2021-2022学年北京人大附中分校九年级(下)限时练习数学试卷(4)(附答案详解)

2021-2022学年北京人大附中分校九年级（下）限时练习数学试卷（4）1.冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届.第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办.下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为()A. B.C. D.2.据《央视网》2021年10月26日报道，我国成功研制出超导量子计算原型机“祖冲之二号”.截至报道时，根据已公开的最优经典算法，在处理“量子随机线路取样”问题时，全球其他最快的超级计算机用时2.3秒的计算量，“祖冲之二号”用时大约为0.00000023秒，将数字0.00000023用科学记数法表示应为()A. 2.3×10−6B. 2.3×10−7C. 0.23×10−6D. 23×10−83.小明想在2个“冰墩墩”和1个“雪容融”里随机选取两个吉祥物作为冬奥会纪念品，小明选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”的概率是()A. 12B. 13C. 23D. 164.大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验.并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”.如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是()A. 3cmB. 4cmC. 6cmD. 9cm5.如图，∠α的顶点位于正方形网格的格点上，若tanα=23，则满足条件的∠α是()A. B.C. D.6.尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；③连结OG．问：OG的长是多少？大臣给出的正确答案应是()A. √3rB. (1+√22)r C. (1+√32)r D. √2r7.在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分．“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”.对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大，收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最大的线路是()A. P→A→QB. P→B→QC. P→C→QD. P→D→Q8.如图，在甲，乙两个十字路口各方向均设有人行横道和交通信号灯，小宇在甲路口西南角的A处，需要步行到对于乙路口东北角B处附近的餐馆用餐，已知两路口人行横道交通信号灯的切换时间与小宇的步行时间如下表所示：人行横道交通信号灯的切换时间小宇的步行时间甲路口每1min沿人行横道穿过一条马路0.5min乙路口每2min在甲、乙两路口之间(CD段)5min 假定人行横道的交通信号灯只有红、绿两种，且在任意时刻，同一十字路口东西向和南北向的交通信号灯颜色不同，行人步行转弯的时间可以忽略不计．若小宇在A处时，甲、乙两路口人行横道东西向的交通信号灯均恰好转为红灯，小宇从A处到达B 处所用的最短时间为()A. 6.5minB. 7minC. 8minD. 9min在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．9.若√1−xx2+310.如图是由哪个立体图形展开得到的______．11.如图1是我们经常看到的一种折叠桌子，它是由下面的支架AD，BC与桌面构成如图2，已知OA=OB=OC=OD=20√3cm，∠COD=60°，则点A到地面(CD所在的平面)的距离是______cm．12.斛是中国古代的一种量器．据《汉书⋅律历志》记载：“斛底，方而圜(ℎuán)其外，旁有庣(tiāo)焉．”意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆．”如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸(即2.5尺)，“庣旁”为两寸五分(即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺)，则此斛底面的正方形的边长为______尺．(k≠0)的图象有两个交点，则13.在同一平面直角坐标系xOy中，若函数y=x与y=kxk的取值范围是______．