土力学第3章- 土的本构关系
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土力学第3章- 土的本构关系
（5） （6）
求a: 将公式（1）式 1 3
a b a
a
求导，切线模量Et为：
Et
1 3 a a a b a 2
（7）
令εa＝0，则原点的切线模量，即初始切线模量为：
Ei
R
1 a
1
（8） 代入（1）、（7）式（消去a、b)，
( 1 3 ) ult
1 b
（4）
若土样破坏时的偏应力（即强度）为（σ1－σ3）f，令Rf等于破坏时的偏应 力与极限值之比，称为破坏比：
Rf
Rf （4）式代入（5）式得（消去偏应力极限值）：b 1 3 f
1 3 f 1 3 ult
2.八面体应力与应变的计算公式
可导出：
八面体法向应力
八面体剪应力
0 ( 1 2 3 ) ( x y z )
0
1 3 1 3
1 3
1 3
1 3 2 2 3 2 3 1 2
2 2 2 x
1 3
a
a b a
（ 2）
3.非线形弹性模型
1 3 a
a b a
应力－应变双曲线函数 公式（1）还可以改成：
双曲线函数坐标变换
1 3
1 a
（3）
a
b
1 3
1 a
a
通过求a、b得到弹性模量E. 求b:
b
当轴向应变εa→∞时，偏应力趋向一极限值（σ1-σ3）ult
对于加工硬化材料，屈服应力是随着荷载的提高与变形的增大而提高的。 屈服面不同于破坏面，它不是一个固定的面,图中由A点提高到B点。
土的本构关系——读书报告
邓肯-张模型的发展与特点目前描述土的应力——应变关系的数学模型有很多种，包括弹性和弹塑性两大类。
非线性弹性模型中，邓肯—张(Duncan —Chang)模型应用最为广泛的，它包括邓肯—张E-μ模型和修正后的邓肯E- B 模型，即Duncan 等提出的体积模量代替弹性模量的模型。
1、邓肯—张E-μ模型1.1 双曲线应力应变关系邓肯—张E-μ模型是邓肯等人根据大量一般土的三轴试验13()~a σσε-曲线关系而拟合出的一种应力应变关系的双曲线模型，是一种目前广泛应用的增量弹性模型。
它能反映岩土体变形的非线性特征，也可以体现应力历史对变形的影响。
13aaa b εσσε-=+ （1）式中，a 、b 为试验常数。
在常规三轴压缩试验中，1a εε=，13aaa b εσσε-=+可以写成下式：1113a b εεσσ=+- （2）将常规三轴压缩试验的结果进行整理可以得到1113~εεσσ-的关系式如下式所示：1113a b εεσσ=+- （3）由上式可以看出：1113~εεσσ-二者近似成线性关系（见图1），将实测的113εσσ-和1ε绘制在同一坐标下即可得到两个实验常数a 、b ： a 为直线的截距，b 为直线的斜率。
ε1/(σ1-σ3)1-σ3)ult图11113~εεσσ-线性关系图1.2 初始模量E i在试验的起始点，即当应变很小时，由式(1)可得初始模量E i 为：1i E a=（4） 即a 为初始弹性模量的倒数。
而当1ε→∞时，由式(1)可得到应力的极限值——右侧限抗压强度为：131()ult bσσ-=（5） 由此可以看出b 代表的是双曲线的渐近线所对应的极限偏差应力13()ult σσ-的倒数。
在土的试样中，如果应力应变曲线近似于双曲线关系，则往往是根据一定的应变值（如115%ε=）来确定土的强度13()f σσ-，而不可能在试验中使1ε无限大，求取13()ult σσ-；对于有峰值点的情况，取1313()()f σσσσ-=-峰，这样1313()()f σσσσ-<-ult 。
土体本构模型ppt
量。第三个分量常取应力罗德（Lode）参数
＝
2－ 3 － 1
1－ 3
2
＝
2
2－ 1－ 1－ 3
3
式中 2－ 3 ，1 2 ，1 3 为三个应力摩尔圆的
直径，见图5-3
还有一个参数b也反映了中主应力接近大主应力的程度。
1 3
1 2 2 2 3 2 3 1 2
＝
2q 3
它们分别与应力分量p和q有关。而点M在 π面内的方
