湖南师大附中2020-2021学年度高一第一学期期中考试数学试题与答案
湖南师大附中2020-2021学年高一第一学期期中考试数学试卷
湖南师大附中2020－2021学年度高一第一学期期中考试数学时量：120分钟满分：100分(试卷Ⅰ)＋50分(试卷Ⅱ)得分：____________试卷Ⅰ一、选择题：本大题共6个小题，每小题5分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{}－3，－1，0，1，3，N ＝{}－2，－1，0，1，2，则M ∩N ＝ A .{}－2，－1，0 B .{}－1，0，1C .{}0，1，2D .{}－3，－2，－1，0，1，2，32．命题“x 0>0，x 20－4x 0＋3<0”的否定是 A ．x>0，x 2－4x ＋3≥0 B ．x 0≤0，x 20－4x 0＋3<0 C ．x ≤0，x 2－4x ＋3<0 D ．x 0>0，x 20－4x 0＋3≥03．已知碳14是一种放射性元素，在放射过程中，质量会不断减少．已知1克碳14经过5730年，质量经过放射消耗到0.5克，则再经过多少年，质量可放射消耗到0.125克A ．5730B ．11460C ．17190D ．229204．下列四组函数中，f ()x 与g ()x 表示同一函数是A ．f ()x ＝x －1，g ()x ＝x 2－1x ＋1B ．f ()x ＝3x 3，g()x ＝()x 2C ．f ()x ＝1，g ()x ＝()x ＋10D ．f ()x ＝||x ＋1，g ()x ＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≥－1－x －1，x<－15．下列说法正确的是A ．a>b ac 2>bc 2B ．a>b a 2>b 2C ．a>b a 3>b 3D ．a 2>b 2a>b6．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12恒成立，则a 的最小值是 A ．0 B ．－2 C ．－52D ．－3二、多选题：本大题共2个小题，每小题5分，满分10分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求. 全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．7．若函数y ＝x 2－4x －4的定义域为[0，m]，值域为[－8，－4]，则实数m 的值可能为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．58．若函数f ()x 、g ()x 分别为R 上的奇函数、偶函数，且满足f ()x －g ()x ＝e x ，则有 A ．f ()x ＝12()e x －e －xB ．g ()x ＝12()e x ＋e －xC ．f ()2<g ()0<f ()3D ．g ()0<f ()2<f ()3三、填空题：本大题共2个小题，每小题5分，共10分．9．设函数f ()x ＝⎩⎨⎧－x ，x ≤0，x 2＋1，x>0，则f ()f ()－1的值为________．10．已知p ：x 2－8x －33>0，q ：||x －1>a ()a>0，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为______．四、解答题：本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 11．(本小题满分12分)化简求值(1)⎝⎛⎭⎫12－3＋⎝⎛⎭⎫1620－1634＋⎝⎛⎭⎫32×36(2)log 142＋2lg 4＋lg 58＋e ln 212. (本小题满分12分)已知函数f(x)＝ae x ＋1＋1为奇函数．(1)求a 的值，并用函数单调性的定义证明函数f ()x 在R 上是增函数； (2)求不等式f (t 2)＋f (2t －3)≤0的解集．13.(本小题满分13分)已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且 x >0时，f (x )<0. (1)求证：f (x )在R 上是奇函数； (2)求证：f (x )在R 上是减函数；(3)若f (1)＝－23，求f (x )在区间 [－3，3]上的最大值和最小值．14. (本小题满分13分)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )，且f (x )≤0的解集为[－1，2]． (1)求函数f (x )的解析式；(2)解关于x 的不等式mf (x )>2(x －m －1)，其中m ∈R .试卷Ⅱ一、选择题：本大题共2个小题，每小题5分，满分10分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若奇函数f(x)在(－∞，0)内是减函数，且f(－2)＝0, 则不等式x·f(x)>0的解集为 A ．(－2，0)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(0，2) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D ．(－2，0)∪(0，2)2．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧（3－a ）x －4a ，x<1x 2，x ≥1在R 上是单调的函数，则a 的取值范围是A.⎣⎡⎭⎫25，3B.⎝⎛⎦⎤25，3 C.()－∞，3 D.⎣⎡⎭⎫25，＋∞ 二、多选题：本大题共2个小题，每小题5分，满分10分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求. 全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．3．下列命题中正确的有A ．|x|2＋|x|－2＝0有四个实数解B ．设a 、b 、c 是实数，若二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实根，则ac>0C ．若a>b ，则a c 2＋1>bc 2＋1D ．若x ∈R ，则函数y ＝x 2＋4＋1x 2＋4的最小值为2 4．设函数f (x )＝x |x |＋bx ＋c ，给出如下命题，其中正确的是 A ．c ＝0时，y ＝f (x )是奇函数B ．b ＝0，c >0时，方程f (x )＝0只有一个实数根C ．y ＝f (x )的图像关于点(0，c )对称D ．方程f (x )＝0最多有两个实根三、填空题：本大题共2个小题，每小题5分，共10分．5．已知f(x)＝e x －1＋e 1－x ＋2a 只有一个零点，则a ＝____________．6．设关于x 的不等式ax 2＋8(a ＋1)x ＋7a ＋16≥0，(a ∈Z )，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则不等式的全部整数解的和为____________．四、解答题：本大题共2小题，共20分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 7．(本小题满分10分)“金山银山，不如绿水青山，而且绿水青山就是金山银山”。
附中高一数学期中(1期)答案
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湖南师大附中 学年度高一第一学期期中考试
数学参考答案
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湖南师大附中2020-2021-1高一上学期第一次月考数学试卷答案
湖南师大附中2020-2021学年度高一第一学期第一次大练习数学答案一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案D B D A C B B B二.多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.题号9101112答案BCD BCD AD CD三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.{1，3，5}14.31415.}3202{，，-16.{m |-4<m <-2}四.解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.解：（1）因为集合{}103|<≤=x x A ，{|29}B x x =<<．所以(){|2R B x x = ð或9}x ，{2|)(≤=∴x x A B R C 或}3≥x ，（2）因为A C ⊆，当集合C 为空集时，由于1a a +>恒成立，故不成立；当集合C 不为空集时，⎩⎨⎧<+≥1013a a ，解得：93<≤a ，故实数a 的取值构成的集合是：{}93|<≤a a ．18.解：（1）当0=a 时，2+-=x y 只有一个零点，符合题意；当0≠a 时，()08122=-+=a a ∆，解得21=a .故当函数有且只有一个零点时，0=a 或21=a .（2）当0a =时，不等式化为20x -+<，解得2x >；当0a ≠，△0=时，解得12a =，不等式化为(1)(2)0ax x --<．当12a =时，不等式化为2(2)0x -<，解得x ∈∅；当102a <<时，不等式化为1()(2)0x x a --<，解得12x a <<；当12a >时，不等式化为1(2)0x x a --<，解得12x a<<；当0a <时，不等式化为1()(2)0x x a -->，解得2x >或1x a<．综上所述，当0a =时，不等式的解集为{|2}x x >；当12a =时，不等式的解集为∅；当102a <<时，不等式的解集为1{|2}x x a <<；当12a >时，不等式的解集为1{|2}x x a<<；当0a <时，不等式的解集为{|2x x >或1}x a<.19.证明：（1）222a b ab + ，222b c bc + ，222c a ca + ，三式相加可得222a b c ab bc ca ++++ ，2222()222()2()a b c a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca ∴++=++++++++++ 3()9ab bc ca =++=，又a ，b ，c 均为正整数，3a b c ∴++ 成立．（2）3=++ab b a ，ab b a 2≥+，ab ab 23+≥∴，即()0322≤-+ab ab ，解得：1≤ab ..1≤∴ab 即ab 的最大值为1.20.解：（1）由题意得：10(1000)(10.2%)101000x x -+⨯ ，即25000x x - ，又0x >，所以0500x < ()*N ∈x ．（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为310(500x a x -万元，从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)(1)500x x -+万元，则310()10(1000)(10.2%)500x a x x x --+ 所以223110002500500x ax x x x -+-- ，所以221000500x ax x ++ ，即210001500x a x++ 恒成立，因为210004500x x += ，当且仅当21000500x x =，即500x =时等号成立．所以5a ，又0a >，所以05a < ，即a 的取值范围为(0，5]．21.解：（1）由题意得当1-=x 时，b a y -=；当1=x 时，b a y +=，设()()b a b a n b a m 24-=-++，则有⎩⎨⎧-=-=+24n m n m ，解得⎩⎨⎧==31n m ，所以()()b a b a b a -++=-324.42≤+≤b a ,21≤-≤b a 10245≤-≤∴b a .即4a -2b 所有取值构成的集合为{}10245|24≤-≤-b a b a .（2）当12-==b a ，时，x x y -=22.即8222--≥-m mx x x 在21>x 时恒成立，即()082122≥+++-m x m x 在21>x 时恒成立.令()()82122+++-=m x m x x f ，故该二次函数开口向上，对称轴为直线421m x +=.则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛≤+02121421f m 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+>+042121421m f m ，解得29≤m .故m 的取值范围为⎭⎫⎩⎨⎧≤29|m m .22.解：（1）根据题意，由{1A =-，1}，则{2A +=-，0，2}，{0A -=，2}；（2）由于集合1{A x =，2x ，3x ，4}x ，1234x x x x <<<，且A A -=，所以A -中也只包含四个元素，即{0A -=，21x x -，31x x -，41}x x -，剩下的324321x x x x x x -=-=-，所以1423x x x x +=+；（3）设1{A a =，2a ，}k a ⋯满足题意，其中12k a a a <<⋯<，则11213123122k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a -<+<+<⋯<+<+<+<⋯<+<，||21A k +∴- ，1121311k a a a a a a a a -<-<-<⋯<-，||A k -∴ ，A A +-=∅ ，由容斥原理||||||31A A A A k +-+-=+- ，A A +- 中最小的元素为0，最大的元素为2k a ，||21k A A a +-∴+ ，31214041(*)k k a k N ∴-+∈ ，1347k ∴ ，实际上当{674A =，675，676，⋯，2020}时满足题意，证明如下：设{A m =，1m +，2m +，⋯，2020}，m N ∈，则{2A m +=，21m +，22m +，⋯，4040}，{0A -=，1，2，⋯，2020}m -，依题意有20202m m -<，即16733m >，故m 的最小值为674，于是当674m =时，A 中元素最多，即{674A =，675，676，⋯，2020}时满足题意，综上所述，集合A 中元素的个数的最大值是1347．。
湖南师大附中2020-2021学年高一上学期期中数学试题 答案和解析
湖南师大附中【最新】高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{}|1,|M x x N x x a =>=>，且M N ⊆，则（ ） A ．1a ≤ B ．1a <C ．1a ≥D ．1a >2．函数()213f x x =+的值域是（ ） A ．RB ．1|3y y ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭C ．1|3y y ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭D ．1|03y y ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭3．函数()log 42a y x =-+(0a >且1a ≠)的图象必经过点（ ） A ．()0,1B ．()5,1C ．()5,2D ．()1,54．实数01lg 42lg52⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．设a =log 2e ，b =ln3e ，c =e –2（e 为自然对数的底数），则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a >b >c B ．c >a >b C ．b >c >a D ．b >a >c6．已知函数()ay xa R =∈的图象如图所示，则函数x y a -=与log a y x =在同一直角坐标系中的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知()()1,4{1,42xf x x f x x +<=⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则()2log 3f ＝ （ ）A ．112 B ．124C ．14D ．128．已知()f x 是定义在(),0-∞上的减函数，且对任意()12,,0x x ∈-∞都有()()()1212f x f x f x x =+，则不等式()2122f x fx ⎡⎤⎛⎫->+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的解集为（ ）A ．(),3-∞-B ．13,2⎛⎫--⎪⎝⎭C ．()3,0-D ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭9．某同学求函数()ln 26f x x x =+-的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示，则方程ln 260x x +-=的近似解（精确度0.1）可取为（ ）A ．2.52B ．2.625C ．2.47D ．2.7510．已知函数f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．[2，＋∞) C ．1[,2]2-D ．1(,2]2-11．已知1a b >>，若5log log ,2ba ab b a a b +==，则,a b 的值分别为（ ） A ．5,2a b ==B ．4,2a b ==C ．8,4a b ==D ．2,a b ==12．对于实数a 和b ，定又运算“⊗”，,1,1a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩，函数()()22()2f x x x x =-⊗-，若函数()y f x c =-恰有两个零点，则实数c 的取值范围是（ ） A ．