基于数学史渗透的教学设计数系的扩充
《数系地扩充》教学设计课题
《数系的扩充与复数的概念》教学设计-----高中人教A版选修2-2王海艳唐山市第六十二中学【教材分析】本章《数系的扩充与复数的概念》是中学课程里数的概念的最后一次扩展。
引入复数后，不仅可以使学生对数的概念有一个初步完整的认识，也为进一步学习数学奠定基础。
教材编写的线索是：先将复数看成是有序实数对，然后学习复数代数形式的四则运算，最后介绍复数的几何意义。
本节是该章的基础课、起始课，具有承上启下的作用。
【学情分析】在学习本节之前，学生对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各种数集之间的包含关系等内容，但知识是零碎、分散的，对数的生成发展的历史和规律缺乏整体认识与理性思考，知识体系还未形成。
另一方面学生对方程解的问题会默认为在实数集中进行，缺乏严谨的思维习惯。
【三维目标】知识与技能：了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的条件过程与方法：经历数的概念的发展和数系扩充的过程，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求，让学生学会对事件归纳与认识的方法。
情感、态度与价值观：（１）培养学生分类讨论、等价转化等数学思想和方法；（２）培养学生矛盾转化、分与合、实与虚等辩证唯物主义观点；（３）感受人类理性思维的作用。
【教学重点】复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的条件【教学难点】数集扩充的必要性和过程【教学设计】设计思想知识来源于实际生活。
教学中应注重把教材内容与生活实践结合起来，加强数学教学的实践性。
本节课对知识结构进行创造性地“教学加工”，教学方法上则采用“合作－探究”的模式，保证学生对知识的主动获取，促进学生充分、和谐、自主、个性化发展。
媒体设计本节课是概念课，要避免单一下定义再作练习模式，应努力使课堂元素更丰富，因此借助于多媒体课件配合教学，添加与教学内容匹配的图片背景，激发学生的学习兴趣；而例习题用媒体展示分析，则可以提高课堂教学效率。
设计特色（１）重视数学的人文价值。
谈基于数学史视角的《数系的扩充和复数的概念》教学设计
谈基于数学史视角的《数系的扩充和复数的概念》教学设计作者：张辉来源：《学校教育研究》2017年第10期美国数学史家克莱因指出：“数学史是数学教学的指南。
大数学家所遭遇的困难恰恰是学生所经历的障碍，试图用冗长的逻辑语言来消除这些困难是不可能成功的！”这充分说明，数学概念的认识过程与其历史发展过程有非常相似的一面。
教学中教师需要理解相关数学知识背景，能够从学生已有的知识经验和思维特点出发，预见学生学习中可能遇到的疑惑和困难，洞察学生的数学思维活动过程。
在这个过程中教师不断发展数学学科数学知识，使学生体会数学的知识、学生的知识、教学法的知识不断建构的过程。
现将《数系的扩充和复数的概念》的教学设计及笔者的一些感悟成文。
一、教学简录（一）回顾历史提出问题1.创设问题情境师：1545年，数学家Cardan出了这么一个题目：把10分为两部分，使其乘积为40。
他按照自己的习惯，设其中一部分为x，列出方程为x（10-x）=40。
但求出的根令他大为不解，甚至感到有些恐慌。
你知道这是为什么吗？二、几点感悟（一）确定教学设计的想法首先，《普通高中数学课程标准（实验）》在课程的基本理念中明确提出要体现数学的文化价值：“数学是人类文化的重要组成部分，数学课程中要体现数学的文化价值。
”笔者看过一份数据调查，调查对象是某市两所重点中学高中数学教师，采用自编的“高中数学教师对数学文化知识认识与实践的调查问卷”，本次共发放试卷80份，回收试卷78份。
问题1：“您对课标里设置数学史与数学文化的目标和理念及教学要求阅读情况是”。
“仔细阅读过”的只占5.7%，“较仔细阅读过”的只占14%；问题2：“就微分学与积分学的起源而言：①积分学早于微分学；②微分学早于积分学③积分学与微分学同期；④不确定”。
选择答案“积分学早于微分学”的只有7.8%的教师……从上面问卷可以看出数学教师对于数学史知识极为欠缺！这些都是数学史上最为著名的一些常识性知识，且与中学教材内容联系紧密。
数系的扩充(教案及教学设计说明)
课题：数系的扩充授课教师：吴晶教材：苏教版选修1-2第三章第一节【教材分析】教材地位和作用：数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，体现了数学发生发展的客观需求.通过学习，学生在问题情景中了解数系扩充的过程以及引入虚数的必要性，体会人类理性思维在数系扩充中的作用，有助于提高学生的数学素养.复数的引入是中学阶段数系的最后一次扩充.学习复数的一些基本知识，为学习复数的四则运算和几何意义做好知识储备.教材处理办法：精心设计制作教学课件，直观形象地展示数系扩充的过程.化抽象为具体，使学生真实体验数系扩充的必要性及数系扩充要遵循的法则.在这个过程中了解复数、虚数、纯虚数、复数的实部、虚部等相关概念就水到渠成了.重点：数系扩充的过程和方法，复数的相关概念.难点：数系扩充的过程和方法，虚数的引入.【教学目标】知识目标：了解数系的扩充过程，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；了解复数的相关概念.能力目标：发展学生独立获取数学知识的能力和创新意识.情感目标：初步认识数学的应用价值、科学价值和人文价值，崇尚数学具有的理性精神和科学态度，树立辩证唯物主义世界观.【教学方法】教学方法：开放式探究，启发式引导，互动式讨论，反馈式评价.学习方法：自主探究，观察发现，合作交流，归纳总结.教学手段：结合多媒体网络教学环境，构建学生自主探究的教学平台.【教学程序】以问题为载体，以学生活动为主线.创设情境→建构数学→知识运用→归纳总结→巩固作业创设情境：用心智的全部力量，来选择我们应遵循的道路-------笛卡尔.名人名言引入，投影出为数系扩充作出贡献的一些数学家的照片和名字.让学生把自己所了解的一些数学家作简要介绍，教师适时总结：他们都是科学巨匠，他们都曾为人类文明的进步做出过巨大贡献，同时，他们也为数的概念的发展做出过巨大贡献.回忆学过的数的类型.建构数学：数的概念来源于生活，为了计数的需要产生了自然数；为了表示相反意义的量，有了负数；为了解决测量、分配中的等分问题，有了分数；为了度量（例如边长为1km 的正方形田地的对角线长度）的需要，产生了无理数.