高考中的数列问题(可编辑修改word版)

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高考数学(文科)习题第六章数列 6-3-2 word版含答案

1.等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( )点击观看解答视频A ．6B ．5C ．4D ．3答案 C解析 ∵a 4＝2，a 5＝5，∴a 4a 5＝a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝10，∴lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg (a 1a 2…a 8)＝lg (a 1a 8)4＝lg (a 4a 5)4＝4lg (a 4a 5)＝4lg 10＝4，选C.2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝( )A ．2B.73C.83D ．3 答案 B解析由等比数列的性质得：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，于是，由已知得S 6＝3S 3，∴S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3，即S 9－S 6＝4S 3，∴S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73，故选B. 3.已知等比数列{a n }的前n 项积记为Ⅱn ，若a 3a 4a 8＝8，则Ⅱ9＝( )点击观看解答视频A ．512B ．256C ．81D ．16答案 A解析由题意可知，a 3a 4a 7q ＝a 3a 7a 4q ＝a 3a 7a 5＝a 35＝8，Ⅱ9＝a 1a 2a 3…a 9＝(a 1a 9)(a 2a 8)(a 3a 7)(a 4a 6)a 5＝a 95，所以Ⅱ9＝83＝512.故选A.4．已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．答案 2n －1解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 4＝9a 2a 3＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 4＝9a 1a 4＝8，则a 1，a 4可以看作一元二次方程x 2－9x ＋8＝0的两根，故⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝8a 4＝1， ∵数列{a n }是递增的等比数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1a 4＝8，可得公比q ＝2，∴前n 项和S n ＝2n－1. 5．设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．答案－12解析 S 1＝a 1，S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1－6.故(2a 1－1)2＝a 1×(4a 1－6)6．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上列{b n }中的b 3，b 4，b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d ，则(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝15，解得a ＝5，∴b 3＝7－d ，b 4＝10，b 5＝18＋d .∵b 3，b 4，b 5成等比数列，∴b 3b 5＝b 24，即(7－d )(18＋d )＝102，化简，得d 2＋11d －26＝0，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)，∴b 3＝5，b 4＝10，b 5＝20，∴数列{b n }的公比q ＝105＝2，数列{b n }的通项公式为b n ＝b 3q n －3＝5×2n －3.(2)由b 3＝5，q ＝2，得b 1＝b 3q 2＝54， ∴数列{b n }是首项为b 1＝54，公比为q ＝2的等比数列，b11－q n1－q ＝5×2n－2－54.∴数列{b n}的前n项和S n＝。

(word完整版)09数列(中职数学春季高考练习题)

