平面直角坐标系与函数

3.1 平面直角坐标系与函数知识要点：考点1 平面直角坐标系的初步知识：在平面内画两条互相垂直的数轴，就组成平面直角坐标系，水平的数轴叫做x 轴或横轴 (正方向向右)，铅直的数轴叫做y 轴或纵轴(正方向向上)，两轴交点O 是原点，这个平面叫做坐标平面。

x 轴和y 把坐标平面分成四个象限(每个象限都不包括坐标轴上的点)，要注意象限的编号顺序及各象限内点的坐标的符号：由坐标平面内一点向x 轴作垂线，垂足在x 轴上的坐标叫做这个点的横坐标，由这个点向y 轴作垂线，垂足在y 轴上的坐标叫做这个点的纵坐标，这个点的横坐标、纵坐标合在一起叫做这个点的坐标（横坐标在前，纵坐标在后)。

一个点的坐标是一对有序实数，对于坐标平面内任意一点，都有唯一一对有序实数和它对应，对于任意一对有序实数，在坐标平面都有一点和它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的。

说明：1）轴上的点轴、y x 不属于任何象限； 2）平面内点的坐标的特征： ① 象限内点的坐标的特征：点P ),(y x 在第一象限⇔（＋，＋）； 点P ),(y x 在第二象限⇔（－，＋）； 点P ),(y x 在第三象限⇔（－，－）； 点P ),(y x 在第四象限⇔（＋，－）。

② 坐标轴上点的坐标的特征：点P ),(y x 在x 轴上⇔y ＝0； 点P ),(y x 在y 轴上⇔x ＝0；点P ),(y x 既在x 轴上，又在y 轴上⇔y x 、同时为零，即点P 的坐标为（0 ，0） ③ 平行于坐标轴的直线上的点的坐标的特征：平行于x （或垂直于y 轴）的直线上点的纵坐标相等； 平行于y （或垂直于x 轴）的直线上点的横坐标相等。

④ 各象限角平分线上的点的坐标的特征：第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。

3）点与坐标轴的距离：① 点P ),(b a 到x 轴的距离等于点P 的纵坐标的绝对值，即b ； ② 点P ),(b a 到y 轴的距离等于点P 的横坐标的绝对值，即a 。

4）平面直角坐标系中的对称点的坐标特征：点P ),(y x 关于x 轴对称的点1P 的坐标为P 1（x ，－y ）；关于y 轴对称的点2P 的坐标P 2（－x ，y ）；关于原点对称的点3P 的坐标为P 3（－x ，－y ）；以上规律可归纳为：关于关于x 轴对称，横坐标不变，纵坐标变为相反数；关于关于y 轴对称，纵坐标不变，横坐标变为相反数；关于原点对称，横、纵坐标都变为相反数。

考点2 函数的有关概念： 1）常量与变量：在某一变化过程中，始终保持不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫变量。

2）函数：① 函数的概念：一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，对于x 的每一个确定的值y 都有唯一确定的值与之对应，我们称x 是自变量，y 是x 的函数。

注意：函数不是数，它是指某一变化过程中的两个变量之间的关系。

② 自变量的取值范围：常见函数的自变量取值范围： a.整式函数，其自变量取值范围是全体实数，如12-=x y ；b .含有分式的函数，其自变量取值范围是使分母不为零，如y=11-x 中，x ≠1； c .有二次根式的函数，其自变量取值范围是使被开方数为非负数，如y=x -2中，x ≤2；d .与实际问题有关的函数，其自变量的取值范围要考虑实际背景（包括图形背景），使实际问题有意义，如三角形中，要考虑任意两条边之和大于第三边等。

③ 函数值：对于一个函数，如果当自变量x=a 时，因变量y=b ，那么b 叫做自变量的值为a 时的函数值。

3）函数的表示：通常有三种表示函数的方法：① 列表法； ② 解析法； ③ 图象法。

注意：表示函数时，要根据具体的情况选择适当的方法，有时为了全面认识问题，可同时使用几种方法。

4）函数的图象：① 一般地，对于一个函数，如果自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标、纵坐标，那么坐标平面由这些点组成的图形，就是这个函数的图象； ②描点法画函数图象的一般步骤：a. 列表：在自变量的取值范围内取一些值，算出对应的函数值，列成表； b . 描点：把表中自变量的值和与它相应的函数值分别作为横坐标与纵坐标， 在坐标平面内描出相应的点；c . 连线：按照自变量由小到大的顺序、用平滑的曲线把所描各点连结起来。

