最新数学建模题目及其答案(疾病的诊断)
华为杯数学建模b题
华为杯数学建模B题的分析与解答一、问题理解B题是关于传染病模型的问题，这种模型在公共卫生领域有着广泛的应用。
问题中详细描述了一种传染病的传播过程，并要求我们建立相应的数学模型来预测该疾病的传播趋势。
二、模型建立根据问题描述，我们可以将该疾病的传播过程分为三个阶段：感染阶段、传播阶段和恢复阶段。
在感染阶段，易感者接触到病原体并被感染；在传播阶段，感染者将疾病传播给其他人；在恢复阶段，感染者身体痊愈并获得免疫力。
我们可以用一个三维数组来表示该地区的人群，其中每个元素代表一个个体。
我们将时间作为第三个维度，表示疾病的传播过程。
在每个时间点，我们可以通过模拟每个个体的行为来更新人群状态。
具体步骤如下：1. 初始条件：初始时，有一部分人易感（未感染），一部分人已经感染但未传播，还有一部分人已经恢复。
易感人群的数量可以用数组中的一个元素来表示，感染人群的数量用另一个元素来表示，恢复人群的数量用最后一个元素表示。
2. 传染过程：在每个时间步长内，易感人群接触到感染者后有一定概率被感染。
感染者的传染率取决于其病情和接触者的免疫力。
我们可以通过概率转移矩阵来模拟这个过程。
3. 恢复过程：感染者在一段时间内会康复并获得免疫力。
在这个过程中，我们也需要考虑疫苗接种等因素的影响。
根据上述步骤，我们可以建立一个传染病模型的模拟系统。
通过不断地更新状态，我们可以得到疾病的传播趋势。
三、模型验证为了验证模型的正确性，我们可以使用历史数据或其他类似疾病的数据来进行对比分析。
如果模拟结果与实际情况基本一致，则说明模型是有效的。
同时，我们还可以通过调整参数和条件来观察模型的表现，从而不断完善和优化模型。
四、结论和建议通过以上分析和建模过程，我们可以得出以下结论：1. 建立传染病模型的目的是为了预测疾病的传播趋势，为相关部门提供决策依据。
2. 模型的有效性取决于数据的准确性和参数的合理性，因此需要不断优化和完善模型。
3. 在疫情控制方面，除了建立数学模型外，还需要采取一系列有效的防控措施，如加强宣传教育、做好个人防护、实施隔离治疗等。
数学建模疾病的确诊
题目：疾病确诊问题的实证研究【摘要】人们到医院就诊时，其是否患肾炎一般要通过化验人体内各种元素的含量来协助医生的诊断。
为了更好地解决实际问题，我们建立了logistic回归模型、决策树模型以及判别分析。
logistic回归又称logistic回归分析，主要在流行病学中应用较多，比较常用的情形是探索某疾病的危险因素，根据危险因素预测某疾病发生的概率等。
本文中通过题设给出的两组人体内各种元素的含量，一组是有肾炎组，一组是非肾炎组，这里的因变量就是是否有肾炎，即“是”或“否”，为两分类变量，自变量包括a,CZn,，通过logistic回归分析，就可以大致了解到Fe,K,u NMg,Ca,底哪些因素是判定肾炎的关键因子。
决策树是一种倒立的树结构，它由内部节点、叶子节点和边组成。
构造决策树的目的是找出属性和类别间的关系，一旦这种关系找出，就能用它来预测将来未知类别的记录的类别。
判别分析又称“分辨法”，是在分类确定的条件下，根据某一研究对象的各种特征值判别其类型归属问题的一种多变量统计分析方法。
【关键字】Logistic回归、决策树、多元统计分析、判别分析1、问题重述人们到医院就诊时，通常要化验一些指标来协助医生的诊断。
诊断就诊人员是否患肾炎时通常要化验人体内各种元素含量。
表1是确诊病例的化验结果，其中1－30号病例是已经确诊为肾炎病人的化验结果；31－60号病例是已经确定为非肾炎病人的结果。
表2是就诊人员的化验结果。
需要解决的问题：(1)、根据表1中的数据，给出一种或多种简便的判别方法，判别是否属于肾炎患者的方法，并检验你的方法的正确性；(2)、按照(1) 中给出的方法，对表2中的30名就诊人员的化验结果进行判别，判定他们是否肾炎病人；(3)、能否根据表1的数据特征，确定哪些指标是关系到人们患肾炎的主要或关键因素，以便减少化验的指标；(4)、根据(3) 中的结果，重复(2) 的工作；(5)、对(2) 和(4) 的结果作进一步的分析。
数学建模传染病模型例题
数学建模传染病模型例题（最新版）目录一、引言二、数学建模传染病模型的基本概念1.SEIR 模型2.SIS 模型3.SIR 模型三、数学建模传染病模型的例题1.模型假设2.模型建立3.模型求解四、结论正文一、引言随着全球化的发展，传染病的传播越来越引起人们的关注。
为了更好地预测和控制传染病的传播，数学建模传染病模型被广泛应用。
本文将以数学建模传染病模型为例，介绍相关的模型概念和例题。
二、数学建模传染病模型的基本概念（1）SEIR 模型SEIR 模型是传染病数学模型中最基本的模型之一，它将人群分为四类：易感者 (Susceptibles)、暴露者 (Exposed)、感染者 (Infectives) 和抵抗者 (Resistances)。
该模型假设人群数量不变，感染者会以一定的速率传染给易感者，同时易感者会以一定的速率转变为暴露者，暴露者在一定时间后转为感染者，感染者又会在一定时间后转为抵抗者。