数的概念的发展一方面是生产生活的需要，另一方面也是数学科学本身发展的需要.矛盾是事物发展的根本动力.看以下几个方程：1x 2x1201x 22=+===+x规定：（1）i 2=-1 虚数单位：i（2）实数可以与i 进行四则运算，且进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立.找到了方程012=+x 的解.试一试：依据规定，写出实数3与i 进行四则运算后得到的数.设计意图：适当了解一些与数系扩充有关的数学伟人和数学史，激发学生学习兴趣，引入新课.设计意图：认识到数系扩充的必要性. 发展学生求知、求实、勇于探索的情感和态度，体会数学体系的系统性和严密性.复数),(i R ∈+=b a b a z ，复数集：C 实部：a 虚部： b 复数),(i R ∈+b a b a ⎩⎨⎧=≠=)0)(0()0(时是纯虚数虚数实数a b b .练习 用文氏图表示N 、Z 、Q 、R 、C 的关系N →Z →Q →R →C ,这就是近代数学在总结数的历史发展的基础上，用代数结构的观点和比较严格的公理系统加以整理而得到的数系的一般扩充过程.知识运用： 例1 写出复数6i,i 25,i ,πsin i ,0,i 322+-的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.例2 实数m 是什么值时，复数)1()1(-+-=m m m z i 是 (1) 实数? （2）虚数? （3）纯虚数? （4）6+2i? 解：(1) 当m-1=0即m=1时，复数z 是实数.(2) 当m-1≠0即m ≠1时，复数z 是虚数.(3) 当m （m-1）=0 且m-1≠0即m=0时，复数z 是纯虚数. (4) 如何解决，请同学们讨论后给出解决方案.两复数相等的充要条件),,,(.,i i R ∈⎩⎨⎧==⇔+=+d c b a d b c a d c b a .例3 已知)2()(y x y x -++i=)3()52(y x x ++-i .求实数y x ,的值. 解：根据两复数相等的充要条件，可得⎩⎨⎧+=--=+yx y x x y x 32522，解得⎩⎨⎧-==23y x .评述：把复数问题转化为实数问题. 试一试：仿照例3自编题目，并求解.复数相等的内涵：复数b a +i ),(R ∈b a 可用有序实数对),(b a 表示. 练习：1、说出下列复数中，哪些是实数，哪些是虚数.).,(i )(,π,i ),31(i ,i 72223R ∈+-+b a b a2、实数m 是什么值时，复数)1()1(2-++=m m m z i 是(1) 实数? （2）虚数? （3）纯虚数?3、已知)()(y x y x -++i=42-i.求实数y x ,的值.归纳总结： 1、数系的扩充 2、复数的基本概念 3、复数相等的充要条件挑选好一个确定的研究对象，锲而不舍，你可能永远达不到终点，但是一路上准可以发现一些有趣的东西------克莱因.设计意图：巩固本节课所学的知识，反馈课堂教学信息． 设计意图：学生发现自己的方案与课本中的结论完全一致，自信心大增且记忆更牢固.设计意图：及时巩固概念，让学生体会到互动式学习的快乐，理解转化的思想在解题中的应用，并为复数的几何意义的理解打好基础.巩固作业:1.搜集与本节课有关的数学史知识，感受知识的发生、发展.2.完成习题3.1 1-4.【板书设计】数系的扩充）规定：（1）（2),,,(i i )0)(0()0(),,(i R C R ∈⎩⎨⎧==⇔+=+⎩⎨⎧=≠=∈+=d c b a db ca d cb a a b b ba b a b a z 时是纯虚数虚数实数复数；虚部：实部：复数集：复数3例.23,3252⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧+=--=+y x y x y x x y x 解得条件，可得要解：由两复数相等的充教学设计说明一 确定教学目标的主要依据(1)依据教学大纲和教材内容的特点，确定第一个教学目标； (2)数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，有利于发展学生独立获取数学知识的能力和创新意识，由此确定第二个教学目标；(3)数系扩充的过程体现了数学发生发展的客观需求和背景，学生将在学习过程中认识数学的应用价值.重点：数系扩充的过程和方法，复数的概念，虚数单位i ，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念.难点：数系扩充的过程和方法，虚数的引入. 二 教学的过程设计说明 1 情境引入激发学生学习兴趣，引入新课.指出“矛盾是事物发展的根本动力”，以此为契机，自然顺畅地展开研究.设计了从N 到R 的三次扩充历程的回顾，在面对求解方程012=+x 的问题时，为解决矛盾创造一个新数，自然成了学生的一种心理预期，是学生提出了解决问题的想法.2 新课推进从简单而又深刻的问题出发，到引出虚数单位、复数的有关概念，再到复数相等的充要条件，构成了一条稳妥、科学的理论构建的知识线.3 例题讲解及练习掌握基本解题方法，巩固本节课所学的知识，反馈课堂教学信息.精心设计了环环相扣、步步深入、层层渐进的练习题，既巩固了知识，又构成了思维训练问题链.知识线与问题链巧妙交叉、搭配组合，使学生的认知水平、理解能力、思维品质、解决问题的操作能力、数学思想的树立与意志品质的优化，均得到长足的发展提高.4 课堂小结与作业 对前面研究的问题，进行总结、反思、交流，使学生体会数学解决问题的方法，深入体会复数扩充的思想和应用价值.三 板书设计说明合理布局，重点突出.将主要概念一一呈现，与课件交相辉映.本节课将数系扩充的知识与复数知识有机地结合起来，通过教学，让学生了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用，体会数学科学中的科学价值、人文价值，开阔视野，寻求数学科学进步的历史轨迹，激发对于数学创新原动力的认识，提高自身的文化素养和创新意识.。
