2021届高考数学一轮复习讲义课件：解三角形
届数学一轮复习第四章三角函数解三角形创新引领微课把握三角函数与解三角形中的最值问题教学案含解析
把握三角函数与解三角形中的最值问题微点聚焦突破类型一三角函数的最值角度1可化为“y＝A sin(ωx＋φ)＋B”型的最值问题【例1－1】如图所示，在平面直角坐标系xOy中,扇形AOB的半径为2，圆心角为错误!,点M是弧AB上异于A，B的点。
（1）若点C(1，0)，且CM＝2,求点M的横坐标;（2）求△MAB面积的最大值.解（1）连接OM,依题意可得，在△OCM中,OC＝1，CM＝2，OM＝2，所以cos ∠COM＝错误!＝错误!，所以点M的横坐标为2×错误!＝错误!。
(2）设∠AOM＝θ，θ∈错误!，则∠BOM＝错误!－θ，S△MAB＝S△OAM＋S△OBM－S△OAB＝错误!×2×2错误!－错误!×2×2×错误!＝2错误!sin错误!－错误!，因为θ∈错误!，所以θ＋错误!∈错误!，所以当θ＝错误!时，△MAB的面积取得最大值，最大值为错误!。
思维升华化为y＝A sin（ωx＋φ）＋B的形式求最值时，特别注意自变量的取值范围对最大值、最小值的影响,可通过比较区间端点的取值与最高点、最低点的取值来确定函数的最值.角度2可化为y＝f(sin x)(或y＝f(cos x））型的最值问题【例1－2】函数y＝cos 2x＋2sin x的最大值为________.解析y＝cos 2x＋2sin x＝－2sin2x＋2sin x＋1。
设t＝sin x，则－1≤t≤1，所以原函数可以化为y＝－2t2＋2t＋1＝－2错误!错误!＋错误!，所以当t＝错误!时,函数y取得最大值为错误!。
答案错误!思维升华可化为y＝f(sin x）（或y＝f(cos x））型三角函数的最值或值域可通过换元法转化为其他函数的最值或值域。
【训练1】（1)（角度1)函数f(x)＝3sin x＋4cos x，x∈[0，π]的值域为________.(2)(角度2)若函数f(x)＝cos 2x＋a sin x在区间错误!上的最小值大于零，则a的取值范围是________.解析(1)f（x）＝3sin x＋4cos x＝5错误!＝5sin(x＋φ），其中cos φ＝错误!，sin φ＝错误!，错误!〈φ<错误!。
届数学一轮复习第四章三角函数解三角形第3节两角和与差的正弦余弦和正切公式教学案含解析
第3节两角和与差的正弦、余弦和正切公式考试要求 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3。
能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4。
能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.cos(α∓β）＝cos αcos β±sin αsin β。
tan(α±β)＝错误!。
2。
二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin αcos α.cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α。
tan 2α＝错误!。
3.函数f（α）＝a sin α＋b cos α（a,b为常数），可以化为f（α）＝错误!sin（α＋φ)错误!或f(α)＝错误!·cos（α－φ)错误!.[常用结论与微点提醒]1。
tan α±tan β＝tan（α±β）(1∓tan αtan β)。
2。
cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝错误!。
3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α）2，1－sin 2α＝(sin α－cos α）2，sin α±cos α＝错误!sin错误!。
诊断自测1。
判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1）两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.(）(2）存在实数α,β,使等式sin(α＋β）＝sin α＋sin β成立.（)（3）公式tan(α＋β）＝错误!可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β）(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立。
（)（4）存在实数α，使tan 2α＝2tan α。
2021年高考文科数学(人教A版)一轮复习讲义：第6讲第2课时正、余弦定理的综合问题
第 2 课时 正、余弦定理的综合问题角度一 计算三角形的面积与三角形面积有关的问题 （多维探究 ）（1）（2019高考全国卷n ）△ ABC 的内角nA ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若b = 6,a = 2c , B =-，则△ ABC 的面积为 _________ .（2）（2020福建五校第二次联考）在厶ABC 中，A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,已知 a 2+ b 2 — c 2= 3ab ,且 acsin B = 2 3sin 。