学校______________班级______________专业______________考试号______________姓名______________数学试题数列．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分100分，考试时间90分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．．本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01．第Ⅰ卷（选择题，共60分）30小题，每小题2分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项．数列1111--，，，，……的一个通项公式是 A ．1n a =±B ．()1nn a =-C ．()11n n a +=-D ．1nn a =-．已知数列{}n a 的通项公式为()1n a n n =-，则72是这个数列的 A ．第7项B ．第8项C ．第9项D ．第10项．数列()1111111242n n +---，，，……，，……的第5项是 A ．110B ．116C ．116-D ．132．以下四个数中，是数列()1223341n n ⨯⨯⨯+L L ，，，，，中的一项的是 A ．17B ．18C ．19D ．20．在数列{}n a 中，111112n n a a a +=-=+，，则23a a +等于A ．34B ．43C ．47D ．74．已知数列{}n a 满足1121n n a a a +=-=，，则通项公式为 A ．21n a n =+B ．21n a n =-C ．23n a n =-+D ．23n a n =+．在2和16之间插入3个数a b c ，，，使216a b c ，，，，成等差数列，则b 的值为 A ．7B ．8C ．9D ．108．在等差数列258---，，，……中，已知32n a =-，则n 的值为A ．8B ．9C ．10D ．119．在等差数列中，若28510a a ==，，则14a 的值为A ．15B ．16C ．17D ．1810．等差数列{}n a 中，3815a a +=，那么29a a +=A ．20B ．15C ．10D ．511．在等差数列{}n a 中，34567450a a a a a ++++=，那么28a a +等于A ．45B ．75C ．180D ．30012．已知等差数列的前三项为1223a a a -++，，，则此数列的通项公式为A ．35n -B ．32n -C ．31n -D ．31n +13．若a b c ，，成等差数列，公差不为零，则二次函数()22f x ax bx c =++的图象与x 轴的交点个数为A ．0B ．1C ．2D ．不确定14．数列{}n a 为等比数列的充要条件是A ．1n na a +=常数 B ．1n n a a +-=常数C ．1nn a a -=常数 D ．1n n a a +⨯=常数15．已知数列{}n a 为等比数列，下列等式中成立的是A ．2824a a a =B ．2423a a a =C ．2417a a a =D ．2214a a a =16．下列数列中，既是等差数列又是等比数列的是 A ．0000，，，，…… B ．1111--，，，，……C ．111124816，，，，……D ．1111，，，，……学校______________班级______________专业______________考试号______________姓名______________．已知等比数列128643216，，，，……，则116是它的 A ．第10项B ．第11项C ．第12项D ．第14项．若数列{}n a 为等比数列，358a a ⨯=，则17a a ⨯等于 A ．8B ．10C ．15D ．25． “2b ac =”是“b 为a c ，的等比中项”的 A ．充要条件B ．充分条件C ．必要条件D ．不充分不必要条件．等比数列{}n a 中，45032n a a a >=，，则212228log log log a a a +++=…A ．10B ．20C ．36D ．128．已知等比数列{}n a 中，2435460225n a a a a a a a >++=，，那么35a a +的值等于A ．5B ．10C ．15D ．20．等比数列{}n a 中，已知12323463a a a a a a ++=++=-，，则345678a a a a a a +++++=A ．2116B ．1916C ．98D ．34．在等比数列{}n a 中，2462256a a a ==，，则8a 的值为 A ．128B ．256C ．64D ．32．已知数列3333--，，，，…，，则该数列是 A ．等差数列 B ．等比数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既非等差数列又非等比数列．设a R ∈，且0a ≠，则23na a a a ++++…的值为A ．()11n a a a-- B ．()111n a a a+-- C ．()11n a a a--或nD ．()111n a a a+--或n26．在等差数列{}n a 中，已知前15项之和为1590S =，则8a 的值为A ．3B ．4C ．6D ．1227．已知等比数列{}n a 中，3516a a ⨯=，则147a a a ⨯⨯等于A ．128B ．128±C ．64D ．64±28．已知数列{}n a 的首项为1，其他各项由公式111n n a a -=+给出，则这个数列的第4项为A ．2B ．32C ．53 D ．13±29．某种电子产品自投放市场以来，经过三次降价，单价由375元降到192元，若每次降价的百分率相同，则这种产品每次降价的百分率是A ．18％B ．20％C ．19％D ．17％30．两个数的等比中项为8，等差中项为10，则这两个数为A ．8，8B ．4，16C ．2，18D ．6，14第Ⅱ卷（非选择题，共40分）二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）31．在等比数列{}n a 中，若1324510a a a a +=+=，，则该数列前四项依次为__________________．32．公差不为零的等差数列{}n a 中，1a 与2a 是方程2340x a x a -+=的两个根，则n a =_______________________．33．等比数列{}n a 中，已知1232342856a a a a a a ++=++=，，则此数列的通项公式是_______________________．34．设12x x ，是方程2650x x ++=的两根，则12x x ，的等比中项是______________．学校______________班级______________专业______________考试号______________姓名______________4小题，共28分）．在等比数列{}n a 中，已知333922a S ==，，求公比q ．．一个等比数列{}n a ，前三项的和为7，积为8，求这个数列的公比． 37．已知数列{}n a 的前n 项和为22n S n n =--，求数列{}n a 的通项公式n a ．38．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数．。

数列求和方法(带例题和练习题)(可编辑修改word版)

数列求和主要思路：1. 求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式：2. 求和过程中注意分类讨论思想的运用：3.转化思想的运用；数列求和的常用方法——、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式：s 加严j ）〃” 2 1 2 [加 1 n （4=1） 2、等比数列求和公式：S =八「（1一/） u 一 a qn ] _J _______ = 1 力（g H 1）〔1-9 1-9 n13、S 〃=》k = l + 2 + 3 + +…+ /?..= -it （n +1）=l 2 + 22 +32 +...+ /* =^n(n +l)(2n+l) os n =^A ：3 = I 3 + 23 + 33+ •••+/73J 】公式法求和注意事项（1）弄准求和项数〃的值:（2）等比数列公比°未知时，运用前〃项和公式要分类。

例 1.求和 l+X + x2+・・・+0-2(“n2,XHO) 二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列｛知• bn ｝的前n 项和，其中｛a n ｝. ｛0｝分别是等差数列和等比数列. 例 2・求和：1 +3x + 5x 2 + 7x 3 + ・・・ + (2〃一1)#12 4&例，求数列〒芦去三、倒序相加法如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列前n 项和即可用倒序相加发，如等差数列的前n 项和就是此法推导的例 4.求sin 2 h+ sin ' 2°+ sin ' 3。

+ …+ sin 2 88•+ sin 2 89。

的值例 4 变式训练八求 cosl° +cos2° +cos3° +• • •+cosl78° +cosl79° 的值. 例 4 变式训练 2:数列｛an ｝： a t = 19a 2= 3, a 3= 2,a^2= a n ^x -a n , S2002.例4变式训练3：在各项均为正数的等比数列中,若。