教学设计1：3.1.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.1数系的扩充和复数的概念【教学目标】依照课程标准对本节课的要求，本节课的教学目标如下：（1）通过回忆数系的扩充过程，观察所列举的复数能简述复数的定义，并能说出复数的实部与虚部.（2）通过小组讨论能将复数归类，并能用语言或图形表达复数的分类，会解决含有字母的复数的分类问题.（3）通过比较给出的两个复数能归纳出复数相等的充要条件，并能解决与例题相似的题目.【教学重点】复数的概念【教学难点】虚数单位i的引进及复数的概念【教学过程】一、问题情境(多媒体)问题1:同学们,从小到大，我们认识了各种各样的数.进入高中，我们学习了集合，你知道的数集有哪些？分别用什么记号表示？问题2:你能用集合关系符号将这些数集“串”起来吗？设计意图：一方面从学生已有的认知入手，便于学生快速进入学习状态，激发他们的学习热情，培养学生的归纳、概括与表达能力；另一方面为引入虚数单位“i”埋下伏笔，引入课题.恩格斯曾经说过：“各种数集是数学的两大基本柱石之一，整个数学都是由此提炼、演变与发展起来的.”如此高的评价，看来我们要好好体会其中的奥秘，最熟悉的地方往往也能发现亮丽的风景.这些数并不是从来就有，也不是从天而降的，任何事物的发生发展总是有原因的.远古的人类，为了统计捕获的野兽和采集的野果，创造了自然数，那么其它数呢？它们产生的原因是什么呢？（归纳学生的回答：原因之一——客观需求）从数学内部看，我们研究数，与数的运算是分不开的，数集只是包含了运算的对象，那么运算的规则呢？一代代数学家们追求的不仅仅是数集的扩充，更是运算规则的完善.二、学生活动问题3:我们常说的运算，是指加、减、乘、除、乘方、开方等运算，思考一下，这些运算在各个数集中总能实施吗？（学生回答）追问：这些问题是怎么解决的呢？——添加新数通过添加新数，解决了某些运算在原来的数集中不是总可以实施的矛盾.正是数学家们追求完美的理性精神，促使他们不断发现问题，解决问题，从而推动数学的发展.（原因之二——数学内因）设计意图：让学生思考数集扩充的原因，在此基础之上，帮助学生重新建构数集的扩充过程，这是本节课的生长点.问题4:那么在实数范围内加、减、乘、除、乘方、开方这些运算总能实施了吗？问题5:需要解决什么问题？（负数开偶次方的问题）我们知道，非负数可以开平方，负数只能开奇次方？现实的问题摆在眼前，如何才能解决？——添加新数学生讨论：尝试添加新数，求解方程222=-=--=-.1,2,(1)1x x x设计意图：教师引领学生采用类比的思想，将问题转化为找一个数的平方为－1，从而让“引入新数”水到渠成．第一个正视这类问题的是意大利数学家卡尔丹.16世纪，意大利数学家卡尔丹遇到问题“将10分成两部分，使两者的乘积等于40”时，出现了困惑.他认为把答案写成“15+和5--”就可以满足条件，但是却无法解释.面对这些矛盾，笛卡尔、欧拉、高斯等一个5-15又一个数学家们加入了研究的队伍，经过他们严密的论证，最后终于确定了它的合理地位.但是这类数与之前得到的实实在在的实数相比，似乎缺少有力的现实基础，所以法国数学家笛卡尔就将其命名为“虚数”，表示与实数相对应.从此虚数也加入了数的行列，与实数“平起平坐，和平共处”.1777年，瑞士数学家欧拉首次提出用i表示平方等于-1的新数.1801年，德国数学家高斯系统地使用了这个符号，使i通行于世.三、建构数学实数集的扩充就从引入平方等于－1的“新数”i开始的.（一）我们引入新数i，叫做“虚数单位”，并规定：（1）i2=-1;（2）实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立.由这两个规定，我们得到：i代表一个数，；另外规定（2）保证了虚数加入后，能与实数“和平共处，互帮互助”.根据以上两项规定，请同学们思考问题6：添加的新数仅仅是i吗？问题7：你还能写出其他含有i的数吗？问题8：你能写出一个形式，把刚才所写出来的数都包含在内吗？设计意图：学生通过问题6、7的铺垫，引导学生由特殊到一般，抽象概括出复数的代数形式z=(,)+∈R，帮助学生主动建构复数的代数形式．a bi a b我们构造的数都可以用bia+是由实数与虚数单位i“复合”运作而成，我们把a+来表示.bi它们称为复数，由所有的复数组成的集合称为复数集，记作C，我们常用字母z表示复数.（二）bia+为复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫=（Rz+ab,），也称bia∈复数的虚部（是实数）.由此，追问：(,)+∈R能表示实数吗？a bi a b问题9：实数集与扩充后的复数集是什么关系呢？问题10：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集它们之间是什么关系呢？你能用图表的形式画出来吗？设计意图：学生通过讨论自然而然地想到要对复数进行分类，从而深化对复数概念的理解.问题10是让学生直观地感受复数的分类，进一步深化复数的概念.从而攻克本节制定的第二个教学目标.问题11：两个二项式相等的充要条件是什么？你能类比得出两个复数相等的充要条件吗？设计意图：引导学生类比两个二项式相等的条件，归纳出复数相等的充要条件，即实部与实部相等并且虚部与虚部相等.并在此时告诉学生两个复数只能说相等或者不相等，除非它们都是实数时才可以比较大小.伴随着此问题的解决使得本节最后一个教学目标顺利呈现. (三)复数的相等如果两个复数的实部与虚部分别相等,则称两个复数相等,即：a+bi =c+d i (a,b,c,d ∈R) ⇔ a= c 且b =d.例1、 指出下列复数的实部和虚部(1)4;(2)23;(3)56;(6)2i i i -+-+ 注意:复数的实部与虚部都是实数.例2．实数m 分别取什么值时，复数z =m (m -1)+(m -1)i 是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？分析：因为m ∈R ，所以11--m ),m (m 都是实数，由复数z=a +bi (a,b ∈R)是实数、虚数、纯虚数与零的条件可以确定实数m 的值．.00101310121011为纯虚数时，即）当（为虚数；时，即）当（为实数；时，，即）当解（z m ,m )m (m z m ,m z m m =⎩⎨⎧≠-=-≠≠-==-练习1：已知z=m 2(1+i)−(m +i),m 为实数，当m 为何值时，复数z 是(1)实数 (2)虚数 (3)纯虚数设计意图：例题1主要是前后照应，采用概念同化的方式完善认知结构；实现对目标1的巩固.例题2及练习1主要是巩固复设定的目标2中数的分类标准．让学生在解决问题的过程中内化复数有关概念，起到及时反馈、学以致用的功效.设计意图：强化复数相等的充要条件，并让学生感受到复数问题可以化归为实数问题来求解.例3： 已知（2x -1)+i =y -(3-y )i ,其中x,y ∈R,求x,y 的值.