八年级数学下册17_1勾股定理第1课时勾股定理学案新版新人教版
2023年人教版八年级下册数学第十七章勾股定理第1课时勾股定理(1)
(2)∵在aRt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，c＝7，
∴b＝ 72－32＝2 10.
·数学
·数学
9.【例3】(北师8上P4)求斜边长为17 cm、一条直角边长为15 cm的直角三角形的面积. 解：另一条直角边长＝ 172－152＝8(cm)， 故直角三角形的面积为15×8÷2＝60(cm2). 小结:掌握勾股定理与直角三角形的面积公式.
解：E的面积＝(A的面积＋B的面积)＋(C的 面积＋D的面积)＝(122＋162)＋(92＋122)＝ 400＋225＝625.
·数学 8.【例2】(人教8下P24)设直角三角形的两条直角边长分别为 a和b，斜边长为c. (1)已知a＝6，c＝10，求b； (2)已知a＝5，b＝12，求c； (3)已知c＝25，b＝15，求a. 解：(1)b＝ c2－a2＝ 102－62＝8.
在Rt△ABD中，∠B＝45°，AB＝ 2，
∴AD2＋BD2＝AB2＝2，AD＝BD，
∴AD＝1，
在Rt△ADC中，∠C＝30°， ∴AC＝2AD＝2.
答案图
·数学
知识点四：勾股定理的简单计算
在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c是△ABC的三边.
a2＋b2
(1)c＝
(已知a，b，求c)；
c2－b2
(2)a＝
(已知b，c，求a)；
(3)b＝ c2－a2 (已知a，c，求b).
6.写出下列直角三角形中未知边的长度.
(1)
(2)
2 13
53
·数学
·数学
a2 ＋ b2 ＝ c2 . 用图形表示为：
·数学
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则 AB的长为 13 .
人教版八年级下册数学17.1勾股定理(教案)
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与勾股定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示勾股定理的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“勾股定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
在教学过程中，教师要针对教学难点和重点进行有针对性的讲解和指导，确保学生能够透彻理解本节课的核心知识。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《勾股定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过直角三角形的情况？”（如楼梯的倾斜角度等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索勾股定理的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解勾股定理的基本概念。勾股定理是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。它是解决直角三角形相关问题的重要工具。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了勾股定理在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的发现与证明、勾股定理的应用这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
在今后的教学中，我会注意以下几点：
1.加强对勾股定理证明过程的讲解，让学生们从多个角度理解定理的本质。
2.注重实践与理论相结合，通过丰富多样的案例和练习，提高学生们运用勾股定理解决问题的能力。
八年级数学下册(人教版)17.1.1勾股定理(第一课时)教学设计
5.总结反思，拓展提高：在教学结束时，引导学生对勾股定理进行总结，明确其应用范围和注意事项。同时，布置一些拓展提高的练习题，让学生在课后进行巩固。
本节课的教学设计以勾股定理为核心，紧密结合教材内容，注重培养学生的知识技能、过程方法和情感态度与价值观，旨在提高学生的数学素养和实际应用能力。
二、学情分析
八年级学生在经过前两年的数学学习后，已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力。在本节课之前，学生已经学习了平面几何、立体几何的基本概念，掌握了直角三角形的性质和判定方法，这些都为学习勾股定理奠定了基础。然而，由于勾股定理涉及斜边与直角边的平方关系，学生在理解上可能会存在一定难度。因此，在教学过程中，教师需关注以下几点：
