小学奥数整数裂项复习课程
小学奥数--整数裂项对于较长的复杂算式，单单靠一般的运算顺序和计算方法是很难求出结果的。
如果算式中每一项的排列都是有规律的，那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。
而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法。
通常的做法是：把算式中的每一项裂变成两项的差，而且是每个裂变的后项（或前项）恰好与上个裂变的前项（或后项）相互抵消，从而达到“以短制长”的目的。
下面我们以整数裂项为例，谈谈裂项法的运用，并为整数裂项法编制一个易用易记的口诀。
后延减前伸差数除以N例1、计算1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋…＋98×99＋99×100分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、5……98、99、100，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。
算式的特点概括为：数列公差为1，因数个数为2。
1×2=（1×2×3-0×1×2）÷（1×3）2×3=（2×3×4-1×2×3）÷（1×3）3×4=（3×4×5-2×3×4）÷（1×3）4×5=（4×5×6-3×4×5）÷（1×3）……98×99=（98×99×100-97×98×99）÷（1×3）99×100=（99×100×101-98×99×100）÷（1×3）将以上算式的等号左边和右边分别累加，左边即为所求的算式，右边括号里面诸多项相互抵消，可以简化为（99×100×101-0×1×2）÷3。
解：1×2+2×3+3×4+4×5+……+98×99+99×100=（99×100×101-0×1×2）÷3=333300例2、计算3×5＋5×7＋7×9＋……＋97×99＋99×101分析：这个算式实际上也可以看作是：等差数列3、5、7、9……97、99、101，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。
算式的特点概括为：数列公差为2，因数个数为2。
3×5=（3×5×7-1×3×5）÷（2×3）5×7=（5×7×9-3×5×7）÷（2×3）7×9=（7×9×11-5×7×9）÷（2×3）……97×99=（97×99×101-95×97×99）÷（2×3）99×101=（99×101×103-97×99×101）÷（2×3）将等号左右两边分别累加，左边即为所求算式，右边括号里面许多项可以相互抵消。
解：3×5+5×7+7×9+……+97×99+99×101=（99×101×103-1×3×5）÷（2×3）=1029882÷6=171647例3、计算1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋……＋96×97×98＋97×98×99分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、5……98、99、100，先将所有的相邻三项分别相乘，再求所有乘积的和。
算式的特点概括为：数列公差为1，因数个数为3。
1×2×3=（1×2×3×4-0×1×2×3）÷（1×4）2×3×4=（2×3×4×5-1×2×3×4）÷（1×4）3×4×5=（3×4×5×6-2×3×4×5）÷（1×4）……96×97×98=（96×97×98×99-95×96×97×98）÷（1×4）97×98×99=（97×98×99×100-96×97×98×99）÷（1×4）右边累加，括号内相互抵消，整个结果为（97×98×99×100-0×1×2×3）÷（1×4）。
解：1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+96×97×98×+97×98×99=（97×98×99×100-0×1×2×3）÷（1×4）=23527350例4、计算10×16×22＋16×22×28＋……＋70×76×82＋76×82×88分析：算式的特点为：数列公差为6，因数个数为3。
解：10×16×22+16×22×28+……+70×76×82+76×82×88=（76×82×88×94-4×10×16×22）÷（6×4）=2147376通过以上例题，可以看出这类算式的特点是：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。
其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。
将以上叙述可以概括一个口诀是：等差数列数，依次取几个。
所有积之和，裂项来求作。
后延减前伸，差数除以N。
N取什么值，两数相乘积。
公差要乘以，因个加上一。
需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。
对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。
此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。
