高中数学第一章数列3.1等比数列(二)课件北师大版必修5
类型二 命题角度1 序号的数字特征
等比数列的性质
例2 已知{an}为等比数列.
(1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5； 解答
2 2 a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a2 ＋ 2 a a ＋ a ＝ ( a ＋ a ) 3 3 5 5 3 5 ＝ 25 ， ∵an>0 ，
例1 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n－5an－85，n∈N＋，证明：
{an－1}是等比数列. 证明 当n＝1时，a1＝S1＝1－5a1－85，
解得a1＝－14，
∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝1－5an＋5an－1， 5 ∴6an＝5an－1＋1，an－1＝ (an－1－1)， 6 5 ∴{an－1}是首项为－15，公比为 的等比数列. 6
2 同理 a2 ＝ a a 成立， a an＋2 也成立. 5 3 7 n＝an－2·
梳理
一般地，在等比数列{an}中，若m＋n＝s＋t，则有am· a n ＝ a s· at(m，n，s， t∈N＋).若m＋n＝2k，则am· an＝a2 k (m，n，k∈N＋).
题型探究
类型一 等比数列的判断方法
单调性由a1，q，q－1的正负共同决定.
梳理
a1 n n － 1 公比为q的等比数列{an}中，an＝a1q ＝ · q .{an}的单调性由a1，q共
同确定如下：
q
a1＞0， a1＜0， 当 或 时，{an}是递增数列； q ＞1 0＜q＜1 a1＜0， a1＞0， 当 或 时，{an}是递减数列； q ＞1 0＜q＜1
第一章 数列
§3.1 等比数列(二)
学习目标
1.灵活应用等比数列的定义及通项公式. 2.熟悉等比数列的有关性质. 3.系统了解判断数列是否成等比数列的方法.
内容索引
问题导学
题型探究
当堂训练
问题导学
知识点一
等比数列通项公式的推广
思考1
我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形：an＝a1＋(n－ 1)d＝am＋(n－m)d. 等比数列也有类似变形吗？ 答案
∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5.
(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值. 根据等比数列的性质 a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，
解答
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10.
1 1 由 S1＝4(a1＋1)，得 a1＝4(a1＋1)， 1 所以 a1＝3. 1 又 S2＝4(a2＋1)， 1 即 a1＋a2＝4(a2＋1)， 1 解得 a列. 证明
1 1 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝4(an＋1)－4(an－1＋1). 3 1 1 an 得4an＝－4an－1，即 ＝－3， an－1 1 1 所以{an}是首项为3，公比为－3的等比数列.
命题角度2 整体思想 例3 已知等比数列{an}中，a4＋a8＝－2，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为 A.4 C.8
答案 解析
B.6 D.－9
2 由等比数列的性质知 a6(a2 ＋ 2a6 ＋ a10) ＝ a6a2 ＋ 2a 2 ＋ a a ＝ a 6 6 10 4＋ 2 2a4a8＋a2 ＝ ( a ＋ a ) 8 4 8 ，
知识点三
等比数列的性质
思考
2 2 在等比数列{an}中， a5＝a1a9 是否成立？a5＝a3a7 是否成立？
a2 n＝an－2an＋2(n>2，n∈N＋)是否成立？ 答案
∵a5＝a1q4，a9＝a1q8，
8 4 2 2 ∴a1a9＝a2 q ＝ ( a q ) ＝ a 1 1 5，
∴a2 5＝a1a9 成立.
反思与感悟
抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地解决 问题.
跟踪训练2
在 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 {an} 中 ， 若 a3a5 ＝ 4 ， 则
答案 解析
a1a2a3a4a5a6a7＝____. 128
∵a3a5＝a2 4＝4，an>0，∴a4＝2. ∴a1a2a3a4a5a6a7＝(a1a7)· (a2a6)· (a3a5)· a4＝43×2＝128.
