集为12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭；0a >时，解集为22a x x a ⎧--⎪<⎨⎪⎩或x >⎪⎭； 0a <时，解集为22a x a ⎧--⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭.3．（2020·安徽省亳州市第一中学）解关于x 的不等式：()21220ax a x +-->.【答案】当0a =时，解集为()2,+∞，当0a >时，解集为：()1(,)2,a -∞-⋃+∞，当102a -<<时，不等式的解集为：12,a ⎛⎫-⎪⎝⎭,当12a <-时，不等式的解集为：1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 当12a =-时，不等式的解集为:∅. 【解析】①当0a =时，原不等式可化为：20x ->,可得不等式的解集为()2,+∞， ②当0a >时，原不等式可化为：1(2)0x x a ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，不等式的解集为：()1(,)2,a-∞-⋃+∞； ③当0a <时，原不等式可化为：1(2)0x x a ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭, 当102a -<<时，不等式的解集为：12,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,当12a <-时，不等式的解集为：1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 当12a =-时，不等式的解集为:∅. 易错点5 恒成立和存在问题【例5】（1）设函数()222f x ax x =-+，对任意的()1,4x ∈都有()0f x >，则实数a 的取值范围是（）A ．[)1,+∞B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭（2）（2020·吉林汽车区第三中学）若“R x ∃∈，22390x ax -+<”，则实数a 的取值范围是（）A ．(),22,⎡-∞-+∞⎣ B ．(-C ．((),-∞-⋃+∞D ．-⎡⎣【答案】（1）D （2）C【解析】（1）∵对任意的()1,4x ∈，都有()2220f x ax x =-+>恒成立，∴()2221111242x a x x ⎡⎤-⎛⎫>=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦对任意的()1,4x ∈恒成立， ∵1114x <<，∴2111120,422x ⎡⎤⎛⎫⎛⎤--∈⎢⎥ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦⎢⎥⎣⎦，∴实数a 的取值范围是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：D. （2）因为R x ∃∈，22390x ax -+<，所以()234290a ∆=--⨯⨯>，解得a >a <-.故选：C.【举一反三】1．（2020·辽源市第五中学校）若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的最小值是（） A ．0 B ．2- C ．52-D ．3-【答案】C【解析】因为不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，所以1a x x ⎛⎫≥-+⎪⎝⎭对一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，所以max 110,2a x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎤≥-+∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎥⎝⎭⎝⎦⎣⎦⎝⎭，又因为()1f x x x =+在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以()min 1522f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以52a ≥-，所以a 的最小值为52-，故选：C.2．（2020·浙江）已知关于x 的不等式2230ax x a -+<在(]0,2上有解，则实数a 的取值范围是（）A ．⎛-∞ ⎝⎭B ．4,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．⎫∞⎪⎪⎝⎭D ．4,7⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】A 【解析】(]0,2x ∈时，不等式可化为32aax x+<；当0a =时，不等式为02<，满足题意；当0a >时，不等式化为32x x a +<，则223x a x>=，当且仅当x所以a ，即0a <<；当0a <时，32x x a+>恒成立；综上所述，实数a 的取值范围是(,3-∞ 答案选A3．（2020·江苏省邗江中学）命题“2,2390x R x ax ∃∈-+<”为假命题，则实数a 的取值范围为（）A ．)(⎡∞⋃-∞⎣+B ．⎡⎣C ．)⎡∞⎣ D ．(-∞【答案】B【解析】“2,2390x R x ax ∃∈-+<”为假命题，等价于“2,2390x R x ax ∀∈-+≥”为真命题,所以()2=3890a ∆-⨯≤所以a ⎡∈⎣，则实数a 的取值范围为⎡⎣.故选：B.4．（2020·江苏周市高级中学）已知函数()24x x a f x x++=，若对于任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[)5,+∞B ．()5,-+∞C ．()5,5-D ．[]5,5-【答案】B【解析】因为对于任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，所以240x x a ++>对[)1,x ∈+∞恒成立，所以()2max4a x x>--，[)1,x ∈+∞，又因为24y x x =--的对称轴为2x =-，所以24y x x =--在[)1,+∞上单调递减，所以()()2max4145x x --=--=-，所以5a >-，故选：B.1．（2020·湖南）若不等式212x mx +>在R 上恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．()(),11,-∞-⋃+∞B ．(][),11,-∞-+∞C ．[]1,1-D ．()1,1-【答案】D【解析】由题意，一元二次不等式2210x mx -+>在R 上恒成立，所以()2240m ∆=--<，解得()1,1m ∈-.故选：D.2．（2020·云南昆明一中）不等式111x ≥-的解集为（） A ．(-∞，1)∪[2，+∞) B ．(-∞，0]∪(1，+∞) C ．(1，2]D ．[2，+∞)【答案】C 【解析】不等式111x -等价于(1)(2)0x x --且10x -≠，解得12x <， ∴不等式的解集为(1，2]．故选：C ．3．（2020·江苏省响水中学）已知函数()()2221f x m x mx =+++R ，则实数m 的取值范围是（）A ．[]22-,B ．[]1,2-C ．[][)2,12,--+∞D ．(][),12,-∞-⋃+∞【答案】B【解析】因为函数()()2221f x m x mx =+++R ，避错强化所以()22210m x mx +++≥对任意x ∈R 恒成立，若20m +=，即2m =-时，则不等式可化为410x -+≥，解得14x ≤，不满足题意；若20m +≠，即2m ≠-时，只需()2204420m m m +>⎧⎨∆=-+≤⎩，解得12m -≤≤. 故选：B.4．关于x 的不等式22(1)(1)10a x a x ----<的解集为R ，则实数a 的取值范围为（） A ．3,15⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．3,1{1}5⎛⎤-⋃- ⎥⎝⎦D ．3,15⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】D【解析】当210a -=时，1a =±，若1a =，则原不等式可化为10-<，显然恒成立；若1a =-，则原不等式可化为210x -<，不恒成立，所以1a =-舍去；当210a -≠时，因为22(1)(1)10a x a x ----<的解集为R ，所以只需210a -<且22[(1)]4(1)0a a ∆=--+-<，解得315a -<<. 综上，实数a 的取值范围为3,15⎛⎤- ⎥⎝⎦.故选：D.5．（2020·浙江温州）若关于x 的不等式220x ax +-<在区间[]1,5上有解，则实数a 的取值范围是（） A ．23,15⎛⎫-⎪⎝⎭B ．23,5⎛⎤-∞-⎥⎝⎦C ．(),1-∞D ．(],1-∞【答案】C【解析】因为关于x 的不等式220x ax +-<在区间[]1,5上有解，所以222x a x x x-<=-在[1,5]上有解，易知2=-y x x 在[1,5]上是减函数，所以[1,5]x ∈时，max2211x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以1a <．故选：C6．（2020·山西）若关于x 的不等式22840x x a --+≤在13x ≤<内有解，则实数a 的取值范围是（） A ．12a ≥ B ．10a ≤ C ．12a ≤ D ．10a ≥【答案】C【解析】由题意，可得2284a x x -≥--，设()()222842212f x x x x =--=--，若13x ≤<，则()1210f x -≤≤-，不等式22840x x a --+≤在13x ≤<内有解，则只需()min a f x -≥，即12a -≥-，解得12a ≤.故选：C7．（2020·北京人大附中高三月考）已知方程210x ax +-=在区间[]0,1上有解，则实数a 的取值范围是（） A ．[)0,+∞ B ．(),0-∞C ．(],2-∞D ．[]2,0-【答案】A【解析】方程210x ax +-=在区间[]0,1上有解，当0x =时，方程无解；当01x <≤时，则有211x a x x x-==-，令1()g x x x =-，2221(1)'()10x g x x x -+=--=<，即()g x 在01x <≤时为减函数，由于(1)0g =，所以，当01x <≤时，()0g x ≥，所以，只要0a ≥，方程210x ax +-=在区间[]0,1上有解故选：A8．（2020·湖北高三月考）若[]1,2x ∃∈-，使得不等式220x x a -+<成立，则实数a 的取值范围为（） A ．3a <- B ．0a <C ．1a <D ．3a >-【答案】C【解析】因为[]1,2x ∃∈-，使得不等式220x x a -+<成立，所以[]1,2x ∃∈-，使得不等式2+2a x x<-成立，令2()2f x x x =-+，[]1,2x ∈-，因为对称轴为1x =，[]1,2x ∈-所以max ()(1)1f x f ==，所以1a <，故选：C9．