3(,2]1,4⎛⎫-∞--- ⎪⎝⎭B ．3(,2]1,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭C ．111,,44⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．311,,44⎛⎫⎡⎫--+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭二、填空题13．不等式142x ->的解集是_____________. 14．已知2510m n ==，则11m n+=________. 15．设{}min ,y x y x y x x y≥⎧=⎨<⎩，则{}2min ,2x x --的最大值为__________．16．已知函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭与()()()24log 240g x x ax a =-+>，若对任意的()10,1x ∈，都存在[]20,2x ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是______.三、解答题17．已知函数()(230x f x a a -=+>且)1a ≠经过定点A ，且A 在幂函数()mg x x =的图象上.（1）求m 的值；（2）设集合(){}(){}|5,|23M x f x N x g x x =≤=≤+，若M N M ⋃=，求a 的取值范围.18．已知函数()2112xf x =-+. （1）判断函数()f x 的奇偶性并给出证明； （2）设()()()142xx g x f f m +=--，若函数()g x 有且只有一个零点，求实数m 的取值范围.19．已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且[)0,x ∈+∞时，()[]()222,0,11,1,x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩.（1）求(),0x ∈-∞时()f x 的解析式；（2）在如图坐标系中作出函数()f x 的大致图象； （3）若不等式()f x k ≤恰有5个整数解，求k 的取值范围.20．一片森林原面积为a ，计划从某年开始，每年砍伐一些树林，且每年砍伐面积与上一年剩余面积的百分比相等.并计划砍伐到原面积的一半时，所用时间是10年.为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14.已知到今年为止，森林剩余面积为原面积的2. （1）求每年砍伐面积与上一年剩余面积的百分比； （2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ （3）为保护生态环境，今后最多还能砍伐多少年？21．已知函数()412x xm f x m ⋅+=-（R m ∈）. （Ⅰ）若函数()f x 有零点，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若对任意的[]1,0x ∈-，都有()01f x ≤≤，求实数m 的取值范围. 22．设函数()()()()2log 22log 23,0,1a a f x mx x x a a =+--+>≠.（1）若[],4x m ∈时，()()()223f x g x x x a=-+⋅的值域为[]4,10，求m 的值；（2）若()00f >，求不等式()0f x >的解集.参考答案1．A 【解析】 【分析】根据M N ⊆，在数轴上作出,M N ，可得结果. 【详解】根据M N ⊆，在数轴上作出集合,M N ，如图：可得：1a ≤， 故选：A. 【点睛】本题考查集合间的包含关系，注意利用数轴，是基础题. 2．D 【分析】根据不等式的性质即可求出函数的值域. 【详解】因为221133033x x +≥⇒<≤+， 所以函数的值域为：1|03y y ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭. 故选D. 【点睛】本题考查利用不等式的性质求函数的值域，注意不等式两边取倒数时，不会改变两边的正负，所以2103x <+不能弄错，考查基本运算求解能力. 3．C 【分析】令对数的真数为1，求出,x y 的值，从而得到函数过的定点坐标. 【详解】令415x x -=⇒=，所以2y =， 所以函数过的定点坐标为(5,2). 故选C. 【点睛】本题考查对数型函数过定点问题，考查对概念的理解，即只要对数的真数为1，不管底数如何变化，其对数值恒为1，考查基本运算求解能力. 4．C 【分析】根据指数，对数的运算计算即可. 【详解】解：()21lg 42lg51lg 451232⎛⎫-++=+⨯=+= ⎪⎝⎭， 故选：C. 【点睛】本题考查指数，对数的运算，是基础题. 5．D 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． 【详解】∵log 22=1＜a=log 2e ＜log 24=2， b=ln3e=ln3+lne ＞2， c=e ﹣2＜e 0=1，∴a ，b ，c 的大小关系为b ＞a ＞c ． 故选D ． 【点睛】本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 6．C 【分析】由幂函数的图象得01a <<，则x y a -=为增函数，log a y x =为减函数，从而得到答案.【详解】由幂函数的图象得01a <<， 由1()xx y aa-==，得该函数单调递增， 由log a y x =，得该函数单调递减，故选：C. 【点睛】本题考查幂函数、指数函数、对数函数的图象，考查数形结合思想的运用，求解的关键是抓住函数的单调性. 7．B 【解析】试题分析：()2log 2422211log 3(log 6)(log 24)()224f f f =====,故选B ． 考点：分段函数． 8．B 【分析】利用函数单调性和运算关系，得到不等式组，解不等式即得答案。
湖南师大附中2022-2021学年高一上学期期中考试 数学(必修1) Word版含答案
湖南师大附中2022－2021学年度高一第一学期期中考试数学试题－(这是边文，请据需要手工删加)题 答 要 不 内 线 封 密号位座____________ 号场考____________ 号 学____________ 名 姓____________级 班____________ 级 年(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2022－2021学年度高一第一学期期中考试 数 学命题：高一数学备课组 审题：高一数学备课组 时量：120分钟 满分：150分 得分：____________第Ⅰ卷(满分100分)一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{1，2，3，4}，集合A ＝{1，2}，B ＝{2}，则∁U (A ∪B)＝A ．{1，3，4}B ．{3，4}C ．{3}D ．{4}2．已知a ＝0.67，b ＝70.6，c ＝log 0.76，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．b ＜c ＜a B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜b D ．c ＜b ＜a3．下列各组函数中，f(x)与g(x)为相同函数的是 A ．f(x)＝x ，g(x)＝x 2 B ．f(x)＝x ，g(x)＝(x)2C ．f(x)＝x 2，g(x)＝x 3x D ．f(x)＝|x|，g(x)＝⎩⎨⎧x ，x ≥0－x ，x<04．已知函数f(x)＝x ＋1x ，g(x)＝2x ＋12x ，则下列结论正确的是A ．f(x)是奇函数，g(x)是偶函数B ．f(x)是偶函数，g(x)是奇函数C ．f(x)和g(x)都是偶函数D ．f(x)和g(x)都是奇函数5．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1ln x ，x>1，e 为自然对数的底数，则f[f(e )]＝A ．0B ．1C ．2D ．eln 26．已知幂函数f(x)的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，14，则f ⎝⎛⎭⎫12的值为 A ．－14 B .14C ．－4D ．47．函数f(x)＝(2)x ＋3x 的零点所在的区间是A ．(－2，－1)B ．(0，1)C ．(－1，0)D ．(1，2) 8．函数f(x)＝a －x 2＋3x ＋2(0<a<1)的单调递增区间是A .⎝⎛⎭⎫－∞，32B . ⎝⎛⎭⎫32，＋∞ C .⎝⎛⎭⎫－∞，－32 D .⎝⎛⎭⎫－32，＋∞ 9．函数f(x)＝lg (|x|－1)的大致图象是10．已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且f (x )在(－∞，0]上单调递减，则不等式f (lg x )＞f (－2)的解集是A.⎝⎛⎭⎫1100，100 B ．(100，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫1100，＋∞D.⎝⎛⎭⎫0，1100∪(100，＋∞) 11．已知投资x 万元经销甲商品所获得的利润为P ＝x 4；投资x 万元经销乙商品所获得的利润为Q ＝a2x (a＞0)．若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品，使所获得的利润不少于5万元，则a 的最小值为A. 5 B ．5 C. 2 D ．2 答题卡题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分 答 案12．已知100a ＝5，10b ＝2，则2a ＋b ＝__________．13．函数f(x)＝11－2x的定义域是__________．14．若函数f(x)＝|2x －2|－m 有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是__________．三、解答题：本大题共3个小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分8分)(1)计算：2723－2log 23×log 218＋log 23×log 34；(2)已知0＜x ＜1，且x ＋x －1＝3，求x 12－x －12的值．已知A＝{x|2x2＋ax＋2＝0}，B＝{x|x2＋3x－b＝0}，且A∩B＝{2}．(1)求a，b的值；(2)设全集U＝A∪B，求(∁U A)∪(∁U B)．已知函数f(x)＝b·a x (a ＞0，且a ≠1，b ∈R )的图象经过点A (1，6)，B (3，24)．(1)设g (x )＝1f （x ）＋3－16，确定函数g (x )的奇偶性；(2)若对任意x ∈(－∞，1]，不等式⎝⎛⎭⎫a b x ≥2m ＋1恒成立，求实数m 的取值范围．一、本大题共2个小题，每小题6分，共12分．18．设全部被4除余数为k(k＝0，1，2，3)的整数组成的集合为A k, 即A k＝{x|x＝4n＋k，n∈Z}，则下列结论中错误．．的是()A. 2022∈A0B．－1∈A3C. 若a∈A k，b∈A k，则a－b∈A0D. a＋b∈A3，则a∈A1，b∈A219．若函数f(x)＝lg(ax－1)－lg(x－1)在区间[2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．二、本大题共3个大题，共38分．20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6.(1)若函数y＝log2f(x)的最小值为2，求a的值；(2)若对任意x∈R，都有f(x)≥0成立，求函数g(a)＝2－a|a＋3|的值域.今年入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严峻．市环保争辩所对近期每天的空气污染状况进行调查争辩后发觉，每一天中空气污染指数f (x )与时刻x (时)的函数关系为：f (x )＝|log 25(x ＋1)－a |＋2a ＋1，x ∈[0，24]，其中a 为空气治理调整参数，且a ∈(0，1)．(1)若a ＝12，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；(2)规定每天中f (x )的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过3，则调整参数a 应把握在什么范围内？22.(本小题满分13分)已知函数f(x)＝x2＋9，g(x)＝ax－3.(1)当a＝1时，确定函数h(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上的单调性；(2)若对任意x∈[0，4]，总存在x0∈[－2，2]，使得g(x0)＝f(x)成立，求实数a的取值范围．湖南师大附中2022－2021学年度高一第一学期期中考试数学参考答案－(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2022－2021学年度高一第一学期期中考试数学参考答案第Ⅰ卷(满分100分)11.A【解析】设投资x万元经销甲商品，投资(20－x)万元经销乙商品，总利润为y，则y＝P＋Q＝x4＋a2·20－x，0≤x≤20.令y≥5，则x4＋a2·20－x≥5，即a20－x≥10－x2，即a≥1220－x对0≤x≤20恒成立．而f(x)＝1220－x的最大值为5，所以a min＝5，选A.二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12．113. (－∞，0)14．(0，2)【解析】令|2x－2|－m＝0，则|2x－2|＝m.据题意，函数y＝|2x－2|的图象与直线y＝m有两个不同的交点，得0＜m＜2.三、解答题：本大题共3个小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．【解析】(1)原式＝(33)23－3×log22－3＋log23×log322＝9－3×(－3)＋2＝20.(4分)(2)由于x＋x－1＝3，则⎝⎛⎭⎫x12－x－122＝x＋x－1－2＝1.(6分)由于0＜x＜1，则x12－x－12＝x－1x＝x－1x<0，所以x12－x－12＝－1.(8分)16．【解析】由于A∩B＝{2}，则2∈A，且2∈B.(3分)所以8＋2a＋2＝0，且4＋6－b＝0，得a＝－5，b＝10. (5分)(2)由于A＝{x|2x2－5x＋2＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{－5，2}．(7分)则U＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12，2，∁U A＝{－5}，∁U B＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，(9分)所以(∁U A)∪(∁U B)＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12.(10分)17．【解析】(1)由已知，f(1)＝6，f(3)＝24，则⎩⎪⎨⎪⎧a·b＝6b·a3＝24，(1分)解得a＝2，b＝3，所以f(x)＝3·2x.(2分)由题设，g(x)＝13·2x＋3－16＝16⎝⎛⎭⎪⎫22x＋1－1＝16·1－2x2x＋1.(3分)明显g(x)的定义域为R，又g(－x)＝16·1－2－x2－x＋1＝16·2x－11＋2x＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．(6分)(2)设h(x)＝⎝⎛⎭⎫abx＝⎝⎛⎭⎫23x，则当x ∈(－∞，1]时，h (x )≥2m ＋1恒成立， 所以h (x )min ≥2m ＋1. (8分)由于h (x )在R 上为减函数，则当x ∈(－∞，1]时，h min (x )＝h (1)＝23.(10分)由2m ＋1≤23，得m ≤－16，所以m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－16.(12分) 第Ⅱ卷(满分50分)一、本大题共2个小题，每小题6分，共12分． 18．D19.⎝⎛⎭⎫12，1 【解析】由于f(x)＝lg ax －1x －1＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a －1x －1在[2，＋∞)上是增函数，则y ＝a ＋a －1x －1在[2，＋∞)上是增函数，所以a －1＜0，即a ＜1.又f(x)在[2，＋∞)上有意义，则当x ∈[2，＋∞)时， ax －1＞0恒成立，即a>1x恒成立，所以a>⎝⎛⎭⎫1x max ＝12. 故a ∈⎝⎛⎭⎫12，1.二、本大题共3个大题，共38分．20．【解析】(1)f(x)＝(x ＋2a)2＋2a ＋6－4a 2.(1分) 据题意，f(x)的最小值为4，则2a ＋6－4a 2＝4，(3分) 即2a 2－a －1＝0，即(2a ＋1)(a －1)＝0，所以a ＝1或－12.(5分)(2)由于f(x)≥0恒成立，则Δ＝16a 2－4(2a ＋6)≤0，(6分)即2a 2－a －3≤0，即(2a －3)(a ＋1)≤0.所以－1≤a ≤32.(7分)g(a)＝2－a|a ＋3|＝2－a(a ＋3)＝－a 2－3a ＋2＝－⎝⎛⎭⎫a ＋322＋174.(9分)由于g(a)在区间⎣⎡⎦⎤－1， 32单调递减， 所以g(a)max ＝g(－1)＝4, g(a)min ＝g ⎝⎛⎭⎫32＝－194.(11分) 所以函数g(a)的值域是⎣⎡⎦⎤－194，4.(12分) 21．【解析】(1)由于a ＝12，则f(x)＝|log 25(x ＋1)－12|＋2≥2.