14.为了疫情防控工作的需要，枣庄某学校在学校门口的大门上方安装了一个人体体外测温摄像头，学校大门高ME=7.5米，学生身高BD=1.5米，当学生准备进入识别区域时，在点B时测得摄像头M的仰角为30°，当学生刚好离开识别区域时，在点A 时测得摄像头M的仰角为60°，则体温监测有效识别区域AB的长是______.(结果保留根号)15.小明烘焙了几款不同口味的饼干，分别装在同款的圆柱形盒子中，为区别口味，他打算制作“∗∗饼干”字样的矩形标签粘贴在盒子侧面．为了获得较好的视觉效果，粘贴后标签上边缘所在弧所对的圆心角为90°(如图).已知该款圆柱形盒子底面半径为6cm，则标签长度l应为______cm.(π取3.1)16.为了传承中华文化，激发学生的爱国情怀，提高学生的文学素养，某学校初一(9)班举办了“古诗词”大赛，现有小恩、小地、小奕三位同学进入了最后冠军的角逐，决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第1，2，3名(没有并列)，对应名次的得分都分别为a ，b ，c(a >b >c 且a ，b ，c 均为正整数).选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．如表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况，根据题中所给信息，小奕同学第三轮的得分为______分．第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 第六轮 最后得分 小恩 aa27 小地 abc 11 小奕cb1017.计算：(13)−1+√18+|−2|−6sin45°．18. 解不等式组{3(x −1)<5x +1x−12≥2x −4，并求它的整数解．19. 如果a 2+3a +1=0，求代数式(a 2+9a+6)⋅2a 2a+3的值．20. 下面是小晗同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．已知：在△ABC 中，AB =BC ，BD 平分∠ABC 交AC 于点D.求作：∠BPC ，使∠BPC =∠BAC ． 作法：①分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两弧交于点E 和点F ，连接EF 交BD 于点O ；②以点O 为圆心，OB 的长为半径作⊙O；③在劣弧AB上任取一点P(不与点A、B重合)连接BP和CP.所以∠BPC=∠BAC.根据小玟设计的尺规作图过程．(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明．证明：连接OA、OC.∵AB=BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC且AD=CD，(______)(填推理的依据)．∴OA=OC．∵EF是线段BC的垂直平分线，∴OB=______.(______)∴OB=OA.⊙O为△ABC的外接圆．∵点P在⊙O上，∴∠BPC=∠BAC(______)(填推理的依据)．21.已知关于x的一元二次方程x2−2ax+a2−1=0．(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；(2)若该方程的两个根均为负数，求a的取值范围．22.如图，一次函数y1=−x+2的图象与反比例函数y2=k的图象相交于A，B两点，点B的坐标为x(2m,−m)．(1)求出m值并确定反比例函数的表达式；(2)请直接写出当x<m时，y2的取值范围．23.如图，在△ABC中，D为AB边上一点、F为AC的中点，过点C作CE//AB交DF的延长线于点E，连结AE．(1)求证：四边形ADCE为平行四边形．(2)若EF=2√2，∠FCD=30°，∠AED=45°，求DC的长．24.如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，且AD=DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连结DE．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若sinC=4，AC=6，求⊙O的直径．525.为了解两种分别含有甲、乙离子的待检药物在实验白鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只白鼠随机分成A、B两组，每组100只，其中A组白鼠给服甲离子溶液，B组白鼠给服乙离子溶液．