（2020·福建厦门一中）（多选）使得2601x x x -->-成立的充分非必要条件有（） A ．{}21x x -<C ．{}01x x <<D ．{21x x -<<或}3x >【答案】ABC【解析】由2601x x x -->-可得()()()1320x x x --+>，如下图所示：所以，不等式2601x x x -->-的解集为{21x x -<<或}3x >， A 、B 、C 选项中的集合均为集合{21x x -<<或}3x >的真子集，因此，使得2601x x x -->-成立的充分非必要条件有A 、B 、C 选项. 故选：ABC.10．（2020·江苏省太湖高级中学）（多选）已知命题2:,10p x R x ax ∃∈++>，则命题p 成立的一个充分不必要条件可以是下列选项中的（） A ．[1,1]a ∈- B ．(2,2)a ∈- C ．[2,2]a ∈-D ．1{}2a ∈【答案】ABCD【解析】因为命题2:,10p x R x ax ∃∈++>，且函数21y x ax =++开口向上，所以当命题p 为真命题时，a R ∈，故命题p 的等价条件为a R ∈，故命题p 成立的一个充分不必要条件可以是a R ∈的真子集，故ABCD 均满足，故选：ABCD.11．（2020·湖南）（多选）下列结论正确的是（）A ．当x >02B ．当x >3时，x +1x的最小值是2 C ．当x <32时，2x -1+423x -的最小值是4D ．设x >0，y >0，且2x +y =1，则21x y+的最小值是9【答案】AD【解析】对于选项A ，当0x >0>2≥=，当且仅当1x =时取等号，结论成立，故A 正确；对于选项B ，当3x >时，12x x +≥=，当且仅当1x =时取等号，但3x >，等号取不到，因此1x x +的最小值不是2，故B 错误；对于选项C ，因为32x <，所以320x ->，则4421322222332y x x x x ⎛⎫=-+=--++≤-=- ⎪--⎝⎭，当且仅当43232x x -=-，即12x =时取等号，故C 错误；对于选项D ，因为0x >，0y >，则()222521512y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当22y x x y =，即13x y ==时，等号成立，故D 正确. 故选：AD .12（2020·福建福州）（多选）若0,0m n >>，且111m n +=，则下列说法正确的是（） A ．mn 有最大值4 B ．2211m n+有最小值12C ．0,0m n ∀>>≤D ．0,0m n ∃>>，使得2m n +=【答案】BC 【解析】因为111m n +=，所以111m n =+≥4mn ≥，故A 不正确；又2221111221()142m n m n mn +=+-≥-=，故B 正确；211()12m n =+≤=≤，故C 正确；联立2111m n m m+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22m n mn +=⎧⎨=⎩，所以,m n 是方程2220x x +=-的两根，又此方程无解，故不存在0,0m n >>使得2m n +=，故D 不正确.故选：BC13．（2020·江苏高一期中）（多选）下列函数中最小值为2的是（）A ．1y x x=+B．y = C．y =D ．4(2)2y x x x =+>-+ 【答案】BD【解析】0x <时，10y x x=+<，A 错；0>，2y =≥==，即1x =时等号成立，B 正确；同理2y =≥，=等号才能成立，=故2取不到，C 错；2x >-，则20x +>，14(2)22222y x x x x =+=++-≥=++，当且仅当422x x +=+，即0x =时等号成立，D 正确．故选：BD ．14．（2020·江苏常熟中学）不等式2411x x x --≥-的解集为______.【答案】[1,1)[3,)-+∞【解析】不等式2411x x x --≥-化为24101x x x ---≥-，22301x x x --≥-，(1)(3)(1)010x x x x +--≥⎧⎨-≠⎩，解得3x ≥或11x -≤<．故答案为：[1,1)[3,)-+∞．15．（2020·江苏省响水中学高一期中）设集合{}{}20215,0A x x B x x a =≤-≤=+< ，若A B =∅ ，则实数a 的取值围为_________. 【答案】14a ≥-【解析】因为{}{}20215,0A x x B x x a =≤-≤=+<，且A B =∅，所以{}21,302x x a ⎡⎤⋂+<=∅⎢⎥⎣⎦，即当132x ≤≤时，2≥-a x 恒成立，()2max 14a x ≥-=-，所以14a ≥-.故答案为: 14a ≥-16．关于x 的不等式240x x m --≥对任意[]1,1x ∈-恒成立，则实数m 的取值范围是_______. 【答案】3m ≤-【解析】∵22()4(2)4f x x x m x m =--=---在[]1,1-上为减函数，且不等式240x x m --≥对任意[]1,1x ∈-恒成立，则只需min ()(1)30f x f m ==--≥，即3m ≤-. 故答案为：3m ≤-.17．（2020·江苏镇江）已知命题“R x ∀∈，210x ax ++>”是假命题，则实数a 的取值范围为______. 【答案】(,2][2,)-∞-+∞【解析】∵命题“R x ∀∈，210x ax ++> ”是假命题， ∴R x ∃∈，210x ax ++≤是真命题，即R x ∃∈使不等式210x ax ++≤有解；所以240a ∆=-≥，解得：2a ≤-或2a ≥. ∴实数a 的取值范围是(,2][2,)-∞-+∞. 故答案为：(,2][2,)-∞-+∞.18．（2020·浙江杭州·高三期中）已知0x >，0y >，且21x y +=，则2112y x y++的最小值为________．12【解析】因为21x y +=，0x >，0y >，则210y x =->，所以01x <<，所以2111121112111y x y x x x xx --+=+=-+++++- ()()()2112111111121211211x x x x x x x x -⎡⎤+⎛⎫=-++++-=-++++⎡⎤⎢⎥ ⎪⎣⎦+-+-⎝⎭⎣⎦()(2111111131313211222x x x x ⎡-⎡⎤+=-+++≥-++=-++=⎢⎢⎥+-⎢⎣⎦⎣当且仅当()21111x x x x-+=+-，即3x =-3+01x <<范围内，舍去）时，等号成立. 12. 19．（2020·江苏南京河西外国语学校）在实数范围内解下列不等式. （1）2340x x -->；（2）213x x-≤-. 【答案】（1）{x 1x <-或43x >}；（2）5,(3,)2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦.【解析】（1）不等式2340x x -->可化为(1)(34)0x x +->，解得1x <-或43x >，所以该不等式的解集为{1x x <-或43x ⎫>⎬⎭；（2）∵213x x -≤-，∴2303x x x--+≤-，即2503x x -≥-，所以(25)(3)0x x --≥且30x -≠ 解得：3x >或52x ≤，故不等式的解集是5,(3,)2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦.20．（2020·上海市崇明中学高三期中）解下列不等式：（1）212302x x -+-≤；（2）5331x x +-≤.【答案】（1）35,⎛⎡⎫+-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭；（2）[3,1)-. 【解析】（1）由212302x x -+-≤可得： 20461x x ≤-+，解得：x 或x ≥，故解集为：35,⎛⎡⎫+-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭（2）由5331x x +-≤化简为：531x x +--3≤0，即261x x +-≤0，等价于(26)(1)010x x x +-≤⎧⎨-≠⎩，解得31x -≤<，故解集为[3,1)-.218．（2020·黑龙江牡丹江一中高三开学考试（理））解下列不等式. （1）(1)(2)(3)0x x x x -+->；（2）2112x x +≥-. 【答案】（1）(,2)(0,1)(3,)-∞-+∞；（2）(,3](2,)-∞-+∞.【解析】（1）方程(1)(2)(3)0x x x x -+-=的根为：2,0,1,3-，利用数轴穿根法可得：21 / 22所以不等式的解集为(,2)(0,1)(3,)-∞-+∞；（2）()()212131*********x x x x x x x x +++≥⇒-≥⇒≥⇒+-≥---且2x ≠，解得(,3](2,)x ∈-∞-+∞. 22．（2020·湖北武汉）解关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)>0.【答案】答案不唯一，具体见解析.【解析】若a ＝0，则原不等式为一元一次不等式()10x -+>，解得1x <-，故解集为(－∞，－1). 当a ≠0时，方程(ax －1)(x ＋1)＝0的两根为x 1＝1a ，x 2＝－1. 当a >0时，12x x >，所以解集为(－∞，－1)∪1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；当－1<a <0，即1a <－1时，所以解集为1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；当a <－1，即0>1a >－1时，所以解集为11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；当a ＝－1时，不等式化为()210x -+>，所以解集为∅.23（2020·辽宁沈阳二中）解关于x 的不等式2(41)40ax a x -++>.【答案】答案见解析【解析】由题意可知，2(41)40ax a x -++>可化为(1)(4)0ax x --> （1）当0a =时，不等式化为40x -<，解得4x <，（2）当10a <时，不等式化为()140x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，解得14x a <<，（3）当104a <<时，不等式化为1(4)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，解得1x a <或4x >，（4）当14a=时，不等式化为2(4)0x ->，解得4x ≠，22 / 22 （5）当14a >时，不等式化为1(4)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，解得4x <或1x a >，综上所述，0a =时，不等式的解集为(,4)-∞ 0a <时，不等式的解集为1,4a ⎛⎫⎪⎝⎭；14a >时，不等式的解集为1,(4,)a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；14a =时，不等式的解集为(,4)(4,)-∞+∞； 104a <<时，不等式的解集为1(,4),a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.。