(2分)当f(x)＝2时，log 25(x ＋1)－12＝0，得x ＋1＝2512＝5，即x ＝4.(3分)所以一天中晚上4点该市的空气污染指数最低．(4分) (2)设t ＝log 25(x ＋1)，则当0≤x ≤24时，0≤t ≤1.(6分) 设g(t)＝||t －a ＋2a ＋1，t ∈[0，1]，则g(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧－t ＋3a ＋1，0≤t ≤at ＋a ＋1，a ≤t ≤1.(7分)明显g(t)在[0，a]上是减函数，在[a ，1]上是增函数，则f(x)max ＝max {g(0)，g(1)}. (8分) 由于g(0)＝3a ＋1，g(1)＝a ＋2，法一：由g(0)－g(1)＝2a －1>0，得a>12.所以f(x)max ＝⎩⎨⎧a ＋2，0<a ≤123a ＋1，12<a<1.(10分)当0<a ≤12时，2<a ＋2≤52<3，符合要求；(11分)当12<a<1时，由3a ＋1≤3，得12<a ≤23.(12分) 故调整参数a 应把握在⎝⎛⎦⎤0，23内．(13分) 法二：由题：⎩⎨⎧g （0）≤3g （1）≤3a>0即⎩⎨⎧3a ＋1≤3a ＋3≤3a>0解得0<a ≤23故调整参数a 应把握在⎝⎛⎦⎤0，23内． 22．【解析】(1)当a ＝1时，h(x)＝x 2＋9－x ＋3.设x 1＞x 2＞0，则h(x 1)－h(x 2)＝x 21＋9－x 1－x 22＋9＋x 2＝x 21＋9－x 22＋9－(x 1－x 2)＝x 21－x 22x 21＋9＋x 22＋9－(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 2x 21＋9＋x 22＋9－1. (2分) 由于x 21＋9>x 21＝x 1，x 22＋9>x 22＝x 2，则x 21＋9＋x 22＋9>x 1＋x 2， 得x 1＋x 2x 21＋9＋x 22＋9<1，即x 1＋x 2x 21＋9＋x 22＋9－1<0.(4分)又x 1－x 2＞0，则h(x 1)－h(x 2)<0，即h(x 1)<h(x 2)， 所以h(x)在(0，＋∞)上是减函数．(5分)(2)当x ∈[0，4]时，x 2∈[0，16]，则x 2＋9∈[9，25]， 所以f(x)的值域是[3，5]．(6分)当x ∈[－2，2]时，设函数g(x)的值域为M. 据题意，[3，5]M.(8分)①当a ＝0时，g(x)＝－3，不合题意．(9分)②当a ＞0时，g(x)在[－2，2]上是增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧g （2）≥5g （－2）≤3，即⎩⎨⎧2a －3≥5－2a －3≤3a>0，解得a ≥4. ③当a ＜0时，g(x)在[－2，2]上是减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧g （－2）≥5g （2）≤3，即⎩⎨⎧－2a －3≥52a －3≤3a<0，解得a ≤－4.(12分) 综上，a 的取值范围是(－∞，－4]∪[4，＋∞)．(13分)。
2020-2021学年湖南师大附中高一(上)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年湖南师大附中高一（上）期中数学试卷1.已知集合M={−3,−1,0,1,3}，N={−2,−1,0,1,2}，则M∩N=()A. {−2,−1,0}B. {−1,0,1}C. {0,1,2}D. {−3,−2,−1,0,1,2,3}2.命题“”的否定是()A. B.C. ∀x>0,xx−1≤0 D. ∀x<0,0≤x≤13.已知碳14是一种放射性元素，在放射过程中，质量会不断减少．已知1克碳14经过5730年，质量经过放射消耗到0.5克，则再经过多少年，质量可放射消耗到0.125克．()A. 5730B. 11460C. 22920D. 458404.下列四组函数中，f(x)与g(x)是同一个函数的是()A. f(x)=x−1，g(x)=x2−1x+1B. f(x)=√x33，g(x)=(√x)2C. f(x)=1，g(x)=(x+1)0D. f(x)=|x+1|，g(x)={x+1,x≥−1−x−1,x<−15.下列说法正确的是()A. a>b⇒ac2>bc2B. a>b⇒a2>b2C. a>b⇒a3>b3D. a2>b2⇒a>b6.若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈(0,12]恒成立，则a的最小值是()A. 0B. −2C. −52D. −37.若函数y=x2−4x−4的定义域为[0,m]，值域为[−8,−4]，则实数m的值可能为()A. 2B. 3C. 4D. 58.若函数f(x)，g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)−g(x)=e x，则有()A. f(x)=12(e x−e−x) B. g(x)=12(e x+e−x)C. f(2)<g(0)<f(3)D. g(0)<f(2)<f(3)9. 设函数f(x)={−x,x ≤0,x 2+1,x >0则f(f(−1))的值为 ．10. 已知p ：x 2−8x −33>0，q ：|x −1|>a(a >0)，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为 ． 11. 化简求值．(1)(12)−3+(6√2)0−1634+(√23×√3)6；(2)log 142+2lg4+lg 58+eln2．12. 已知函数f(x)=ae x +1+1为奇函数．(1)求a 的值，并用函数单调性的定义证明函数f(x)在R 上是增函数； (2)求不等式f(t 2)+f(2t −3)≤0的解集．13. 已知函数f(x)对于任意x ，y ∈R ，总有f(x)+f(y)=f(x +y)，且x >0时，f(x)<0．(1)求证：f(x)在R 上是奇函数； (2)求证：f(x)在R 上是减函数；(3)若f(1)=−23，求f(x)在区间[−3,3]上的最大值和最小值．14. 已知函数f(x)=x 2+bx +c(b,c ∈R)，且f(x)≤0的解集为[−1,2]．(1)求函数f(x)的解析式；(2)解关于x 的不等式mf(x)>2(x −m −1)，其中m ∈R ．15. 设f(x)为奇函数且在(−∞,0)上单调递减，f(−2)=0，则xf(x)>0的解集为( )A. (−2,0)∪(2,+∞)B. (−∞,−2)∪(0,2)C. (−∞,−2)∪(2,+∞)D. (−2,0)∪(0,2)16. 已知函数f(x)={(3−a)x −4a,x <1x 2,x ≥1在R 上是单调的函数，则a 的取值范围是( )A. [25,3)B. (25,3]C. (−∞,3)D. [25,+∞)17. 下列命题中正确的有( )A. |x|2+|x|−2=0有四个实数解B. 设a.b ，c 是实数，若二次方程ax 2+bx +c =0无实根，则ac >0C. 若a >b ，则ac 2+1>bc 2+1D. 若x ∈R ，则函数y =√x 2+4√x 2+4的最小值为218. 设函数f(x)=x|x|+bx +c ，给出如下命题，其中正确的是( )A. c =0时，y =f(x)是奇函数B. b =0，c >0时，方程f(x)=0只有一个实数根C. y =f(x)的图象关于点(0,c)对称D. 方程f(x)=0最多有两个实根19. 已知f(x)=e x−1+e 1−x +2a 只有一个零点，则a = ．20. 设关于x 的不等式ax 2+8(a +1)x +7a +16≥0，(a ∈Z)，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部不等式的整数解的和为 ．21. “金山银山，不如绿水青山，而且绿水青山就是金山银山”.某乡镇为创建“绿色家园”，决定在乡镇范围内栽种某种观赏树木，已知这种树木自栽种之日起，其生长规律为：树木的高度f(x)(单位：米)与生长年限x(单位：年)满足关系f(x)=411+3kx+b (x ≥0)． 树木栽种时的高度为12米；1年后，树木的高度达到4128米． (1)求f(x)的解析式；(2)问从种植起，第几年树木生长最快？22. 已知函数f(x)=e 2x +(t +1)e x +t ．(1)当t =−e 时，解不等式f(x)≥0的解集；(2)若对任意x ∈R ，不等式f(x)<e x (e x +1)+1e x +1−4恒成立，求t 的最大值； (3)对于函数g(x)，若∀a ，b ，c ∈R ，g(a)，g(b)，g(c)为某一三角形的三边长，则称g(x)为“可构造三角形函数”，已知函数g(x)=f(x)(e x +1)2是“可构造三角形函数”，求实数t 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查了列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．进行交集的运算即可．【解答】解：∵M={−3,−1,0,1,3}，N={−2,−1,0,1,2}，∴M∩N={−1,0,1}．故选：B．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了全称量词命题的否定，属于中档题．根据全称量词命题的否定是存在量词命题，求解即可．【解答】>0即x>1或x<0，解：xx−1>0”的否定是“”，故命题“∀x>0,xx−1故选B．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的实际应用，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．由题知，碳14的半衰期为5730年，要使其质量从0.5克消耗到0.125克，则再经历两个半衰期即可．【解答】解：由题可知，碳14的半衰期为5730年，则过5730年后，质量从0.5克消耗到0.25克，过11460年后，质量可消耗到0.125克．故选：B．4.【答案】D【解析】【分析】根据定义域相同，对应关系也相同，即可判断两函数为同一函数．本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．【解答】解：对于A，f(x)=x−1，定义域为R，g(x)=x2−1x+1=x−1，定义域为{x|x≠−1}，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于B，f(x)=√x33=x，定义域为R，g(x)=(√x)2=x，定义域为{x|x≥0}，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于C，f(x)=1，定义域为R，g(x)=(x+1)0=1，定义域为{x|x≠−1}，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于D，f(x)=|x+1|={x+1,x≥−1−x−1,x<−1，定义域为R，g(x)={x+1,x≥−1−x−1,x<−1，定义域为R，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：D．5.【答案】C【解析】【分析】由不等式的性质，对各个选项逐一验证即可得，其中错误的可举反例．本题考查命题真假的判断，涉及不等式的性质．【解答】解：选项A，当c=0时，由a>b，不能推出ac2>bc2，故错误；选项B，当a=−1，b=−2时，显然有a>b，但a2<b2，故错误；选项C ，当a >b 时，必有a 3>b 3，故正确；选项D ，当a =−2，b =−1时，显然有a 2>b 2，但却有a <b ，故错误． 故选：C ．6.【答案】C【解析】 【分析】本题考查不等式的恒成立问题，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题． 由题意可得−a ≤x +1x 对于一切x ∈(0,12]恒成立，求得最小值，令−a 不大于最小值即可． 【解答】解：不等式x 2+ax +1≥0对于一切x ∈(0,12]恒成立， 即有−a ≤x +1x 对于一切x ∈(0,12]恒成立． 由于y =x +1x ，当0<x <1时，函数y 递减． 则当x =12时，y 取得最小值且为52， 则有−a ≤52，解得a ≥−52． 则a 的最小值为−52． 故选：C ．7.【答案】ABC【解析】 【分析】本题考查函数的定义域及其值域的求法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题． 求出二次函数的对称轴方程，可知当m =2时函数有最小值，再由x =0时y =−4，结合二次函数的对称性可得m 的可能取值． 【解答】解：函数y =x 2−4x −4的对称轴方程为x =2， 当0<m ≤2时，函数在[0,m]上单调递减，x =0时取最大值−4，x =m 时有最小值m 2−4m −4=−8，解得m =2．则当m >2时，最小值为−8，而x =0时y =−4，由对称性可知，x =4时y =−4，故m ≤4． 综上，实数m 的取值范围为2≤m ≤4． ∴实数m 的值可能为2，3，4． 故选：ABC ．8.【答案】AD【解析】 【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得f(−x)−g(−x)=−f(x)−g(x)=e −x ，变形可得f(x)+g(x)=−e −x ，与f(x)−g(x)=e x 联立，解可得f(x)与g(x)的解析式，进而求出f(2)、f(3)、g(0)的值，比较可得其大小，即可得答案． 本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数解析式的计算． 【解答】解：根据题意，函数f(x)，g(x)分别为R 上的奇函数、偶函数，且满足f(x)−g(x)=e x ，①则f(−x)−g(−x)=−f(x)−g(x)=e −x ，变形可得f(x)+g(x)=−e −x ，②， 联立①②可得：f(x)=12(e x −e −x )，g(x)=−12(e x +e −x )，故A 正确，B 错误； 则f(2)=12(e 2−e −2)，g(0)=−12×(1+1)=−1，f(3)=12(e 3−e −3)， 则有g(0)<f(2)<f(3)，故C 错误，D 正确； 故选：AD ．9.【答案】2【解析】 【分析】根据题意，由函数的解析式可得f(−1)=1，进而可得f(f(−1))=f(1)，计算可得答案． 本题考查分段函数的函数值求解，属于基础题． 【解答】解：根据题意，函数f(x)={−x,x ≤0,x 2+1,x >0，则f(−1)=−(−1)=1，则f(f(−1))=f(1)=1+1=2； 故答案为：210.【答案】(0,4]【解析】 【分析】根据不等式的解法求出p ，q 的等价条件，结合充分不必要条件的定义建立不等式关系即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，考查一元二次不等式和绝对值不等式的解法，为一般题． 【解答】解：由x 2−8x −33>0得(x +3)(x −11)>0得x >11或x <−3， 由|x −1|>a(a >0)得，x −1<−a 或x −1>a ， 得x >1+a 或x <1−a ， 若p 是q 的充分不必要条件， 则{1+a ≤111−a ≥−3即{a ≤10a ≤4得a ≤4， 又a >0，则0<a ≤4， 即实数a 的取值范围是(0,4]， 故答案为(0,4]．11.【答案】解：(1)(12)−3+(6√2)0−1634+(√23×√3)6=8+1−8+22×33=109．(2)log 142+2lg4+lg 58+e ln2 =lg2lg 14+lg(16×58)+2 =−12+1+2=52．【解析】本题考查对数式、指数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．(1)利用指数的性质、运算法则直接求解．(2)利用对数的性质、运算法则直接求解．12.【答案】解：(1)∵f(x)=ae x+1+1是奇函数，定义域为R，∴f(0)=a2+1=0，则a=−2，f(x)=−2e x+1+1，证明：任取x1,x2∈R，且x1<x2，则f(x1)−f(x2)=−2e x1+1+1+2e x2+1−1=2(e x1−e x2)(e x1+1)(e x2+1)，由x1<x2，可得e x1<e x2，则e x1−e x2<0，e x1+1>0,e x2+1>0∴f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴函数f(x)在R上是增函数．(2)由(1)可知f(x)为R上单调递增的奇函数，不等式f(t2)+f(2t−3)≤0可化为f(t2)≤−f(2t−3)=f(3−2t)，∴t2≤3−2t，即t2+2t−3≤0，解得−3≤t≤1，故不等式的解集{t|−3≤t≤1}．【解析】(1)根据奇函数的性质f(0)=0代入可求a，然后结合函数单调性的定义即可证明；(2)根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式转化为t2≤3−2t，解之即可得结论．本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合，利用函数的性质解不等式，属于中档题．13.【答案】(1)证明：∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)+f(y)=f(x+y)，令x=y=0得f(0)=0，令y=−x得f(−x)=−f(x)，∴f(x)在R上是奇函数；(2)证明：在R上任取x1>x2，则x1−x2>0，f(x1)−f(x2)=f(x1)+f(−x2)=f(x1−x2)，∵x>0时，f(x)<0，∴f(x1−x2)<0，∴f(x 1)<f(x 2)，∴f(x)在R 上是减函数．(3)解：∵f(x)是R 上减函数，∴f(x)在[−3,3]上也是减函数，∴f(x)在[−3,3]上的最大值和最小值分别为f(−3)和f(3)，而f(3)=3f(1)=−2，f(−3)=−f(3)=2，∴f(x)在[−3,3]上的最大值为2，最小值为−2．