每只白鼠给服的溶液体积与浓度均相同，经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在白鼠体内离子的百分比．按离子残留百分比数据分段整理，描述这两组样本原始数据如表：～A2表示实验数据的范围为121若记A为事件：“乙离子残留在实验白鼠体内的百分比不低于5.5”，根据实验数据得到P(A)的估计值为0.70．(1)a=______；b=______．(2)实验室常用同一组中的数据用该组区间的中点值为代表来估计数据的平均值，如对甲离子残留百分比的平均值估计如下：(3×0.01)+(4×0.08)+(5×0.27)+ (6×0.30)+(7×0.22)+(8×0.12)=6.00，用上述方法估计乙离子残留百分比的平均值；(3)甲、乙离子如残留体内会对生物体产生一定不良副作用，对原始数据进一步分析得到两组数据的中位数、众数、方差如表所示，请根据数据分析两种待检药物哪种相对更安全？请说明理由．26.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=−x2+2mx−m2+4．(1)将y=−x2+2mx−m2+4写成y=a(x−ℎ)2+k的形式为______；(2)当−1≤x≤2时，求y=−x2+2mx−m2+4的最大值；(3)已知A(m−1,y1)，B(3,y2)是抛物线y=−x2+2mx−m2+4上两点．①若m=0，比较y1，y2的大小，并说明理由；②若y1<y2，求m的取值范围．27.在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，点D为线段AC上一点，将线段BD绕点B逆时针旋转90°，得到线段BE，连接DE．(1)①请补全图形；②写出CD，AD，ED之间的数量关系，并证明；(2)取AD中点F，连接BF、CE，猜想CE与BF的位置关系与数量关系，并证明．28.对于平面直角坐标系内的点P和点Q，若点Q能绕着点P旋转α°之后(0<α<180)，落在y轴上，则称Q是P的转换点．(1)已知点A(2,1)．①如图，在B1(4,2)，B2(3,0)，B3(2,−2)中，是A的转换点的是______；②M(3,m)是点A的转换点，则m的取值范围是______；(2)已知直线y=34x+32上所有点都是N(t,0)的转换点，直接写出t的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；D、是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.【答案】B【解析】解：0.00000023=2.3×10−7．故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．3.【答案】C【解析】解：根据题意画图如下：共有6种等可能的情况数，其中选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”的有4种，则小明选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”额概率是46=23．故选：C．画树状图，共有6种等可能的结果，小明选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”结果有4种，再由概率公式求解即可此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4.【答案】B【解析】解：设蜡烛火焰的高度是x cm，由相似三角形的性质得到：1015=x6．解得x=4．即蜡烛火焰的高度是4cm．故选：B．直接利用相似三角形的对应边成比例解答．本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．5.【答案】B【解析】解：A.观察图形可得tanα=32，不符合题意；B.观察图形可得tanα=23，符合题意；C.观察图形可得tanα=12，不符合题意；D.观察图形可得tanα=13，不符合题意．故选：B．根据正切的定义分别求出每个图形中的α的正切值可得答案．本题考查解直角三角形知识，熟练掌握锐角三角函数的定义并能在解直角三角形中的灵活应用是解题的关键．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查作图−复杂作图，正多边形与圆的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中档题．如图连接CD，AC，DG，AG，在直角三角形即可解决问题．【解答】解：如图连接CD，AC，DG，AG．