初中数学三角形知识点典型例题解析都在这了，太全了,中考必备!
新人教版初中数学——等腰三角形与直角三角形-知识点归纳及典型题解析
新人教版初中数学——等腰三角形与直角三角形知识点归纳与典型题解析一、等腰三角形1．等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．2．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．二、等边三角形1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．三、直角三角形与勾股定理1．直角三角形定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．性质：（1）直角三角形两锐角互余；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2．勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即：a 2+b 2=c 2． （2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a 、b 、c 有关系：a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形．考向一 等腰三角形的性质1．等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴． 2．等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．3．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 4．等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b<a ． 5．等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A =180°-2∠B ，∠B =∠C =2180A∠-︒．典例1 等腰三角形的一个内角为40°，则其余两个内角的度数分别为（ ） A ．40°，100° B ．70°，70°C ．60°，80°D ．40°，100°或70°，70°【答案】D【解析】①若等腰三角形的顶角为40°时，另外两个内角=（180°–40°）÷2=70°； ②若等腰三角形的底角为40°时，它的另外一个底角为40°，顶角为180°–40°–40°=100°． 所以另外两个内角的度数分别为：40°、100°或70°、70°．故选D ．【名师点睛】考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和为180o ，解题关键是分情况进行讨论①已知角为顶角时；②已知角为底角时．典例2 如图，在ABC ∆中，AB =AC ，D 是BC 的中点，下列结论不正确的是（ ）A．AD BC B．∠B=∠CC．AB=2BD D．AD平分∠BAC【答案】C【解析】因为△ABC中，AB=AC，D是BC中点，根据等腰三角形的三线合一性质可得，A．AD⊥BC，故A选项正确；B．∠B=∠C，故B选项正确；C．无法得到AB=2BD，故C选项错误；D．AD平分∠BAC，故D选项正确．故选C．【名师点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质.1．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边为__________cm.考向二等腰三角形的判定1．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．2．底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．典例3 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F．求证：△AEF是等腰三角形．【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD．又∵AD∥EF，∴∠F=∠CAD，∠FEA=∠BAD，∴∠FEA=∠F，∴△AEF是等腰三角形．2．已知在△ABC中，AB=5，BC=2，且AC的长为奇数．（1）求△ABC的周长；（2）判断△ABC的形状．考向三等边三角形的性质1．等边三角形具有等腰三角形的一切性质．2．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．3．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．典例4 如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于E，若BE=1，则AC 的长为__________．【答案】4【解析】∵DE ⊥BC ，∠B =∠C =60°， ∴∠BDE =30°，∴BD =2BE =2，∵点D 为AB 边的中点，∴AB =2BD =4， ∵∠B =∠C =60°，∴△ABC 为等边三角形， ∴AC =AB =4，故答案为：4．【名师点睛】本题主要考查直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，利用直角三角形的性质求得AB =2BD 是解题的关键.3．如图，ABC ∆是等边三角形，点D 在AC 上，以BD 为一边作等边BDE ∆，连接CE ． （1）说明ABD CBE ∆≅∆的理由； （2）若080BEC ∠=，求DBC ∠的度数．考向四 等边三角形的判定在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．典例5 下列推理中，错误的是A ．∵∠A =∠B =∠C ，∴△ABC 是等边三角形 B ．∵AB =AC ，且∠B =∠C ，∴△ABC 是等边三角形 C ．∵∠A =60°，∠B =60°，∴△ABC 是等边三角形D ．∵AB =AC ，∠B =60°，∴△ABC 是等边三角形 【答案】B【解析】A，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形，故正确；B，条件重复且条件不足，故不正确；C，∵∠A=60°，∠B=60°，∴∠C=60°，∴△ABC是等边三角形60°，故正确；D，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可以得到，故正确．故选B．4．如图，已知OA=5，P是射线ON上的一个动点，∠AON=60°．当OP=__________时，△AOP为等边三角形．考向五直角三角形在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，这个性质常常用于计算三角形的边长，也是证明一边（30°角所对的直角边）等于另一边（斜边）的一半的重要依据．当题目中已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题．典例6 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若∠B=30°，BD=6，则CD 的长为__________．【答案】3【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°．又AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=30°，∴∠BAD=∠B=30°，∴AD=BD=6，∴CD=12AD=3，故答案为：3．5．已知直角三角形的两条边分别是5和12，则斜边上的中线的长度为__________．考向六 勾股定理1．应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a 2+b 2=c 2时，斜边只能是c ．若b 为斜边，则关系式是a 2+c 2=b 2；若a 为斜边，则关系式是b 2+c 2=a 2．2．如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．典例7 cm cm ，则这个直角三角形的周长为__________.【答案】【解析】∵直角边长为cm cm ，∴斜边（cm ），∴周长cm ）.故答案为:【名师点睛】本题考查了二次根式与三角形边长，面积的综合运用.熟练掌握勾股定理的计算解出斜边是关键6．如图所示，在ABC ∆中，90B ∠=︒，3AB =，5AC =，D 为BC 边上的中点.（1）求BD 、AD 的长度；（2）将ABC ∆折叠，使A 与D 重合，得折痕EF ；求AE 、BE 的长度.1．直角三角形两直角边长分别为6和8，则此直角三角形斜边上的中线长是 A ．3B ．4C ．7D ．52．如图，ABC △是等边三角形，0,20BC BD BAD =∠=，则BCD ∠的度数为A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°3．如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB =AC ，顶角∠BAC =120°，跨度BC =10m ，AD 为支柱（即底边BC 的中线），两根支撑架DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，则DE +DF 等于A ．10mB ．5mC ．2.5mD ．9.5m4．如图，ABC ∆是边长为1的等边三角形，BDC ∆为顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，点M 、N 分别在AB 、AC 上，且60MDN ∠=︒，则AMN ∆的周长为A．2 B．3 C．1.5 D．2.55．