2.自主探究，发现定理：引导学生观察教材中的直角三角形图形，鼓励他们大胆猜想勾股定理的表达形式。在学生自主探究的基础上，引导他们通过实际测量、计算，验证勾股定理的正确性。
3.精讲精练，突破难点：针对勾股定理的证明过程，教师进行详细讲解，并设计具有梯度的问题，让学生逐步掌握定理的证明方法。同时，通过典型例题的讲解和练习，帮助学生巩固定理的应用。
（四）课堂练习，500字
为了巩固学生对勾股定理的理解，我将设计一些课堂练习题。这些练习题分为基础题和提高题，以满足不同层次学生的学习需求。
1.基础题：主要针对勾股定理的基本应用，如已知直角三角形的两边，求解第三边。
2.提高题：涉及勾股定理在实际问题中的应用，如计算建筑物的高度、距离等。
我会让学生独立完成练习题，并在必要时给予指导。通过课堂练习，学生可以检验自己对勾股定理的掌握程度，并为课后作业打下基础。
人教版八年级勾股定理优秀教学案例第一课时
3.学生能够通过合作和交流，学会尊重他人，培养自己的团队精神和合作意识。
4.学生能够在解决实际问题的过程中，体验到成功的喜悦，培养自己的自主学习和解决问题的能力，形成良好的学习习惯和态度。
三、教学策略
（一）情景创设
1.结合生活实际，创设有趣的情境，如测量房屋的倾斜度、计算篮球架的高度等，激发学生的学习兴趣，引发学生的思考。
2.鼓励学生进行讨论和交流，分享自己的解题思路和方法，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
3.教师ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ回指导，给予学生必要的帮助和指导，引导学生正确运用勾股定理解决问题。
（四）总结归纳
1.引导学生总结本节课所学的内容，包括勾股定理的定义、证明过程以及实际应用。
2.强调勾股定理的重要性和作用，引导学生认识到勾股定理在数学和实际生活中的重要性。
2.利用信息技术，如多媒体演示和数学软件工具，直观地展示勾股定理的应用，帮助学生形象地理解勾股定理。
3.设计具有挑战性和探究性的问题，引导学生主动参与课堂，激发学生的求知欲和好奇心。
（二）问题导向
1.引导学生提出问题，如“直角三角形三边之间有什么关系？”、“勾股定理如何证明？”等，激发学生的思考和探究欲望。
2.组织学生进行讨论和交流，鼓励他们发表自己的观点和思考，培养学生的批判性思维和问题解决能力。
3.引导学生运用勾股定理解决实际问题，培养学生的应用能力和创新能力。
勾股定理第1课时 学案
17.1勾股定理第1课时学习目标：(1)能够利用拼图法证明勾股定理．(2)能够利用勾股定理求简单的直角三角形的边长．课前准备1、 有一个角是直角的三角形是________三角形2、 直角三角形的两个锐角_________3、 ( a )2＝_________(a ≥0)4、a 2 ＝_________＝⎩⎨⎧_________(a ≥0 )_________( a<0)5、积的算术平方根的性质ab ＝__________(a ≥0，b ≥0)课堂导学自学指导一认真阅读课本P 22的内容，同桌讨论，动手拼图，直角三角形三条边之间具有什么样的数量关系？并用自已手中的图形说明你发现的结论．并用几何语言描述你发现的结论．完成自学检测 自学检测1、在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，则BC ＝ ．2、在Rt △ABC 中，有一边是3，另一边是4，则第三边的长是 ．自学指导二1、再认真阅读P 23~24内容，尝试回答以下问题⑴课本 P23图17.1-5，以AB 为边的正方形面积为______________⑵Rt △ABC 的面积为_______________⑶内部小正方形的面积为________________⑷请根据“四个直角三角形面积的和+小正方形面积=以AB 为边的大正方形的面积”，推导出abc 之间的关系3、 把我们证明出的勾股定理用数学语言描述，并用勾股定理完成课本P24练习第1题，第2题勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么______________ 当堂作业必做题：课本P28复习巩固第1题选做题：1、如图，求图中字母M 所代表的正方形的面积．7545M2、如图，一根旗杆在离地面5m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前有多高?5m12m思考题：如图，直角三角形三边上的半圆面积之间有什么关系？试探究一下.。
陕西省安康市紫阳县紫阳中学八年级数学下册 17.1 勾股定理教案 (新版)新人教版
进一步让学生认识该定理与勾股定理之间的关系
板书设计
勾股定理5
一如果一个三角形的三边长 ，满足 ，那么这个三角形是直角三角形
满足 的三个正整数，称为勾股数。
二例题
课后反思
2．今天的结论与前面学习勾股定理有哪些异同呢？
3．到今天为止,你能用哪些方法判断一个三角形是直角三角形呢?