（2）SIS 模型SIS 模型是 SEIR 模型的一种特殊形式，它将人群分为易感者(Susceptibles)、感染者 (Infectives) 和恢复者 (Recovered) 三类。
该模型假设易感者与感染者的接触会导致疾病传播，感染者会在一定时间后恢复为易感者，恢复者则具有免疫力。
（3）SIR 模型SIR 模型是另一种常见的传染病数学模型，它将人群分为易感者(Susceptibles)、感染者 (Infectives) 和恢复者 (Recovered) 三类。
与 SIS 模型不同的是，SIR 模型假设感染者会以一定的速率恢复为易感者，而恢复者则具有免疫力。
SIR 模型适用于短期传染病，例如流感。
三、数学建模传染病模型的例题假设某个地区有 10000 人，其中易感者占 80%，感染率为 0.01，恢复率为 0.9。
我们需要建立一个数学模型来预测疾病传播的过程。
（1）模型假设我们假设疾病传播满足 SEIR 模型，人群分为易感者、暴露者、感染者和恢复者四类。
数学建模-肿瘤诊断问题模型
肿瘤的诊断模型摘要本文对肿瘤的诊断问题，应用神经网络与模糊数学的理论，给出了几种乳房癌的量化诊断方案．首先，建立了LVQ神经网络模型，使用500组数据的前400组作为训练样本，用后100组数据对网络性能进行检测，诊断正确率达98%．然后对这500个特征向量进行了回归分析，从30个特征中筛选出了6个特征，它们分别是：细胞核直径均值、标准差和最坏值、紧密度的均值、面积的最坏值、周长的均值．并将以上6个特征用于LVQ网络，诊断正确率达95%．进一步考虑到神经网络与模糊数学各自的特点，将二者有机结合构造了神经模糊系统，并用以上的6个特征对系统进行训练，诊断正确率达96%．本文构造的模型具有良好的稳定性，对于模式识别问题具有很强的实用价值，最后本文提出了神经网络和模糊数学深层次结合的方向．一.问题的重述肿瘤通过穿刺采样进行分析可以确定其为良性或恶性．医学研究发现乳房肿瘤病灶组织的细胞显微图像的10个量化特征：细胞核直径，质地，周长，面积，光滑度，紧密度，凹陷度，凹陷点数，对称度，断裂度与该肿瘤的性质有密切关系．现有500个已确诊病例，每个病例的一组数据包括采样组织中各细胞核的这十个特征量的平均值，标准差和“最坏值”（各特征的3个最大特征的平均值）共30个数据．根据这500组数据建立诊断模型，并将其用于另外69名已做穿刺采样的患者．为节省费用发展一种只用此30个特征数据中的部分特征来区分乳房肿瘤是良性还是恶性的方法．二.问题的假设1．所给的500组病例具有广泛的代表性．2．500组病例所反映的良性与恶性的概率分布符合病例的自然分布．三.问题的分析本问题是一个典型的模式识别问题，要求根据它的特征量来进行分类．对于模式识别问题，现今有两类解决办法．一类是传统的线性模型．另一类是近年来发展起来的非线性模型．本题是一个典型的非线性问题，用传统的线性模型解决有一定的困难，而且识别率不高．所以非线性模型是解决此类问题的首选．现今常用的非线性模型有神经网络模型和模糊系统模型．神经网络由许多并行运算的简单单元组成，单个神经元的结构及其简单，但大量神经元相互连接组成人工神经元网络显示出人脑的某些特征：1）分布存储和容错性；2）大规模并行处理；3）自学习、自组织和自适应性；4）它并不是各单元行为的简单相加，而表现出一般复杂非线性动态系统的特性．神经元可以处理一些环境信息十分复杂、知识背景不清楚和推理规则不明确的问题，如乳房癌诊断问题．模糊集打破了传统的分明集只有0和1的界限，任意元素可同时部分地属于多个模糊子集，隶属关系用隶属的程度来表示．这更接近人的表述方式．模糊规则是定义在模糊集上规则，常采用“If-then ”（若…则…）的形式，可用来表示专家的经验、知识等．由一组模糊规则构成的模糊系统可代表一个输入、输出的映射关系．从理论上说，模糊系统可以近似任意的连续函数．模糊系统除了模糊规则外，还包括模糊逻辑推理和去模糊化的部分．由于模糊集能处理非定量的信息，因此在模式识别（尤其是具有模糊特点的识别问题）中模糊系统具有很大的优势，本题肿瘤的良性、恶性正是模糊概念，所以用模糊系统进行模式识别会得到很好的效果．为了避免量纲的影响，在应用数据之前对数据经行了标准化．标准化方法：用每个数据与整体均值的差除以整体标准差．四. 模型的建立与求解（一）神经网络模型学习向量量化(LVQ)是在监督状态下对竞争层进行训练的一种学习算法．LVQ 网络由一个竞争层和一个线性层组成．竞争层的神经元将输入向量分成组，由现行层组合到期望的类中．在任何给定的时刻，线性层的输出神经元只有一个非零输出1，该神经元就是竞争中得胜者．假定获胜的元为j N ，它之所以获胜的原因是它受到了最大的输入刺激，那么，j N 的总加权输入为i Ni ij j x S ∑==1ω其中，j S 表示j N 的状态，ij ω表示第j 个元到第i 个元的权值，i x 表示第i 个输入分量．其矩阵形式为j S j W x= 若元j N 获胜，就意味着{}k m k j W x W x},,2,1{max∈=若连接到每个输出层神经元的权向量 ),,,(21m k k k T k W W W W =都是规范化的，上式等价于{}Tk m k T j W x W x -=-∈},,2,1{min网络输入模式为k x 时，具有权向量T j W 与k x最近的元将获得竞争的胜利．