如图，△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，AB=AC，CD=DE．若∠A=40°，∠ABD：∠DBC=3：4，则∠BDE=A．24°B．25°C．30°D．35°6．已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为A．22 B．17C．17或22 D．267．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在BC上，且AD平分∠BAC，则AD的长为A．6 B．5C．4 D．38．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有A ．8个B ．9个C ．10个D ．11个9．如图，Rt △ABC 中，∠B =90〬，AB =9，BC =6，，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段AN 的长等于A ．5B ．6C ．4D ．310．将一个有45°角的三角尺的直角顶点C 放在一张宽为3 cm 的纸带边沿上，另一个顶点A 在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边AC 与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角尺的最长边的长为A ．6B ．C ．D ．11．三角形的三边a ，b ，c （b ﹣c ）2=0；则三角形是_____三角形. 12．如图，等腰△ABC 中，AB =AC =13cm ，BC =10cm ，△ABC 的面积=________．13．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°，则这个等腰三角形顶角的度数为__________. 14．若一个等腰三角形的周长为26，一边长为6，则它的腰长为__________．15．如图，在ABC △中，AB AC =，D 、E 分别是BC 、AC 上一点，且AD AE =，12EDC ∠=︒，则BAD ∠=__________．16．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠EFD=__________°．17．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E是AD上的一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰好落在∠BCD的平分线上时，CA1的长为__________．18．如图，在Rt△ABC中，点E在AB上，把△ABC沿CE折叠后，点B恰好与斜边AC的中点D 重合.（1）求证：△ACE为等腰三角形；（2）若AB=6，求AE的长.19．如图，一架2.5 m 长的梯子斜立在竖直的墙上，此时梯足B 距底端O 为0.7 m ．（1）求OA 的长度；（2）如果梯子顶端下滑0.4米，则梯子将滑出多少米？20．ABC ∆与DCE ∆有公共顶点C （顶点均按逆时针排列），AB AC =，DC DE =，180BAC CDE ∠+∠=︒，//DE BC ，点G 是BE 的中点，连接DG 并延长交直线BC 于点F ，连接,AF AD .（1）如图，当90BAC ∠=︒时， 求证：①BF CD =； ②AFD ∆是等腰直角三角形.（2）当60BAC ∠=︒时，画出相应的图形（画一个即可），并直接指出AFD ∆是何种特殊三角形.21．已知：如图，有人在岸上点C 的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长CB =10米，CA ⊥AB ，且CA =6米，拉动绳子将船从点B 沿BA 方向行驶到点D 后，绳长CD （1）试判定△ACD 的形状，并说明理由； （2）求船体移动距离BD 的长度．1．如图，在OAB △和OCD △中，,,,40OA OB OC OD OA OC AOB COD ==>∠=∠=︒，连接,AC BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠．其中正确的个数为A ．4B ．3C ．2D ．12．在△ABC 中，AB =AC ，∠A =40°，则∠B =__________．3．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D ，E 都在边BC 上，∠BAD =∠CAE ，若BD =9，则CE 的长为__________．4．如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，连接AC ，BD ．若90ACB ∠=︒，AC BC =，AB BD =，则ADC ∠=__________︒．5．腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为__________．6．若等腰三角形的一个底角为72︒，则这个等腰三角形的顶角为__________．7．如图，△ABC 中，AB =BC ，∠ABC =90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE =CF ，若∠BAE =25°，则∠ACF =__________度．8．如图，ABC △中，点E 在BC 边上，AE AB =，将线段AC 绕点A 旋转到AF 的位置，使得CAF BAE ∠=∠，连接EF ，EF 与AC 交于点G ．（1）求证：EF BC =；（2）若65ABC ∠=︒，28ACB ∠=︒，求FGC ∠的度数．9．如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ．（1）若∠C =42°，求∠BAD 的度数；（2）若点E 在边AB 上，EF ∥AC 交AD 的延长线于点F ．求证：AE =FE ．10．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，BD =CE ，BE 、CD 相交于点O ．求证：（1）DBC ECB △≌△； （2）OB OC =．11．如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 边上的中点，连结AD ，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作EF ∥BC 交AB 于点F ． （1）若∠C =36°，求∠BAD 的度数．（2）若点E 在边AB 上，EF ∥AC 叫AD 的延长线于点F ．求证：FB =FE ．12．在ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥于点D ．（1）如图1，点M ，N 分别在AD ，AB 上，且90BMN ∠=︒，当30AMN =︒∠，2AB =时，求线段AM 的长；（2）如图2，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒，求证：BE AF =； （3）如图3，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，且90BMN ∠=︒，求证：AB AN +=．1．【答案】4cm 或5cm【解析】当长是4cm 的边是底边时，腰长是12（13–4）=4.5， 三边长为4cm ，4.5cm ，4.5cm ，等腰三角形成立；当长是4cm 的边是腰时，底边长是：13–4–4=5cm ，等腰三角形成立． 故底边长是：4cm 或5cm ．故答案是：4cm 或5cm【名师点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 2．【解析】（1）由题意得：5−2<AB <5+2，即：3<AB <7，∵AB 为奇数，∴AB =5， ∴△ABC 的周长为5+5+2=12． （2）∵AB =AC =5， ∴△ABC 是等腰三角形． 3．【答案】（1）见解析；（2）20°.【解析】（1）由060ABC DBE ∠=∠=，得ABD CBE ∠=∠，由,AB BC BD BE ==， 得ABD CBE ∆≅∆（SAS ）；（2）由ABD CBE ∆≅∆，得060BCE A ∠=∠=，所以00000180180806040CBE BEC BCE ∠=-∠-∠=--=， 所以000060604020DBC CBE ∠=-∠=-=.【名师点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，先证明三角形全等是解决本题的突破口． 4．【答案】5【解析】已知∠AON =60°，当OP =OA =5时，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，可得△AOP 为等边三角形．故答案为：5． 5．【答案】6或6.5【解析】分两种情况：①5和12是两条直角边，根据勾股定理求得斜边为13，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6.5；②5是直角边，12为斜边，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6，故答案为：6或6.5．6．【答案】（1）BD =2，AD =2）136AE =，56BE = 【解析】（1）∵在ABC ∆中，90B ∠=︒，3AB =，5AC =， ∴在Rt ABC ∆中，222225316BC AC AB =-=-=， ∴4BC =，又∵D 为BC 边上的中点， ∴122BD DC BC ===， ∴在Rt ABD ∆中，222222133AD AB BD =+=+=，∴AD =（2）ABC ∆折叠后如图所示，EF 为折痕，连接DE ，设AE x =，则DE x =，3BE x =-，在Rt BDE ∆中，222BE BD DE +=，即()22232x x -+=，解得：136x =， ∴136AE =， ∴135366BE =-=． 