∵AD是⊙O直径，∴∠ACD=90°，在Rt△ACD中，AD=2r，∠DAC=30°，∴AC=√3r，∵DG=AG=CA，OD=OA，∴OG⊥AD，∴∠GOA=90°，∴OG=√AC2−OA2=√(√3r)2−r2=√2r，故选：D．7.【答案】B【解析】解：B，D两点，横坐标相同，而D点的纵坐标大于B点的纵坐标，显然，B点上升阶段的水平距离长；A，B两点，纵坐标相同，而A点的横坐标小于B点的横坐标，等经过A点的篮球运行到与B点横坐标相同时，显然在B点上方，故B点上升阶段的水平距离长；同理可知C点路线优于A点路线，综上：P→B→Q是被“盖帽”的可能性最大的线路．故选：B．分类讨论投篮线路经过A，B，C，D四个点时篮球上升阶段的水平距离求解．本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是理解题意，通过分类讨论求解．8.【答案】B【解析】解：由已知得：0.5+0.5+0.5+5+0.5=7(min)故选：B．(1)甲路口出发向北走0.5min(2)等红灯0.5min(3)向东走0.5min(4)走过CD5min(5)乙路口向东走0.5min本题考查有理数的加法运算．9.【答案】x ≤1【解析】解：由题意可得{1−x ≥0x 2+3≠0， 解得：x ≤1，故答案为：x ≤1．根据二次根式和分式有意义的条件列不等式组求解．本题考查二次根式和分式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件(被开方数为非负数)，分式有意义的条件(分母不能为零)是解题关键．10.【答案】三棱柱【解析】解：如图，是三棱柱的展开图，故答案为：三棱柱．根据三棱柱的特征进行分析解答．本题考查几何体的展开图，理解三棱柱的特征是解题关键．11.【答案】60【解析】解：连接CD ，过点A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，∵OC =OD ，∠COD =60°，∴△COD 是等边三角形，∴∠ODC =60°，在Rt △AED 中，AD =OA +OD =40√3cm ，∴AE =ADsin60°=40√3×√32=60(cm)，∴点A 到地面(CD 所在的平面)的距离是60cm ，故答案为：60．连接CD ，过点A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，先证明△COD 是等边三角形，从而求出∠ODC =60°，然后在Rt △AED 中，利用锐角三角函数进行计算即可解答．本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．12.【答案】√2【解析】解：如图，∵四边形CDEF为正方形，∴∠D=90°，CD=DE，∴CE为直径，∠ECD=45°，由题意得AB=2.5，∴CE=2.5−0.25×2=2，∴CD=√22CE=√2．故答案为：√2．根据正方形性质确定△CDE为等腰直角三角形，CE为直径，根据题意求出正方形外接圆的直径CE，求出CD，问题得解．本题考查了正方形外接圆的性质，等腰直角三角形性质，解题关键是判断出正方形对角线为其外接圆直径．13.【答案】k>0【解析】解：联立两解析式得：{y=x y=kx，消去y得：x2−k=0，∵两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点，∴△=b2−4ac=4k>0，即k>0．故k的取值范围是k>0．故答案为：k>0．联立两函数解析式，消去y得到关于x的一元二次方程，由两函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点得到根的判别式大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，以及反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解本题的关键．14.【答案】4√3米【解析】解：根据题意可知：四边形EFCA和ABDC是矩形，ME=7.5米，∴CA=EF=BD=1.5米，CD=AB，设FC=x，在Rt△MFC中，∵∠MCF=60°，∴∠FMC=30°，∴MC=2FC=2x，MF=√3x，∵∠MDC=30°，∴∠CMD=60°−30°=30°，∴CD=CM=2x，∵ME=MF+EF，∴√3x+1.5=7.5，解得：x=2√3，∴MC=2x=4√3(米)，答：体温监测有效识别区域AB的长为4√3米．故答案为：4√3米．首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，进而可求出答案．本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，熟练掌握以上知识是解答此题的关键．