弦切角定理证明
圆的弦切角定理
圆的弦切角定理
弦切角定理又叫做斜接角定理，它是由现代先驱理论家、著名数学家笛卡尔所提出的
几何定理，它讲述了弦和圆在一起时所形成的夹角大小。
这个定理本质上是一个几何定理，在经典几何学中被广泛使用。
定理的具体内容如下：设弦切线在圆上的作用点分别是A、B，AB是弦切点，AB垂直
线与圆的圆心O相交得到点C，AB点分别延长到P和Q使OP与OQ延长，则OC、OP、OQ
三角形内角的大小依次为：π的一半（90°）OCA弧与APO角，AOC弧与POC角，BOC弧
与QOC角。
证明：AOC为OCB的补角，POC和QOC绕O旋转就变为AOC，而AOC与AB垂直线合成
了直角，故总之，证明弦切角定理的关键是正确建立AOC和AB垂直线，即点C是A、B垂
直线的交点。
由于圆的拉格朗日定义及圆的定义，可得知BOC的中点的P的投影到OA上必是OA的
中点O，故点P必等于点C，从而证明了AB垂直线的交点为点C.
于是，AOC是一个直角，而AOC弧与APO角、AOC弧与POC角、BOC弧与QOC角就是其对应角，因此就可以看出弦切角定理了。
以上就是弦切角定理的证明，弦切角定理一般应用于圆面内不存在直线或点的情况，
这时，计算机就可以采用其求得弦和圆之间的夹角大小。
弦切角定理证明方法
弦切角定理证明方法弦切角定理证明方法连oc、oa，则有oc⊥cd于点c。
得oc‖ad，知∠oca=∠cad。
而∠oca=∠oac，得∠cad=∠oac。
进而有∠oac=∠bac。
由此可知，0a与ab重合，即ab为⊙o的直径。
连接bc，且作ce⊥ab于点e。
立即可得△abc为rt△，且∠acb=rt∠。
由射影定理有ac²=ae*ab。
又∠cad=∠cae，ac公用，∠cda=∠cea，得△cea ≌△cda，有ad=ae，所以，ac²=ab*ad。
第一题重新证明如下：首先证明弦切角定理，即有∠acd=∠cba。
连接oa、oc、bc，则有∠acd+∠aco=90°===∠aco+∠aoc,所以∠acd=∠aoc，而∠cba=∠aoc，得∠acd=∠cba。
另外，∠acd+∠cad=90°，∠cad=∠cab，所以有∠cab+∠cba=90°，得∠bca=90°，进而ab为⊙o的直径。
2证明一：设圆心为o，连接oc，ob,。
∵∠tcb=90-∠ocb∵∠boc=180-2∠ocb∴,∠boc=2∠tcb∵∠boc=2∠cab∴∠tcb=∠cab证明已知：ac是⊙o的弦，ab是⊙o 的切线，a为切点，弧是弦切角∠bac所夹的弧.求证：证明：分三种情况：圆心o在∠bac的一边ac上∵ac为直径，ab切⊙o于a，∴弧cma=弧ca∵为半圆,∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角圆心o在∠bac的内部.过a作直径ad交⊙o于d,若在优弧m所对的劣弧上有一点e那么，连接ec、ed、ea则有：∠ced=∠cad、∠dea=∠dab∴∠cea=∠cab∴圆心o在∠bac的外部,过a作直径ad交⊙o于d那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90∴∠cda=∠cab∴编辑本段弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在rt△abc中，∠c=90，以ab为弦的⊙o与ac相切于点a，∠cba=60°,ab=a求bc长.解：连结oa，ob.∵在rt△abc中,∠c=90∴∠bac=30°∴bc=1/2a例2：如图，ad是δabc中∠bac的平分线，经过点a的⊙o与bc切于点d，与ab，ac分别相交于e，f.求证：ef∥bc.证明：连df.ad是∠bac的平分线∠bad=∠dac∠efd=∠bad∠efd=∠dac⊙o切bc于d∠fdc=∠dac∠efd=∠fdcef∥bc例3：如图，δabc内接于⊙o，ab是⊙o直径，cd⊥ab于d，mn切⊙o于c，求证：ac平分∠mcd，bc平分∠ncd.证明：∵ab是⊙o直径∴∠acb=90∵cd⊥ab∴∠acd=∠b，∵mn切⊙o于c∴∠mca=∠b，∴∠mca=∠acd，即ac平分∠mcd，同理：bc平分∠ncd.弦切角逆定理证明已知角cae=角abc，求证ae是圆o 的切线证明：连接ao并延长交圆o于d，连接cd，则角adc=角abc=角cae而ad是直径，因此角acd=90度，所以角dac=90度-角adc=90度-角cae 所以角dae=角dac+角cae=90度故ae为切线弦切角定理证明弦切角定理编辑本段弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
弦切角定理的证明与推导
弦切角定理的证明与推导弦切角定理的证明与推导弦切角定理是数学的一种定理，这种定理的证明是怎么一回事呢？下面就是啦店铺给大家整理的弦切角定理的证明内容，希望大家喜欢。
弦切角定理示范弦切角定理：定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角)弦切角定理证明证明：设圆心为O，连接OC，OB，OA。
过点A作TP的平行线交BC于D则∠TCB=∠CDA∵∠TCB=90-∠OCD∵∠BOC=180-2∠OCD∴,∠BOC=2∠TCB证明：分三种情况(1)圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径，AB切⊙O于A∴弧CmA=弧CA∵为半圆(2)圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D弦切角定理介绍弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。
(与圆相切的直线，同圆内与圆相交的弦相交所形成的.夹角叫做弦切角。
)顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
如图所示线段PT所在的直线切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角。
弦切角定理衍生问题及其证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧CmA是弦切角∠BAC所夹的弧.求证：弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半证明：分三种情况(1)圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径∴弧CmA=弧CA∵弧CA为半圆,∴弧CmA的度数为180°∵AB为圆的切线∴∠CAB=90°∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半(2)圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D,在优弧m所对的劣弧上取一点E，连接EC、ED、EA。
则∵弧CD=弧CD∴∠CED=∠CAD∵AD是圆O的直径∴∠DEA=90°∵AB为圆的切线∴∠BAD=90°∴∠DEA=∠BAD∴ ∠CEA=∠CED+∠DEA=∠CAD+∠BAD=∠BAC又∠CEA的度数等于弧CmA的度数的一半∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半(3)圆心O在∠BAC的外部过A作直径AD交⊙O于D，连接CD【弦切角定理的证明与推导】。
弦切角定理
已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧CmA是弦切角∠BAC所夹的弧. 求证：弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半 证明：分三种情况： （1）圆心O在∠BAC的一边AC上 ∵AC为直径 ∴弧CmA=弧CA ∵弧CA为半圆, ∴弧CmA的度数为180° ∵AB为圆的切线 ∴∠CAB=90° ∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半
内容
衍生及证明
概念及其证明
逆定理
图2弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半。 等于它所夹的弧的圆周角度数。 如图2，已知：直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦。 求证：∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC 证明：设圆心为O，连接OC，OB。 ∵∠OCB=∠OBC ∴∠OCB=1/2*(180°-∠BOC) 又∵∠BOC=2∠BAC ∴∠OCB=90°-∠BAC ∴∠BAC=90°-∠OCB 又∵∠TCB=90°-∠OCB
定理：以三角形任意一条边为邻边，在三角形外部作一个角等于该边的对角，那么所作角的另一边与三角形 外接圆相切，切点为所作角的顶点。
几何描述：设△ABP的外接圆为⊙O，在△ABP外部作∠BAC=∠BPA，则AC切⊙O于A。 注意定理的描述，所作角必须在三角形的外部，且该角与三角形有公共的边。 该定理的等价描述为：角的度数等于所夹弧所对圆周角的角为弦切角。 几何描述：设直线AC与圆相交于A，AB是圆的一条弦，P是圆上与A,B不重合的点。若∠BAC=∠BPA，则∠BAC 是弦切角，即AC与圆相切于A。 图3证明：如图3，同样分类讨论 （1）当∠BPA=90°时，AB为直径。 ∠BAC=∠BPA=90°，即AB⊥AC 经过直径的一端，并且与直径垂直的直线是圆的切线，∴AC是⊙O的切线，切点为A。
5.弦切角定理
第5讲 弦切角定理1.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线夹角。
要注意:如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点， ①PA=PB ； ②PO 平分APB ∠； ③AB PO ⊥。
2.弦切角的定义:顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
3.弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
如右图:θθ∠=∠。
4.弦切角定理推论:如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
【例1】已知AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上的一点，CD 切⊙O 于D ，DE⊥AB 于E 。
求证：CDB EDB ∠=∠。
【例2】已知∠1=∠2，⊙O 过A ，D 两点且交AB ，AC 于E ，F ，BC 切⊙O 于D ，求证：EF ∥BC 。
【例3】AB 为⊙O 的弦，CA ，CB 切⊙O 于A ，B ，P 在⊙O 上，AB PD ⊥于D ，CA PF ⊥于F ，CBPE ⊥于E ，求证：PF PE PD ∙=2。
【例4】已知⊙O 的直径AB ＝cm 12，AM 、BN 是⊙O 的切线，在AM 上取一点D （D 与A 不重合），DE 切⊙O 于E ，且DE 与BN 交于C 点，设AD ＝x ，BC ＝y 。
(1)求出y 与x 的函数关系式，并说明是什么函数；(2)若y x ,是方程03022=+-m t t 的两根，求出x 和y 的值；(3)求OCD ∆的面积。