【名师点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，也考查了折叠的性质.是常见中考题型.1．【答案】D【解析】∵两直角边分别为6和8，∴斜边10=， ∴斜边上的中线=12×10=5，故选D ． 【名师点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键． 2．【答案】A 【解析】ABC △是等边三角形，AC AB BC ∴==，又BC BD =，AB BD ∴=，∴20BAD BDA ∠=∠=︒0180CBD BAD BDA ABC ∴∠=-∠-∠-∠0000018020206080=---=，BC BD =，∴11(180)(18080)5022BCD CBD ∠=⨯︒-∠=⨯︒-︒=︒，故选A ．【名师点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、等边对等角以及三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是正确解答本题的关键. 3．【答案】B【解析】∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠B =∠C =30°， ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足为E ，F ，∴DE =12BD ，DF =12DC ， ∴DE +DF =12BD +12DC =12（BD +DC ）=12B C ．∴DE +DF =12BC =12×10=5m ．故选B ． 【名师点睛】本题考查等腰三角形和直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键. 4．【答案】A【解析】如图所示，延长AC 到E ，使CE =BM ，连接DE ，∵BD =DC ，∠BDC =120°，∴∠CBD =∠BCD =30°， ∵∠ABC =∠ACB =60°，∴∠ABD =∠ACD =∠DCE =90°，在△BMD 和△CED 中，90BD CDDBM DCE BM CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△BMD ≌△CED （SAS ），∴∠BDM =∠CDE ，DM =DE ， 又∵∠MDN =60°，∴∠BDM +∠NDC =60°， ∴∠EDC +∠NDC =∠NDE =60°=∠NDM ， 在△MDN 和△EDN 中，DM DEMDN NDE DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MDN ≌△EDN （SAS ）， ∴MN =NE =NC +CE =NC +BM ，所以△AMN 周长=AM +AN +MN =AM +AN +NC +BM =AB +AC =2. 故选A.【名师点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，做辅助线构造全等三角形，利用等边三角形的性质得到全等条件是解决本题的关键.5．【答案】C【解析】∵AB=AC，CD=DE，∴∠C=∠DEC=∠ABC，∴AB∥DE，∵∠A=40°，∴∠C=∠DEC=∠ABC=18040702，∵∠ABD：∠DBC=3：4，∴设∠ABD为3x，∠DBC为4x，∴3x+4x=70°，∴x=10°，∴∠ABD=30°，∵AB∥DE，∴∠BDE=∠ABD=30°，故答案为C．【名师点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质：等边对等角和三角形内角和定理求解，难度适中．6．【答案】A【解析】分两种情况：①当腰为4时，4+4<9，所以不能构成三角形；②当腰为9时，9+9>4，9-9<4，所以能构成三角形，周长是：9+9+4=22．故选A．7．【答案】C【解析】∵AB=AC=5，AD平分∠BAC，BC=6，∴BD=CD=3，∠ADB=90°，∴AD=4．故选C．8．【答案】B【解析】如图，①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．所以符合条件的点C共有9个．故选B．9．【答案】A【解析】设AN=x，由翻折的性质可知DN=AN=x，则BN=9-x．∵D是BC的中点，∴BD=1632⨯=．在Rt△BDN中，由勾股定理得:ND2=NB2+BD2，即x2=（9-x）2+32，解得x=5，AN=5，故选A．10．【答案】D【解析】如图，作AH⊥CH，在Rt △ACH 中，∵AH =3，∠AHC =90°，∠ACH =30°，∴AC =2AH =6，在Rt △ABC 中，AB ==D ．11．【答案】等边【解析】三角形的三边a ，b ，c 2()0b c -=，20,()0b c =-=，0,0a b b c ∴-=-=，解得：,a b b c ==，即a b c ==，则该三角形是等边三角形.故答案为：等边.【名师点睛】本题是一道比较好的综合题，考查了算术平方根的非负性、平方数的非负性、等边三角形的定义. 12．【答案】60cm 2．【解析】过点A 作AD ⊥BC 交BC 于点D ， ∵AB =AC =13cm ，BC =10cm ， ∴BD =CD =5cm ，AD ⊥BC ，由勾股定理得：AD （cm ）， ∴△ABC 的面积=12×BC ×AD =12×10×12=60（cm 2）．【名师点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及勾股定理，能根据等腰三角形的“三线合一”正确的添加辅助线是关键. 13．【答案】55°或125°【解析】如图，分两种情况进行讨论：如图1，当高在三角形内部时，则∠ABD =35°，∴∠BAD =90°–35°=55°； 如图2，当高在三角形外部时，则∠ABD =35°，∴∠BAD =90°–35°=55°； ∴∠CAB =180°–55°=125°， 故答案为55°或125°．【名师点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键. 14．【答案】10【解析】①当6为腰长时，则腰长为6，底边=26-6-6=14，因为14>6+6，所以不能构成三角形； ②当6为底边时，则腰长=（26-6）÷2=10，因为6-6<10<6+6，所以能构成三角形，故腰长为10．故答案为：10． 15．【答案】24︒【解析】∵ADC ∠是三角形ABD 的外角，AED ∠是三角形DEC 的一个外角，CDE x ∠=︒， ∴ADC BAD B ADE EDC ∠=∠+∠=∠+∠，AED EDC C ∠=∠+∠，B BAD ADE x ∠+∠=∠+︒，AEDC x ∠=∠+︒，∵AB AC =，D 、E 分别在BC 、AC 上，AD AE =，CDE x ∠=︒，∴B C ∠=∠，20ADE AED C ∠=∠=∠+︒，∴C BAD C x x ∠+∠=∠︒++︒，∵12EDC ∠=︒，∴24BAD ∠=︒，故答案为：24︒．16．【答案】15【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，∠ACD =120°， ∵CG =CD ，∴∠CDG =30°，∠FDE =150°， ∵DF =DE ，∴∠E =15°．故答案为：15．17．【答案】【解析】如图，过点A 1作A 1M ⊥BC 于点M ．∵点A 的对应点A 1恰落在∠BCD 的平分线上，∠BCD =90°，∴∠A 1CM =45°，即△AMC 是等腰直角三角形，∴设CM =A 1M =x ，则BM =7-x ．又由折叠的性质知AB =A 1B =5，∴在直角△A 1MB 中，由勾股定理得A 1M 2=A 1B 2-BM 2=25-（7-x ）2，∴25-（7-x ）2=x 2，解得x 1=3，x 2=4，∵在等腰Rt △A 1CM 中，CA 1A 1M ，∴CA 1．故答案为：18．【答案】（1）见解析；（2）4.【解析】（1）∵把△ABC 沿CE 折叠后，点B 恰好与斜边AC 的中点D 重合， ∴CD =CB ，∠CDE =∠B =90°，AD =CD ，在△ADE 和△CDE 中，90AD CDADE CDE ED ED =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△CDE （SAS ）， ∴EA=EC ，∴△ACE 为等腰三角形； （2）由折叠的性质知：∠BEC =∠DEC ， ∵△ADE ≌△CDE ，∴∠AED =∠DEC ， ∴∠AED =∠DEC =∠BEC =60°，∴∠BCE =30°，∴12BE CE =， 又∵EA=EC ，∴11223BE AE AB ===，∴AE=4.【名师点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的定义和30°角的直角三角形的性质，属于常考题型，熟练掌握上述图形的性质是解题关键. 19．【解析】在直角△ABO 中，已知AB =2.5 m ，BO =0.7 m ，则AO ， ∵AO =AA ′+OA ′，∴OA ′=2 m ，∵在直角△A ′B ′O 中，AB =A ′B ′，且A ′B ′为斜边， ∴OB ′=1.5 m ，∴BB ′=OB ′-OB =1.5 m -0.7 m=0.8 m ． 答：梯足向外移动了0.8 m ．20．【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）详见解析；【解析】（1）证明：①∵//DE BC ，∴GBF GED ∠=∠. 又,BG EG FGB DGE =∠=∠， ∴(ASA)GBF GED ∆∆≌，∴BF ED =. 又CD ED =，∴BF CD =；②当90BAC ∠=︒时，45ABC ACB ∠=∠=︒， ∵180BAC CDE ︒∠+∠=，∴90CDE ︒∠=.