15.【答案】9.3=3π=9.3(cm)，【解析】解：标签长度l=90⋅π⋅6180故答案为：9.3．利用弧长公式求解即可．．本题考查弧长的计算，解题的关键是记住弧长公式l=nπr18016.【答案】2【解析】解：由题意可得：(a+b+c)×6=27+11+10=48，∴a+b+c=8，∵a，b，c均为正整数，若每轮比赛第一名得分a为4，则最后得分最高的为4×6=24<27，∴a必大于4，又∵a>b>c，∴b+c最小取3，∴4<a<6，∴a=5，b=2，c=1，∴小恩同学最后得分27分，他5轮第一，1轮第二；小地同学最后得分11分，他1轮第一，1轮第二，4轮第三；又∵表格中第二轮比赛，小地第一，小奕第三，∴第二轮比赛中小恩第二，∴第三轮中小恩第一，小地第三，小奕第二，∴小奕的第三轮比赛得2分，故答案为：2．根据三维同学的最后得分情况列出关于a，b，c的等量关系式，然后结合a>b>c且a，b，c均为正整数确定a，b，c的值，从而确定小奕同学第三轮的得分．本题考查方程的解逻辑推理能力，理解题意，分析数据间的等量关系，抓住第二轮比赛情况是解题关键．17.【答案】解：原式=3+3√2+2−6×√22=3+3√2+2−3√2=5．【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及二次根式的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18.【答案】解：{3(x−1)<5x+1 ①x−12≥2x−4 ②，由①得：x>−2，由②得：x≤73，∴不等式组的解为−2<x≤73，∴其整数解为：x=−1，0，1，2．【解析】首先计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．19.【答案】解：原式=(a2+9a +6aa)⋅2a2a+3=a2+6a+9a ⋅2a2 a+3=(a+3)2a ⋅2a2 a+3=2a(a+3)=2a2+6a．∵a2+3a+1=0，∴a2+3a=−1，∴原式=2×(−1)=−2．【解析】根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，然后根据a2+3a+1=0，即可求得所求式子的值．本题考查分式的化简求值，解题关键是明确分式化简求值的方法．20.【答案】等腰三角形的性质OC线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)同弧所对的圆周角相等【解析】(1)解：如图，(2)怎么：连接OA、OC，∵AB=BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC且AD=CD，(等腰三角形的性质)∴OA=OC．∵EF是线段BC的垂直平分线，∴OB=OC.(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)∴OB=OA.⊙O为△ABC的外接圆．∵点P在⊙O上，∴∠BPC=∠BAC(同弧所对的圆周角相等)．故答案为：等腰三角形的性质；OC，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；同弧所对的圆周角相等．(1)根据几何语言画出对应的几何图形即可；(2)先根据等腰三角形的性质得到BD⊥AC且AD=CD，再根据线段垂直平分线的性质得到OA=OC，OB=OC，所以OB=OA.则⊙O为△ABC的外接圆，然后根据圆周角定理得到∠BPC=∠BAC．本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质和圆周角定理．21.【答案】(1)证明：依题意，得Δ=(−2a)2−4(a2−1)=4a2−4a2+4=4，∵Δ>0，∴该方程总有两个不相等的实数根；(2)解：解方程x2−2ax+a2−1=0，得x1=a−1，x2=a+1，∵方程的两个根均为负数，∴{a−1<0,a+1<0.解得a<−1．【解析】(1)求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△≥0，根据判别式的意义即可证明；(2)根据题意得不等式组，解不等式组求得a的取值范围即可．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，用到的知识点：(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)Δ<0⇔方程没有实数根．22.【答案】解：(1)∵据题意，点B的坐标为(2m,−m)且在一次函数y1=−x+2的图象上，代入得−m=−2m+2．∴m=2．