高考数学《数列》大题训练50题含答案解析整理版

高考数学《数列》大题训练50题1 ．数列{}的前n 项和为，且满足，.n a n S 11a =2(1)n n S n a =+（1）求{}的通项公式；（2）求和T n =.n a 1211123(1)na a n a ++++L 2 ．已知数列，a 1=1，点在直线上.}{n a *))(2,(1N n a a P n n ∈+0121=+-y x （1）求数列的通项公式；}{n a （2）函数，求函数最小值.)2*,(1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且 )(n f 3 ．已知函数(a ，b 为常数)的图象经过点P （1，）和Q （4，8）x ab x f =)(81(1) 求函数的解析式；)(x f (2) 记a n =log 2,n 是正整数，是数列{a n }的前n 项和，求的最小值。

)(n f n S n S 4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15．求＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式．n S 5 ．设数列的前项和为，且，其中是不等于和0的实常数.{}n a n n S 1n n S c ca =+-c 1-（1）求证: 为等比数列；{}n a （2）设数列的公比，数列满足，试写出的{}n a ()q f c ={}n b ()()111,,23n n b b f b n N n -==∈≥1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭通项公式，并求的结果.12231n n b b b b b b -+++L 6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *)，满足向量与向量共线，且1+n n A A n n C B 点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上.(1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ;(2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12<a ≤15，求数列{a n }中的最小项.7 ．已知数列的前三项与数列的前三项对应相同，且…对任意的{}n a {}n b 212322a a a +++12n n a -+8n =∈n N*都成立，数列是等差数列．1{}n n b b +-（1）求数列与的通项公式；{}n a {}n b （2）问是否存在N *，使得？请说明理由．k ∈(0,1)k k b a -∈8 ．已知数列),3,2(1335,}{11 =-+==-n a a a a nn n n 且中（I ）试求a 2，a 3的值；（II ）若存在实数为等差数列，试求λ的值.}3{,nn a λλ+使得9 ．已知数列的前项和为，若，{}n a n n S ()1,211++=⋅=+n n S a n a n n（1）求数列的通项公式;{}n a （2）令，①当为何正整数值时，：②若对一切正整数，总有，求的n nn S T 2=n 1+>n n T T n m T n ≤m 取值范围。

2021届高考数学热点题型训练：第5章第1节数列的概念与简单表示 Word版含解析

第一节数列的概念与简洁表示考点一由数列的前几项归纳数列的通项公式[例1] 依据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式． (1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…；(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，….[自主解答] (1)数列中各项的符号可通过(－1)n表示，从第2项起，每一项的确定值总比它的前一项的确定值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n(6n －5)．(2)数列变为89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110，89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1102，89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1103，…，故a n ＝89⎝⎛⎭⎪⎫1－110n .(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母小3.因此把第1项变为－2－32，原数列化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，故a n ＝(－1)n 2n－32n .【方法规律】求数列的通项公式应关注的四个特征 (1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想．依据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式． (1)3,5,7,9，…； (2)12，34，78，1516，3132，…； (3)－1，32，－13，34，－15，36，….解：(1)各项减去1后为正偶数，∴a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母小1，而分母组成数列21,22,23,24，…，∴a n ＝2n－12n .(3)数列的奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含有因式(－1)n，各项确定值的分母组成数列{n }，分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1.∴a n ＝(－1)n 2＋－1nn.考点二由递推关系式求通项公式[例2] 依据下列条件，确定数列{a n }的通项公式．(1)a 1＝1，a n ＝n －1na n －1(n ≥2)；(2)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2； (3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2；(4)a 1＝56，a n ＋1＝5a n4a n ＋1.[自主解答] (1)∵a n ＝n －1na n －1(n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘，得a n ＝a 1×12×23×…×n －1n ＝a 1n ＝1n.(2)∵a n ＋1－a n ＝3n ＋2， ∴a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝n 3n ＋12(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式，∴a n ＝32n 2＋n 2.(3)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝3.∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3.又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2×3n －1.∴a n ＝2×3n －1－1.(4)∵a n ＋1＝5a n4a n ＋1，∴1a n ＋1＝45＋15a n ， ∴1a n ＋1－1＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1. 又1a 1－1＝15， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是以15为首项，15为公比的等比数列，∴1a n －1＝15·15n －1＝15n ， ∴a n ＝5n 1＋5n .【方法规律】由递推关系式求通项公式的常用方法(1)已知a 1且a n －a n －1＝f (n )，可用“累加法”求a n ；。

数列中的奇数项和偶数项问题(可编辑修改word版)