例5、计算1×1+2×2+3×3+……+99×99+100×100分析：n×n=(n-1)×n+n解：1×1+2×2+3×3+……+99×99+100×100=1+（1×2+2）+（2×3+3）+……+（98×99+99）+（99×100+100）=（1×2+2×3+……+98×99+99×100）+（1+2+3+……+99+100）=99×100×101÷3+（1+100）×100÷2=333300+5050=338350例6、计算1×2+3×4+5×6+……+97×98+99×100分析：(n-1)×n=(n-2)×n+n解：1×2+3×4+5×6+7×8+……+97×98+99×100=2+（2×4+4）+（4×6+6）+（6×8+8）+……+（96×98+98）+（98×100+100）=（2×4+4×6+6×8+……+96×98+98×100）+（2+4+6+8+……+98+100）=98×100×102÷6+（2+100）×50÷2=169150例7、计算1×1×1+2×2×2+3×3×3+……+99×99×99+100×100×100分析：n×n×n=(n-1)×n×(n+1)+n解：1×1×1+2×2×2+3×3×3+……+99×99×99+100×100×100=1+（1×2×3+2）+（2×3×4+3）+……+（98×99×100+99）+（99×100×101+100）=（1×2×3+2×3×4+……+98×99×100+99×100×101）+（1+2+3+……+99+100）=99×100×101×102÷4+（1+100）×100÷2=25492400例8、计算1×3+2×4+3×5+4×6+……+98×100+99×101解：1×3+2×4+3×5+4×6+……+98×100+99×101=（1×3+3×5+……+99×101）+（2×4+4×6+……+98×100）=（99×101×103-1×3×5）÷6+1×3+98×100×102÷6=171650+166600=338250例9、计算1+（1+2）+（1+2+3）+......+（1+2+3+4+ (100)解：1+（1+2）+（1+2+3）+......+（1+2+3+4+ (100)=1×2÷2+2×3÷2+3×4÷2+……+100×101÷2=（1×2+2×3+3×4+……+100×101）÷2=（100×101×102÷3）÷2=171700将上面的口诀继续编写是：前延比零小，取负就是了。
小学六年级奥数 裂项第一讲
小学六年级奥数裂项第一讲一、教学目标：1. 掌握分数裂项的基本原理。
2．掌握裂差和裂和的联系与区别二、重点难点：裂项的技巧去分数运算三、教学内容：知识梳理1、常见的裂项一般是将一项拆分成两项或多项的和或差，使拆分后的项可前后抵消或凑整，这种题目看似结构复杂，但一般无需进行复杂的计算。
一般裂项分为分数裂项和整数裂项，其中分数裂项是重要考点。
2、分数裂项的技巧分数裂项实质是异分母分数加减法的逆运算，关键是找分母上的数和分子上的数的和差倍关系。
第一类：“裂差”型运算。
当分母是两数相乘的形式，分子表示为分母上两数的差（基本型），则可以进行裂差。
两项的裂差非常重要，一定要掌握。
第二类：“裂和”型运算。
当分母是两数相乘形式，分子可表示分母上两数的和（基本型），则可以进行裂项和。
四、归纳总结1、裂差型基本形式：2、裂项和基本形式：3、裂项的实质和意义裂项的实质：实质是异分母分数的逆运算，关键是要找到分母上几个乘数和分子上数的和差倍关系；裂项的意义：裂差与裂和都是为了简便运算，摆脱繁琐的计算。
五、课堂检测~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~例1仿照例题的步骤，计算下列各题，你发现了什么规律？分析:先通分（把分母都变成各分母之积），分母相同后，再相加或者相减，把两项整理成一项，注意步骤的完整例2 仿照例题的步骤，计算下列各题，你发现了什么规律？在此处键入公式。
在此处键入公式。
分母拆分为两个数字的乘积，分子拆分为两个数字的差或和，分子上的两个数字要和分母上的两个数字相同。
把一个分数拆分成两个分数的和或差，最后再把这两各数分别约分化简。
例3 阅读下列巧算方法，解决问题：分析：分析拆分为两个数字的乘积，分子拆分为这两个数字的差（如果分子不是这两个数的差，那么就先变成差，相应的也要让此分数再乘上一个数使得结果和原分数相等），分子上的两个数字要和分母上的两个数字相同。
五年级奥数.计算综合.裂项(B级).学生版
（1） 能熟练运算常规裂和型题目；（2） 复杂整数裂项运算；（3） 分子隐蔽的裂和型运算。
（4） 通项归纳一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
1、 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- 2、 对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有：1111[]()(2)2()()(2)n n k n k k n n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3)n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 考试要求知识结构裂项3、 对于分子不是1的情况我们有：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k n n k 11)( ()11h h