位可反映第三个分量。将图5-4中的三个主应力坐标轴，以
及代表应力状态的点M 投影到 π面上，如图5-5所示。
§1.应力和应变
在该面上放一个二维
的直角坐标系，令Y轴与
xz yz
ij
zx zy z
在进行公式推导时，一般尽量用一种表示方 法：矩阵或张量，不宜混用
§1.应力和应变
（2）张量表示法
偏应力张量
Sij
x
yx
p
zx
xy y p
zy
xz yz
z p
注意：在进行公式推导时，一般尽量用一种表示方法： 矩阵或张量，不宜混用
3
1 2 3
1
2
一应力不变量Ｉ１相结合形成三个独立的应力分量：
第二偏应力不变量 ：
第三偏应力不变量 ：
表示一点应力状态的方法？？
§1.应力和应变
（二）应力空间和应力路径
1．应力和应变空间
为了表示应力状态，表示各应力分量的数值，常常以应 力分量为坐标轴形成一个空间，叫做应力空间。该空间内 的一点的几个坐标值就是相应的应力分量。
第3章 土的动本构关系
• 其中非弹性部分：
ε
• p ij
=γ
∂f Φ( F ) ∂σ ij
2012-2-21
广东工业大学岩土工程研究所
35
3.6 计入应变率效应的本构理论
2012-2-21 广东工业大学岩土工程研究所 21
3.3.3 Iwan模型
弹塑性元件中的应力始终等于屈服应力。根据模型的构成 特性，在全部受荷过程中，所有弹塑性元件的应变始终相 等，其应力视各弹簧的刚度和摩阻片的屈服水平的不同而 不同。 • 2.串联模型 这类模型受荷时，每个弹塑性元件所受的力是相同的， 但它们的变形不同。弹簧只有在对应的摩阻片屈服时才能 产生变形，并继续承担新的荷载。
30
3.6 计入应变率效应的动本构理论
• 2.粘塑性模型 • • • （1） Bingham模型 （2） Hohenemser-Prager方程 （3） Perzna方程
2012-2-21
广东工业大学岩土工程研究所
31
3.6 计入应变率效应的本构理论
• 1、 粘弹性模型：
• （1）Maxwell模型（弹、粘性原件串联）： • （2）Kelvin模型（弹、粘性原件并联）： • 一般的组合形式：
• 三个基本力学元件：弹性元件，粘性元件和塑性元件。 • 弹性元件：动应力应变关系曲线为过坐标原点的一条斜 直线，直线的斜率取决于弹性元件的弹性模量E，应力应 变关系曲线内的面积等于零。 • 塑性元件：动应力应变曲线为一个矩形，应力应变曲线 内的面积等于矩形的面积。
2012-2-21
广东工业大学岩土工程研究所
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10
3.2 土的动本构关系特点
• 关系曲线将是一个滞回圈。如将不同周期动应力作用 的最大周期剪应力±τm和最大周期剪应变±γm绘出， 即得到各应力应变滞回圈顶点的轨迹，称为土的应力 应变骨干曲线。骨干曲线反映了动应变的非线性，滞 回曲线反映了应变对应力的滞后性。 • 骨干曲线表示最大剪应力与最大剪应变之间的关系。 滞回曲线表示某一个应力循环内各时刻剪应力与剪应 变的关系，二者共同反映了应力应变关系的全过程。
6. 土的本构关系(2)
若各主应力的大小不确定，则为6个面,它们 在主应力空间构成不等角的六角锥面。
特点：破坏与2无关，三轴压缩和 伸长具有相同强度。
试验表明，3相同情况下，伸长试验所 得的强度常高于压缩试验测得的强度。
7/22
1.2 常用破坏准则
（4）拉德一邓肯（Lade - Duncan）准则 根据砂土真三轴试验提出
12/22
3.硬化规律
当材料达到屈服后，屈服的标准将发生改变，即k值发生变化。 k值随何种因素而变，如何变化，即为硬化规律。
k F (H )
H为硬化参数，包括 塑性变形或塑性功
屈服准则： f ( ij ) k F ( H ) 或： f ( ij , H ) 0
硬化型
软化型
理想塑性
15/22
4.流动法则
屈服函数和硬化规律 判别屈服的标准以及屈服后这个标准如何发展
流动规则：达到屈服以后应变增量各分量之间按什么比例变化
