第四节 单摆
11.4-单摆
摆长的计算
摆线的 长L0
摆长为 L=L0+R
演示1：周期是否与振幅有关？
单摆的振动周期与其振幅无关(等时性)。
单摆振动的等时性是意大利物理学家伽利略首先发现的。
演示2：周期与摆球的质量是否有关?
单摆振动周期和摆球质量无关。
演示3：周期与摆长是否有关？
单摆振动周期和摆长有关： 摆长越长，周期越长。
结
论
1 .单摆做简谐运动的周期跟摆长的平方根成正比， 跟重力加速度的平方根成反比，跟振幅、摆球的 质量无关。 2.单摆的周期公式：惠更斯，荷兰物理学家,他通 过大量实验得到周期的计算 公式，他还设计了用来计时 的摆钟。
T 2p
l g
四. 单摆的应用
１.利用它的等时性计时
惠更斯在1656年首先利用摆 的等时性发明了带摆的计时器 （1657年获得专利权）。 周期T=2s的单摆叫做秒摆
§11.4 单 摆
一.单摆
单摆的构成：细线+小球
（1）轻绳 （2）小球看做质点
（1）绳轻不拉伸；
L
（2）球重体积小。
理想化模型
实际看做单摆
下列装置哪个能看作单摆？
(F)
A
B
C
பைடு நூலகம்
D
E
F
思考
单摆振动是不是简谐运动？ 提示： 根据回复力的规律是否满足 F=-kx 形式去判断?
二.单摆的回复力
1、平衡位置： 最低点O 2、受力分析: 3、回复力来源： 重力沿切线方向的分力G2 大小： G2= mgsinθ
在摆角小于5度的条件下：Sinθ≈θ（弧度值）
位移方向:由O指向P 回复力方向: 由P指向O
x F G2 mg sin mg mg L
高中物理选修一 讲义 第4节 单摆
第4节 单摆学习目标要求核心素养和关键能力1.知道什么是单摆，了解单摆的构成。
2.掌握单摆振动的特点，知道单摆回复力的来源，理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动。
3.知道单摆的周期跟什么因素有关，了解单摆的周期公式，并能用来进行有关计算。
4.知道用单摆可测定重力加速度。
1.核心素养(1)利用图像法分析单摆的运动。
(2)建立简谐运动模型。
(3)控制变量法探究影响单摆周期的因素。
2.关键能力物理建模能力和分析推理能力。
知识点一 单摆的回复力❶单摆的组成：由细线和小球组成。
❷理想化模型(1)细线的长度不可改变。
(2)细线的质量与小球相比可以忽略。
(3)小球的直径与线的长度相比可以忽略。
❸单摆的回复力(1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力。
(2)回复力的特点：在摆角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F ＝－mgl x 。
从回复力特点可以判断单摆做简谐运动。
【思考】判断以下摆动模型是不是单摆，为什么？提示模型①不是单摆，因为橡皮筋伸长不可忽略。
模型②不是单摆，因为绳子质量不可忽略。
模型③不是单摆，因为绳长不是远大于球的直径。
模型④不是单摆，因为悬点不固定，因而摆长在发生变化。
模型⑤是单摆。
1．单摆的回复力(1)单摆受力：如图所示，摆球受细线拉力和重力作用。
(2)向心力来源：细线拉力和重力沿径向的分力的合力。
(3)回复力来源：重力沿圆弧切线方向的分力F＝mg sin θ提供了使摆球振动的回复力。
2．单摆做简谐运动的条件在摆角很小时，sin θ≈xl，又因为回复力F＝mg sin θ，所以单摆的回复力为F＝－mgl x，因F指向平衡位置O，与位移反向，令k＝mgl，则回复力F＝－kx，由此可见单摆在摆角很小的情况下做简谐运动。
3．证明一个振动是简谐运动的两种方法(1)动力学角度：回复力与位移关系满足F＝－kx。
(2)运动学角度：位移与时间的关系满足x＝A sin(ωt＋φ0)，x－t图像为正弦曲线。
11.4 单摆
第四节 单摆自主学目标1.知道什么是单摆，知道单摆做简谐运动的条件.2.知道单摆的回复力来源.3.掌握单摆的周期公式，理解周期的影响因素，并能应用公式进行有关计算. 知识点归纳 一、单摆1.单摆模型：悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略，细线又比球的① 大得多，这样的装置叫做单摆.单摆是实际摆的理想化模型.2.回复力的提供：摆球的重力沿② 方向的分力.3.回复力的特点：在摆角很小时，单摆所受的回复力与偏离平衡位置的位移成③ ，方向指向④ .4.运动规律：单摆在摆角很小时做⑤ ，其图象遵循⑥ 函数规律. 二、单摆的周期1.探究单摆的振幅、位置、摆长、摆球质量对周期的影响 （1）探究方法：⑦ . （2）实验结论①单摆振动的周期与摆球的质量⑧ . ②振幅较小时周期与振幅⑨ 。