4 1n 1 2k -1 2k 2k+1⎧ 1a n Îª Å¼ Êý11 ⎪2 n设数列{a n }的首项 a 1=a ≠ ，且 a n +1 = ⎨ ⎪a + 1 ,n Îª ÆæÊý ⎪⎩ n 4记b n = a 2n -1 - 4，n ＝＝l ，2，3，…·．（I ）求 a 2，a 3；（II ）判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论；解：（I ）a 2＝a 1+（II ）∵ a 4=a = 1 a 4= 1 a + 3 ,所以 b 1=a 1－ ),1 猜想：{b n }是公比为的等比数列·2证明如下：1 1 1 1 1 1因为 b n +1＝a 2n +1－ = a 2n － = (a 2n －1－ )= b n , (n ∈N *) 4 2 4 2 4 21 1 所以{b n }是首项为 a － , 公比为的等比数列·422 在数列{a } 中， a =0，且对任意 k ∈ N *， a , a ,a 成等差数列，其公差为 2k. （Ⅰ）证明a 4 , a 5, a 6 成等比数列；（Ⅱ）求数列{a n } 的通项公式；（ I ）证明：由题设可知， a 5 = a 4 + 4 = 12 ， a 6 = a 5 + 6 = 18 。

a 2 = a 1 + 2 = 2 ， a 3 = a 2 + 2 = 4 ， a 4 = a 3 + 4 = 8 ，从而a 6 = a 5 = 3，所以 a ， a ， a 成等比数列。

a 5 a 4 24 5 6（II ）解：由题设可得 a 2k +1 - a 2k -1 = 4k , k ∈ N *1 = a + 1 ，a3 = 1 a = 1 a + 1 ；4 3+ 1 4 =1 a + 3 ,2 2 所以 a 5 8 1 4 = 2 a － 1, b 8 2 = a 3 － 1 = 1 2 (a － 4 1 ), 16 3= a 5－ ( 44 4 2 4⎪ n n n m 2m 4m n n n -1 m 2m 4m 2m m 4m 所以 a 2k +1 - a 1 = (a 2k +1 - a 2k -1 ) + (a 2k -1 - a 2k -3 ) +...(a 3 - a 1 )= 4k + 4 (k -1) +... + 4 ⨯1 = 2k (k +1), k ∈ N *.由 a = 0 ，得 a= 2k (k +1) ，从而 a = a- 2k = 2k 2 .12k +12k2k +1⎧ n 2 -1 ⎪ 2 , n 为奇数n 2 (-1)n-1 所以数列{a n } 的通项公式为 a n = ⎨ n 2⎪⎩ 2, n 为偶数或写为 a n = 2 + 4 ， n ∈ N * 。

数列的极限(可编辑修改word版)

