《概率论与数理统计》区间估计 (2)

2
2 a
(n)})
1a
2
2
《概率统计》
返回
下页
结束
三、单个正态总体均值与方差 2的区间估计 X
~ N(0, 1)
⒈ 2已知时, 的1-a置信区间
/ n
选取统计量 X ~ N (0,1) . / n
X ~ t(n 1)
S/ n
确定分位点 对给定的置信概率1-a，有
P
|
X
/
n
|
ua
2
,
2
~
2(n
1)
,
的0.95置信区间为
24
《概率统计》
返回
下页
结束
⒊ 已知时, 2 的1-a置信区间
1
2
n
(Xi )2
i 1
~ 2(n) ,
P 12a2
(n)
n i 1
(Xi )2 2
a2
(n)
2
1a
,
2 的1-a 置信区间为
⒋ 未知时, 2 的1-a置信区间
(n 1)S 2 ~ 2 (n 1) , 2
P
12a2
(n
《概率统计》
返回
下页
结束
设总体X的分布中含有未知参数q , 若由来自总体X的一个样
本确定的两个统计量：
qˆ1 qˆ1(X1X2,..., Xn ) , qˆ2 qˆ2 (X1X2,..., Xn ) ,
对给定的a (0 < a < 1)，有
P{qˆ1 q qˆ2} 1a ,
则称随机区间 (qˆ1 , qˆ2)是q 的置信概率为1- a 的置信区间， qˆ1 , qˆ2 分别称为置信下限和上限，1-a 称为置信水平.
1)
(n 1)s2 2
a2
2
(n
1)
1a
,
2 的1-a 置信区间为
n ( Xi )2 n ( Xi )2
i1
2 a
(n)
2
,
i 1
2 1a
(n)
2
(n
2 a
2
1 n
1)2Si21
( Xi
,
(n(n11))S 2
2
(n)2~1)S2 (2n)
(n 2
~1a2 (n
11))
2
《概率统计》
返回
下页
结束
例2. 从车床加工的一批零件中随机抽取16个进行试验，测得 零件长度如下(单位: cm):
2.15 2.10 2.12 2.10 2.14 2.11 2.15 2.13 2.13 2.11 2.14 2.13 2.12 2.13 2.10 2.14
试求零件长度标准差的置信区间(a = 0.05, 设总体为正态)．
§7.2 参数的区间估计
区间估计：就是用样本来确定一个区间，使这个 区间以很大的概率包含所估计的未知参数，这样的区 间称为置信区间.
一、单正态总体参数的区间估计 二、两正态总体均值差等的区间估计
《概率统计》
返回
下页
结束
§7.2 参数的区间估计
一、参数的区间估计法
设总体X的分布中含有未知参数q , 若由来自总体X的一个样
1a
.
变换不等式
P X ua
2
n
X
ua
2
1a .
n
wk.baidu.com
由此可得总体均值的1-a 置信区间为 X ua
2
. n
说明: 其他参数的区间估计类似, 过程不再详述.
《概率统计》
返回
下页
结束
⒉ 2未知时, 的1-a置信区间
X ~ t(n 1) ,
S/ n
对给定的置信概率1-a，有
X ~ N(0, 1) / n
本确定的两个统计量：
qˆ1 qˆ1(X1X2,..., Xn ) , qˆ2 qˆ2 (X1X2,..., Xn ) ,
对给定的a (0 < a < 1)，有
P{qˆ1 q qˆ2} 1a ,
则称随机区间 (qˆ1 , qˆ2)是q 的置信概率为1- a 的置信区间， qˆ1 , qˆ2 分别称为置信下限和上限，1-a 称为置信水平.
1. 若 X~N（ , 2）: X1,X2,…,Xn ，则
U X ~ N(0,1) n
X ~ t(n 1)
S/ n
(n
1)S 2 2
~
2(n 1)
2
n i1
(Xi )2 2
~
2(n)
U统计量
2.
P|U | ua 1a
2
P{| t | ta (n)} 1a
2
P({12a
(n)
解： 未知时 的区间估计. 算得 x =2.15, s2 =0.000293,
查表得
x12a (n 1)
x2 0.975
(15)
6.262
,
xa2
(n
1)
x2 0.025
(16)
27.488
,
2
2
2的0.95置信区间为
(n
a2
2
1) S 2 (n 1)
,
(n 1)S2
12a2(n(n112))S
说明：① (qˆ1 , qˆ2) 是随机区间，而不是具体区间！
② 如a =0.05时, 表示若从总体中抽得容量相同的100组样本, 则在确定的100个置信区间中将有95个包含q 的真值，不包含q
真值的区间只有5个.
③ q 是确定值，不能理解为它落在某随机区间…
《概率统计》
返回
下页
结束
二、求置信区间的方法
⒈ 选取统计量
选取样本(X1,…,Xn)的一个函数g(X1,…,Xn;q)，其中只含所求 置信区间的未知参数q，且分布已知．
⒉ 确定分位点
对于给出的置信水平1-a，确定g(X1,…,Xn;q)的双侧分位点．
⒊ 变换不等式
利用不等式变形得到未知参数q 的置信区间．
《概率统计》
返回
下页
结束
附：常用统计量及双侧分位点
试估计大豆平均产量的范围(假定大豆产量按正态分布)，置信
概率1-a = 0.95. 解: 属 2未知时的区间估计问题. 算得 x = 41.125, s = 6.04,
查表得 ta (n 1) t0.05 (23) 2.0687 ,
2
2
故200米2面积平均产量的0.95置信区间为
(41.125 2.0687 6.04) (38.575, 43.675) .
2
S
.
n
例1.为估计36亩大豆的产量，以200米2面积上的大豆作为 总体的一个个体，从中任意抽得24个个体，分别测得大豆的产 量如下(单位：千克/200米2)：
50 , 42 , 32, 46, 35, 44, 45, 38, 35, 54, 42, 36, 41, 34, 39, 50, 43, 36, 34, 49, 35, 46, 38, 43
X ~ t(n 1)
S/ n
P
|
X S/
n
|
ta
2
(n
1)
1a
,
P X ta (n 1)
2
S n
X ta (n 1)
2
S
1a ,
n
由此可得总体均值的1-a
置信区间为
X
ta
(n
1)
2
S n
.
《概率统计》
返回
下页
结束
⒉ 2未知时, 的1-a置信区间
…由此可得总体均值的1-a 置信区间为 X ta (n 1)