n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭()()()()()21122k n n k n k n n k n k n k =-+++++ ()()()()()()()()31123223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ ()()()()()11222h h n n k n k k n n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦()()()()()()()()11233223h h n n k n k n k kn n k n k n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥++++++++⎣⎦ ()()()221111212122121n n n n n ⎛⎫=+- ⎪-+-+⎝⎭ 二、裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
(完整版)五年级奥数.计算综合.整数裂项与分数裂和(A级).学生版.docx
整数裂项与分数裂和考试要求（1）能熟练运算常规裂和型题目；（2）复杂整数裂项运算；（3）分子隐蔽的裂和型运算。
知识结构一、复杂整数裂项型运算复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。
其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加 1 的乘积。
整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。
所有积之和，裂项来求作。
后延减前伸，差数除以N。
N 取什么值，两数相乘积。
公差要乘以，因个加上一。
需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0 时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。
对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。
此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。
二、“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） a bab1 1（2） a 2b2 a 2b2a ba b a b a b b a a b a b a b b a裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
重难点（1）复整数裂的特点及灵活运用（2）分子蔽的裂和型运算。
例题精讲一、整数裂【例 1】算：1 3 2 4 3 5 4 6 L 99 101【巩固】算： 3 5 5 7 7 9 L 97 99 99 101【例 2】算1016 22 16 22 28 L 70 76 82 76 8288【巩固】 3 3 3 4 4 4 L 79 7979【例 4】计算：1 1 1 2 2 2 3 3 3 L 99 99 99 100 100 100【例 5】1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 L 1 2 3 L100【巩固】 3 3 6 3 6 9 L 3 6 L300二、分数裂和【例 6】填空：51，71，91 62123204 111， 131， 151 3054265675791113151719【巩固】计算： 1122030425672906【例7】 5 6 6 7 78 8 9 9 1056677889910【巩固】36579111357612203042【例 8】计算：132579101119 3457820212435【巩固】12379111725 3571220283042【例 9】111112010263827 2330314151119120123124【巩固】3549637791105 1 316122030425688【例10】122222321821921922021223181919201212221222321222324212 2 2262【巩固】1323132333132333431323263 13课堂检测1、1 4 4 7 7 10 L 4952 =_________57911131517192、计算： 11220304256729063 、1179817512 22 22 32 20042 20052 20052 200624、22 3L20052005 20061 20045、 11 11L 11111223299 2家庭作业1、 1 1 2 2 3 3 L 50 502、 2 4 6 4 6 8 L 96 98 1003、 1 2 3 7911 21 313 5 7 12 20 28 40 564 、(11) (22) (33) L(88) (99 ) 2349105、 1 2 1 2 3 1 2 3 4 L 1 2 3 L 502 23 2 34 2 3 L 50教学反馈学生对本次课的评价○特别满意○满意○一般家长意见及建议家长签字：。
第6讲.整数裂项和通项归纳.B版