用于确定塑性应变增量方向的假定。
几个概念
塑性势：塑性变形即塑性流动，与其他性质的流动一样，可以看成是由于某种 势的不平衡所引起的，这种势称为塑性势。 米塞斯(Mises)类比弹性应变增量可以用弹性位势函数对应力微分来表示的概 念，提出了塑性势理论：
主要硬化参数：
(1) 塑性功Wp
W p ij d e ijp W p pd e vp qd e sp
在p-q坐标系可表示为 (2) 塑性体积应变 e v
p
以塑性体积应变为硬化参数相应的屈服面总是“帽 子”形的，能较好地反映土体的体积变形特征。
14/22
(3) 塑性偏应变 e s
1 ea p e v
ep ln p0 ln pa 得到 e 1 ea 1 ea
特点：破坏与2无关，三轴压缩和 伸长具有相同强度。
试验表明，3相同情况下，伸长试验所 得的强度常高于压缩试验测得的强度。
7/22
1.2 常用破坏准则
（4）拉德一邓肯（Lade - Duncan）准则 根据砂土真三轴试验提出
12/22
3.硬化规律
当材料达到屈服后，屈服的标准将发生改变，即k值发生变化。 k值随何种因素而变，如何变化，即为硬化规律。
k F (H )
H为硬化参数，包括 塑性变形或塑性功
屈服准则： f ( ij ) k F ( H ) 或： f ( ij , H ) 0
硬化型
软化型
理想塑性
15/22
4.流动法则
屈服函数和硬化规律 判别屈服的标准以及屈服后这个标准如何发展
流动规则：达到屈服以后应变增量各分量之间按什么比例变化
用于确定塑性应变增量方向的假定。
几个概念
塑性势：塑性变形即塑性流动，与其他性质的流动一样，可以看成是由于某种 势的不平衡所引起的，这种势称为塑性势。 米塞斯(Mises)类比弹性应变增量可以用弹性位势函数对应力微分来表示的概 念，提出了塑性势理论：
主要硬化参数：
(1) 塑性功Wp
W p ij d e ijp W p pd e vp qd e sp
在p-q坐标系可表示为 (2) 塑性体积应变 e v
p
以塑性体积应变为硬化参数相应的屈服面总是“帽 子”形的，能较好地反映土体的体积变形特征。
14/22
(3) 塑性偏应变 e s
1 ea p e v
ep ln p0 ln pa 得到 e 1 ea 1 ea
土的本构结构
土的本构关系土体是天然地质材料的历史产物。
土是一种复杂的多孔材料,在受到外界荷载作用后,其变形具有以下特性：①土体的变形具有明显的非线性,如:土体的压缩试验e～p 曲线、三轴剪切试验的应力—应变关系曲线、现场承载板试验所得的p～s曲线等; ②土体在剪切应力作用下会产生塑性应变,同时球应力也引起塑性应变; ③土体尤其是软粘土,具有十分明显的流变特性;④由于土体的构造或沉积等原因,使土具有各向异性; ⑤紧砂、超固结粘土等在受剪后都表现出应变软化的特性; ⑥土体的变形与应力路径有关,证明不同的加载路径会出现较大的差别; ⑦剪胀性等。
为了更好地描述土体的真实力学—变形特性,建立其应力、应变和时间的关系,在各种试验和工程实践经验的基础上提出一种数学模型,即: 土体的本构关系。
自从Roscoe等人首次建立了剑桥模型以来, 土的本构关系的研究经历了一个蓬勃发展的阶段, 出现了一些具有实用价值的本构模型。
虽然很多的理论为建立土的本构关系提供了有力的工具, 但是由于土是一种三相体材料, 在性质上既不同于固体也不同于液体, 是介于两者之间的特殊材料, 所以人们常借助于固体力学或流体力学理论, 同时结合工程实践经验来解决土工问题, 从而研究土的本构关系形成了自己一套独特的方法—半理论半经验的方法。
建立一个成功的本构关系关键有两点：第一要建立一个函数能较好地反映土在受力下的响应特征；第二要充分利用试验结果提供的数据比较容易地确定模型参数。
模型都需要满足以下基本条件：（1）不违背更高一级的基本物理原理（如热力学第一、第二定律）。
（2）建立在一定的力学理论基础之上（如弹性理论、塑性理论等）。
（3）模型参数能够通过常规试验求取。
