第三章复变函数的积分

第三章复变函数的积分

第三章复变函数的积分

本章要求

1．正确理解复积分的概念，掌握复积分的性质及一般计算法. 2．明确柯西积分定理及其几种推广的条件和结论.能运用柯西定理、柯西公式、高阶导数公式来求积分.

3．掌握柯西不等式、刘维尔定理、代数学基本定理.知道摩勒拉定理与柯西定理组成了解析函数的一个充要条件.

4．明确调和函数与共轭调和函数的概念，会由已知的调和函数u 和v 求出解析函数u iv +．

本章重点柯西定理、柯西公式、高阶导数公式及其应用.

本章难点

柯西定理、柯西公式、刘维尔定理.

§3.1 复积分的概念及其简单性质

1.复变函数积分的定义

定义3.1 设有向曲线C ：

()()βα≤≤=t t z z ,

以()αz a =为起点, ()βz b =为终点, ()z f 沿C 有定义.顺着C 从a 到b 的方向在C 上取分点:

b z z z z a n n ==-,,,110

把曲线C 分成若干个弧段(图3.1),在从1-k z 到k z ),,2,1(n k =的每一段上任取一点k ζ.作成和数:

()k

k n

k n z f s ?=∑=ζ1

其中1--=?k k k z z z .当分点无限增多.而这些弧段长度的最大值趋于零时,如果和数n s 的极限存在且等于J ,则称()z f 沿C (从a 到b )可积,而称J 为沿C (从a 到

b )的积分,并以记号()dz z f

c ?表示:

()dz z f J c ?=

C 称为积分路径. ()dz z f c ?表示沿C 的正方向的积分, ()dz z f c -?表示沿C 的负方向的积分.

如果J 存在,我们一般不能把J 写成()dz z f b a ?的形式,因为J 的值不仅和b a ,有

关,而且和积分路径C 有关.

显然, ()z f 沿曲线C 可积的必要条件为()z f 沿C 有界.另一方面,我们有定理3.1 若()()()y x iv y x u z f ,,+=沿曲线C 连续,则()z f 沿C 可积,且

().udy vdx i vdy udx dz z f c c c +?+-?=? (3.1)

注: 公式()1.3可以在形式上看成函数()iv u z f +=与微分idy dx dz +=相乘后所得到的.

例3.1 命C 表连接点a 及b 的任一曲线,试证

()()()

222

12;1a b zdz a b dz c c -=?-=?

证: (1) 因

()()a

b z z s z f k k n

k n -=-∑==-=11

,1,故a

b s n n k z -=→?∞

→0

m ax lim ,即a b dz c -=?

(2) 因()z z f =,选1-=k k z ζ,则得 (),

1111--=-∑=∑k k k n

k z z z 但我们又可选k k z =ζ,则得 (),

112-=-∑=∑k k k n

k z z z

由定理 3.1,可知积分zdz c ?存在,因而n s 的极限存在,且应与1∑及2∑的极限相

等,从而应与的极限相等.今()()

2221

212121)(2121a b z z k k n k -=-∑=∑+∑-=

所以

()

22

21a b zdz c -=

注当C 为闭曲线时, .0,0=?=?zdz dz c c

2. 复变函数积分的计算问题

设有光滑曲线C : ()()()t iy t x t z z +== ()βα≤≤t ,

这就表示()t z '在[]βα,上连续且有不为零的导数()()()t y i t x t z '+'='.又设()z f 沿C 连续.今()[]()()[]()()[]()()t iv t u t y t x iv t y t x u t z f ==+=,,,

由公式(3.1)我们有

()()()()()()()()()c c c f z dz udx vdy i udy vdx

u t x t v t y t dt i u t y t v t x t dt ββ

αα?=?-+?+''''=?-+?+

即()()[](),dt t z t z f dz z f c '?=?β

α (3.2)

或

()Re βα?=?dz z f c ()[]{()}()[]{()}dt t z t z f i dt t z t z f '?+'Im βα (3.3)

用公式(3.2)或(3.3) 计算复变函数的积分,是从积分路径C 的参数方程着手,称为参数方程法.(3. 2)或(3.3)称为复积分的变量代换公式.

例3.2 (重要的常用例子)

()=-?n c

a z dz

≠=)1(,0)1(,2n n i π

这里C 表示以a 为心,ρ为半径的圆周.(注意;积分值与ρ,a 均无关) 证 C 的参数方程为:

.20,πθρθ

≤≤=-i e a z 故();220202.3i d i e e i a z dz i i c πθρρπ

θ

θπ=?=?=-? 当n 为整数且1≠n 时,

()

()()()1220

1220

01

cos 1sin 10i i n c

n

n in n n dz

i e d i e d e z a i

n d i n d θθ

π

πθππρθθρρθθθθρ----?=?=?-??=

--?-=??

3. 复变函数积分的基本性质

设()()z g z f ,沿曲线C 连续,则有下列与数学分析中的曲线积分相类似的性质;

()()a dz z f a dz z af c C ,)1(?=?是常数; (2) ()()[]()();dz z g dz z f dz z g z f c c c ?+?=+?

(3) ()()(),21dz z f dz z f z f c c c ?+?=? 其中C 由曲线1C 和2C 衔接而成;

(4) .

)()(??

-=-