，则厶 ABC 的面积为 _______________ .【解析】（1）法一：因为a = 2c , b = 6, B = f 所以由余弦定理b 2= a 2 + c 2— 2accosB , 3 得 62= (2c)2+ c 2— 2X 2c X ccos 扌,得 c = 2 3,所以 a = 4 3,所以△ ABC 的面积n法二：因为 a = 2c , b = 6, B =-,所以由余弦定理 b 2= a 2+ c 2— 2accos B ,得 62= (2c)2 3 + c 2 — 2 x 2c x ccos 扌，得 c = 2 3 ,所以 a = 4 3 ,所以 a 2= b 2 + c 2 ,所以 A =(所以△ ABC 的面积S = 1x 2j 3x 6= 6筋.厂 a 2+ b 2— c 2 J 3ab 肃(2)因为a 2+ b 2— c 2= . 3ab ,所以由余弦定理得 cos C =莎=W b =2'又0 < Cv n ,所以C = f •因为acsin B = 2 Esin C ,所以结合正弦定理可得11n故 S* 1absin C =1x2.3sin6=求三角形面积的方法 S = ^acs in B =1 x 4 3 x 2 3 x sinabc = 2 3c ,所以 ab = 2 3.【答(1)6 .3_3 2_3 2 .(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；(2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键.角度二已知三角形的面积解三角形(2020湖南五市十校共同体联考改编) 已知a, b, c分别为△ ABC的内角A, B, C的对边，(3b —a)cos C= ccos A, c是a, b的等比中项，且△ ABC的面积为 3 2，贝U ab= _________ , a+ b= ________ .【解析】因为(3b—a)cos C = ccos A,所以利用正弦定理可得3sin Bcos C = sin Acos C1+ sin Ccos A= sin(A + C)= sin B.又因为sin B^0,所以cos C = 3,贝卩 C 为锐角，所以sin C = ^3~.由△ ABC的面积为3 , 2,可得gabsin C= 3 2,所以ab= 9•由c是a,11b的等比中项可得c2= ab,由余弦定理可得c2= a2+ b2—2abcos C,所以(a + b)2=~3ab= 33,所以a+ b= . 33.【答案】9 ■ 33已知三角形面积求边、角的方法(1) 若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；(2) 若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解.［注意］正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用.1. （2020济南市模拟考试)在厶ABC 中，AC = 5, BC = 10, cos A =等，则△ ABC 的面积为（）5A.QB. 5C. 10D四D. 2解析：选A.由AC= 5, BC = ,10, BC2= AB2+ AC2—2AC AB cos A,得AB2—4AB—5=0,解得AB = 5,而sin A = 1 —cos2A^55，故S ZABC =5X 5 X 寿5=号.选A.2. (2020长沙市统一模拟考试)已知△ ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且B + Casi n(A+ B)= csin —2 —.⑴求A;(2)若厶ABC的面积为.3,周长为8,求a.A解：⑴由题设得asin C = ccos^,由正弦定理得A sin Asin C= sin Ceos?,所以sin A = cos ?,所以2sinAcosA = cosA,所以sinA= *,所以A = 60°⑵由题设得^bcsin A= . 3,从而bc= 4.由余弦定理a2= b2+ c2—2bccos A,得a2= (b + c)2—12.13又 a + b + c= 8,所以a2= (8 —a)2—12,解得a = ~.三角形面积或周长的最值（范围）问题（师生共研）（2019高考全国卷川）△ ABC的内角A, _ _ , , 、，A+ C , . AB, C的对边分别为a, b, c.已知asin—厂 =bsin A.⑴求B;⑵若△ ABC为锐角三角形，且c= 1,求厶ABC面积的取值范围.、A+ C【解】⑴由题设及正弦定理得sin Asin~2 —= sin Bsin A.A+ C 因为sin A丸,所以sin—厂 =sin B.A + C B—B B B由A+ B + C= 180° 可得sin—= cos^,故cos? = 2sin?cos?.因为COSB M 0,故sinB = 2，因此B= 60°⑵由题设及⑴知厶ABC的面积S ZABC =丄…亠宀》口csin A sin (120 °-C) 羽1由正弦疋理得a= sin C =Sin~C =2tan~C+2.由于△ ABC为锐角三角形，故0 °A<90 ° 0°C<90 °由(1)知A+ C = 120°所以30°<C<90 ° 故2<a<2,从而^V S^BCV^3.