从工程应用的角度出发，研究问题的精度就需要进行合理的控制，从而在计算精度与计算设备、计算难度、计算时间以及计算成本之间获得平衡。
另外，任何理论、方法都应以实践应用为目的，这样才具有价值。
综合上述两点，从工程应用的角度去分析各种土的本构关系是非常有必要的。
土的本构
• （2）Hohenemser-Prager方程：
ij
e ij
p ij
F 2 2 F ij
p ij
2015/10/16
广东工业大学岩土工程研究所
34
3.6 计入应变率效应的本构理论
• (3)Perzyna方程：
1 1 2 ij S ij ij 2G E
30
3.6 计入应变率效应的动本构理论
• 2.粘塑性模型
• • • （1） Bingham模型 （2） Hohenemser-Prager方程 （3） Perzna方程
2015/10/16
广东工业大学岩土工程研究所
31
3.6 计入应变率效应的本构理论
• 1、 粘弹性模型：
• （1）Maxwell模型（弹、粘性原件串联）：
2015/10/16
广东工业大学岩土工程研究所
26
3.4 土的动力屈服、破坏条件及本构理论
• 1、土的动力屈服：砂土与粘土的区别 • • 屈服条件 强化现象
•
强化条件、加载条件
• 2、破坏条件 • 3、屈服条件与破坏条件的关系
•
•
特例：理想塑性状态
（1）应变率效应：⑴不计～；⑵计入～
• 4、土的动本构理论分类
2015/10/16 广东工业大学岩土工程研究所 29
3.6 计入应变率效应的本构理论
2
据此可建立土的动本构关系，
包括粘弹性和粘塑性两类：
• 1.粘弹性模型 • • （1）加载速度单调增加的粘弹性模型 （2）Maxwell和Kelvin模型
2015/10/16
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ij
e ij
p ij
F 2 2 F ij
p ij
2015/10/16
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3.6 计入应变率效应的本构理论
• (3)Perzyna方程：
1 1 2 ij S ij ij 2G E
30
3.6 计入应变率效应的动本构理论
• 2.粘塑性模型
• • • （1） Bingham模型 （2） Hohenemser-Prager方程 （3） Perzna方程
2015/10/16
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31
3.6 计入应变率效应的本构理论
• 1、 粘弹性模型：
• （1）Maxwell模型（弹、粘性原件串联）：
2015/10/16
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26
3.4 土的动力屈服、破坏条件及本构理论
• 1、土的动力屈服：砂土与粘土的区别 • • 屈服条件 强化现象
•
强化条件、加载条件
• 2、破坏条件 • 3、屈服条件与破坏条件的关系
•
•
特例：理想塑性状态
（1）应变率效应：⑴不计～；⑵计入～
• 4、土的动本构理论分类
2015/10/16 广东工业大学岩土工程研究所 29
3.6 计入应变率效应的本构理论
2
据此可建立土的动本构关系，
包括粘弹性和粘塑性两类：
• 1.粘弹性模型 • • （1）加载速度单调增加的粘弹性模型 （2）Maxwell和Kelvin模型
2015/10/16
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土的本构模型ppt课件
本构关系的定义
土的本构关系
1 概述
体积力 面力 静(动) 力平衡
应力
本构方程
位移
几何 相容
应变
本构关系在应力应变分析中的作用
土的本构关系
1 概述
传统土力 学分析方法
变形问题 （地基沉降量）
稳定问题 （边坡稳定性）
• 弹性理论计算应力 • 压缩试验测定变形参数 • 弹性理论+经验公式计算变形