【解析】本题考查抽象函数及其应用，考查函数奇偶性与单调性的判定，突出考查赋值法，考查运算能力．(1)由于f(x)+f(y)=f(x +y)，分别令x =y =0，可求得f(0)=0，再令y =−x ，即可证得f(x)在R 上是奇函数；(2)任取x 1>x 2，利用单调函数的定义法，作差f(x 1)−f(x 2)后转化，利用x >0时，f(x)<0即可证得f(x)在R 上是减函数；(3)利用(1)(2)知，奇函数f(x)为R 上的减函数，再利用f(1)=−23，即可求得f(x)在[−3,3]上的最大值为与最小值;14.【答案】解：(1)因为f(x)≤0的解集为[−1,2]，所以x 2+bx +c =0的根为−1，2，所以{−1+2=−b −1×2=c； 解得，b =−1，c =−2；所以f(x)=x 2−x −2．(2)mf(x)>2(x −m −1)，即(mx −2)(x −1)>0，所以当m =0时，不等式的解集为(−∞,1)，当m ≠0时，方程(mx −2)(x −1)=0的根为2m ,1，所以当m <0时，不等式的解集为(2m ,1)，当0<m <2时，不等式的解集为(−∞,1)∪(2m ,+∞)，当m =2时，不等式的解集为(−∞,1)∪(1,+∞)，当m >2时，不等式的解集为(−∞,2m )∪(1,+∞)．【解析】本题主要考查二次函数的图象与性质以及应用，考查了含参数的一元二次不等式解法，用到分类讨论的思想方法，属于拔高题．(1)由不等式的解集，可知二次函数的根，由韦达定理可得解析式；(2)对m 进行分类讨论，解不等式即可．15.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键．易判断f(x)在(−∞,0)上的单调性及f(x)图象所过特殊点，作出f(x)的草图，根据图象可解不等式．【解答】解：∵f(x)在R 上是奇函数，且f(x)在(−∞,0)上递减，∴f(x)在(0,+∞)上递减，由f(−2)=0，得f(−2)=−f(2)=0，即f(2)=0，由f(−0)=−f(0)，得f(0)=0，作出f(x)的草图，如图所示：由图象，得xf(x)>0⇔{x <0f(x)<0或{x >0f(x)>0， 解得−2<x <0或0<x <2，∴xf(x)>0的解集为(−2,0)∪(0,2)，故选：D ．16.【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数的单调性，分段函数的应用．由一次函数、二次函数的性质，得不等式，解出即可．【解答】解：函数f(x)={(3−a)x −4a,x <1x 2,x ≥1在R 上是单调的函数， ∴函数f(x)是R 上的增函数，∴3−a >0，解得：a <3，且当x =1时，(3−a)−4a ≤1，解得：a ≥25，综上a 的取值范围是：[25,3)．故选：A ．17.【答案】BC【解析】【分析】本题考查命题的真假的判断与应用，考查基本不等式，方程的解，不等式的基本性质的判断．通过解方程可得|x|=1，判断A 的正误；由二次方程ax 2+bx +c =0无实根可得a ≠0，Δ=b 2−4ac <0，判断B 即可；利用不等式的基本性质判断C 即可；利用基本不等式成立的条件，判断选项D 即可．【解答】解：|x|2+|x|−2=0解得|x|=1或|x|=−2舍去，所以x =±1，故方程有2个实数解，所以A 不正确；设a.b ，c 是实数，若二次方程ax 2+bx +c =0无实根，可知a ≠0，Δ=b 2−4ac <0，可得ac >0，所以B 正确；a >b ，因为c 2+1>0，所以a c 2+1>b c 2+1，所以C 正确；若x ∈R ，则函数y =√x 2+4+√x 2+4 ≥2√√x 2+4⋅√x 2+4=2，当且仅当x 2+4=1时取等号，等式显然不成立，所以选项D不正确．故选：BC．18.【答案】ABC【解析】【分析】通过判断函数的奇偶性判断A的正误；利用函数的零点判断B；函数的图象的对称性判断C；举例通过零点的个数判断D．本题考查函数的零点与方程根的关系，是中档题．【解答】解：当c=0时，f(x)=x|x|+bx，此时f(−x)=−f(x)，故f(x)为奇函数，A正确；当b=0，c>0时，f(x)=x|x|+c，若x≥0，f(x)=0无解，若x<0，f(x)=0有一解x=−√c，B正确；因为y=x|x|+bx是奇函数，关于原点对称，f(x)=x|x|+bx+c可由y=x|x|+bx经过上下平移得到，所以y=f(x)的图象关于点(0,c)对称，故C正确；当b=−1，c=0时，f(x)=x|x|−x，方程f(x)=0，即x|x|−x=0，解得x1=−1，x2=0，x3=1，故D不正确．故选：ABC．19.【答案】−1【解析】【分析】原问题可转化为方程e x−1+e1−x+2a=0只有一个根，即−2a=e x−1+e1−x只有一个根，构造函数g(x)=e x−1+e1−x，利用基本不等式的性质求出其最小值即可得解．本题考查函数的零点、基本不等式的性质，理解函数的零点与方程的根之间的联系是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．【解答】解：∵函数f(x)=e x−1+e1−x+2a只有一个零点，∴方程e x−1+e1−x+2a=0只有一个根，即−2a=e x−1+e1−x只有一个根，令g(x)=e x−1+e 1−x ≥2√e x−1⋅e 1−x =2，当且仅当e x−1=e 1−x ，即x =1时，等号成立，∴−2a =2，解得a =−1．故答案为：−1．20.【答案】−10【解析】【分析】本题考查一元二次不等式的应用，解题的关键是确定a 的值，求出相应 一元二次不等式的解集．先确定a <0，再利用0为其中的一个解，a ∈Z ，求出a =−1或−2，从而可得不等式，由此确定不等式的整数解，从而可得结论．【解答】解：当a =0时，显然不符合题意；当a ≠0时，设y =ax 2+8(a +1)x +7a +16，其图象为抛物线．关于x 的不等式ax 2+8(a +1)x +7a +16≥0整数解只有有限个，所以a <0． 因为0为其中的一个解可以求得a ≥−167，又a ∈Z ，所以a =−2，−1．当a =−2时，不等式为−2x 2−8x +2≥0，解得−√5−2≤x ≤√5−2，此时不等式的整数解为：−4，−3，−2，−1，0；当a =−1时，不等式为−x 2+9≥0，解得−3≤x ≤3，此时不等式的整数解为：−3，−2，−1，0，1，2，3；综上所述，全部不等式的整数解的和为−10．故答案为：−10．21.【答案】解：(1)f(x)=411+3kx+b (x ≥0)，由题意，f(0)=12，f(1)=4128，得{12=411+3b 4128=411+3k+b ，解得k =−1，b =4． ∴f(x)=411+34−x (x ≥0)；(2)设g(x)为第x +1年内树木生长的高度，则g(x)=f(x +1)−f(x)=411+33−x −411+34−x =82⋅33−x (1+33−x )(1+34−x )．令33−x =u(0<u ≤27)，则ℎ(u)=82u (1+u)(1+3u)=82u 3u 2+4u+1=823u+1u +4．令φ(u)=3u +1u ，则φ(u)在(0,√33)上单调递减，在[√33,27]上单调递增， ∴当u =√33时，φ(u)有最小值，得ℎ(u)有最大值， 由33−x =3−12，得x =72，又x ∈N ，故x 的值可能为3或4，又g(3)=414，g(4)=414，g(3)=g(4)，因此，从种植起，第4年或第5年树木生长最快．【解析】本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用换元法及函数的单调性求最值，属于拔高题．(1)f(x)=411+3kx+b (x ≥0)，结合f(0)=12，f(1)=4128列关于k 与b 的方程组，求得k 与b 的值，则f(x)的解析式可求；(2)设g(x)为第x +1年内树木生长的高度，求得g(x)=f(x +1)−f(x).利用换元法及函数的单调性求最值得答案．22.【答案】解：(1)当t =−e 时，不等式f(x)≥0，即(e x +1)(e x −e)≥0，即e x ≥e ，解得x ≥1，故不等式的解集是[1,+∞)；(2)不等式f(x)<e x (e x +1)+1e x +1−4恒成立，即e 2x +(t +1)e x +t <e x (e x +1)+1e x +1−4恒成立，所以t <1(e x +1)2−4(e x +1)对任意x ∈R 恒成立，记ℎ(x)=1(e x +1)2−4(e x +1)(x ∈R)，因为当x ∈R 时，1e x +1∈(0,1)，所以ℎ(x)=(1e x +1−2)2−4∈(−3,0)， 所以t ⩽−3，故t 的最大值为−3；(3)由于函数g(x)=f(x)(e x+1)2=e x+te x+1=1+t−1e x+1是“可构造三角形函数”，首先，必有t≥0才能保证g(x)>0，其次，必需g(x)max<2g(x)min，所以当0≤t<1时，函数g(x)是R上的增函数，则g(x)的值域是(t,1)，由1≤2t，得12≤t<1，当t=1时，g(x)=1，符合题意，当t>1时，函数g(x)是R上的减函数，则g(x)的值域是(1,t)，由t≤2，得1<t≤2，综上实数t的取值范围为t∈[12,2]．【解析】(1)代入t的值，问题转化为(e x+1)(e x−e)≥0，求出不等式的解集即可；(2)问题转化为t<1(e x+1)2−4(e x+1)对任意x∈R恒成立，记ℎ(x)=1(e x+1)2−4(e x+1)，根据二次函数的性质求出t的最大值即可；(3)问题转化为必需g(x)max<2g(x)min，通过讨论t的范围，求出函数的值域，得到关于t的不等式，解出即可．本题考查了解不等式问题，不等式恒成立问题，函数的新定义，考查转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．。
湖南师大附中2020-2021学年度高一第一学期第一次大练习数学试卷【含答案】
湖南师大附中2020-2021学年度高一第一学期第一次大练习数学一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{1A =，3，5}，{3B =，4，5}，则=B A A ．{}3B ．{3，5}C ．{1，3，5}D ．{1，3，4，}52．命题“0x ∀>，20x x - ”的否定是A ．0x ∃>，20x x - B ．0x ∃>，20x x ->C ．0x ∀>，20x x ->D ．0x ∀ ，20x x ->3．已知二次不等式022<++-c bx x 的解集为⎭⎫⎩⎨⎧><2131|x x x 或，则关于x 的不等式022>--bx cx 的解集为A ．{}32|<<x xB ．{}32|<<-x xC ．{}23|<<-x xD ．{}23|-<<-x x 4．设132+-=x x M ，12-+=x x N ，则A ．M N>B ．M N<C ．M N=D ．M 与N 的大小关系与x 有关5．若集合{1A =，3，}x ，{2x B =，}1，且{1=B A ，3，}x ，则满足条件的x 的个数是A ．1B ．2C ．3D ．46．已知a ，b R ∈，则“0ab >”是“2a bb a+>”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知a ，b ，c R ∈，0a b c ++=，0abc >，111T a b c=++，则A ．0T >B ．0T <C ．0T =D ．0T 8．已知命题:p m R ∃∈，012≤+mx ；命题:q x R ∀∈，210x mx ++>．若p ，q 都是假命题，则实数m 的取值范围为A ．2m - B ．2m C ．2m 或2m - D ．22m - 二.多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．对任意实数a ，b ，c ，下列命题中正确的是A ．“a =b ”是“ac =bc ”的充要条件B ．“a +5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件C ．“a ＜5”是“a ＜3”的必要条件D ．“b a >”是“22bc ac >”的必要条件10．已知不等式02<++c bx ax 的解集为{}31|>-<x x x 或，则下列结论正确的是A ．0>a B ．0>b C ．0>c D ．0>++c b a 11．设正实数a ，b 满足1a b +=，则A ．11a b+有最小值4B ．ab 有最小值21C ．b a +有最大值1D ．22a b +有最小值1212．设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b P ∈，都有a b +、a b -、ab 、aPb∈（除数0)b ≠则称数集P 是一个数域.例如有理数集Q 是数域；数集{}Q ∈+=b a b a F ，|2也是数域.下列命题是真命题的是A ．整数集是数域B ．若有理数集M ⊆Q ，则数集M 必为数域C ．数域必为无限集D ．存在无穷多个数域三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设全集{1==N M U ，2，3，4，5}，{2=）（N M U C ，4}，则N =．14．已知{}06|2=-+=px x x A ，{}02|2=++=qx x x B ，且{}2=）（B A R C ，则q p +的值等于．15．若集合{1-=A ，}3，{|20}B x ax =-=，且A B A = ，则由实数a 的取值构成的集合=C ．16．已知函数()()321++-=m x m x m y ，12-=x y ，若它们同时满足条件：①∀R ∈x ，01<y 或02<y ；②{}4|-<∈∃x x x ，021<y y ．则m 的取值范围是．四.解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本题满分10分）设全集为R ，集合{}103<≤=x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<--=092|x x x B ．（1）求()A B R C ；（2）已知{}1|+≤<=a x a x C ，若A C ⊆，求实数a 的所有取值构成的集合．18．（本题满分12分）设函数()2122++-=x a ax y ．（1）若该函数有且只有一个零点，求a 的值；（2）求关于x 的不等式2(21)20ax a x -++<的解集．19．（本题满分12分）已知a 、b 、c 均为正实数．（1）若3ab bc ca ++=，求证：3a b c ++ ；（2）若3=++ab b a ，求ab 的最大值．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x ()*N ∈x 名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为310(500xa -万元(0)a >，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2%x ．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则被调整出从事第三产业的员工的人数应控制在什么范围？（2）在（1）的条件下，若被调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，求a 的取值范围．21．（本题满分12分）设函数bxax y +=2（1）若当1-=x 时，21≤≤y ，当1=x 时，42≤≤y ．求b a 24-的所有取值构成的集合；（2）若2a =，1-=b ，当21>x 时，不等式82--≥m mx y 恒成立，求实数m 的取值范围．已知集合A 为非空数集，定义{|A x x a b +==+，a ，}b A ∈，{|||A x x a b -==-，a ，}b A ∈．（1）若集合{1A =-，1}，直接写出集合A +及A -；（2）若集合1{A x =，2x ，3x ，4}x ，1234x x x x <<<，且A A -=，求证1423x x x x +=+；（3）若集{|02020A x x ⊆ ．}N ∈x ，且=-+A A ∅，求集合A 中元素的个数的最大值．湖南师大附中2020-2021学年度高一第一学期第一次大练习数学答案一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案D B D A C B B B二.多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.题号9101112答案BCDBCDADCD三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.{1，3，5}14.31415.}3202{，，-16.{m |-4<m <-2}四.解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.解：（1）因为集合{}103|<≤=x x A ，{|29}B x x =<<．所以(){|2R B x x = ð或9}x ，{2|)(≤=∴x x A B R C 或}3≥x ，（2）因为A C ⊆，当集合C 为空集时，由于1a a +>恒成立，故不成立；当集合C 不为空集时，⎩⎨⎧<+≥1013a a ，解得：93<≤a ，故实数a 的取值构成的集合是：{}93|<≤a a ．18.解：（1）当0=a 时，2+-=x y 只有一个零点，符合题意；当0≠a 时，()08122=-+=a a ∆，解得21=a .故当函数有且只有一个零点时，0=a 或21=a .（2）当0a =时，不等式化为20x -+<，解得2x >；当0a ≠，△0=时，解得12a =，不等式化为(1)(2)0ax x --<．当12a =时，不等式化为2(2)0x -<，解得x ∈∅；当102a <<时，不等式化为1()(2)0x x a --<，解得12x a<<；当12a >时，不等式化为1(2)0x x a --<，解得12x a<<；当0a <时，不等式化为1()(2)0x x a -->，解得2x >或1x a<．