③摆长越长，周期⑩ ，摆长越短，周期○11 . 2.周期公式（1）公式：T=○12 . （2）应用①计时器。
调节○13 ，可以调节钟表的快慢. ②测重力加速度：由 T ＝2πg l得○14 .可见，只要测出单摆的○15 和○16 ，就可以测出当地的重力加速度. 提示： ①直径 ②切线 ③正比 ④平衡位置 ⑤简谐运动 ⑥正弦 ⑦控制变量法 ⑧无关 ⑨无关 ⑩越大 ○11越小○12gl π2 ○13摆长 ○14224Tl π ○15摆长 ○16周期重难点解析一、对单摆模型的理解 单摆是一种理想化模型：①摆线的质量不计，没有伸缩性的细线；②摆球的直径比摆线长度要小得多； ③忽略空气阻力的影响.二、单摆在摆角很小时做简谐运动 1.摆球的受力G 1=Gsin θ的作用提供摆球以O点为中心做往复运动的回复力，G 2=Gcos θ,F-Gcos θ的作用提供摆球以O ’为圆心做圆周运动的向心力.2.单摆的简谐运动在θ很小时（<5o）,sin θ≈θ=lx,G 1=Gsin θ=x lmg,G 1方向与摆球位移方向相反，所以回复力F 回=G 1=-x lmg=-kx ，即回复力与位移方向始终相反，大小成正比，满足物体做简谐运动的条件。
高中物理3-4机械波单摆
秋千
摆钟
一．单摆
在细线的一端拴上一个 小球，另一端固定在悬点上， 如果线的伸缩和质量可以忽 略，球的直径与线的长度相 比也可以忽略，这样的装置 叫单摆。
悬点：固定
摆球：体积小，质量大(质点)
细线：长，不可伸缩，质量不计
单摆是理想化的物理模型
说明：实际应用的单摆小球大小不可忽略，
摆长 L＝摆线长度＋小球半径
A．8To/ 3
B．9T3
4.一摆长为L的单摆, 在悬点正下方5L/9处 有一钉子,则这个单摆 的周期是:
T
L g
4L 9g
L
如图所示为一单摆及其振动图象，由图回答：
（1）单摆的振幅为
，频率为
，摆长为
；
一周期内位移x最大的时刻为
；
（2）若摆球从E指向G为正方向，a为最大摆角，则图形中O、A、B、C点分
（A ） A.回复力为零，合外力不为零，方向指向悬点 B.回复力不为零，方向沿轨迹的切线 C.合外力不为零，方向沿轨迹的切线 D.回复力为零，合外力也为零
3．某一星球的质量是地球质量的4倍，半
径是地球半径的2／3，一只在地球表面周
期为To的单摆放到该星球表面时，周期变
为(不考虑摆长等因素的变化) （ D ）
摆线长 L0
θ
摆长 L=L0+R
摆角
摆长:摆球重心到摆动圆弧圆心的距离 摆角:摆球摆到最高点时，细线与竖直方向的夹角
想一想：下列装置能否看作单摆？
细
橡
绳
皮
筋
1
2
O
细粗
铁
绳棍
链
O’
挂上 在
3
4
长 细 线
钢球
2024届高三物理一轮复习课件：第四节 用单摆测量重力加速度
1.用单摆测量重力加速度
3.实验步骤
（1）做单摆∶ 取约1米长的线绳栓住小钢球，然后固定在桌边的铁架台
（2）测摆长∶摆长为
L
L0
+
d 2
①用刻度尺量出悬线长 L0
②用游标卡尺测摆球直径算出半径 d
L0
2
摆球直径 d
1.用单摆测量重力加速度
3.实验步骤
（3）将摆求从 平 衡 位 置 拉开一个很小的角度（小于5０），然后由静止放球使 摆球在平面内摆动，用秒表测出单摆完成30~50次全振动的时间t：（注记录全 振动次数时，以摆线通过平衡位置处的标记为准。设全振动次数为n），计算
出平均完成一次全振动所用的时间，即为单摆的振动周期：T t n
1.用单摆测量重力加速度
4.数据处理
4 2L
（1）代入公式 g T 2 ,多次测量取平均值，求重力加速度g
1.用单摆测量重力加速度
4.数据处理
（2）作 T 2 —L 图象，求重力加速度g
T 2 L
g
T 2 4 2 L
g
k T 2 T22 T12 L L2 L1
2.实验仪器
单摆组
摆球直径 d
L0
游标卡尺
刻度尺
秒表（停表）
1.用单摆测量重力加速度