→∞ n nn n→∞ ⎪ n →∞ 数列的极限【知识概要】1. 数列极限的定义1）数列的极限，在 n 无限增大的变化过程中，如果数列{a n }中的项 a n 无限趋向于某个常数A ，那么称 A 为数列{a n }的极限，记作lim a n = A . 换句话说，即：对于数列{a n }，如果n存在一个常数 A ，对于任意给定的> 0 ，总存在自然数 N ，当 n > N 时，不等式 a n - A < 恒成立，把 A 叫做数列{a }的极限，记为lim a = A . n →∞注：① 理解数列极限的关键在于弄清什么是无限增大，什么是无限趋近； ② 有限项的数列不存在极限问题，只有无穷项数列才存在极限问题； ③ 这里的常数 A 是唯一的，每个无穷数列不一定都有极限，例如：{(-1)n }；④ 研究一个数列的极限，关注的是数列后面无限项的问题，改变该数列前面任何有限多个项，都不能改变这个数列的极限；⑤ “无限趋近于 A ”是指数列{a n }后面的项与 A 的“距离”可以无限小到“零”.例 1 判断下列结论的正误（1）若lim a = 0 ，则 a 越来越小； n →∞（2）若lim a n = A ，且{a n }不是常数数列，则 a n 无限接近 A ，但总不能达到 A ；n（3）在数列{a n }中，如果对一切 n ∈ N 总有 a n +1 > a n ，则{a n }没有极限；（4）若lim a n = A ，则lim a n - A = 0 .n →∞n →∞1解：（1）不正确，例如： a n = - n， a n +1 > a n⎧ （2）不正确，例如： a n = ⎨ 2，（n 为偶数) 2n ， lim a n = 2 .⎪⎩ n +1 1，（n 为奇数） n →∞ （3）不正确，例如： a n = 1- n（4）正确， a n +1 > a n ，但lim a n = 1.n2. 数列极限的运算性质1）数列极限的运算性质如果lim a n = A ， lim b n = B ，那么n →∞n →∞① lim(a n ± b n ) = lim a n ± lim b n = A ± B ；n →∞n →∞n →∞② lim(a n ⋅ b n ) = lim a n ⋅ lim b n = A ⋅ B ；n →∞③ lima nn →∞lim a n = n →∞ = n →∞A (B ≠ 0) . n →∞b nlim b B n →∞特别地，如果C 是常数，那么lim(C ⋅ a n ) = lim C ⋅ lim a n = C ⋅ A .2）四种常见的重要极限（1） lim C = Cn →∞n →∞n →∞（2） lim 1= 0n →∞（3） lim q n = 0(-1 < q < 1)n →∞n（4） lim(1+ 1)n = en →∞n →∞ n例 2 下列命题中正确的命题是（）（A ）若lim a = A ，lim b = B ，则lim a n = An →∞ n n →∞ n n →∞ b nB（B ）若lim a n = 0 ，则lim(a n b n ) = 0n →∞n →∞（C ）若lim a 2 = A 2 ，则lim a = An →∞nn →∞ n（D ）若lim a= A ，则lim a 2 = A 2n →∞ n解：选（D ）n →∞ n例 3 已知lim[(2n -1)a n ] = 2 ，求lim na n .n →∞n →∞n1解： lim na n = lim(2n -1)a n ⋅ lim= 2 ⨯ = 1n →∞n →∞n →∞ 2n -1 2例 4 求下列数列的极限⎧2n -1,1 ≤ n ≤ 6（1）若 a n ⎪⎨ 1 ⎩⎪ 2n -6(n ∈ N *) ，则lim a = 0 ， n →∞ n lim S n →∞ = 37 . = , n ≥ 7 n⎪ - 2 - - - =3 4n→∞ =（2） lim n 2 + 2n -1 1 ； n →∞ 2n 2 - n + 3 2（3） limn →∞(⎛ 2n -1 ⎫n- n -1) = 1 ；1（4） lim = ；n →∞ ⎝ 2n +1 ⎭ e1 1 1 1（5） lim(1 )(1 )(1 ) (1 ) 0;n →∞ （6） lim 1+ 2 + 3 + + n = 1 . n →∞ n 2 23. 数列极限常见的解题技巧现阶段求数列的极限，总是把被求极限的数列变形四个常见的基本极限，再依据极限的四则运算法则求解。

