初中数学巧用辅助圆解题

初中数学巧用辅助圆解题添加辅助圆解平面几何题，虽远不如辅助（直）线那么为人们所熟知，但许多直线形问题，若辅助圆添加得合理，则能收到化难为易，事半功倍的效果．一、根据圆的定义作辅助圆例1 如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝AC ＝AD ＝p ，BC ＝q ，求BD 的长． 解析：以点A 为圆心、AB 为半径作⊙A ．因为AB ＝AC ＝AD ，所以B 、C 、D三点在⊙A 上．延长BA 交⊙A 于点E ，连结DE ．因为DC ∥EB ，所以弧ED ＝弧BC ，所以ED ＝BC ＝q ． 在Rt △BDE 中，根据勾股定理，得BD ＝．例2 如图， PA ＝PB ，∠APB ＝2∠ACB ，AC 与PB 交于点D ，且PB ＝5，PD ＝3，求AD·DC 的值．解析：以点P 为圆心、P Ｂ为半径的作⊙P ．因为PA ＝PB ，∠APB ＝2∠ACB ，所以点Ａ、B 、C 在⊙P 上．此时⊙P 的直径BE ＝10，DE ＝8，DB ＝2，由相交弦定理，得AD·DC＝DE·DB＝８×２＝16二、作三角形的外接圆例3 如图，D 、E 为△ABC 边BC 上的两点，且BD=CE ，∠BAD=∠CAE ，求证：AB=AC ． 解析：作△ADE 的外接圆，分别交AB 、AC 于点M 、N ，连结MD 、NE ．因为∠BAD ＝∠CAE ，所以∠BAD ＋∠DAE ＝∠CAE+∠DAE ，即∠NAD ＝∠MAE ．因为∠BDM ＝∠MAE ，∠CEN ＝∠NAD ，所以∠BDM ＝∠CEN ．又BD ＝CE ，DM ＝EN ，所以△BDM ≌△CEN ，所以∠B ＝∠C ，即AB ＝AC ．例4 如图，△ABC 中，BF 、CE 交于点D ，BD ＝CD ，∠BDE ＝∠A ，求证：BE ＝CF ．解析：作△ABC 的外接⊙O ，延长CE 交⊙O 于G ，连接BG ．因为∠G ＝∠A ，∠BDE ＝∠A ，所以∠G ＝∠BDE ，所以BG=BD ．又BD ＝CD ，所以BG ＝CD.又因为∠G ＝∠CDF ，∠GBE ＝∠DCF ，所以△GBE ≌△DCF ． 所以BE ＝CF ．例5 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝100°，∠B 的平分线交AC 于D ，求证：BC ＝BD ＋AD ．解析：作△ABD 的外接圆交BC 于E ，连结DE ．因为BD 是∠ABC 的平分线，所以弧AD ＝弧DE ，所以AD ＝DE ． 在△BDE 中，∠DBE ＝20°，∠BED ＝180°―100°＝80°， 所以∠BDE ＝80°，ED CBAECDB APN M OEDCB AOED CAFEDCBA所以BE ＝BD ．在△DEC 中，∠EDC ＝80°―40°＝40°，所以EC ＝DE ． 所以BC ＝BE ＋EC ＝BD ＋AD ．三、结论类似于圆幂定理的形式时作辅助圆例6 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，D 是边BC 上的一点，且A Ｄ＝１，求BD·DC 的值．解析：以点A 为圆心、AB 为半径作⊙A ，交直线AD 于点E 、F ，则点C 在⊙A 上，DE ＝13-，DF ＝13+．由相交弦定理，得BD·DC＝DE·DF＝)13)(13(+-＝2．例7 如图，在△ABC 中，∠DAB ＝∠C ，∠B 的平分线BN 交AD 于M ．求证：（1）AM ＝AN ；（2）AB 2－AN 2＝BM·BN．解析：（1）略；（2）由（1），得AM ＝AN ．以点A 为圆心、AM 为半径作⊙A ，交AB 于E ，交BA 的延长线于F ，则N 在⊙A 上，且AE ＝AF ＝AN ． 由割线定理，得BM·BN＝BE·BF＝(AB －AE)(AB ＋AF)＝(AB―AN)(AB＋AN)＝AB 2－AN 2，即AB 2－AN 2＝BM·BN．四、探究动点对定线段所张的角时作辅助圆例8 如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠B ＝90°，设AB ＝a ，DC ＝b ，AD ＝c ，当a 、b 、c 之间满足什么关系时，在直线BC 上存在点P ，使AP ⊥PD ？解析：以AD 为直径作⊙O ，根据直径所对的圆周角是直角，当⊙O 与直线BC 有公共点（相切或相交）时，在直线BC 上存在点P ，使AP ⊥PD ．因为⊙O 的半径r ＝22cAD =，圆心O 到直线BC 的距离d ＝22b a DC AB +=+． 所以，当d≤r，即a ＋b≤c 时，在直线BC 上存在点P ，使AP ⊥PD ．例9 如图，在平面直角坐标系xOy 中，给定y 轴正半轴上的两点A (0，2)、B(0，8)，试在x 轴正半轴上求一点C ，使∠ACB 取得最大值。