因此，△ABC面积的取值范围是3,产8 2求有关三角形面积或周长的最值（范围）问题在解决求有关三角形面积或周长的最值（范围）问题时，一般将其转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解.题多解）（2020福州市质量检测）△ ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c.若角A , B ,C 成等差数列，且b = j.（1）求厶ABC 外接圆的直径； ⑵求a + c 的取值范围.解：⑴因为角A , B , C 成等差数列，所以2B = A + C ,n又因为A + B + C = n 所以B = 3.b 2根据正弦定理得，△ABC 的外接圆直径 2R = T~- == 1.sin B n⑵法一：由B = n 知A + C =竽，可得0 v Av ¥ 由⑴知厶ABC 的外接圆直径为1,根据正弦定理得 a b c= = = 1 sin A sin B sin C'所以 a + c = sin A + sin C 2n=sin A + sin 3 — Asin A + ； cos A2 nn n 5 n因为0vA v-3-,所以6v A+ 6v 孑sin 3- 1 n ,所以2< sin A+ 6 W 1，从而 #< . 3sin A+ 6 < 3,所以a+ c的取值范围是Y， 3 .n法二：由⑴知，B = 3，b2= a2+ c2—2accos B= （a+ c）2—3ac>（a + c）2—3* = 4（a+ c）2（当且仅当a = c时，取等号），因为b=¥,所以（a+ c）2 W 3，即a+ c W、.;3,又三角形两边之和大于第三边，所以丁<a+ c W 3,所以a+ c的取值范围是^3, . 3 .解三角形与三角函数的综合应用（师生共研）(2020湖南省五市十校联考)已知向量1 m= (cos x, sin x), n = (cos x, . 3cos x), x€ R，设函数f(x) = m n +(1) 求函数f(x)的解析式及单调递增区间；(2) 设a，b，c 分别为△ ABC 的内角A, B，C 的对边，若f(A) = 2, b+ c= 2 2,^ ABC1的面积为步，求a的值.1 n【解】(1)由题意知,f(x) = cos1 2x+ 3sin xcos x+ ~= sin 2x+ 6 + 1.n n n n n令2x+ 点€ —o+ 2 k n, o + 2k n , k € Z ,解得x€ —k n, a + k n , k€ Z,6 2 2 3 6n n所以函数f(x)的单调递增区间为—3+ k n, "+ k n , k€ Z.n(2)因为f(A)= sin 2A+ 6 + 1= 2,n所以sin 2A+ 6 = 1.因为0v A< n 所以6< 2A + n< 所以2A+ n= § 即A= £6 6 6 6 2 6标注条件，合理建模1 1由厶ABC 的面积S= ?bcsin A = ?,得bc= 2,又 b + c= 2 . 2 ,所以a2= b2+ c2—2bccos A = (b + c)2—2bc(1 + cos A),解得a= .3—1.解决三角函数的应用问题，无论是实际应用问题还是三角函数与解三角形相结合的问题，关键是准确找出题中的条件并在三角形中进行准确标注，然后根据条件和所求建立相应的数学模型，转化为可利用正弦定理或余弦定理解决的问题.△ ABC中的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知b= 2a—2ccos B.⑴求角C的大小；⑵求.3cos A+ sin B +寸的最大值，并求出取得最大值时角A, B的值.解：⑴法一：在厶ABC中，由正弦定理可知sin B= 2sin A—2sin Ccos B,又A+ B + C= n则sin A= sin( —(B + C)) = sin(B+ C),于是有sin B = 2sin(B + C)—2sin Ccos B = 2sin BcosC+ 2cos Bsin C—2sin Ceos B,整理得sin B= 2sin Bcos C,又sin B 丸，小1贝U cos C= 2，n 因为0<C< n则C = 3.a2+ c2—b2法二：由题可得b= 2a —2c -2ac整理得a2+ b2—c2= ab,1即cos C= 2，n因为0<C< n则C = 3.(2)由⑴知C=n，贝y B+n= n—A ,于是3cos A+ sin B+ 3 = 3cos A+ sin( —A)= . 3cos A + sin A = 2sin A+ 3 , 因为A = -3——B,所以0<A<-3n,所以3<A+n<nn n n故当A = 2时，2sin A+7的最大值为2,此时B=:.6 3 2［基础题组练］则厶ABC 的面积等于（ ）C . 9 D. |解析：选 B.因为 cos A =~47,则 sin A = 3,所以 S ZABC = 1 x bcsin A = ^^,故选 B. 2.在△ ABC 中，已知C = n b = 4, ABC 的面积为2^3,贝V c =（）3A. 2,7B. .7 C . 2 ,2D . 2.3解析：选 D.由 S = ^absin C = 2a x 于二 2.3,解得 a = 2,由余弦定理得 c 2= a 2+ b 2— 2abcos C = 12,故 c = 2 3.3. （2020河南三市联考）已知a , b , c 分别为△ ABC 三个内角 A , B , C 的对边，sin A : sin B = 1 ： •,3, c = 2cos C =・.3,则厶 ABC 的周长为（）A . 