(完整word)2019年高考试题汇编理科数学--数列,推荐文档

解答: 13，设等比数列公比为q3、25•- (ag )ag••• q 3• S 121 …S 53（1）证明:a nb n 是等比数列，a n b n 是等差数列;(2 )求a n 和b n 的通项公式. 答案： (1) 见解析 1 x n 11 x n 1(2)a n () n，b n () n2222解析：(1)将 4a n 1 3a n b n 4 , 4b n 1 3b n a n 4 相加可得 4a n1 4b n 1 3a n 3b n a n b n ,11 整理可得a n 1 b n 1丄(a n b n )，又玄1 Q 1，故a . b n 是首项为1,公比为1的等比数列22将 4a n 1 3a n b n 4, 4b n 13b n a n 4 作差可得 4a n14b n13a n 3b n a . b n 8,整理可得a n 1 b n 1a nb n 2，又a 1 Q 1，故a .b n 是首项为1，公差为2的等差数列1 1A. a n 2n 5B.3n 3n 10 CS2n 28nD.S n■In 2 2n 2答案：A解析：S 4 4冃 6d 0a 1 3 5, S n2依题意有可得 a nn 4n .3S 31 4d 5 d 2 n（2019全国1理）9•记S n 为等差数列 a n 的前n 项和•已知S 40 , a 5 5，则（2（2019全国1理）14.记S n 为等比数列 a n 的前 n 项和,a 436，则 S5答案: S 51213 2019全国2理)19.已知数列a n 和b n满足a 10 , 4a n 1 3a n b n 4, 4b n 1 3b n a n 4.-31 2 3436(2)由a n b n是首项为1 ,公比为?的等比数列可得a n b n ()"①；由a n bn 是首项为1公差为2的等差数列可得a n b n 2n 1②;【解析】【分析】首先确定公差，然后由通项公式可得 a 5的值，进一步研究数列中正项？负项的变化规律,得到和的最小值.【详解】等差数列 a n 中，8s 5a 3 10,得a 3 2& 3,公差da 3 a ?1, a§% 2d 0,由等差数列a n 的性质得n 5时，a n 0, n 6时，a n 大于0,所以S n 的最小值为S 4或S 5,即为10.①②相加化简得a n（!）n n 1，①②相减化简得b n 2 2（2019全国3理）5.已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且a s 3a 3 4印，则a ?（）A. 16B. 8 答案： C解答：C. 4D.设该等比数列的首项 a i ，公比由已知得,4a©3dq 24a i ，因为a 0且q 0，则可解得2，又因为 a i (1q 3) 15,即可解得c 1，则4.（2019全国3理）14.记S n 为等差数列 a n 的前n 项和，若q0, a 2 3a ，则 3°S 5答案:4解析:设该等差数列的公差为d 2a 1 a 1 0,d 0 ,10 a 1 a 10S 0____________2S 55 a 1 a 522 2a 1 9d3 4.2a 1 4d 5d（2019北京理）10.设等差数列的前n 项和为S n,若a 2=-3 ,S s =-10，则a s = ,S n 的最小值为【答案】 (1). 0. (2). -10.【点睛】本题考查等差数列的通项公式？求和公式？等差数列的性质，难度不大，注重重要知识？基础知识？基本运算能力的考查a i (2019北京理)20.已知数列｛a n｝，从中选取第i1项、第i2项、…、第i m项(i l<i2<・・Vm)，若a h a2则称新数列a h, a i2, , a m为｛a n｝的长度为m的递增子列•规定：数列｛a n｝的任意一项都是｛a n｝的长度为1的递增子列．(I)写出数列1 , 8, 3, 7, 5, 6, 9的一个长度为4的递增子列；(H)已知数列｛a n｝的长度为p的递增子列的末项的最小值为a m o，长度为q的递增子列的末项的最小值为a n0.若p<q,求证：a m°<a n°；(川)设无穷数列｛a n｝的各项均为正整数，且任意两项均不相等若｛ a n｝的长度为s的递增子列末项的最小值为2s -, 且长度为S末项为2s-1的递增子列恰有2s-1个(s=1 , 2,…)，求数列｛a n｝的通项公式.【答案】(I )1,3,5,6.(n )见解析; (川)见解析.【解析】【分析】(I )由题意结合新定义的知识给出一个满足题意的递增子列即可；(n )利用数列的性质和递增子列的定义证明题中的结论即可；(川)观察所要求解数列的特征给出一个满足题意的通项公式，然后证明通项公式满足题中所有的条件即可•【详解】(I )满足题意的一个长度为4的递增子列为：1,3,5,6.(n)对于每一个长度为q的递增子列a n a2丄a q，都能从其中找到若干个长度为p的递增子列色总丄a p，此时a p a q ，设所有长度为q的子列的末项分别为：a q, ,a q2,a q3 ,L ,所有长度为p的子列的末项分别为：a p1,a p2,a p3,L ,则a n0 min a q1,a q2,a q3,L ，注意到长度为P的子列可能无法进一步找到长度为q的子列，故a m0 min a p1,a p2,a p3,L ，据此可得：a m0a n0n 1, n为偶数(川)满足题意的一个数列的通项公式可以是a n 斗才来朴2,1,4,3,6,5,8,7,L ,n 1,n为奇数面说明此数列满足题意很明显数列为无穷数列，且各项均为正整数，任意两项均不相等.长度为s 的递增子列末项的最小值为2s-1，下面用数学归纳法证明长度为s 末项为2s-1 的递增子列恰有2s 1个s 1,2,L ：当n 1 时命题显然成立，假设当n k时命题成立，即长度为k末项为2k-1的递增子列恰有21个，则当n k 1时，对于n k 时得到的每一个子列a s1,a s2,L ,a s k 1,2k 1，可构造：aq,a s2丄，a s「2k 1,2 k 1 1和a5^,a S2,L ,a^l,2k,2 k 1 1两个满足题意的递增子列，则长度为k+1 末项为2k+1 的递增子列恰有 2 2k 12k2k 1 1个，n 1, n为偶数综上可得，数列a n、，卄沁.2,1,4,3,6,5,8,7,L是一个满足题意的数列的通项公式•n 1, n为奇数注：当s 3时，所有满足题意的数列为：2,3,5 , 1,3,5 , 2,4,5 , 1,4,5 ，当s 4 时，数列2,3,5 对应的两个递增子列为：2,3,5,7 和2,3,6,7 .【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.2019天津理) 19.设a n 是等差数列，b n 是等比数列.已知a1 4,b1 6，b2 2a2 2,b3 2a3 4.