若元j N 竞争获胜，将权值作如下调整()T j k T j W x W -=∆η （1）使获胜者的权向量向输入向量移近一小段距离，这使网络在遇到k x 或与k x接近的模式时，元j N 可以有更大的获胜可能性．若j N 在竞争中失败，将权值作如下调整()T j k T j W x W --=∆η （2）使权向离开样品的方向移动，这样就减小了错误分类的机会．在（1）、（2）式中，η表示学习率．在本模型中取η为0.01，取隐竞争层的神经元数为60，取输出层神经元数为2，并规定输出（0，1）为良性，输出（1，0）为恶性．用前400组数据作训练样本，经过15000次迭代，两类样本的聚类情况如下图：用后100组数据对训练进行检测，诊断正确率达98%．对69组待定病例的诊断结果如下表：病例号类别病例号类别病例号类别病例号类别914862 B 917062 B B 924632 B91504 M 917080 B 919812 B 924934 B91505 B 917092 B 921092 B 924964 B915143 M M 921362 B 925236 B915186 B 91789 B 921385 B 925277 BB 917896 B 921386 B 925291 BB 917897 B 921644 B 925292 BB 91805 B 922296 B 925311 B915452 B B 922297 B 925622 M915460 M B 922576 B 926125 M91550 B 918192 B 922577 B 926424 M915664 B 918465 B 922840 B 926682 M915691 M 91858 B 923169 B 926954 M915940 B B 923465 B 927241 MB B 923748 B 92751 B916221 B M 923780 B916799 M 919537 B 924084 B916838 M 919555 M 924342 B为了节省费用，增加网络训练速度，考虑将所给的数据降维，用多元回归分析的逐步回归法对数据进行了回归分析，把30个特征做为自变量，因变量采用良性病例取值为0，恶性病例取值为1．逐步回归法避免了只将变量剔除就不再选入的缺点，它可以将变量反复选入、剔除，最终可得到一组最优权值，结果如下图所示：从30个特征中筛选出了6个特征，它们分别是：细胞核直径均值、标准差和最坏值、紧密度的均值、面积的最坏值、周长的均值．只用以上6个特征对网络进行训练，仍使用前400组数据作为训练，用后100组数据检验，诊断正确率达95%．对69组待定病例的诊断结果如下表：病例号类别病例号类别病例号类别病例号类别914862 B 917062 B B 924632 B91504 B 917080 B 919812 B 924934 B91505 B 917092 B 921092 B 924964 B915143 M M 921362 B 925236 B915186 B 91789 B 921385 B 925277 BB 917896 B 921386 B 925291 BB 917897 B 921644 B 925292 BB 91805 B 922296 B 925311 B915452 B B 922297 B 925622 M915460 M B 922576 B 926125 M91550 B 918192 B 922577 B 926424 M915664 B 918465 B 922840 B 926682 M915691 B 91858 B 923169 B 926954 M915940 B B 923465 B 927241 MB B 923748 B 92751 B916221 B M 923780 B916799 M 919537 B 924084 B916838 M 919555 M 924342 B五.神经模糊系统模型从映射角度看，模糊系统和神经网络都具有（非线性）函数近似的能力．它们有着以下的共同之处：（1）它们均可以从给定的系统输入/输出信号（数据）中，建立系统的（非线性）输入/输出关系．(2) 从数据处理的形式上看，它们均采用并行处理的结构．但是，模糊系统和神经网络有着明显的不同之处．神经网络虽然对环境的变化具有较强的自适应学习能力，但是从系统建模的角度而言，它采用的是典型的黑箱型的学习模式．因此当学习完成后，神经网络所获得的输入/输出关系无法用容易被人接受的方式表示出来．相反，模糊系统是建立在被人容易接受的“如果-则”表达方法之上，但如何自动生成和调整隶属度函数和模糊规则，则是一个很棘手的问题．因此，将模糊理论和神经网络有机结合起来，取长补短，提高整个系统的学习能力和表达能力，是目前这一领域最受人注目的课题之一．