∵//DE BC ，∴90,45BCD CDE ACD ︒︒∠=∠=∠=，∴ABF ACD ∠=∠；又,AB AC BF CD ==，∴()ABF ACD SAS ∆∆≌， ∴,AF AD BAF CAD =∠=∠， ∴BAF FAC CAD FAC ∠+∠=∠+∠ 即90BAC FAD ∠=∠=︒，∴AFD ∆是等腰直角三角形.（2）所画图形如图1或图②，此时AFD ∆是等边三角形.图1 图2 与（1）同理，可证ABF ACD ∆∆≌， ∴AF =AD ，60BAC FAD ∠=∠=︒， ∴△AFD 是等边三角形.【名师点睛】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，以及全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是正确找到证明三角形全等的条件，利用全等三角形的性质得到边的关系，角的关系.21．【解析】（1）由题意可得：AC =6 m ，DCm ，∠CAD =90°，可得AD（m ）， 故△ACD 是等腰直角三角形．（2）∵AC =6 m ，BC =10 m ，∠CAD =90°， ∴AB（m ）， 则BD =AB -AD =8-6=2（m ）． 答：船体移动距离BD 的长度为2 m ．1．【答案】B【解析】∵40AOB COD ∠=∠=︒，∴AOB AOD COD AOD ∠+∠=∠+∠，即AOC BOD ∠=∠，在AOC △和BOD △中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOC BOD △≌△，∴OCA ODB AC BD ∠=∠=，，①正确；∴OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠， ∴40AMB AOB ∠=∠=°，②正确；作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：则90OGC OHD ∠=∠=°，在OCG △和ODH △中，OCA ODBOGC OHD OC OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴OCG ODH △≌△，∴OG OH =，∴MO平分BMC ∠，④正确，正确的个数有3个，故选B ． 2．【答案】70°【解析】∵AB =AC ，∴∠B =∠C ， ∵∠A +∠B +∠C =180°，∴∠B =12（180°-40°）=70°．故答案为：70°． 3．【答案】9【解析】∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，在△BAD 和△CAE 中，BAD CAE AB ACB C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BAD ≌△CAE ， ∴BD =CE =9，故答案为：9． 4．【答案】105【解析】作DE AB ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，如图所示，则DE CF =，∵CF AB ⊥，90ACB ∠=︒，AC BC =，∴12CF AF BF AB ===， ∵AB BD =，∴1122DE CF AB BD ===，BAD BDA ∠=∠， ∴30ABD ∠=︒，∴75BAD BDA ∠=∠=︒，∵AB CD ∥，∴180ADC BAD ∠+∠=︒，∴105ADC ∠=︒，故答案为：105．5．【答案】6或【解析】①如图1，当5AB AC ==，4AD =，则3BD CD ==，∴底边长为6； ②如图2，当5AB AC ==，4CD =时，则3AD =，∴2BD =，∴BC == ③如图3，当5AB AC ==，4CD =时，则3AD ==，∴8BD =，∴BC =∴此时底边长为6或【名师点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是分三种情况分类讨论． 6．【答案】36°【解析】∵等腰三角形的一个底角为72︒，∴等腰三角形的顶角180727236=︒-︒-︒=︒， 故答案为：36︒．【名师点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 7．【答案】70【解析】∵∠ABC =90°，AB =AC ，∴∠CBF =180°–∠ABC =90°，∠ACB =45°， 在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，AB CBAE CF=⎧⎨=⎩，∴Rt △ABE ≌Rt △CBF ，∴∠BCF =∠BAE =25°，∴∠ACF =∠ACB +∠BCF =45°+25°=70°，故答案为：70．【名师点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 8．【解析】（1）∵CAF BAE ∠=∠，∴BAC EAF ∠=∠，∵AE AB AC AF ==，， ∴BAC EAF △≌△， ∴EF BC =．（2）∵65AB AE ABC =∠=︒，， ∴18065250BAE ∠=︒-︒⨯=︒， ∴50FAG ∠=︒， ∵BAC EAF △≌△， ∴28F C ∠=∠=︒， ∴502878FGC ∠=︒+︒=︒．【名师点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，比较简单，基础知识扎实是解题关键． 9．【解析】（1）∵AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，∴∠BAD =∠CAD ，∠ADC =90°，又∠C =42°，∴∠BAD =∠CAD =90°-42°=48°． （2）∵AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ， ∴∠BAD =∠CAD ， ∵EF ∥AC ， ∴∠F =∠CAD ， ∴∠BAD =∠F ，∴AE =FE ．10．【解析】（1）∵AB =AC ，∴∠ECB =∠DBC ，在DBC △与ECB △中，BD CE DBC ECB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DBC △≌ECB △．（2）由（1）DBC △≌ECB △， ∴∠DCB =∠EBC ， ∴OB =OC ．11．【解析】（1）∵AB AC =，∴C ABC ∠=∠，∵36C ∠=︒， ∴36ABC ∠=︒，∵D 为BC 的中点，∴AD BC ⊥，∴90903654BAD ABC ∠=-∠=-︒=︒︒︒． （2）∵BE 平分ABC ∠，∴ABE EBC ∠=∠， 又∵EF BC ∥，∴EBC BEF ∠=∠， ∴EBF FEB ∠=∠， ∴BF EF =．【名师点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．【解析】（1）∵90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥，∴AD BD DC ==，45ABC ACB ∠=∠=︒，45BAD CAD ∠=∠=︒， ∵2AB =，∴AD BD DC ===，∵30AMN ∠=︒，∴180903060BMD ∠=︒-︒-︒=︒， ∴30BMD ∠=︒，∴2BM DM =，由勾股定理得，222BM DM BD -=，即222(2)DM DM -=，解得DM =∴AM AD DM =-=（2）∵AD BC ⊥，90EDF ∠=︒，∴BDE ADF ∠=∠，在BDE △和ADF △中，B DAF DB DA BDE ADF ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴BDE ADF △≌△， ∴BE AF =．（3）如图，过点M 作//ME BC 交AB 的延长线于E ，∴90AME ∠=︒，则AE =，45E ∠=︒，∴ME MA =，∵90AME ∠=︒，90BMN ∠=︒， ∴BME AMN ∠=∠，在BME △和AMN △中，E MAN ME MA BME AMN ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴BME AMN △≌△，∴BE AN =，∴AB AN AB BE AE +=+==．【名师点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形 的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。
2024_2025学年八年级数学上学期期中核心考点专题01三角形的基础含解析新人教版
期中考点专题01 三角形的基础重点突破三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。
三角形特性三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”。
三角形按边分类：等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。
等边三角形：底边与腰相等的等腰三角形叫做等边三角形，即三边都相等。
三角形三边的关系（重点（1）三角形的随意两边之和大于第三边。
三角形的随意两边之差小于第三边。
（这两个条件满意其中一个即可）用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。
（2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b三角形的分类：三角形按边的关系分类如下：三角形按角的关系分类如下：三角形的稳定性➢三角形具有稳定性➢四边形及多边形不具有稳定性要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。