4．通过今天同学们合作探究，你能体验出一个数学结论的发现要经历哪些过程呢？
学生回忆后回答
通过学生的合作探究，得出“若一个三角形的三边长 ，满足 ，则这个三角形是直角三角形”这一结论；
学生分为４人活动小组，每个小组可以任选其中的一组数。经过学生充分讨论后，汇总各小组实验结果发现：①5，12，13满足 ，可以构成直角三角形；②7，24，25满足 ，可以构成直角三角形；③8，15，17满足 ，可以构成直角三角形。
17.1 勾股定理
课题: 17.1 勾股定理
教
学
目
标
知识与能力：1．理解勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念；
2．能根据所给三角形三边的条件判断三角形是否是直角三角形。
过程与方法：1．经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力；
2．经历从实验到验证的过程，发展学生的数学归纳能力。
情感态度价值观：1．体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣；
2．在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心。
教学重、
难点
重点：理解勾股定理逆定理的具体内容。
难点：理解勾股定理逆定理的具体内容。
学情分析
新人教版八年级数学下册《十七章 勾股定理 17.1 勾股定理 数轴表示根号13》教案_1
数轴表示根号13教学目标：1.熟练掌握勾股定理，并能灵活的运用勾股定理解决数学中的实际问题。
2.能运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，进一步体会数形结合的思想及数轴上的点与实数一一对应的理论。
重点与难点：重点：运用勾股定理解决数学中的问题。
难点：勾股定理的灵活运用。
一、课前预习1．叙述勾股定理的内容。
2、（1）在Rt△ABC中，∠C=90°,a=3, b=4, 求c（2）在Rt△ABC中，∠C=90°,a=2, b=3，求c3.什么是数轴？实数与数轴上的点具有什么关系？4.在数轴上画出表示下列各数的点：3、1、0、-2.5、-45.你能在数轴上表示出√13 的点吗？点拨：①：由于在数轴上表示的点到原点的距离为√13，所以只需画出长为√13的线段即可．②长为√13的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢?设c＝√13，两直角边为a，b，根据勾股定理a2＋b3＝c2即a2＋b2＝13．若a，b为正整数，则13必须分解为两个正整数的平方和，即13＝22＋32 所以长为√13的线段是直角边为2、3的直角三角形的斜边.二、自主学习请在数轴上作出√13 ，完成作图步骤：1、在数轴上找到点A,使OA=3;2、作直线l⊥OA,在l上取一点B，使AB=2;OA=33、以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示√13的点。
三、合作探究类似地，利用勾股定理，可以作出长为√2 ，√3，,√5……的线段。
按照同样方法，可以在数轴上画出表示√1，√2 ，√3 ，√4 ，√5……的点。
四、课堂练习1、在数轴上作出表示√17的点(不写作法，保留作图痕迹)2、已知：如图，等边三角形的边长是6，求： A（1）高AD的长。
（2）这个三角形的面积。
五、课堂小结 C1.本节课你有些收获？2.预习时的疑难问题解决了吗？你还有那些疑惑？3.你认为本节还有哪些需要注意的地方？六、课后作业必做题：教材第29页习题17.1第11、12题.选做题：教材习题17.1第14题.七、课后反思：151、你能在数轴上找出表示的点吗？请作图说明。
17.1勾股定理第一课时教学设计
17。
1《勾股定理》教学设计【教学内容解析】本节课是人教版八年级下册第十八章第一节勾股定理第一课时．本节之前学生已经学习了三角形一些知识，勾股定理研究的是直角三角形三边之间特有的数量关系,将形与数密切联系起来，是解直角三角形的主要依据,在生产和生活实际中应用广泛。
本节课我从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境,引导学生自主地经历一条由观察猜想到实践验证到推理论证的科学探索之路.我期望通过本节课达成四个一,为此我确定本节课教学目标为：【教学目标】知识与技能：掌握一个定理——勾股定理,并会用定理解决简单问题.过程与方法:1、经历一次由特殊到一般的探索过程，通过观察、思考、尝试猜想结论，发展合情推理能力．2、体验一种利用几何图形的面积证明代数恒等式的数形结合的思想，感受数学思维的严谨性．情感与态度：通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增添一份民族自豪感. 在探究活动中,培养学生的合作交流意识和探索精神．【学生学情】八年级学生已经具备了一定的观察、归纳、猜想和推理能力，已经学习了一些几何图形的面积的计算方法，但是运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还不够，对于如何将形与数有机的结合起来还有待提高.【教学重点】勾股定理的证明与运用．【教学难点】用拼图法证明勾股定理。
【教学策略】本节课主要采用启发式、探究式教学,由浅入深，由特殊到一般的提出问题,引导学生采用观察思考、动手实践、自主探索、合作交流的学习方法,使学生主动获得知识并发展能力．【教学过程】问题情境师生活动设计意图教师出示情景图片提出问题，学生实践思考、探索交流等。
一、设置情景引发思考从A地到B地有两条路，并且AC垂直于BC．问题一:哪条路近？为什么？问题二：你能知道走第一条比走第二条近几米吗？为什么？那么在Rt△ABC中，已知AC=8，BC=6,能否求出AB的长呢？带着这个问题我们开始第十八章《勾股定理》的学习．本章我们将探索直角三角形三边之间特有的数量关系，并运用所得的结论解决问题．今天我们学习第十八章第一节-—勾股定理。
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17．1 勾股定理
第1课时勾股定理
01 课前预习
要点感知勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a、b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 预习练习在Rt△ABC中，若两条直角边长分别是5 cm、12 cm，则斜边长为(B) A．17 cm B．13 cm
C．7 cm D．12 cm
02 当堂训练
知识点1 利用勾股定理进行计算
1．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a、b、c，若∠B＝90°，则下列等式中成立的是(C) A．a2＋b2＝c2B．b2＋c2＝a2
C．a2＋c2＝b2D．c2－a2＝b2
2．在Rt△ABC中，斜边长BC＝3，则AB2＋AC2的值为(B)
A．18B．9
C．6 D．无法计算
3．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则正方形ABCD的面积为(C)
A．48
B．60
C．100
D．140
4．已知直角三角形的斜边长为10，一直角边长是另一直角边长的3倍，则直角三角形中较长的直角边长为(D)
B．2.5 C．D．310
5．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2 3 cm，则另一条直角边的长是(C) A．4 cm B．4 3 cm
C．6 cm D．6 3 cm
6．(柳州中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，则BC＝4．
7．(玉溪中考)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以BC、AB、AC为边向外作正方形，面积分别记为S1、S2、S3，若S2＝4，S3＝6，则S1＝2．
8．在△A BC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c.