(I)求a n和b n的通项公式;（n）设数列q满足G 1,c n X 2 J 2「其中k Nn 1 n b k,n 2k ,i )求数列a2n c2n1 的通项公式;2nii ）求a i c i n Ni1答案】（I ）a n 3n 1 ; b n 3 2n（n ）（i ）a2n c2n 1 9 4n1 （ii ）* 2n 1n 1 *aqnN 27 25 2 n 12 nNi 1【解析】【分析】(I )由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可; (n )结合(I )中的结论可得数列a 2n c 2n 1的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等2n价变形，结合等比数列前n 项和公式可得aG 的值.i 12 4 d 26 2d，解得2 4 2d 4 12 4d故a n 4 (n 1) 33n1 ,b n6 2n13 2n.所以,a n的通项公式为 a n 3n 1 , b n的通项公式为b n3 2n (n )( i ) a 2n C 2n 1 a ?n b n 1 3 2n 1 3 2n 19 4n 1所以,数列 a ?n c?n1 的通项公式 :为a2nc 2n 19 4n 12n 2n2n2n(ii )a &a i a C i 1a ia c 2i1i 1i 1i 1i 12n 2n 1n2 n4-39 412i 14 1 4n3 ?2 n5 2n 19n1 427 _2n•1J 112N*25 2n n【点睛】本题主要考查等差数列？等比数列的通项公式及其前 n 项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.【详解】(I )设等差数列a n 的公db n 的公比为q .依题意得6q6q 2（2019上海）18•已知数列｛a n ｝ , a 1 3，前n 项和为S n •（1）若｛an ｝为等差数列,且 a 4 15, 求S n ；（2）若｛a n ｝为等比数列,且 lim n S n 12，求公比 q 的取值范围【解答】解：（1） Q a 4 a 3d 3 3d 15 ,d 4 ,n(n 1),S n 3n4 2n 2 n；2lim S n 存在，nlim 3(^ 2 ,n1 q 1 q3 4公比q 的取值范围为（1 , 0）（0 , 3）.42综上，d -或者d3Hm S n存在， lim S n n （2019上海）21.已知等差数列｛务｝的公差d (0，］，数列｛b n ｝满足 b n sin (a n )，集合 S x|xb n ,n2 、（1 ）若a 1 0,d 一，求集合 30,d —,3｛乜，0, △.2 2根据三角函数线，①等差数列｛a n ｝的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时此时d —,3（2）若a 1，求d 使得集合 2 S 恰好有两个（3）若集合S 恰好有三个元素: b n T b n , T 是不超过7的正整数，求 T 的所有可能的值.【解答】解：（1） Q 等差数列｛a n ｝的公差d (0，］，数列｛b n ｝满足 b n sin (a n )，集合 S x|xb n ,n当a 1集合S (2) Q，数列｛b n ｝满足 b n sin (a .),2集合S x|x N *恰好有两个元素，如图:②a 1终边落在OA 上，要使得集合 S 恰好有两个元素，可以使 a 2, a 3的终边关于y 轴对称，如图OB , OC ,(3)①当T 3 时，b n 3 b n，集合S {bl，b2, b3},符合题意.②当T 4 时，b n 4 b n ，sin(a n 4d) sina. a n 4d a n 2k ，或者a n 4d 2k a n ，4d a n 2k，又k 1，2当k1时满足条件，此时S {，1, 1}.③当T 5时，b n 5b n，si n(a n5d)sina n，故k1，2.当k1时，S{sin—，1，sin}满足题意1010④当T 6时，b n 6b n，sin (an6d)sina n，a na n等差数列{a n}的公差d (0，］，故a n5d a n 2k ，或者a n 5d 2k a n，因为 d (0 ,所以6d a n 2k 或者a n 6d 2k a n，d (0，1 , 2, 3.1时，S {-^O, —3}，满足题意.2 2⑤当T 7 时，b n 7 b n，si n(a n 7d) si na n si na n，所以a n 7d a n 2k ，或者a n 7d 2k a n，d (0，故k 1 , 2, 31时，因为b i ~b7对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有a m a n 2 ，d m 7，不符合条件.k 2时，因为b i~b7对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有a m a n 2 ，d n不是整数，不符合条件.k 3时，因为bi ~ b7对应着3 个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有a m a n—，或者d7—，此时，m n均不是整数，不符合题意.7综上，T3，4，5，6.(2019江苏)8.已知数列{a n}( n N*)是等差数列，S n是其前n项和若a2^ 兎0,S9 27 ,则Q的值是 _____________________ 【答案】16【解析】【分析】由题意首先求得首项和公差，然后求解前8项和即可.a 2a 5CBa 1 d a-i 4d7d 0【详解】由题意可得：9 8S99a 1 9 8d227解得： a 1 51 ，则 S 8 8a 1 8 7d40 28 216.d 22【点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程(组)，如本题，从已知出发，构建a 1, d 的方程组.(2019江苏)20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M—数列”.(1)已知等比数列｛a n ｝满足：a ?a 4 a 5,a 3 4a ? 4印 0 ,求证：数列｛a n ｝为“M—数列”；u . 1 2 2(2)已知数列｛b n ｝满足：b 1 1,S b b ，其中S 为数列｛b n ｝的前n 项和.S n b n b n 1① 求数列｛b n ｝的通项公式；② 设m 为正整数，若存在 “M—数列” ｛｝ (n € N *)，对任意正整数k ，当k 呦时，都有C k b k q 1成立，求m 的最大值.【答案】(1)见解析； (2［① b n = n n N * :② 5. 【解析】【分析】(1 )由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论； (2)①由题意利用递推关系式讨论可得数列｛b n ｝是等差数列，据此即可确定其通项公式；②由①确定b k 的值，将原问题进行等价转化，构造函数，结合导函数研究函数的性质即可求得【详解】(1)设等比数列｛a n ｝的公比为q ,所以a 1^0, q 丰0.因此数列｛a n ｝为M —数列”1 22 (2) ①因S n—，所以b nb nbn11 2 2由b| 1,S 1th 得1 1 ，则 b 22.1由2 2 得 S nb n b n 1m 的最大值.a 2&4 a s由a 3 4a ： 4ci|。