+整数裂项与通项归纳6本讲内容掌握整数裂项的技巧，并能理解整数裂项与分数裂项的联系和区别；灵活运用通项归纳的技巧进行巧算.前铺知识比较和估算——五年级春季第9讲(第10级下)分数裂项——六年级暑期第1讲(第11级上)后续知识数形结合——六年级秋季第1讲(第11级下)计算模块综合选讲（一）——六年级寒假第1讲（第12级上）1.33334771010131316+++=⨯⨯⨯⨯___________. 【分析】11341616-=2.2468101214161820+++++++++=___________.【分析】原式=1103.1111(1)(1)(1)(1)2345-⨯-⨯-⨯-=___________.【分析】原式=15整数裂项一、整数裂项()()()112231123⨯+⨯++⨯+=⨯⨯+⨯+ n n n n n 例如：1×2+2×3+3×4+…+9×10()1121230123⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯；()1232341233⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯；()1343452343⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯；……()19109101189103⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯；那么，原式=（1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+…+9×10×11-8×9×10）13⨯=（9×10×11-0×1×2）13⨯=330观察下列规律，在括号内填入适当的数.（1）12[12(3)(0)12]3⨯=⨯⨯-⨯⨯÷23[23()()23]()⨯=⨯⨯ - ⨯⨯÷ 34[34()()34]()⨯=⨯⨯ - ⨯⨯÷上述三个式子“左边相加=右边相加”：算一算：122334⨯+⨯+⨯=___________.【分析】4、1、3；5、2、3；（算一算）20试一试：12233445566778⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=___________.【分析】原式=7893168⨯⨯÷=我知道：122334(1)n n ⨯+⨯+⨯++⨯+= ___________.【分析】1122334(1)(1)(2)3n n n n n ⨯+⨯+⨯++⨯+=⨯⨯+⨯+ （2）24[246024]6⨯=⨯⨯-⨯⨯÷46[46()()46]()⨯=⨯⨯ - ⨯⨯÷算一算：244668⨯+⨯+⨯=___________.【分析】8、2、6；10、4、6；80（1）12231920⨯+⨯++⨯= ___________.（2）1223344950⨯+⨯+⨯++⨯= ___________.【分析】2660；41650（1）344556677889910101111121213⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）355717191921⨯+⨯++⨯+⨯= ___________.（3）69912121515181821⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=___________.【分析】（1）原式(121314234)3720=⨯⨯-⨯⨯÷=（2）原式(192123135)61527=⨯⨯-⨯⨯÷=68[68()()68]()⨯=⨯⨯ - ⨯⨯÷（3）原式(182124369)9990=⨯⨯-⨯⨯÷=588113235⨯+⨯++⨯= ___________.【分析】原式(323538258)94720=⨯⨯-⨯⨯÷=通项归纳，就是找一找式子中每一项有什么共同规律，找出项数n 和第n 项数值之间的关系，然后写出这个关系式，即为“通项公式”. 如：第1项是1、第2项是3、第3项是5、……则第n 项是21n -；（1）第1项是1、第2项是4、第3项是7、……则第n 项是___________；（2）第1项是1、第2项是4、第3项是9、……则第n 项是___________；（3）第1项是2、第2项是4、第3项是8、……则第n 项是___________；（4）第1项是34、第2项是67、第3项是910、……则第n 项是___________；（5）第1项是12⨯、第2项是23⨯、第3项是34⨯、……则第n 项是___________；【分析】（1）32n -；（2）2n （3）2n （4）331n n +（5）(1)n n +通项归纳与换元法相类似，通项归纳也是要借助代数，将算式简化，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算（体现了整体思想），使计算过程更加简便，而通项归纳能将“形似”的复杂算式用字母表示后化简为常见的一般形式.一些计算题目中，如果题目中给出数字很有规律，而且题目又很长，那么我们通常就可以采取把这个规律用字母总结成公式的形式，然后对公式进行计算，找到非常简单的运算技巧，最后把简单运算技巧运用到每一项最终达到简算的目的，这就是通项归纳的技巧．（1）1(12)(123)(12349)(1234950)+++++++++++++++++= ___________.