• 土体处于极限平衡状态 • 滑动块体间力的平衡 • 刚体+理想塑性计算安全系数
常用的三个应力不变量
土的本构关系
2 应力和应变 – 应变
与应力的情况相似
体应变 广义剪应变 应变洛德角
v k k 1 2 3 I 1
3 2(12)2(23)2(31)2
tg
22 1 3 3(1 3)
应变
土的本构关系
3 土的应力变形特性
土的应力变形特性
基本特性
非线性 压硬性 剪胀性 摩擦性
第二章 土的本构关系
2.5 土的弹塑性模型的一般原理
屈服函数 (yield function, yield equation))
屈服准则的数学表达式
一般应力状态 fij,H0
• 对于弹塑性模型；H是塑性应变的函数
屈服准则与屈服面
土的本构关系
5 土的弹塑性模型的一般原理
1) f<0 屈服面之内，只产生弹性应变
土的基本变形特性- 剪胀性
土的本构关系
3 土的应力变形特性
饱和重塑粘 土应力比与 塑性应变增 量比的关系
试验规律 剪胀方程
-4
-3
-2
q 1.5 p
1
0.5 0
土的本构关系
1 概述
体积力 面力 静(动) 力平衡
应力
本构方程
位移
几何 相容
应变
本构关系在应力应变分析中的作用
土的本构关系
1 概述
传统土力 学分析方法
变形问题 （地基沉降量）
稳定问题 （边坡稳定性）
• 弹性理论计算应力 • 压缩试验测定变形参数 • 弹性理论+经验公式计算变形
• 土体处于极限平衡状态 • 滑动块体间力的平衡 • 刚体+理想塑性计算安全系数
常用的三个应力不变量
土的本构关系
2 应力和应变 – 应变
与应力的情况相似
体应变 广义剪应变 应变洛德角
v k k 1 2 3 I 1
3 2(12)2(23)2(31)2
tg
22 1 3 3(1 3)
应变
土的本构关系
3 土的应力变形特性
土的应力变形特性
基本特性
非线性 压硬性 剪胀性 摩擦性
第二章 土的本构关系
2.5 土的弹塑性模型的一般原理
屈服函数 (yield function, yield equation))
屈服准则的数学表达式
一般应力状态 fij,H0
• 对于弹塑性模型；H是塑性应变的函数
屈服准则与屈服面
土的本构关系
5 土的弹塑性模型的一般原理
1) f<0 屈服面之内，只产生弹性应变
土的基本变形特性- 剪胀性
土的本构关系
3 土的应力变形特性
饱和重塑粘 土应力比与 塑性应变增 量比的关系
试验规律 剪胀方程
-4
-3
-2
q 1.5 p
1
0.5 0
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1 1 3 f 2
称为应力水平。
根据摩尔－库仑破坏准则：
sin
1 1 3 f 3 c cos 2 sin
（12）
1 3 f
2c cos 2 3 sin 1 sin
代入（11）式
Et 1 R f S Ei
1 3
2
2
1 3
2
sin
2
1
2 1 2 sin 2 2 3 2 3
2 3 1 3 1 sin
Rf a 1 Ei 1 3 f
a
代入（10）
Et
1 Ei 1 Rf a Ei 1 3 f
2
式：
（消去轴向应变 a ）
Et 1 R f S Ei
2
（11）
其中
S
1 3 1 3 f
f
i
3 pa
（18） G、F－试验常数。
代入（17）式
t
3 f 1 1 1d 2
3 G F lg p a t 1 1d 2
利用（1）式最后可得到：
(19)
3 G F lg p a t 1 A2
( 1 3 ) ult
1 b
（ 4）
若土样破坏时的偏应力（即强度）为（σ1－σ3）f，令Rf等于破坏时的偏应 力与极限值之比，称为破坏比：
Rf
Rf （4）式代入（5）式得（消去偏应力极限值）：b 1 3 f
1 3 f 1 3 ult
（2－13）
3 1 2ct
2 3 2ct
（2－14）
1 3 2ct
如果有一个式子为等号时，则材料进入塑性状态。 或
2c .
2 2 1 2 t
3 1 2ct 0 2 3 2ct .