3+3 ,3B . 2 ,3C . 3 + 2 ,3D . 3+ . 3解析：选C.因为sin A : sin B = 1 :3,所以b =・，3a ,a 2 +b 2—c 2 a 2 +（寸da ） 2— c 2由余弦定理得cosC =2ab = 2a x 3a又c = . 3,所以a = . 3, b = 3,所以△ ABC 的周长为4. （2020湖南师大附中4月模拟）若厶ABC 的内角A , b = 2, c = 5, △ ABC 的面积 S=jcos A ，则 a =（）B. .5C. 13D . . 175 1 1 解析：选 A.因为 b = 2, c = 5, S = ^2cos A = ?bcsin A = . 5sin A ,所以 sin A =?cos A.「△ ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知 b = •, 7, c = 4,3 + 2 3,故选 C.B ,C 的对边分别为a , b , c ,且的面积为4 3,且2bcos A+ a= 2c, a + c= 8,则其周长为（）A. 10B. 12C. 8 + 3D. 8+ 2 31 解析：选B.因为△ ABC的面积为4二3,所以qacsin B = 4 3.因为2bcos A+ a = 2c,所以由正弦定理得2sin Bcos A+ sin A = 2sin C,又 A + B + C= n,所以2sin Bcos A + sin A = 2sin1 、Acos B + 2cos Asin B,所以sin A = 2cos B sin A,因为sin A工0,所以cos B =刁因为0< B<n所以B= n,所以ac= 16,又a+ c= 8,所以a= c= 4,所以△ ABC为正三角形，所以△ ABC 3的周长为3X 4= 12.故选B.6. _____________________________________________________________ 在△ ABC 中，A = ^, b2sin C = 4 2sin B,则厶ABC 的面积为___________________________________解析：因为b2sin C = 4.2sin B ,所以b2c=4 ,2b,所以bc= 4 .J2,1 1 2S^\BC= qbcsin A= 5x4,2 x = 2.答案：27. (2020江西赣州五校协作体期中改编)在厶ABC中，A =扌，b = 4 , a = 2,3 ,贝V B= _________ ,△ ABC的面积等于________ .bsin A4X sin3解析：△ ABC中，由正弦定理得sin B= —a —=--------- = 1.又B为三角形的内角，所以B=才,所以c= b2- a2= 42-( 2 .'3) 2= 2 ,1所以S ZABC = 2X 2^3= 2.3.答案：才2 3sin A 5c的对边，且B为锐角，若赢=畐,sin解析：由sinA =5c?a= 5c?a=5c ① sin B 2b b 2b 2c,①4 ,b的值为S A ABC= ^4^,则&在△ ABC 中，a , b,c分别是内角A , B ,厂厂由S A\BC = ?acsin B = ~且sin B =：得~ac= 5 ,联立①，②得a = 5,且c = 2. 由sin B=J 且B 为锐角知cos B =3443由余弦定理知 b 2= 25+ 4 — 2X 5X 2X 4= 14, b = .14. 答案：• 1439.在△ ABC 中，/ A = 60° c = 7a.⑴求sin C 的值；⑵若a = 7,求厶ABC 的面积.3解：⑴在厶ABC 中，因为/ A = 60° c = 7a ,csin A 3 x/33\[3所以由正弦定理得sin C = —7— =玄—=荷3. 3⑵因为a =乙所以c = 7X7= 3.1 由余弦定理 a 2= b2 + c 2—2bccos A 得 72 = b 2 + 32— 2b X 3 X -, 解得b = 8或b =— 5(舍).所以△ ABC 的面积 S = ^bcsin A = *X 8X 3X^ = ^3.10. (2020福建五校第二次联考)在厶ABC 中，角A , B , C 的对边分别是 a , b , c ，且 3 acos C = (2b — . 3c)cos A.(1)求角A 的大小；⑵若a = 2，求△ ABC 面积的最大值.解：(1)由正弦定理可得，3sin Acos C = 2sin Bcos A — 3sin Ccos A , 从而.3s in (A + C) = 2si n Bcos A ,即.3sin B = 2sin Bcos A.n又A 为三角形的内角，所以A = 6.⑵由余弦定理 a 2= b 2+ c 2— 2bccos A ,得 4 = b 2 + c 2— 2bc X 牙 >2bc — , 3bc , 1所以bc w 4(2 + .3),所以S MBC = ^bcsin A < 2 + .3,故厶ABC 面积的最大值为 2+ .3.又B 为三角形的内角,所以sin B 丸,于是cos A =1 5 2亦所以sin2A +cos2A= 4cos2A +cos2A= 4cos2A =1.易得cos A=T.所以a2= b2+c2-2bccos A= 4+5- 2x 2x 5x^= 9- 8= X 所以a= 1.故选A.5. （2020开封市定位考试）已知△ ABC的内角A, B , C的对边分别为a , b , c , △ ABC。