（2）11111112123123491234950+++++=+++++++++++ ___________.【分析】（1）方法一：通项公式123(1)2n a n n n =++++=+÷ ，原式即求前50项的和.原式12223234250512(1223345051)25051523222100=⨯÷+⨯÷+⨯÷++⨯÷=⨯+⨯+⨯++⨯÷=⨯⨯÷÷= 方法二：此题也可以用“踢三角”去想.原式150249348501(5011)(1234950)35251502322100=⨯+⨯+⨯++⨯=++⨯+++++÷=⨯⨯÷÷= （2）通项公式12112()(1)2(1)1n a n n n n n n ===⨯-+÷++，原式即求前50项的和.原式111111112()2()2()2()122349505051112()15110051=⨯-+⨯-++⨯-+⨯-=⨯-=111112242462448244850+++++=++++++++++ ___________.【分析】通项公式112(12)(1)n a n n n ==⨯++++ （本题易错点在25n =）原式1111223252611262526=+++⨯⨯⨯=-=111133535735721++++=+++++++ ___________.【分析】先找通项：()()()1111352122132n a n n n n n ===+++++⨯++⨯ 原式11111113243546911101211111113359112446101211111121112212175264=++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= 我们用!n 表示从1到n 连续自然数的乘积，即!123n n =⨯⨯⨯⨯ . 求1!12!23!3100!100⨯+⨯+⨯++⨯ 的值除以2014的余数. 【分析】对于阶乘的处理，基本有两种形式，例如：10!109!=⨯，1010!(111)10!1110!110!11!10!⨯=-⨯=⨯-⨯=-.所以原式1!(21)2!(31)3!(41)100!(1011)2!1!3!2!4!3!100!99!101!100!101!1!101!1=⨯-+⨯-+⨯-++⨯-=-+-+-++-+-=-=- 201421953=⨯⨯，所以101!是2014的倍数，原式除以2014余2013.有的题目不是直接与通项公式有关，比如求所有项的和或积. 但是，通项公式找到后，对通项公式进行简化、1.1122334(1)(1)(2)3n n n n n ⨯+⨯+⨯++⨯+=⨯⨯+⨯+ 2.通项归纳的关键：找项数和每一项数之间的关键，需要注意的是，找到的规律必须符合每一项；最终目的还是简化运算.处理，则相当于同时对每一项进行了处理，使计算简便. 先找出通项公式，请计算：11002993989921001⨯+⨯+⨯++⨯+⨯= ______________.（提示：22221123(1)(21)6n n n n ++++=++ ）【分析】方法一：观察发现，每一项的第一个乘数都是对应的项数，每一项前后两个乘数的和都是101.因此通项公式可以写为：2(101)101n n n n ⨯-=-.所以原式222101(12100)(12100)=⨯+++-+++ 110150501001012011717006=⨯-⨯⨯⨯=方法二：此题也可以用“踢三角”去思考，“踢三角”每一项的基本形式是“自然数列×等差数列”.原式可以理解为“1个100、2个99、3个98、…、99个2、100个1的和，正好可以放入大等边三角形内部尖朝上的三角形里”.原式(10011)(1009998321)3171700=++⨯++++++÷= .1.12+2334910⨯⨯+⨯++⨯= ____________.【分析】原式910113=330=⨯⨯÷2.233418191920⨯+⨯++⨯+⨯= ____________.【分析】原式(192021123)32658=⨯⨯-⨯⨯÷=3.24462426⨯+⨯++⨯= ____________.【分析】原式(242628024)62912=⨯⨯-⨯⨯÷=4.按要求填空：（1）第1项是2、第2项是5、第3项是8、……则第n 项是___________；（2）第1项是1、第2项是8、第3项是27、……则第n 项是___________；（3）第1项是35、第2项是69、第3项是913、第4项是1217……则第n 项是___________.【分析】（1）31n -；（2）3n ；（3）341nn +5.2222222224620315171211⨯⨯⨯⨯=---- __________.（提示：22()()a b a b a b -=-⨯+，例如：251(51)(51)46-=-⨯+=⨯）【分析】通项公式为22222(2)(2)(21)1(211)(211)(1)1n n n n na n n n n n n ====+-+++-++；原式=1231012341111⨯⨯⨯⨯= .1.在一次期中考试中，小芳的语文、数学、英语三科的平均分是95分，加上科学课的分数后，这四科的平均分是94分，那么科学课的分数是 分.【分析】94495391⨯-⨯=（分）.2.某校少先队组织少先队员参与踏春活动，大约有200多人参与，活动前分组要求每组的人数必须相同. 分完组后，大队长发现：每组分3人，就会多出2人；每组分5人，就会多出4人；每组分7人，就会多出6人；但当每组11人时，就没有人多出来了.请你算算参与活动的少先队员有多少人？【分析】总人数加1是3、5、7的倍数，总人数本身是11的倍数.所以该校有1051105209-+=（人）.3.把一个长、宽、高分别为7、6、5的长方体的表面染上红色，然后把这个长方体切成棱长为1的小立方体，请问其中恰有1面是红色的小立方体有多少个？【分析】[(72)(62)(72)(52)(62)(52)]2(545343)294-⨯-+-⨯-+-⨯-⨯=⨯+⨯+⨯⨯=（个）.“杨辉三角”中有很多递推数列关系，你也可以归纳出很多有意思的规律. 聪明的你也来找找看！111121133114641151010511615201561172135352171【分析】如自然数列；三角数数列（1、3、6、10、15…）。