梳理
ak2 ， ak3 ，…，akn ， (1)在等比数列{an}中按序号从小到大取出若干项：ak1 ，
ak2 ， ak3，…， akn ， …，若k1，k2，k3，…，kn，…成等差数列，那么 ak1 ，
…是等比数列.
1 bn (2)如果{an}，{bn}均为等比数列，那么数列{a }，{an· bn}，{a }，{|an|} n n 仍是等比数列.
q＜0 时，{an}是摆动数列， q＝1 时，{an}是常数列.
知识点二
由等比数列衍生的等比数列
思考
等比数列{an}的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是 答案 (1){3an}是等比数列； (2){3＋an}是等比数列； 1 (3){ }是等比数列； an (4){a2n}是等比数列. 由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确.
n－ 1 a q 1 an n－1 在等比数列中， 由通项公式 an＝a1q ， 得a ＝ m－1＝qn－m， a1q m
所以 an＝am· qn－m(n，m∈N＋).
思考2
我们知道等差数列的通项公式可以变形为an＝dn＋a1－d，其 单调性由公差的正负确定；等比数列的通项公式是否也可做 类似变形？ 答案 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q. a1 n n － 1 则an＝a1q ＝ q · q ，其形式类似于指数型函数，但q可以为 负值.由于an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1(q－1)，所以{an}的
反思与感悟
判断一个数列是等比数列的基本方法： an＋1 (1)定义法： a ＝q(常数)； n
(2)等比中项法：a2 n＋1＝anan＋2(an≠0，n∈N＋)； 要判断一个数列不是等比数列，举一组反例即可，例如
2 a2≠a1a3.
跟踪训练1 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝ 1 (an＋1)(n∈N＋). 4 (1)求a1，a2； 解答
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北师版高中数学选择性必修第二册精品课件 第一章 习题课——等比数列
1
1
1
1
1
Tn=1×32 +2×33 +3×34 +…+n×3 +1 ,②
3
2
1
①-②,得3Tn=3
解得
3
Tn=
4
3
4
+
− ×
1
32
1
3
+
1
1
1
+…+
-n×
3
3
3
3 +1
2
− ×
1
3
3
4
= −
2+3
4
1
2
1
2
= − ×
×
1
.
3
1
1
-n×
,
+1
3
3
1
1
(1- )
3
3
1
13
∵Sn=
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明:由a1=1及Sn+1=4an+2,
有a1+a2=S2=4a1+2.
∴a2=5,∴b1=a2-2a1=3.
又
+1 = 4 + 2,①
= 4-1 + 2( ≥ 2),②
①-②,得an+1=4an-4an-1(n≥2),
∴an+1-2an=2(an-2an-1)(n≥2).
解:(1)设等比数列{an}的公比为 q,则由已知可得
解得
2
|1 -1 | = 10,
5
1 = -5,
1 = 3 ,
或
1
1
1
1
Tn=1×32 +2×33 +3×34 +…+n×3 +1 ,②
3
2
1
①-②,得3Tn=3
解得
3
Tn=
4
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-n×
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− ×
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= −
2+3
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= − ×
×
1
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-n×
,
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(1- )
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∵Sn=
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明:由a1=1及Sn+1=4an+2,
有a1+a2=S2=4a1+2.
∴a2=5,∴b1=a2-2a1=3.
又
+1 = 4 + 2,①
= 4-1 + 2( ≥ 2),②
①-②,得an+1=4an-4an-1(n≥2),
∴an+1-2an=2(an-2an-1)(n≥2).
解:(1)设等比数列{an}的公比为 q,则由已知可得
解得
2
|1 -1 | = 10,
5
1 = -5,
1 = 3 ,
或
新教材2023版高中数学章末复习课1第一章数列课件北师大版选择性必修第二册
章末复习课 1
考点一 传统文化中的数列问题 1．在以实用为主的古代数学中，数列是研究的热点问题． 2．通过对优秀传统文化的学习，提升学生的数学建模、数学运算素 养．
例1 (1)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中
有如下问题：“今有禀粟，大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，
一十五斗．今有大夫一人后来，亦当禀五斗．仓无粟，欲以衰出之，
项公式要分段表示． (3)求数列的前n项和，根据数列的不同特点，常有方法：公式法、裂项相
消法、错位相减法、分组求和法． (4)通过对数列通项公式及数列求和的考查，提升学生的逻辑推理、数学
运算素养．
例4 已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*)且a1＝2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝ an − 1 2an.求数列{bn}的前n项和Tn.