考查题型考查题型一三角形的个数问题典例1．（2024·西林县期中）如图所示，其中三角形的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】D【提示】依据三角形的定义解答即可，由不在同始终线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.【详解】图中的三角形有：△ABC，△BCD，△BCE，△ABE，△CDE共5个.故选D.【名师点拨】本题考查了三角形的概念，由不在同始终线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻边的公共端点叫做三角形的顶点.相邻两条边组成的角，叫做三角形的内角，简称为三角形的角.变式1-1．（2024·秦皇岛市期中）图中三角形的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】D【解析】图中的三角形有: △ABD, △ADE, △AEC, △ABE, △ADC, △ABC,共6个.故选D.变式1-2．（2024·洛阳市期末）图中三角形的个数是（）A．4个B．6个C．8个D．10个【答案】C【提示】依据三角形的定义即可得．【详解】图中的三角形是，共8个故选：C．【名师点拨】本题考查了三角形的定义，驾驭理解三角形的概念是解题关键．变式1-3．（2024·恩施市期中）如图，图中三角形的个数有（）A．6个B．8个C．10个D．12个【答案】B【解析】试题解析：以O为一个顶点的有△CBO、△CDO、△ABO、△ADO，不以O为顶点的三角形有△CAD、△CBA、△BCD、△BAD，共有8个．故选B.考查题型二三角形的分类典例2（2024·石家庄市期末）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形态是（）A．等边三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．钝角三角形【答案】D【解析】试题提示：依据三角形的内角和定理求出∠C，即可判定△ABC的形态．解：∵∠A=20°，∠B=60°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣20°﹣60°=100°，∴△ABC是钝角三角形．故选D．变式2-1．（2024·黄冈市期中）一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形肯定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】试题提示：依据三角形的内角和为180°，可知最大角为90°，因式这个三角形是直角三角形.故选B.变式2-2．（2024·深圳市期中）在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：3：5，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．形态不确定【答案】C【提示】依据∠A：∠B：∠C=1：3：5，可设∠A=x°，∠B=3x°，∠C=5x°，再依据三角形内角和为180°可得方程x+3x+5x=180，解方程算出x的值，即可推断出△ABC的形态．【详解】解：∵∠A：∠B：∠C=1：3：5，∴设∠A=x°，∠B=3x°，∠C=5x°，∴x+3x+5x=180，解得：x=20，∴∠C=5×20°=100°，∴△ABC是钝角三角形．故选：C．【名师点拨】本题考查三角形内角和定理，关键是利用方程思想列出三个角的关系式．变式2-3．（2024·石家庄市期末）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能确定三角形类型的是（）A．B．C．D．【答案】A【提示】依据三角形按角分类的方法一一推断即可．【详解】视察图象可知：选项B，D的三角形是钝角三角形，选项C中的三角形是锐角三角形，选项A中的三角形无法判定三角形的类型．故选A．【名师点拨】本题考查了三角形的分类，解题的关键是娴熟驾驭基本学问，属于中考常考题型．考查题型三构成三角形的条件典例3．（2024·宜兴市期末）下列各组线段不能组成三角形的是 ( )A．4cm、4cm、5cm B．4cm、6cm、11cmC．4cm、5cm、6cm D．5cm、12cm、13cm【答案】B【提示】依据三角形的随意两边之和大于第三边对各选项提示推断后利用解除法求解.【详解】A 、4485+=>，∴445cm cm cm 、、能组成三角形，故本选项错误；B 、461011+=<，∴4611cm cm cm 、、不能组成三角形，故本选项正确；C 、5496+=>，∴456cm cm cm 、、能组成三角形，故本选项错误；D 、5121713+=>，∴51213cm cm cm 、、能组成三角形，故本选项错误.故选：B .【名师点拨】本题考查了三角形的三边关系，是基础题，熟记三边关系是解题的关键.变式3-1．（2024·太仓市）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）A ．12B ．15C ．12或15D ．18【答案】B【解析】试题提示：依据题意，要分状况探讨：①、3是腰；②、3是底．必需符合三角形三边的关系，随意两边之和大于第三边．解：①若3是腰，则另一腰也是3，底是6，但是3+3=6，∴不构成三角形，舍去．②若3是底，则腰是6，6．3+6＞6，符合条件．成立．∴C=3+6+6=15．故选B ．变式3-2．（2024·兰州市期末）等腰三角形的一边长为4，另一边长为9，则这个三角形的周长为( )A ．22B ．17C ．13D ．17或22【答案】A【提示】分4是腰长和底边两种状况探讨求解即可．【详解】解：4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、9，∵4+4=8＜9，∴不能组成三角形，4是底边时，三角形的三边分别为4、9、9，能组成三角形，周长=4+9+9=22，综上所述，该等腰三角形的周长为22．故选A ．【名师点拨】本题主要考查了三角形三边关系，难点在于分状况探讨并利用三角形的三边关系推断是否能组成三角形．cm cm长的两根木棒首尾相接成一个三角形的变式3-3．（2024·哈尔滨市期中）下列长度的四根木棒中，能与49，是（）A．4cm B．5cm C．9cm D．13cm【答案】C【提示】依据三角形三边关系：三角形随意两边之和大于第三边，逐一推断选项，即可.【详解】∵4+4<9，cm cm长的木棒首尾相接，不能组成三角形，∴4cm，49，∴A错误；∵5+4=9，cm cm长的木棒首尾相接，不能组成三角形，∴5cm，49，∴B错误；∵9+4>9，cm cm长的木棒能组成三角形，∴9cm，49，∴C正确；∵4+9=13，cm cm长的木棒，不能组成三角形，∴13cm，49，∴D错误；故选C.【名师点拨】本题主要考查三角形的三边关系，驾驭“三角形随意两边之和大于第三边”，是解题的关键.m-=，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，变式3-4．（2024·濮阳市期末）若实数m，n满意20则△ABC的周长是( )A．12 B．8 C．10 D．10或8【答案】C【提示】依据非负数的性质求出,m n的值，依据等腰三角形的性质求解即可.m-=【详解】20m n∴==2,4,当三角形的腰长为2时，224+=，构不成三角形；++=.当三角形的腰长为4时，三角形的周长为：44210故答案选：C.【名师点拨】考查非负数的性质以及等腰三角形的性质，驾驭三角形的三边关系是解题的关键.考查题型四三角形第三边的取值范围典例4．（2024·三明市期末）已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（）A．1 B．2 C．8 D．11【答案】C【提示】依据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可确定出第三边的范围，据此依据选项即可推断. 【详解】设第三边长为x，则有7-3<x<7+3，即4<x<10，视察只有C选项符合，故选 C.【名师点拨】本题考查了三角形三边的关系，娴熟驾驭三角形三边之间的关系是解题的关键.a的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）变式4-1．（2024·龙岩市期中）若长度分别为,3,5A．1 B．2 C．3 D．8【答案】C【提示】依据三角形三边关系可得5﹣3＜a＜5+3，解不等式即可求解．【详解】由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，即2＜a＜8，由此可得，符合条件的只有选项C，故选C．【名师点拨】本题考查了三角形三边关系，能依据三角形的三边关系定理得出5﹣3＜a＜5+3是解此题的关键，留意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．变式4-2．（2024·齐齐哈尔市期末）已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为A．2 B．3 C．5 D．13【答案】B【提示】依据“三角形两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边”，可得x的取值范围，一一推断可得答案. 【详解】解：依据“三角形两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边”可得:13-2<x<13+2,即11<x<15,因为取正整数,故x的取值为12、13、14,即这样的三角形共有3个.故本题正确答案为B.【名师点拨】本题主要考查构成三角形的三边的关系.变式4-3．（2024·广州市期中）一个三角形的两边长为3和8，第三边长为奇数，则第三边长为（）A ．5或7B ．7或9C ．7D ．