不等式错题集

错解一、因为对a>0,恒有 ,从而z= 4,所以z的最小值是4。
错解二、，所以z的最小值是。
错解分析：解一等号成立的条件是相矛盾。解二等号成立的条件是，与相矛盾。
正解：z= = = ，令t=xy,则，由在上单调递减,故当t= 时有最小值 ,所以当时z有最小值。
4．(磨中)若对于任意x∈R，都有(m－2)x2－2(m－2)x－4<0恒成立，则实数m的取值范围是。
A、 B、 C、 D、
答案：B
错解：A
错因：忽视基本不等式使用的条件，而用得出错解。
24．（案中）如果方程（x-1）(x2-2x＋m)=0的三个根可以作为一个三角形的三条边长，那么实数m的取值范围是（）
A、0≤m≤1 B、＜m≤1 C、 ≤m≤1 D、m≥
正确答案：（B）
错误原因：不能充分挖掘题中隐含条件。
二填空题：
1．（如中）设，则的最大值为
错解：有消元意识，但没注意到元的范围。正解：由得：，且，原式= ，求出最大值为1。
2．（如中）若恒成立，则a的最小值是
错解：不能灵活运用平均数的关系，正解：由，即，故a的最小值是。
3．（如中）已知两正数x,y满足ห้องสมุดไป่ตู้+y=1,则z= 的最小值为。
正确答案：D错因：学生对不等式基本性质成立的条件理解不深刻。
10．（石庄中学）f(x)=︱2 —1｜，当a＜b＜c时有f(a)＞f(c)＞f(b)则（）Aa＜0,b＜0,c＜0Ba＜0,b＞0,c＞0 C2 ＜2 D 2 ＜2
正确答案：D错因：学生不能应用数形结合的思想方法解题。
11．(磨中)a,b∈R，且a>b，则下列不等式中恒成立的是（）