于织布，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，现在该女子一
个月(按30天计)共织布390尺，最后一天织布21尺，则该女子第一天织
布( )
A．3尺
B．4尺
C．5尺
D．6尺
答案：C
解析：由题意可设该女子第n天织布的数量为an，则数列{an}是等差数列，设其
21 公差为d.则ቐ390 =
= a1 30a1
2(an≠0)⇔{an}是等比数列．
(3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数)⇔{an}是等差数列；an＝c·qn(c，q
为非零常数)⇔{an}是等比数列．
(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；
Sn＝Aqn－A(A，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔{an}是等比数
考点一 传统文化中的数列问题 1．在以实用为主的古代数学中，数列是研究的热点问题． 2．通过对优秀传统文化的学习，提升学生的数学建模、数学运算素 养．
例1 (1)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中
有如下问题：“今有禀粟，大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，
一十五斗．今有大夫一人后来，亦当禀五斗．仓无粟，欲以衰出之，
项公式要分段表示． (3)求数列的前n项和，根据数列的不同特点，常有方法：公式法、裂项相
消法、错位相减法、分组求和法． (4)通过对数列通项公式及数列求和的考查，提升学生的逻辑推理、数学
运算素养．
例4 已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*)且a1＝2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝ an − 1 2an.求数列{bn}的前n项和Tn.
于织布，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，现在该女子一
个月(按30天计)共织布390尺，最后一天织布21尺，则该女子第一天织
布( )
A．3尺
B．4尺
C．5尺
D．6尺
答案：C
解析：由题意可设该女子第n天织布的数量为an，则数列{an}是等差数列，设其
21 公差为d.则ቐ390 =
= a1 30a1
2(an≠0)⇔{an}是等比数列．
(3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数)⇔{an}是等差数列；an＝c·qn(c，q
为非零常数)⇔{an}是等比数列．
(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；
Sn＝Aqn－A(A，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔{an}是等比数
1.3.2《等比数列的前n项和》课件(北师大版必修5)
1 q＝ 或 2 . n＝6
已知等比数列{an}中，前10项和S10＝10，前20项和S20＝
30，求S30.
方法一： 根据条件 设公比为q ―→ ―→ 解出q ―→ 代入求S30 列方程组 方法二： 根据题意S10；S20－S10， S10＝10， ―→ ―→ S30 S30－S20成等比数列 S20＝30
值．
解析： 方法一：设首项为a1，公比为q， a11－q4 ∵S4＝ ＝1，① 1－q a11－q8 S8 ＝ ＝3，② 1－q ① 由 ，得q4＝2. ②
a11－q20 a11－q16 ∴a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝ － 1－q 1－q a1q161－q4 ＝ ＝1·16＝24＝16. q 1－q
方法二：设S4＝a，S8－S4＝b，S12－S8＝c，S16－S12＝ d， S20－S16＝e， 则a，b，c，d，e又成等比数列．
则a＝1，b＝3－1＝2，
∴此数列的公比为2.
∴e＝a·24＝1·24＝16. ∴a17＋a18＋a19＋a20＝16.
)
B．－4 D．－2
答案： A
3．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则 数列{an}前7项的和为________．
a5 解析： ∵公比q ＝ ＝16， a1
4
且q＞0，∴q＝2， 1－27 ∴S7＝ ＝127. 1－2
答案： 127
4．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a12
1 1－ q
所以q2＋4q＋4＝0，即(q＋2)2＝0. 所以q＝－2.