解析：经过A 、B 、C 三点作⊙M ，设⊙M 的半径为R ，由正弦定理，得RR AB ACB 262sin ==∠．由此可见，当R 取得最小值时，∠ACB 取得最大值．而当点⊙M 与x 轴的相切于点C 时，R 取得最小值．根据切割线定理，得OC 2＝OB·OA，所以OC ＝4． 故当点C 的坐标为 (4，0)时，∠ACB 取得最大值．例10 已知Rt △ABC 中，AC ＝5，BC ＝12，∠ACB ＝90°，P 是边AB 上的动点，Q 是边BC 上的动点，且∠CPQ ＝90°，求线段CQ 的取值范围．FENM DCBA解析：以CQ 为直径作⊙O ，根据直径所对的圆周角是直角，若AB 边上的动点P 在圆上，∠CPQ 就为直角．当⊙O 与AB 相切时，直径CQ 最小．由切线长定理，得AP ＝AC ＝5，所以BP ＝13―5＝8．再根据切割线定理，得BP 2＝BQ·BC，所以 BQ ＝316，CQ ＝320．当点Q 与点B 重合时，直径CQ 最大，此时ＣＱ＝１２． 综上所述，320≤CQ≤12． 五、四点共圆判断四点共圆的常用方法有（1）对角互补的四边形的四个顶点共圆；（2）同底同侧顶角相等的两个三角形的四个顶点共圆．判断四点共圆后，就可以借助过这四点的辅助圆解题．例11 如图，E 是正方形ABCD 的边AB 上的一点，过点E 作DE 的垂线交∠ABC 的外角平分线于点F ，求证：FE ＝DE ．解析：连接DB 、DF ．因为∠CBF ＝45°，∠DBC ＝45°，所以∠DBF ＝90°．又∠DEF ＝90°，所以D 、E 、B 、F 四点共圆，所以∠DFE ＝∠DBE ＝45°，所以FE ＝DE ．例12 如图等边△PQR 内接于正方形ABCD ，其中点P 、Q 、R 分别在边AD 、AB 、DC 上，M 是QR 的中点，求证：不论等边△PQR 怎样运动，点M 为不动点．解析：连接PM 、AM 、DM ，因为M 是QR 的中点，所以∠PMQ ＝90°． 又∠PAQ ＝90°，所以A 、Q 、M 、P 四点共圆，所以∠MAP ＝∠MQP ＝60°．同理，∠MDP ＝60°．所以△MAD 是等边三角形，即点M 为不动点．例13 如图，正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989，P 为正方形内的一点，且∠OPB ＝45°，PA ∶PB ＝5∶14，求PB 的长．解析：连接OA 、OB ．因为∠OPB ＝∠OAB ＝45°，所以A 、B 、O 、P 四点共圆，所以∠APB ＝∠AOB ＝90°．在Rt △APB 中，设PA ＝5x ，PB ＝14x ，根据勾股定理，得(5x)2＋(14x)2＝1989，解得x ＝3，所以PB ＝42．BFCB练习1.在直角坐标系中，过A（-1,0）和B（3,0）的⊙M上有点P. （1）若cos∠APB=13(∠APB是锐角)，求⊙M的半径；（2）在y轴上，是否存在一点D，使得∠ADB=45°？若存在，求出点D的坐标.2.在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点B 的坐标为(30)，，将直线y kx =沿y 轴向上平移3个单位长度后恰好经过B C ，两点．（1）求直线BC 及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且APD ACB ∠=∠，求点P 的坐标.3. 已知平面直角坐标系中两定点A （-1，0）B （4,0）、，抛物线22y ax bx =+-过点A 、B 顶点为C ，点P （m ，n ）n<0为抛物线上一点.（1）求抛物线的解析式和顶点C 的坐标； （2）当APB ∠为钝角时，求m 的取值范围.4. 如图，已知点A （1，0），B （0，3），C （-3，0），动点P （x ，y ）在线段AB 上，CP 交y 轴于点D ，设BD 的长为t.（1）求t 关于动点P 的横坐标x 的函数表达式；（2）若S △BCD ：S △AOB =2：1，求点P 的坐标，并判断线段CD 与线段AB 的数量及位置关系，说明理由；（3）在（2）的条件下，若M 为x 轴上的点，且∠BMD 最大，请求出点M 的坐标.5.（2014山东淄博中考）如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该平面直角坐标系内的一个动点．（1）若点C平面直角坐标系内的一个点，且△ABC是等边三角形，则点C的坐标是 ；（2）若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标；（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB 最大的理由；若没有，也请说明理由．6.（2014泉州中考）如图，直线y=﹣x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1）．（1）求该反比例函数的关系式；（2）设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′；①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值；②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC=1m．。