小学奥数教程整数裂项.教师版 全国通用
整数裂项基本公式(1) 122334...(1)n n ⨯+⨯+⨯++-⨯1(1)(1)3n n n =-⨯⨯+(2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=--+【例 1】 1223344950⨯+⨯+⨯++⨯L =_________【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 这是整数的裂项。
裂项思想是：瞻前顾后，相互抵消。
设S ＝1223344950⨯+⨯+⨯++⨯L1×2×3＝1×2×32×3×3＝2×3×（4－1）＝2×3×4－1×2×33×4×3＝3×4×（5－2）＝3×4×5－2×3×4……49×50×3＝49×50×（51－48）=49×50×51－48×49×503S ＝1×2×3＋2×3×3＋3×4×3＋…＋49×50×3＝49×50×51S ＝49×50×51÷3＝41650【答案】41650【巩固】 1223344556677889910⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=________【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然不能这样进行计算．对于项数较多的情况，可以进行如下变形：所以原式1111112323412391011891033333⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L另解：由于()21n n n n +=+，所以原式()()()222112299=++++++L采用此种方法也可以得到()()()112231123n n n n n ⨯+⨯++⨯+=++L 这一结论．【答案】330【例 2】 14477104952⨯+⨯+⨯++⨯L =_________【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 设S ＝14477104952⨯+⨯+⨯++⨯L1×4×9＝1×4×7＋1×4×24×7×9＝4×7×（10－1）＝4×7×10－1×4×7例题精讲 知识点拨整数裂项7×10×9＝7×10×（13－4）＝7×10×13－4×7×1049×52×9＝49×52×（55－46）＝49×52×55－46×49×529S ＝49×52×55＋1×4×2S =（49×52×55＋1×4×2）÷9＝15572【答案】15572【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 ()()()()()()()()111212311244n n n n n n n n n n n ++=+++--++，所以， 原式11111123423451234910111289101144444⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L 从中还可以看出，()()()()()1123234345121234n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯+⨯+=+++L 【答案】2970【例 3】 计算：135357171921⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯=L ．【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 可以进行整数裂项．所以原式35791357171921231517192113588⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯+++L 1719212313571358⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯+171921231358⨯⨯⨯+⨯⨯=19503= 也可适用公式．原式()()()()()()323325255219219192=-⨯⨯++-⨯⨯+++-⨯⨯+L而()()333333333333135191232024620++++=++++-++++L L L21351910100++++==L ，所以原式1990041003=-⨯+19503=．