解：根据复数相等的定义，得方程组设计意图：强化复数相等的充要条件，并让学生感受到复数问题可以化归为实数问题来求解解：由题意得 {2x −1=y 1=−(3−y ) 解得{x =52y =4设计意图：强化复数相等的充要条件，并让学生感受到复数问题可以化归为实数问题来求解. 的值求，小于且已知复数求实数）若（（：练习k z R k i k k k k z yx i x i y i 0),()65(3)2(,,9-1)2(-)10-31222∈+-+-==++（1） x=1,y=1 (2) k=2设计意图：此题主要是为了及时巩固、检查课堂效果；从而进一步提升学生分析问题和解决问题的能力.（四）课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？还存在哪些疑问？并抛出问题：实数能用数轴上的点来表示，所有的复数也能用数轴上的点来表示吗？设计意图：通过学生总结、教师提炼，深化内容，让学生体会数系扩充过程中蕴含的创新精神和实践能力.提出问题激发学生对复数的后续学习的欲望,为下节课学习埋下伏笔.（五）作业布置1、书面作业：课后习题A组第1、2题.2、知识拓展作业：小组成员交流合作，写一篇与数系扩充和发展有关的小论文；这节课，我们共同感受了数的概念发展的过程，虚数的出现与很多新生事物一样，刚开始并不为人所接受.对于“虚数”的研究，经历了漫长的过程，最终人们发现复数在物理学，空气动力学等很多领域的实际作用后，虚数才被大家所接受，正所谓实践才是检验真理的唯一标准.“数系发展到复数之后还能不能继续扩充？随着数学领域的不断扩展，或许有一天数系会冲破复数集的约束，迈向更广的数系空间.建议有兴趣的同学课下了解章末阅读材料中“四元数”的内容.。
渗透数学思想,感受数学文化从“数系的扩充”一课谈起
三、数系的扩充所蕴含的数学思 想
4、集合思想
数系的每一次扩充都是一个集合的扩展，新的集合是由旧集合中的元素通过 某种规则或方式得到的。在数系的扩充过程中，数学家们逐渐认识到了集合的思 想和方法，例如将分数看作是两个整数的比值、将无理数看作是实数的一个子集 等。
5、极限思想
极限是数学中的一个重要概念，它是描述变量在某种变化过程中的最终趋势 或状态的一种方式。在数系的扩充过程中，极限思想起到了关键的作用。例如， 无理数是通过对一个有理数列的极限运算得到的；复数是通过对实数的极限运算 得到的。极限思想的应用使得数学家们能够更加深入地研究数学对象的变化趋势 和性质。
2、无理数
无理数是指无法用有限小数表示的数，例如π、e等。在古代，人们已经发 现了一些无理数的存在，但是对其性质和计算方法并不清楚。直到16世纪，数学 家们才开始深入研究无理数的性质和计算方法，并逐渐将其纳入数系中。
3、复数
复数是数系的又一次扩展，它最早出现在欧洲文艺复兴时期。复数是一个由 实部和虚部组成的数，最早由意大利数学家卡丹提出。在复数系中，加减乘除等 运算都有定义，而且复数的乘方运算非常简单。复数的引入为物理学、工程学等 领域的发展提供了重要的支持。
渗透数学思想,感受数学文化从 “数系的扩充”一课谈起
目录
01 一、数系的扩充背景
02 二、数系的扩充过程
03
三、数系的扩充所蕴 含的数学思想
04
四、数系的扩充所蕴 含的数学文化
05 参考内容
渗透数学思想，感受数学文化从 “数系的扩充”一课谈起
数学是一门逻辑性强、思维严谨的学科，它不仅是一种工具，更是一种文化， 一种思想。在数学的发展历程中，数系的扩充是其中重要的一个方面，它不仅代 表着数学知识的进步，也体现了人类对数学认识的深化。本次演示将从“数系的 扩充”一课谈起，探讨其中所蕴含的数学思想和数学文化。
新教材下《数系的扩充》教学设计意图说明
新教材下《数系的扩充》教学设计意图说明作者：黄艳来源：《科学导报·学术》2020年第39期教学设计的主要思路和意图：一、对复数部分作章节整体教学设计，将学法指导渗透在整体教学设计中;二、引导学生经历数系扩充的发生、发展和应用的全过程;通过对数系扩充的再探究、再发现和再创造，让学生感悟：（1）为什么要建立相关数学知识？（为什么要引入复数？）（2）数学知识是怎样建立的？（数系扩充的发生、发展过程）（1）为什么要建立相关数学知识？数学知识的引入必定有它存在的价值，复数的出现亦是如此。
虽然印象中，没有哪个阶段给过“数”的概念是什么，但是我们在小学入校之前就已经接触到“数”，可想而知，这是一个如影随形的概念。
数是相当神秘的，人类最初对数并没有概念，只是出于生活方面的需要让人们脑海中有了数的影子。
那么，我们是否有过数学哲学角度的原点思考：任何事物的出现必定有它存在的正面价值，“数”的出现也不例外，为什么要出现正整数、0、分数、复数、无理数、虚数？（2）数学知识是怎么建立的？数是如何发展成为今天这个模样呢？远古时期的人类在生活中遇到了许多无法解决的难题，比如想表示一棵树，两头野兽等等，在当时并没有符号表示具体的数量，所以当时人们主要以结绳记事或在树木石头上刻痕迹的方法计数。
后来引进罗马数字（现在常在钟表中出现），但是罗马数字中是没有0的，在公元5世纪，罗马有一位学者从印度计数法里发现了“0”这个符号，并把印度人使用“0”的方法向大家做了介绍。
但是罗马教皇凶残且守旧，他非常恼怒的说：“神圣的数是上帝创造的，在上帝创造的数里没有“0”这个怪物，谁要把它给引进来，谁就是亵渎上帝！“0”被那个愚昧残忍的罗马教皇命令禁止了。
我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法：筹算。
筹算是用竹制的或骨制的小棍，按规定的横竖长短顺序摆好，用来记数和进行运算。
随着筹算的普及，筹算的摆法也就成为记数的符号了，筹算摆法有横纵两式，都能表示同样的数字，从筹算数码中没有10这个数可以清楚的看出，筹算从一开始就严格遵循十位进制，这样的计算法在当时是很先进的。
《数系的扩充和复数的概念》教学设计