9【答案】B 【详解】依据三角形三边关系可得：5＜第三边＜11，依据第三边长为奇数，则第三边长为7或9．故选B.考查题型五 三角形三边关系的应用典例5．（2024·德州市期末）已知三角形的两边分别为1和4，第三边长为整数 ，则该三角形的周长为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【提示】依据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再依据第三边是整数，从而求得周长．【详解】设第三边为x ，依据三角形的三边关系，得：4-1＜x ＜4+1，即3＜x ＜5，∵x 为整数，∴x 的值为4．三角形的周长为1+4+4=9．故选C.【名师点拨】此题考查了三角形的三边关系．关键是正确确定第三边的取值范围．变式5-1．（2024·汕头市期中）已知a b c 、、是ABC ∆的三边长，化简a b c b a c +----的值是（ ）A ．2c -B ．22b c -C ．22a c -D ．22a b - 【答案】B【提示】依据三角形的三边关系“随意两边之和大于第三边，随意两边之差小于第三边”，得到a+b-c ＞0，b -a -c ＜0，再依据肯定值的性质进行化简计算.【详解】依据三角形的三边关系，得a+b-c>0，b -a -c <0.∴原式= a+b-c −(a +c −b)= 22b c -.故选择B 项.【名师点拨】本题考查三角形三边关系和肯定值，解题的关键是娴熟驾驭三角形三边关系.变式5-2．（2024·保定市期末）如图，为估计池塘岸边A ，B 的距离，小明在池塘的一侧选取一点O ，测得OA=15米，OB=10米，A ，B 间的距离可能是（ ）A．30米B．25米C．20米D．5米【答案】C【解析】设A，B间的距离为x．依据三角形的三边关系定理，得：15-10＜x＜15+10，解得：5＜x＜25，所以，A，B之间的距离可能是20m．故选C．变式5-3．（2024·滨州市期末）若（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（）A．12 B．15 C．12或15 D．18【答案】B【提示】依据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，可得a、b的值，依据等腰三角形的判定，可得三角形的腰，依据三角形的周长公式，可得答案．【详解】由（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，得a﹣3＝0，b﹣6＝0．则以a、b为边长的等腰三角形的腰长为6，底边长为3，周长为6+6+3＝15，故选B．【名师点拨】本题考查了非负数的性质，利用非负数的和为零得出每个非负数同时为零是解题关键．变式5-4．（2024·南开区期末）假如一等腰三角形的周长为27，且两边的差为12，则这个等腰三角形的腰长为（）A．13 B．5 C．5或13 D．1【答案】A【详解】设等腰三角形的腰长为x，则底边长为x﹣12或x+12，当底边长为x﹣12时，依据题意，2x+x﹣12=27，解得x=13，∴腰长为13；当底边长为x+12时，依据题意，2x+x+12=27，解得x=5，因为5+5＜17，所以构不成三角形，故这个等腰三角形的腰的长为13，故选A．考查题型六三角形的稳定性典例6．（2024·路北区期中）下列图形具有稳定性的是（）A．B．C．D．【答案】A【提示】依据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行推断即可得．【详解】A、具有稳定性，符合题意；B、不具有稳定性，故不符合题意；C、不具有稳定性，故不符合题意；D、不具有稳定性，故不符合题意，故选A．【名师点拨】本题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，正确驾驭三角形的性质是解题关键．变式6-1．（2024·乌鲁木齐市期末）为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是（）A．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．三角形具有稳定性D．两直线平行，内错角相等【答案】C【解析】试题提示：三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形态就不会变更．解：这样做的道理是三角形具有稳定性．故选：C．变式6-2．（2024·安阳市期末）王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（）．A．0根B．1根C．2根D．3根【答案】B【解析】三角形具有稳定性，连接一条对角线，即可得到两个三角形，故选B变式6-3．（2024·济南市期末）如图，窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，其所运用的几何原理是（）A．三角形的稳定性B．垂线段最短C．两点确定一条直线D．两点之间，线段最短【答案】A【提示】依据点A、B、O组成一个三角形，利用三角形的稳定性解答．【详解】解：一扇窗户打开后，用窗钩将其固定，正好形成三角形的形态，所以，主要运用的几何原理是三角形的稳定性．故答案选A.【名师点拨】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用．变式6-4．（2024·深圳市期末）如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的依据是( )A．两点之间的线段最短B．长方形的四个角都是直角C．三角形有稳定性D．长方形是轴对称图形【答案】C【详解】用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形的依据是三角形具有稳定性．故选：C．【名师点拨】本题考查了三角形具有稳定性在实际生活中的应用，是基础题．变式6-5．（2024·抚顺市期中）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（）A．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．两直线平行，内错角相等D．三角形具有稳定性【答案】D【提示】依据三角形的稳定性解答即可．【详解】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，故选：D．【名师点拨】此题考查三角形的性质，关键是依据三角形的稳定性解答．。
七年级数学下册第七章《三角形》知识点及练习
《七年级数学第七章*三角形》一、知识点（1）➢ 与三角形有关的线段 (1)三角形的定义(2) ①⎪⎩⎨⎩⎨⎧等边三角形底和腰不相等的三角形等腰三角形三角形按边)( ②⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧钝角三角形锐角三角形斜三角形直角三角形三角形按角(3)三角形的主要线段①三角形的中线:顶点与对边中点的连线,三中线交点叫②三角形的角平分线:内角平分线与对边相交,顶点和交点间的线段,三角角平分线的交点叫③三角形的高:顶点向对边作垂线,顶点和垂足间的线段.三条高的交点叫 (分锐角三角形,钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同)(4)三角形三边间的关系.①两边之和大于第三边 b a c a c b c b a >+>+>+,, ②两边之差小于第三边 a c b c b a b a c <-<-<-,, (5)三角形的稳定性:三角形的三条边确定后,三角形的形状和大小不变了,这个性质叫做三角形 的稳定性.三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用.二、例题分析例1:已知BD,CE 是 的高, 直线BD,CE 相交, 所成的角中有一个角为50°, 则等于BAC ∠例2:如图,已知 中, 的角平分线BD,CE 相交于点O,且 , 求例3:三角形的最长边为10,另两边的长分别为x和4,周长为c,求x和c的取值范围.一、知识点（2）➢与三角形有关的角（1）三角形的内角和定理及性质定理: 三角形的内角和等于。
推论1: 直角三角形的两个锐角。
推论2: 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的。
推论3: 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个。
（2）三角形的外角及外角和①三角形的外角: 三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。
②三角形的外角和等于。
（3）多边形及多边形的对角线①正多边形: 各个角都相等, 各条边都的多边形叫做正多边形.②凸凹多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线, 若整个图形都在这条直线的同一侧, 这样的多边形称为凸多边形；, 若整个多边形不都在这条直线的同一侧, 称这样的多边形为凹多边形。
经典--初中数学三角形专题训练及例题解析
經典《三角形》專題訓練知識點梳理考點一、三角形1、三角形の定義:由不在同一條直線上の三條線段首尾順次相接所組成の圖形叫做三角形.2、三角形の分類.⎪⎩⎪⎨⎧钝角三角形直角三角形锐角三角形⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧)(等边三角形等腰三角形不等边三角形 3、三角形の三邊關系：三角形任意兩邊之和大於第三邊,任意兩邊之差小於第三邊. 4、三角形の重要線段①三角形の中線：頂點與對邊中點の連線,三條中線交點叫重心②三角形の角平分線：內角平分線與對邊相交,頂點和交點間の線段,三個角の角平分線の交點叫內心③三角形の高：頂點向對邊作垂線,頂點和垂足間のの交點叫垂心(分銳角三角形,鈍角三角形和直角三角形の交點の位置不同)5、三角形具有穩定性6、三角形の內角和定理及性質 定理：三角形の內角和等於180°. 推論1：直角三角形の兩個銳角互補。