(易错题精选)初中数学方程与不等式之不等式与不等式组难题汇编附解析

（易错题精选）初中数学方程与不等式之不等式与不等式组难题汇编附解析一、选择题1．若关于x 的分式方程11144ax x x -+=--有整数解，其中a 为整数，且关于x 的不等式组2(1)43,50x x x a +≤+⎧⎨-<⎩有且只有3个整数解，则满足条件的所有a 的和为（） A ．8B ．9C ．10D ．12 【答案】C【解析】【分析】分别解分式方程和不等式组，根据题目要求分别求出a 的取值范围，再综合分析即可得出a 的值，最后求和即可．【详解】解：解分式方程11144ax x x -+=--，得4x 1a=-．又∵4x ≠，解得0a ≠．又∵方程有整数解，∴11a -=±，2±，4±，解得：2,3a =，1-，5，3-．解不等式组2(1)43,50x x x a +≤+⎧⎨-<⎩，得，25a x -<…．又不等式组有且只有3个整数解，可求得：05a <≤．综上所述，a 的值为2，3，5，其和为10．故选：C ．【点睛】本题主要考查分式方程与不等式组的综合运用，掌握解分式方程的方法，会求不等式组的整数解是解此题的关键．2．下列不等式的变形正确的是（）A ．若,am bm >则a b >B ．若22am bm >，则a b >C ．若,a b >则22am bm >D ．若a b >且0,ab >则11a b> 【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质，对每个选项进行判断，即可得到答案．【详解】解：当0m <时，若am bm >，则a b <，故A 错误；若22am bm >，则a b >，故B 正确；当=0m 时，22=am bm ，故C 错误；若0a b >>，则11a b<，故D 错误；故选：B ．【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质进行判断．3．不等式组13x x -≤⎧⎨<⎩的解集在数轴上可以表示为（） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】分别解不等式组中的每一个不等式，再求解集的公共部分．【详解】由-x≤1，得x≥-1，则不等式组的解集为-1≤x ＜3．故选：B ．【点睛】此题考查在数轴上表示不等式的解集．解题关键是求不等式组的解集，判断数轴的表示方法，注意数轴的空心、实心的区别．4．若关于x 的不等式0521x m x -<⎧⎨-≤⎩，整数解共有2个，则m 的取值范围是( ) A ．3m 4<<B ．3m 4<≤C ．3m 4≤≤D ．3m 4≤<【答案】B【解析】【分析】首先解不等式组，利用m 表示出不等式组的解集，然后根据不等式组有2个整数解，即可确定整数解，进而求得m 的范围．【详解】解：0521x m x -<⎧⎨-≤⎩L L ①②，解①得x m <，解②得2x ≥．则不等式组的解集是2x m ≤<．Q 不等式组有2个整数解，∴整数解是2，3．则34m <≤．故选B ．【点睛】本题考查了不等式组的整数解，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．5．解不等式组3422133x x x -≥⎧⎪⎨+>-⎪⎩①②时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】先求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定不等式组的解集．【详解】解不等式①得：1x ≤-，解不等式②得：5x <，将两不等式解集表示在数轴上如下：故选：D ．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．6．不等式组30213x x +⎧⎨->⎩…的解集为（） A ．x ＞1B ．x≥3C ．x≥﹣3D ．x ＞2 【答案】D【解析】【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【详解】解：30213x x +>⎧⎨->⎩①②，由①得，x ≥﹣3，由②得，x >2，故此不等式组的解集为：x>2．故选：D ．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是分别解出各不等式的解集，利用数轴求出不等式组的解集，难度适中．7．已知关于x 的不等式组3211230x x x a --⎧≤-⎪⎨⎪-<⎩恰有3个整数解，则a 的取值范围为（） A ．12a <≤B ．12a <<C ．12a ≤<D ．12a ≤≤【答案】A【解析】【分析】先根据一元一次不等式组解出x 的取值范围，再根据不等式组只有三个整数解，求出实数a 的取值范围即可.【详解】 3211230x x x a --⎧≤-⎪⎨⎪-<⎩①②，解不等式①得：x≥-1，解不等式②得：x<a ， ∵不等式组3211230x x x a --⎧≤-⎪⎨⎪-<⎩有解， ∴-1≤x<a ，∵不等式组只有三个整数解，∴不等式的整数解为：-1、0、1，∴1<a≤2，故选：A【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答此题要先求出不等式组的解集，求不等式组的解集要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．8．不等式组1240xx>⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上可表示为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.【详解】解：1 240xx>⎧⎨-≤⎩①②∵不等式①得：x＞1，解不等式②得：x≤2，∴不等式组的解集为1＜x≤2，在数轴上表示为：，故选A.【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键.9．若关于x，y的方程组3,25x y mx y m-=+⎧⎨+=⎩的解满足x＞y＞0，则m的取值范围是()．A．m＞2 B．m＞－3 C．－3＜m＜2 D．m＜3或m＞2【答案】A【解析】【分析】先解方程组用含m的代数式表示出x、y的值，再根据x＞y＞0列不等式组求解即可.【详解】解325x y mx y m-=+⎧⎨+=⎩，得2y m ⎨=-⎩∵x ＞y ＞0，∴21220m m m +>-⎧⎨->⎩ ，解之得m ＞2.故选A.【点睛】本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，用含m 的代数式表示出x 、y 的值是解答本题的关键.10．不等式26x -≥0的解集在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】先求解出不等式的解集，再表示在数轴上【详解】解不等式：2x-6≥02x≥6x≥3 数轴上表示为：故选：B【点睛】本题考查不等式的求解，需要注意，若不等式两边同时乘除负数，则不等号需要变号11．已知点P （1﹣a ，2a+6）在第四象限，则a 的取值范围是（）A ．a ＜﹣3B ．﹣3＜a ＜1C ．a ＞﹣3D ．a ＞1【答案】A【解析】【分析】根据第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组求解即可．【详解】解：∵点P （1﹣a ，2a+6）在第四象限，260a ⎨+<⎩解得a ＜﹣3．故选A ．【点睛】本题考查了点的坐标，一元一次不等式组的解法，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．12．不等式组213,1510520x x x x -<⎧⎪++⎨-≥⎪⎩的解集在数轴上表示为（） A ． B ． C ．D ．【答案】D【解析】【分析】分别解不等式求出不等式组的解集，由此得到答案.【详解】解213x x -<得x>-1，解1510520x x ++-≥得3x ≤， ∴不等式组的解集是13x -<≤，故选：D.【点睛】此题考查解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确解每个不等式是解题的关键.13．不等式组14112x x -≤⎧⎪⎨+<⎪⎩解集在数轴上表示正确的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】分别解出两个一元一次不等式，再把得到的解根据原则（大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心）分别在数轴上表示出来，再取两个解相交部分即可得到这个不等式组的解集.【详解】解：对不等式14x -≤移项，即可得到不等式14x -≤的解集为3x ≥-，对不等式112x +<，先去分母得到12x +<，即解集为1x <，把这两个解集在数轴上画出来，再取公共部分，即：31x -≤<，解集在数轴上表示应为C.故选C.【点睛】本题主要考查了数轴和一元一次不等组及其解法，先求出不等式组的解集，然后根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则将不等式组的解集在数轴上表示出来，再比较即得到答案.14．若整数a 使关于x 的分式方程111a x a x x ++=-+的解为负数，且使关于x 的不等式组1()022113x a x x ⎧-->⎪⎪⎨+⎪-≥⎪⎩无解，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．5B ．7C ．9D ．10【答案】C【解析】【分析】解分式方程和不等式得出关于x 的值及x 的范围，根据分式方程的解不是增根且为负数和不等式组无解得出a 的范围，继而可得整数a 的所有取值，然后相加．【详解】解：解关于x 的分式方程111a x a x x ++=-+，得x ＝−2a+1， ∵x ≠±1，∴a ≠0，a≠1，∵关于x 的分式方程111a x a x x ++=-+的解为负数， ∴−2a+1＜0， ∴12a >，解不等式1()02x a -->，得：x ＜a ，解不等式2113x x +-≥，得：x≥4， ∵关于x 的不等式组1()022113x a x x ⎧-->⎪⎪⎨+⎪-≥⎪⎩无解， ∴a ≤4，∴则所有满足条件的整数a 的值是：2、3、4，和为9，故选：C ．【点睛】本题主要考查分式方程的解和一元一次不等式组的解，熟练掌握解分式方程和不等式组的方法，并根据题意得到a 的范围是解题的关键．15．如图，不等式组315215x x --⎧⎨-<⎩…的解集在数轴上表示为（） A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】根据解一元一次不等式组的步骤：先解第一个不等式，再解第二个不等式，然后在数轴上表示出两个解集找公共部分即可.【详解】由题意可知：不等式组315215xx①②--⎧⎨-<⎩„，不等式①的解集为2x≥-，不等式②的解集为3x<，不等式组的解集为23x-≤<，在数轴上表示应为.故选C.【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，熟知和掌握不等式组解法的步骤和在数轴上表示解集是解题关键.16．若关于x的不等式组324x ax a<+⎧⎨>-⎩无解，则a的取值范围是（）A．a≤﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞3 D．a≥3【答案】A【解析】【分析】利用不等式组取解集的方法，根据不等式组无解求出a的取值范围即可．【详解】∵不等式组324x ax a<+⎧⎨>-⎩无解，∴a﹣4≥3a+2，解得：a≤﹣3，故选A．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解集，熟知一元一次不等式组的解集的确定方法“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找”是解题的关键.17．若关于x的不等式x＜a恰有2个正整数解，则a的取值范围为（）A．2＜a≤3B．2≤a＜3 C．0＜a＜3 D．0＜a≤2【答案】A【解析】【分析】结合题意，可确定这两个正整数解应为1和2，至此即可求出a的取值范围【详解】由于x<a恰有2个正整数解，即为1和2，故2<a≤3故正确答案为A【点睛】此题考查了不等式的整数解，列出关于a的不等式是解题的关键18．关于x的方程2111axx x-=++的解为非正数，且关于x的不等式组22533a xx+⎧⎪+⎨⎪⎩„…无解，那么满足条件的所有整数a 的和是（）A ．﹣19B ．﹣15C ．﹣13D ．﹣9 【答案】C【解析】解：分式方程去分母得：ax ﹣x ﹣1=2，整理得：（a ﹣1）x =3，由分式方程的解为非正数，得到 31a -≤0，且 31a -≠﹣1，解得：a ＜1且a ≠﹣2．不等式组整理得：224a x x -⎧≤⎪⎨⎪≥⎩，由不等式组无解，得到22a -＜4，解得：a ＞﹣6，∴满足题意a 的范围为﹣6＜a ＜1，且a ≠﹣2，即整数a 的值为﹣5，﹣4，﹣3，﹣1，0，则满足条件的所有整数a 的和是﹣13，故选C ．点睛：此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．一元一次不等式组2(3)40113x x x +-⎧⎪+⎨>-⎪⎩…的最大整数解是( ) A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】【分析】解出两个不等式的解，再求出两个不等式的解集，即可求出最大整数解；【详解】 ()2340113x x x ⎧+-⎪⎨+>-⎪⎩①②… 由①得到：2x+6-4≥0，∴x ≥-1，由②得到：x+1＞3x-3，∴x ＜2，∴-1≤x ＜2，∴最大整数解是1，故选C ．【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法，属于中考常考题型．20．下列四个不等式：(1)ac bc >；(2)-ma mb <；22 (3) ac bc >；(4)1a b >,一定能推出a b >的有() A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质逐个判断即可求得答案．【详解】解：在（1）中，当c ＜0时，则有a ＜b ，故不能推出a ＞b ，在（2）中，当m ＞0时，则有-a ＜b ，即a ＞-b ，故不能推出a ＞b ，在（3）中，由于c 2＞0，则有a ＞b ，故能推出a ＞b ，在（4）中，当b ＜0时，则有a ＜b ，故不能推出a ＞b ，综上可知一定能推出a ＞b 的只有（3），故选：A ．【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键，特别是在不等式的两边同时乘或除以一个不为0的数或因式时，需要确定该数或因式的正负．。