综上所述，当0a =时，不等式的解集为{|2}x x >；当12a =时，不等式的解集为∅；当102a <<时，不等式的解集为1{|2}x x a<<；当12a >时，不等式的解集为1{|2}x x a<<；当0a <时，不等式的解集为{|2x x >或1}x a<.19.证明：（1）222a b ab + ，222b c bc + ，222c a ca + ，三式相加可得222a b c ab bc ca ++++ ，2222()222()2()a b c a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca ∴++=++++++++++ 3()9ab bc ca =++=，又a ，b ，c 均为正整数，3a b c ∴++ 成立．（2）3=++ab b a ，ab b a 2≥+，ab ab 23+≥∴，即()0322≤-+ab ab ，解得：1≤ab ..1≤∴ab 即ab 的最大值为1.20.解：（1）由题意得：10(1000)(10.2%)101000x x -+⨯ ，即25000x x - ，又0x >，所以0500x < ()*N ∈x ．（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为310(500xa x -万元，从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)(1)500x x -+万元，则310()10(1000)(10.2%)500xa x x x --+ 所以223110002500500x ax x x x -+-- ，所以221000500x ax x ++ ，即210001500x a x++ 恒成立，因为210004500x x += ，当且仅当21000500x x=，即500x =时等号成立．所以5a ，又0a >，所以05a < ，即a 的取值范围为(0，5]．21.解：（1）由题意得当1-=x 时，b a y -=；当1=x 时，b a y +=，设()()b a b a n b a m 24-=-++，则有⎩⎨⎧-=-=+24n m n m ，解得⎩⎨⎧==31n m ，所以()()b a b a b a -++=-324.42≤+≤b a ,21≤-≤b a 10245≤-≤∴b a .即4a -2b 所有取值构成的集合为{}10245|24≤-≤-b a b a .（2）当12-==b a ，时，x x y -=22.即8222--≥-m mx x x 在21>x 时恒成立，即()082122≥+++-m x m x 在21>x 时恒成立.令()()82122+++-=m x m x x f ，故该二次函数开口向上，对称轴为直线421mx +=.则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛≤+02121421f m 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+>+042121421m f m ，解得29≤m .故m 的取值范围为⎭⎫⎩⎨⎧≤29|m m .22.解：（1）根据题意，由{1A =-，1}，则{2A +=-，0，2}，{0A -=，2}；（2）由于集合1{A x =，2x ，3x ，4}x ，1234x x x x <<<，且A A -=，所以A -中也只包含四个元素，即{0A -=，21x x -，31x x -，41}x x -，剩下的324321x x x x x x -=-=-，所以1423x x x x +=+；（3）设1{A a =，2a ，}k a ⋯满足题意，其中12k a a a <<⋯<，则11213123122k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a -<+<+<⋯<+<+<+<⋯<+<，||21A k +∴- ，1121311k a a a a a a a a -<-<-<⋯<-，||A k -∴ ，A A +-=∅ ，由容斥原理||||||31A A A A k +-+-=+- ，A A +- 中最小的元素为0，最大的元素为2k a ，||21k A A a +-∴+ ，31214041(*)k k a k N ∴-+∈ ，1347k ∴ ，实际上当{674A =，675，676，⋯，2020}时满足题意，证明如下：设{A m =，1m +，2m +，⋯，2020}，m N ∈，则{2A m +=，21m +，22m +，⋯，4040}，{0A -=，1，2，⋯，2020}m -，依题意有20202m m -<，即16733m >，故m 的最小值为674，于是当674m =时，A 中元素最多，即{674A =，675，676，⋯，2020}时满足题意，综上所述，集合A 中元素的个数的最大值是1347．。
湖南省师大附中高一上学期期中考试(数学).doc
湖南省师大附中高一上学期期中考试（数学）一、选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合{}{}4,3,1,6,5,4,3,2,1==A U ，则A C U =（ ）A 、{}6,5B 、{}4,3,2,1 C 、{}6,5,2 D 、{}6,5,4,3,2 2、若函数4)2()(2+++=x b x x f 是R 上的偶函数，则（ ） A 、2-=b B 、2=b C 、2-≠b D 、0=b3、函数222+-=x x y 的的单调递增区间为（ ）A 、()+∞∞-,B 、),1(+∞C 、()1,∞-D 、),2(+∞-4、设32-=a ，817log 3=b ，132-⎪⎭⎫ ⎝⎛=c ，则（ ）A 、c b a >>B 、c b a <<C 、c a b <<D 、a c b << 5、函数23)(-+=x x f x在),0(+∞上零点的个数为（ ）A 、0个B 、1个C 、2个D 、无数个6、设集合{}{}a y y B x x x A <-=<--=1,062，若B B A = ，则实数a 的取值范围为（ ） A 、]2,0( B 、]2,(-∞ C 、]3,0( D 、[]3,2二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，请把答案的最简形式填在横线上。
7、计算：=+5lg 24lg 。
8、函数)3lg()(-=x x f 的定义域为 。
9、某企业去年的年产量为a ，计划从今年起，每年的年产量比上年增加b ﹪，第x )(*∈N x 年的年产量为=y 。
10、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤<+>-=10lg 30111)(x xx x x x f ，则=))101((f f 。
11、若1)12(log 2<-a ，则实数a 的取值范围为 。
12、方程04254=+⋅-xx的解集为 。
湖南师范大学附属中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题含解析
湖南师范大学附属中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设(12)16i x y i -+=--，,x y R ∈，则||x yi -=（ ） A ．6B ．5C ．4D ．32．下列说法正确的是（ ） A ．任意三点确定一个平面B ．两个不重合的平面α和β有不在同一条直线上的三个交点C ．梯形一定是平面图形D ．一条直线和一个点确定一个平面 3．在边长为3的等边三角形ABC 中，12BM MC =，则AB BM ⋅=（ ）A B ．32C ．32-D ．124．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的周长为（ ）A ．2+B ．8C ．4D ．5．已知1OA =，3OB =，56AOB π∠=，若O B O C ⊥u u u r u u u r 且OC mOA nOB =+，则mn（ ）. A ．5B ．4C ．2D ．16．某正方体的平面展开图如图所示，则在这个正方体中A ．NC 与DE 相交B ．CM 与ED 平行C ．AF 与CN 平行D ．AF 与CM 异面7．如图所示，CD 是附中校园内一标志性雕像，小明同学为了估算该雕像的高度，在学校教学楼AB (高为15)m )与雕像之间的地面上的点M 处(B ，M ，D 三点共线)测得楼顶A 及雕像顶C 的仰角分别是15︒和60︒，在楼顶A 处又测得雕塑顶C 的仰角为30︒，假设AB ､CD 和点M 在同一平面内，则小明估算该雕像的高度为（ ）A ．20mB ．30mC ．D ．8．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且12AA AB ==.下列说法错误的是（ ）A ．四棱锥11B A ACC -为“阳马” B ．四面体11AC CB 为“鳖臑” C ．四棱锥11B A ACC -体积最大为23D ．过A 点分别作1AE A B ⊥于点E ，1AF AC ⊥于点F ，则1EF A B ⊥二、多选题9．对任意平面向量a ，b ，c ，下列命题中真命题是（ ） A ．若a b b c ⋅=⋅r r r r，则a c =B ．若a b =，b c =，则a c ＝C ．a b a b -<+D ．a b a b ⋅≤10．已知a ，b 表示直线，,,αβγ表示平面，则下列推理不正确的是（ ） A ．,//a b a b αβα⋂=⊂⇒ B ．,////a a b b αβα=⇒，且b β//C ．//,//,,//a b a b ββαααβ⊂⊂⇒D ．//,,//a b a b αβαγβγ==⇒11．在ABC 中，内角A ，B ､C 所对的边分别为a ､b ､c ，ABC 的面积为S ，下列与ABC 有关的结论，正确的是（ ）A ．若ABC 为锐角三角形，则sin cos AB > B ．若A B >，则sin sin A B >C ．若cos cos a A b B =，则ABC 一定是等腰三角形D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=三、单选题12．直角三角形ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足2BP PC =，点M 、N 在过点P 的直线上，若AM mAB =，AN nAC =，()0,0m n >>，则下列结论错误的是（ ） A ．12m n+为常数 B ．m n +的最小值为169C ．2m n +的最小值为3D ．m 、n 的值可以为12m =，2n =四、填空题13．若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°,半径为l 的扇形,则这个圆锥的表面积与侧面积之比是__14．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,与AD 1异面且与AD 1所成角为90︒的面对角线共有_______条．15．在ABC 中，a ､b ､c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知cos cos 2B b C a c =-，ABC S =△且3b =，则a c +的值等于___________.五、双空题16．如图，在ABC 中，8,12AB BC AC =+= ，分别取三边的中点,,D E F ，将,,BDE ADF CEF 分别沿三条中位线折起，使得,,A B C 重合于点P ，则当三棱锥P DEF -的外接球的体积最小时，其外接球的半径为____________，三棱锥P DEF -的体积为____________．六、解答题17．已知复数()1z mi m R =+∈，312z i-+是实数． （1）求复数z ； （2）若复数0112z m z =+-是关于x 的方程20x bx c ++=的根，求实数b 和c 的值． 18．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1，0)和点B (－1，0)，||1OC =，且∠AOC ＝θ，其中O 为坐标原点．（1）若θ＝34π，设点D 为线段OA 上的动点，求||OC OD +uuu r uuu r 的最小值； （2）若[0,]2πθ∈，向量(),1cos ,sin 2cos m BC n θθθ==--，求m n ⋅的最小值及对应的θ值．19．在①sin sin sin sinb A a B A B +=，②2sin cos cos cos b C A C C ，③()sin sin sin a b A b B c C -+=，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题.已知锐角ABC 中，a ､b ､c 分别为内角A ，B ､C 的对边，2c =，___________. （1）求角C ；（2）求a b +的取值范围.(注意：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，90ABC ACD ∠=∠=，60BAC CAD ∠=∠=，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，1AB =，设M 、N 分别为PD 、AD 的中点.（1）求证：平面//CMN 平面PAB ； （2）求三棱锥A CMN -的侧面积.21．党的十九大报告指出，农业农村农民问题是关系国计民生的根本性问题，必须始终把解决好“三农”问题作为全党工作的重中之重，实施乡村振兴战略.如图，A 村､B 村分别位于某河流的南､北两岸，,5AC BC BC ⊥=公里，30BAC ∠=︒，现需将A 村的农产品运往B 村加工.乡政府经过调研知，在每次运输农产品总量相同的条件下，公路运输价格为a 元/公里，水路运输价格为2a 元/公里.（1）给出两种运输方案：第一种，直接从A 村通过水路运输到B 村；第二种，先从A 村通过公路运输到与B 村相对的南岸近岸处C ，再通过水路运输到B 村.试比较两种方案，哪种方案更优？（2）为尽可能节约成本，乡政府决定在该河流南岸AC 上选择一个中转站D ，先将A村的农产品通过公路运往中转站D ，再将农产品通过水路运往B 村加工.试问：中转站应选址何处最佳？请说明你的理由. 22．已知ABC 的外心为O ，内心为Ⅰ.（1）如图1，若|||1,0AB AC AB AC ==⋅=∣. ①试用,AB AC 表示AO ； ②求()BA BC OI +⋅的值.（2）如图2，若存在实数λ，使OI BC λ=，试求cos cos B C +的值.参考答案：1．B【分析】根据复数实部等于实部，虚部等于虚部可得34x y =-⎧⎨=⎩，进而求模长即可.【详解】因为()1216i x y i -+=--，所以261x x y =-⎧⎨-=-⎩，解得34x y =-⎧⎨=⎩，所以=|34|5x yi i ---=.故选：B. 2．C【分析】由平面的性质及确定平面的条件逐项判断即可得解. 【详解】A 选项，不共线的三点确定一个平面，A 错； B 选项，两个平面有公共点，则有一条过该公共点的公共直线， 如没有公共点，则两平面平行，B 错；C 选项，两条平行直线，确定一个平面，梯形中有一组对边平行， 所以梯形一定是平面图形，C 对；D 选项，一条直线和直线外的一点可以确定一个平面，D 错. 故选：C. 3．C【分析】由向量的数量积计算． 【详解】1123BM MC BC ==，1BM = AB BM ⋅=13cos(18060)3122AB BM ⎛⎫⋅︒-︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭． 故选：C ． 4．B【分析】画出直观图对应的原图，由此求得原平面图形的周长.【详解】直观图中，''''''1,O A C B O B ===中1,OA OB ==3OC AB =，所以原平面图形的周长为32128⨯+⨯=.故选：B.【点睛】本小题主要考查斜二测画法的直观图和原图的关系，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 5．C【分析】由a b ⊥，0a b ⋅=，将OC 由mOA nOB +表示，利用0OB OC ⋅=u u u r u u u r，找出m 和n 的关系即可.【详解】由OB OC ⊥u u u r u u u r和OC mOA nOB =+， ()2OB OC OB mOA nOB mOB OA nOB ⋅=⋅+=⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r25cos 1cos36m OB OA AOB n OB m n π=∠+=⨯+⨯ 3302m n =-+=，所以332m n =，2m n=故选：C【点睛】本题主要考查向量垂直的应用和向量的数量积公式，属于基础题. 6．B【详解】根据题意得到立体图如图所示：A NC 与DE 是异面直线，故不相交；BC M 与ED 平行，由立体图知是正确的； C AF 与CN 位于两个平行平面内，故不正确；D AF 与CM 是相交的． 故答案为B ． 7．D【分析】由锐角三角函数及正弦定理逐步运算即可得解. 【详解】在Rt ABM 中，sin15ABAM =︒, 在ACM △中，由正弦定理得sin sin AM CMACM CAM =∠∠，sin sin 45sin sin30AM CAM AM CM ACM ∠︒==∠︒；在Rt CDM 中，sin 45sin60sin60sin15sin30AB CD CM ︒︒︒︒︒===故选：D. 8．C【分析】由新定义结合线面垂直的判定、性质、体积公式逐项判断即可得解. 【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”. 