高考数学复习考点知识讲解课件25 解三角形应用举例
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测量距离问题的求解策略 (1)确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量 放在另外三角形中求解． (2)确定选用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
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即 DE＝si1n0705s°itna4n51°5°＝sin17050°×sincs4oi5ns°1155°°＝sin17050°s×inss4ii5nn°1755°°＝10s0insi1n54°5°.
又 sin15°＝sin(45°－30°)＝
6－ 4
2，所以 DE＝10s0insi1n54°5°＝100(
图形表示
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图形表示 例：(1)北偏东 α：
方向角
正北或正南方向线与目标 方向线所成的__锐__角__，通
常表达为北(南)偏东(西)α
(2)南偏西 α：
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术语意义
图形表示
术语 名称
术语意义
在目标视线与水平视线(两者在
同一铅垂平面内)所成的角中， 仰角与俯角 目标视线在水平视线__上__方__的
叫做仰角，目标视线在水平视线 _下__方__的叫做俯角
图形表示
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术语 名称
方位角
术语意义
从某点的指北方向线起按 _顺__时__针__方向到目标方向线 之间的夹角叫做方位角．方 位角 θ 的范围是0_°_≤__θ_<_3_6_0_°
2021届高考数学一轮复习第五章三角函数解三角形第3节两角和与差的正弦余弦和正切公式含解析
第3节两角和与差的正弦、余弦和正切公式考试要求掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式.知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.cos（α∓β）＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.tan(α±β)＝错误!。
2.有关公式的逆用、变形等(1）tan α±tan β＝tan(α±β）(1∓tan αtan β）。
（2)tan αtan β＝1－错误!＝错误!－1.3。
式子f(α）＝a sin α＋b cos α（a，b为常数),可以化为f（α)＝错误! sin（α＋φ）错误!或f(α）＝错误!·cos（α－φ）错误!.特别地，sin α±cos α＝错误!sin错误!.［常用结论与易错提醒]1.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”. (1)变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角;(2）变名：尽可能减少函数名称;（3)变式:对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等。
2。
运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差角的相对性，要注意“1"的各种变通.如tan错误!＝1，sin2α＋cos2α＝1等。
3。
在(0，π)范围内，sin α＝错误!所对应的角α不是唯一的.4。
在三角求值时,常需要确定角的范围.诊断自测1。
判断下列说法的正误.(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的。
(）（2)存在实数α,β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立。
(）（3)在两角和、差的正切公式中，使两端分别有意义的角的范围不完全相同。
（）(4）公式tan（α＋β）＝错误!可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β）(1－tan αtan β），且对任意角α，β都成立。
()解析（4)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠π2＋kπ，k∈Z.答案(1）√（2)√（3）√（4）×2.（2019·全国Ⅰ卷)tan 255°＝（）A.－2－错误!B.－2＋错误!C.2－错误!D。
高考数学一轮总复习第四章三角函数与解三角形 3三角恒等变换第2课时三角恒等变换的综合应用课件
sin cos − cos sin = 0，即sin − = 0.因为B, ∈ 0, π ，所以 = .故
△ 为等腰三角形.故选B.
【点拨】利用三角恒等变换判断三角形的形状，主要是考虑三角形内角和为180∘ ，
结合诱导公式与和、差、倍角公式进行推断.