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《不等式》易错题汇编含答案解析

【高中数学】《不等式》知识点一、选择题1．已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()R A B =I ð（）A ．{}13x x -≤，得1x <-或3x >；解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤.{}13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤ð，因此，(){}13R A B x x ⋂=-<≤ð，故选：C. 【点睛】本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.2．若直线过点，则的最小值等于（）A ．5B ．C ．6D ．【答案】C 【解析】∵直线过点，∴，∴，∵，∴，，，当且仅当时，等号成立，故选C.点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．3．若,x y 满足约束条件360,60,1,x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则z x y =-的最小值为（）A ．4B ．0C ．2-D ．4-【答案】D 【解析】【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解．【详解】由题意，画出约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域，如图所示，目标函数z x y =-，可化为直线y x z =-当直线y x z =-经过A 时，z 取得最小值，又由3601x y y -+=⎧⎨=⎩，解得(3,1)A -，所以目标函数的最小值为min 314z =--=-. 故选：D ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．4．若33log (2)1log a b ab +=+42a b +的最小值为（）A ．6B ．83C ．163D ．173【答案】C 【解析】【分析】由33log (2)1loga b ab +=+213b a+=，且0,0a b >>，又由12142(42)3a b a b b a ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开之后利用基本不等式，即可得到本题答案.【详解】因为3log (2)1a b +=+()()3333log 2log 3log log 3a b ab ab +=+=，所以，23a b ab +=，等式两边同时除以ab 得213b a+=，且0,0a b >>，所以12118211642(42)()(8)(83333a b a b a b b a b a +=++=++≥+=，当且仅当82a b b a=，即2b a =时取等号，所以42a b +的最小值为163.故选：C. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，其中涉及对数的运算，考查计算能力，属于中等题.5．给出下列五个命题，其中正确命题的个数为（）①命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++<”；②若正整数m 和n 满足m n ≤2n ； ③在ABC ∆中，A B >是sin sin A B >的充要条件；④一条光线经过点()1,3P ，射在直线:10l x y ++=上，反射后穿过点()1,1Q ，则入射光线所在直线的方程为5340x y -+=；⑤已知32()f x x mx nx k =+++的三个零点分别为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则m n k ++为定值. A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C 【解析】【分析】①根据特称命题的否定的知识来判断；②根据基本不等式的知识来判断；③根据充要条件的知识来判断；④求得入射光线来判断；⑤利用抛物线的离心率判断. 【详解】①，命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++≥”，故①错误.②，由于正整数m 和n 满足m n ≤，0n m -≥，由基本不等式得22m n m n+-=，当m n m =-即2n m =时等号成立，故②正确. ③，在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，即sin sin A B A B >⇔>，所以A B >是sin sin A B >的充要条件，故③正确.④，设()1,1Q 关于直线10x y ++=的对称点为(),A a b ，则线段AQ 中点为11,22a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1110221121112AQ a b b k a ++⎧++=⎪⎪⎪+⎨-⎪==+⎪-⎪⎩，解得2a b ==-，所以()2,2A --.所以入射光线为直线AP ，即312321y x --=----，化简得5340x y -+=.故④正确. ⑤，由于抛物线的离心率是1，所以(1)0f =，即10m n k +++=，所以1m n k ++=-为定值，所以⑤正确. 故选：C 【点睛】本小题主要考查特称命题的否定，考查基本不等式，考查充要条件，考查直线方程，考查椭圆、双曲线、抛物线的离心率，属于中档题.6．已知等差数列{}n a 中，首项为1a （10a ≠），公差为d ，前n 项和为n S ，且满足15150a S +=，则实数d 的取值范围是（）A．[； B．(,-∞C．)+∞D．(,)-∞⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】由等差数列的前n 项和公式转化条件得11322a d a =--，再根据10a >、10a <两种情况分类，利用基本不等式即可得解. 【详解】Q 数列{}n a 为等差数列，∴1515455102a d d S a ⨯=+=+，∴()151********a S a a d +++==，由10a ≠可得11322a d a =--，当10a >时，1111332222a a d a a ⎛⎫=--=-+≤-= ⎪⎝⎭1a 时等号成立；当10a <时，11322a d a =--≥=1a =立；∴实数d 的取值范围为(,)-∞⋃+∞.故选：D. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式与基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题.7．已知0a b >>，则下列不等式正确的是（）A ．ln ln a b b a ->-B ．|||b a <C ．ln ln a b b a -<-D ．|||b a ->【答案】C 【解析】【分析】利用特殊值代入法，作差比较法，排除不符合条件的选项，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，因为0a b >>，取,1a e b ==，则ln 0,ln a b b a e -=-=，1b a e ==-，可排除A 、D 项；取11,49a b ==711812b a ==，可排除B 项；因为满足0a b >>条件的排除法，可得A 、B 、D 是错误的.故选：C . 【点睛】本题主要考查了不等式与不等关系，以及不等式的的基本性质，其中解答中合理赋值，代入排除是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.8．在ABC V 中，,,a b c 分别为A ∠，B Ð，C ∠所对的边，函数2232()13a c f x x bx x +-=+++的导函数为()f x '，当函数[]()ln ()g x f x '=的定义域为R 时，B Ð的取值范围为( )A ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．0,6π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】首先求出函数的导数，依题意即222()3203a c f x x bx +-'=++>恒成立，所以()222(2)430b ac ac∆=-+-<，再结合余弦定理即可求出B的取值范围；【详解】解：因为22323()1a c acf x x bx x+-=+++，所以2223()323a c acf x x bx+-'=++，若()g x的定义域为R，则有()222(2)430b ac ac∆=-+-<，即2223a cb ac+->，结合余弦定理，2223cos22a c bBac+-=>，故0,6Bπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：D.【点睛】本题考查导数的计算，对数函数的定义域以及不等式恒成立问题，属于中档题.9．已知不等式组y xy xx a≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，若点，则的最大值为（）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C【解析】【分析】【详解】分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出3a=，然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值.详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：则(,),(,)A a aB a a-，所以平面区域的面积1292S a a=⋅⋅=，解得3a=，此时(3,3),(3,3)A B-，由图可得当2z x y=+过点(3,3)A时，2z x y=+取得最大值9，故选C.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.10．对于函数()f x ，若12,x x 满足()()()1212f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点”．若实数a 与b 和+a b 与c 为函数()3xf x =的两对“线性对称点”，则c的最大值为（） A ．3log 4 B ．3log 41+C ．43D ．3log 41-【答案】D 【解析】【分析】根据已知有333b c a b c a ++++=，可得13131ca b+=+-，只需求出3a b +的最小值，根据333a b a b +=+，利用基本不等式，得到3a b +的最小值，即可得出结论.【详解】依题意知，a 与b 为函数()3xf x =的“线性对称点”，所以333a b a b +=+=≥ 故34a b +≥（当且仅当a b =时取等号）.又+a b 与c 为函数()3xf x =的“线性对称点，所以333b c a b c a ++++=，所以3143131313a b ca b a b +++==+≤--，从而c 的最大值为3log 41-. 故选:D. 【点睛】本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，正确求出c 的表达式是解题的关键，属于中档题.11．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3C π<”，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项. 【详解】充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-，所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-，整理得，2212cos a b C ab++>，由基本不等式，222a b ab +≥=，当且仅当a b =时等号成立，此时，12cos 2C +>，即1cos 2C >，解得3C π<，充分性得证；必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291cos 247562C +-==>⨯⨯，故3C π<，但228ab c =<，故3C π<推不出2ab c >.故必要性不成立；故p 是q 的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.12．已知函数()2f x ax bx =+，满足()()241f f -≥≥，()12f -≤，则()2f 的最大值为（） A ．12 B ．13C ．14D ．15【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件可得,a b 满足的不等式2242a b a b a b -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，作出不等式组所表示的平面区域，又()242f a b =+，利用线性规划即可求出()2f 的最大值．【详解】由已知得2242a b a b a b -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，可得(),P a b 的表示的平面区域如图：可求出()3,1A ，()2,2B ，()0,2C -，目标函数()242z f a b ==+，可化为122b a z =-+，当直线过点A 时，max 14z =. 故选：C. 【点睛】本题主要考查求线性约束条件下的最值计算，关键是根据,a b 满足的不等式作出可行域，并将目标函数()242z f a b ==+变形为122b a z =-+进行平移，找到截距的最大值．13．已知ABC V 外接圆的半径2R =，且223sin 2AA =.则ABC V 周长的取值范围为（） A ．(23,4]B ．(4,43]C ．(43,423]+D ．(423,63]+【答案】C 【解析】【分析】由2sin 2A A =及倍角公式可得23A π=，2sin a R A ==得2212b c bc =++，再利用基本不等式及三角形两边之和大于第三边求出b c +的取值范围即可得到答案. 【详解】由题意，22cos 1123A A -=-，即cos 13A A -=-，可化为33A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即sin 3A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0A π<<，所以33A ππ-=，即23A π=，2sin a R A ==ABC V 的内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，由余弦定理得，2212b c bc =++，因为222b c bc +≥（当且仅当b c =时取“=”），所以22123b c bc bc =++≥，即4bc ≤，又因为22212()b c bc b c bc =++=+-，所以2()124bc b c =+-≤，故4b c +≤，则4a b c ++≤+b c a +>，所以2a b c a ++>=4a b c +++≤.故ABC V 周长的取值范围为4+.故选：C 【点睛】本题考查利用余弦定理求三角形周长的取值范围，涉及到辅助角公式、基本不等式求最值，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.14．已知函数()2222,2{log ,2x x x f x x x -+≤=> ，若0R x ∃∈，使得()2054f x m m ≤- 成立，则实数m 的取值范围为（） A ．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】由函数的解析式可得函数的最小值为：()11f =,则要考查的不等式转化为：2154m m ≤-，解得：114m ≤≤，即实数m 的取值范围为 1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 本题选择B 选项.点睛： (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．15．若两个正实数x ，y 满足142x y +=，且不等式2m 4y x m +<-有解，则实数m 的取值范围是 ( )A ．(1,2)-B ．(,2)(1,)-∞-+∞UC ．()2,1-D ．(,1)(2,)-∞-+∞U 【答案】D【解析】【分析】将原问题转化为求最值的问题，然后利用均值不等式求最值即可确定实数m 的取值范围.【详解】若不等式24y x m m +<-有解，即2()4min y m m x ->+即可， 142x y +=Q ，1212x y∴+=，则121221112121124422482y y x y x x x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+=+=+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当28x y y x=，即2216y x =，即4y x =时取等号，此时1x =，4y =，即()24min y x +=，则由22m m ->得220m m -->，即()()120m m +->，得2m >或1m <-，即实数m 的取值范围是()(),12,-∞-⋃+∞，故选D ．【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键．16．已知在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos b C c B =，则111tan tan tan A B C++的最小值为（）A ．273B ．5C ．73D ．25 【答案】A【解析】【分析】先根据已知条件，把边化成角得到B,C 关系式，结合均值定理可求. 【详解】∵2cos cos b C c B =，∴2sin cos sinCcos B C B =，∴tan 2tan C B =.又A B C π++=，∴()()tan tan tan A B C B C π=-+=-+⎡⎤⎣⎦22tan tan 3tan 3tan 1tan tan 12tan 2tan 1B C B B B C B B +=-=-=---， ∴21112tan 111tan tan tan 3tan tan 2tan B A B C B B B -++=++27tan 36tan B B =+. 又∵在锐角ABC ∆中, tan 0B >,∴272727tan 2tan 36tan 36tan B B B B +≥⨯=，当且仅当7tan B =时取等号， ∴min11127tan tan tan 3A B C ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，故选A. 【点睛】本题主要考查正弦定理和均值定理，解三角形时边角互化是求解的主要策略，侧重考查数学运算的核心素养.17．设x ，y 满足约束条件则的最大值与最小值的比值为（） A ． B ． C ． D ．【答案】A【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，观察直线在轴上取得最大值和最小值时相应的最优解，再将最优解代入目标函数可得出最大值和最小值，于此可得出答案。