(4)∵a1an＝a2an－1＝128，又a1＋an＝66，
a ＝2 1 ∴ an＝64 a ＝64 1 或 an＝2
北师版高中数学选择性必修第二册精品课件 第一章 3.1 第1课时 等比数列的概念及其通项公式
(1)常数列一定是等比数列.( × )
(2)存在一个数列,它既是等差数列,又是等比数列.( √ )
(3)等比数列中的项可以为零.( × )
(4)在等比数列{an}中,若公比q>1,则{an}是递增数列.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
等比数列的判断(证明)
【例1】 (1)下列数列是等比数列的是(
20
,求an.
3
探究三
等比数列通项公式的应用
【例3】 (1)在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则
a6=
.
9
1
2
(2)在等比数列{an}中,已知 a1= ,an= ,q= ,则 n=
8
3
3
.
解析:(1)设等比数列{an}的公比为q,q>0,由a8=a6+2a4,得a4q4=a4q2+2a4,
答案:B
).
4
8
3.在等比数列{an}中,a3=3,a5=3,公比为 q,则
a10=
;q=
.
解析:根据等比数列的定义,灵活运用结论:am=anq
5 2
,可得 =q =2,∴q=±√2.
3
m-n
8
32 2
∴a10=a5·q =±3×4√2=± 3 .
5
32 2
答案:± 3
±√2
21 +2
4.设 a1,a2,a3,a4 成等比数列,其公比为 2,则
2
52 =a10=a1q9>0⇒a1>0,
又因为数列{an}递增,所以 q=2.52 =a10⇒(a1q4)2=a1q9⇒a1=q=2,
所以数列{an}的通项公式为 an=2n.
(2)存在一个数列,它既是等差数列,又是等比数列.( √ )
(3)等比数列中的项可以为零.( × )
(4)在等比数列{an}中,若公比q>1,则{an}是递增数列.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
等比数列的判断(证明)
【例1】 (1)下列数列是等比数列的是(
20
,求an.
3
探究三
等比数列通项公式的应用
【例3】 (1)在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则
a6=
.
9
1
2
(2)在等比数列{an}中,已知 a1= ,an= ,q= ,则 n=
8
3
3
.
解析:(1)设等比数列{an}的公比为q,q>0,由a8=a6+2a4,得a4q4=a4q2+2a4,
答案:B
).
4
8
3.在等比数列{an}中,a3=3,a5=3,公比为 q,则
a10=
;q=
.
解析:根据等比数列的定义,灵活运用结论:am=anq
5 2
,可得 =q =2,∴q=±√2.
3
m-n
8
32 2
∴a10=a5·q =±3×4√2=± 3 .
5
32 2
答案:± 3
±√2
21 +2
4.设 a1,a2,a3,a4 成等比数列,其公比为 2,则
2
52 =a10=a1q9>0⇒a1>0,
又因为数列{an}递增,所以 q=2.52 =a10⇒(a1q4)2=a1q9⇒a1=q=2,
所以数列{an}的通项公式为 an=2n.
高一 8 等比数列(1)
由此可知：等比数列中，公比不能为零.
思考2 数列 a1，a1q，a1q2，，a1qn1，q 0 是等比数列吗？ 为什么？
显然，a1 0 时，该数列不是等比数列，是每项都为0的常数 列；a1 0 时，该数列是以 q为公比的等比数列. 由此可知：等比数列中，首项不能为零.
抽象概括
个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q 表示.
根据定义可知：
a2 a3 a4 an q
a1 a2 a3
an1
思考1 数列 1，q，q2，q3，，qn1是等比数列吗？ 为什么？
显然，q 0时，该数列不是等比数列；q 0时，该数列是 以 q 为公比的等比数列.
+）an an1 d
累乘法
a2 q
等 比
a1
a3 q
类比 数 列
a2 a4 q a…3 …
×）
an an1
q
共 n 1项
an =a1+(n 1)d
an a1qn1
归纳 首项是a1，公比是q的等比数列的通项公式是
an a1qn1(a1 0，q 0).