推論2：三角形の一個外角等於不相鄰の兩個內角の和。
推論3：三角形の一個外角大於與它不相鄰の任何一個內角。
7、多邊形の外角和恒為360° 8、多邊形及多邊形の對角線①正多邊形：各個角都相等，各條邊都相等の多邊形叫做正多邊形．②凸凹多邊形：畫出多邊形の任何一條邊所在の直線，若整個圖形都在這條直線の同一側，這樣の多邊形稱為凸多邊形；，若整個多邊形不都在這條直線の同一側，稱這樣の多邊形為凹多邊形。
③多邊形の對角線の條數:の一個頂點可以引（n-3）條對角線，將多邊形分成（n-2）個三角形。
B.n 邊形共有2)3(-n n 條對角線。
9、邊形の內角和公式及外角和①多邊形の內角和等於（n-2）×180°(n ≥3)。
三角形 (按角分) 三角形 (按边分)②多邊形の外角和等於360°。
10、平面鑲嵌及平面鑲嵌の條件。
①平面鑲嵌：用形狀相同或不同の圖形封閉平面，把平面の一部分既無縫隙，又不重疊地全部覆蓋。
②平面鑲嵌の條件：有公共頂點、公共邊；在一個頂點處各多邊形の內角和為360°。
(完整word版)九年级数学相似三角形知识点及习题
相似三角形要点一、本章的两套定理第一套（比例的有关性质）： b a n d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇒≠+++=== :)0(等比性质 涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。
二、有关知识点：1.相似三角形定义： 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。
3.相似三角形的相似比： 相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。
5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型斜三角形 直角三角形 全等三角形的判定 SASSSS AAS （ASA ） HL 相似三角形的判定 两边对应成比例夹角相等 三边对应成比例 两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例 从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
7.相似三角形的性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8.相似三角形的传递性 如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2三、注意1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A ”型和“ X ”型。
三角形知识点及典型例题
三角形知识点及典型例题一、基本概念三角形是由三条边和三个角所确定的平面图形。
根据边长和角度关系，可以将三角形分类为不同的类型。
以下是一些三角形的基本概念：1. 等边三角形：三条边长度相等的三角形。
等边三角形：三条边长度相等的三角形。
等边三角形：三条边长度相等的三角形。
2. 等腰三角形：两条边长度相等的三角形。
等腰三角形的两个底角相等。
等腰三角形：两条边长度相等的三角形。
等腰三角形的两个底角相等。
等腰三角形：两条边长度相等的三角形。
等腰三角形的两个底角相等。
3. 直角三角形：其中一个角度为90度的三角形。
直角三角形：其中一个角度为90度的三角形。
直角三角形：其中一个角度为90度的三角形。
4. 锐角三角形：三个角度均小于90度的三角形。
锐角三角形：三个角度均小于90度的三角形。
锐角三角形：三个角度均小于90度的三角形。
5. 钝角三角形：其中一个角度大于90度的三角形。
钝角三角形：其中一个角度大于90度的三角形。
钝角三角形：其中一个角度大于90度的三角形。
二、三角形的性质三角形具有一些重要的性质，了解这些性质有助于解决三角形相关的问题。
以下是一些常见的三角形性质：1. 内角和：三角形的三个内角之和等于180度。
内角和：三角形的三个内角之和等于180度。
内角和：三角形的三个内角之和等于180度。
2. 外角和：三角形的三个外角之和等于360度。
外角和：三角形的三个外角之和等于360度。
外角和：三角形的三个外角之和等于360度。
3. 三边关系：三角形的任意两边之和必须大于第三边。
三边关系：三角形的任意两边之和必须大于第三边。
三边关系：三角形的任意两边之和必须大于第三边。
4. 中线关系：三角形的三条中线会交于一个点，该点被称为三角形的重心。
中线关系：三角形的三条中线会交于一个点，该点被称为三角形的重心。
中线关系：三角形的三条中线会交于一个点，该点被称为三角形的重心。
三、典型例题1. 例题1：已知一个三角形的三个内角分别为60度、80度和40度，判断该三角形的类型。
初一数学三角形与全等三角形知识点大全,经典练习-含问题详解
初一数学三角形知识点归纳一、与三角形有关的线段1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形2、等边三角形：三边都相等的三角形3、等腰三角形：有两条边相等的三角形4、不等边三角形：三边都不相等的三角形5、在等腰三角形中，相等的两边都叫腰，另一边叫底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角6、三角形分类：不等边三角形等腰三角形：底边和腰不等的等腰三角形等边三角形7、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边注：1）在实际运用中，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形 2）在实际运用中，已经两边，则第三边的取值范围为：两边之差<第三边<两边之和3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，注意检查每个答案能否组成三角形8、三角形的高：从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高9、三角形的中线：连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线注：两个三角形周长之差为x，则存在两种可能：即可能是第一个△周长大，也有可能是第一个△周长小10、三角形的角平分线：画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线11、三角形的稳定性，四边形没有稳定性二、与三角形有关的角1、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180度。
证明方法：利用平行线性质2、三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角3、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和4、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角5、三角形的外角和为360度6、等腰三角形两个底角相等三、多边形及其内角和1、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形2、N边形：如果一个多边形由N条线段组成，那么这个多边形就叫做N边形。
3、内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角4、外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角5、对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线6、正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形7、多边形的内角和：n边形内角和等于（n-2）*1808、多边形的外角和：360度注：有些题，利用外角和，能提升解题速度9、从n边形的一个顶点出发，可以引n-3条对角线，它们将n边形分成n-2个△注：探索题型中，一定要注意是否是从N边形顶点出发，不要盲目背诵答案10、从n边形的一个顶点出发，可以引n-3条对角线，n边形共有对角线23)-n(n条。
三角形 知识点+考点+典型例题(含答案)
第七章三角形【知识要点】一．认识三角形1．关于三角形的概念及其按角的分类定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2．三角形的分类：①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
②三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形。
2．关于三角形三条边的关系（判断三条线段能否构成三角形的方法、比较线段的长短）根据公理“两点之间，线段最短”可得：三角形任意两边之和大于第三边。
三角形任意两边之差小于第三边。
3．与三角形有关的线段．．：三角形的角平分线、中线和高三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与对边相交形成的线段；三角形的中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段，三角形任意一条中线将三角形分成面积相等的两个部分；三角形的高：过三角形的一个顶点做对边的垂线，这条垂线段叫做三角形的高。
注意：①三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；②任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。