所以在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，侧棱1AA ⊥平面ABC , 在选项A 中，因为1AA BC ⊥，AC BC ⊥，且1AA AC A =，则BC ⊥平面11AAC C ，且11AAC C 为矩形，所以四棱锥11B A ACC -为“阳马”，故A 正确； 在选项B 中，由11AC BC ⊥，111AC C C ⊥且1C CBC C =，所以11AC ⊥平面11BB C C ，所以111AC BC ⊥，则11A BC V 为直角三角形， 由BC ⊥平面11AAC C ，得1A BC ,1CC B 为直角三角形，由“堑堵”的定义可得11AC C 为直角三角形，所以四面体11AC CB 为“鳖臑”，故B 正确; 在选项C 中，在底面有2242AC BC AC BC =+≥⋅，即2AC BC ⋅≤， 当且仅当AC BC =时取等号，则1111111243333B A ACC A ACC V S BC AA AC BC AC BC -=⨯=⨯⨯=⨯≤，所以C 不正确；在选项D 中，由BC ⊥平面11AAC C ，则1,BC AF AF AC ⊥⊥且1ACBC C =， 则AF ⊥平面1A BC ，所以1,AF A B ⊥又1AE A B ⊥且AF AE A ⋂=，则1A B ⊥平面AEF ，则1A B EF ⊥，所以D 正确. 故选：C.9．BD【分析】利用反例判断A 的正误；向量相等关系判断B 的正误；向量的模的运算法则判断C 的正误；利用向量的数量积的性质判断D 的正误.【详解】若a b b c ⋅=⋅r r r r，则a c =，反例0b =，则a 与c 具有任意性，所以A 不正确；若a b =，b c =，则a c ＝，向量相等的充要条件，所以B 正确；a b a b -<+，如果0b =，则不等式不成立，所以C 不正确； ()|cos ,|a b a b a b a b ⋅=≤v v v vv v v v ，所以D 正确.故选：BD【点睛】本题考查向量数量积概念辨析，属于基础题. 10．ABC【分析】A. 根据直线的位置关系判断；B. 根据直线与平面的位置关系判断；C. 根据平面与平面的位置关系判断；D. 根据面面平行的性质定理判断. 【详解】A. 因为a αβ⋂=，b α⊂，则,a b 平行或相交，故错误； B. 因为a αβ⋂=，//a b ，则//b α或 b α⊂，//b β或 b β⊂，故错误； C. 因为//a β，//b β，a α⊂，b α⊂，则,αβ平行或相交，故错误； D. 因为//αβ，a αγ⋂=，b βγ=，由面面平行的性质定理得//a b ，故正确；故选：ABC 11．ABD 【分析】由2A B π+>，结合正弦函数的单调性和诱导公式，可判定A 正确；由A B >知a b >，根据正弦定理可得sin sin A B >，可判定B 正确；由正弦定理可得sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+=，可判定C 不正确；根据三角形内角和定理和正切的两角和公式，可判定D 正确.【详解】对于A 中，若ABC 为锐角三角形，可得2A B π+>且,0,2A B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 可得2A B π>-，且0,22B ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，根据正弦函数的单调性，可得sin sin 2A B π⎛⎫>- ⎪⎝⎭，所以sin cos A B >，所以A 正确；对于B 中，在ABC 中，由A B >知a b >，根据正弦定理可得sin sin A B >，所以B 正确； 对于C 中，由正弦定理知2sin ,2sin a R A b R B ==，可得sin 2sin 2A B =，故22A B =或22A B π+=，ABC 是等腰三角形或直角三角形，所以C 不正确；对于D 中，在ABC 中，可得A B C π++=，则A B C π+=-， 所以tan()tan()A B C π+=-，即tan tan tan 1tan tan A BC A B+=--，可得tan tan tan tan tan tan A B C A B C +=-+， 则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，所以D 正确. 故选：ABD . 12．B【分析】作出图形，由2BP PC =可得出1233AP AB AC =+，根据三点共线的结论得出123m n+=，结合基本不等式可判断出各选项的正误，即可得出结论. 【详解】如下图所示：由2BP PC =，可得()2AP AB AC AP -=-， 1233AP AB AC ∴=+， 若AM mAB =，AN nAC =，()0,0m n >>， 则1AB AM m =，1AC AN n =， 1233AP AM AN m n∴=+， M 、P 、N 三点共线，12133m n ∴+=，123m n∴+=， 故A 正确； 所以12m =，2n =时，也满足123m n +=，则D 选项正确；()122255223333333n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭Q ，当且仅当m n =时，等号成立，C 选项成立；()1221113333n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当n =时，即m n =B 选项错误. 故选：B 13．4∶3或43【详解】设圆锥的底面半径为r ，由题意得2π23r l π=，解得3l r =． 所以2S πr πr 4S πr 3l l +==表侧． 答案：43点睛：（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．（2）多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理． 14．1【分析】在正方体的上、下面，左、右面，前、后面逐一去找出能与1AD 垂直的面对角线，得出结论.【详解】1AD 与面对角线11AC ，11,,BD AB DB 异面，所成的角是60，由于11//AD BC ，又11BC CB ⊥，所以11AD CB ⊥，而1AD 与正方体其它异面的面对角线都不垂直， 所以与AD 1异面且与AD 1所成角为90︒的面对角线共有1条， 故填：1.【点睛】本题考查空间里的异面直线和其垂直关系，属于基础题.15．【分析】由正弦定理结合三角恒等变换可得,3B π=再由三角形面积公式可得3ac =，最后结合余弦定理即可得解. 【详解】由正弦定理得cos sin cos 22sin sin B b BC a c A C==--， 整理可得：sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-，可得sin cos sin cos sin()sin 2sin cos B C C B B C A A B +=+==. 因为A 为三角形内角，sin 0,(0,)A B π≠∈，所以1cos ,2B =,3B π=又3ABCSb ==11sin 22ac B a c ==⨯⨯=，解得3ac =，由余弦定理得22229()3()9a c ac a c ac a c =+-=+-=+-，解得a c +=故答案为：16．83【分析】将三棱锥P DEF -补充成长方体，则对角线长分别为,6,4a a -，三棱锥P DEF -的外接球即为长方体的外接球.设长方体的长宽高分别为,,x y z ，进而可得外接圆的半径和体积. 【详解】由题意得三棱锥P DEF -的对棱分别相等，设2BC a =，则122AC a =-， 将三棱锥P DEF -补充成长方体，则对角线长分别为,6,4a a -，三棱锥P DEF -的外接球即为长方体的外接球.设长方体的长宽高分别为,,x y z ，则()22222222,6,16x y a y z a x z +=+=-+=， 所以2222626x y z a a ++=-+，则外接球半径r ==当3a =时，半径最小，此时三棱锥P DEF -的外接球的体积最小，此时r =解得1x z y ===，所以三棱锥118141323P DEF V -=-⨯⨯⨯=.，83. 【点睛】方法点睛：将三棱锥P DEF -补充成长方体，三棱锥P DEF -的外接球即为长方体的外接球.本题考查了空间想象能力和运算求解能力. 17．（1）14z i =-；（2）4,20b c ==. 【分析】（1）根据复数的除法运算，化简得32241255z m m i i --+=++，结合312z i-+是实数，列出方程，即可求解；（2）根据024z i =--是方程的根，得到(164)2120b i b c --+-=，结合复数相等的条件，列出方程，即可求解.【详解】（1）因为()1z mi m R =+∈， 可得32(2)(12)2241212(12)(12)55z mi mi i m m i i i i i -----+===++++-， 又由312z i -+是实数，可得405m +=，解得4m =-，所以14z i =-． （2）因为011242z m z i =+-=--是方程20(,)x bx c b c R ++=∈的根， 所以2(42)(42)0i b i c --+--+=，即(164)2120b i b c --+-=，可得16402120b b c -=⎧⎨-+-=⎩，解得4,20b c ==.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数相等的概念求参数，其中解答中熟记复数的除法运算法则，以及复数相等的充要条件列出方程组是解答的关键，着重考查推理与运算能力.18．（1；（2）m n ⋅的最小值为18πθ=.【分析】（1）设出D 点坐标，求得||OC OD +uuu r uuu r的表达式，结合二次函数的性质求得最小值.（2）结合向量数量积的运算、三角恒等变换、三角函数最值的求法求得m n ⋅的最小值及对应的θ值.【详解】（1）设D (t ，0)(0≤t ≤1)，由题意知(C ，所以22OC OD t ⎛+=-+ ⎝⎭，所以221||2OC OD t ⎛+=+ ⎝⎭，所以当t =时，||OC OD +uuu r uuu r . （2）由题意得()()cos ,sin ,cos 1,sin C m BC θθθθ==+，()1cos ,sin 2cos n θθθ=--， 则m n ⋅＝=1－cos 2θ＋sin 2θ－2sin θcos θ＝1－cos 2θ－sin 2θ＝124πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,因为0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，所以52444πππθ≤+≤，所以当242ππθ+=，即8πθ=时，sin 24πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭取得最大值1，m n ⋅取得最小值1所以m n ⋅的最小值为18πθ=.19．条件选择见解析；（1）3C π=；（2）.【分析】（1）选条件①：由条件结合正弦定理、三角恒等变换化简即可得解； 选条件②：由条件结合正弦定理、三角恒等变换化简即可得解； 选条件③：由条件结合正弦定理、余弦定理运算即可得解；（2）确定B的范围，由正弦定理转化条件为2sin sin 3b a B B π⎤⎛⎫+=+- ⎪⎥⎝⎭⎣⎦，结合三角恒等变换及三角函数的性质即可得解. 【详解】（1）选条件①：由sin sin sin sin b A a B A B +=及正弦定理得sin sin sin sin sin sin B A A B C A B +=，即2sin sin sin sin A B C A B =，所以sin C =因为C 为锐角，所以3C π=；选条件②：由2sin cos cos cos b C A C C =及正弦定理得sin sin (sin cos sin cos )B C C C A A C =+，即sin sin sin()B C C A C +，∴sin sin sin B C C B =. ∵02B π<<，∴sin 0B >，可得tan C 02C π<<，∴3C π=；选条件③：由()sin sin sin a b A b B c C -+=及正弦定理得22()a b a b c -+=， 即222a b c ab +-=，由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，∵02C π<<，∴3C π=.（2）∵ABC 是锐角三角形，∴0,220,32B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩解得62B ππ<<，由正弦定理得sin sin sin b a c B A C ====，∴21sin sin sin sin 32b a B B B B B π⎫⎤⎛⎫+=+-=+⎪ ⎪⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭3sin 2B B ⎫+=⎪⎪⎝⎭4sin 6B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∵62B ππ<<，∴2,633B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴sin 6B π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，∴b a +∈.20．（1）证明见解析；（2）3【分析】（1）要证明面面平行，需根据判断定理证明平面内的两条相交直线与另一个平面平行，根据平行关系，证明//MN 平面PAB ，//CN 平面PAB ；（2）根据边长和三角形面积公式，分别求三棱锥A CMN -的三个侧面的面积.【详解】（1）∵M 、N 分别为PD 、AD 的中点，∴//MN PA ， 又MN ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，∴//MN 平面PAB ， 在Rt ACD ∆中，60CAD ∠=o ，CN AN =，∴60ACN ∠=， 又60BAC ∠=，∴//CN AB ，∵CN ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴//CN 平面PAB ， 又CN MN N ⋂=，∴平面//CMN 平面PAB ，（2）∵PA ⊥平面ABCD ，AN ⊂平面ABCD ，CN ⊂平面ABCD ， 由（1）可知//MN PA ，∴MN AN ⊥、MN CN ⊥，∵90ABC ACD ∠=∠=，60BAC CAD ∠=∠=，2PA =，1AB =， ∴22AC AB ==，24AD AC ==，112MN PA ==， 由（1）可知122CN AN AD ===，在Rt CMN 中，AM CM ===∴11sin 602222ACNS AN CN =⋅⋅=⨯⨯ 又1121122AMNSAN MN =⋅=⨯⨯=，在ACM △中，AM CM =，∴AC 边上的高2h =， ∴1122222ACMSAC h =⋅=⨯⨯=，∴三棱锥A CMN -的侧面积3ACNAMNACMS S SS=++=【点睛】方法点睛：本题考查了面面平行的判断定理，以及三棱锥侧面积的求法，意在考查转化与化归和计算求解能力，不管是证明面面平行，还是证明线面平行，都需要证明线线平行，证明线线平行的几种常见形式，1.利用三角形中位线得到线线平行；2.构造平行四边形；3.构造面面平行.21．（1）第二种方案比第一种方案更优；（2）当中转站选址在南岸位于AD 处是最佳的，理由见解析.【分析】（1）在直角三角形ABC 中求出AB ，AC 的长，从而可求出两种方案的费用，然后比较大小可得答案；（2）令[]()30,90BDC θθ∠=∈︒︒，则表示出BD ，DC ，AD，从而可表示则所需总费用为2cos 5sin W a θθ-⎫=⎪⎭，令2cos sin y θθ-=，然后利用斜率的几何意义求出y 的最小值即可【详解】（1）由于10sin30BCAB ==︒公里，cos30AC AB =︒=. 第一种运输方案所需费用为20a 元；第二种运输方案所需费用为10)a 元；可得2010)a a >， 故第二种方案比第一种方案更优.（2）令[]()30,90BDC θθ∠=∈︒︒，则5sin BD θ=公里，5tan DC θ=公里，5tan AD DC θ==公里，于是，所需总费用为5102cos 5tan sin sin W a a a θθθθ-⎛⎫⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎭， 令2cos sin y θθ-=，则2cos 2cos 10sin sin 0sin 2cos y θθθθθθ--==-=----，表示过单位上一段圆弧上的点(cos ,sin )M θθ[30,90]θ∈︒︒与定点(2,0)N 的直线的斜率k 的负倒数，由图可知当直线过点()cos30,sin30E ︒︒时，斜率最大，直线与圆弧相切时斜率最小，可得sin 300tan150cos302k ︒-︒≤≤︒-，得k ≤≤14k ≤-≤4y ≤≤所以当y =60,AD θ=︒=即当中转站选址在南岸位于AD 处是最佳的. 22．（1）①1122AO AB AC =+（2）cos cos 1B C +=. 【分析】（1）①由直角三角形外接圆的性质可得O 为BC 中点，结合平面向量的加法法则即可得解；②由外接圆及内切圆的性质可得,45,||1OI BA OI <>=︒=-，再由平面向量数量积运算法则即可得解；（2）由三角形内切圆、外接圆的性质可转化条件为cos2sin 2cos sinsin 22A AB C A=，结合三角恒等变换化简即可得解.【详解】（1）由已知得O 为BC 中点，且A ，I ，O 三点共线， ①1122AO AB AC =+； ②由于2,||2OI BC AO ⊥=，ABC内切圆半径r ==,45,||||21OI BA OI AO r <>=︒=-=-， 故()11cos45BA BC OI BA OI ⎛+⋅=⋅=⋅︒=⎝⎭（2）如图，设ABC 的外接圆半径､内切圆半径分别为R，r ， 记BC 中点为M ，ID BC ⊥于D ，由OI BC λ=知OM ID r ==，又2,,2BOC A BOM A BC BD DC BM ∠=∠==+=， 则,,tan tan tan tan 22ID r ID rBD DC B C IBD ICD ====∠∠tan tan BM OM BOM r A =∠=则cos2sin 22tan cos tan tan sinsin 2222A r r Ar A BC B C A+=⇒=， 即cos 4sin sin sin 222A B C A =. 则2sin 2sin sin sin 12222A B C A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭2sin 2sin sin cos 12222A B C B C +⎛⎫⇔+= ⎪⎝⎭2sin cos122A B C-⇔= 2cos cos 122B C B C +-⇔=22222cos cos sin sin 12222B C B C ⎛⎫⇔-= ⎪⎝⎭1cos 1cos 1cos 1cos 212222B C B C ++--⎛⎫⇔⋅-⋅= ⎪⎝⎭，即cos cos 1B C +=.。