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2
高考中的数列问题
一、考点自测
1、数列{a n }是公差不为 0 的等差数列，且a 1 , a 3 , a 7 为等比数列{b n }中连续的三项，则数列{b n }的公比为（）
1 A.
B.4
C.2
D. 2
2、已知等差数列{a }的前n 项和为S ， a = 5, S = 15 ，则数列
⎧ 1 ⎫
的前 100
n
n
5
5
⎨ a a ⎬ 项和为（）
⎩ n n +1 ⎭
100 99
99 101 A. B. C. D. 101
101
100
100
3、等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1 ,2S 2 ,3S 3 成等差数列，则等比数列{a n } 的公比为
.
4、设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1 = -1, a n +1 = S n S n +1 ，则S n =
.
k n +1
n
a
5、已知数列 {a n }的前 n 项和为 S n
，对任意 n ∈ N * 都有 S
= 2
a 3 n - 1 ，若
3
1 < S < 9(k ∈ N *
) ，则k 的值为 .
二、常见题型
题型一：等差数列、等比数列的综合问题
例 1（ 2016.四川）已知数列 {a n }的首项为 1， S n 为数列 {a n }的前 n 项和， S = qS +1,其中q > 0,(n ∈ N * ) .
（1）若a 2 , a 3 , a 2 + a 3 成等差数列，求数列{a n }的通项公式；
2
y 2
2 2 2
（2）设双曲线 x -
2
= 1 的离心率为e n ，且e 2 = 2 ，求e 1 + e 2 + + e n .
n
n
方法总结：
变式练习1 已知首项为3 的等比数列{a }不是递减数列，其前n 项和为S ，且
2 n n
S 3 +a
3
, S
5
+a
5
, S
4
+a
4
成等差数列.
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设T
n =S
n
-
n
，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值.
1
S
题型二：数列的通项与求和
例2 已知数列的前n 项和为S
n
，在数列{b n }中，b1=a1,b n=a n-a n-1(n≥2),且
a n +S
n
=n .
（1）设c
n =a
n
-1，求证：{c n }是等比数列;
（2）求数列{b n }的通项公式.
方法总结：
变式练习2 已知数列{a n }的前n 项和为S n
（1）证明：数列⎧a n ⎫
是等比数列;
n
，且a
1
=
1
, a
2 n+1
=
n +1
a .
2n n ⎩⎭
⎨⎬
n （2）求数列{a n }的通项公式与前n 项和S n .
题型三：数列与其它知识的交汇考点 1、数列与函数的交汇
例 3 已知二次函数 f (x ) = ax 2 + bx 的图像过点（- 4n ,0），且 f ' (0) = 2n ，数列{a }
满足 1 = f ' ( 1
) ，且a = 4
a n +1 a n
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）记b n = ，求数列{b n }的前n 项和T n .
a n a n +1 1
n n
考点 2、数列与不等式的交汇例 4
设各项均为正数的数列
{a n }的前
n 项和为
S n ，且
S n 满足
S 2 - (n 2 + n - 3)S - 3(n 2 + n ) = 0 .
（1）求a 1 的值；
（2）求数列{a n }的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n ，有 1
+ a 1 (a 1 +1)
1 a
2 (a 2 +1)
+ +
1 a n (a n +1) < 1 . 3
方法总结
变式练习 3 设等差数列{a }的公差为d ，点（a , b ）在函数 f (x ) = 2x 的图像上
n
n
n
（1）若a 1 = -2 ，点（a 8 ,4b 7）在函数 f (x ) 的图像上，求数列{a n }的前n 项和S n ；
（2）若a = 1，函数 f (x ) 的图像在点（a , b ）处的切线在 x 轴上的截距为2 -
1
，
1
2
2
求数列⎧ a n ⎫
的前n 项和T .
ln 2
⎨ b ⎬ n ⎩ n ⎭。