∴B点坐标为(4,−2)，把B(4,−2)代入y2=k得k=4×(−2)=−8，x∴反比例函数表达式为y2=−8；x(2)当0<x<2时，y2的取值范围是y2<−4，当x<0时，y2>0．【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．(1)把B的坐标代入y1=−x+2求得m的值，得出B(4,−2)，再代入入y2=k即可求得k的x值；(2)根据图象即可求得．23.【答案】(1)证明：∵CE//AB ，∴∠DAF =∠ECF ，∵F 为AC 的中点，∴AF =CF ，在△DAF 和△ECF 中{∠DAF =∠ECFAF =CF ∠AFD =∠CFE，∴△DAF≌△ECF(ASA)，∴AD =CE ．∵CE//AB ，∴四边形ADCE 为平行四边形．(2)作FH ⊥DC 于点H ，∵四边形ADCE 为平行四边形，∴AE//DC ，DF =EF =2√2， ∴∠FDC =∠AED =45°．在Rt △DFH 中，∠DHF =90°，DF =2√2，∠FDC =45°，∴sin∠FDC =FHDF =√22，得FH =2，tan∠FDC =HFHD =1，得DH =2．在Rt △CFH 中，∠FHC =90°，FH =2，∠FCD =30°，∴FC =2FH =4． 由勾股定理，得HC =√CF 2−FH 2=√42−22=2√3．∴DC =DH +HC =2+2√3．【解析】本题是平行四边形的判定方法，勾股定理和全等三角形的判定的综合应用，正确作出辅助线是关键．(1)首先证明△DAF≌△ECF ，则AD =CE ，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证得；(2)作FH ⊥DC 于点H ，在Rt △DFH 中利用三角函数求得FH 的长，在Rt △CFH 中利用勾股定理即可求解．24.【答案】(1)证明：∵AB =AC ，AD =DC ，∴∠C =∠B ，∠1=∠C ，∴∠1=∠B ，又∵∠E =∠B ，∴∠1=∠E ，∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ADE =90°，∴∠E+∠EAD=90°，∴∠1+∠EAD=90°，即∠EAC=90°，∴AE⊥AC，∴AC是⊙O的切线；(2)解：过点D作DF⊥AC于点F，如图，∵DA=DC，∴CF=12AC=3，在Rt△CDF中，∵sinC=DFDC =45，设DF=4x，DC=5x，∴CF=√CD2−DF2=3x，∴3x=3，解得x=1，∴DC=5，∴AD=5，∵∠ADE=∠DFC=90°，∠E=∠C，∴△ADE∽△DFC，∴AEDC =ADDF，即AE5=54，解得AE=254，即⊙O的直径为254．【解析】(1)根据等腰三角形的性质，由AB=AC，AD=DC得∠C=∠B，∠1=∠C，则∠1=∠B，根据圆周角定理得∠E=∠B，∠ADE=90°，所以∠1+∠EAD=90°，然后根据切线的判定定理即可得到AC是⊙O的切线；(2)过点D作DF⊥AC于点F，如图，根据等腰三角形的性质得CF=12AC=3，在Rt△CDF中，利用正弦定义得sinC=DFDC =45，则设DF=4x，DC=5x，利用勾股定理得CF=3x，所以3x=3，解得x=1，于是得到DC=AD=5，然后证明△ADE∽△DFC，再利用相似比可计算AE即可．本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质．25.【答案】1035【解析】解：(1)根据题意知，b100+0.2+0.15=0.7，0.05+a100+0.15=0.3，解得a=10，b=35，故答案为：10、35；(2)估计乙离子残留百分比的平均值为(3×0.05)+(4×0.10)+(5×0.15)+(6×0.35)+(7×0.20)+(8×0.15)=6.00；(3)甲离子溶液待检药物相对更安全，理由：服用甲、乙离子溶液残留百分比的平均值相同，但服用甲离子溶液残留的中位数和方差均小于乙种溶液，即服用甲离子溶液残留的百分比超过5.9的少于乙溶液，且百分比稳定．(1)根据P(A)的估计值为0.70得出b100+0.2+0.15=0.7，0.05+a100+0.15=0.3，解之可得答案；(2)分别用组中值乘以对应频率，再相加即可；(3)在残留百分比的平均值相同的前提下，比较中位数和方差即可得出答案．本题主要考查方差，解题的关键是掌握频率、加权平均数的定义及中位数和方差的意义．26.【答案】y=−(x−m)2+4【解析】解：(1)y=−x2+2mx−m2+4=−(x2−2mx+m2)+4=−(x−m)2+4，故答案为：y=−(x−m)2+4；(2)y=−(x−m)2+4−1≤x≤2时抛物线开向下，对称轴为x=m．