但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直角边；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部。
④一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。
（三角形的三条高（或三条高所在的直线）交与一点，锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点是直角顶点，钝角三角形高（所在的直线）的交点在三角形的外部。
）4．三角形的内角与外角（1）三角形的内角和：180°引申：①直角三角形的两个锐角互余；②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；③一个三角中至少有两个内角是锐角。
（2）三角形的外角和：360°（3）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；——常用来求角度②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
九年级数学相似三角形知识点总结及例题讲解
九年级数学相似三角形知识点总结及例题讲解相似三角形基本知识放缩与相似图形的放大或缩小称为图形的放缩运动。
当两个图形形状相同时，我们称它们为相似图形，或者简称相似性。
需要注意的是，相似图形强调形状相同，与它们的位置、颜色、大小等因素无关。
相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的。
当两个图形形状和大小都相同时，这时是相似图形的一种特例——全等形。
相似多边形的性质如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
需要注意的是，当两个相似的多边形是全等形时，它们的对应边的长度比值为1.比例线段有关概念及性质比例线段的概念比指同一单位下两条线段的长度比较，若两线段的长度分别为m和n，则它们的比为a:b=m:n（或bn）。
比的前项为a，后项为b。
比例指两个比相等的式子，如比例线段的性质对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即比例线段的基本性质是两外项的积等于两内项积，即acbd=adbc。
比例线段还有反比性质、更比性质、合比性质等。
其中，反比性质指如果注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项、后项之间发生同样的和差变化比例仍成立。
例如：$\frac{b-ad-c}{ac}=\frac{bd}{a-b+c-d}=\frac{a+bc+d}{ac}$。
5.等比性质：若$\frac{a+c+e+\cdots+m}{a\cdot c\cdote\cdots m}=\frac{b+d+f+\cdots+n}{b\cdot d\cdot f\cdots n}$，其中$b+d+f+\cdots+n\neq 0$，则$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\cdots=\frac{m}{n}$。
注意：(1)此性质的证明运用了“设$k$法”，这种方法是比例计算和变形中一种常用方法。
初三解直角三角形知识点和练习题
中考解直角三角形考点一、直角三角形的性质１、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：∠C=90°⇒∠Ａ+∠B=90° 2、在直角三角形中，3０°角所对的直角边等于斜边的一半。
３、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半４、勾股定理： 如果直角三角形的两直角边长分别为ａ，b ，斜边长为c ，那么ａ２＋b 2=ｃ２. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCa b c弦股勾勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a ，b,c 有下面关系：ａ2＋b ２=ｃ2,那么这个三角形是直角三角形。
考点二、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2＋b 2=c ２ ，那么这个三角形是直角三角形。
(经典直角三角形:勾三、股四、弦五)用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： (1)确定最大边（不妨设为ｃ）；(2)若c ２=a ２＋b ２,则△ABC 是以∠Ｃ为直角的三角形；若a 2+b 2＜c 2,则此三角形为钝角三角形(其中ｃ为最大边）； 若a 2+b 2＞c ２，则此三角形为锐角三角形(其中c 为最大边)４. 勾股定理的作用:（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（3）用于证明线段平方关系的问题。
(4）利用勾股定理，作出长为n 的线段考点三、锐角三角函数的概念 1、如图,在△ＡBC 中,∠C=９0°①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠Ａ的正弦,记为sinA,即c asin =∠=斜边的对边A A②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠Ａ的余弦,记为cosA ，即cbcos =∠=斜边的邻边A A③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即batan =∠∠=的邻边的对边A A A④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠Ａ的余切,记为c ｏtA,即abcot =∠∠=的对边的邻边A A A2、锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠Ａ的锐角三角函数 三角函数 ３0°45°6０°sinα 21 22 23ｃo ｓα 23 2221 tan α 331 3ｃot α3133（1)互余关系:s ｉｎＡ=cos(９０°—A),c ｏsA=s ｉn(90°—Ａ) ; (2）平方关系：1cos sin 22=+A A(３）倒数关系:t ａnA •t ａn(90°—Ａ）＝1(４）商(弦切）关系:t ａnA=AAcos sin５、锐角三角函数的增减性当角度在0°~９０°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大(或减小）而增大(或减小)；（２）余弦值随着角度的增大(或减小)而减小（或增大）；(３）正切值随着角度的增大(或减小)而增大（或减小)；(４)余切值随着角度的增大(或减小）而减小(或增大）考点四、解直角三角形 １、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
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初中数学三角形知识点典型例题解析都在这了，太全了,中考必
备!
初中数学三角形的初步认识复习指导
三角形是最简单、最基本的几何图形，在生活中随处可见。
三角形不仅是研究其他图形的基础，而且在解决实际问题中也有着广泛的应用。
因此，认识三角形就显得非常必要。
一、知识要点归纳
（一）三角形的概念与性质
（1）由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
（2）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
（3）三角形的内角和等于180°；三角形的外角和等于360°。
（4）三角形按角分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。
（5）三角形中的“三线”是指的中线、高线和角平分线。
任意一个三角形都有三条中线、三条高和三条角平分线，其中三角形的三条中线、三条角平分线分别交于三角形内一点，三角形的三条高所在直线也相交于一点，这个点的位置视三角形的形状而定，它可能在三角形的
内部、外部或三角形的顶点上。
（想一想：三角形的三条高线是否相交于一点？为什么？）
（二）全等三角形概念与性质
（1）能够重合的两个三角形称为
全等三角形．
（2）全等三角形的对应边相等，对应角相等．
（三）三角形全等的条件
（1）三角形全等的判别方法有四种：①边角边（SAS）；②角边角（ASA）；③角角边（AAS）；
④边边边（SSS）。
例1．已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，能组成三角形的是（）。
A． l，2，3 B． 2，5，8 C． 3，4，5 D．4，5，10 分析：本题主要考查三角形的三边关系，应运用“三角形任何两边之和大于第三边”即可解决。
解：观察四个选项，满足两边之和大于第三边的只有3，4，5，
故选C。
思路点拨：涉及三角形三边关系的问题时，只要符合“较小两边的和大于第三边”即可。
三、数学思想回顾
1．转化思想：将实际问题转化数学问题（全等三角形）解决；
2．方程思想：通过设未知数，根据三角形内（外）角和之间的关系构造方程解决角度问题；
3．类比思想：说明两个三角形全等时，根据已知条件选择三角形全等的判别方法。
三、注意事项
1．三角形的角平分线、高和中线都是线段；
2．三角形全等的条件中至少有一条边，所以“AAA”不能判定两个三角形全等；
3．寻找三角形全等的条件时，要结合图形，挖掘图中的隐含条件：特别是公共边、公共角、对顶角、中点、角平分线、高线等所带来的相等关系；
4．运用三角形全等测距离时，应注意分析已知条件，探索三角形全等的条件，理清要测定的距离，画出符合条件的图形，再根据三角形全等说明测量理由。