湖南师范大学附属中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年湖南师范大学附属中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}*|21,A x x x N =-≤∈，则集合A 的真子集个数是（ ）A ．3B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】先确定集合A 中元素个数，进而可得出结果. 【详解】因为{}{}{}**|21,3,1,2,3A x x x Nx x x N =-≤∈=≤∈=，共含有3个元素，因此其真子集个数为3217-=. 故选：C 【点睛】本题主要考查求集合真子集的个数，熟记求真子集个数的公式即可，属于基础题型. 2．如图所示，阴影部分表示的集合是（ ）A ．B∩[∁U （A ∪C ）]B ．（A ∪B ）∪（B ∪C ） C ．（A ∪C ）∩（∁U B ）D ．[∁U （A∩C ）]∪B【答案】A【解析】由韦恩图可以看出，阴影部分中的元素满足“不是A 的元素或C 的元素，且是B 的元素”，由韦恩图与集合之间的关系易得答案． 【详解】由已知中阴影部分所表示的集合元素满足不是A 的元素或C 的元素，且是B 的元素 即不是A 并C 的元素，且是B 的元素，即是A 并C 的补集的元素，且是B 的元素， 故阴影部分所表示的集合是B∩[∁U （A ∪C ）]， 故选：A ． 【点睛】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集及其运算，属于基础题．3．函数()22xf x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3 B ．()1,2C ．()0,3D ．()0,2【答案】C【解析】由题意得()()f 1f 20<，解不等式可得实数a 的取值范围． 【详解】由条件可知()()()()f 1f 2?22a 41a 0=<－－－－，即a(a －3)<0， 解得0<a<3. 故选C ． 【点睛】本题考查利函数零点存在性定理的应用，解题的关键是根据函数在给定的区间两端点处的函数值异号得到不等式，考查应用能力和计算能力，属于容易题． 4．函数1()ln(1)f x x =+的定义域为（ ）A ．[3,3]-B ．(1,0)(0,3]- C ．[3,0)(0,3]- D ．(1,3]-【答案】B【解析】求函数y 的定义域，首先分母不等于0，再根据对数函数和根号有意义的条件进行求解. 【详解】1()ln(1)f x x =++，要使函数有意义，x 应满足2101190x x x +>⎧⎪+≠⎨⎪-≥⎩解得10x -<<或03x <≤，故函数的定义域为：(1,0)(0,3]-，故选：B ． 【点睛】此题主要考查函数的定义域及其求法，注意二次根号有意义的条件及分母不能为0. 5．下列幂函数中，既是奇函数，又在区间(),0-∞上为减函数的是（ ） A ．12y x = B ．13y x = C ．23y x = D ．13y x -=【答案】D【解析】根据奇函数的概念，以及幂函数的单调性，逐项判断，即可得出结果. 【详解】A 选项，函数12y x =的定义域为()0,∞+，因此不是奇函数，排除A ；B 选项，函数13y x =的定义域为R ，且1133()-=-x x ，因此13y x =是奇函数；又103>，根据幂函数的单调性，所以函数13y x =在()0,∞+上单调递增，又其为奇函数，所以13y x =在(),0-∞上也单调递增；排除B ；C 选项，函数23y x =的定义域为R ，且2233()x x =-，所以函数23y x =是偶函数，排除C ；D 选项，函数13y x -=的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，1133()---=-x x ，所以函数13y x -=是奇函数，又103-<，根据幂函数单调性，所以13y x -=在()0,∞+是减函数，根据奇函数的性质可得13y x -=在(),0-∞也是减函数；D 正确；故选：D 【点睛】本题主要考查判断函数奇偶性与单调性，熟记函数奇偶性的概念，以及幂函数的单调性即可，属于常考题型.6．已知()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),2-∞B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．()2,+∞D ．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】根据函数恒减，得到()22012212a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-≤- ⎪⎪⎝⎭⎩，求解即可得出结果. 【详解】因为()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递减函数，所以()22012212a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-≤- ⎪⎪⎝⎭⎩，即2138a a <⎧⎪⎨≤⎪⎩，所以138a ≤. 故选：B 【点睛】本题主要考查由分段函数的单调性求参数，解决此类问题的关键在于注意每一部分的单调性，以及结点位置的取值情况即可，属于常考题型.7．函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>， 所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．8．已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则函数(1)f x +的反函数的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像恒过（0,1）点，函数(1)f x +的图像恒过（-1,1），则其反函数的图像恒过（1,-1）而选项A 恒过（0,0），选项B 恒过（2,0），选项C 恒过（1,0），故排除；所以正确选项为D 【考点】1、函数图像的平移；2、反函数的性质.9．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()10f -=，若对于任意()12,,0x x ∈-∞，且12x x ≠时，都有()()1122120x f x x f x x x -<-成立，则不等式()0f x <的解集为（ ）A ．()(),11,-∞+∞B ．()()1,00,1-UC ．()(),10,1-∞-⋃D ．()()1,01,-⋃+∞【答案】C【解析】先令()()F x xf x =，根据函数()f x 是定义在R 上的奇函数，结合函数奇偶性的定义，判断()F x 是偶函数；根据题意，再判断()F x 在(),0-∞上是单调递减，在()0,∞+上是单调递增，由()10f -=，得到()()110-==F F ；根据函数单调性，分类讨论，即可求出结果； 【详解】令()()F x xf x =，因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x =--，则()()()()F x xf x xf x F x -=--==，所以()F x 是偶函数， 因为任意()12,,0x x ∈-∞，且12x x ≠时，都有()()1122120x f x x f x x x -<-成立，所以()F x 在(),0-∞上是单调递减，在()0,∞+上是单调递增， 又因为()10f -=，所以()()()1101F f F -=--==. 当1x <-时，()()10F x F >-=，因为0x <，∴()0f x <；因为当10x -<<时，()()10F x F <-=，因为0x <，所以()0f x >； 当01x <<时，()()10F x F <=，因为0x >，所以()0f x <； 当1x >时，()()10F x F >=，因为0x >，所以()0f x >. 所以不等式()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃. 故选:C 【点睛】本题主要考查由函数单调性与奇偶性解不等式，熟记函数单调性与奇偶性的概念即可，属于常考题型.10．已知函数()11f x x =--，若关于x 的方程()()20f x af x +=有n 个不同的实根，则n 的值不可能为（ ） A ．3 B ．4 C ．5D ．6【答案】A【解析】先作出函数()11f x x =--的图像，根据()()20fx af x +=得()0f x =或()f x a =-，原方程根的个数，转化为函数()f x 与x 轴以及直线y a =-交点个数；结合函数图像，即可得出结果. 【详解】因为函数()2,22,1211,01,0x x x x f x x x x x x -≥⎧⎪-≤<⎪=--=⎨≤<⎪⎪-<⎩，作出()f x 的图像如下： 由()()20fx af x +=得：()0f x =或()f x a =-，所以方程()()20f x af x +=的解的个数，即为函数()f x 与x 轴以及直线y a =-交点个数，由图像可得：()f x 与x 轴有2个交点，①当0a -<，即0a >时，函数()f x 与直线y a =-无交点，故原方程共2个解； ②当0a -=，即0a =时，原方程可化为()0f x =，故原方程共2个解；③当01a <-<，即10a -<<时，函数()f x 与直线y a =-有4个交点，故原方程共6个解；④当1a -=，即1a =-时，函数()f x 与直线y a =-有3个交点，故原方程共5个解； ⑤当1a ->，即1a <-时，函数()f x 与直线y a =-有2个交点，故原方程共4个解； 综上，原方程解的个数可能为2，4，5，6. 故选A【点睛】本题主要考查方程根的个数的判定，灵活运用转化与化归的思想，根据数形结合的方法即可求解，属于常考题型.11．已知定义域为D 的函数()f x ，若对任意x D ∈，存在正数M ，都有()f x M≤成立，则称函数()f x 是定义域D 上的有界函数．已知下列几个函数：①()25243f x x x =-+；②()f x =()34x f x x+=-；④()13x f x =-.其中有界函数的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】根据函数的性质，分别求出函数值域，结合题中条件，逐项判断，即可得出结果. 【详解】 ①()22552432(1)1==-+-+f x x x x ，因为22(1)11-+≥x ， 所以()2552(1)1=≤-+f x x ，又()2502(1)1=>-+f x x ， 所以()(]0,5∈f x ；因此()5f x ≤，满足题意；①正确；②()f x =()1=≤f x ，满足题意；②正确； ③()374711444++-===-+≠----x x f x x x x，即()()(),11,∈-∞-⋃+∞f x ， 因此()1f x ≥，不满足题意；③错；④因为30x >，所以()131=-<xf x ，不满足题意，④错；故选：B 【点睛】本题主要考查函数的值域，熟记求函数值域的方法即可，属于常考题型.二、填空题12．化简2011log 5310.06428-+⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭的结果为________． 【答案】272【解析】根据对数运算，以及指数幂运算法则，直接计算，即可得出结果. 【详解】()2201131log 5log 103315270.06420.41211822⎛⎫-⨯-+ ⎪⎝⎭⎛⎫+-+=++=+=⎪⎝⎭. 故答案为：272【点睛】本题主要考查指数幂与对数的化简求值，熟记运算法则即可，属于基础题型. 13．已知函数()()120,1x x af x a a a ++-=>≠为偶函数，则a =________．【答案】12【解析】根据题意，先确定函数定义域，再由函数为偶函数，得()()22f f -=，求出12a =，代入原函数检验，即可得出结果. 【详解】由题意，函数()()120,1x x af x aa a ++-=>≠的定义域为R ，因为函数()f x 为偶函数，所以()()22f f -=，即21222122-++--++-=a a a a ， 即122322++=+-a a ，即1=-a a ，解得：12a =， 所以当12a =时，()1112++-⎛⎫= ⎪⎝⎭x x f x ，定义域是R ；且()()11111122-++--++-⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x x x f x f x ， 因此满足()f x 为偶函数；即12a =满足题意； 故答案为：12【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求参数，熟记函数奇偶性的概念即可，属于常考题型. 14．设2535a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3525b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2525c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则用“<”连接a ，b ，c 为________．【答案】a c b >>【解析】先令()25x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据指数函数单调性，得到()25xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，推出c b >，再比较a ，c ，由20533122a c ⎛⎫⎛⎫=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可得出结果.【详解】令()25x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵2015<<，∴()25xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数， 又2355<，所以23552255⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即c b >；又2533122a c ⎛⎫⎛⎫=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a c >，综上，可得a c b >>； 故答案为：a c b >> 【点睛】本题主要考查比较指数幂的大小，熟记指数函数单调性即可，属于常考题型.15．设a ，b ，c 为实数，()()()2f x x a x bx c =+++，()()()211g x ax cx bx =+++，记集合(){}|0,S x f x x R ==∈，(){}|0,T x g x x R ==∈，若S ，T 分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论可能成立的是________．①1S =，0T =；②1S =，1T =；③2S =，2T =；④2S =，3T =. 【答案】①②③【解析】①根据0T =，得到方程()()()2110=+++=g x ax cx bx 无实根，推出0a =，240b c -<或0a b c ===；再由此判断()0f x =根的个数，即可判断①；②取2040a b c ≠⎧⎨-<⎩，分别判断()0f x =，()0g x =根的个数，即可判断②；③取20040a cbc ≠⎧⎪≠⎨⎪-=⎩分别判断()0f x =，()0g x =根的个数，即可判断③；④当3T =时，方程()()()2110=+++=g x ax cx bx 有三个根，所以0a ≠，0c ≠，240b c ->，由此求()0f x =根的个数，即可判断④. 【详解】①当0T =时，方程()()()2110=+++=g x ax cx bx 无实根，所以0a =，240b c -<或0a b c ===；当0a b c ===时，()3f x x =，由()0f x =得0x =，此时1S =；当0a =，240b c -<时，()()2=++f x x x bx c ，由()0f x =得0x =，此时1S =；故①成立； ②当2040a b c ≠⎧⎨-<⎩时，由()()()20=+++=f x x a x bx c 得x a =-，即1S =；由()()()2110=+++=g x ax cx bx 得1x a=-；即1T =；存在②成立；③当20040a cbc ≠⎧⎪≠⎨⎪-=⎩时，由()()()20=+++=f x x a x bx c 得x a =-或2b x =-；由()()()2110=+++=g x ax cx bx 得 1x a =-或2=-x b；只需2b a ≠，即可满足2S =，2T =；故存在③成立；④当3T =时，方程()()()2110=+++=g x ax cx bx 有三个根，所以0a ≠，0c ≠，240b c ->，设0x 为()0g x =的一个根，则00x ≠，且200001111f a b c x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()03010g x x ==，故01x 为方程()0f x =的根．