第三章 习题讲解

、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2π）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。

求
（1）证明X(t)是平稳过程。

（2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。

（3）画出该随机过程的一个样本函数。

（1）
（2）
3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为
232
()(16)
X G ωω=
+，求：①该过程的平均功率？ ②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？
解
[][]()[]2
()cos 2
11
,cos 5cos 22
X E X t E A E t B A B R t t EA τττ
=++=⎡⎤⎣⎦+=+=+与相互独立
()()()2
1
521()lim 2T
T
T E X t X t X t X t dt A T -→∞⎡⎤=<∞
⇒⎣⎦==⎰是平稳过程
()()[]()
()41122
11222222
2
4
2'
4(1)24()()444(0)4
1132
(1
)2244144
14(2)121tan 132
24X X X
E X t G d R
F
G F e R G d d d arc x x τ
τωωωωω
ππωωπωωπω
π
ωω∞
----∞∞
-∞-∞∞--∞∞
⎡⎤⨯⎡⎤==⋅=⋅⎢⎥+⎣⎦
====+==⎛⎫+ ⎪==
⎣⎦=
++⎝⎭
=⎰
⎰⎰⎰⎰P P P P 方法一()
方：时域法取值范围为法二-4,4内(频域的平均率法功)
2
d ω
=
3-7如图3.10所示，系统的输入()X t 为平稳过程，系统的输出为()()()Y t X t X t T =--。

证明：输出()Y t 的功率谱密度为()2()(1cos )Y X G G T ωωω=-
[][]:
()[()()]
{()()}{()(}2()()()
()()()()
()2(()[)()(()()]()())Y X X X Y X X Y Y Y X X X Y Y j T j T R E Y t Y t E X t X t T X t X t T R R R R E Y t Y t G F R T T e e G R G R G G G G ωωτττττωτωττωττττωωωω-⇒⇒=+=--+-+-=--=+=-⇔⇔∴=-+-=已知平稳过程的表达式
利用定义求利用傅解系统输入输出立叶平变稳
换的延时特性
2()2()22()(1cos )
j T j T X X X e e G G G T ωωωωωω-⎡⎤
+-⎢⎥⎣⎦=-
3-9 已知平稳过程()X t 和()Y t 相互独立，它们的均值至少有一个为零，功率谱密度分别为
2
16
()16
X G ωω=+
22()16
Y G ωωω=
+
令新的随机过程
()()()()()()
Z t X t Y t V t X t Y t =+⎧⎨=-⎩ ①证明()X t 和()Y t 联合平稳； ②求()Z t 的功率谱密度()Z G ω？ ③求()X t 和()Y t 的互谱密度()XY G ω？ ④求()X t 和()Z t 的互相关函数()XZ R τ？ ⑤求()V t 和()Z t 的互相关函数()VZ R τ 解:
()()4124(1)()()()2[()]()0[()]0()2[()]0
()()(,)[()][()]0()()(2)()()()
()[()()]
[()()][()X X X Y XY Z X t Y t R F G e E X t R E X t R e
E Y t X t Y t R t t E X t E Y t X t Y t Z t X t Y t R E Z t Z t E X t Y t X t τ
τ
τωτδττττττ---==∞=⇒=⎡⎤⎣⎦=-⇒=∴+=⋅+=⇒=+=+=++ 、都平稳＝与与联合独平立
稳
[][]{}
2214||
()]()()()()
()0
()()()
16
()()()1
16
(3)()0()0
(4)()[()()]()()()()()
()[()]2(5)(X YX XY Y XY Z X Y Z X Y XY XY XZ X XY X X VZ Y t R R R R R R R R G G G R G R E X t Z t E X t X t Y t R R R F G e R ττττττττττωωωωωτωτττττττωτ--++=+++=∴=++∴=+==+=→==+=+++=+=== {}4||
)[()()]
[()()][()()]()()()4X Y E V t Z t E X t Y t X t Y t R R e ττττττδτ-=+=-+++=-=+-
3-11 已知可微平稳过程()X t 的自相关函数为
2()2exp[]X R ττ=-，其导数为()()Y t X t '=。

求互谱密
度()XY G ω和功率谱密度()Y G ω？
Ⅰ.平稳过程 维纳－辛钦定理
()1
()F X X F
G R ωτ- Ⅱ.2-17 已知平稳过程()X t 的均方可导，()()Y t X t '=。

证明
(),()X t Y t 的互相关函数和()Y t 的自相关函数分别为
Ⅲ.傅立叶变换的微分性质
2
2
2222
2222
222
27928exp 24
:()[()][2]4
()()()()4
()()()()2)(X X XY X XY X Y X
Y X t e e
e
t P G F R F e R j j R G G e R R G G e τωττσωωτσωωττωωωωττωωσωω-⎛⎫
⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⇔⎧⎫⎧⎫
-⇔-⎨⎬⎨-
===-
'===⋅-
''=-=-⎬
⎩⎭⎩⎭
⋅高斯脉冲表第解利用傅立叶变换的＝个微分特性22()
()
()()X
X XY Y dR d R R R d d τττττ
τ
==-
3-17 已知平稳过程()X t 的物理功率谱密度为
()4X F ω=，
①求()X t 的功率谱密度()X G ω和自相关函数
()X R τ？画出(),(),()X X X F G R ωωτ的图形。

②判断过程()X t 是白噪声还是色噪声？给出理由
(
)(1
()()2,)22
()2()
[()]()0()X X X X X G F R E X t X G t F U ωωωδτωτωω-∞=
===<=⋅∴<∞
=物理功率谱密度 定义式，是白噪声。

白噪声的定义
若平稳随机过程的均值为零，功率谱密度在整个频率轴(,)-∞+∞上均
匀分布，满足 (3-1)
其中0N 为正实常数，则称此过程为白噪声过程，简称白噪声。

01
()2
N G N ω
=dt '。