(易错题精选)初中数学方程与不等式之不等式与不等式组分类汇编附答案解析

（易错题精选）初中数学方程与不等式之不等式与不等式组分类汇编附答案解析一、选择题1．不等式组32110x x -<⎧⎨+≥⎩的解集在数轴上表示正确的是（） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【详解】 32110 x x -<⎧⎨+≥⎩①② 解不等式①得，1x <，解不等式②得，1x ≥-所以，不等式组的解集为：-11x ≤<，在数轴上表示为：故选D.【点睛】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．2．某商品的标价比成本价高%a ，根据市场需要，该商品需降价%b ．为了不亏本，b 应满足（）A ．b a ≤B ．100100a b a ≤+C ．100a b a ≤+D ．100100a b a≤- 【答案】B【解析】【分析】根据最大的降价率即是保证售价大于等于成本价，进而得出不等式即可．【详解】解：设成本为x 元，由题意可得：()()1%1%x a b x +-?，整理得：100100b ab a +?， ∴100100a b a ≤+，故选：B ．【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用，得出正确的不等关系是解题关键．3．不等式组30240x x -≥⎧⎨+>⎩的解集在数轴上表示正确的是（） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】【详解】解：30240x x -≥⎧⎨+>⎩①②，解不等式①得，x ≤3解不等式②得，x ＞﹣2在数轴上表示为：.故选D ．【点睛】本题考查在数轴上表示不等式组的解集．4．小明要从甲地到乙地，两地相距1.8千米．已知他步行的平均速度为90米/分，跑步的平均速度为210米/分，若他要在不超过15分钟的时间内从甲地到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设他需要跑步x 分钟，则列出的不等式为（）A ．210x +90（15﹣x ）≥1.8B ．90x +210（15﹣x ）≤1800C ．210x +90（15﹣x ）≥1800D ．90x +210（15﹣x ）≤1.8【答案】C【解析】【分析】根据题意,利用要在不超过15分钟的时间内从甲地到达乙地建立不等式即可解题.【详解】解：由题可知只需要小明在15分钟之内走过的路程大于1800即可,即210x+90（15﹣x ）≥1800故选C.【点睛】本题考查了一次不等式的实际应用,属于简单题,建立不等关系是解题关键.5．若不等式24x <的解都能使关于x 的一次不等式2(1)x x a ++<成立，则a 的取值范围是( )A ．8a ≥B ．8a ≤C ．8a >D ．8a < 【答案】A【解析】【分析】先求出不等式24x <的解集，再求出不等式2(1)x x a ++<的解集，即可得出关于a 的不等式并求解即可．【详解】解：由24x <可得：x ＜2；由2(1)x x a ++<可得：x ＜23a -；由题意得：23a -≥2，解得：a≥8；故答案为A ．【点睛】本题主要对解一元一次不等式组、不等式的解集等知识，根据题意得到关于a 的不等式是解答本题的关键．6．下列不等式的变形正确的是（）A ．若,am bm >则a b >B ．若22am bm >，则a b >C ．若,a b >则22am bm >D ．若a b >且0,ab >则11a b> 【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质，对每个选项进行判断，即可得到答案．【详解】解：当0m <时，若am bm >，则a b <，故A 错误；若22am bm >，则a b >，故B 正确；当=0m 时，22=am bm ，故C 错误；若0a b >>，则11a b<，故D 错误；故选：B ．【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质进行判断．7．从4-，1-，0，2，5，8这六个数中，随机抽一个数，记为a ，若数a 使关于x 的不等式组0331016x a x -⎧<⎪⎨⎪+≥⎩无解，且关于y 的分式方程2233y a y y -+=--有非负数解，则符合条件的a 的值的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】由不等式组无解确定出a 的一个取值范围、由分式方程其解为非负数确定a 的一个取值范围，综上可确定a 的最终取值范围，根据其取值范围即可判定出满足题意的值．【详解】解：0331016x a x -⎧<⎪⎨⎪+≥⎩①②解①得，x a <解②得，2x ≥∵不等式组无解∴2a ≤ ∵2233y a y y-+=-- ∴83a y -= ∵关于y 的分式方程2233y a y y -+=--有非负数解 ∴803a y -=≥且833a -≠ ∴8a ≤且a≠-1∴综上所述，2a ≤且1a ≠-∴符合条件的a 的值有4-、0、2共三个．故选：C【点睛】本题考查了不等式（组）的解法、分式方程的解法，能根据已知条件确定a 的取值范围是解决问题的关键．8．已知a ＞b ，则下列不等式中，正确的是( )A ．-3a ＞-3bB ．3a -＞3b -C ．3-a ＞3-bD ．a-3＞b-3【答案】D【解析】【分析】由题意可知，根据不等式的性质，看各不等式是加（减）什么数或乘（除）以哪个数得到的，用不用变号即可求解.【详解】A.a ＞b ，－3a ＜－3b ，故A 错误；B.a ＞b ，3a -＜3b - ，故B 错误； C.a ＞b ，3－a ＜3－b ，故C 错误； D. a ＞b ，a －3＞b －3，故D 正确；故答案为：D.【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.9．已知三个实数a ，b ，c 满足a ﹣2b +c ＜0，a +2b +c ＝0，则（）A ．b ＞0，b 2﹣ac ≤0B ．b ＜0，b 2﹣ac ≤0C ．b ＞0，b 2﹣ac ≥0D ．b ＜0，b 2﹣ac ≥0【答案】C【解析】【分析】根据a ﹣2b +c ＜0，a +2b +c ＝0，可以得到b 与a 、c 的关系，从而可以判断b 的正负和b 2﹣ac 的正负情况．【详解】∵a ﹣2b +c ＜0，a +2b +c ＝0，∴a +c ＝﹣2b ，∴a ﹣2b +c ＝（a +c ）﹣2b ＝﹣4b ＜0，∴b ＞0，∴b 2﹣ac ＝222222a c a ac c ac +++⎛⎫-= ⎪⎝⎭＝2222042a ac c a c -+-⎛⎫= ⎪⎝⎭…，即b ＞0，b 2﹣ac ≥0，故选：C ．【点睛】此题考查不等式的性质以及因式分解的应用，解题的关键是明确题意，判断出b 和b 2-ac 的正负情况．10．若x y >，则下列各式正确的是（）A ．0x y -+D ．xm ym >【答案】B【解析】【分析】根据不等式的基本性质解答即可．【详解】由x ＞y 可得：x-y ＞0，1-x ＜1-y ，x+3＞y+3，故选：B ．【点睛】此题考查不等式的性质，熟练运用不等式的性质是解题的关键．11．在直角坐标系中，若点P(2x －6，x －5)在第四象限，则x 的取值范围是( )A ．3＜x ＜5B ．－5＜x ＜3C ．－3＜x ＜5D ．－5＜x ＜－3 【答案】A【解析】【分析】点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数．