(1)若b＝2，c＝3，求a的值；
(2)若a∶c＝3∶5，b＝32，求a、c的值．
解：(1)∵a2＋b2＝c2，
∴a＝c2－b2.
∴a＝ 5.
(2)设a＝3x，c＝5x，
∵a2＋b2＝c2，
∴(3x)2＋322＝(5x)2.解得x＝8.
∴a＝24，c＝40.
知识点2 勾股定理的证明
9．利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为勾股定理，该定理结论的数学表达式是a2＋b2＝c2.
03 课后作业
10．(荆门中考改编)如图，△A BC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BD 的长为(C)
A．5 B．6 C．8 D．10
11．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝3，BC＝4，则CD的长为(C) A．5 D．2
12．(株洲中考改编)如图，以直角三角形的三边a、b、c为边，向外作等边三角形，等腰直角三角形和正方形，上述三种情况的面积关系满足S1＋S2＝S3图形个数有(D)
A．0个B．1个C．2个D．3个
13．若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为13或119
14．如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2 017个等腰直角三角形的斜边长是(2)2_017．
15．如图，△ABC中，∠C＝90°，D是AC中点，求证：AB2＋3BC2＝4BD2.
证明：在Rt△BDC中，根据勾股定理，得BD2＝CD2＋BC2，∴CD2＝BD2－BC2.
在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得AC 2
＋BC 2
＝AB 2
. ∵D 是AC 的中点，∴AC ＝2CD. ∴4CD 2
＋BC 2
＝AB 2
.∴CD 2
＝AB 2
－BC
2
4
.
∴BD 2
－BC 2
＝AB 2－BC 2
4
，即AB 2＋3BC 2＝4BD 2
.
16．(益阳中考)在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13，求△ABC 的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
作AD⊥BC于D ，设BD ＝x ，用含x 的代数表示CD.→根据勾股定理，利用AD 作为“桥梁”，建立方程模型求出x.→利用勾股定理求出AD 的长，再计算三角形面积.
解：在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13，设BD ＝x ，∴CD ＝14－x. 由勾股定理，得AD 2
＝AB 2
－BD 2
＝152
－x 2
， AD 2
＝AC 2
－CD 2
＝132
－(14－x)2
， ∴152
－x 2
＝132
－(14－x)2
.解得x ＝9. ∴AD ＝12.
∴S △ABC ＝12BC·AD＝1
2×14×12＝84.
挑战自我
17．(温州中考)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明．下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a 2
＋b 2
＝c 2
.
证明：连接DB ，DC ，过点D 作BC 边上的高DF ，DF ＝EC ＝b －a. ∵S 四边形ADCB ＝S △ACD ＋S △ABC ＝12b 2＋1
2ab ，
又∵S 四边形ADCB ＝S △ADB ＋S △DCB ＝12c 2＋1
2a(b －a)，
∴12b 2＋12ab ＝12c 2＋1
2a(b －a)． ∴a 2
＋b 2
＝c 2
.
图1 图2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°.求证：a 2＋b 2＝c 2
. 证明：连接DB ，过点B 作DE 边上的高BF ，BF ＝b －a. ∵S 五边形ACBED ＝S 梯形ACB E ＋S △AE D ＝12(a ＋b)b ＋1
2
ab ， 又∵S 五边形ACBED ＝S △ACB ＋S △ADB ＋S △BED ＝12ab ＋12c 2＋1
2
a(b －a)， ∴12(a ＋b)b ＋12ab ＝12ab ＋12c 2＋1
2a(b －a)． ∴a 2
＋b 2
＝c 2
.。