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的 比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做
等比数列的公比，公比通常用字母 q 表示（首项a1 0且q 0）.
等比数列的通项公式的推导Fra bibliotek叠加法
等 a2 a1 d
差 数
a3 a2 d
列 a4 a3 d ……
1，1 ，1 ，1， 248
3.一种计算机病毒可以查找出计算机中地址簿，通过邮件 来进行传播.如果把病毒制造者发送病毒称之为第一轮，邮 件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推.假设每一轮每一 台计算机都感染20台计算机，那么在不重复的情况下，这 种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是
思考2 数列 a1，a1q，a1q2，，a1qn1，q 0 是等比数列吗？ 为什么？
显然，a1 0 时，该数列不是等比数列，是每项都为0的常数 列；a1 0 时，该数列是以 q为公比的等比数列. 由此可知：等比数列中，首项不能为零.
抽象概括
个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q 表示.
根据定义可知：
a2 a3 a4 an q
a1 a2 a3
an1
思考1 数列 1，q，q2，q3，，qn1是等比数列吗？ 为什么？
显然，q 0时，该数列不是等比数列；q 0时，该数列是 以 q 为公比的等比数列.
+）an an1 d
累乘法
a2 q
等 比
a1
a3 q
类比 数 列
a2 a4 q a…3 …
×）
an an1
q
共 n 1项
an =a1+(n 1)d
an a1qn1
归纳 首项是a1，公比是q的等比数列的通项公式是
an a1qn1(a1 0，q 0).
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的 比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做
等比数列的公比，公比通常用字母 q 表示（首项a1 0且q 0）.
等比数列的通项公式的推导Fra bibliotek叠加法
等 a2 a1 d
差 数
a3 a2 d
列 a4 a3 d ……
1，1 ，1 ，1， 248
3.一种计算机病毒可以查找出计算机中地址簿，通过邮件 来进行传播.如果把病毒制造者发送病毒称之为第一轮，邮 件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推.假设每一轮每一 台计算机都感染20台计算机，那么在不重复的情况下，这 种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是
2019-2020学年数学北师大版必修5课件：1.3.2 等比数列的前n项和
=a1b1+db1(q+q2+…+qn-1)-anb1qn,
∴当 q=1 时,Sn=b1(a1+a2+…+an)
=b1·������(������12+������������); 当 q≠1 时,Sn=������1������11-���-���������������������1������������+db1·������((11--���������������)���2-1).
当q≠-1或k为奇数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比数列.
【做一做2】
设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若������������63=3,则������������96=(
)
A.2
B.73
C.83
D.3
解析:根据等比数列的性质,S3,S6-S3,S9-S6仍然成等比数列.
∵������������63=3,∴不妨设 S3=x(x≠0),则 S6=3x, ∴S6-S3=2x,∴S9-S6=4x, ∴S9=7x.∴������������96 = 73.故选 B.
答案:4-������2+������4
-8-
3.2 等比数列的前n项和
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思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)若数列{an}是等比数列,Sn是数列{an}的前n项和,则Sn,S2n-Sn,
S3n-S2n一定成等比数列. ( ) (2)数列a,a2,a3,…,an,…的前n项和为
答案:B
-4-
3.2 等比数列的前n项和
∴当 q=1 时,Sn=b1(a1+a2+…+an)
=b1·������(������12+������������); 当 q≠1 时,Sn=������1������11-���-���������������������1������������+db1·������((11--���������������)���2-1).
当q≠-1或k为奇数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比数列.
【做一做2】
设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若������������63=3,则������������96=(
)
A.2
B.73
C.83
D.3
解析:根据等比数列的性质,S3,S6-S3,S9-S6仍然成等比数列.
∵������������63=3,∴不妨设 S3=x(x≠0),则 S6=3x, ∴S6-S3=2x,∴S9-S6=4x, ∴S9=7x.∴������������96 = 73.故选 B.