【详解】解：∵点P （2x-6，x-5）在第四象限，∴260{50x x －＞－＜，解得：3＜x ＜5．故选：A ．【点睛】主要考查了平面直角坐标系中第四象限的点的坐标的符号特点．12．不等式组354xx≤⎧⎨+>⎩的最小整数解为（）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】B【解析】【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解求最小值.【详解】解：354xx≤⎧⎨+>⎩①②解①得x≤3，解②得x＞-1．则不等式组的解集是-1＜x≤3．∴不等式组整数解是0，1，2，3，最小值是0．故选：B.【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定x的范围是本题的关键．13．不等式组2131xx+≥-⎧⎨<⎩的解集在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】分别求出各不等式的解集，并在数轴上表示出来，找出符合条件的选项即可．【详解】解不等式2x+1≥﹣3得：x≥﹣2，不等式组的解集为﹣2≤x＜1，不等式组的解集在数轴上表示如图：【点睛】本题考查了在数轴上表示一元一次不等式组的解集及解一元一次不等式组，熟知“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则是解答本题的关键．14．若整数a 使关于x 的分式方程111a x a x x ++=-+的解为负数，且使关于x 的不等式组1()022113x a x x ⎧-->⎪⎪⎨+⎪-≥⎪⎩无解，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．5B ．7C ．9D ．10 【答案】C【解析】【分析】解分式方程和不等式得出关于x 的值及x 的范围，根据分式方程的解不是增根且为负数和不等式组无解得出a 的范围，继而可得整数a 的所有取值，然后相加．【详解】解：解关于x 的分式方程111a x a x x ++=-+，得x ＝−2a+1， ∵x ≠±1，∴a ≠0，a≠1，∵关于x 的分式方程111a x a x x ++=-+的解为负数， ∴−2a+1＜0， ∴12a >，解不等式1()02x a -->，得：x ＜a ，解不等式2113x x +-≥，得：x≥4， ∵关于x 的不等式组1()022113x a x x ⎧-->⎪⎪⎨+⎪-≥⎪⎩无解， ∴a ≤4，∴则所有满足条件的整数a 的值是：2、3、4，和为9，故选：C ．本题主要考查分式方程的解和一元一次不等式组的解，熟练掌握解分式方程和不等式组的方法，并根据题意得到a 的范围是解题的关键．15．已知关于x 的不等式4x a 3+＞1的解都是不等式2x 13+＞0的解，则a 的范围是( ) A ．a 5=B ．a 5≥C ．a 5≤D ．a 5< 【答案】C【解析】【分析】先把a 看作常数求出两个不等式的解集，再根据同大取大列出不等式求解即可．【详解】由413x a +>得,34a x ->，由210,3x +> 得,1,2x >- ∵关于x 的不等式413x a +>的解都是不等式2103x +>的解， ∴3142a -≥-，解得 5.a ≤即a 的取值范围是： 5.a ≤故选:C.【点睛】考查不等式的解析，掌握一元一次不等式的求法是解题的关键.16．9≤，则x 取值范围为（） A ．26x ≤≤B ．37x ≤≤C ．36x ≤≤D ．17x ≤≤【答案】A【解析】【分析】先化成绝对值，再分区间讨论，即可求解．【详解】9，即：23579x x x x -+-+-+-≤，当2x <时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得2x ≥，矛盾；当23x ≤<时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得2x ≥，符合；当35x ≤<时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得79≤，符合；当57x ≤≤时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得6x ≤，符合；当7x >时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得 6.5x ≤，矛盾；综上，x 取值范围为：26x ≤≤，故选：A ．【点睛】本题考查二次根式的性质和应用，一元一次不等式的解法，解题的关键是分区间讨论，熟练运用二次根式的运算法则．17．如果,0a b c ><，那么下列不等式成立的是（）A ．a c b +>B ．a c b c +>-C ．11ac bc ->-D ．()()11a c b c -<- 【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质即可求出答案．【详解】解：∵0c <，∴11c -<-，∵a b >，∴()()11a c b c -<-，故选：D ．【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于中等题型．18．若关于x 的不等式x ＜a 恰有2个正整数解，则a 的取值范围为（）A ．2＜a ≤3B ．2≤a ＜3C ．0＜a ＜3D ．0＜a ≤2【答案】A【解析】【分析】结合题意，可确定这两个正整数解应为1和2，至此即可求出a 的取值范围【详解】由于x<a 恰有2个正整数解，即为1和2，故2<a ≤3故正确答案为A【点睛】此题考查了不等式的整数解，列出关于a 的不等式是解题的关键19．关于x 的方程2111ax x x -=++的解为非正数，且关于x 的不等式组22533a x x +⎧⎪+⎨⎪⎩……无解，那么满足条件的所有整数a 的和是（）A ．﹣19B ．﹣15C ．﹣13D ．﹣9 【答案】C【解析】解：分式方程去分母得：ax ﹣x ﹣1=2，整理得：（a ﹣1）x =3，由分式方程的解为非正数，得到 31a -≤0，且 31a -≠﹣1，解得：a ＜1且a ≠﹣2．不等式组整理得：224a x x -⎧≤⎪⎨⎪≥⎩，由不等式组无解，得到22a -＜4，解得：a ＞﹣6，∴满足题意a 的范围为﹣6＜a ＜1，且a ≠﹣2，即整数a 的值为﹣5，﹣4，﹣3，﹣1，0，则满足条件的所有整数a 的和是﹣13，故选C ．点睛：此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．若a b >，则下列不等式中，不成立的是（）A ．33a b ->-B ．33a b ->-C ．33a b > D ．22a b -+<-+ 【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质进行判断即可.【详解】解：A 、根据不等式的性质3，不等式的两边乘以(-3)，可得-3a ＜-3b ，故A 不成立； B 、根据不等式的性质1，不等式的两边减去3，可得a-3＞b-3，故B 成立；C 、根据不等式的性质2，不等式的两边乘以13，可得33a b >，故C 成立； D 、根据不等式的性质3，不等式的两边乘以(-1)，可得-a ＜-b ，再根据不等式的性质1，不等式的两边加2，可得-a+2＜-b+2，故D 成立.故选：A.【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.。