神经网络和模糊系统的等价性：[Kolmogorov 定理] 给定任意连续函数y x f R U f m n =→)(,:，这里U 是单位闭区间[0，1]，f 可以精确地用一3层前向网络实现，此网络的中间层（隐层）有2n+1个处理单元．[BP 定理] 给定任意0>ε和任意2L 函数m n R f →]1,0[:，存在一3层BP 网络，它可在任意ε平方误差精度内逼近f .[模糊系统的存在定理] 给定任意连续函数R U f n →:和任意0>ε，存在由（1）式定义的)(x g 使 ．神经网络和模糊系统各自本身就是一个非线性的输入/输出映射，因此模糊系统可以用一等家的神经网络来表示，同样，神经网络也可以用一等价的模糊系统来表示．基于神经网络的模糊系统：模糊系统采用高木-管野（Takagi-Sugeno Model ）(简称TS 模型)： 如果1x 为j A 1，和2x 为 ,2j A ，和n x 为j n A ，则)(x f y j =输入变量的联合隶属函数和结论部的函数f j (x)都用神经网络来求得．模糊规则的个数由减法聚类方法得到，聚类参数如下：Range of influence: 0.3 Squash factor: 1.1 Accept factor: 0.6 Reject ratio: 0.15神经网络采用前向的BP 网络，神经元的传递函数为Sigmoid 函数，输出层采用线性函数．网络结构如下图所示：由于系统的结构比较复杂，用30维的数据进行训练十分缓慢，只用了前面已提取出的6个特征对系统进行了训练，得到了神经模糊系统．用后100组数据进行检验，诊断正确率达96%．六.模型的进一步讨论神经网络和模糊系统的融合大致有两种形式：一种是用神经网络生成模糊系统的隶属函数和模糊规则来构造模糊系统，一种是使用模糊系统来初始化神经网络的初始权值来构造神经网络．二者都可用于模式识别，并都有良好的效果．但二者的特点又各不相同，第一种形式具有更加人性化的输出，便于构造专家系统，第二种形式有更好的自适应性．对于模型的进一步讨论可以考虑二者的进一步结合，可以让两种系统按并行或串行的方式结合到一起，前一种系统的输出作为后一种系统的输入，这样二者接替使用，最终由模糊系统输出结果，用于专家系统的分析．参考文献[1] 赵振宇、徐用懋，模糊理论和神经网络的基础与应用，清华大学出版社．[2] 袁曾任，人工神经元网络及其应用，清华大学出版社．[3] 叶其孝，大学生数学建模竞赛辅导教材，湖南教育出版社．[4] 施阳、李俊，MATLAB语言工具箱-TOOLBOX实用指南，西北工业大学出版社．[5] 徐昕、李涛、伯晓晨，MATLAB工具箱应用指南-控制工程篇，电子工业出版社．。
数学建模-指数函数模型的应用(含答案解析)
数学建模-指数函数模型的应用学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．观察实际情景，提出并分析问题（1）实际情景2022年2月，某地发生了新冠肺炎疫情，新冠肺炎是一种传染病，其传染过程的强度和广度分为：（1）散发：是指传染病在人群中散在发生；（2）流行：是指某一地区或某一单位，在某一时期内，某种传染病的发病率，超过了历年同期的发病水平；（3）大流行：指某种传染病在一个短时期内迅速传播、蔓延，超过了一般的流行强度；（4）暴发：指某一局部地区或单位，在短期内突然出现众多的同一种疾病的病人. 如果在新冠肺炎传染的过程中不认为介入，切断其传染链，则对整个社会经济的发展带来严重的后果.（2）提出问题如果没有人工干预，不同时间段内的病例数会按照怎样的规律进行增长呢，对于某个时间内新增的病例数是否可以预测，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失呢？（3）分析问题可以通过收集合适地区的新增病例数并结合建立适当的数学模型，找出病例数增长规律，并对一定时间后新增病例进行估计以支持卫生部门的防疫工作.2.收集数据利用互联网等信息技术，我们可以搜索到一些原始的数据.例如，我们搜集到某地区一周内的累计病例数，请结合上述数据建立合理的数学模型，并估计第9天新增病例数.3．分析数据累计病例数是时间的函数，但没有现成的函数模型．因此，可以先画出散点图，利用图象直观分析这组数据的变化规律，从而帮助我们选择函数类型，散点图如图所示：当然，我们可以利用信息技术，通过函数拟合的方法来帮助选择适当的函数模型. 4．建立模型根据散点图的形状可设函数模型近似为e at y k =，利用表中的数据可求0.221000e t y =. 5．检验模型画出函数的图形，对比散点图，吻合度很好.6．问题解决该地区病例数y 与时间t 基本满足0.221000e t y =的函数关系，第9天时，预计新增病例数为：0.2291000e 7242y ⨯=≈，我们会发现累计病例数急剧增加，需卫生防疫部门及时介入，采取相应阻断措施.7．问题拓展在上述模型的建立的过程中，我们根据散点图选择了函数模型，然后利用其中的两个点求出模型的两个参数，随着点的选择的不同，所得函数的模型也相异，那么请同学利用课余时间思考如何评价不同模型的优劣？2．