答案:4-������2+������4
-8-
3.2 等比数列的前n项和
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思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)若数列{an}是等比数列,Sn是数列{an}的前n项和,则Sn,S2n-Sn,
S3n-S2n一定成等比数列. ( ) (2)数列a,a2,a3,…,an,…的前n项和为
答案:B
-4-
3.2 等比数列的前n项和
人教版高中数学必修5《等比数列》PPT课件
的 公比 ，通常用字母 q 表示。
二、基础知识讲解
1、等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它
的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等比数列。这个常数就叫做等比数列的公比， 公比
通常用字母 q 表示。 (q≠0) 等比数列的每一
思考：用数学符号语言（递推公式）项怎都样不表为示0等，比即
在等比数列{an}中 （1）an=akqn-k； （2）若m+n=k+l，则am·an =ak·al 在等比数列{an}中，若m+n=k+l，则am·an =ak·al
特别地，若m n 2k(m, n, k N * ), 则aman ak2
例1、在等比数列{an}中，an 0，且a1a9 64， a3 a7 20，求a11。
成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别 加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数。
一、复习回顾 1、等比数列的定义： 或
2、等比数列的通项公式： an=a1qn-1 3、等比数列的性质： ①an=a1qn-1=akqn-k；
a1q2 12 ①
a1，公比是
q，那么
设
a1q3 18 ②
把②的两边分别除以①的两边，得
q
3
③
把③代入①，得
a1
6 3
2
方
程列
思 想
因此，a2
a1q
16 3
3 2
8
求
二、基础知识讲解
3、等比数列的通项公式： an=a1qn-1
练习2：在等比数列{an}中，
（1）a1=3，an=192，q=2，求n；n=7
a3 a7 20，求a11。
解：依题意可得
二、基础知识讲解
1、等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它
的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等比数列。这个常数就叫做等比数列的公比， 公比
通常用字母 q 表示。 (q≠0) 等比数列的每一
思考：用数学符号语言（递推公式）项怎都样不表为示0等，比即
在等比数列{an}中 （1）an=akqn-k； （2）若m+n=k+l，则am·an =ak·al 在等比数列{an}中，若m+n=k+l，则am·an =ak·al
特别地，若m n 2k(m, n, k N * ), 则aman ak2
例1、在等比数列{an}中，an 0，且a1a9 64， a3 a7 20，求a11。
成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别 加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数。
一、复习回顾 1、等比数列的定义： 或
2、等比数列的通项公式： an=a1qn-1 3、等比数列的性质： ①an=a1qn-1=akqn-k；
a1q2 12 ①
a1，公比是
q，那么
设
a1q3 18 ②
把②的两边分别除以①的两边，得
q
3
③
把③代入①，得
a1
6 3
2
方
程列
思 想
因此，a2
a1q
16 3
3 2
8
求
二、基础知识讲解
3、等比数列的通项公式： an=a1qn-1
练习2：在等比数列{an}中，
（1）a1=3，an=192，q=2，求n；n=7
a3 a7 20，求a11。
解：依题意可得
高中数学 1.3.1.2 等比数列的性质同步课件 北师大版必修5
仍为等比数列，例如am,a2m,a3m也为等比数列.
第九页，共39页。
(3)数列{λan}(λ≠0)，{｜an｜}皆为等比数列，公比分别为q和｜
q｜.
一个等比数列各项的k次幂，仍组成一个等比数列，新公比是原公比的
k次幂.
例如(lìrú)，以q为公比的等比数列的各项的倒数构成的数列仍为等比
数列，公比为
∴第4个数为12q-6.∴6+6q+12q-6=12,解得
q 故2 .所求的4个数为9,6,4,2.