【答案】19503【巩固】 计算：101622162228707682768288⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯L L【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 可进行整数裂项： 原式1016222841016221622283410162228=2424⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L 【答案】2147376【巩固】 计算：123434565678979899100⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯=L【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 一般的整数裂项各项之间都是连续的，本题中各项之间是断开的，为此可以将中间缺少的项补上，再进行计算．记原式为A ，再设23454567678996979899B =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯L ，则123423453456979899100A B +=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯L现在知道A 与B 的和了，如果能再求出A 与B 的差，那么A 、B 的值就都可以求出来了．所以，()1901009880480102002974510040A =+÷=．【答案】974510040【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式20032200123212=⨯+⨯++⨯+⨯L其中也可以直接根据公式()2135721n n +++++-=L 得出【答案】2008008【考点】整数裂项 【难度】4星 【题型】计算【解析】 观察发现22!221(31)213!2!⨯=⨯⨯=-⨯⨯=-，可见，原式1!(2!1!)(3!2!)(2009!2008!)=+-+-++-L 2009!=【答案】2009!【例 4】 单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。
整数裂项,小学奥数整数裂项公式方法讲解
整数裂项，小学奥数整数裂项公式方法讲解在小学奥数中有一些非常长的整数算式，仅仅用一般的运算法则满足不了计算要求，这时候我们要找式子中各乘式之间的规律，把各乘式裂项，前后抵消，从而简化计算。
规律和之前G老师讲过的分数裂项法十分类似。
先看一道整数裂项的经典例题：【例1】1x2+2x3+3x4+4x5+……98x99+99x100分析：题中计算式共有99个乘法式子相加，如果一个一个计算下来，恐怕一个下午就过去了，G老师告诉同学们，遇见这种复杂的计算式，一定是有规律的，数学重点考查的是思维。
能不能想办法把乘法式子换成两个数的差，再让其中一些项抵消掉，就像分数裂项的形式，最后只剩下头和尾呢？1x2=(1x2x3-0x1x2)÷3;2x3=(2x3x4-1x2x3)÷3;3x4=(3x4x5-2x3x4)÷3;……99x100=(99x100x101-98x99x100)÷3;规律是不是找着了？原式=(1x2x3-0x1x2+2x3x4-1x2x3+3x4x5-2x3x4+……+99x100x101-98x99x100)÷3=99x100x101÷3=333300整数裂项法就是将整数乘积化成两个乘积差的形式，这个差也不是随便乘一个数，而是要根据题目中各项数字公差来确定的。
比如在例1中，1x2和2x3这两项，1与2，2与3的的差都是1，我们就在1x2这一项乘以（2+1），再减去(1-1)x1x2；2x3这一项，也化成[2x3x(3+1)-(2-1)x2x3]……这样就刚好可以前后项互相抵消，然后再除以后延与前伸的差[(3+1)-(2-1)]。
整数裂项法应用：式中各项数字成等差数列，将各项后延一位，减去前伸一位，再除以后延与前伸的差。
【例2】1x3+3x5+5x7+……+95x97+97x99分析：算式中各个项中数字之差都是2，满足整数裂项条件，后延一位，减去前伸一位，再除以后延与前伸的差6。
小学奥数-裂项求和(一)
分数裂项求和裂项求和就是是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项求和法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）。
裂项求和法的具体方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
例1裂项1 1 1 16 1 1 1 12 × 3= 2 -3 = 3 × 4= 3 -4 = 121 1 1 1 1 1 1 14 × 5= 4 -5 = 20 5 × 6= 5 -6 = 301 1 1 16 × 7= 6 -7 =42你发现了什么？对于分母可以写作两个连续自然数的乘积，分子都是1的这种1×形式的分数，即，这里我们把较小的数a写在前面，即a <1 1 1×b，那么有= -。