数系的扩充和复数的概念一、内容和内容解析1.内容从实数系扩充到复数系的过程与方法，复数的概念.2.内容解析复数的引入是数系的又一次扩充，也是中学阶段数系的最后一次扩充，通过复数的学习，可以使学生对数的概念有一个更加完整的认识．复数与平面向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系，也是进一步学习数学的基础. 复数在力学、电学及其他学科中都有广泛的应用.在数学中，数系的扩充必须遵循有关的“规则”，即扩充后的数系中规定的加法运算、乘法运算，与原数系中的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律. 从实数系向复数系扩充，同样要符合这样的规则．复数概念的引入，从实系数一元二次方程当判别式小于0时没有实数根出发，回顾从自然数系逐步扩充到实数系、特别是有理数系扩充到实数系的过程，发现数系扩充中体现出的“规则”；进而在“规则”的引导下，考虑为使方程有解，引入新数i，从而可以像实数一样进行加法、乘法运算并保持运算律的角度，将实数集扩充到复数集．这一过程，通过数系扩充“规则”的归纳，提升学生的数学抽象素养；通过实数系向复数系的扩充，让学生体会类比的数学思想，提升学生的逻辑推理素养，并感受人类理性思维在数系扩充中的作用.复数的概念是整个复数内容的基础.复数的有关概念都是围绕复数的代数表示形式展开的，虚数单位、实部、虚部的命名，复数相等的含义，以及虚数、纯虚数等概念的提出，都是在促进对复数实质的理解，即复数a+bi实质上是有序实数对(a,b). 通过对复数实质的揭示，为后续复数的几何意义、复数的四则运算以及复数的三角表示的学习作准备. 因此，复数的概念，对本章具有奠基性的作用.基于以上分析，确定本节课的教学重点：从实数系扩充到复数系的过程与方法，复数的概念.二、目标和目标解析1. 目标（1）了解引入复数的必要性；（2）了解数系扩充的一般“规则”，了解从实数系扩充到复数系的过程，感受数系扩充过程中人类理性思维的作用，提升数学抽象、逻辑推理素养；（3）理解复数的代数表示式，理解复数的有关概念，理解复数相等的含义.2. 目标解析达成目标（1）的标志是：能够通过方程的解，感受引入复数的必要性，体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用.达成目标（2）的标志是：学生能够从自然数系逐步扩充到实数系的过程中，归纳出数系扩充的一般“规则”，体会扩充的合理性及人类理性思维在数系扩充中的作用.达成目标（3）的标志是：学生能说明虚数i的由来，能够明晰复数代数表示式的基本结构，会对复数进行分类，会用Venn图表示复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系；知道两个复数相等的含义，能利用复数概念和复数相等的含义解决相关的简单问题.三、教学问题诊断分析学生在学习本节课内容之前，在义务教育阶段已经经历了从自然数到实数的扩充过程，对数系的扩充有了一定的认识，知道数系扩充后，新的数系能够解决在原有数系中无法解决的一些解方程问题（如引入无理数，把有理数系扩充到实数系后，可以解决方程的解这样的问题等），因此当遇到像这样的方程的解的问题时，通过引导启发，学生能够联想到对现有的实数系进行进一步扩充，从而使方程有解.学生在前面的学习中，也已多次利用过类比的方法来研究数学问题，这为本节课类比有理数系扩充到实数系的过程和方法，将实数系扩充到复数系提供了可能.学生在学习时可能出现的障碍为：（1）因为现实生活中没有任何事物支持虚数，学生可能会怀疑引入复数的必要性，在教学中,如果单纯地讲解或介绍复数的概念会显得枯燥无味,学生不易接受.（2）由于知识储备和认知能力的限制，学生对数系扩充的一般规则并不熟悉，对虚数单位的引入，以及虚数单位和实数进行形式化运算的理解会出现一定困难.（3）学生以前学习过的数都是单纯的一个数，而复数的代数形式是两项和的形式，学生比较陌生，因此理解上会存在一定困难.基于以上分析，确定本节课的教学难点是：复数系扩充过程的数学基本思想，复数的代数表示.突破难点的策略：（1）适当介绍数的发展简史，增强学生学习的趣味性和生动性.（2）通过解方程问题引导，借助已有的数系扩充的经验，特别是从有理数系扩充到实数系的经验，从特殊到一般，帮助学生梳理出数系扩充过程中体现的“规则”，进而在“规则”的引导下进行从实数系到复数系的扩充，感受引入复数的必要性和合理性.（3）引导学生按照“规则”自主探究出复数集中可能存在的各种数，并归纳总结出复数的一般表示方法，经历复数形式化的过程.四、教学过程设计（一）创设情境，引出研究内容创设情境：我们知道，对于实系数一元二次方程时没有实数根. 因此，在研究代数方程的过程中，如果限于实数集，有些问题就无法解决. 事实上，数学家在研究解方程问题时早就遇到了负实数的开平方问题，但他们一直在回避. 直到1545年，数学家在研究实系数一元三次方程的求根公式时，用求根公式、因式分解法两种方法同时求解一些特殊的一元三次方程时，得到了无法理解的结果，于是再也无法回避这个问题.例如，求解时，利用三次方程的求根公式可以得出三个根或；而通过因式分解，得，因此方程的三个根为这个在当时无法理解的等式，数学家们就去尝试研究诸如的问题.在解决这些问题的过程中，他们遇到的最大困扰就是，负实数到底能不能开平方？如何开平方？负实数开平方的意义是什么？师生活动：以教师引导为主，主要介绍历史上，数学家们经过了反复的研究探索，将实数系进一步扩充，引入了一种新的数——复数，从而将实数系扩充到复数系，解决了负数开平方的问题，本章我们就来研究复数. 本节课我们先类比自然数集逐步扩充到实数集的过程和方法，研究如何把实数集扩充到复数集，学习复数的有关概念，后续我们还要继续研究复数的几何意义，复数的四则运算以及复数的三角表示等.设计意图：通过对复数发展历史的简要介绍，特别是三次方程根的问题的介绍，引发学生的认知冲突，激发学生对数系扩充过程的兴趣，并点出本节课的主要内容，进而简要介绍本章的学习内容，使学生对本章的知识脉络有大致认识.（二）归结为方程求解问题，梳理数系扩充的“规则”问题1从方程的角度看，负实数能不能开平方，就是方程是否有解，也就是是否有解的问题．思考一下，能不能把这类问题再进一步简化，最终转化为最简单的方程是否有解的问题呢？追问我们知道，在实数集中无解，联系从自然数集到实数集的扩充过程，是否能引入新数，适当扩充实数集，使这个方程在新数集中有解呢？师生活动：教师进一步引导：下面，我们就类比从自然数集到实数集的扩充过程，尝试引入新数，适当扩充实数集，使这个方程在新数集中有解．引入什么数，如何扩充实数集？这就是我们今天所要研究的问题.设计意图：通过问题1，将历史上的负数能否开平方的问题转化为方程是否有解的问题，为后续从解方程的角度研究数系的扩充做好铺垫，同时也让学生认识到数学中的复杂问题都可以通过转化与化归的方法，转化为基本问题.通过追问，点出本节课的主要任务，以及研究的思路和方法．问题2 我们把一个数集连同规定的运算以及满足的运算律叫做一个数系. 回顾从自然数系逐步到实数系的扩充过程，每一次数系扩充的主要原因是什么？分别解决了什么实际问题和数学问题？你能借助下面的方程，从解方程的角度加以说明吗？