秒表读数 = 小圈分钟(min)+大圈秒钟(s) ①小圈指示过半格，大圈在0-30秒内读数; ②小圈指示未过半格，大圈在30-60秒内读数
1.用单摆测量重力加速度
秒表读数 = 小圈分钟(min)+大圈秒钟(s) ①小圈指示过半格，大圈在0-30秒内读数; ②小圈指示未过半格，大圈在30-60秒内读数
1.用单摆测量重力加速度
【例1—课本P63】
高中物理人教版选修3-4教学案：第十一章 第4节 单 摆 Word版含解析
第4节单_摆一、单摆组成 要求细线 摆线看成是不可伸长，且没有质量的细线 小球摆球看成是没有大小只有质量的质点单摆是理想化模型：忽略在摆动过程中所受到的阻力，实验中尽量选择质量大、体积小的小球和尽量细不可伸长的线。
二、单摆的回复力1．回复力的提供：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力。
2．回复力的特点：在偏角很小时，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F ＝－mg l x 。
3．单摆的运动规律：单摆在偏角很小时做简谐运动，其振动图像遵循正弦函数规律。
三、单摆的周期1．定性探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响 (1)探究方法：控制变量法。
1.在摆角小于5°的情况下，单摆的自由振动是简谐运动。
2．单摆是理想化模型：忽略在摆动过程中所受到的阻力，摆线看成是不可伸长，且没有质量的细线。
3．单摆的回复力是由摆球的重力沿运动方向的分力提供，与摆球偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置。
4．荷兰物理学家惠更斯首先提出单摆的周期公式T ＝2πlg，利用周期公式可以测定当地的重力加速度。
(2)实验结论①单摆振动的周期与摆球的质量无关。
②振幅较小时，周期与振幅无关。
③摆长越长，周期越长；摆长越短，周期越短。
2．定量探究单摆的周期与摆长的关系(1)周期的测量：用停表测出单摆N (30～50)次全振动的时间t ，利用T ＝tN 计算它的周期。
(2)摆长的测量：用刻度尺测出细线长度l 0，用游标卡尺测出小球直径D ，利用l ＝l 0＋D 2求出摆长。
(3)数据处理：改变摆长，测量不同摆长及对应周期，作出T -l 、T -l 2或T -l 图像，得出结论。
3．周期公式(1)公式的提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。
(2)公式：T ＝2πlg ，即T 与摆长l 的二次方根成正比，与重力加速度g 的二次方根成反比。
4．周期公式的应用由单摆周期公式可得g ＝4π2lT 2，只要测出单摆的摆长l 和周期T 就可算出当地的重力加速度。
第四节单摆
摆线与竖直方向的夹角 为θ时，单摆振动的回 复力为 F=mgsin θ
O1
当θ很小时,弧AO、弦 很小时, AO、 AO、垂线段AB AB近似相 AO、垂线段AB近似相 x 等 sinθ ≈ θ ≈ l 由此得回复力的大小与 偏离平衡位置的位移大 小的关系为
B O
A
而回复力的方向与位移的 方向相反
荷兰物理学家惠更斯（1629---1695）通过实验进一步找到： 荷兰物理学家惠更斯（1629---1695）通过实验进一步找到： ---1695 单摆做简谐运动的周期跟摆长的平方根成正比， 单摆做简谐运动的周期跟摆长的平方根成正比，跟重力加速 度的平方根成反比，跟振幅、摆球的质量无关． 度的平方根成反比，跟振幅、摆球的质量无关． 单摆的周期公式： 单摆的周期公式：
2、单摆理想化条件是： 单摆理想化条件是： 摆线质量m ①摆线质量m 远小于摆球质量 M， 即m << M 。 ②摆球的直径 d远小于单摆的摆长 Ｌ，即 <<Ｌ Ｌ，即 d <<Ｌ。 摆球所受空气阻力 空气阻力远小于摆球重 ③摆球所受空气阻力远小于摆球重 力及绳的拉力， 忽略不计 不计。 力及绳的拉力，可忽略不计。 ④摆线的伸长量很小，可以忽略。 摆线的伸长量很小，可以忽略。 伸长量很小 忽略
A
o’
F=②F-x 满足 F=-kx的形式
4、简谐运动中动能和势能在发生相互转化，但机械能的 简谐运动中动能和势能在发生相互转化， 总量保持不变， 机械能守恒. 总量保持不变，即机械能守恒.