①m<−1时，当x=−1时，y最大=−(−1−m)2+4=−(m+1)2+4．②m=−1时，y最大=4．③−1<m<2时，在顶点处取得最大值，y最大=4．④m=2时，y最大=4．⑤m>2时，当x=2时，y最大=−(2−m)2+4=−(m−2)2+4．给上所述，当m<−1时，y最大=−(m+1)2+4．当−1≤m≤2时，y最大=4．当m>2时，y最大=−(m−2)2+4．(3)①y1>y2，理由如下：若m=0，则对称轴是y轴，∵A(−1,y1)，B(3,y2)，∴B到y轴的距离大于A到y轴的距离．∵a<0，∴y1>y2．②y1=−(m−1−m)2+4=−1+4=3．y2=−(3−m)2+4=−m2+6m−5．∵y1<y2∴3<−m2+6m−5m2−6m+8<0(m−2)(m−4)<0∴2<m<4．(1)利用配方法化简即可．(2)根据对称轴m在x的取值范围的哪一侧即可求出最值．(3)①m=0代入到抛物线的解析式和A点中，根据x离对称轴的远近，就可以得到y的大小．②把两个点的横坐标代入到抛物线的解析式得到y1、y2的解析式，解不等式即可求得．本题考查了二次函数与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．27.【答案】解：(1)①补全图形如下：②CD，AD，ED之间的数量关系是CD2+AD2=DE2，证明如下：连接AE，如图：∵∠ABC=90°，BA=BC，∴∠C=∠BAC=45°，∵线段BD绕点B逆时针旋转90°，得到线段BE，∴∠ABE=90°−∠ABD=∠CBD，BE=BD，在△ABE和△CBD中，{AB=BC∠ABE=∠CBD BE=BD，∴△ABE≌△CBD(SAS)，∴∠BAE=∠C=45°，AE=CD，∴∠EAD=∠EAB+∠BAC=90°，∴AE2+AD2=DE2，∵AE=CD，∴CD2+AD2=DE2；(3)CE=2BF，CE⊥BF，证明如下：设BF交CE于H，延长BF至G，使FG=BF，连接AG，如图：∵F是AD中点，∴AF=DF，∵FG=BF，∠AFG=∠DFB，∴△AFG≌△DFB(SAS)，∴∠GAF=∠FDB，AG=BD，∵BD=BE，∴AG=BE，∵∠FDB=∠DBC+∠DCB=∠DBC+45°，∴∠GAF=∠DBC+45°，∴∠GAB=∠GAF+∠BAC=∠DBC+45°+45°=∠DBC+90°，∵∠CBE=∠DBC+∠DBE=∠DBC+90°，∴∠GAB=∠CBE，∵AB=BC，∴△GAB≌△EBC(SAS)，∴BG=CE，∠ABG=∠BCE，∵BG=2BF，∴CE=2BF，∵∠ABG+∠GBC=90°，∴∠BCE+∠GBC=90°，∴∠BHC=90°，∴CE⊥BF．【解析】(1)①根据题意补全图形即可；②连接AE，根据∠ABC=90°，BA=BC，得∠C=∠BAC=45°，由线段BD绕点B逆时针旋转90°，得到线段BE，可得∠ABE=90°−∠ABD=∠CBD，BE=BD，即可得△ABE≌△CBD(SAS)，有∠BAE=∠C=45°，AE=CD，故∠EAD=∠EAB+∠BAC=90°，可得AE2+AD2=DE2，从而CD2+AD2=DE2；(3)设BF交CE于H，延长BF至G，使FG=BF，连接AG，根据F是AD中点，可证明△AFG≌△DFB(SAS)，得∠GAF=∠FDB，AG=BD，可得AG=BE，∠GAB=∠DBC+90°，又∠CBE=∠DBC+∠DBE=∠DBC+90°，得∠GAB=∠CBE，知△GAB≌△EBC(SAS)，故BG=CE，∠ABG=∠BCE，从而CE=2BF，可证CE⊥BF．本题考查等腰直角三角形中的旋转问题，涉及勾股定理、角的和差等，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．28.【答案】B1，B3m≥1+√3或m≤1−√3【解析】解：(1)①AB1=√5，AB2=√2，AB3=3．AB1>2，AB2<2，AB3>2．∴A的转换点的是B1，B3．②如图，点M轨迹为直线x=3．AM=√AC2+CM2=√(3−2)2+(m−1)2．当AM=2时解得m=1±√3．∴m≥1+√3或m≤1−√3．(2)如图，作NM⊥直线y=34x+32于点M.直线交x轴y轴于点H，K．∴0H =2，OK =32，HK =52．∴sin∠KHO =OK KH =MN HN =35． 即MN =35HN =35|t +2|．由题意得N 到直线距离≥N 到y 轴距离，即35|t +2|≥|t|，①t ≥0时，0≤t ≤3．②−2<t <0时，−34≤t <0．③t ≤−2时无解．故答案为：−34≤t ≤3．(1)求出点与点距离进行比较．(2)构造直角三角形，通过相似求线段长度，再通过不等式求解．本题考查一次函数综合应用，解题关键是理解题意，数形结合通过构造线段长度作差求解．。