（1）在自然数集中求方程x+1=0的解；（2）在整数集中求方程2x-1=0的解；（3）在有理数集中求方程的解；师生活动：教师提出问题，学生分组讨论，从两个角度思考问题，可让一半学生侧重讨论解决的实际问题，另一半学生侧重讨论解决的数学问题，教师参加到讨论之中，对学生讨论中的不足之处教师补充说明，讨论后，学生交流互动，师生共同归纳总结出结论.预设答案：（1）从社会实践来看，数系的扩充是为了满足生活和生产实践的需要.计数的需要产生了自然数，有了自然数系；自然数系中不能刻画具有相反意义的量，于是引入了负整数，将自然数系扩充到了整数系；整数系中不能解决测量中的一些等分等问题，于是引入了分数，将整数系扩充到了有理数系；有理数系中无法解决正方形对角线长的度量等问题，于是引入了无理数，这样便将有理数系扩充到了实数系.（2）从数学发展本身来看，数系的扩充也是数学本身发展的需要．方程x+1=0在自然数集N内无解，引入负整数后，它在整数集Z 内便有解x=-1；方程2x-1=0在整数集Z内无解，引入分数后，它在有理数集Q内便有解在有理数集Q内无解，引入无理数后，它在实数集R内便有解.教师板书：设计意图：通过数的发展历史，抓住知识的“生长点”和学生的“最近发展区”，使学生了解数的产生以及数系的不断扩充是基于两方面原因：社会生产实践的需要和数学自身发展的需要.问题3可以看出，数集的每一次扩充，都是在原来数集的基础上添加“新数”得到的，引入新数就要引入新运算，如果没有运算，数集中的数只是一个个孤立的符号. 加法和乘法运算是上述数系中最基本的运算（减法、除法运算分别可以转化成加法、乘法运算）．梳理从自然数系逐步扩充到实数系的过程，数系的每一次扩充，加法和乘法运算满足的＂性质＂有一致性吗？由此你能梳理数系扩充遵循的“规则”吗？师生活动：教师引导分析，从自然数集扩充到整数集时，原来在自然数集中规定的加法和乘法运算法则和运算律在整数集中仍然成立；进而学生小组讨论，探求从整数集到有理数集以及从有理数集到实数集的扩充中，加法和乘法满足的“性质”，教师要特别强调从有理数集扩充到实数集满足的“性质”.师生共同总结这些性质的一致性，得出数系扩充的＂规则＂：数集扩充后，在新数集中规定的加法运算和乘法运算，与原来数集中规定的加法和乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律.教师继续板书：设计意图：梳理数系扩充过程和方法的“一致性”，总结数系扩充的一般“规则”，为后续实数系的进一步扩充提供方法，进而突破本节课的难点.（三）依据规则，扩充实数集，引入复数问题4方程在实数系中无解，类比从自然数系扩充到实数系的扩充过程，特别是从有理数系扩充到实数系的过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？师生活动：学生思考回答：可以添加新数，对实数集进行扩充，并且添加新数后的新的数集中的加法和乘法运算，与实数集中加法和乘法运算协调一致，并且运算律保持不变.追问：引入一个什么样的数呢？师生活动：教师通过信息技术制作的课件介绍虚数的引入历史，并给出虚数的概念. 我们可以引入一个数“i”，使，这样x=i就是方程的解. 因为历史上，新数i是瑞士著名数学家欧拉在1777年首次提出的，他用了“imaginary”一词的首字母，本意是这个数是虚幻的.所以，我们把这个数称为“虚数单位”.设计意图：教师介绍与虚数单位i有关的历史，激发学生的学习兴趣，强化对i的认识．问题5把新引进的数i添加到实数集中后，我们希望按照前面总结的数系扩充的“规则”，对实数系进行进一步扩充．那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢？师生活动：教师引导，可以类比有理数系扩充到实数系的过程与方法，以及实数系新数的形式，如等具体的数.教师引导学生归纳：新数集中的数是由原来的实数和新引入的虚数i经过适当“组合”而成的，构成的方法就是将实数和i进行运算，组成新数，这里主要进行的是i和实数之间的加法、乘法运算，因为按照我们前面总结的规则：新数集中规定的加法和乘法运算，与原来数集中规定的加法和乘法运算协调一致，并且运算律仍然成立. 这样我们就可以把实数a与新引入的数i相加，得到a+i；把实数b与i相乘，得到bi；把实数a与实数b和i相乘的结果相加，得到a+bi. 因为我们是要得到新数集中所有数的基本表示形式（即a+bi的形式），所以这里都只进行最基本的形式上的运算即可，至于等形式，它们不是最基本的形式，在后续的复数运算中再去研究，它们也能化为a+bi的形式.追问1你能写出一个形式，把刚才大家所说的数都包含在内，并说明理由吗？师生活动：学生思考回答，所有新数集中的数都可以写成a+bi（a，b∈R）的形式，因为.追问2 你能写出新数集的集合吗？师生活动：学生口述，教师板书：C={a+bi|a，b∈R}.设计意图：通过问题5和追问1，2，引导学生类比自然数到实数不断扩充过程中所遵循的规则，根据“运算”和“运算律”，由特殊到一般，抽象概括出复数的代数形式和复数集，让学生体会数系扩充过程中理性思维的作用，以及数学形式化、符号化的过程，突破本节课的难点，提升学生逻辑推理、抽象概括素养．问题6阅读教科书，回答以下问题：（1）复数a+bi（a，b∈R）的虚数单位、实部、虚部分别是指什么？（2）什么是虚数和纯虚数？试举出具体例子．师生活动：教师提出问题，学生独立阅读教科书，阅读之后回答问题．（1）学生口答：a是复数的实部，b是复数的虚部．教师强调应注意限制条件a，b∈R，另外复数a+bi的虚部是b而不是bi．（2）学生口答，当.设计意图：通过问题引导，指导学生阅读教科书，思考并回答问题，明确复数的基本概念，培养阅读教科书的习惯和阅读理解能力.问题7 我们知道复数集是由形如a+bi（a，b∈R）的数组成的，为了保证集合中元素的互异性（确定性），我们需要明确集合中两个元素相等的含义，请阅读教科书，说说两个复数a+bi和c+di(a，b,c,d∈R)相等的含义．师生活动：学生阅读教科书后作答．教师引导：一个复数由实部和虚部唯一确定，所以判断两个复数是否相等，就要考虑它们的实部和虚部是否分别相等.进而教师给出两个复数相等的定义并板书. 复数a+bi与c+di相等当且仅当a=c 且b=d.追问1 由复数相等的含义知，两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部都分别相等，也就是：复数由它的实部和虚部唯一确定．回忆一下，复数的这个特征与你以前遇到过什么数学对象类似？由此，你能进一步刻画复数的特征吗？师生活动：教师引导，学生思考、讨论，得出：复数的这个特征与平面上点的坐标，平面向量的坐标等类似，因此复数a+bi（a，b∈R），可以看成是一个有序实数对(a,b).