不等式(3大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关)-备战2024年高考数学考试易错题(解析版)

专题03不等式易错点一：忽略不等式变号的前提条件（等式与不等式性质的应用）1．比较大小基本方法关系方法做差法与0比较做商法与1比较b a >0>-b a )0(1>>b a b a ，或)0(1<b a ba ，2．．等式的性质（1）基本性质性质性质内容对称性ab b a a b b a >⇔<<⇔>；传递性c a c b b a c a c b b a <⇒<<>⇒>>，；，可加性cb c a b a >>+⇔>可乘性b ac c b a bc ac c b a <⇒<>>⇒>>00，；，同向可加性db c a d c c a +>+⇒>>，同向同正可乘性bdac d c b a >⇒>>>>00，可乘方性nn b a N n b a >⇒∈>>*0，类型1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率．类型2．比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性．比较法又分为作差比较法和作商比较法．作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小．作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法．易错提醒：(1)一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．(2)不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础．，b，，若a b>，则下列不等式成立的是（）易错点二：遗漏一元二次方法求解的约束条件（有关一元二次不等式求解集问题）解一元二次不等式的步骤：第一步：将二次项系数化为正数；第二步：解相应的一元二次方程；第三步：根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；第四步：写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．对含参的不等式，应对参数进行分类讨论具体模型解题方案：1、已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，（其中0>mn ），解关于x 的不等式02>++a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2>++c x b x a 的解集为)11(m n ，，即关于x 的不等式02>++a bx cx 的解集为11(mn ，．已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，解关于x 的不等式02≤++a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:011(2≤++c x b x a 的解集为)1[]1(∞+-∞，，m n 即关于x 的不等式02≤++a bx cx 的解集为)1[]1(∞+-∞，，mn ．2、已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，（其中0>>m n ），解关于x 的不等式02>+-a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2>+-c x b x a 的解集为11(n m --，即关于x 的不等式02>+-a bx cx 的解集为)11(nm --，．3．已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，解关于x 的不等式02≤+-a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2≤+-c x b x a 的解集为)1[1(∞+---∞，，nm 即关于x 的不等式02≤+-a bx cx 的解集为)1[]1(∞+---∞，，nm ，以此类推．4、已知关于x 的一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为R ，则一定满足⎩⎨⎧<∆>00a ；5、已知关于x 的一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为φ，则一定满足⎩⎨⎧≤∆<00a ；6、已知关于x 的一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为R ，则一定满足⎩⎨⎧<∆<00a ；7、已知关于x 的一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为φ，则一定满足⎩⎨⎧≤∆>00a ．易错提醒：一元二次不等式一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>≠，其中24b ac ∆=-，12,x x 是方程20(0)ax bx c a ++>≠的两个根，且12x x <（1）当0a >时，二次函数图象开口向上．（2）①若0∆>，解集为{}21|x x x x x ><或．(2)当0a <时，二次函数图象开口向下．①若0∆>，解集为{}12|x x x x <<②若0∆≤，解集为∅。

高考数学复习不等式易错题精选及解析

高考数学复习不等式易错题精选及解析三、解答题：1．是否存在常数 c ，使得不等式2222x y x y c x y x y x y x y +≤≤+++++对任意正数 x,y 恒成立？错解：证明不等式2222x y x y x y x y x y x y+≤+++++恒成立，故说明c 存在。

正解：令x=y 得2233c ≤≤，故猜想c=23,下证不等式222322x y x y x yx y x y x y +≤≤+++++恒成立。

要证不等式2223x y x y x y +≤++，因为x,y 是正数，即证3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2（2 x+y ）(x+2y),也即证222231232(225)x xy y x y xy ++≤++,即2xy ≤22x y +，而此不等式恒成立，同理不等式2322x y x y x y≤+++也成立，故存在c=23使原不等式恒成立。

2．已知适合不等式2435x x p x -++-≤的x 的最大值为3，求p 的值。

错解：对此不等式无法进行等价转化，不理解“x 的最大值为3”的含义。

正解：因为x 的最大值为3，故x-3<0,原不等式等价于24(3)5x x p x -+--≤，即2242x x x p x --≤-+≤+，则22520(1){320(2)x x p x x p -+-≤-++≥，设（1）（2）的根分别为12213443(),()x x x x x x x x >>、、，则2433x x ==或若23x =，则9-15+p-2=0，p=8若43x =，则9-9+p+2=0,p=-2当p =-2时，原方程组无解，则p=83．设f x ax bx ()=+2，且112214≤-≤≤≤f f ()()，，求f ()-2的取值范围。

解：令f mf nf ()()()-=-+211则42a b m a b n a b -=-++()()∴-=+--42a b m n a m n b ()()比较系数有m n m n +=-=⎧⎨⎪⎩⎪42∴==⎧⎨⎪⎩⎪∴-=-+≤-<≤≤∴≤-+≤m n f f f f f f f 312311112214531110()()()()()()() ，即5210≤-≤f ()说明：此题极易由已知二不等式求出a b 、的范围，然后再求42a b -即f ()-2的范围，这种解法错在已知二不等式中的等号成立的条件不一定相同，它们表示的区域也不一定相同，用待定系数法则容易避免上述错误。