19 × 10 = -练1199 × 100 = -2 2 2 2练2 2 × 3 = - = （提示：分子不是1的，注意）3 3 3 34 ×5 = - =2练3 11 × 12 = - =（提示：分子空缺，自己填写）399 × 100 = - =例2深度讲解1 1 12 ×3 + 3 ×4 + …… +1 ×2 +1 198 × 99 + 99 ×1001 1 1 1 1 1 1 1= (1 - 2) + (2 - 3) + (3 - 4)+ …… +(98 - 99)1 1+ (99 - 100) [此处为基础训练中的裂项]1 1 1 1 1 1 1 1 1= 1 - 2 + 2 - 3 + 3 - 4+……+98 -99 + 99 -1100 [去括号，括号外面是加号，去括号不变号]1= 1 - 100 [一加一减正好抵消，两两消去，只剩头尾]99= 100 [头减尾，既得最后答案]11 ×2 +1 1× 4 + …… + + 32 × 3练41 18 × 9 + 9 ×1021 ×2 +2 2× 4 + …… + + 32 × 3练52 2 18 × 19 + 19 ×201 11× 13 + ……+ + 12 10 × 11 + 11 × 12 练6 1 99 × 1003 3 3 × 6 + …… + 35 ×36 35 + 5 练7 3 × 4 + 4 ×。
小学奥数教程-整数裂项 (4) (含答案)
【答案】 41650
【巩固】 1× 2 + 2 × 3 + 3× 4 + 4 × 5 + 5 × 6 + 6 × 7 + 7 × 8 + 8 × 9 + 9 ×10 =________
【考点】整数裂项
【难度】3 星
【题型】计算
【解析】 本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然
4
4
原式 =
1 4
×
1×
2
×
3
×
4
+
1 4
×
2
×
3
×
4
×
5
−
1 4
×1×
2
×
3
×
4
+
+
1 4
×
9
×10
×11×12
−
1 4
×
8
×
9
×10
×11
= 1 × 9 ×10 ×11×12 = 2970 4
从中还可以看出，1× 2 × 3 + 2 × 3× 4 + 3× 4 × 5 + + n × (n + 1) × (n += 2) 1 n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
整数裂项
知识点拨
整数裂项基本公式 (1) 1× 2 + 2 × 3 + 3× 4 + ... + (n −1) × n= 1 (n −1) × n × (n + 1)
3 (2) 1× 2 × 3 + 2 × 3× 4 + 3× 4 × 5 + ... + (n − 2) × (n −1) × n= 1 (n − 2)(n −1)n(n + 1)
整数裂项,小学奥数整数裂项公式方法 讲解
整数裂项，小学奥数整数裂项公式方法讲解在小学奥数中有一些非常长的整数算式，仅仅用一般的运算法则满足不了计算要求，这时候我们要找式子中各乘式之间的规律，把各乘式裂项，前后抵消，从而简化计算。
规律和之前G老师讲过的分数裂项法十分类似。
先看一道整数裂项的经典例题：【例1】1x2+2x3+3x4+4x5+……98x99+99x100分析：题中计算式共有99个乘法式子相加，如果一个一个计算下来，恐怕一个下午就过去了，G老师告诉同学们，遇见这种复杂的计算式，一定是有规律的，数学重点考查的是思维。
能不能想办法把乘法式子换成两个数的差，再让其中一些项抵消掉，就像分数裂项的形式，最后只剩下头和尾呢？1x2=(1x2x3-0x1x2)÷3;2x3=(2x3x4-1x2x3)÷3;3x4=(3x4x5-2x3x4)÷3;……99x100=(99x100x101-98x99x100)÷3;规律是不是找着了？原式=(1x2x3-0x1x2+2x3x4-1x2x3+3x4x5-2x3x4+……+99x100x101-98x99x100)÷３=99x100x101÷３=333300整数裂项法就是将整数乘积化成两个乘积差的形式，这个差也不是随便乘一个数，而是要根据题目中各项数字公差来确定的。
比如在例1中，1x2和2x3这两项，1与2，2与3的的差都是1，我们就在1x2这一项乘以（2+1），再减去(1-1)x1x2；2x3这一项，也化成[2x3x(3+1)-(2-1)x2x3]……这样就刚好可以前后项互相抵消，然后再除以后延与前伸的差[(3+1)-(2-1)]。
整数裂项法应用：式中各项数字成等差数列，将各项后延一位，减去前伸一位，再除以后延与前伸的差。
【例2】1x3+3x5+5x7+……+95x97+97x99分析：算式中各个项中数字之差都是2，满足整数裂项条件，后延一位，减去前伸一位，再除以后延与前伸的差6。
六年级上册数学同步拓展-奥数第2讲 速算与巧算(裂项法) 全国通用
六年级下册奥数 速算与巧算（裂项法）1、分数裂项法将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法。
裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
2、整数裂项法：裂项思想是：瞻前顾后，相互抵消。
例如：1223344950⨯+⨯+⨯++⨯=_________； 设S ＝1223344950⨯+⨯+⨯++⨯1×2×3＝1×2×32×3×3＝2×3×（4－1）＝2×3×4－1×2×3 3×4×3＝3×4×（5－2）＝3×4×5－2×3×4 ……49×50×3＝49×50×（51－48）=49×50×51－48×49×50 3S ＝1×2×3＋2×3×3＋3×4×3＋…＋49×50×3＝49×50×51 S ＝49×50×51÷3＝41650例1：111111223344556++++=⨯⨯⨯⨯⨯ 。