（2－8） （2－9）
M 0 3K
剪切模量
G
0 E （2－10） 0 2(1 )
3.强度理论
达到强度条件时的应力轨迹线称为强度包线。主要强度理论有三种。
3.1 最大八面体剪应力强度理论，也叫V.Mises条件
当八面体剪应力τ0达到极限值c0时，就是破坏条件。
0 c0
强度包络面为不通过原点 的不等顶角的六边形锥面。
3.强度理论
三种破坏条件的比较
§2. 土的应力－应变关系
1．材料的应力－应变关系
材料的应力－应变关系
2．土的三轴压缩试验应力－应变曲线 基本形态
常用土工试验仪
直剪仪 单向固结仪 常规三轴压缩（σ2＝σ3）试验 仪
非常规试验仪
（2－3）
0
1 2 0 E
或
0
E 0 1 2
（2－4）
八面体弹性模量
M0
E 1 2
（2－5） （2－6）
31 2 v 1 2 3 0 E
0 E V 3 1 2
体积弹性模量
K
（2－7）
E 31 2
μt推导
ε1与ε3的关系为双曲线：
1
f d 3
3
（16）
f、d为两个待定常数。
3 f d 3 1
3 f 1 1 1d
3 f t 1 1 1d 2
（17）
过原点的初始切线泊桑比为
i f
初始切线泊桑比与σ3有如下关系
i G F lg
2.八面体应力与应变的计算公式
可导出：
八面体法向应力
八面体剪应力
0 ( 1 2 3 ) ( x y z )
0
1 3 1 3
1 3
1 3
1 3 2 2 3 2 3 1 2
2 2 2 x
n
（20）
式中
A
3 kpa p a
1 2c cos 2 sin 3
1 3 d 2 R f 1 sin 1 3
Duncan－Chang模型其有8个参数：c、φ、Rf、k、n、d、F、G,试验
3.3 散体极限平衡理论，也叫Mohr－ Coulomb条件
破坏时的最大与最小主应力之间的关系有
max K P min
（ 1 K P 3）（2－17）
K P tg 2 45 2
KP－按朗肯理论的被动土压力系数，
1 1 sin 3 1 sin
2
消去S后
R f 1 sin 1 3 Et 1 Ei 2c cos 2 3 sin
2
（13）
试验常数：Rf、c、φ、Ei
3 Ei kP a P a
n
（14）
Lg Ei～lg σ3为一直线，截距k，斜率n
1 3
a
a b a
（2）
3.非线形弹性模型
1 3 a
a b a
应力－应变双曲线函数 公式（1）还可以改成：
双曲线函数坐标变换
1 3
1 a
（3）
a
b
1 3
1 a
a
通过求a、b得到弹性模量E. 求b:
b
当轴向应变εa→∞时，偏应力趋向一极限值（σ1-σ3）ult
i
f 将（6）式 b 、（8）式 a 1 3 f 得到
E
1 3
Rf a 1 Ei 1 3 f
a
（9）
Et
1 Ei 1 Rf a Ei 1 3 f
2
（10）
（9）式
1 3
为3组常规三轴压缩试验.
Duncan－Chang模型试验常数 上海粉 质粘土 c 0 φ 39.0 Rf 0.68 k 125 n 0.52 d 8.48 F -0.127 G -0.16
（2）K－G模型
用体积模量k与剪切模量G代替E、μ。
八面体应力的基本公式： 应力与应变关系为：
1 0 1 2 3 3 1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 0 3 v 1 2 3
（5） （6）
求a: 将公式（1）式 1 3
a b a
a
求导，切线模量Et为：
Et
1 3 a a a b a 2
（7）
令εa＝0，则原点的切线模量，即初始切线模量为：
Ei
R
1 a
1
（8） 代入（1）、（7）式（消去a、b)，
第三章 土的本构关系
§1. 八面体应力的基本知识
1.八面体及八面体应力的意义
边长为2的立方体，主应力σ1、σ2、σ3分别与x、y、z轴平行， a,b,c,d,e,f点为六个面的中心点。
把立方体六个面的中心点连接起来，就成为八面体单元。
1.八面体及八面体应力的意义
八面体应力和八面体应变：指八面体任意面上的法向应力σ0及剪应力 τ0；相应的法向应变ε0及剪应变γ0。他们分别是三个主应力σ1、σ2、 σ3和三个主应变的函数，能够综合反映空间应力状态。
即
塑性增量理论包括三个部分
① 屈服面理论
② 流动规则理论 ③ 加工硬化规律理论
①屈服面理论
在屈服面范围内，土体只发生弹性应变，超越屈服面则同时发生弹性和塑 性应变。
弹性变形与塑性变形
对于理想弹塑性材料，当应力的组合，使材料达到屈服状态时，就可以 认为是破坏了，屈服面与破坏面重合，同是一个固定的面。
对于加工硬化材料，屈服应力是随着荷载的提高与变形的增大而提高的。 屈服面不同于破坏面，它不是一个固定的面,图中由A点提高到B点。
0 K v 0 G 0
E 3(1 2 ) E G 2(1 ) K
0
2 3
1 2 2 2 3 2 3 1 2
4．弹塑性模型
（1）塑性增量理论
土的应变分为弹性应变εeij和塑性应变εpij，
e ij ij ijp
0
3.3 散体极限平衡理论，也叫Mohr－ Coulomb条件
强度包络面为通过 原点的不等顶角的 六边形锥面。