追问2 复数是实数的充要条件是什么？a+bi的充要条件是什么？师生活动：学生思考回答，教师补充完善. 对于复数a+bi（a，b∈R），易得当且仅当b=0时，它是实数；a+bi=0即a+bi=0+0i，由复数相等的含义，推导可得：当且仅当a=0,b=0时，复数a+bi=0.教师总结：实际上，复数相等的含义，不仅是判断两个复数相等的依据，也是求某些复数值的依据，即利用复数相等的定义，可以得到关于实数的方程（组），通过解方程（组）得到a,b的值. 教师在此处也可以指出：一般来说，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小，只有当两个复数都是实数时才能比较大小.设计意图：从保证集合中元素的互异性（确定性）出发，引出在实数集中引入新对象后，要研究两个新数相等的含义，进而给出两个复数相等的含义，并由复数相等的定义出发，得到复数实质上是一个有序实数对，为研究复数的几何意义以及复数的三角表示奠定基础.问题8 我们已经将实数集扩充到复数集，那么复数集C和实数集R之间有什么关系？你能对复数a+bi（a，b∈R）进行分类，并用Venn图表示吗？师生活动：学生思考并写在练习本上，教师巡视指导，用多媒体等设备交流展示学生作品.教师指出实数集R是复数集C的真子集，也体现了数系扩充的规律之一：新数集包含原来的数集.设计意图：引导学生弄清楚复数集和实数集之间的关系以及复数的分类，深化学生对复数集是实数集的“扩充”以及对复数的理解．（四）精选例题，强化理解应用例1请你说出下列集合之间的关系：N，Z，Q，R，C．例2写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数．例3当实数m取什么值时，复数是下列各数？（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.例4已知(x+y)+(y-1)i=(2x+3y)+(2y+1)i，求实数x,y的值．师生活动：教师用PPT展示例题. 例1，例2学生思考、口答，教师点评.例3，例4，学生思考，独立完成后用多媒体交流展示，教师点评并规范解题步骤.设计意图：例1主要让学生巩固数集之间的关系，完善认知结构；例2，例3主要是帮助学生巩固复数的分类标准，加深对复数概念的理解；例4主要是强化复数相等的含义，让学生在解决问题的过程中内化复数有关概念，起到及时反馈、学以致用的功效．（五）反思总结，提炼学习收获问题10通过本节课的学习，你有哪些收获？试着从知识、方法、数学思想、经验等方面谈一谈.师生活动：学生思考回答，教师补充完善.预设答案：知识方面：了解了数系扩充的基本“规则”，复数的基本概念（复数、实部、虚部、虚数、纯虚数等）、两个复数相等的含义、复数的分类等；思想方法方面：实数系扩充到复数系运用了类比的研究方法，解决复数相等问题运用了转化的数学思想等；经验：研究新的数学问题可以类比已学过的问题.设计意图：通过对数系扩充规则、扩充过程以及复数相关概念等知识和方法的总结，使学生对本节课的学习有一个全面、系统的认识，一方面深化对复数知识的理解，另一方面总结研究方法，积累研究数学问题的经验.（六）布置作业教科书习题7.1第1，2，3题.五、目标检测设计1.a=0是复数（a，b∈R）为纯虚数的（）.（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分条件也非必要条件设计意图：考查学生对复数概念的理解.2.当实数m取什么值时，复数是下列数？（1）实数；（2）纯虚数；（3）0.设计意图：考查学生对复数基本概念和复数相等含义的理解.3.求适合下列方程的实数x与y的值：（1）(x+y-3)+(x-4)i=0；（2）(x+y)+(x-2y)i=(2x-5)+(3x+y)i．设计意图：考查学生利用两个复数相等的含义解决简单数学问题的能力．。
数系的扩充和复数的概念_教学设计
《数系的扩充和复数的概念》教学设计一、教学设计背景1．课题：数系的扩充和复数的概念2．学科：数学3．授课年级：高中二年级4．学时数：1课时二、教材分析《数系的扩充和复数的概念》是高中课程里数的概念的最后一次扩展。
引入复数后，不仅可以使学生对数的概念有一个初步完整的认识，也为进一步学习数学奠定基础。
而本节则是该章的基础课、起始课，具有承上启下的作用。
三、学情分析在之前的学习中学生对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各种数集之间的包含关系等内容。
同时学生在本章之前已经学习了《推理与证明》的内容，有了一定的推理与证明能力，有利于本节课运用类比思想对实数集进行扩充。
四、教学目标（1）知识与技能1、了解数系扩充的过程及引入复数的需要。
2、掌握复数的有关概念和代数符号形式、复数的分类方法及复数相等的充要条件。
（2）过程与方法1、通过数系扩充的介绍，让学生体会数系扩充的一般规律。
2、在不断练习中让学生理解和掌握复数的基本概念以及复数相等的充要条件（3）情感态度价值观1、体会数系的扩充过程中蕴含的创新精神与实践精神，感受人类理性思维在数系扩充中的作用。
2、体会类比、分类讨论、等价转化的数学思想方法。
五、教学重难点1、教学重点：引入复数的必要性与复数的相关概念、复数的分类和复数相等的充要条件。
2、教学难点：虚数单位i的引进和复数的概念及其应用。
六、教学过程（一）、情境导入一、问题引入师：请大家看幻灯片上这个方程，动手试试看它的解是多少?问题：解方程 x 2+1=0生（独立完成）：x 2=－1是不存在的，这个方程在实数集中无解。
师：事实上在实数范围内这样的x 确实不存在，为什么会这样呢？假设x是存在的，那么就肯定是一些不是实数的数，那么，这些数是什么？我们能不能解决这个问题呢？这就是我们今天要学习的内容《数系的扩充和复数的概念》。
二、回顾数系的扩充历程 师：其实对于这种“数不够用”的情况，我们并不陌生。
大家记得吗？从小学到现在，我们一直在经历着数的不断扩充。
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基于数学史渗透的教学设计:数系的扩充
作者：曾荣
来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2011年第11期
摘要：在数学教学中，“数系的扩充”是一个很好的渗透数学史的素材.本教学设计从数的概念发展的动力入手，通过阅读材料的方式创设情境，适时渗透数的发展史，开阔学生的视野，提高学生的学习兴趣，提升学生的数学素养.