大气压强p =压力受力面积，它的单位是“帕斯卡”（Pa ，21Pa 1N/m =），已知大气压强()Pa p 随高度()m h 的变化规律是0e kh p p -=，0p 是海平面大气压强，10.000126m k -=．当地高山上一处大气压强是海平面处大气压强的13，求高山上该处的海拔．3．牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数型函数，若牛奶放在0℃的冰箱中，保鲜时间约是192h ，而在22℃的厨房中则约是42h.(1)写出保鲜时间y （单位：h ）关于储藏温度x （单位：℃）的函数解析式；(2)利用（1）中结论，指出温度在30℃和16℃的保鲜时间；（参考数据15110.125732⎛⎫ ⎪≈⎝⎭，81170.32832⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，精确到1h ）(3)运用上面的数据，作此函数的图象.二、单选题4．我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c （t ）（单位：mg/L ）随着时间t （单位：h ）的变化用指数模型()0e ktc c t -=描述，假定某药物的消除速率常数0.1k =（单位：1h -），刚注射这种新药后的初始血药含量02000mg/L c =，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L 时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（ ）（参考数据：ln20.693,ln3 1.099≈≈）A ．5.32hB ．6.23hC ．6.93hD ．7.52h 5．2021年，郑州大学考古科学队在荣阳官庄遗址发现了一处大型青铜铸造作坊．利用碳14测年确认是世界上最古老的铸币作坊．已知样本中碳14的质量N 随时间t （单位：年）的衰变规律满足5730012t N N ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭（0N 表示碳14原有的质量）．经过测定，官庄遗址青铜布币样本中碳14的质量约是原来的2至34，据此推测青铜布币生产的时期距今约多少年？（）（参考数据：2log 3 1.6≈） A ．2600年 B ．3100年 C ．3200年D ．3300年参考答案：1．略【详解】略2．约为8719m 【分析】解方程001e 3kh p p -=即可得解. 【详解】解：由001e 3kh p p p -==可得ln3kh -=-，可得()ln 38719m h k =≈. 3．(1)22719232x y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭()0x(2)储藏温度为30C ︒保鲜时间约24小时；储藏温度为16C ︒保鲜时间约为63小时．(3)图象见解析【分析】（1）设(0x y k a k =≠，0a >且1)a ≠，则利用牛奶放在0C ︒的冰箱中，保鲜时间约为192h ，放在22C ︒的厨房中，保鲜时间约为42h ，即可得出函数解析式； （2）将30x =与16x =代入函数解析式，求值即可；（3）根据函数解析式画出函数草图．（1）解：设(0x y k a k =≠，0a >且1)a ≠，则有2219242?k k a =⎧⎨=⎩，∴1221927()32k a =⎧⎪⎨=⎪⎩，22719232xy ⎛⎫∴=⋅ ⎪⎝⎭()0x ．（2）解：30x =时，30227192()3242y =≈，即储藏温度为30C ︒保鲜时间约24小时；16x =时，16227192()6332y =≈，即储藏温度为16C ︒保鲜时间约为63小时．（3）解：因为22719232x y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭()0x ，函数图象如下所示：．4．C【分析】利用已知条件()0.100e e 200kt t t c c --==，该药在机体内的血药浓度变为1000mg/L 时需要的时间为1t ，转化求解即可.【详解】解：由题意得：()0.100e e 200kt t t c c --==设该要在机体内的血药浓度变为1000mg/L 需要的时间为1t()10.1120001000e t t c -=≥10.12e 1t -≥ 故0.1ln 2t -≥-，ln 2 6.930.1t ≤≈ 故该新药对病人有疗效的时长大约为6.93h故选：C5．A【分析】根据题意列出不等式，求出22922865t <<，从而求出正确答案.57300001324t N N N ⎛⎫<⋅< ⎪⎝⎭，解得：22922865t <<，故选A. 故选：A。
数学建模题目心脏病的判别
心脏病的判别
问题背景
心脏是维持全身血液循环的最重要器官。
由于现代人不正确的饮食和运动习惯等因素，心脏病患者人数逐年上升，心脏病已经成为威胁人类生命的十大疾病之一，除了老年人，中青年也成为心脏病猝死的高危人群。
年轻人的心脏病突发往往没有明显先兆，突然发作时很危险，心脏病的病因很多，有时很难判断一个人是否患有心脏病。