变式4 在△ 中，若sin − = sin ，则△ 是(
又sin =
10
= − ，所以cos
10
5
2 5
，所以cos =
.
5
5
− =
所以sin = sin [ − − ]
= sin cos − − cos sin −
=
5
3 10
×
5
10
π
4
−
2 5
×
5
所以 = .故选C.
−
10
10
=
2
.
2
3 10
.
10
= + − = − + 等.②变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的
目的，其方法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等.③变式，根据式子的结构特征进行变形，
使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其方法通常有“常值代换”（如1 =
π
tan ,
4
1 = sin 2 + cos 2 )“逆用变换公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等.其中角
+ =
4
− .
5
3
5
于是sin = sin [ + − ] = sin + cos − cos( + )sin = ×
高考数学一轮总复习第四章三角函数与解三角形 6正弦定理余弦定理课件
（1）证明： .
（2）若,，求 的周长.
解：（1）证明：因为 ，所以 .所以 .所以,即,所以 .（2）因为,所以由（1）得 .由余弦定理，得 ，则，所以 .故 ，所以.所以的周长为 .
考点二 判断三角形的形状
例3 对于 ，有如下命题：①若，则 为等腰三角形；②若，则 为直角三角形；③若，则 为钝角三角形.其中所有正确命题的序号是____.
A. B. C. D.
√
解：对于A，由正弦定理，有，原式仅当 时成立,故A错误.对于B，因为，故，原式仅当 时成立,故B错误.对于C，，由余弦定理 ,得,原式仅当 时成立,故C错误.对于D，由正弦定理,可得，即 ，故D正确.故选D.
2.在中，角,,的对边分别为,,，已知，， ，则角 ( )
第四章 三角函数与解三角形
4.6 正弦定理、余弦定理
掌握余弦定理、正弦定理，并能用它们解决简单的实际问题.
【教材梳理】
1.正弦定理、余弦定理 在中，若角,,所对的边分别是,,，为 外接圆的半径，则
类别
正弦定理
余弦定理
文字语言
在一个三角形中，各边和它所对角的_______的比相等
考点四 与三角形面积有关的问题
例5 （2023年全国甲卷）记的内角,,的对边分别为,,，已知
（1）求 ；
（2）若，求 的面积．
解：（1）因为 ，所以，解得 ．（2）由正弦定理,可得 ，即 ，即 .因为，所以 .又 ，所以 .故的面积为 ．
【点拨】三角形面积计算问题要选用恰当公式，其中 等公式比较常用,可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化.
A. B. C. D.
高考数学第一轮基础复习 同角三角函数的基本关系及诱导公式课件
解法 2：设 tanα1＝185，α1 为锐角， 如图在 Rt△ABC 中，由 tanα1＝185， 设 AC＝8，BC＝15，则 AB＝17， ∴sinα1＝187，
∵α 为第二象限角，∴sinα>0，从而 sinα＝187. 解法 3：∵α 是第二象限角，∴sinα>0，排除 B、D， 又 tanα＝csionsαα＝－185，由勾股数组 8,15,17 知排除 A， ∴选 C.
已知
tan2α ＝ － 2
2
，
且
满
足
π 4
<α<
π 2
，
则
2cos2α2－sinα－1 2sinπ4＋α
的值为(
)
A. 2
B．－ 2
C．－3＋2 2
D．3－2 2
解析：2cos22sα2i－nπ4si＋nαα－ 1＝csionsαα＋－csoinsαα＝1ta－nαta＋nα1. 又 tan2α＝－2 2＝1－2tatannα2α
cos2
sin2
＝sinα2＋cosα2 －sinα2－cosα2
α2为第二象限角 α2为第四象限角
∴原式＝± 2sinα2＋π4. 答案：± 2sinα2＋π4
利用诱导公式进行化简求值
[例 3] 设 f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋α)，其中 a，b，
α∈R，且 ab≠0，α≠kπ (k∈Z)．若 f(2009)＝5，则 f(2010)
答案：C
点评：本题中由 sinθ＋cosθ＝ 32－1两边平方扩大了 θ 的取值范围会引起增解，必须结合 0<θ<π 与 0<sinθ＋ cosθ<1 得出π2<θ<π，进而得出|sinθ|>|cosθ|来去掉增解 tanθ ＝－ 33，故变换时必须要等价，使用不等价变换时，一 定要检验．