方法3(fāngfǎ)二：设后3个数分别为4-d,4,4+d,则第1个数1（为4 d）2,
由题意
解得4-d=6.∴d=-2.故所求的4个数为49，6，4，
1（4 d）2（4 d）4 216,
4.在等比数列{an}中,若a1,a10是方程(fāngchéng)3x2-2x6=0的两根，则a4·a7=_________. 【解析】a4a7=a1a10=-2. 答案：-2
第三十八页，共39页。
5.已知实数(shìshù)a,b,c成等差数列，a+1,b+1,c+4成等比数列， 且a+b+c=15,求a,b,c. 【解析】∵a,b,c成等差数列，设公差为d，又a+b+c=15. ∴b=5,∴a+1=6-d,c+4=9+d, 又a+1,b+1,c+4成等比数列， ∴(a+1)(c+4)=(b+1)2,即（6-d)(9+d)=62, ∴d=3或d=-6,∴a,b,c分别为2,5,8或11,5,-1.
2.
4
第二十页，共39页。
【误区警示】在解决本题时注意审题，要求的是三个正数，所以解 出d=-10时需要舍去，不要忽视条件，导致(dǎozhì)错误.
高中数学 第一章《数列》等比数列的前n项和课件 北师大必修5
1、等比数列1，2，4，8，…从第5项到
第10项的和为
S
S10S411221011224
或
Sa51q6 1q
24126 12
2、求数列1，x，x2，x3，…，xn，…的 前n项和。
3、求和：(x1 y)(x2y 12) (xny 1n)
▪1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 ▪2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 ▪3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 ▪4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 ▪5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 ▪6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/302022/1/302022/1/301/30/2022 ▪7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/302022/1/30January 30, 2022 ▪8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/302022/1/302022/1/302022/1/30
当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时， 国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒 全拿来，也满足不了那位宰相的要求。
那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少呢？ 第第第第 第
一 二 三 四 ……64 格格格格 格
12 122 2 63
= 18446744073709551615(粒)
假定千粒麦子的质量为10g,那么麦 粒的总质量超过了7000亿吨。
5 5 1 .1 5 1 .1 2 5 1 .1 n 1
解：由题意，从第1年起，每年的产量
高中数学北师大版必修5第1章3《等比数列》(第2课时 等比数列的性质)ppt同步课件
课堂典例讲练
运用等比数列性质解题
•
求a10.
在等比数列{an}中，若a2＝2，a6＝162，
• [分析] 解答本题可充分利用等比数列的性质及通项
公式[解，析求] 得解q法，一再：求设a公10比. 为 q，由题意得
a1q＝2 a1q5＝162
，解得a1＝23 q＝3
，或a1＝－23 q＝－3
[解析] 设数列{an}的公比为 q，则 an＝a1qn－1， bn＝1n[lga1＋lg(a1q)＋lg(a1q2)＋…＋lg(ka1qn－1)]， 解得 bn＝1n[nlga1＋12n(n－1)lgq＋lgk] ＝lga1＋12(n－1)lgq＋1nlgk，
∴bn＋1－bn＝[lga1＋12nlgq＋n＋1 1lgk]－[lga1＋12(n－1)lgq＋ 1 nlgk]
∵an＝logabn＋b 对一切正整数 n 恒成立．
∴54－ ＋lbo－gal6o＝ga06＝0 ，∴a＝5 6，b＝1.
易混易错点睛
四个实数成等比数列，且前三项之积为 1，后三 项之和为 134，求这个等比数列的公比．
[误解] 设这四个数为 aq－3，aq－1，aq，aq3，由题意得 a3q－3＝1，① aq－1＋aq＋aq3＝134.② 由①得 a＝q，把 a＝q 代入②并整理， 得 4q4＋4q2－3＝0，解得 q2＝12或 q2＝－32(舍去)，故所求的公 比为12.
• (8){an}是等差数列，c是正数，则数列{can}是等比
________数列．
• (a9≠)1{)a是n}是__等__比__数__列数，列且．an>0，则{logaan}(a>0，
• 等2．差 等比数列中的设项方法与技巧
• (1)若____或________．