一、单摆的理想化条件
阅读教材第13页,回答下列问题 阅读教材第13页 13
1、什么是单摆
2、生活中的摆在什么条件下可以看做单摆
三、单摆的周期
人教版高中物理选修34课件：第十一章第四节单摆(共22张PPT)
１．利用它的等时性计时
惠更斯在1656年首先利用 摆的等时性发明了带摆的计
时器并获得专利权。
２．测定重力加速度
T 2 l
g
g
4 2l
T2
T 2 L
g
g
42
L T2
（多组数据代入，取平均值）
L
g
4
2
T
2
由 LT2 图像求出斜率
k g
4 2
秒 T=2s 摆 L≈1m
小结
质量不计 摆线：长度远大于小球直径
1.单摆的x-t图像：
在单摆下方平铺一张白纸，当单摆摆动 时，匀速拖动白纸，就可以在白纸上得 到单摆摆动的x—t图像
2.单摆的回复力
a、平衡位置：最低点O b、回复力来源： 重力沿切线方向的分力G2
法向：FyTmgcos（向心力）
切向：Fx mgsinθ（回复力）
回复力： F回 mgsinθ
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四、单摆周期公式的应用 1、惠更斯利用摆的等时性发明了带摆 的计时器.
2、 用单摆测定重力加速度。
T 2 l
g
g
42L T2
知识小结：
1.单摆理想化的条件。 2.证明单摆做简谐运动的两个方法。 3.单摆回复力的来源。 4.单摆周期公式及其影响因素。
方案2：证明小球摆动的回复力F回=-kx ?
方案2：证明小球摆动的回复力F回=-kx
θ
T
θ
mg
思考：1.小球运动的特点？
F回=mg sinθ
2.小球受那些力？ 3.回复力来源于哪个力？
F向=T-mg cosθ
方案2：证明小球摆动的回复力F回=-kx
θL
当θ很小时： x≈弧长 =Lθ
x
摆角 1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8°
§11.4 单摆
一、认识单摆 构成：细线、小球
条件： 1.忽略阻力 2.细线的质量与小球相比可以忽略 3.球的直径与线的长度相比可以忽略.
一、认识单摆 以下摆是否是单摆：
O
细 绳
橡 皮
粗 麻
O’
筋
绳
A
A
①
②
③
④
二、探究单摆的运动性质
单摆摆动时，小球是 否在做简谐运动？如何 验证？
方案1：单摆的振动图像是否是正弦曲线
正弦值 0.01754 0.03490 0.05234 0.06976 0.08716 0.10453 0.12187 0.13917
弧度值 0.01745 0.03491 0.05236 0.06981 0.08727 0.10472 0.12217 0.13963
结论：当偏角很小时，（一般不超过 100）摆球所受回复力与他偏离平衡 位置的位移成正比，方向总是指向平 衡位置，始终与位移方向相反，所以 单摆做简谐运动。
当θ很小时： x≈弧长=Lθ
sin
sin x
L
- F回=mg sinθ=
mg x L
Байду номын сангаас
三、探究单摆周期的影响因素
1、单摆的周期可能和哪些因素有关呢？ 2、实验方法？ 3、实验步骤？
(1)控制L、m相同，A不同； (2)控制L、A相同，m不同； (3)控制m、A相同，L不同。
注意：摆角要小（通常要求在100内）
物理选修3-4 实验 探究影响单摆 周期的因素（视频）.mp4
结论
单摆振动的周期 1、与振幅无关——单摆的等时性
伽利略首先发现的 2、与摆球的质量无关 3、与摆长有关——摆长越长，周期越大 4、与当地的重力加速度有关——重力加
速度越大，周期越小
单摆振动的周期公式：
T 2 l
g
荷兰物理学家惠更斯首先发现 单摆做简谐运动的振动周期跟摆 长的平方根成正比，跟重力加速度 的平方根成反比。