问题数据
附录二是到某医院做心脏病检测的一些确诊者的生理指标数据。
（指标A，B,…M的含义见附录一，指标N表示是否确诊为心脏病以及患病的程度）
需解决问题
问题一：根据附录二中的数据，提出判别心脏病以及患病程度的方法，并检验你提出方法的正确性。
问题二：按照问题一提出的方法，判断附录三中的44名就诊人员的患病情况。
问题三：能否根据附录二的数据特征，确定哪些指标是影响人们患心脏病的关键或主因素，以便减少化验的指标。
问题四：根据问题三的结果，重复问题二的工作，并与问题二的结果对比作进一步分析。
肾炎的诊断数学建模
肾炎的诊断摘要本文研究的问题是通过检测人体内各种元素的含量，来诊断就诊人员是否患有肾炎。
我们首先将健康的和患病的人群的体内的相关元素的平均值用∑====B 301)0,1;7,...,2,1(301i ij iy y i x 计算出来,发现体内的元素含量的确和患病有必然的联系。
我们再利用Excel 软件中的logistic 模型对样本做了具体的分析。
( logistic 模型被广泛应用于病理学中,被作为病理学研究的常用模型) 发现各元素的含量与是否患有肾炎之间的确有一定关联，属于线性回归问题。
接着,计算出该线性方程的常量和系数从而完成模型的初步建立。
对于问题一，我们取1-60号为样本，建立线性回归模型，ii ii x b x b x b b x b x b x b b e e p +++++++++= (22110221101)以各元素的含量(1,2,3,4,5,6,7)i x i =为自变量，是否患有肾炎为因变量，用y 表示，当1y =时，表示患有肾炎；当0y =时，表示健康。
然后利用回归统计表、方差分析表、回归参数表中的数据进行分析，来衡量线性回归的拟合度，以及线性方程中各参数的显著性，发现其回归程度较好。
对60例受检者的数据进行判别，若p 大于0.5则判定为患病，若小于0.5则判定为健康。
结果正确率为93.33%。
对于问题二，我们利用问题一中建立的优化模型进行检验，将待诊断的30个病例中各元素的含量代入模型一中，计算出对应的p 值，然后和0.5进行比较，通过对数据分析处理：检验出61、62、64、65、66、68、69、71、72、73、75、76、79、83、85 号就诊人员患有肾炎；63、67、70、74、77、78、80、81、82、84、86、87、88、89、90 号就诊人员是健康的。
对于问题三，由问题一知,这七种元素的回归系数显著性由高到低顺序依次为Ca,Cu,Fe,Mg,Na,Zn,K 。
肾炎的诊断与分析方法 数学建模
摘要
医学上，肾炎的患病与否可以通过化验人体内各化学元素的含量来协助判 断。本文即是以人体内的七种化学元素的含量为基础指标，分别用 Logistic 回归 分析法，Fisher 二类判别法和 BP 人工神经网络法三种方法建立判定模型，并进 行正确率检验，以比较得到肾炎的最佳诊断方法。 通过分析表 B.1 中的数据， 我们选取了 11~30 号患者和 41~60 号健康人的数 据作为样本，进行采样分析，建立模型。然后利用剩余的 1~10 号患者和 31~40 号健康人的数据对三种模型进行正确率检验。 问题一：依模型我们提出了三种判别方法。综合建立的模型和最终检验的正 确率，我们绘制了如下的结果对比表格： 多因素影响二分 Fisher 二类判别 BP 人工神经网络模 类变 Logistic 回 模型 型 归分析判定模型 正确率 90% 95% 100%
1
0.06
2
-1.829
3
4
5
6
7
0.033
0
107.876
-1.048 -0.046 -0.044 -0.047
求解过程见（附录 2） 由此可以得到 Logistic 回归方程为：
Log it P 107.876 0.06x1 1.829 x2 1.048 x3 0.046 x4 0.044 x5 0.047 x6 0.033x7
Hale Waihona Puke x1 x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 表示， 将就诊人员分为两种情况， 即患病与健康，P(Y 0) 表
示患病的概率， P(Y
1) 表示健康的概率。Logistic 回归模型意在对响应变量 Y
5
取 0 或 l 两个值的概率建立模型并进行比较。由此，只需确立一定的概率判别准
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数学建模疾病的诊断现要你给出疾病诊断的一种方法。
胃癌患者容易被误诊为萎缩性胃炎患者或非胃病者。
从胃癌患者中抽取5人（编号为1-5），从萎缩性胃炎患者中抽取5人（编号为6-10），以及非胃病者中抽取5人（编号为11-15），每人化验4项生化指标：血清铜蓝蛋白（X）、1蓝色反应（X）、尿吲哚乙酸（3X）、中性硫化物（4X）、测得数据如表1 2所示：表1. 从人体中化验出的生化指标根据数据，试给出鉴别胃病的方法。
论文题目：胃病的诊断摘要在临床医学中，诊断试验是一种诊断疾病的重要方法。