关键词：数学史；阅读；引导；提炼；探究
■教材分析?摇
数的概念发展的动力来自于两方面，一方面是生产、生活的需要，另一方面是数学知识本身发展和研究的需要. 数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，体现了数学发生发展的客观需求. 通过学习，学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入虚数的必要性，体会人类理性思维在数系扩充中的作用，有助于提高学生的数学素养. 复数的引入是中学阶段数系的最后一次扩充. 学习复数的一些基本知识，为学习复数的四则运算和几何意义做好知识储备.
■教学目标?摇
1. 理解复数的基本概念与复数相等的充要条件.
2. 经历数的概念的发展和数系扩充的过程，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需要.
3. 虚数单位i的引入，产生了复数集，让学生体验在这个过程中蕴涵的创新精神和实践能力，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系，渗透必要的数学史；让学生在问题生成和解决的过程中体验类比、化归等思想方法，提高数学素养，培养创新意识.
■教学重点?摇
数的概念的发展和数系扩充的过程，复数的有关概念.
■教学难点
虚数单位i的引进.
■教学方法?摇
阅读·引导·提炼·探究.
■教学过程
一、自主阅读提出问题
【阅读材料1】
我们把一个数集连同相应的运算及结构叫做一个数系. 在人类数的发展过程中，数集从自然数集扩充到实数集大致经历了以下过程（见图1）.
问题1：阅读以上材料，结合社会生活发展的需要思考数系的扩充过程，并在空格内填入适当的数集.
【阅读材料2】
16世纪，意大利数学家卡尔丹（G.Cardano，1501-1576）在讨论问题“将10分成两部分，使两者的乘积等于40”时，认为把答案写成“5+■和“5-■”就可以满足要求：
（5+■）-（5-■）=5+5=10，
（5+■）·（5-■）=5×5-■×■=25-（-15）=40.
问题2：卡尔丹的解释在实数集范围内能成立吗？为什么？
设计意图说明：在阅读以上材料的基础上，师生合作解决相关问题，学生对数系的扩充过程便有了一种整体性认识，并自然地猜想到数系结合新的认知冲突的出现会进一步扩充.以阅读材料的形式创设问题情境，一方面着力培养学生的阅读习惯，提高学生的阅读能力，另一方面也潜移默化地培养学生归纳概括、自主发现的意识.
二、引导交流数学活动
活动1：从数学内部发展的需要来看，每一次认知冲突的出现就带来了一次新的数系扩充. 你能结合数系的扩充过程总结数系的扩充需要遵循哪些原则吗？
活动2：在我们的数学学习中，是否还存在与阅读材料1相类似的认知冲突呢？
活动3：为了使数学家卡尔丹的解释变得合理，你认为需要引入具有怎样特征的数？
设计意图说明：通过学生积极主动的议论及教师的相机点拨，让学生对数系扩充的原则有清晰的认识，并积极地寻求解决阅读材料2的方法，为虚数单位的引入做好铺垫.
三、自主提炼数学建构
（一）数系的扩充过程
■
图2
设计意图说明：以阅读材料为载体，在问题串的引领下，在师生充分的交流中，让学生自然地、自主地实现实数系向复数系的扩充，这是本节课的重点之一.
（二）复数的有关概念
1. 虚数单位的引入：
规定：（1）i2=-1；
（2）实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立.
2. 复数的定义
形如a+bi（a，b∈R）的数称为复数，通常用字母z表示，其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部.
全体复数组成的集合叫做复数集，通常用C表示，即C=｛a+bia，b∈R｝.
3. 复数的分类
复数z=a+bi（a，b∈R），若b=0，则z为实数，若b≠0，则z为虚数.
特别地，当a=0且b≠0时，称为纯虚数.
（三）复数相等的充要条件
如果两个复数的实部与虚部分别相等，则称两个复数相等，即a+bi=c+di?圳a=c且b=d （a，b，c，d∈R）.
设计意图说明：通过数系扩充过程的介绍，自然地引出虚数单位i，并顺势介绍复数的定义，再根据复数z=a+bi（a，b∈R）中，a，b的取值对复数进行分类，研究复数相等的充要条件.
四、实践探究数学运用
1. 初步运用
例1指出下列复数的实部与虚部：
（1）4；?摇（2）2-3i；?摇?摇（3）5i+■；?摇（4）-6i；（5）0；（6）■i2.?摇
例2当实数m分别取什么值时，复数z=m（m-1）+（m-1）i是：
（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）6+2i？
例3已知复数z1=（x+y）+（x－2y）i，复数z2=（2x－5）+（3x+y）i，若z1=z2，求实数x，y的值.
设计意图说明：例1的设置是为了巩固复数的相关概念. 例2的设置是为了进一步理解什么是实数，什么是虚数，什么是纯虚数（特别要讲清楚当a=0且b≠0时才是纯虚数）. 其中由第（4）问自然过渡到复数相等的概念. 例3的设置是为了引出两复数相等的充要条件，同时进一步巩固复数的概念. 这个充要条件把复数问题转化为实数问题，体现了化归的思想方法.
2. 变式演练
练习：设z1=（m2-2m-3）+（m2-4m+3）i，z2=5+3i，当m取何实数时，（1）z1=0；（2）z1≠z2.
设计意图说明：学什么就练什么. 一方面学生巩固刚学的知识，减轻他们的负担；另一方面增强他们学习数学的积极性和信心.
3. 深入探究
下列结论从实数集扩充到复数集是否仍然成立？
①?摇若a∈R，则a2≥0. 若z∈C，则z2≥0.
②若a，b∈R，a2+b2=0，则a=b=0.
若z1，z2∈C，z■+z■=0，则z1=z2=0.
③?摇实数可以用数轴上的点来表示.
复数可以用数轴上的点来表示.
设计意图说明：阅读材料揭示了从实数扩充到复数的过程，此处回到本节课的起点，进一步说明了实数集扩充成复数集后，解决了认知上的冲突，证实了扩充的合理性，并为下一节课研究复数的运算埋下了伏笔.
五、回顾反思总结提升
（1）知识结构：
■
（2）探究途径：阅读、类比、猜想、化归.
（3）探究拓展：
你能在今天所学知识基础上进一步研究复数的运算及复数的几何意义吗？
设计意图说明：从知识和方法两个角度进行总结，帮助学生进一步建构知识结构，提炼探究方法，其提出的新探究问题，将探究活动延伸到课外.
六、课后作业
1. 必做题：
课本105页习题3.1第1、2、3、4题.
2. 选做题：
利用网络等资源了解数学史上的“第一次数学危机”.
设计意图说明：适当训练帮助学生及时巩固所学知识，同时让学生利用网络等资源了解数学史上的“第一次数学危机”，开阔学生的视野，提高学生的数学学习兴趣，并进一步渗透数学史.。