【例5】在平面直角坐标系中，⊙M 过原点O ，与x 轴交于点A(4,0),与y 轴交于点B(0,3)，点C 为劣弧 AO 的中点，连接AC 并延长到D ，使DC=4CA,连接BD 。
(1)求⊙M 的半径；(2)证明:BD 为⊙M 的切线。
(3)在直线MC 上找一点P ，使AP DP -最大【课堂练习题】1.如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，AC 是⊙O 的直径，连结AB 、BC 、OP ，则与∠PAB 相等的角(不包括 ∠PAB 本身)有( )A.1个B.2个C.3个D.4个题1 题2 题3 题4 题5 2.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于( ) A.21 B.20 C.19 D.183.一个钢管放在V 形架内，右图是其截面图，O 为钢管的圆心．如果钢管的半径为25cm ，∠MPN=60︒， 则OP =( )A.50cmB.253cmC.3350cm D.503cm 4.如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cosB 35=．如果⊙O，且经过点B 、C ，那么线段AO= cm ．5.如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，点E 是⊙O 上一点，且60=∠AEB ，则=∠P _____度． 6.如图，AE 、AD 、BC 分别切⊙O 于点E 、D 、F ，若AD=20，求△ABC 的周长。
弦切角定理
弦切角定理顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
(弦切角就是切线与弦所夹的角）如图所示，线段PT所在的直线切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角。
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.如上图，已知：直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦。
求证：∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC证明：设圆心为O，连接OC，OB,。
∵PT为圆O的切线∴OC⊥PT∴∠TCB=90°-∠OCB∵∠BOC=180°-2∠OCB∴,∠BOC=2∠TCB∵∠BOC=2∠BAC∴∠TCB=∠BAC综上所述：∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧CmA是弦切角∠BAC所夹的弧.求证：弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半证明：分三种情况：（1）圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径∴弧CmA=弧CA ∵弧CA为半圆,∴弧CmA的度数为180°∵AB为圆的切线∴∠CAB=90°∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半（2）圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D,在优弧m所对的劣弧上取一点E，连接EC、ED、EA。
则∵弧CD=弧CD∴∠CED=∠CAD∵AD是圆O的直径∴∠DEA=90°∵AB为圆的切线∴∠BAD=90°∴∠DEA=∠BAD∴∠CEA=∠CED+∠DEA=∠CAD+∠BAD=∠BAC又∠CEA的度数等于弧CmA的度数的一半∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半（3）圆心O在∠BAC的外部过A作直径AD交⊙O于D，连接CD∵AD是圆的直径∴∠ACD=90°∴∠CDA+∠CAD=90°∵AB是圆O的切线∴∠DAB=90°∴∠BAC+∠CAD=90°∴∠BAC=∠CDA∵∠CDA的度数等于弧CmA的度数的一半∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在⊙O中，⊙O的切线AC、BC交于点C，求证：∠CAB=∠CBA。
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(弦切角就是切线与弦所夹的角）如右图所示，直线pt切圆o于点c，bc、ac为圆o的弦，∠tcb，∠tca，∠pca，∠pcb都为弦切角。
编辑本段弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明：证明一：设圆心为o，连接oc，ob,。
∵∠tcb=90-∠ocb∵∠boc=180-2∠ocb∴,∠boc=2∠tcb（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠boc=2∠cab(圆心角等于圆周角的两倍)∴∠tcb(敬请期待更好文章：)=∠cab（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：ac是⊙o的弦，ab是⊙o的切线，a为切点，弧是弦切角∠bac所夹的弧.求证：(弦切角定理)证明：分三种情况：(1)圆心o在∠bac的一边ac上∵ac为直径，ab切⊙o于a，∴弧cma=弧ca∵为半圆,∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角(2)圆心o在∠bac的内部.