好的诊断试验方法将对临床诊断的正确性和疾病的治疗效果起重要影响。
因此，对于不同疾病不断发现新的诊断试验方法是医学进步的重要标志。
传统的诊断试验方法有生化检测、DNA检测和影像检测等方法。
而本文则通过利用多元统计分析中的判别分析及SPSS软件的辅助较好地解决了临床医学中胃病鉴别的问题。
在临床医学上，既提高了临床诊断的正确性，又对疾病的治疗效果起了重要效果，同时也减轻了病人的负担。
判别分析是在分类确定的条件下，根据某一研究对象的各种特征值判别其类型归属问题的一种多变量统计分析方法。
其基本原理是按照一定的判别准则，建立一个或多个判别函数，用研究对象的大量资料确定判别函数中的待定系数，并计算判别指标。
首先，由判别分析定义可知，只有当多个总体的特征具有显著的差异时，进行判别分析才有意义，且总体间差异越大，才会使误判率越小。
因此在进行判别分析时，有必要对总体多元变量的均值进行是否不等的显著性检验。
其次，利用判别分析中的费歇判别和贝叶斯判别进行判别函数的建立。
最后，利用所建立的判别函数进行回判并测得其误判率，以及对其修正。
本文利用SPSS软件实现了对总体间给类变量的均值是否不等的显著性检验并根据样本建立了相应的费歇判别函数和贝叶斯判别函数，最后进行了回判并测得了误判率，从而获得了在临床诊断中模型，给临床上的诊断试验提供了新方法和新建议。
关键词：判别分析；判别函数；Fisher判别；Bayes判别一问题的提出在传统的胃病诊断中，胃癌患者容易被误诊为萎缩性胃炎患者或非胃病患者，为了提高医学上诊断的准确性，也为了减少因误诊而造成的病人死亡率，必须要找出一种最准确最有效的诊断方法。
为诊断疾病，必须从人体中提取4项生化指标进行化验，即血清铜蓝蛋白、蓝色反应、尿吲哚乙酸、中性硫化物。
但是，从人体中化验出的生化指标，必须要确定一个精准的指标来判断疾病所属的类型。
设想，使用判别分析法，利用SPSS 软件对各个变量进行系统的分析，使该问题得到有效地解决。
二、问题的分析由题意可知，目的就是为了建立一种模型，解决医学上的这种误诊问题。
在该问题中，必须确定血清铜蓝蛋白、蓝色反应、尿吲哚乙酸、中性硫化物与胃癌、萎缩性胃炎的关系。
衡量该四项指标的数学要点必然是相应的标准差、方差、均值等，同时，会建立一个或几个函数分析其间关系的正相关或负相关，即其具有一定的相关性，然后利用所给数据求解出一定的数学模型表达式，便可求解出胃病的鉴别方法。
三、符号的说明X1：血清铜蛋白X2：蓝色反应X3：尿吲哚乙酸X4：中型硫化物N：被调查的样本数Wilks的lambda：组内平方和与总平方和之比（当所有观测的组均值相等时，Wilks的lambda值为1；当组内变异与总变异相比小时，Wilks的lambda值接近于0。
因此，Wilks的lambda值大，表示各个组的均值基本相等；Wilks的lambda小表示组间有差异。
在判别分析中，只有组均值不等时，判别分析才有意义）F：F值，F分布中的统计检定值df：自由度sig.：统计显著性，即出现目前样本的机率P：p值四、问题的假设1.该四项生化指标是分别可以测得的。
2.每个生化指标都不是其他三个指标的线性组合，即两两之间无相关性。
3.被抽取的三类人员中彼此没有任何血缘关系。
4.除了本题研究的疾病外，被调查的人员无任何疾病。
五、模型的建立根据以上的分析，回忆所学的知识，发现该问题符合判别分析法的要求，因此可以用判别分析法来求解，其中，判别分析法可以分为：距离判别法、Fisher 判别法、Bayes 判别法等。
SPSS 软件是统计分析软件之一，它可以进行各种统计分析工作。
另外，它所具有的强大的图形输出功能，使运行该软件不仅可以得到各种数字分析结果，还可以得到各种直观、清晰、漂亮的统计图形。
从而利用软件SPSS ，将所有的数据输入进去，便可以得到协方差矩阵、自由度、p 值、均值、标准差等与该问题相关的有利于分析问题的数据及图形。
现在主要利用Fisher 判别法、Bayes 判别法来处理该问题。
Fisher 判别法的基本思想： 从k 个总体中抽取具有p 个指标的样品观测数据，借助方差分析的构造一个线性判别函数：1122()p p U u X u X u X '=+++=X u X L ，其中系数),,,(21'=p u u u Λu 确定的原则是使得总体之间区别最大，而使每个总体内部的离差最小。
有了线性判别函数U 后，对于一个新的样品，将它的p 个指标值代入以上线性判别函数式中求出()U X 值，然后根据判别一定的规则，就可以判别新的样品属于哪个总体。
Bayes 判别法的基本思想：设有k 个总体k G G G ,,,21Λ，其各自的分布密度函数)(,),(),(21x x x k f f f Λ互不相同的，假设k 个总体各自出现的概率分别为k q q q ,,,21Λ（先验概率），0≥i q ，11=∑=ki i q 。
假设已知若将本来属于i G 总体的样品错判到总体j G 时造成的损失为)|(i j C ，k j i ,,2,1,Λ=。
在这样的情形下，对于新的样品X 判断其来自哪个总体。
通过这两种方式利用软件SPSS 来求解，得出的数据在分析比较后，就可以得出结果。