【考点例解】例1 （1）点P 在第二象限内，并且它到x 轴的距离是4，到y 轴的距离是3，那么点P 的坐标为（ ） A.（-4，3） B.（-3，-4） C.（-3，4） D.（3，-4）（2）点（-2，1）关于x 轴的对称点的坐标为（ ）A.（2，1）B.（-2，-1）C.（2，-1）D.（1，-2）（3）若ABC ∆的顶点坐标分别为A （3，6），B （1，3），C （4，2）. 如果将ABC ∆绕C 点按顺时针旋转90 ，得到''A B C ∆，那么点A 的对应点'A 的坐标是 .例2 向高为0h 的水瓶中注水，一直到将水瓶注满为止. 如果注水量v 与水深h 的函数图象如图所示，那么水瓶的形状可能是（ ）例3 一名考生步行前往考场参加学业考试，前10分钟走了总路程的14，估计步行不能准时赶到考场，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示，则他到达考场所花的时间比一直步行提前了 分钟.【考题选粹】1.先将一矩形ABCD 置于直角坐标系中，使点A 与原点重合，边AB ，AD 分别落在x 轴、y 轴上，再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30，若AB ＝4，BC ＝3，则旋转后点B 的坐标为 ，点C 的坐标为 .2.绍兴黄酒是中国名酒之一. 某黄酒厂的瓶酒车间先将散装黄酒灌装成瓶装黄酒，再将瓶装黄酒装箱出车间.该车间有灌装、装箱生产线共26条，每条灌装、装箱生产线的生产流量分别如图①、②所示. 某日8∶00～11∶00，车间内的生产线全部投入生产，图③表示该时段内未装箱的瓶装黄酒存量的变化情况，则灌装生产线有 条.0h hvA. B. C. D.【自我检测】 一．填空题： 1．函数123y x =-的自变量x 的取值范围是 ； 2．函数1-=x x y 中自变量x 的取值范围是 ；3．点A （–3，4）和点B （3，4）的关于___________轴对称； 4．若点（212,323-+-m m ）在第三象限，则m 的取值范围是_____________；5．在第一象限到x 轴距离为4，到y 轴距离为7的点的坐标是______________；6．若点M (1 –x ，x + 2 ) 在第二象限内，则x 的取值范围为 ；7．如果点P 1 (1-，3)和P 2 (1，b )关于y 轴对称，则b = ；8． 已知点Q (422+m ，62++m m )在第一象限的角平分线上，则m = ； 9． 点Q (3 –a ，5 –a )在第二象限，则25104422+-++-a a a a = ；10．无论x 为何实数值，点P (x +1，x – 1 )都不在第 象限；11．已知点P (2a – 8，2 –a )是第三象限的整点，则P 点的坐标是 ；12． 已知0<a ，那么点P （–a 2 – 1，–a + 3）关于原点对称的点P /，在第 象限；13．函数y x =-2中，自变量x 的取值范围 ；14．已知x =2，函数y xx=--21的值是 ；15．点A （－5，3）到x 轴的距离为 ；到y 轴的距离为 ；到原点的距离为 ；16．点()N m m m 233+--,的横纵坐标互为相反数，则_____=m ； 二．选择题：17．点()4,3P 关于x 轴对称的点的坐标是 （ ） A ()4,3- B ()4,3- C ()4,3-- D ()3,418．若A （a ，b ）在第四象限，则()B a b --+25，||在 （ ） A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限19．已知点A (1，b )在第一象限，则点B （1 –b ，1）在 （ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 20．点M (x ，y )在第二象限，且02=-x ，042=-y ，则点M 的坐标是 （ ）A （– ，2）B (，– 2 )C (—2，)D （2，– ）21．若0＜a ＜1，则点M (a – 1，a )在 （ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限22．如果点P （a ，b ）在第四象限，则点P /（b – 1，–a ）在 （ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限23．已知点P (3k – 2，2k – 3 )在第四象限．那么k 的取值范围是 （ ） A2332<<k B k ＜ C k ＞ D 都不对 24．点M (a ，2-b )关于x 轴对称的点N 坐标是 （ ） A （–a ，2 –b ） B (–a ，b – 2 ) C (a ，2 –b ) D (a ，b – 2 ) 25．已知点P 的坐标为（2 –a ，3a + 6），且点P 到两坐标轴的距离相等，则点P 坐标是 （ ） A （3，3） B (3，—3) C (6，一6) D (3，3)或(6，一6) 26．已知()()A a bB b a +-+24232，，，是关于x 轴的对称点，则a b +值为 （ ） A115B －1C ． －5D ． －327．点P 到x 轴距离是1，到y 轴距离是2，则P 点坐标为 （ ） A （2，1） B （1，2） C （－2，1） D （2，1）（－2，1）（－2，－1）（2，－1）28．若()A x y ,，且x40<，则点A 在 （ ） A ．第一象限 B ．在坐标轴上 C ． 第二或第四象限内 D ． 只可能在第二象限内29．已知函数y xx =-+1，则自变量x 的取值范围是 （ ） A ． x ≠-1 B ． x >-1 C ． x ≤0且x ≠-1 D ． x <030．函数()y x x =---2212中自变量x 的取值范围 （ ）A ． x ≥2B ． x x >≠23,且C ． x >2D ． x x ≥≠23,且31．函数43--=x x y 中自变量x 的取值范围是 （ ） A 3≥x B 3>x C 3≥x 且4≠x D 3≠x 32．在函数y xx =-1中，自变量x 的取值范围 （ ） A ． x >0 B ． x >0且x ≠1 C ． x ≥0D ． x ≥0且x ≠133．函数12-=x y 中，自变量的取值范围是 （ ）A 21≥x B 21>x C 21≤x D 21<x 34．某村办公厂今年前五月生产某种产品的总量C （件）关于时间t （月）的函数图象如图所示，则该厂这种产品的生产状况是 （ ） A 1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月生产总量逐月减少 B 1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月生产总量与3月持平 C 1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月均停止生产 D 1月至3月每月生产总量不变，4、5两月均停止生产35．小明的父亲饭后出去散步，从家中走20min 到一个离家900m 的报亭看10min 报纸后，用15min 返回家里，下图中表示小明父亲离家的时间与距离之间的关系是（ ）36． 早晨，小强从家出发，以1v 的速度前往学校，途中在一饮食店吃早点，之后以2v 的速度向学校行进，已知1v ＞2v ，下面的图象中表示小强从家到学校的时间t （分）与路程s （千米）之间的关系是图中的 （ ）A B C D三．解答题：1．若()A a a 5781--+，在一、三象限角平分线上，求a 值；2．若x 、y为实数，且y x x x =-+-+22993，求出y x -的值；3．甲、乙两人赛跑争夺冠军，如图，t表示赛跑所化时间，s 表示比赛时所跑的距离，请根据图象回答下列问题：①图形反映了哪两个变量之间的关系？ ②他们进行的是多少米赛跑？ ③谁获得冠军？④乙在比赛中的平均速度是多少？。