此时()0f x =有三个根，即3T =时，必有3S =，故不可能是2S =，3T =；④错； 故答案为：①②③ 【点睛】本题主要考查方程根的个数与集合的综合，会判断方程根的个数即可，属于常考题型.三、解答题16．下列命题中错误的个数为（ ） ①()11221x f x =+-的图像关于()0,0对称； ②()31f x x x =++的图像关于()0,1对称； ③()211f x x =-的图像关于直线0x =对称． A ．1 B ．2C ．3D ．0【答案】D【解析】根据函数奇偶性的定义，先判断()11221x f x =+-为奇函数，即可得出①正确；令3()=+g x x x ，先判断其为奇函数，再由()31()1=++=+f x x x g x ，即可得出②正确；根据偶函数的定义，直接判断()211f x x =-为偶函数，即可得出③正确；从而可确定结果. 【详解】 ①因为()11221x f x =+-，由210x -≠得，定义域为()(),00,-∞⋃+∞， 所以()1112221212--=+=+--xx xf x ， 因此()111212()1022121221-+-=+++=+=---x xx xx f x f x ， 所以()()f x f x -=-；即函数()11221x f x =+-是奇函数，关于()0,0对称；①正确；②令3()=+g x x x ，定义域为R ，又3()()-=--=-g x x x g x ， 所以函数3()=+g x x x 是奇函数，关于()0,0对称，又()31()1=++=+f x x x g x ，所以其图像关于点()0,1对称；②正确；③因为()211f x x =-，由210x -≠得定义域为：()()(),11,11,-∞-⋃-⋃+∞， 所以()()211-==-f x f x x ，因此函数()211f x x =-为偶函数，其图像关于直线0x =对称；③正确.故选：D 【点睛】本题主要考查根据函数奇偶性判断函数的对称问题，熟记函数奇偶性的概念即可，属于常考题型.17．已知集合A x y ⎧⎫==⎨⎩，{}1|3x B y y -==. （Ⅰ）求AB ；（Ⅱ）若{}|40M x mx =+<且()A B M ⊆I ，求实数m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）()1,AB =+∞（Ⅱ）4m ≤-【解析】（Ⅰ）先化简集合A B 、，再求交集，即可得出结果；（Ⅱ）先由()A B M ⊆I ，得()1,+∞⊆M ，列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】（Ⅰ）由A x y ⎧⎫==⎨⎩，{}1|3x B y y -==， 得()1,A =+∞，()0,B =+∞， 所以()1,AB =+∞；（Ⅱ）由()A B M ⊆I ，得()1,+∞⊆M ，所以041m m<⎧⎪⎨-≤⎪⎩，解得4m ≤-.【点睛】本题主要考查求集合的交集，以及由集合的包含关系求参数，熟记交集的概念，以及集合的包含关系即可，属于常考题型.18．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()2f x x =.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若对任意的[],2x a a ∈+，不等式()()2f x a f x +≥恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩（Ⅱ）)+∞ 【解析】（Ⅰ）先由函数奇偶性得()00f =；再设0x <，则0x ->，根据已知函数解析式，结合奇函数的性质，即可求出结果； （Ⅱ）先由题意，将不等式化为())f x a f+≥，再由函数单调性，得到x a +≥，推出)1a x ≥，求出)max1⎡⎤⎣⎦x ，即可得出结果.【详解】（Ⅰ）由题意知，()00f =.设0x <，则0x ->，故()()22f x x x -=-=， 又因为()f x 是奇函数，故()()2f x f x x =--=-，所以()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩. （Ⅱ）由)222x =，不等式()()2f x a f x +≥，等价于())f x a f+≥，因为()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，所以其在R 上是增函数，∴x a +≥，即)1a x ≥，∵[],2x a a ∈+，∴当2x a =+时，)())max121x a ⎡⎤=+⎣⎦，得a ≥a的取值范围是)+∞.【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求函数解析式，由不等式恒成立求参数范围，熟记函数奇偶性与单调性的概念即可，属于常考题型. 19．设()121log 1axf x x -=-为奇函数，a 为常数． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）证明：确定()f x 在区间()1,+∞内的单调性；（Ⅲ）设[]3,4A =，()1|2xB x f x m ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，且A B ⊆，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）1a =-（Ⅱ）证明见解析 （Ⅲ）9,8⎛⎫-∞-⎪⎝⎭【解析】（Ⅰ）根据函数为奇函数，得到112211log log 11+-=----ax axx x ，推出()()()()1111ax ax x x +-=-+-，从而可求出结果；（Ⅱ）先由（Ⅰ）得()112212log log 111x f x x x +⎛⎫==+ ⎪--⎝⎭（1x >或1x <-），记()211u x x =+-，定义法证明()u x 在()1,+∞上的单调性，再由复合函数单调性的判定方法，即可证明结论成立；（Ⅲ）先设()1211log 12xx g x x +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，根据（Ⅱ）的结果，以及指数函数单调性，判定()g x 在[]3,4上为增函数．再由题意，得到()g x m >对[]3,4x ∈恒成立，只需()min m g x <，即可得出结果.【详解】（Ⅰ）∵()121log 1axf x x -=-为奇函数，所以()()f x f x -=-， ∴111222111log log log 111ax ax x x x ax +--=-=----.∴1111ax x x ax+-=---，即()()()()1111ax ax x x +-=-+-恒成立， ∴1a =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()112212log log 111x f x x x +⎛⎫==+ ⎪--⎝⎭（1x >或1x <-）． 记()211u x x =+-， 任取121x x <<，则()()()()()211212122221111--=-=----x x u x u x x x x x ， 因为121x x <<，所以110x ->，210x ->，210x x ->， 因此()()()()()2112122011--=>--x x u x u x x x ，即()()12u x u x >，所以()u x 在()1,+∞上为减函数， 又函数12log y x =是减函数，∴()121log 1x f x x +=-在()1,+∞上为增函数． （Ⅲ）设()1211log 12xx g x x +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭.由于()121log 1x f x x +=-在()1,+∞上为增函数且12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是R 上的减函数， 所以()g x 在[]3,4上为增函数．∵A B ⊆，[]3,4A =，所以()g x m >对[]3,4x ∈恒成立， ∴()()min 938m g x g <==-. 故m 的取值范围是9,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求参数，根据单调性的定义判断复合函数单调性，由集合的包含关系求参数，熟记奇偶性与单调性的概念，以及集合间的基本关系即可，属于常考题型.20．设二次函数()()2,,f x ax bx c a b c R =++∈满足下列条件：①当x ∈R 时，()f x 的最小值为0，且图像关于直线1x =-对称；②当()0,5x ∈时，()211x f x x ≤≤-+恒成立．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）若()f x 在区间[]1,m m -上恒有()214x f x -≤，求实数m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）()()2114f x x =+（Ⅱ）33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】（Ⅰ）先在②中令1x =，得到()11f =，根据题意，设二次函数为()()()210f x a x a =+>，由()11f =，求出14a =，即可得出结果； （Ⅱ）先由（Ⅰ）得到()211424-=+x f x x ，由()214x f x -≤解得5322x -≤≤，再由题意，得到[]531,,22⎡⎤-⊆-⎢⎥⎣⎦m m ，进而可求出结果.【详解】（Ⅰ）在②中令1x =，有()111f ≤≤，故()11f =.当x ∈R 时，()f x 的最小值为0且二次函数关于直线1x =-对称， 故设此二次函数为()()()210f x a x a =+>.∵()11f =，∴14a =. ∴()()2114f x x =+. （Ⅱ）由（Ⅰ）可得：()()222111144424x x f x x x -=+-=+，因此，由()214x f x -≤即11124x +≤，得5322x -≤≤； ∵()f x 在区间[]1,m m -上恒有()214x f x -≤，所以只需[]531,,22⎡⎤-⊆-⎢⎥⎣⎦m m ， ∴51232m m ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得3322m -≤≤，∴实数m 的取值范围为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查求二次函数的解析式，以及由不等式恒成立求参数，熟记二次函数的性质，绝对值不等式的解法，以及集合的包含关系即可，属于常考题型.21．对于在区间[],p q 上有意义的两个函数()f x 和()g x ，如果对于任意的[],x p q ∈，都有()()1f x g x -≤，则称()f x 与()g x 在区间[],p q 上是“接近”的两个函数，否则称它们在[],p q 上是“非接近”的两个函数．现有两个函数()()log 3a f x x a =-，()1log ag x x a=-（0a >，且1a ≠），给定一个区间[]2,3a a ++. （Ⅰ）若()f x 与()g x 在区间[]2,3a a ++都有意义，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）讨论()f x 与()g x 在区间[]2,3a a ++上是否是“接近”的两个函数． 【答案】（Ⅰ）01a <<.（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）先由题意，求使()f x 与()g x 有意义的x 的范围；根据()f x 与()g x 在[]2,3a a ++上有意义，得到23a a +>，从而可求出结果；（Ⅱ）先由题意，得到()()()()log 3a f x g x x a x a -=--⎡⎤⎣⎦，令()()1f x g x -≤，得到()()1log 31a x a x a -≤--≤⎡⎤⎣⎦，根据（Ⅰ）中范围，得到[]2,3a a ++在直线2x a =的右侧，设()()()log 3a h x x a x a =--⎡⎤⎣⎦，判断其在[]2,3a a ++上为减函数，求出最大值与最小值，列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】（Ⅰ）要使()f x 与()g x 有意义，则有3010x a x a->⎧⎪⎨>⎪-⎩，又0a >且1a ≠，所以3x a >；要使()f x 与()g x 在[]2,3a a ++上有意义，则3x a >对[]2,3x a a ∈++恒成立，所以23a a +>，又因为0a >，故01a <<；（Ⅱ）由题意，()()()()log 3a f x g x x a x a -=--⎡⎤⎣⎦， 令()()1f x g x -≤，得()()1log 31a x a x a -≤--≤⎡⎤⎣⎦.(*)因为01a <<，所以[]2,3a a ++在直线2x a =的右侧． 设()()()log 3a h x x a x a =--⎡⎤⎣⎦，则()()()log 3a h x x a x a =--⎡⎤⎣⎦在[]2,3a a ++上为减函数．所以()()()min 3log 96a h x h a a =+=-，()()()max 2log 44a h x h a a =+=-.于是()()log 441log 96101a a a a a ⎧-≤⎪-≥-⎨⎪<<⎩，∴0a <≤所以当a ⎛∈ ⎝⎦时，()f x 与()g x 是接近的；当a ⎫∈⎪⎪⎝⎭时是非接近的．【点睛】本题主要考查由函数有意义求参数的范围，以及由绝对值不等式恒成立求参数范围，熟记具体函数定义域的求法，绝对值不等式的解法，会根据函数单调性求函数值域即可，属于常考题型.22．如图，某油田计划在铁路线CD 一侧建造两家炼油厂A 、B ，同时在铁路线上建一个车站Q ，用来运送成品油．先从车站出发铺设一段垂直于铁道方向的公共输油管线QP ，再从P 分叉，分别向两个炼油厂铺设管线PA 、PB .图中各小写字母表示的距离（单位：千米）分别为5a =，8b =，15l =.设所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元，公共输油管线长为k km ，总的输油管道长度为s km .（Ⅰ）若0k =，请确定车站Q 的位置，使得总的输油管道长度为s 最小，此时输油管线铺设费用是多少？（Ⅱ）请问从降低输油管线铺设费用的角度出发，是否需要铺设公用管线．如果需要请给出能够降低费用管线铺设方案（精度为0.1千米）．19.85=19.21=18.60=，18.03=17.49=17.00=16.55=，16.16=15.81=15.52=15.30=.） 【答案】（Ⅰ） 5.77=CQ km ，输油管线铺设费用为142.92万元（Ⅱ）需要， 见详解. 【解析】（Ⅰ）当0k =时，Q 在CD 上，作A 关于CD 的对称点A '，连A B '，则它与CD 交于点Q ，连QA 、QB ，根据图形可得，此时输油管道的总长度为'==s A B =+CQ al a b推出=+a CQ l a b ，代入数据，即可得出结果；（Ⅱ）设公用的输油管线将沿垂直于铁道方向铺设k km .在CD 的A 一侧作一条与之平行、相距为k 的直线EF ，作A 关于EF 的对称点'A ，连'A B ，则它与EF 交于点P ，这点是分叉点．由它向两个炼油厂铺设的输油管道的总长度为这是在确定k 的前提下最短的．以C 为原点，铁路线为x 轴建立直角坐标系．得到=+=+s k k ，分别取不同的k 值，计算s ，比较大小，进而可确定大致区间，从而可确定结果.【详解】（Ⅰ）当0k =时，Q 在CD 上，作A 关于CD 的对称点A '，连A B '，则它与CD 交于点Q ，连QA 、QB ， 由它向两个炼油厂铺设的输油管道的总长度为'=+==s QA QB A B这是最短的，此时=+CQ al a b，所以=+a CQ l a b .将数据代入，得19.85s km ==，57515 5.771313=⨯==CQ km ， 输油管线铺设费用是7.27.219.85142.92s =⨯=万元．（Ⅱ）设公用的输油管线将沿垂直于铁道方向铺设k km .在CD 的A 一侧作一条与之平行、相距为k 的直线EF ，作A 关于EF 的对称点'A ，连'A B ， 则它与EF 交于点P ，这点是分叉点．这是在确定k 的前提下最短的．以C 为原点，铁路线为x 轴建立直角坐标系．则可以得到，在这种情况下最短的管道铺设的总长度应为s k =+.三条管道交叉点的坐标为(),P x k ，()()a kx l a k b k -=-+-.0k =相当于不铺设公用管道的情形．将数据代入上式有s k =+515132kx k-=⨯-.对于不同的k ，分别计算管道的铺设长度得由数据可知，最短铺设长度值在()19.53,19.50内，这个区间长度小于0.1千米的精度，于是，不妨取2k =，此时铺设管道的总长度为19.49，铺设费用为19.497.2140.328⨯=⨯=万元要节省2.592万元．这万元，比较不铺设公用管道所花的费用19.857.2142.925,2处．时三条管道交叉点位于()【点睛】本题主要考查函数模型的综合应用，以及直线的应用，根据对称的方法求动点到两定点的距离的和即可，属于常考题型.。