扩展了的Mohr－Coulomb条件
max KP min 2 KP c
或
1 1 sin 3 1 sin 2c cos
或
1 3
1 2 2 2 3 2 3 1 2 9c02
（2－11）
(
0
1 3 2 2 3 2 3 1 2
)
3.强度理论
强度包络面为一垂直于等倾斜面的圆柱面。
3.强度理论
如土的强度与八面体法向应力有关（扩展了的V.Mises条件）
2 2 2 2
（2－15）
3.2 最大剪应力强度理论，也叫Tresca条件
强度包络面是一个垂直 于八面体平面的正六角 柱体面，而屈服面在π
平面上的轨迹是一个正
六边形。
Tresca扩展情况：
max 0tgt
max [ct 0tgt ]
（2－16）
相应的强度包络面为通过原点和不通过原点的正六角形锥面。
0 [c0 0tg ]
0 0tg
称为应力水平。
根据摩尔－库仑破坏准则：
sin
1 1 3 f 3 c cos 2 sin
（12）
1 3 f
2c cos 2 3 sin 1 sin
代入（11）式
Et 1 R f S Ei
1 3
2
2
1 3
2
sin
2
1
2 1 2 sin 2 2 3 2 3
2 3 1 3 1 sin
Rf a 1 Ei 1 3 f
a
代入（10）
Et
1 Ei 1 Rf a Ei 1 3 f
2
式：
（消去轴向应变 a ）
Et 1 R f S Ei
2
（11）
其中
S
1 3 1 3 f
f
i
3 pa
（18） G、F－试验常数。
代入（17）式
t
3 f 1 1 1d 2
3 G F lg p a t 1 1d 2
利用（1）式最后可得到：
(19)
3 G F lg p a t 1 A2
( 1 3 ) ult
1 b
（ 4）
若土样破坏时的偏应力（即强度）为（σ1－σ3）f，令Rf等于破坏时的偏应 力与极限值之比，称为破坏比：
Rf
Rf （4）式代入（5）式得（消去偏应力极限值）：b 1 3 f
1 3 f 1 3 ult
（2－13）
3 1 2ct
2 3 2ct
（2－14）
1 3 2ct
如果有一个式子为等号时，则材料进入塑性状态。 或
2c .
2 2 1 2 t
3 1 2ct 0 2 3 2ct .
（2－8） （2－9）
M 0 3K
剪切模量
G
0 E （2－10） 0 2(1 )
3.强度理论
达到强度条件时的应力轨迹线称为强度包线。主要强度理论有三种。
3.1 最大八面体剪应力强度理论，也叫V.Mises条件
当八面体剪应力τ0达到极限值c0时，就是破坏条件。
0 c0
强度包络面为不通过原点 的不等顶角的六边形锥面。
3.强度理论
三种破坏条件的比较
§2. 土的应力－应变关系
1．材料的应力－应变关系
材料的应力－应变关系
2．土的三轴压缩试验应力－应变曲线 基本形态
常用土工试验仪
直剪仪 单向固结仪 常规三轴压缩（σ2＝σ3）试验 仪
非常规试验仪
（2－3）
0
1 2 0 E
或
0
E 0 1 2
（2－4）
八面体弹性模量
M0
E 1 2
（2－5） （2－6）
31 2 v 1 2 3 0 E
0 E V 3 1 2
体积弹性模量
K
（2－7）
E 31 2
μt推导
ε1与ε3的关系为双曲线：
1
f d 3
3
（16）
f、d为两个待定常数。
3 f d 3 1
3 f 1 1 1d
3 f t 1 1 1d 2
（17）
过原点的初始切线泊桑比为
i f
初始切线泊桑比与σ3有如下关系
i G F lg
2.八面体应力与应变的计算公式
可导出：
八面体法向应力
八面体剪应力
0 ( 1 2 3 ) ( x y z )
0
1 3 1 3
1 3
1 3
1 3 2 2 3 2 3 1 2
2 2 2 x
n
（20）
式中
A
3 kpa p a
1 2c cos 2 sin 3
1 3 d 2 R f 1 sin 1 3
Duncan－Chang模型其有8个参数：c、φ、Rf、k、n、d、F、G,试验
3.3 散体极限平衡理论，也叫Mohr－ Coulomb条件
破坏时的最大与最小主应力之间的关系有
max K P min
（ 1 K P 3）（2－17）
K P tg 2 45 2
KP－按朗肯理论的被动土压力系数，
1 1 sin 3 1 sin
2
消去S后
R f 1 sin 1 3 Et 1 Ei 2c cos 2 3 sin
2
（13）
试验常数：Rf、c、φ、Ei
3 Ei kP a P a
n
（14）
Lg Ei～lg σ3为一直线，截距k，斜率n
1 3
a
a b a
（2）
3.非线形弹性模型
1 3 a
a b a
应力－应变双曲线函数 公式（1）还可以改成：
双曲线函数坐标变换
1 3
1 a
（3）
a
b
1 3
1 a
a
通过求a、b得到弹性模量E. 求b:
b
当轴向应变εa→∞时，偏应力趋向一极限值（σ1-σ3）ult
i
f 将（6）式 b 、（8）式 a 1 3 f 得到
E
1 3
Rf a 1 Ei 1 3 f
a
（9）
Et
1 Ei 1 Rf a Ei 1 3 f
2
（10）
（9）式
1 3
为3组常规三轴压缩试验.