过a作直径ad交⊙o于d,若在优弧m所对的劣弧上有一点e那么，连接ec、ed、ea则有：∠ced=∠cad、∠dea=∠dab∴∠cea=∠cab∴(弦切角定理)(3)圆心o在∠bac的外部,过a作直径ad交⊙o于d那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90∴∠cda=∠cab∴(弦切角定理)编辑本段弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在rt△abc中，∠c=90，以ab为弦的⊙o与ac相切于点a，∠cba=60°,ab=a求bc长.解：连结oa，ob.∵在rt△abc中,∠c=90∴∠bac=30°∴bc=1/2a(rt△中30°角所对边等于斜边的一半)例2：如图，ad是δabc中∠bac的平分线，经过点a的⊙o与bc切于点d，与ab，ac分别相交于e，f.求证：ef∥bc.证明：连df.ad是∠bac的平分线∠bad=∠dac∠efd=∠bad∠efd=∠dac⊙o切bc于d∠fdc=∠dac∠efd=∠fdcef∥bc例3：如图，δabc内接于⊙o，ab是⊙o直径，cd⊥ab于d，mn切⊙o于c，求证：ac平分∠mcd，bc平分∠ncd.证明：∵ab是⊙o直径∴∠acb=90∵cd⊥ab∴∠acd=∠b，∵mn切⊙o于c∴∠mca=∠b，∴∠mca=∠acd，即ac平分∠mcd，。
弦切角定理证明逆定理
弦切角定理证明逆定理
弦切角定理是指：一条弦所对的两个角中，以弧度为单位的较大角等于这条弦所对的圆周上的切线与这条弦所在直线所成角的补角。
根据此定理，可以得出其逆定理：如果一条直线与一条圆相交，且这条直线的切线与这条圆的一个弦所成角的补角等于这条弦所对
的圆心角的一半，那么这条直线就是这条圆的切线。
证明如下：设直线与圆相交于点A和B，切线与弦的交点为C。
根据弦切角定理可得：∠CAB=∠ACB的补角，且∠ABC的补角等于弧BC所对的圆心角的一半。
因为∠CAB和∠ABC的补角之和为180度，所以∠CAB+∠ABC的补角=180度。
将以上两个式子代入得：∠ACB的补角+弧BC所对的圆心角的一半=180度。
即：∠ACB+弧BC所对的圆心角=180度。
因为弧BC所对的圆心角等于∠ABC的两倍，所以∠ACB+∠
ABC=180度。
因此，直线AC与圆相切。
证毕。
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弦切角定理证明
弦切角定理证明弦切角定理
编辑本段弦切角定义
顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
(弦切角就是切线与弦所夹的角）
如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB，∠TCA，∠PCA，∠PCB都为弦切角。
编辑本段弦切角定理
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明：
证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。
∵∠TCB=90-∠OCB
∵∠BOC=180-2∠OCB
∴,∠BOC=2∠TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）
∵∠BOC=2∠CAB(圆心角等于圆周角的两倍)
∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.
求证：(弦切角定理)
证明：分三种情况：
(1)圆心O在∠BAC的一边AC上
∵AC为直径，AB切⊙O于A，
∴弧CmA=弧CA
∵为半圆,
∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角(2)圆心O在∠BAC的内部.
过A作直径AD交⊙O于D,
若在优弧m所对的劣弧上有一点E
那么，连接EC、ED、EA
则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB
∴∠CEA=∠CAB
∴(弦切角定理)
(3)圆心O在∠BAC的外部,
过A作直径AD交⊙O于D
那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90
∴∠CDA=∠CAB
∴(弦切角定理)
编辑本段弦切角推论
推论内容
若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等
应用举例
例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60°, AB=a 求BC长.
解：连结OA，OB.
∵在Rt△ABC中, ∠C=90
∴∠BAC=30°
∴BC=1/2a(RT△中30°角所对边等于斜边的一半)
例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC 切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.
求证：EF∥BC.
证明：连DF.
AD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC
∠EFD=∠BAD
∠EFD=∠DAC
⊙O切BC于D ∠FDC=∠DAC
∠EFD=∠FDC
EF∥BC
例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，
求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.
证明：∵AB是⊙O直径
∴∠ACB=90
∵CD⊥AB
∴∠ACD=∠B，
∵MN切⊙O于C
∴∠MCA=∠B，
∴∠MCA=∠ACD，
即AC平分∠MCD，
同理：BC平分∠NCD.
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