六、模型的求解1.spss操作步骤如下（1）建立数据文件在数据窗口中输入上入待分析的数据。
（2）按顺序单击分析→分类→判别菜单项，如图-1所示，系统弹出判别分析的对话框，如图-2所示图-1 先选择菜单进入判别分析对话框注：X1：血清铜蛋白X2：蓝色反应X3：尿吲哚乙酸X4：中型硫化物（3）选择参与判别分析的变量及其他相关设置1）分组变量框：从左侧选入分类变量“类型”于分组变量框中。
2）定义范围按钮：定义分类变量的取值范围。
单击分类变量按钮，系统弹出一个对话框，如图-3所示。
最小值输入1，最大只输入3.完成设置后，单击继续按钮，返回判别分析主对话框，见图-2.图-2 判别分析的主对话框图-3 指定分类变量范围对话框3）自变量列表框：从左侧的变量列表将参与判别分析的变量“X1—X4”于其中，如图-4所示。
4）一起输入变量单按钮：表示选择所有变量参与判别分析，如图-4所示。
图-4（4）判别分析的统计输出设置。
单击统计量按钮，系统弹出一个对话框，如图-5所示。
图-5 判别分析的统计输出设置1）描述性框：描述统计量选项组，包括3个复选框项，复选均值复选框和单变量复选框。
如图-5所示均值复选框：各类中个变量的均值、标准差和各自变量总样本的均值、标准差；单变量复选框：变量均值的单因子差异假设实验。
2）函数系数框：判别函数系数选项组，复选Fisher复选框和未标准化复选框，如图-5所示。
Fisher复选框：给出贝叶斯判别函数的系数。
未标准化复选框：给出未标准化的Fisher判别函数的系数。
（5）指定判别分析的有关参数及有关输出结果设置。
单击分类按钮，系统弹出一个对话框，如图-6所示。
图-6 指定参数与结果对话框1）先验概率框：先验概率选项组，包括两个单选项，单选所有组相等框如图-6所示。
所有组相等框：个二类先验概率相等。
2）输出框：分类结果选项组，包括三个复选项，复选个案结果、摘要表和不考虑该个案时的分类复选框如图-6所示。
个案结果复选项：对每个样品输出判别函数值、实际类、预测类和后验概率。
摘要表复选项：输出分类小结，给出正确分类的样品数、错分样品数和错分率。
不考虑该个案时的分类复选项：交叉验证的判别分类结果。
3）使用协方差矩阵框：分类使用的协方差矩阵，单选在组内单选项如图-6所示。
在组内单选项：使用合并类内协方差矩阵。
4）图框：复选合并组、分组和区域图复选框如图-6所示。
合并组复选项：使出包括各个类的散点图。
分组复选项：每类输出一个散点图。
区域图复选项：输出领域图。
所有设置完成后，单击继续按钮返回判别分析主对话框。
图-7 建立新变量对话框（6）单击保存按钮，系统弹出一个对话框，复选预测组成员、判别得分和组成员概率复选项如图-7所示。
1）预测组成员复选项：根据判别函数的值，按后验概率计算预测分类结果。
2）判别得分复选项：建立判别函数值变量。
3）组成员概率复选项：建立新变量，表明每一个样品属于某一类的概率。
所有设置完成后，单击继续按钮返回判别分析主对话框。
（7）上述设置完成后，单击确定按钮进行判别分析，得到输出结果。
七、模型的结果（1）描述性输出图-8图-8表示有效样本及样本变量的实际情况。
图-9由图-9可知显著水平X2、X3最大，而X1、X4显著水平最小。
但是由于判别变量间可能相互关联，仅单独检验是不够的。
但是通过将X1和X4分别与X2和X3联合后发现，他们对判别的提高有很大的贡献。
x3 .0700 .01871 5 5.000x4 .1360 .07537 5 5.0003 x1 151.0000 33.80089 5 5.000x2 121.4000 13.01153 5 5.000x3 .0500 .01871 5 5.000x4 .0900 .06782 5 5.000合计x1 167.5333 48.47513 15 15.000x2 128.9333 21.04915 15 15.000x3 .0860 .05221 15 15.000x4 .1420 .10094 15 15.000图-10上表（图-10）表示各组变量的描述统计情况，给出了各个类型的均值、标准差等统计量。
通过这些数据，可以大致了解3种类型在这4个指标上的差异。
（2）判别函数的检验“特征值”（图-11）表格给出了两个典型判别函数所能解释的方差变异，其中第一个函数解释了所有变异的93.5%，第二个函数解释了余下的6.5%。
因而第二个函数的相对重要性远远小于第一个函数。
“Wilks的lambda”（图-12）表格用来检验各个判别函数有无统计学上的显著意义，根据该表反应的值，这些数据表明，第二个判别函数对判别组仍有显著贡献（犯错概率为60.5%）。
（3）典型判别式函数摘要标准化的典型判别式函数系数函数12 x1 .382 .011 x2 .567 -.861 x3 .673 .633 x4.296.515图-13 图-14“标准化的典型判别式函数系数”表格（图-13）是两个判别函数中各个变量的标准化系数，由此可以判断各个函数主要受那些变量的影响；“结构矩阵”（图-14）给出的是判别变量和标准化判别函数之间的相关性数据，同样可以用来判断各个函数受那些判别变量的影响最大。