Duncan－Chang模型试验常数 上海粉 质粘土 c 0 φ 39.0 Rf 0.68 k 125 n 0.52 d 8.48 F -0.127 G -0.16
（2）K－G模型
用体积模量k与剪切模量G代替E、μ。
八面体应力的基本公式： 应力与应变关系为：
1 0 1 2 3 3 1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 0 3 v 1 2 3
（5） （6）
求a: 将公式（1）式 1 3
a b a
a
求导，切线模量Et为：
Et
1 3 a a a b a 2
（7）
令εa＝0，则原点的切线模量，即初始切线模量为：
Ei
R
1 a
1
（8） 代入（1）、（7）式（消去a、b)，
第三章 土的本构关系
§1. 八面体应力的基本知识
1.八面体及八面体应力的意义
边长为2的立方体，主应力σ1、σ2、σ3分别与x、y、z轴平行， a,b,c,d,e,f点为六个面的中心点。
把立方体六个面的中心点连接起来，就成为八面体单元。
1.八面体及八面体应力的意义
八面体应力和八面体应变：指八面体任意面上的法向应力σ0及剪应力 τ0；相应的法向应变ε0及剪应变γ0。他们分别是三个主应力σ1、σ2、 σ3和三个主应变的函数，能够综合反映空间应力状态。
即
塑性增量理论包括三个部分
① 屈服面理论
② 流动规则理论 ③ 加工硬化规律理论
①屈服面理论
在屈服面范围内，土体只发生弹性应变，超越屈服面则同时发生弹性和塑 性应变。
弹性变形与塑性变形
对于理想弹塑性材料，当应力的组合，使材料达到屈服状态时，就可以 认为是破坏了，屈服面与破坏面重合，同是一个固定的面。
对于加工硬化材料，屈服应力是随着荷载的提高与变形的增大而提高的。 屈服面不同于破坏面，它不是一个固定的面,图中由A点提高到B点。
0 K v 0 G 0
E 3(1 2 ) E G 2(1 ) K
0
2 3
1 2 2 2 3 2 3 1 2
4．弹塑性模型
（1）塑性增量理论
土的应变分为弹性应变εeij和塑性应变εpij，
e ij ij ijp
0
3.3 散体极限平衡理论，也叫Mohr－ Coulomb条件
强度包络面为通过 原点的不等顶角的 六边形锥面。
扩展了的Mohr－Coulomb条件
max KP min 2 KP c
或
1 1 sin 3 1 sin 2c cos
或
1 3
1 2 2 2 3 2 3 1 2 9c02
（2－11）
(
0
1 3 2 2 3 2 3 1 2
)
3.强度理论
强度包络面为一垂直于等倾斜面的圆柱面。
3.强度理论
如土的强度与八面体法向应力有关（扩展了的V.Mises条件）
2 2 2 2
（2－15）
3.2 最大剪应力强度理论，也叫Tresca条件
强度包络面是一个垂直 于八面体平面的正六角 柱体面，而屈服面在π
平面上的轨迹是一个正
六边形。
Tresca扩展情况：
max 0tgt
max [ct 0tgt ]
（2－16）
相应的强度包络面为通过原点和不通过原点的正六角形锥面。
0 [c0 0tg ]
0 0tg